ABSTRAK
ISOMORFISMEFAMILY HONEYCOMB TORI
TERHADAPGENERALIZED HONEYCOMB RECTANGULAR TORUS
Oleh
ANIKE NURJANNAH
Bentuk susunan hexagon secara alami dikenal sebagai pola sarang lebah (honeycomb) dan pola ini juga digunakan untuk mengembangkan kajian tentang honeycomb, salah satunya yaitu Honeycomb Mesh. Honeycomb Mesh dapat dikembangkan dengan dua cara, yaitu dengan penambahan penutup (Honeycomb Disk) dan penambahan wraparround edges (Honeycomb Tori). Pada penelitian ini, pembahasan akan dikhususkan pada Honeycomb Tori. Dengan pola penyusunan hexagon yang berbeda, terdapat tiga family Honeycomb Tori, yaitu Honeycomb Rectangular Torus (HReT ( , )), Honeycomb Rhombic Torus (HRoT ( , )), dan Honeycomb Hexagonal Torus (HT ( )). Tiga family Honeycomb Tori tersebut telah digeneralisasikan dalam Generalized Honeycomb Tori (GHT ( , , )). Penelitian ini bertujuan untuk membuktikan bentuk – bentuk tertentu dari GHT ( , , ) yang isomorfis terhadap masing – masing family Honeycomb Tori. Dari hasil penelitian diperoleh kesimpulan bahwa HReT ( , ) GHT ( , , 0), HRoT ( , ) GHT ( , , ( )), dan HT ( ) GHT ( , 6 , 3 ).
Judul Skripsi : ISOMORFISMEFAMILY HONEYCOMB TORI TERHADAPGENERALIZED HONEYCOMB RECTANGULAR TORUS
Nama Mahasiswa : Anike Nurjannah Nomor Pokok Mahasiswa : 0817031017
Jurusan : Matematika
Fakultas : Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
MENYETUJUI
1. Komisi Pembimbing
Dra. Wamiliana, M.A., Ph.D. Ahmad Faisol, S.Si., M.Sc. NIP. 19631108 198902 2 001 NIP. 19800206 200312 1 003
2. Mengetahui
Ketua Jurusan Matematika
MENGESAHKAN
1. Tim Penguji
Ketua : Dra. Wamiliana, M.A., Ph.D. ………
Sekretaris : Ahmad Faisol, M.Si., M.Sc. ………
Penguji
Bukan Pembimbing : Agus Sutrisno, S.Si., M.Si. ………
2. Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Prof. Suharso, Ph.D.
NIP. 19690530 199512 1 001
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan pada 09 September 1990 di Tanjung Karang, dan adalah anak kedua dari tiga bersaudara, dari pasangan Bapak Budianto dan Ibu Astuti.
Penulis memulai pendidikan dari TK Islam Ar-Rasyid Tanjungpinang pada tahun 1996. Kemudian pendidikan sekolah dasar diselesaikan di SD Negeri 023 Dompak Tanjungpinang pada tahun 2002, sekolah lanjutan tingkat menengah di SMP Negeri 2 Tanjungpinang pada tahun 2005, dan sekolah lanjutan tingkat atas di SMA Negeri 1 Tanjungpinang pada tahun 2008. Pada masa sekolah lanjutan tingkat atas penulis pernah mengikuti ajang Lomba Karya Tulis Ilmiah Sejarah Tingkat Daerah (LASEDA) di Tanjung Balai Karimun dan Lomba Karya Tulis Ilmiah Sejarah Tingkat Nasional (LASENAS) di Padang.
MOTTO
Dan apabila hamba-hambaKu bertanya kepadamu tentang Aku, maka
(jawablah) bahwasanya Aku adalah dekat, Aku mengabulkan permohonan
orang yang berdoa apabila ia memohon kepadaKu
(QS. Al-Baqarah : 186)
What s wrong with falling down? Because as long as I stand up again
it ll be just fine. People shouldn t dwell on the past, it s enough to try your
best in all you re doing now
(Ikeuchi Aya)
Jadilah pintar dan bahagia
PERSEMBAHAN
SANWACANA
Alhamdulillahi robbil ‘alamin, puji dan syukur penulis kepada Allah SWT atas
izin ridho-Nya dalam menyelesaikan skripsi ini. Shalawat juga salam atas Nabi Muhammad SAW, tuntunan dan tauladan utama.
