Generalisasi rantai kompleks dan rantai homotopi

GENERALISASI RANTAI KOMPLEKS DAN RANTAI HOMOTOPI

HARIS RABBANI

109094000028

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SYARI HIDAYATULLAH

JAKARTA

GENERALISASI RANTAI KOMPLEKS DAN RANTAI HOMOTOPI

Oleh :

Haris Rabbani

109094000028

Skripsi

Sebagai Salah Satu Syarat Untuk Memperoleh Gelar Sarjana Strata I

Program Studi Matematika

Fakultas Sains Dan Teknologi

Universitas Islam Negeri Syarif Hidayatullah

Jakarta

PERNYATAAN

DENGAN INI SAYA MENYATAKAN BAHWA SKRIPSI INI BENAR-BENAR

HASIL KARYA SENDIRI YANG BELUM PERNAH DIAJUKAN SEBAGAI

SKRIPSI PADA PERGURUAN TINGGI ATAU LEMBAGA MANAPUN.

Jakarta, Januari 2015

ABSTRACT

Let R a ring, a chain complex of modules and homomorphism over R is

Cp+1

@i+1

! Cp

@i

! Cp 1 ! with @n@n+1 = 0: In this paper will discuss the

chain U-complex, U-homology, Chain (U; U0

)-map, and chain (U; U0

)-homotopy, which are the generalization of chain complex, homology, chain complex map, and chain homotopy respectively, introduced by Davvaz and Shabani in [2].

A chain complexes(Cp; @p)is sequence !C3 @3

!C2 @2

!C1 @1

!C0 for

all 0 p n 1; where Cp is a module and @p is module homomorphism that meet @p@p+1 =0; the generalization of a chain complex called chain U-complex,

where@p@p+1(Cp+1) Up 1 andIm@p Up 1. Chain map is a sequencef =ffng

are linking between chain complexes, while the chain (U; U0

)-map is a sequence

f = ffng are linking between chain (U; U0

)-complex. chain (U; U0

)-homotopy is generalization of the chain homotopi where @0

p+1Dp +Dp 1@p = Fp Gp with fDpgchain homotopy, is null homotopic. While@0

p+1Dp+Dp 1@p =Fp Gp with fDpg is chain (U; U0

)-homotopy withDp(Up) Up0+1:

Key words: module, module homomorphism, chain map, chain complex, Chain

(U_;U0_{)-map, chain} U_{-complex, chain (}U_;U0_{)-homotopy, and chain (}U_;U0₎

ABSTRAK

Misalkan R gelanggang, suatu rantai kompleks dari modul dan homomor-…sma atas R adalah Cp+1

@i+1

! Cp

@i

! Cp 1 ! dengan @n@n+1 =0: Dalam

skripsi ini akan dibahas mengenai rantai U-kompleks, rantai (U; U0

)-pemetaan, dan rantai (U; U0

)-homotopi. Dengan suatu penggeneralisasian dari rantai kom-pleks, rantai homologi, rantai pemetaan, dan rantai homotopi, berdasarkan hasil yang diperkenalkan oleh Davvaz dan Shabani di [2].

Sebuah rantai kompleks (Cp; @p) adalah barisan ! C3 @3

! C2 @2

!

C1 @1

!C0 untuk semua0 p n 1; dimana Cp adalah modul dan@p adalah homomor…sma modul yang memenuhi @p@p+1 =0; generalisasi dari rantai

kom-pleks disebut rantaiU-kompleks, dimana@p@p+1(Cp+1) Up 1 danIm@p Up 1.

Rantai pemetaan adalah suatu barisan f =ffng yang mengaitkan antara rantai kompleks, sedangkan rantai(U; U0

)-pemetaan suatu barisan f =ffng yang men-gaitkan antara rantai (U; U0

)-kompleks. Rantai (U; U0

)-homotopi adalah gener-alisasi dari rantai homotopi dimana @0

p+1Dp+Dp 1@p = Fp Gp dengan fDpg rantai homotopi, adalah homotopik nol. Sedangkan@0

p+1Dp+Dp 1@p =Fp Gp denganfDpg rantai (U; U0

)-homotopi dengan Dp(Up) Up0+1:

Kata kunci: modul, homomor…sma modul, rantai pemetaan, rantai kompleks, rantai homotopi, rantai (U_;U0_{)-pemetaan, rantai} U_{-kompleks, rantai (U; U}0

PERSEMBAHAN

Skripsi ini saya persembahkan untuk : Orang tua saya yang selalu memberikan motivasi

Teman-teman saya yang telah membantu dalam menyelesaikan skripsi ini Bapak dan Ibu dosen matematika yang dengan sabar mengajar saya "Semoga Semua Kebaikan Mereka Dibalas dengan Surga Dari ALLAH SWT"

M OT T O

KATA PENGANTAR

Segala puji dan syukur ke hadirat Allah SWT atas segala nikmat dan karunia-Nya, yang telah memberikan kemudahan kepada penulis dalam menjalani perku-liahan dan penulisan skripsi ini. Shalawat dan salam semoga selalu disampaikan kepada Nabi Muhammad SAW, teladan dan rahmat bagi seluruh alam.

Skripsi dengan judul Genralisasi Rantai Kompleks dan Rantai homotopi ini disusun untuk memenuhi salah satu kewajiban akhir mahasiswa untuk memper-oleh gelar sarjana strata satu. Penulis mendapat banyak pelajaran, pengala-man dan pengetahuan baru selama mengkaji bahan-bahan penelitian yang tidak didapatkan dalam bangku perkuliahan. Pelajaran yang paling penting adalah kesabaran dan semangat pantang menyerah sampai tujuan tercapai.

Penulis menyadari tanpa bantuan, dorongan, bimbingan dan do’a dari berba-gai pihak penelitian ini tidak mungkin terselesaikan dengan baik. Oleh karena itu, penulis menyampaikan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada :

1. Dr. Agus Salim sebagai Dekan Fakultas Sains dan Teknologi UIN Syarif Hidayatullah Jakarta.

2. Yanne Irene M.Si. sebagai Ketua Prodi Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Syarif Hidayatullah Jakarta.

3. Suma’inna M.Si. sebagai Sekretaris Prodi Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Syarif Hidayatullah Jakarta.

4. Gustina El…yanti M.Si. sebagai dosen di Prodi Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Syarif Hidayatullah Jakarta sekaligus sebagai pembimb-ing I.

