Penentuan Angka Harapan Hidup

AFNI SULISTIANI

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

Skripsi

Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar

Sarjana Sains pada

Departemen Matematika

AFNI SULISTIANI

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

NIM

:

G 54103045

Menyetujui :

Pembimbing I

Dr. Ir. Siswadi, M.Sc.

NIP 130 938 651

Pembimbing II

Dr. Ir. Hadi Sumarno, MS.

NIP 131 430 804

Mengetahui :

Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Institut Pertanian Bogor

Prof. Dr. Ir. Yonny Koesmaryono, MS.

NIP 131 473 999

Demografi adalah ilmu yang mempelajari secara ilmiah tentang populasi manusia, terutama yang berhubungan dengan umur, struktur dan perkembangannya. Salah satu komponen utama demografi yang berpengaruh terhadap struktur dan jumlah penduduk adalah kematian. Angka Harapan Hidup (AHH) merupakan indikator kematian yang umum dipakai. Terdapat empat macam AHH yaitu AHH periode, AHH kohort, The Cross-Sectional Average Length of Life (CAL)

dan Rata-rata AHH Kohort (RAK). Dengan menggunakan data angka kematian Amerika Serikat

1901-1991 diperoleh bahwa laju kematian sesaat , di mana a adalah umur dan t adalah

tahun, merupakan fungsi yang paling menggambarkan angka kematian Amerika Serikat. Fungsi tersebut digunakan untuk menghitung ke empat AHH tahun 1901-1991 dan dapat memprediksi AHH beberapa tahun ke depan. RAK adalah indikator yang baik digunakan untuk menghitung AHH dibandingkan dengan AHH periode dan CAL. RAK [ ] dan AHH kohort [ ]

dapat diduga melalui AHH periode [ ] dengan persamaan

dan 2

( , )a t exp( 5.3377 0.0016a 0.0006a 0.0164 )t

µ = − − + −

( )

RAK t ec(0, )t

(0, )

p

e t

( ) 1.7526 1.0765 p(0, )

Demography is the scientific study of human populations, primarily with respect to their size, structure, and development. One of the prime demography components which influential to population structure and size is mortality. Life Expectancy (LE) is generally used as indicator of mortality. There are four kinds of LE i.e. period LE, cohort LE, TheCross-Sectional Average Length of Life (CAL) and Average Cohort LE (ACLE). By using data of United States mortality in 1901-1991 we found that the force of mortality

where is age and t is time, is the best function for describing mortality rate in United States. That function is used to calculate the four kinds of LE in years 1901-1991 and predict LE in the future. ACLE is a good indicator for calculating LE compared to period LE and CAL. ACLE [

2

( , )a t exp( 5.3377 0.0016a 0.0006a 0.0164 )t

µ = − − + − a

( )

ACLE t ] and cohort LE [ ] can be estimated by using period LE [ ] with equation

(0, )

c

e t

(0, )

p

e t ACLE t( )= −1.7526 1.0765+ ep(0, )t and .

(0, ) 8.0697 1.0789 (0, )

c p

Pendidikan formal yang ditempuh penulis yaitu di SDN 05 Pagi Jakarta lulus pada tahun 1997, SLTPN 223 Jakarta lulus pada tahun 2000, SMUN 39 Jakarta lulus pada tahun 2003 dan pada tahun yang sama penulis diterima di Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Pertanian Bogor, melalui jalur SPMB (Seleksi Penerimaan Mahasiswa Baru).

Harapan Hidup. Skripsi ini merupakan syarat untuk menyelesaikan studi pada Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Pertanian Bogor.

Terima kasih penulis ucapkan kepada :

ƒ Bapak Dr. Ir. Siswadi, M.Sc. dan Bapak Dr. Ir. Hadi Sumarno, MS. selaku dosen pembimbing yang telah memberi bimbingan, masukan, dorongan, nasihat serta segala bantuan sehingga tugas akhir ini dapat terselesaikan.

ƒ Ayah, ibu, kakak dan adik yang selalu memberi kasih sayang, perhatian dan dukungan moril atau materi.

ƒ Seseorang yang selalu memberikan inspirasi, semangat, doa, kasih sayang, perhatian, dukungan moril atau materi dan bantuan yang tidak pernah putus.

ƒ Semua staf dosen pengajar Departemen Matematika yang telah memberikan ilmu yang bermanfaat selama menuntut ilmu di Departemen Matematika.

ƒ Orang tua kedua di Bogor yang memberikan perhatian dan kegembiraan.

ƒ Sahabat yang selalu memberi kebahagiaan, semangat, tantangan, perhatian, dan bantuan. ƒ Sahabat dan teman seperjuangan Matematika ’40 yang tidak bisa disebutkan satu persatu.

Terima kasih atas segala persahabatan yang telah kita jalin selama empat tahun ini dan mohon maaf apabila ada kesalahan yang disengaja ataupun tidak disengaja serta terima kasih atas segalanya.

Penulis menyadari bahwa tulisan ini masih jauh dari kesempurnaan dan penulis sangat menghargai segala saran dan kritik yang membangun dari pembaca. Penulis juga mengharapkan tulisan ini dapat bermanfaat bagi semua pihak yang memerlukan. Terima kasih.