Pada proses penyusunan skripsi ini, penulis memperoleh banyak dukungan, kritik, dan saran yang membangun sehingga skripsi ini mampu penulis selesaikan. Untuk itu penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada :
1. Ibu Dra. Wamiliana, M.A., Ph.D., selaku dosen pembimbing utama yang telah meluangkan waktu dari padatnya kesibukan beliau untuk membimbing dan mengoreksi, hingga skripsi ini selesai.
2. Bapak Ahmad Faisol, S.Si., M.Sc., selaku dosen pembimbing pembantu yang telah banyak membantu dan memberikan pengarahan dalam proses penyusunan skripsi ini.
3. Bapak Agus Sutrisno, S.Si., M.Si., selaku dosen penguji bukan pembimbing yang memberi penulis masukan dan saran.
4. Bapak Drs. Tiryono Ruby, M.Sc., Ph.D., selaku Ketua Jurusan Matematika FMIPA Universitas Lampung.
5. Ibu Dr. Ir. Netti Herawati, M.Sc., selaku pembimbing akademik.
x 7. Dosen, staf dan karyawan Jurusan Matematika FMIPA UNILA yang telah
memberikan ilmu pengetahuan dan bantuan kepada penulis.
8. Bapak, Ibu, Mbak Lili dan Pipin, yang telah memberikan dukungan secara finansial dan moril, mengirimkan doa, nasihat dan semangat yang sangat membantu selama penyusunan skripsi.
9. Keluarga besar Mbah dan Nyaik di Lampung dan juga keluarga besar di Yogyakarta untuk semangat yang dikirim lewat doa dan perhatian.
10. Ulan, Tika, Puput, Pipit, Yuli, untuk dukungan dari jauh. Diko, Agung, dan sepupu lainnya sebagai sarana belajar dan mawas diri.
11. Lita, Syaza, dan Oki, teman seperjuangan di PLN Metro, Bunda Mila, Diyah, Cil Tika, teman – teman pertama di Lampung, Ririn, Wo Lisa, Mami Lina, Bundo Mira, Ichi, Uni Isna, Ma’ruf, Nuy, Ivip, Rechan, Jihan, Eflin, Tiyas, dan teman – teman Exoters lainnya, terimakasih atas saran, dukungan dan semangat kebersamaannya.
12. Teman–teman Jurusan Matematika yang telah sama–sama tersesat di jalan yang benar, dan pengurus UKMF ROIS FMIPA dan HIMATIKA FMIPA atas ukhuwah yang terjalin.
13. Semua pihak yang telah membantu selama ini, yang tidak dapat disebutkan satu persatu.
Bandar Lampung, Agustus 2012 Penulis
I. PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Perkembangan pesat ilmu pengetahuan secara langsung akan berakibat terhadap perkembangan teknologi. Ilmu pengetahuan tentunya dapat diarahkan sesuai dengan kebutuhan pemecahan permasalahan masyarakat. Misalnya saja mengenai parkir kendaraan dalam bangunan bertingkat, pembangunan infrastruktur jalan maupun sistem keamanan kendaraan. Munculnya kebutuhan untuk menemukan suatu sistem keamanan dengan teknologi untuk dapat lebih menjamin rasa aman, memberikan jaminan perawatan infrastruktur dan efektivitas area. Satu solusi ditawarkan oleh sistem keamanan jaringan berbasis SCADA (Supervisory Control And Data Acquisition) yang dimodelkan dari Generalized Honeycomb Rectangular Torus. Jaringan ini mengembangkan sistem keamanan parkir kendaraan pada bangunan bertingkat.
2 Algorithms, memperkenalkan tiga jenis Honeycomb Tori sebagai pengembangan dari Honeycomb Mesh dan dinamakan dengan Honeycomb Rectangular Torus, Honeycomb Rhombic Torus dan Honeycomb Hexagonal Torus.
Dalam penelitian ini, akan didiskusikan tiga family Honeycomb Tori tersebut dan juga bentuk umumnya, Generalized Honeycomb Rectangular Torus. Kemudian, membuktikan isomorfisme antaraHoneycomb Rectangular Torus, Honeycomb Rhombic Torus dan Honeycomb Hexagonal Torus terhadap Generalized Honeycomb Rectangular Torus.