5. Yudi Mahatma M.Si. sebagai dosen di Prodi Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Syarif Hidayatullah Jakarta sekaligus sebagai pembimb-ing II.

6. Para dosen di Prodi Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Syarif Hidayatullah Jakarta yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu, tetapi tidak mengurang rasa hormat penulis kepada mereka.

7. Orang tua yang selalu memberikan dorongan dan semangat bagi penulis.

9. Seluruh anggota keluarga Mathousine yang senantiasa menyemangati.

10. Pihak-pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu, yang telah memberikan dorongan dan bantuan sehingga skripsi ini selesai disusun.

Akhir kata, semoga Allah SWT membalas semua kebaikan mereka dan semoga skripsi ini bermanfaat bagi pihak yang membutuhkannya.

Jakarta, Januari 2015

DAFTAR ISI

ABSTRACT i

ABSTRAK ii

PERSEMBAHAN iii

KATA PENGANTAR iv

DAFTAR ISI vi

1 PENDAHULUAN 1

1.1 Latar Belakang . . . 1

1.2 Perumusan Masalah . . . 4

1.3 Tujuan Penelitian . . . 4

1.4 Manfaat Penelitian . . . 5

2 LANDASAN TEORI 6 2.1 Gelanggang . . . 6

2.2 Modul . . . 7

2.2.1 Submodul . . . 10

2.2.2 Homomor…sma Modul . . . 10

2.2.3 Modul Kuosien . . . 15

2.3 Rantai Kompleks . . . 15

2.4 Relasi Ekivalen . . . 18

3 METODOLOGI 20 3.1 Mempelajari Teori Dasar . . . 20

3.2 Mempelajari Artikel Terkait . . . 20

3.3 Membuktikan Proposisi . . . 21

4 PEMBAHASAN 22 5 KESIMPULAN 36 5.1 Kesimpulan . . . 36

BAB 1

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Alam semesta memuat bentuk-bentuk dan konsep matematika, meskipun

alam semesta tercipta sebelum matematika itu ada. Alam semesta serta segala

isinya diciptakan Allah swt dengan ukuran-ukuran yang cermat dan teliti, dengan

perhitungan-perhitungan yang mapan, dan dengan rumus-rumus serta persamaan

yang seimbang dan rapi [1].

Semua yang ada di alam ini ada ukurannya, ada hitung-hitungannya, ada

ru-musnya, atau ada persamaannya. Rumus-rumus yang ada sekarang bukan

dicip-takaan manusia sendiri, tetapi sudah disediakan. Manusia hanya menemukan dan

menyimbolkan dalam bahasa matematika [1].

Aljabar merupakan salah satu cabang dari ilmu matematika. Sedangkan

cabang dari ilmu aljabar itu sendiri antara lain aljabar linier dan aljabar

ab-strak. Aljabar abstrak memiliki banyak materi yang dibahas dan dikembangkan.

Struktur aljabar merupakan salah satu materi dalam aljabar abstrak. Selain

pemetaan, materi yang dibahas pada struktur aljabar pada dasarnya tentang

himpunan dan operasinya. Sehingga dalam mempelajari materi ini selalu

iden-tik dengan sebuah himpunan yang tidak kosong yang mempunyai elemen-elemen

yang dapat dikombinasikan dengan penjumlahan, perkalian, ataupun keduanya,

dan juga oleh operasi biner yang lainnya. Hal tersebut berarti

pembahasan-pembahasannya melibatkan objek-objek abstrak yang dinyatakan dalam simbol

- simbol.

Dalam al-qur’an surat al-fatihah ayat 7 disebutkan:

bukan (jalan) mereka yang dimurkai dan bukan (pula jalan) mereka yang sesat."

dari ayat diatas dapat disimpulkan bahwa kehidupan manusia terdiri dari

berba-gai macam himpunan, yaitu (1) himpunan yang mendapatkan nikmat dari Allah

SWT, (2) himpunan yang dimurkai, dan (3) himpunan yang sesat. Dimana

him-punan tersebut merupakan bagian dari himhim-punan manusia, karena himhim-punan

sendiri merupakan kumpulan objek-objek yang terdefenisi dengan jelas.

Al-qur’an surat al-faathir ayat 11:

Artinya: "Dan Allah menciptakan kamu dari tanah kemudian dari air mani,

ke-mudian Dia menjadikan kamu berpasangan (laki-laki dan perempuan). Dan tidak

ada seorang perempuanpun mengandung dan tidak (pula) melahirkan melainkan

dengan sepengetahuan-Nya. Dan sekali-kali tidak dipanjangkan umur seorang

yang berumur panjang dan tidak pula dikurangi umurnya, melainkan (sudah

dite-tapkan) dalam Kitab (Lohmahfuz). Sesungguhnya yang demikian itu bagi Allah

adalah mudah".

ayat tersebut menjelaskan tentang struktur aljabar dengan satu operasi biner,

bahwa manusia adalah berpasang-pasangan yaitu laki-laki dengan perempuan

dengan cara menikah. Biasanya dalam matematika disimbolkan(G; ), denganG

adalah himpunan tak kosongnya yaitu himpunan manusiaflaki-laki, perempuang

dan adalah operasi binernya yaitu pernikahan. Struktur aljabar dengan satu

operasi biner yang memenuhi sifat-sifat tertentu disebut dengan grup.