Bogor, Agustus 2007

DAFTAR ISI ... i

DAFTAR TABEL ... ii

DAFTAR GAMBAR ... iii

DAFTAR LAMPIRAN ... iv

I. PENDAHULUAN A. Latar Belakang ... 1

B. Tujuan ... 1

C. Bahan dan Metode ... 1

II. DEFINISI DAN NOTASI ... 1

III. MODEL DAN KARAKTERISTIKNYA A. AHH Kohort ... 5

B. AHH Periode ... 5

C. CAL ... 5

D. RAK ... 6

IV. PENERAPAN MODEL A. Penentuan Laju Kematian Sesaat ... 8

B. Penentuan Angka Harapan Hidup ... 10

V. KESIMPULAN... 15

VI. DAFTAR PUSTAKA... 16

DAFTAR TABEL

Halaman

Tabel 1 Nilai AHH periode, AHH kohort, CAL dan RAK tahun 1901-1991 ... 13

Tabel 2 Nilai prediksi AHH periode, AHH kohort, CAL dan RAK AS ... 13

Tabel 3 Pendekatan empirik untuk AHH periode ... 14

DAFTAR GAMBAR

Halaman

Gambar 1 Daerah angka kematian yang digunakan dalam perhitungan AHH periode, AHH

kohort, dan CAL ... 6

Gambar 2 Daerah Angka Kematian RAK ... 7

Gambar 3 Laju kematian sesaat AS per umur per tahun dari 1901 sampai 1991... 8

Gambar 4 Kurva µ( , )a t Model I ... 9

Gambar 5 Kurva µ( , )a t Model II ... 9

Gambar 6 Kurva gabungan untuk t=0 ... 9

Gambar 7 Kurva gabungan untuk t=30... 9

Gambar 8 Kurva gabungan untuk t=60 ... 10

Gambar 9 Kurva gabungan untuk t=90... 10

DAFTAR LAMPIRAN

Halaman

Lampiran 1 Tabel 4 Nilai µ( , )a t AS per umur per tahun 1901-1991 dan µ( , )a t Model II .. 18

Lampiran 2 Pembuktian _{t x t x x t}

t

p

p

µ

₊

∂

= −

∂

... 20

Lampiran 3 Pembuktian f t( )=tpxµx t+ adalah fkp ... 21

Lampiran 4 Pembuktian 0 ... 22

0

exp[ ]

x

x = −

∫

µ dy

A A y

PENDAHULUAN

Latar Belakang

Demografi adalah kajian mengenai kependudukan yang menyangkut berbagai faktor seperti jumlah, struktur usia, kepadatan, kelahiran, kematian, pertumbuhan, serta variabel sosial dan ekonomi. Komponen utama demografi yang berpengaruh terhadap struktur dan jumlah penduduk adalah fertilitas (kelahiran), mortalitas (kematian), dan migrasi (perpindahan penduduk).

Mortalitas atau kematian dapat menimpa siapa saja, tua, muda, kapan, dan di mana saja. Kasus kematian terutama dalam jumlah banyak berkaitan dengan masalah sosial, ekonomi, adat istiadat maupun masalah kesehatan lingkungan. Tinggi rendahnya kematian diukur menggunakan indikator. Indikator ini berguna untuk memonitor kinerja pemerintah pusat maupun lokal dalam peningkatan kesejahteraan masyarakat. Indikator kematian yang umum dipakai adalah angka kematian kasar, angka kematian bayi, angka kematian balita, angka kematian anak, angka kematian ibu, dan angka harapan hidup.

Angka Harapan Hidup (AHH) pada suatu umur tertentu didefinisikan sebagai rata-rata tahun hidup yang akan dijalani oleh seseorang yang telah berhasil mencapai umur tersebut dalam situasi kematian yang berlaku di lingkungan masyarakatnya. Semakin tinggi kematian maka semakin rendah AHH. AHH dapat digunakan sebagai indikator pembangunan ekonomi. Semakin baik pembangunan ekonomi di suatu wilayah, maka semakin tinggi AHH.

AHH yang biasa dikenal adalah AHH periode dan AHH kohort. Nilai AHH periode bervariasi karena perubahan angka kematian. Sedangkan AHH kohort tidak dihitung sesering AHH periode karena untuk menghitung AHH kohort diperlukan data dalam jangka waktu bertahun-tahun hingga kohort melengkapi kematiannya. Kemudian

tahun 1986, Brouard memperkenalkan The Cross-sectional Average Length of Life (CAL)

sebagai indikator kematian alternatif. CAL

melengkapi AHH kohort atau AHH periode. Tetapi CAL tidak menyertakan kematian setelah periode tertentu. Sembilan tahun kemudian, Schoen dan Canudas-Romo memperkenalkan indikator kematian yang baru yaitu Rata-rata AHH Kohort (RAK). Indikator ini diharapkan dapat memberikan gambaran terbaik dari AHH.

Tujuan

Penulisan karya ilmiah ini bertujuan untuk mencari persamaan yang menggambarkan laju kematian sesaat, kemudian menghitung AHH periode, AHH kohort, CAL dan RAK dengan menggunakan persamaan tersebut.

Bahan dan Metode

Data yang digunakan adalah data angka kematian Amerika Serikat (AS) tahun 1901-1991

(WWW.demog.berkeley.edu/~bmd/states.html) Untuk mendapatkan laju kematian sesaat yang sesuai dengan data AS yang pertama dilakukan adalah mencoba beberapa model yang diperkirakan dapat merepresentasikan data tersebut. Kebermaknaan (significancy) dugaan parameter dalam model dan koefisien determinasi (yang disesuaikan banyaknya parameter) akan digunakan dalam pemilihan. Kemudian model terpilih tersebut akan digunakan untuk menghitung AHH periode, AHH kohort, CAL dan RAK. Untuk menunjukkan bahwa model terpilih tersebut menyesuaikan data dengan baik, diberikan nilai AHH periode dari pendekatan empirik. Selanjutnya dihitung Proportionate Error

(PE) sebagai ukuran kecocokan data dengan model.

DEFINISI DAN NOTASI

Definisi 1 Penduduk [Population]

Penduduk adalah jumlah orang yang mendiami suatu daerah pada waktu tertentu.

(Wirosuhardjo, 1980)

Definisi 2 Kelahiran Hidup [Birth Life]

Kelahiran hidup adalah peristiwa keluarnya bayi dari rahim ibunya, tanpa memperdulikan lama kehamilan, dan setelah

itu bayi bernafas atau menunjukkan tanda-tanda kehidupan yang lain seperti detak jantung, denyut nadi atau gerakan nyata yang disengaja, baik bila tali pusat dipotong atau masih melekat dengan plasenta.