1.2 Batasan Masalah
Pada penelitian ini, permasalahan dibatasi pada dari Honeycomb Torisebagai pengembangan dari Honeycomb Mesh dengan penambahan wraparround edgedan pembuktikan isomorfisme family Honeycomb Tori, terhadap bentuk umumnya,Generalized Honeycomb Rectangular Torus(GHT ( , , )).
1.3 Tujuan Penelitian
3 1.4 Manfaat Penelitian
Beberapa manfaat yang dapat diperoleh dari penelitian ini adalah sebagai berikut :
1. Mengenal definisiHoneycomb Torisecara umum.
II. LANDASAN TEORI
Teori graf diperkenalkan oleh Leonard Euler pada tahun 1736 untuk menyelesaikan permasalahan jembatan Konisberg. Euler mengilustrasikan permasalahan tersebut dalam bentuk sketsa titik dan garis yang masing – masing merupakan representasi dari daratan dan jembatan. Secara informal berdasar pada ilustrasi yang dilakukan oleh Euler, graf merupakan kumpulan objek berhingga dari titik dan garis, dimana titik – titik tersebut dapat terhubung ataupun tidak, dihubungkan oleh garis yang berarah maupun tidak berarah, dan dapat pula terhubung dengan dirinya sendiri.
Menurut Vasudev (2006), suatu graf G merupakan himpunan dari = ( , , , ) yang disebut dengan vertex (atau titik) dan himpunan dari = ( , , , ) yang disebut dengan edge (atau garis) dan dapat dinotasikan dengan = ( , ). Graf yang terhubung dengan edge berarah disebut dengan directed graph atau graf berarah, sedangkan graf yang terhubung dengan edge tanpa arah disebut denganundirected graphatau graf tidak berarah.
5 Contoh :
Gambar 2.1 Graf-(5,8)
Setiap vertex pada graf dapat dihubungkan ke setiap vertex lainnya atau tidak dihubungkan sama sekali. Karena itu, masing – masing vertex akan mempunyai sejumlah edge tertentu yang menempel pada vertex tersebut. Definisi berikut adalah definisi tentangdegree.
Definisi 2.1Degree
6 Contoh :
Gambar 2.2 Degreepada graf
Berdasarkan gambar tersebut, dapat ditentukan jumlah degree dari setiap vertex sebagai berikut:
deg( ) = 6 deg( ) = 6 deg( ) = 4
deg( ) = 0 deg( ) = 1 deg( ) = 1
Jumlah degree pada suatu graf dapat digunakan untuk menentukan jumlah edge pada graf tersebut dengan menggunakan rumus umum berikut.
Misalkan , , , merupakan vertex pada suatu graf, dan merupakan jumlahedgepada graf tersebut, maka:
= 2 (2.1)
(Deo, 1989)
7 Definisi 2.2Adjacency
Vertex adjacent dengan vertex jika dihubungkan oleh edge yang sama. Dua vertexyangadjacent disebutneighboursatau bertetangga.Adjacency edge adalah duaedgeyang mempunyaiendpointyang sama.Isolated vertexmerupakanvertex yang tidak terhubung dengan vertex lainnya pada suatu graf dan mempunyai degreebernilai 0 (Gross dan Yellen, 2004).
Terdapat beberapa jenis graf, antara lain graf lengkap (complete graph), graf lingkaran (cycle graph), graf roda (wheels graph), graf teratur (regular graph), graf planar (planar graph), dan graf bipartite (bipartite graph).Honeycomb Mesh dan Honeycomb Tori merupakan contoh dari graf bipartite. Definisi dari graf bipartitediberikan sebagai berikut.
Definisi 2.3 GrafBipartite
Graf G dikatakan bipartite jika himpunan vertex dapat dibagi dalam dua himpunan bagian, misalkan dan , sedemikian sehingga = dan = , serta setiap edge di G menghubungkan satu vertex di ke satu vertexdi (Lipschutz and Lipson, 2002).