Sedangkan struktur aljabar dengan dua operasi biner yang memenuhi sifat

tertentu disebut gelanggang. Telah dijelaskan dalam Al-qur’an surat an-nissa’

Artinya: "Diharamkan kepada kamu berkahwin dengan (perempuan-perempuan

yang berikut): ibu-ibu kamu, dan anak-anak kamu, dan saudara-saudara kamu,

dan saudara-saudara bapa kamu, dan saudara-saudara ibu kamu, dan anak-anak

saudara kamu yang lelaki, dan anak-anak saudara kamu yang perempuan, dan

ibu-ibu kamu yang telah menyusukan kamu, dan saudara-saudara susuan kamu,

dan ibu-ibu isteri kamu, dan anak-anak tiri yang dalam pemeliharaan kamu dari

isteri-isteri yang kamu telah campuri tetapi kalau kamu belum campuri mereka

(isteri kamu) itu (dan kamu telahpun menceraikan mereka), maka tiadalah salah

kamu (berkahwin dengannya). Dan (haram juga kamu berkahwin dengan) bekas

isteri anak-anak kamu sendiri yang berasal dari benih kamu. Dan diharamkan

kamu menghimpunkan dua beradik sekali (untuk menjadi isteri-isteri kamu),

ke-cuali yang telah berlaku pada masa yang lalu. Sesungguhnya Allah adalah Maha

Pengampun, lagi Maha Mengasihani".

bahwa manusia adalah berpasang-pasangan antara laki-laki dan perempuan

den-gan menikah. Akan tetapi cara menikah denden-gan pasanden-gannya harus secara hukum

agama. Dalam matematika biasanya disimbolkan(R; ; )dengan R adalah him-punan tak kosongnya yaitu himhim-punan manusiaflaki - laki , perempuang, adalah

operasi pertamanya yaitu pernikahan, dan adalah operasi keduanya yaitu hukum

agamanya.

him-punan yang tidak kosong dengan dua operasi biner dan memenuhi syarat-syarat

tertentu disebut dengan modul. Selanjutnya dari modul sendiri dapat di

kem-bangkan menjadi beberapa sub pembahasan diantaranya submodul,

homomor-…sma modul , isomor…sme modul, dan lain-lain. Bahasan lebih lanjut dari modul

diantaranya yaitu rantai kompleks dan rantai homotopi.

Misalkan R gelanggang, suatu rantai kompleks dari modul dan homomor-…sma atas R adalah

:::Cp+1

@i+1

! Cp

@i

!Cp 1 !:::

dengan @n@n+1 = 0: Hal ini menimbulkan pertanyaan apa yang terjadi bila

kita subtitusikan submodul Up 1 dari Cp 1 dari pada submodul trivial f0g

pada de…nisi di atas? Menurut [3], Davvaz dan Parnian mengenalkan konsep

rantai U-kompleks dan jawaban dari pertanyaan di atas. Menurut [2] Davvaz dan Shobani-Solt mengenalkan generalisasi beberapa gagasan dari aljabar

ho-mologi. Mereka mende…nisikan konsep dari rantai U-kompleks, U-homologi, rantai (U; U0

)-pemetaan, rantai (U; U0

)-homotopi, dan U-fungtor. Mereka mem-berikan generalisasi dari lema lambek, lema ular, hubungan homomor…sma,

tri-angle eksak, dan menetapkan dasar baru dariU-homologi aljabar. Pada skripsi ini akan dibahas mengenai rantaiU-kompleks dan rantai(U; U0

)-homotopi berdasarkan

hasil yang didapat pada [2] dengan bahasan dan pembuktian yang lebi rinci.

1.2 Perumusan Masalah

Permasalahan yang akan dibahas dalam penelitian ini adalah

1. Bagaimanakah stuktur Rantai U-kompleks ?

2. Bagaimanakah struktur Rantai (U; U0

)-homotopi ?

1.3 Tujuan Penelitian

Penelitian ini bertujuan untuk mengkaji bukti proposisi dan kondisi

mende-tail mengenai RantaiU-kompleks dan Rantai (U; U0

1.4 Manfaat Penelitian

Dari penulisan skripsi ini, penulis berharap pembahasan skripsi ini bisa

berman-faat bagi berbagai kalangan, diantaranaya:

1. Bagi Penulis

Untuk mempelajari dan lebih memperdalam pemahaman serta

mengem-bangkan wawasan disiplin ilmu khususnya mengenai Generalisasi Rantai

Kompleks dan Rantai Homotopi.

2. Bagi Pembaca

Sebagai tambahan wawasan dan informasi tentang Generalisasi Rantai

Kompleks dan Rantai Homotopi.

3. Bagi Instansi

(a) Sebagai bahan informasi tentang pembelajaran mata kuliah Aljabar

Ab-strak.

BAB 2

LANDASAN TEORI

Bab ini berisi teori-teori pendukung yang digunakan sebagai penunjang

dalam pembahasan bab berikutnya. Pada bab ini akan dijelaskan tentang

gelang-gang, modul, submodul, hommomor…sma modul, modul kuosien, rantai

kom-pleks, rantai pemetaan, rantai homotopi, dan relasi ekivalen.

2.1 Gelanggang

Suatu himpunan tak kosong R dikatakan gelanggang jika pada R dide…n-isikan duaoperasi yaitu penjumlahan (+) dan perkalian( ) ditulis(R;+; );dan memenuhi kondisi berikut:

1. (a+b) +c=a+ (b+c)untuk semua a; b; c2R.

2. Terdapat 02R sedemikian sehinggaa+ 0 = 0 +a=auntuk semuaa2R.

3. Untuk suatu a2R terdapat b 2R sedemikian sehingga a+b=b+a= 0.

4. a+b=b+a untuk semua a; b2R.

5. (ab)c=a(bc) untuk semua a; b; c2R.

6. a(b+c) = ab+ac dan (a+b)c=ac+bc untuk semua a; b; c2R.[6]

Contoh 2.1 Himpunan bilangan bulat Z merupakan gelanggang, pehatikan :

karena sifat tertutup pada operasi penjumlahan dan perkalian maka berlaku

1. 8 a; b; c2Z maka berlaku (a+b) +c=d+c=m =a+n=a+ (b+c)

2. 9 02Z sehingga 0 +a=a+ 0 =a

3. 8 a2Z;9 a 1

dimanaa 1

= a sehinggaa+a 1

=a 1

+a= 0

5. 8 a; b; c2Z maka berlaku (ab)c=dc=m =an=a(bc)

6. 8 a; b; c2Z maka berlaku a(b+c) = ab+ac

7. 8 a; b; c2Z maka berlaku (a+b)c=ac+bc

2.2 Modul

Suatu himpunan tak kosong M dikatakan modul kiri atas gelanggang R , ditulis RM, jika pada M dide…nisikan dua operasi yaitu penjumlahan (+) dan perkalian dengan skalar, sehingga memenuhi kondisi berikut:

1. (M;+) suatu grup komutatif.

2. Untuk setiap r; s2R dan v; w2 M berlaku:

(a) r(v+w) = rv+rw

(b) (r+s)v =rv+sv:

(c) (rs)v =r(sv):

(d) 1v =v:

Untuk modul kanan yang berbeda hanya perkalian dengan skalar dilakukan

dari kanan dan ditulisMR. Modul yang merupakan modul kiri dan modul kanan cukup disebut dengan modul [8].