Definisi 3 Kematian [Mortality]

Kematian adalah hilangnya semua tanda-tanda kehidupan secara permanen yang dapat terjadi setiap saat setelah kelahiran hidup.

(Wirosuhardjo, 1980)

Definisi 4 Dinamika Penduduk [Population

Dynamics]

Dinamika penduduk adalah proses perubahan secara terus menerus yang mempengaruhi penduduk seperti kelahiran, kematian dan perpindahan penduduk.

(Wirosuhardjo, 1980)

Definisi 5 Angka Pertumbuhan Penduduk

[Population Growth Rate]

Angka pertumbuhan penduduk adalah angka yang menunjukkan peningkatan atau penurunan jumlah penduduk suatu daerah dari waktu ke waktu. Dalam angka ini semua konponen yang berhubungan dengan pertumbuhan penduduk seperti kelahiran, kematian dan migrasi diperhitungkan.

Angka pertumbuhan penduduk yang minus berarti jumlah penduduk yang ada pada suatu daerah mengalami penurunan yang bisa disebabkan oleh banyak hal. Pertumbuhan penduduk meningkat jika jumlah kelahiran dan perpindahan penduduk dari luar ke dalam lebih besar dari jumlah kematian dan perpindahan penduduk dari dalam ke luar.

(www.organisasi.org, 9 Agustus 2006)

Definisi 6 Umur Tepat [Exact Age]

Umur tepat adalah umur yang dihitung pada saat hari ulang tahun seseorang.

(Wirosuhardjo, 1980)

Definisi 7 Angka Kematian Menurut Umur

[Age Spesific Death Rate]

Angka kematian menurut umur adalah jumlah kematian menurut kelompok umur tertentu dibagi jumlah penduduk dalam kelompok umur yang sama.

(Wirosuhardjo, 1980)

Definisi 8 Kohort [Cohort]

Kohort adalah sekelompok orang yang mempunyai pengalaman waktu yang sama (biasanya satu tahun) dari suatu peristiwa tertentu.

(Utomo, 1985)

Definisi 9 Periode [Period]

Periode adalah mengenai peristiwa yang terjadi pada sebagian penduduk atau keseluruhan selama satu waktu tertentu.

Misalnya angka kematian seluruh penduduk Indonesia dalam tahun 1990.

(Utomo, 1985)

Definisi 10 Kohort Kelahiran [Birth Cohort]

Kohort kelahiran adalah banyaknya kelahiran hidup yang terjadi dalam suatu periode tertentu.

(Wirosuhardjo, 1980)

Definisi 11 Angka Tahunan [Annual Rate]

Angka tahunan adalah periode dalam waktu 12 bulan.

(Wirosuhardjo, 1980)

Definisi 12 Bertahan Hidup [Survival]

Bertahan hidup adalah suatu kondisi terutama di mana seorang individu atau suatu kelompok tetap hidup setelah interval waktu yang ditentukan.

(Shrestha, 2006)

Definisi 13 Tabel Hayat [Life Table]

Tabel hayat adalah tabel yang menggambarkan ketahanan hidup dari kelahiran hidup.

(Brown, 1997)

Definisi 14 Angka Harapan Hidup [Life

Expectancy]

Angka harapan hidup pada suatu umur tertentu didefinisikan sebagai rata-rata tahun hidup yang akan dijalani oleh seseorang yang telah berhasil mencapai umur tersebut dalam situasi kematian yang berlaku di lingkungan masyarakatnya.

(Utomo, 1985)

Definisi 15 Umur Panjang [Longevity]

Umur panjang adalah lamanya hidup. “Rata-rata umur panjang” biasanya berkenaan dengan AHH.

(Shrestha, 2006)

Definisi 16 Notasi dan Rumus Satu variabel

• x adalah umur.

• _{Ax n+} adalah banyaknya orang yang bertahan hidup hingga umur x+n.

• adalah banyaknya orang yang meninggal antara umur

ndx

x dan x+n. • adalah peluang bertahan hidup dari

umur

tpx

x hingga x t+ .

• _nq_x adalah peluang seseorang berumur x

• adalah banyaknya tahun hidup yang dijalani antara umur

nLx

x dan x+n oleh penduduk berumur x.

• T_x adalah total waktu yang dijalani penduduk berumur x sampai akhir hayatnya.

• e_x adalah AHH umur x.

ndx =Ax−Ax n+

x t

t x

x

p =A +

A n x n x x d q = A x n

n x s

x

L d

+

=

∫

_A s

x x x d m L =

x y s

y x x

T L

∞ ∞

=

=

∑

=

∫

A ds

x x L T ∞ = x x x T e = A

untuk , notasi selanjutnya dapat ditulis sebagai berikut :

1

n=

x

d , p_x, q_x, dan L_x.

Dua variabel

• a adalah umur. • t adalah tahun.

• adalah banyaknya orang yang bertahan hidup hingga tepat berumur pada tahun t.

( , )a t

A

a

• adalah banyaknya orang yang meninggal antara umur dan

( , )

nd a t

a a+n pada tahun . t

• adalah peluang bertahan hidup dari umur pada tahun t hingga

( , )

np a t

a a+n.

• adalah peluang seseorang

berumur tepat tahun pada tahun meninggal sebelum mencapai

( , )

nq a t

a t

a+n. • adalah angka kematian umur

tahun . ( , )

m a t a

t

• adalah tahun hidup yang dijalani antara umur dan a oleh penduduk berumur pada tahun t.

( , )

nL a t

a +n

a

• adalah total waktu yang dijalani penduduk berumur pada tahun sampai akhir hayatnya.

( , )

T a t

a t

• adalah AHH umur pada tahun .

( , )

e a t a

t

( , ) ( , )

( , )

d a t m a t

L a t

=

( , ) ( , ) ( , )

nd a t =A a t −Aa+n t

( , ) ( , )

( , )

n n

d a t q a t

a t = A ( , ) ( , ) a n n a

L a t s t ds +

=

∫

_A

( , ) n ( , ) ( , )

y a a

T a t L y t s t ds ∞ ∞

=

=

∑

=

∫

_A

( , ) ( , )

( , )

T a t e a t

a t

=

A

untuk n=1, notasi selanjutnya dapat ditulis sebagai berikut :

( , )

d a t , q a t( , ), dan L a t( , ).