8 Gambar 2.3 Grafbipartite
GrafHoneycomb Torimerupakan grafbipartitekarena dapat dipisahkan menjadi dua himpunan yang disjoint, yaitu dengan mengelompokkannya berdasarkan warnavertexyang berbeda.
Honeycomb Meshadalah dasar yang digunakan untuk mengembangan duafamily Honeycomblainnya,Honeycomb DiskdanHoneycomb Tori. Secara singkat, Honeycomb DiskmerupakanHoneycomb Meshdengan penambahan penutup atau pembatas, sedangkanHoneycomb TorimerupakanHoneycomb Meshdengan penambahanwraparround edges.
Definisi 2.4Honeycomb Mesh
9 Gambar 2.4 Honeycomb Rectangular Mesh
10 Gambar 2.6 Honeycomb Hexagon Mesh
(Stojmenovic, 1997)
Honeycomb Tori sebagai pengembangan dari Honeycomb Mesh juga memiliki tiga family, yaitu Honeycomb Rectangular Torus (HReT ( , )), Honeycomb Rhombic Torus(HRoT( , )) danHoneycomb Hexagonal Torus(HT( )). Berikut diberikan definisi–definisi HReT ( , ), HRoT ( , ), dan HT ( ).
Definisi 2.5Honeycomb Rectangular Torus(HReT ( , ))
11 Disamping aturan penambahan wraparround edges, dalam pembentukan vertex juga diatur dengan pewarnaan. Digunakan dua warna untuk pewarnaan seluruh vertex, misalkan hitam dan putih. Aturan pewarnaan vertex yang digunakan adalah sebagai berikut.
Putih, jika + positifintegerdan genap ( , ) =
Hitam, selainnya (Stojmenovic, 1997)
Pewarnaan vertex pada family Honeycomb (Honeycomb Mesh, Honeycomb Disk danHoneycomb Tori) dapat digunakan untuk:
a. Memperlihatkan bahwa vertex akan saling adjacent antara dua vertex dengan warna yang berbeda (Stojmenovic, 1997).
b. Misalkan M( , ) merupakan graf pada Honeycomb Mesh. Jika , bernilai genap, maka M( , ) memiliki Hamiltonian path dengan menghubungkan vertex – vertex berwarna berbeda. Sedangkan jika , bernilai ganjil, maka M( , ) memiliki Hamiltonian path dengan menghubungkanvertex–vertexberwarna sama (Park, et al., 2004).
c. Memperlihatkan bahwa family Honeycomb merupakan graf bipartite dengan definisi himpunandisjointsebagai berikut.
12 Definisi vertex pada HReT ( , ) diberikan sebagai berikut, (HReT ( , )) = {( , )|0 < , 0 < }, dimana , positif integer dan genap. Dua vertex ( , )dan( , )dikatakanadjacentjika memenuhi salah satu syarat berikut:
a. = dan = + 1atau = 1(mod )
b. = dan = 1(mod ) jika + adalah genap (Hsu dan Lin, 2009)
13 Gambar 2.8 Penomoran dan penambahanwraparround edgespada
HReT (6,12)
14 HReT ( , ) direpresentasikan dalam sistem koordinat dua dimensi untuk menentukan dua vertex yang adjacent dengan titik pusat ( , ) = (0,0) berada pada vertexpertama sebelah kiri bawah. Pada gambar HReT (6,6) berikut, vertex (5,0) dan (5,1) adjacent dengan memenuhi syarat (a) sedangkan vertex (4,5) dan (5,5)adjacentdengan memenuhi syarat (b).
Gambar 2.10 Adjacencypada HReT (6,6)
Berdasarkan dua contoh HReT ( , ) yang telah digambarkan, dapat dihitung jumlahvertexdanedge, yaitu sebagai berikut:
a. HReT (6,12)
HReT (6,12) mempunyai sejumlah 72vertexdan 108edge. b. HReT (6.6)
HReT (6,6) mempunyai sejumlah 36vertexdan 54edge.
Untuk menentukan jumlah vertex, secara langsung dapat ditentukan dengan mengalikan dan dan diperoleh aturan berikut.