Contoh 2.2 Misalkan Z6 = f0;1;2;3;4;5g adalah grup komutatif terhadap op-erasi +. Maka Z6 adalah suatu modul atas himpunan semua bilanganZ:

Bukti.

1. Jelas (Z6;+) suatu grup komutatif.

2. Diberikan pemetaan R Z6 !Z6 yang dide…nisikan oleh

(n; m)7 !nm=nmmod 6

(a) Akan dibuktikan rv2Z6;

Perhatikan

rv =a+ 6b =a; untuk suatu a2Z6, b2Z

maka terbukti rv 2Z6:

(b) Akan dibuktikan r(v+w) =rv+rw

Perhatikan

r(v+w) =r(v +w) mod 6 = (rv+rw) mod 6 =rv+rw

Terbukti, r(v+w) = rv+rw

(c) (r+s)v =rv+sv:

Perhatikan

(r+s)v = ((r+s)v) mod 6 = (rv+sv) mod 6 =rv+sv

Terbukti, (r+s)v =rv+sv

(d) (rs)v =r(sv):

Perhatikan

(rs)v = ((rs)v) mod 6 = (r(sv)) mod 6 =r(sv)

Terbukti, (rs)v =r(sv)

(e) 1v =v:

Jelas, 1v =v berdasarkan sifat identitas perkalian diZ6:

Berdasarkan 1 dan 2, maka terbukti himpunanZ6 membentuk modul atas

bilan-gan bulat terhadap operasi penjumlahan dan perkalian skalar.

Bukti. Misalkan M modul atas R. Diketahui M +a = fm+a:m 2Mg dan

M +b =fm+b :m2Mg.

1. )MisalkanM+a=M+byaitu untuk sebarangx2M+amakax2M+b;

akan dibuktikana b2M

Perhatikan

Karena(M;+) grup maka terdapat02M sehinggaa = 0 +a2M +a =

M +b.

Sehingga a 2 M +b; maka a = b +m untuk suatu m 2 M. Akibatnya

a b=m2M:

Jadia b 2M:

2. (Misalkan a b2M akan dibuktikanM +a=M +b

a b2M makaa b =m sehinggaa =m+b dan b=a m untuk suatu

m2M:

Perhatikan

(a) Akan dibuktikan M +a M +b; yaitu untuk sebarang x 2 M +a

maka x2M+b:

a b 2 M maka terdapat m 2 M sedemikian sehingga m = a b, makaa=m+bsehinggaa2M+b:Ambil sebarangx2M+a maka

x=m1+a untuk suatu m1 2M

Perhatikan

x=m1+a=m1+(m+b) = (m1+m)+b=m2+b untuk suatu m2 2M:

Jadi x2M +b; terbukti, M +a M +b:

(b) Akan dibuktikan M +b M +a; yaitu untuk sebarang x 2 M +b

a b 2 M maka terdapat m 2 M sedemikian sehingga m = a b, maka b =a m: Ambil sebarangx 2M +b maka x=m3+b untuk suatu m3 2M

Perhatikan

x=m3+b=m3+(a m) = (m3 m)+a=m4+a untuk suatu m4 2M:

Jadi x2M +a; terbukti M +b M+a:

Jadi berdasarkan 2a dan 2b,M +a=M +b: Maka terbukti JikaM modul atas

R, maka M +a=M +b ,a b2M.

2.2.1 Submodul

De…nisi 2.4 (Submodul) MisalkanM adalahR-modul, maka submodulN dari M, dinotasikan denganN M, adalah subgrupN dariM yang tertutup terhadap perkalian skalar : rn2N dimana n2N dan r 2R [7].

Contoh 2.5 (Submodul) Misal M adalah modul danr2R, dimana R adalah gelanggang komutatif, maka

rM =frm:m2Mg

adalah submodul dari M.

2.2.2 Homomor…sma Modul

De…nisi 2.6 (Homomor…sma Modul) MisalkanM danN merupakanR-modul. Suatu pemetaan f :M !N dikatakan homomor…sma R-modul kanan jika

f(xr+ys) = f(x)r+f(y)s untuk setiap x; y 2M dan r; s2R

homomor-…sma modul kiri maka f disebut homomor…sma R-modul: Pernyataan ini juga berlaku :

1. Endomor…sma R-modul adalah homomor…sma R-modul dariM ke M:

2. Monomor…sma R-modul adalah homomor…sma R-modul yang injektif.

3. Epimor…smaR-modul adalah homomor…sma R-modul yang surjektif.

4. Isomor…sma R-modul adalah homomor…sma R-modul yang bijektif [8].

Teorema 2.7 Jika pemetaan f :M ! N adalah homomor…sma modul atas R, maka

1. f(0M) = 0N:

2. f( x) = [f(x)] 8 x2M:

3. ker(f) = fx2M :f(x) = 0Ng merupakan submodul dari M:

4. Im(f) =ff(x) :x2Mg merupakan submodul dari N:

5. f injektif jika dan hanya jika ker(f) =f0Mg.

Bukti. Misalkan M dan N adalah modul atas R dan pemetaan f : M ! N

adalah homomor…sma modul atas R:

1. Akan dibuktikan f(0M) = 0N: Perhatikan

f(0M) = f(0M + 0M)

= f(0M) +f(0M)2N

f(0M) = f(0M) +f(0M)

[f(0M)] +f(0M) = [f(0M)] +f(0M) + f(0M))

0N = ( [f(0M)] +f(0M)) +f(0M)

0N = 0N +f(0M)

0N = f(0M)

Jadif(0M) = 0N:

2. Ambil sebarang x2M, akan dibuktikan f( x) = [f(x)]. KarenaM modul maka x2M

Perhatikan

0N = f(0M)

= f(x x) = f(x) f(x)

[f(x)] + 0N = [f(x)] + (f(x) f(x))

[f(x)] = ( [f(x)] +f(x)) f(x) [f(x)] = 0N f(x)

[f(x)] = f(x)

Jadif( x) = [f(x)]8 x2M:

3. Akan dibuktikan ker(f) =fx2M :f(x) = 0Ng merupakan submodul dari

M:

(a) Berdasarkan 1 jelasker(f)6=; (b) Jelas ker(f) M

(c) Ambil sebarang x; y 2ker(f) dan r2R

x 2ker(f) maka x2M dan f(x) = 0N; y 2 ker(f) maka y 2M dan

f(y) = 0N

i. Akan dibuktikanx+y2ker(f);yaitux+y2M danf(x+y) = 0N Karena x; y 2M dan M modul maka x+y2M, dan

Maka x+y2M dan f(x+y) = 0N; makax+y2ker(f): ii. Akan dibuktikan xr2ker(f)

Perhatikan

f(rx) = rf(x) =r0N = 0N

Karena xr2M, dan f(rx) = 0N makaxr2ker(f):

Jadiker(f) =fx2M :f(x) = 0Ng merupakan submodul dari M:

4. Akan dibuktikan Im(f) =ff(x) :x2Mg merupakan submodul dari N:

(a) Berdasarkan 1 jelasIm(f)6=;:

(b) Jelas Im(f) N

(c) Ambil sebarang r 2 R; dan x; y 2 Im(f); x 2 Im(f) maka x = f(a)

untuk suatu a2M dan y2Im(f)makay=f(b)untuk suatu b 2M:

i. Akan dibuktikan x+y 2Im(f), yaitu x+y = f(c) untuk suatu

c2M

Perhatikan

x+y=f(a) +f(b) = f(a+b) = f(c) untuk suatuc2M

)x+y=f(c) untuk suatu c2M

Jadix+y2Im(f)

ii. Akan dibuktikan rx2Im(f)

Perhatikan

xr=rf(a) = f(ra) =f(b) untuk suatub 2M

) xr=f(b)untuk suatu b 2M

Jadixr 2Im(f)

5. Akan dibuktikan f injektif jika dan hanya jikaker(f) = f0Mg.

(=))Misalkan f injektif, akan dibuktikan ker(f) = f0Mg, yaitu ker(f)

f0Mgdan f0Mg ker(f)

(a) i. Akan dibuktikan ker(f) f0Mg

Ambil sebarang x 2 ker(f) akan dibuktikan x 2 f0Mg, yaitu

x= 0M

x2ker(f) makax2M dan f(x) = 0N

Karena f(x) = 0N dan f injektif, makax= 0M. Jadi terbukti ker(f) f0Mg

ii. Akan dibuktikan f0Mg ker(f), yaitu 0M 2ker(f) Berdasarkan (1); f(0M) = 0N, maka 0M 2ker(f) Jadif0Mg ker(f)

Maka terbukti ker(f) =f0Mg

((=)Misalkanker(f) =f0Mg, akan dibuktikan f injektif

(a) Ambil sebarang x; y 2M denganf(x) =f(y)akan dibuktikan x=y

Perhatikan

f(x) = f(y)

f(x) [f(x)] = f(y) [f(x)]

f(x) +f( x) = f(y) +f( x)

f(x x) = f(y x)

f(0M) = f(y x)

0N = f(y x)

Jadi y x2ker(f). Karena ker(f) = f0Mg, maka

y x = 0M

(y x) +x = 0M +x

y+ (x 1

+x) = x y+eM = x

y = x

Maka terbukti f injektif

Jadi, terbukti f injektif jika dan hanya jika ker(f) = f0Mg.

2.2.3 Modul Kuosien

De…nisi 2.8 Misalkan S adalah submodul dari R-modul M. Modul kosien dari M oleh S adalahM=S dimana

M=S =v+S =fv+s:s2Sg

yang memenuhi operasi

(u+S) + (v+S) = (u+v) +S dan r(u+S) = ru+S

untuk setiap u; v 2M dan r 2R [8].

2.3 Rantai Kompleks

Rantai kompleks merupakan rangkaian modul dan homomor…sma modul,

dimana komposisi homomor…sma yang berdekatan adalah nol. Berikut adalah

de…nisi formalnya berdasarkan [4].

De…nisi 2.9 (Rantai Kompleks) Rantai kompleks (C; @) dari modul atas R adalah barisanfCng_n2_Zdari modul atasR, dilengkapi dengan homomor…sma modul

atas R; @ =@n:Cn!Cn 1

!Cn+1 !

@n+1

Cn ! @n

Cn 1 !

@n 1

Cn 2 !

sehingga setiap komposisi@n@n+1 :Cn+1 !Cn 1 adalah nol. Pemetaan@ndisebut

di¤erensial dari (C; @). ker(@n) adalah submodul dari n cycles dari (C; @),

submodul dari n boundaries dari (C; @); dinotasikan dengan Bn = Bn(C):

Karena @n@n+1 = 0; maka

0 Bn Zn Cn untuk semua n:

Homologi modul ke n dari C adalah subkosien dari Cn; yaitu Hn(C) =Zn=Bn

[4].

Contoh 2.10 Himpunan Cn =Z8 untuk n 0 dan Cn =0 untuk n <0; untuk

n >0 misalkan @n memetakan x(mod8) ke 4x(mod8). C adalah rantai kompleks

dari Z8-modul [4].

Bukti.

! Z8 !

@n+1

Z8 ! @n

Z8 ! @n 1

Z8 !

@p :Z8 ! Z8

x 7 ! 4x.

Akan dibuktikan@n:x(mod 8) !4x(mod 8) adalah homomor…sma modul.

1. Akan dibuktikan @n(a+b) = @n(a) +@n(b) Ambil sebarang a; b2x(mod 8); perhatikan

@n(a+b) = 4(a+b) = 4a+ 4b=@n(a) +@n(b)

Terbukti @n(a+b) =@n(a) +@n(b):

2. Akan dibuktikan @n(ka) =k@n(a);untuk setiap k 2Z Ambil sebarang k2Z; perhatikan

@n(ka) = 4ka=k4a =k@n(a)

Maka terbukti@n homomor…sma modul.

Akan dibuktikan (Cn;Z8) adalah rantai kompleks yaitu @n@n+1(x) = 0, untuk

setiap x2Z8:

Ambil sebarang x2Z8, perhatikan

@n@n+1(x) =@n(4x) = 16x= 0 2Z8

JadiC merupakan rantai kompleks atasZ8-modul.

Suatu barisan fungsi yang mengaitkan antara rantai kompleks disebut rantai

pemetaan, de…nisi lengkapnya sebagai berikut.