(Brown, 1997)

Definisi 17 Laju Kematian Sesaat [The

Force of Mortality]

Diketahui d_x=A_x−A_x+1 dan x x

x

d q =

A dari definisi sebelumnya untuk , sehingga dapat ditulis :

1

n=

1

x x x x x

q A =d =A −A + , jika ukuran ini

dipengaruhi oleh suatu periode waktu yang singkat, sepanjang ∆t, maka rumusnya akan menjadi :

*

x x t x x x

q A ∆ =t ∆d =A −A +∆t

atau

*

.

x x t

x x q t +∆ − = ∆ A A A

di mana *

x

q menotasikan angka kematian yang berlaku yang didasarkan pada aktivitas kematian dalam interval kecil dari x ke

x+∆t. Jika kemudian kita limitkan persamaan di atas dengan , kita mempunyai suatu ukuran yang dinamakan laju kematian sesaat (dinotasikan

0

t

∆ →

x

µ ), yaitu

0

lim .

x x t

x _t x t µ +∆ ∆ → − = ∆ A A A didefinisikan bahwa 0

lim x t x x

t _t D

+∆ ∆ →

− = ∆

A A _A

(turunan dari Ax), sehingga diperoleh

x x

x

D

µ =− A

A

untuk dua variabel : ( , )a t

µ = −Dln ( , )Aa t

( , )a t

µ adalah laju kematian sesaat umur tahun .

a t

(Brown, 1997)

Definisi 18 Erfi (z)

Didefinisikan fungsi galat Erf (z) adalah

Erf (z) 2 0

2 z t

e dt

π

−

=

∫

Sehingga Erfi (z) adalah fungsi galat imajiner dengan rumus :

Erfi (z)= Erf (iz)/i

(Mathematica, 2005)

MODEL DAN KARAKTERISTIKNYA

Angka Harapan Hidup (AHH) pada suatu

umur tertentu didefinisikan sebagai rata-rata tahun hidup yang akan dijalani oleh seseorang yang telah berhasil mencapai umur tersebut dalam situasi kematian yang berlaku di lingkungan masyarakatnya. AHH waktu lahir misalnya, merupakan rata-rata tahun hidup yang akan dijalani oleh bayi yang baru lahir. AHH umur lima tahun berarti rata-rata tahun hidup yang akan dijalani oleh mereka yang telah mencapai umur lima tahun. AHH pada suatu umur merupakan indikator yang baik untuk menunjukkan tingkat sosial ekonomi secara umum.

AHH umur x yang dinotasikan dengan ex

menyatakan rata-rata waktu yang akan dijalani setelah umur x. Secara khusus AHH didefinisikan sebagai total waktu yang dijalani banyaknya orang yang bertahan hidup dari umur x sampai akhir hayatnya dibagi dengan jumlah orang yang bertahan hidup hingga umur x.

x

L didefinisikan sebagai banyaknya tahun hidup yang dijalani antara umur x dan x+1 oleh Ax. Sebagai kemungkinan lain Lx dapat

didefinisikan sebagai rata-rata banyaknya orang yang masih hidup antara umur x dan

1 +

x , di mana diberikan nilai rata-rata Ax t+

dari t=0 sampai dengan t=1. Sehingga Lx

dapat ditulis

1

0

x x t

L =

∫

A ₊dt

sebagai hubungan yang tepat antara Lx dan

x

A , di mana Ax diasumsikan kontinu dan nilai

integralnya diasumsikan ada. Kemudian apabila diberikan x y y x T ∞ =

=

∑

L

dt

akan diperoleh :

0

x x t

T ∞

+

=

∫

_A

Sehingga AHH dapat ditulis sebagai

0 x t x x dt e ∞ + =

∫

A A

Ekspresi ex dapat diperoleh dengan

menggunakan beberapa pendekatan yang berhubungan dengan statistik. Harapan waktu hidup yang akan dijalani orang yang berumur

x dinotasikan dengan ex, dan adalah

variabel acak untuk waktu hidup yang akan dijalani, kemudian

T

x

e adalah nilai harapan dari

T

, dinotasikan Ε( )T . Diketahui bahwa

( ) t x x t

f t = p µ₊ (Bukti di Lampiran 3) adalah fungsi kepekatan peluang dari

T

, sehingga nilai harapan dari

T

diberikan oleh :

0 0 [ ] ( ) µ ∞ ∞ + = =

∫

=

∫

x t

e E T tf t dt t px x tdt

dengan menggunakan :

t x t x x t

t

p pµ₊

∂

= −

∂

(Bukti di Lampiran 2) akan diperoleh :

0 0 0 | µ ∞ _∞ ∞ + = − + =

∫

t pt x x tdt t pt x

∫

tp dtx tp dtx

0 ∞

∫

Sehingga ex dapat ditulis sebagai

0

0 0

x t x t

x _{t x}

x x

dt

e p dt dt

∞ + ∞ ∞ + =

∫

=

∫

=

∫

A A A A

Dengan demikian dapat pula dirumuskan ragam dari

T

yaitu :

2 2

0

( ) t x x t ( )x

Var T t pµ dt e ∞

+

=

∫

− , dengan

2 2

( ) [ ] ( [ ])

Sebelum memperkenalkan ukuran baru, akan dibahas indikator yang ada terlebih dahulu.

Indikator Kematian

AHH Kohort

AHH kohort adalah AHH yang menggunakan angka kematian bukan dari satu tahun, tetapi dari serangkaian tahun di mana individunya akan mencapai umur tertinggi. AHH kohort mewakili satu kohort. AHH kohort pada kelahiran pada waktu dirumuskan oleh :

t

0

( , ) (0, )

(0, )

(0, ) (0, )

c c

c

c c

a t da T t e t t t ω = =

∫

A A A

Anggap Ac(0, )t =1, sehingga dapat dilihat bahwa adalah peluang bertahan hidup dari lahir hingga umur a untuk kohort kelahiran pada waktu dan

( , )

c a t

A

t ω adalah umur tertinggi yang dicapai.