15 Definisi 2.6Honeycomb Rhombic Torus(HRoT ( , ))
Aturan penomoran edge dan pewarnaan vertex pada Honeycomb Rhombic Torus (HRoT ( , )) sama seperti pada Honeycomb Rectangular Torus (HReT ( , )). Sedangkan penomoran vertex pada HRoT ( , ) didefinisikan secara berbeda, yaitu (HRoT ( , )) = {( , )| 0 < , 0 1 < }, dimana , positifintegerdannbernilai genap. Duavertex( , )dan( , )dikatakanadjacent jika memenuhi salah satu dari syarat berikut:
a. = dan = + 1atau = 1(mod ) b. = dan = 1jika + adalah genap
c. = 0, = 1, dan = + jika adalah genap (Hsu dan Lin, 2009)
16 Gambar 2.12 Penomoran dan penambahanwraparround edgespada
HRoT (4,6)
Gambar 2.13Honeycomb Rhombic Tori(HRoT (4,6)) (Stojmenovic, 1997)
17 dan (3,3) adjacent dengan memenuhi syarat (b), dan (0,4) dan (3,8) adjacent dengan memenuhi syarat (c).
Gambar 2.14Adjacencypada HRoT (4,6)
Jumlah vertex pada HRoT (4,6) dapat ditentukan dengan mengalikan masing– masing nilai dan , sehingga diperoleh 24 vertex. Aturan berikut juga dapat digunakan untuk menentukan jumlahvertexpada HRoT ( , ) lainnya.
JumlahvertexHRoT ( , ) = (2.3)
Definisi 2.7Honeycomb Hexagonal Torus(HT ( ))
18 vertex hitam ke vertex putih mengikuti aturan vektor koordinat dengan nilai = (1, 0, 0), = (0, 1, 0), dan = (0, 0, 1), sedangkan bila sebaliknya
mengikuti aturan vektor koordinat dengan nilai = ( 1, 0, 0), = (0, 1, 0), dan = (0, 0, 1). Jika duavertexpadahexagonpusat, HT (3), untuk sumbu z adalah 1 dan 0, maka enam vertex pada sumbu z masing-masing akan bernilai = 2, = 1, = 0, = 1, = 2, dan = 3. Aturan ini juga berlaku untuk
sumbu dan sumbu . Seluruh koordinat vertex pada HT ( ) adalah integer (x, y, z), dimana + 1 , , (Stojmenovic, 1997).
Vertex pada HT ( ) didefinisikan dengan (HT ( )) = {( , , )| + 1 , , dan 1 + + 2}. Dua vertex ( , , ) dan ( , , ) dikatakanadjacentjika dan hanya jika:
| | + | | + | | = 1
Definisi himpunanwraparround edgeuntuk HT ( ) diberikan sebagai berikut. ( ( ) ) = ( , + 1, 1 ), ( , 1 , ) |1 }
(1 , , + 1), ( , , 1 ) |1
{ ( , 1 , + 1), ( , , 1 ) |1 }
19 Gambar 2.15 Honeycomb Hexagon Mesh(HHM (3))
20 Gambar 2.17 Honeycomb Hexagonal Torus(HT (3))
(Stojmenovic, 1997)
Berikut adalah contoh duavertexyangadjacentpada HT (3).
21 Syarat duavertex adjacentpada HT ( ) adalah :
| | + | | + | | = 1
Maka, duavertex(0, 3, -2) dan (0, 3, -1)adjacentkarena: |0 0| + |3 3| + | 2 ( 1)| = 1
Untuk menentukan jumlah vertex pada HT ( ), ilustrasi berikut memberikan aturan yang dapat digunakan.
HT (1) mempunyai 6vertex =6 1 HT (2) mempunyai 24vertex =6 2 HT (3) mempunyai 54vertex =6 3
Sehingga, berdasarkan contoh tersebut, diperoleh aturan untuk menentukan jumlahvertexpada HT ( ) yaitu.
Jumlahvertexpada HT ( ) =6 (2.4)
KetigaHoneycomb Toritersebut dapat digeneralisasikan pada suatu bentuk umum yang disebut dengan Generalized Honeycomb Tori. Berikut definisi dari bentuk umumfamily Honeycomb Tori.