De…nisi 2.11 (Rantai Pemetaan) Misalkan C = (Cp; @p) dan C0 = (Cp0; @

0

p)

adalah rantai kompleks. Sebuah rantai pemetaan

f :C ! C0

adalah barisan f = (fp :C ! C0) dengan homomor…sma @0f =f @0[10].

Terdapat barisan D =fDpg dimana Dp : Cp ! Cp0 adalah homomor…sma modul atasRmerupakan rantai homotopi, sebagaimana dijelaskan dalam de…nisi berikut.

De…nisi 2.12 (Rantai Homotopi) Misalkan C = (Cp; @p) dan C0 = (Cp0; @

0

p)

adalah rantai kompleks. Dua rantai pemetaan F; G : C ! C0

adalah rantai

homotopik jika F G adalah homotopic nol, yaitu,

@0

p+1Dp+Dp 1@p =Fp Gp

Pemetaan fDpg disebut rantai homotopi dari F ke G. Selanjutnya, dikatakan bahwa F :C ! C0

adalah rantai homotopi ekivalensi jika terdapat pemetaanG:

C0

! C sehingga GF dan F G adalah rantai homotopic ke pemetaan identitas masing-masing C dan C0

2.4 Relasi Ekivalen

Teorema 2.13 (Relasi Ekivalen) MisalkanS himpunan tak kosong. Relasi #

pada S dikatakan bersifat:

1. Re‡eksif, apabila a#a untuk setiap a2S.

2. Simetris, apabila a#b mengakibatkanb#a untuk setiap a; b2S.

3. Transitif, apabilaa#b danb#c mengakibatkana#cuntuk setiapa; b; c2S.

Suatu relasi # pada S dikatakan relasi ekivalen apabila memenuhi sifat re‡eksif, simetris, dan transitif [5].

Contoh 2.14 MisalkanQ=fp_q :p; q 2Z; q6= 0g. Dide…nisikan relasi#padaQ dengan aturan m

n# r

s jika dan hanya jika ms= nr. Relasi # pada Q merupakan

relasi ekivalen.

Bukti.

1. Akan dibuktikan "#" re‡ektif yaitu ambil sebarang m

n 2Qakan dibuktikan m

n , sehingga terbukti "#" bersifat re‡eksif.

2. Akan dibuktikan "#" simetris yaitu ambil sebarang m n;

n sehingga terbukti "#" bersifat simetris.

Karena m n#

r s dan

r s#

t

u maka ms=nr dan ru=st sehingga,

ms = nr

(ms)(ru) = (nr)(st) (mu)(sr) = (nt)(sr)

mu = nt

) m

n# t

u sehingga terbukti "#" bersifat transitif.

BAB 3

METODOLOGI

Secara umum metodologi penelitian yang akan digunakan adalah studi

liter-atur dengan membaca buku dan paper kemudian melakukan ekplorasi dan

adap-tasi dari hasil-hasil yang sudah. Dalam penelitian ini, hasil-hasil dan

langkah-langkah yang telah dilakukan untuk memperoleh hasil di[2]akan diteliti. Secara

detail berikut adalah metodologi yang dilakukan:

3.1 Mempelajari Teori Dasar

Beberapa materi dasar yang diharus dikuasai untuk skripsi ini adalah: modul

atas gelanggang, homomor…sma modul, rantai kompleks, rantai pemetaan rantai

homotopi, dan relasi ekivalen. Materi hingga gelanggang sudah dipelajari pada

kelas aljabar abstrak, untuk materi selanjutnya dipelajari mandiri dan diskusi

dengan dosen pembimbing.

Penulis mempelajari teori-teori tersebut dengan cara membaca,

membuk-tikan teorema, proposisi dan lemma serta mencari contoh yang sesuai dengan

de…nisi. Setelah memahami teori dasar, penulis akan mengkaji mengenai de…nisi

rantai U-kompleks dan rantai (U; U0

)-homotopi beserta membuktikan proposisi

yang terkait berdasarkan [2].

3.2 Mempelajari Artikel Terkait

Tahapan berikutnya adalah mencari dan mempelajari buku dan jurnal terkait.

Jurnal utama yang akan dikaji adalah jurnal Davvaz dan Shabani-Solt [2]

kemu-dian mempelajari jurnal lain yang terkait dengan hasil penelitian mereka

un-tuk meningkatkan pemahaman tentang rantai U-kompleks dan rantai (U; U0

)

3.3 Membuktikan Proposisi

Setelah mempelajari teori dasar, artikel terkait, dan memahami bukti lemma

BAB 4

PEMBAHASAN

Dalam bab ini akan dibahas mengenai generalisasi rantai kompleks dan rantai

homotopi berdasarkan hasil di [2]. Menjelaskan setiap pernyataan dan

memper-inci pembuktian-pembuktiannya.

De…nisi 4.1 (Rantai U-kompleks, [2 De…nisi 2.1)]Diberikan dua barisanfCpg,

fUpg, dengan p 2 Z, modul atas R, dimana setiap Cp memuat Up, dan sebuah

koleksi modul homomor…sma R f@p : Cp !Cp 1g. Rantai fCp; Up; @pg disebut

rantai U-kompleks jika memenuhi kondisi berikut:

1. @p@p+1(Cp+1) Up 1,

2. Im@p Up 1.

MisalkanC =fCpg, @ =f@pg, berikut adalah rantai U-kompleks :

(C; U; @) : !Cp+1

@p+1

!Cp

@p

!Cp 1 ! :

Akibat 4.2 Setiap rantai kompleks adalah rantai 0-kompleks. Dimana 0 adalah

barisan nol submodul.

Bukti. Misalkan

(C; @) : !Cp+1

@p+1

!Cp

@p

!Cp 1 ! :

rantai kompleks, maka @p@p+1 =0

Akan dibuktikan (C; @) adalah 0-kompleks yaitu : @p@p+1(Cp+1) 0p 1, dan

Im@p 0p 1.

Ambil sebarang x2Cp+1, karena (C; @) rantai kompleks maka

@p@p+1(x) = 0Cp 1 20Cp 1

terbukti,@p@p+1(Cp+1) 0p 1:

2. Akan dibuktikan Im@p Up 1 yaitu 0Cp 1 2Im@p:

Karena @p adalah homomor…sma modul maka berdasarkan Teorema 2.7

Im@p submodul dari Cp 1; maka 0Cp 1 2Im@p: Terbukti 0Cp 1 2Im@p:

Jadi terbukti setiap rantai kompleks adalah rantai0_-kompleks.