Dengan menggunakan rumus :

0 0

exp[ µ ]

= −

∫

A A

x

x ydy

(Bukti di Lampiran 4) akan diperoleh :

( , )

c a t

A

0

(0, ) exp[ µ( , ) ] =_Ac t −

∫

a x t+x dx

0

exp[ µ( , ) ] = −

∫

a x t+x dx

Simbol c dalam persamaan di atas digunakan untuk menandai AHH kohort. Pada teks lainnya, simbol p digunakan untuk mengindentifikasi AHH periode.

AHH kohort mencerminkan kejadian nyata dari masing-masing individu. Meskipun dikatakan lebih baik untuk kenyataan, AHH kohort tidak dihitung sesering AHH periode karena untuk menghitung AHH kohort diperlukan data dalam jangka waktu bertahun-tahun lamanya hingga kohort melengkapi kematiannya. Selain itu, perusahaan asuransi jarang menggunakan indikator ini karena asuransi perlu mencari informasi dalam waktu yang singkat mengenai AHH seseorang. Di samping itu, AHH kohort tidak mendefinisikan secara tepat pertumbuhan penduduk karena angka pertumbuhan penduduk dipengaruhi oleh banyaknya kohort, dan perbandingan dari satu kohort kurang dapat menggambarkan dinamika penduduk seluruhnya. AHH kohort pada kelahiran pada waktu t−a dirumuskan oleh :

0

( , ) (0, )

(0, )

(0, ) (0, )

c c

c

c c

x t a dx T t a

e t a

t a t a

ω − − − = = − −

∫

A A A

dengan Ac( ,a t−a) adalah peluang bertahan hidup dari lahir hingga umur untuk kohort kelahiran pada waktu dengan

a

−

t a

(0, − )=1

Ac t a .

AHH Periode

AHH periode adalah AHH pada tahun yang diberikan menggunakan angka kematian sebenarnya atau harapan pada setiap umur untuk tahun tersebut. AHH periode pada kelahiran pada waktu dapat diekspresikan sebagai : t 0 ( , ) (0, ) (0, )

(0, ) (0, )

p p

p

p p

a t da

T t e t t t ω = =

∫

A A A

dengan (0, )Ap t =1, sehingga adalah peluang bertahan hidup dari lahir hingga umur

. Peluang ini dirumuskan sebagai : ( , )

p a t

A

a

( , ) Ap a t

0

(0, ) exp[ µ( , ) ] =_Ap t −

∫

a x t dx

0

exp[ µ( , ) ]

= −

∫

a

x t dx

AHH periode menyediakan metode untuk meringkas kondisi sekarang ini karena data yang diperlukan tersedia dengan waktu yang tidak terlalu lama. Akan tetapi, AHH periode bervariasi karena angka kematian berubah dari waktu ke waktu.

CAL

The Cross-Sectional Average Length of Life (CAL) adalah gabungan dari bermacam-macam kejadian kohort dalam suatu model sewaktu atau ukuran kematian yang menunjuk kepada satu periode dalam asumsi suatu penduduk mempunyai angka kelahiran konstan, tetapi kematian bervariasi pada setiap umur dan waktu. Indikator ini melengkapi AHH periode dan AHH kohort. CAL pada kelahiran pada waktu t dirumuskan sebagai berikut :

0

( , ) (0, )

( )

(0, ) (0, )

c cal

c c

a t a da

T t a

CAL t

t a t a

ω − − = = − −

∫

A A A

dengan Ac( ,a t−a) adalah peluang bertahan hidup dari lahir hingga umur untuk kohort kelahiran pada waktu dengan

a

−

(0, − )=1

Ac t a . Peluang Ac( ,a t−a) dapat dirumuskan sebagai :

( , − )

Ac a t a

0

(0, ) exp[ ( , ) ]

a

c t a µ x t a x dx

=_A − −

∫

− +

0

exp[ µ( , ) ] = −

∫

a x t− +a x dx

CAL menggabungkan kematian masa lalu dengan kematian sekarang dari semua kohort.

Secara umum, CAL lebih rendah dari AHH periode karena beberapa kematian populasi seumur pada masa lalu biasanya lebih besar dibanding kematian masa kini pada waktu t. Sehingga peluang bertahan hidup untuk menghasilkan CAL lebih rendah daripada AHH periode. CAL juga tidak menyertakan kematian setelah periode tertentu.

AHH Periode

Gambar 1 Daerah angka kematian yang digunakan dalam perhitungan AHH periode, AHH kohort, dan CAL.

(Guillot 2003)

Gambar 1 menunjukkan daerah angka kematian yang digunakan dalam perhitungan AHH periode pada kelahiran pada waktu

[ ], AHH kohort pada kelahiran pada

waktu [ ] , dan The Cross-Sectional Average Length of Life (CAL) pada waktu

[ ].

t

(0, )

p

e

t

t

e

c

(0, )

t

t

( )

CAL t

RAK : Indikator Kematian Baru

Pada tahun 2005, Schoen dan Canudas-Romo memperkenalkan indikator kematian baru yang mencakup rata-rata AHH dari kohort yang hidup pada waktu yang diberikan. Pendekatan secara langsung : Schoen dan Canudas-Romo merinci rata-rata terboboti dari AHH kohort dengan kohort kelahiran

[ ]. Bobot diperlukan karena tidak beralasan untuk memberikan tekanan yang sama antara anggota populasi yang baru lahir dan anggota populasi masing-masing umur yang bertahan hidup hingga umur tinggi. Pada setiap umur, bobot yang diajukan adalah peluang bertahan hidup sebenarnya dari umur

tersebut, yaitu . Misalkan

−

t a ec(0,t−a)

( , )

c a t−a

A

( )

RAK t

menandai rata-rata AHH kohort pada kelahiran pada waktu t dan dirumuskan sebagai berikut :

( )

RAK t 0

0

(0, ) ( ,

) a a d − − ) ( , c c c

e t a t a da

a t a

ω ω = −

∫

∫

A A 0

(0, ) ( , )

( )

c c

e t a a t a da

CAL t ω − − =

∫

A 0

(0, ) ( , )

c CAL

e t a C a t a da

ω

=

∫

− −

di mana CCAL( ,a t−a) adalah distribusi kepadatan dari peluang bertahan hidup kohort,

( , )

( , )

( )

c CAL

a t a C a t a

CAL t

−

− =A .