Definisi 2.8Generalized Honeycomb Rectangular Torus(GHT (m,n,d))
22 dan dua vertex,( , )dan( , ), dikatakanadjacentjika memenuhi salah satu dari syarat berikut:
a. = dan = + 1atau = 1(modn) b. = dan = 1jika( + )adalah genap
[image:31.595.201.437.275.513.2]c. = 0, = 1, dan = + (modn) jika adalah genap (Hsu dan Lin, 2009)
Gambar 2.19 Generalized Honeycomb Rectangular Torus(GHT (5,6,1))
Pada gambar GHT (5,6,1) tersebut, vertex (4,0) dan (4,1) adjacent dengan memenuhi syarat (a),vertex(4,2) dan (3,2)adjacentdengan memenuhi syarat (b), danvertex(0,0) dan (4,1)adjacentdengan memenuhi syarat (c).
Jumlah vertex pada GHT ( , , ) dapat ditentukan dengan mengikuti aturan berikut.
23 Nilai tidak mempengaruhi dalam perhitungan jumlah vertex karena nilai mempengaruhi pada saat pembentukanwraparround edges.
Dua graf yang berbeda bentuk dapat dikatakan sama dengan memenuhi beberapa aturan atau jika ada fungsi yang mengantarkan bentuk satu graf ke bentuk yang lainnya. Kesamaan dua graf ini dinamakan dengan isomorfisme graf. Berikut diberikan definisi dari isomorfisme graf.
Definisi 2.9 Isomorfisme Graf
Isomorfisme dari G ke H adalah fungsi bijeksi ( ) ( ) dimana ( , ) ( ) jika dan hanya jika ( ( ), ( )) ( ). G isomorfis dengan H dilambangkan dengan . Jika G isomorfis dengan H dan H isomorfis dengan G, maka G dan H dikatakan saling isomorfis. Cara lain untuk menentukan keisomorfisan dua buah graf adalah dengan menentukan kesamaan jumlah vertex, kesamaan jumlahedgedan kesamaanadjacency(Hsu dan Lin, 2009).
Aturan lain yang dapat digunakan untuk menentukan isomorfisme diberikan oleh Deo (1989), yaitu jika dua graf tersebut memenuhi tiga hal berikut.
a. Memiliki jumlahvertexyang sama b. Memiliki jumlahedgeyang sama
V. KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan
Berikut adalah kesimpulan dari penelitian yang telah dilakukan, yaitu: 1. HReT ( ) isomorfis terhadap GHT ( ) untuk nilai ✁
✁ , dan ✁ ✂, dimana positifintegerdan genap.
2. HRoT ( ) isomorfis terhadap GHT ( ) untuk nilai d =(m(mod n)), dimana positifintegerdan bernilai genap. 3. HT (r) isomorfis terhadap GHT ( ), untuk nilai ✁ , ✁ ✄ ,
dan ✁ ☎ , dimana positifinteger.
5.2 Saran
Berikut adalah saran untuk penelitian selanjutnya, yaitu:
1. Menentukan bentuk-bentuk Hamiltonian Path (dengan pasangan berurut atau gambar) dari grafHoneycomb Meshdengan memanfaatkan pola pewarnaan dua warna padavertex.
DAFTAR PUSTAKA
Deo, N. 1989.Graph Theory with Applications to Engineering and Computer Science. Prentice Hall Inc, New York.
Gross, J.L., and Yellen, J. 2004.Graph Teory and Interconnection Network. CRC Press, New York.
Hsu, L.H., and Lin, C.K. 2009. Graph Theory and Interconnection Networks. Taylor & Francis Group, LLC, New York.
Lipschutz, S., and Lipson, M.L. 2002.Matematika Diskrit Jilid 2. Diterjemahkan oleh Tim Editor Salemba Teknika. Salemba Teknika, Jakarta.
Park, K. W., Lim, H.S., Park, J.H., and Kim, H.C. 2004.‘Fault Hamiltonicity of Meshes with Two Wraparround Edges’.Computing and Combinatorics Lecture Notes in Computer Science.
Stojmenovic, I. 1997.‘Honeycomb Networks: Topological Properties and Communication Algorithms’.IEEE Transactions on Parallel and Distributed Systems.8,1039-1042.
Teng, Y.H., Tan, J.J.M., and Hsu, L.H. 2007.‘The Globally Bi-3*-Connected Property of The Honeycomb Rectangular Torus’. Information Sciences, www.elsevier.com.