Akibat 4.3 Setiap rantaifCp; Up; @pgdengan@p@p+1(Cp+1) =Up 1 adalah rantai U-kompleks, yaitu @p@p+1(Cp+1) Up 1, dan Im@p Up 1

Bukti.

1. Akan dibuktikan @p@p+1(Cp+1) Up 1

Karena@p@p+1(Cp+1) =Up 1, maka jelas@p@p+1(Cp+1) Up 1

2. Akan dibuktikan Im@p Up 1

Ambil sebarangx2Up 1akan dibuktikanx2Im@p:Karena@p@p+1(Cp+1) = Up 1 maka terdapata 2Cp+1 sehingga

@p@p+1(a) = x

@p(b) = x; untuk suatu b 2Im@p+1 Cp

makax2Im@p; terbukti Im@p Up 1:

Jadi terbukti setiap rantaifCp; Up; @pgdengan@p@p+1(Cp+1) =Up 1 adalah rantai U-kompleks.

Akibat 4.4 Jika(C; U; @)adalah rantaiU-kompleks, makaIm@p+1 @ 1

p (Up 1).

Bukti. Misalkan (C; U; @) rantai U-kompleks, yaitu @p@p+1(Cp+1) Up 1, dan

@p+1(Cp+1) yaitu x = @p+1(ap+1) untuk suatu ap+1 2 Cp+1: Akan dibuktikan

)-pemetaan, [2 De…nisi 2.2)]Misalkan(C; U; @)rantai U-kompleks dan (C0

)-pemetaan jika diagram berikut komutatif. Dengan

perkataan lain, Fp(Up) Up0 dan Fp 1@p =@p0Fp:

Proposisi 4.7 ([2 , Proposisi 2.3)]Misalkan(C; U; @)rantaiU-kompleks sedemikian sehingga@p@p+1(Cp+1) = Up 1 dan(C

adalah rantai pemetaan, maka F juga merupakan rantai (U; U0

)-pemetaan.

Bukti. Misalkan(C; U; @)dan(C0

; U0

; @0

)rantaiU-kompleks rantaiU0

-kompleks,

misalkan pula @p@p+1(Cp+1) = Up 1, dan F = fFpg adalah rantai pemetaan.

Akan dibuktikan F juga merupakan rantai (U; U0

)-pemetaan yaitu Fp(Up) Up0 dan Fp 1@p =@p0Fp:

1. Akan dibuktikan Fp(Up) U

0

Ambil sebarang u 2 Up, maka x = Fp(u) 2 Fp(Up). Karena u 2 Up dan

@p+1@p+2(Cp+2) Up maka terdapat c 2 Cp+2 sehingga u = @p+1@p+2(c).

Akan dibuktikan bahwax2U0

p, yaitux=@ Maka terbuktiF merupakan rantai(U; U0

)F_p(x)2Z_p(C0; U0; @0): akan terlebih dahulu diperiksa apakan Fp merupakan suatu pemetaan, setelah itu akan dibuktikan apakahFp menginduksi homomor…sma modul.

1. Akan dibuktikan Fp pemetaan

(a) Akan dibuktikan untuk setiapa 2Hp(C; U; @),Fp(a)2Hp(C

0

; U0

; @0

Ambil sebarang a 2 Hp(C; U; @) yaitu a = x + Bp(C; U; @) untuk

Berdasarkan 1a dan 1b maka terbuktiF_p adalah pemetaan.

2. Akan dibuktikan Fp homomor…sma modul.

Ambil sebarang a; b 2 Hp(C; U; @), yaitu a = x +Bp(C; U; @) dan b =

(a) Akan dibuktikan Fp(a+b) = Fp(a) +Fp(b). Perhatikan

F_p(a+b) = F_p((x+Bp(C; U; @)) + (y+Bp(C; U; @)))

= Fp((x+y) +Bp(C; U; @))

= Fp(x+y) +Bp(C0; U0; @0)

= (Fp(x) +Fp(y)) +Bp(C0; U0; @0)

= (Fp(x) +Bp(C0; U0; @0)) + (Fp(y) +Bp(C0; U0; @0))

= Fp(x+Bp(C; U; @)) +Fp(y+Bp(C; U; @))

= F_p(a) +F_p(b)

(b) Ambil sebarangk 2R akan dibuktikanFp(ka) =kFp(a). Perhatikan

Fp(ka) = Fp(k(x+Bp(C; U; @)))

= Fp((kx+Bp(C; U; @))

= Fp(kx) +Bp(C0; U0; @0)

= kFp(x) +Bp(C0; U0; @0)

= k(Fp(x) +Bp(C0; U0; @0))

= kFp(x+Bp(C; U; @))

= kFp(a)

Maka berdasarkan 1a dan 1b, Fp adalah homomor…sma modul.

Jadi terbukti F menginduksi homomor…sma R-modul H(F) =fHp(F)g=fFpg

F_p :Hp(C; U; @) ! Hp(C0; U0; @0)

x+Bp(C; U; @) 7 ! Fp(x) +Bp(C

0

; U0

; @0

):

Lema 4.10 MisalG: (C0

; U0

; @0

) !(C00

; U00

; @00

)sebuah rantai(U0

; U00

)-pemetaan,

iden-titas.

)-pemetaan F = fFpg disebut isomor…sma jika Fp adalah

isomor…sma modul atas R dan F 1

= fF 1

dikatakan isomor…k ke (C0

; U0

; @0

).

Proposisi 4.12 ([2 , Proposisi 2.6)]Jika dua rantai U-kompleks dan rantai U0

-kompleks adalah isomor…k maka Up 'U

0

Bukti. Akan dibuktikan Up ' U

0

p untuk semua p, untuk membuktikannya akan dibuktikan bahwa terdapat pemetaan satu-satu dan pada, dari Up ke Up0. Karena rantai U-kompleks dan rantai U0

-kompleks adalah isomor…k yaitu

ter-dapat F = fFpg sehingga Fp : Cp ! Cp0 merupakan isomor…sma, sehingga terbukti jika dua rantai U-kompleks dan rantai U0

-kompleks adalah isomor…k

makaUp 'Up0 untuk semua p.