Nilai dari

RAK t

( )

adalah rata-rata dari AHH kohort dalam tahun yang diboboti oleh peluang bertahan hidup sebenarnya dari umur tertentu. Untuk mencari RAK,

t

Umur (a) AHH Kohort

( , )a t

µ

CAL

diperlukan AHH dari semua kohort, data ini tidak tersedia dengan cepat karena perlu menunggu kohort untuk melengkapi kematiannya. Sekalipun begitu, data kohort yang diperlukan tidak dapat dihindari lagi, karena ukuran yang dimaksud digunakan untuk menentukan rata-rata AHH.

RAK menyediakan ukuran yang tepat dan jelas secara konsep karena didasarkan dari

AHH kohort. Gambar di bawah ini menunjukkan daerah angka kematian yang digunakan dalam perhitungan rata-rata AHH kohort pada waktu [t

RAK t

( )

] .

AHH Kohort U

Gambar 2 Daerah angka kematian RAK.

RAK mur (a)

Waktu (t) ( , )a t

PENERAPAN MODEL

Penentuan Laju Kematian Sesaat

Laju kematian sesaat umur x (µx)

diperoleh dari data angka kematian umur x ( ) dengan menggunakan asumsi laju kematian sesaat adalah konstan (

x m

x

µ =µ). Sehingga dapat dibuktikan bahwa mx=µx.

Bukti :

Apabila diketahui _x x

x d m

L

= dan

(Lampiran 3) maka

diperoleh : 1

0

x x t x t

d =

∫

A +µ +dt

x m x x d L = 1 0 1 0

x t x t

x t dt dt µ + + + =

∫

∫

A A 1 0 1 0 x t x t dt dt µ + + =

∫

∫

A A 1 0 1 0 x t x t dt dt µ ₊ + =

∫

∫

A A µ = x x

m = =µ µ

Terbukti.

Berdasarkan asumsi di atas kurva laju kematian sesaat AS diberikan pada Gambar 3.

0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00 1,20 1,40

0 1 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 105

Umur L aju Ke ma tia n Se sa at

1901 1911 1921 1931 1941 1951 1961 1971 1981 1991

Gambar 3 Laju kematian sesaat AS per umur per tahun dari 1901 sampai 1991

Kurva ini menggambarkan laju kematian sesaat AS per umur per tahun yang dinotasikan dengan µ( , )a t antara tahun 1901 sampai 1991. Berdasarkan kurva di atas pada tahun t selang umur 0-5 tahun µ( , )a t

mengalami penurunan. Hal ini dikarenakan tingginya angka kematian anak di bawah lima tahun yang disebabkan kegagalan proses kelahiran, lemahnya daya tahan tubuh anak, penyakit bawaan orang tua, dan kondisi

kesehatan lingkungan tempat tinggalnya. Selang umur 5-60 tahun µ( , )a t mengalami kenaikan yang tidak terlalu besar karena manusia melakukan penyesuaian daya tahan tubuh terhadap lingkungan sekitar. Sedangkan untuk umur di atas 60 tahun µ( , )a t

mengalami kenaikan yang cukup besar karena faktor penyakit dan daya tahan tubuh manusia yang semakin menurun. Secara umum,

( , )a t

penurunan yang artinya indikator kesehatan di AS dari tahun ke tahun semakin baik.

Gambar 3 mempunyai bentuk kurva seperti fungsi kuadratik, untuk mendapatkan

( , )a t

µ yang paling sesuai dengan data, dicoba model kuadratik untuk fungsi µ( , )a t , yaitu :

¾ Model I

2

( , )a t a a t

µ = +α β +γ +ε

Dari hasil analisis regresi diperoleh : ˆ 0.1238

α = (p value− =0.000), , ˆ _0.0085

β = − (p value− =0.000) ˆ 0.0001

γ = (p value− =0.000), ˆ 0.0009

ε = − (p value− =0.000), dengan koefisien determinasi

dan yang disesuaikan ( adjusted) .

2 _0.818

R =

2

R R2

2

0.816

a R =

Kurva yang diperoleh dari model tersebut diberikan pada Gambar 4.

-0,20 -0,10 0,00 0,10 0,20 0,30 0,40

0 _{10 20 30 40 50 60 70 80 90}

100 Umur L aju Ke ma tia n Se sa at

t=0 t=1 t=2 t=3 t=4

t=5 t=6 t=7 t=8 t=9

Gambar 4 Kurva ( , )µ a t Model I

Dari kurva di atas, Model I dapat menghasilkan µ( , )a t yang negatif. Hal ini tidak mungkin terjadi, oleh karena itu fungsi kuadratik tidak dapat digunakan untuk mendekati ( , )µ a t AS.

¾ Model II

2 ( , )a t exp( a a t) µ = α β+ +γ +ε Dari hasil analisis regresi diperoleh :

ˆ 5.3377

α = − (p−value=0.000), , ˆ _0.0016

β = − (p−value=0.778) ˆ 0.0006

γ = (p value− =0.000), ˆ 0.0164

ε = − (p value− =0.000), dengan R2 =0.880 dan R_a2 =0.878.

Nilai µ( , )a t untuk dan

{0,1, 5,10,15,...,105}

a=

{0,10, 20, 30,..., 90}

t= Model II disajikan

dalam Tabel 4 (Lampiran 1). Kurva yang diperoleh dari model tersebut diberikan pada Gambar 5. 0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00 3,50

0 1 5 101520253035 4045 5055606570 7580859095100 105

Umur L aju K em atia n S es aa t

t=0 t=10 t=20 t=30 t=40

t=50 t=60 t=70 t=80 t=90

Gambar 5 Kurva ( , )µ a t Model II

Berikut ini akan dibandingkan kurva laju kematian sesaat AS dengan Model II untuk tertentu.

t

0 ,0 0 0 ,5 0 1 ,0 0 1 ,5 0 2 ,0 0 2 ,5 0 3 ,0 0

0 5 _{15 25 35 45 55 65 75 85 95}

105 Umur L a ju K e ma tia n S e sa a t

Data Model II

Gambar 6 Kurva gabungan untuk t=0

0 ,0 0 0 ,5 0 1 ,0 0 1 ,5 0 2 ,0 0 2 ,5 0 3 ,0 0

0 5 _{15 25 35 45 55 65 75 85 95}

105 Um ur L a ju K e ma tia n S e sa a t

Data Model II

0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00

0 5 15 25 35 45 55 65 75 85 95 105

Umur L aju Ke ma tia n Se sa at

Data Model II

Gambar 8 Kurva gabungan untuk t=60

0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00

0 5 15 25 35 45 55 65 75 85 95 105

Umur L aju Ke ma tia n Se sa at

Data Model II

Gambar 9 Kurva gabungan untuk t=90

Untuk mencari bentuk yang lebih sederhana dari Model II akan dilihat kebermaknaan dugaan parameter γ terhadap model tersebut. P-value untuk peubah γ dalam Model II adalah . Hal ini berarti peubah

0.000

γ tidak dapat diabaikan sehingga bentuk fungsi kuadratik dalam model II tidak mungkin disederhanakan menjadi fungsi linear.

Fungsi laju kematian sesaat yang paling sesuai dengan data AS adalah :

( , )a t exp( 5.3377 0.0016a

µ = − − +

2

0.0006a −0.0164 )t

Penentuan Angka Harapan Hidup

Fungsi ( , )µ a t =exp( 5.3377 0.0016− − a

2

+

t

0.0006a −0.0164 ) akan digunakan untuk menghitung AHH periode, AHH kohort, CAL, dan RAK. Hal ini dilakukan untuk memperoleh pengertian yang lebih baik bagaimana ke empat indikator tersebut berbeda satu sama lainnya.

• Penentuan AHH Kohort [

e

c

(0, )

t

]

(0, )

c

e

t

0

( , )

c a t da ω

=

∫

_A

( , )

c a t

A

0

exp[ ( , ) ]

a

x t x dx

µ

= −

∫

+

2 0

exp[ exp( ( )) ]

a

x x t x d

α β γ ε

= −

∫

+ + + + x

dx

2 0

exp[ exp( ) exp(( ) ) ]

a

t x x

α ε β ε γ

= − +

∫

+ +

2

( ) 2

exp( ) ( [ ] [ ])

4 2 2

exp[ exp( ) ]

2 a Erfi Erfi t β ε _π β ε β ε γ γ γ γ α ε γ + + + + − − + = − + 2

( ) 2

exp( ) ( [ ] [ ])

4 2 2

exp[ ]

2

a

t Erfi Erfi

(0, )

c

e

t

0

( , )

c a t da ω

=

∫

_A

2

0

( ) 2

exp( ) ( [ ] [ ])

4 2 2

exp[ ]

2

a

t Erfi Erfi

da ω α β ε_γ ε π β ε_γ β ε _γ γ γ + + + + − + − + =

∫

−

• Penentuan AHH Periode [

e

_p

(0, )

t

]

(0, )

p

e

t

0

( , )

p a t da ω

=

∫

A

( , )

Ap a t

0

exp[ µ( , ) ] = −

∫

a x t dx

2 0

exp[ exp( ) ]

a

x x t dx

α β γ ε

= −

∫

+ + +

2 0

exp[ exp( ) exp( ) ]

a

t x x

α ε β γ

= − +

∫

+ dx

2

2

exp( ) ( [ ] [ ])

4 2 2

exp[ exp( ) ]

2 a Erfi Erfi t β _π β β γ γ γ γ α ε γ + − − + = − + 2 2

exp( ) ( [ ] [ ])

4 2 2

exp[ ]

2

a

t Erfi Erfi

β β β γ α ε π γ γ γ γ + − + − + = −

(0, )

p

e

t

0 ( , ) ω

=

∫

_Ap a t da

2

0

2

exp( ) ( [ ] [ ])

4 2 2

exp[ ]

2

a

t Erfi Erfi

da ω α β_γ ε π β_γ β _γ γ + − + − + =

∫

− γ

• Penentuan CAL [

CAL(t)

]

( )

CAL t

0

( , )

c a t a da

ω

=

∫

_A −

( , )

c a t−a

A

0

exp[ ( , ) ]

a

x t a x dx

µ

= −

∫

− +

2 0

exp[ exp( ( )) ]

a

x x t a x d

α β γ ε

= −

∫

+ + + − + x

2 0

exp[ exp( ( )) exp(( ) ) ]

a

t a x x dx

α ε β ε γ

2

( ) 2

exp( ) ( [ ] [ ])

4 2 2

exp[ exp( ( )) ]

2 a Erfi Erfi t a β ε _π β ε β ε γ γ γ γ α ε γ + + + + − − + = − + − 2

( ) 2

exp( ) ( [ ] [ ])

4 2 2

exp[ ]

2

a

a β ε t Erfi β ε Erfi β ε γ

α ε ε π γ γ γ γ + + + − − + − + = − +

( )

CAL t

0 ( , )

c a t a da

ω

=

∫

_A −

2

0

( ) 2

exp( ) ( [ ] [ ])

4 2 2

exp[ ]

2

a

a t Erfi Erfi

da ω β ε β ε β ε γ α ε ε π γ γ γ γ + + + + − − + − + =

∫

−

• Penentuan RAK [RAK t( )]