De…nisi 4.13 (Rantai (U; U0

)-homotopi, [2 De…nisi 2.7)]Misalkan(C; U; @)rantai U-kompleks dan (C0 sebuah homomor…sma modul atas R, sedemikian sehingga untuk semua p 2 Z, berlaku :

)-homotopi"'"adalah relasi

ekuiv-alen.

Bukti. Akan dibuktikan"'"merupakan relasi ekuivalen, yaitu bersifat

1. Akan dibuktikan " ' " bersifat re‡ektif, yaitu akan dibuktikan F ' F,

p+1 maka F 'F: Terbukti bahwa "'" bersifat re‡ektif.

2. Akan dibuktikan " ' " bersifat simetris, yaitu jika F ' G, maka G ' F:

)-homotopi denganD0

p = Dp, sehingga

p+1 tertutup pada operasi penjumlahan maka Dp(Up) = D0p(Up) Up0+1: Jadi G ' F; maka terbukti " ' " bersifat simetris.

3. Akan dibuktikan " ' " bersifat transitif, yaitu jika F ' G dan G ' H, akan dibuktikanF 'H:

misalkanD00

=fD00

pg rantai (U; U

0

)-homotopi dengan D00

p =Dp+D

Jadi terbukti bahwa relasi(U; U0

)-homotopi "'" adalah relasi ekuivalen.

Lema 4.15 ([2 , Lemma 2.9)]Misal(C; U; @),(C0

masing merupakan rantaiU-kompleks, rantaiU0

-kompleks, dan rantaiU00

-kompleks.

pakan rantai U-kompleks, rantai U0

-kompleks, dan rantai U00

-kompleks.

Mis-p+1g sedemikian sehingga

Fp Gp =@p0+1Dp +Dp 1@p; Dp(Up) Up0+1

Akan dibuktikanF F0

'G0

G:C !C00

1. Akan dibuktikan F0

maka kondisi pertama pada De…nisi 4.13 terpenuhi.

2. Akan dibuktikan bahwa D00

p(Up) Up00+1. Perhatikan

)-pemetaan, maka berdasarkan De…nisi 4.6

G(Up) Up0 dan berdasarkan De…nisi 4.13 Dp(Up) Up0+1 sehingga

)-pemetaan, maka berdasarkan De…nisi

4.6 dan De…nisi 4.13

p+1 adalah modul sehingga U

00

p+1 submodul dari C

00

ter-tutup terhadap penjumlahan maka

B. Davvaz dan H. Shabani-Solt dalam [2] memaparkan fakta penting

men-genai rantai (U; U0

)-homotopi, sebagai berikut.

Teorema 4.16 ([2 , Teorema 2.10)]Jika dua rantai(U; U0

)-pemetaanF; G:C !

C0

adalah (U; U0

)-homotopi, maka Fp =Gp (Hp(F) = Hp(G)).

Bukti. Misalkan rantai (U; U0

)-pemetaan F; G : C ! C0

sehingga karenaIm@0

maka berdasarkan Teorema 2.3 didapat

)-ekivalensi jika terdapat rantai (U; U0

)-pemetaan

G: (C0

; U0

; @0

) ! (C; U; @) sedemikian sehingga F G 'IC dan GF ' IC0. Dua

rantai U-Kompleks dan U0

-kompleks disebut rantai (U; U0

)-ekivalen jika terdapat

rantai (U; U0

)-ekivalensi di antara mereka.

Cp+1

Akibat 4.18 ([2 , Akibat 2.12)]Jika rantai U-kompleks (C; U; @)dan rantai U0

-kompleks (C0

; U0

; @0

) adalah rantai (U; U0

)-ekivalen, maka untuk setiap p berlaku Hp(C; U; @) =Hp(C0; U0; @0).

Bukti. MisalkanF adalah rantai(U; U0

BAB 5

KESIMPULAN

5.1 Kesimpulan

Dari pembahasan diatas dapat disimpulkan sebagai berikut :

1. Rantai U-kompleks merupakan generalisasi dari rantai kompleks dengan

@n@n+1 = 0 dalam rantai kompleks, submodul trivial f0g diganti dengan

submodulUp 1 dari Cp 1 sehingga@p@p+1(Cp+1) Up 1 dan Im@p Up 1.

2. Rantai pemetaan yang mengaitkan antara rantai U-kompleks adalah rantai

(U; U0

)-kompleks dengan Fp(Up) U

0

p dan Fp 1@p =@

0

pFp: 3. Rantai (U; U0

)-homotopi adalah generalisasi dari rantai homotopi dengan

@0

p+1Dp+Dp 1@p =Fp Gp dimanafDpgrantai homotopi adalah homotopik nol. Sedangkan @0

p+1Dp +Dp 1@p = Fp Gp dengan fDpg rantai (U; U0) -homotopi denganDp(Up) U

0

p+1:

4. Relasi (U; U0

)-homotopi "'"adalah relasi ekuivalen.

5.2 Saran

Untuk penelitian selanjutnya dapat diteliti mengenai generalisasi kategori

DAFTAR PUSTAKA

[1] Abdusysyakir. 2007. Ketika Kyai Mengajar Matematika. Malang: UIN Press

[2] B.Davvaz and H.Shabani-Solt, A generalization of Homological Algebra,

J.Korean Math. Soc, 39(2002), 6, 881-898

[3] B.Davvaz dan Y.A Parnian - Gramaleky, A Note on Exact Sequence, Bull.

Malaysian Math. Soc. (2) 22 (1999); 53 56

[4] Charles A. Weabel, An Introduction to Homological Algebra, Departement

of Mathematic, Rutger University, Cambridge University Press, 1997.

[5] Hall F. M., An Introduction to Abstract Algebra, Head of the Mathematics

Faculty Shrewsbury School, Cambridge University Press, 1969.

[6] Howlet, Robert, An undergraduate course in, Abstract Algebra, London:

Springer Verlag, 1974:

[7] J. J. Rotman, An Introduction to Homological Algebra, Academic Press,

New York-London, 1979.

[8] Roman, Steven, Graduate Text in Mathemetics, Advance Linear Algebra,

London: Springer Verlag, 1992:

[9] Steven Roman, Advanced Linier Algebra, Third Edition, Prentice Hall, New

York-London, 2003.

[10] Tu, Loring W. (1982),Di¤erential Forms in Algebraic Topology, Berlin, New