( )

RAK t 0

(0, ) ( , )

( )

c c

e t a a t a da

CAL t

ω

− −

=

∫

A

(0,

−

)

c

e

t a

0

( , )

ω

=

∫

_Ac x t−a dx

2

0

( ) 2

exp( ) ( [ ] [ ])

4 2 2

exp[ ]

2

x

a t Erfi Erfi

dx ω β ε β ε β ε γ α ε ε π γ γ γ γ + + + + − − + − + =

∫

− ( )

RAK t 0

(0, ) ( , )

( )

c c

e t a a t a da

CAL t ω − − =

∫

A ( ) RAK t 2 0 0

( ) 2

exp( ) ( [ ] [ ])

4 2 2

( ( exp[ ] )

2

x

a t Erfi Erfi

dx ω ω β ε β ε β ε γ α ε ε π γ γ γ γ + + + + − − + − + =

∫ ∫

− 2

( ) 2

exp( ) ( [ ] [ ])

4 2 2

exp[ ] )

2

a

a t Erfi Erfi

da β ε β ε β ε γ α ε ε π γ γ γ γ + + + + − − + − + − 2 0

( ) 2

exp( ) ( [ ] [ ])

4 2 2

( exp[ ] )

2

a

a t Erfi Erfi

Rumus empat indikator di atas kemudian dievaluasi untuk ω=110 dengan

menggunakan

pengintegralan numerik dalam Mathematica 5.2 (Lampiran 5). Hasilnya disajikan dalam Gambar 10 dan Tabel 1 .

[0,10, 20, 30,..., 90]

t∈

40 50 60 70 80 90 100

0 10 20 30 40 50 60 70 80 9

Tahun

N

ila

i I

ndika

to

r

0

AHH Periode AHH Kohort CAL RAK

Gambar 10 AHH periode, AHH kohort, CAL dan RAK menggunakan µ( , )a t yang paling sesuai dengan µ( , )a t AS.

Tabel 1 Nilai AHH periode, AHH kohort, CAL dan RAK tahun 1901-1991

t _Periode AHH _Kohort AHH CAL RAK

0 (1901) 54.8072 66.9609 49.6524 57.2691

10 (1911) 57.5468 70.0748 52.4174 60.2

20 (1921) 60.2311 73.0913 55.157 63.0804

30 (1931) 62.8555 76.0068 57.863 65.9042

40 (1941) 65.4168 78.8183 60.5284 68.6661

50 (1951) 67.9129 81.522 63.1473 71.3614

60 (1961) 70.343 84.1126 65.7152 73.9861

70 (1971) 72.7068 86.5832 68.2284 76.5357

80 (1981) 75.0051 88.9256 70.6846 79.0059

90 (1991) 77.2389 91.1312 73.0819 81.3915

Gambar 10 menunjukkan bahwa pada tahun yang diberikan t, AHH kohort untuk kelahiran tahun tersebut adalah yang tertinggi dari empat indikator yang ada, diikuti RAK, AHH periode dan CAL. Nilai CAL yang

diperoleh kecil. Hal ini juga terjadi pada negara Inggris di mana CAL tahun 1910 ± 44 tahun dibanding dengan AHH periode ± 50 tahun (Schoen dan Canudas-Romo 2005).

Menggunakan laju kematian sesaat yang telah diperoleh, dapat diprediksi AHH periode, AHH kohort, CAL dan RAK untuk AS beberapa tahun ke depan. Misalkan akan diprediksi ke empat indikator tersebut untuk AS tahun 2001 sampai dengan 2021 (

s/d

100

t=

120

t= ). Prediksi tersebut dapat dilihat pada Tabel 2.

Tabel 2 Nilai prediksi AHH periode, AHH kohort, CAL dan RAK AS

t AHH

Periode AHH

Kohort CAL RAK

100 (2001) 79.4099 93.1921 75.4195 83.6873

110 (2011) 81.5198 95.1019 77.6971 85.8876

Tabel 2 menunjukkan AHH kohort sebagai indikator tertinggi dibandingkan tiga indikator lainnya.

Persamaan garis masing-masing indikator adalah :

(0, )* 55.1856 0.2494

p

e t = + t

t

(0, )* 67.6144 0.2691

c

e t = +

( )* 49.9130 0.2608

CAL t = + t

( )* 57.6593 0.2685

RAK t = + t

Dari persamaan garis tersebut, dicari hubungan AHH periode dengan RAK dan AHH kohort sehingga dapat diprediksi ke dua indikator tersebut untuk beberapa tahun ke depan menggunakan AHH periode karena AHH periode paling mudah diperoleh terutama dari ketersediaan data. Dengan substitusi persamaan ke persamaan

dan diperoleh : (0, ) *

p

e t

( ) *

RAK t ec(0, ) *t #

( ) 1.7526 1.0765 _p(0, ) *

RAK t = − + e t

#

(0, ) 8.0697 1.0789 (0, ) *

c p

e t = + e t

Selanjutnya, diberikan nilai AHH periode dari pendekatan empirik serta dihitung

Proportionate Error (PE) sebagai ukuran kecocokan data dengan model. PE

dirumuskan dengan :

9 0

9 0

| _{i i}|

i

i i

Model Empirik

PE

Empirik =

=

−

=

∑

∑

(Bloom, 1982) Bloom (1982) menyatakan bahwa model secara umum memberikan kecocokan yang baik dengan data apabila PE di bawah 10%.

Tabel 3 Pendekatan empirik untuk AHH periode

i t

e

p

(0, )

t

Empirik

(0, )

p

e

t

Model

Model-Empirik

0 0 (1901) 50.74 54.81 4.07 1 10 (1911) 53.70 57.55 3.85 2 20 (1921) 58.49 60.23 1.74 3 30 (1931) 61.68 62.86 1.18 4 40 (1941) 66.24 65.42 -0.82 5 50 (1951) 69.49 67.91 -1.58 6 60 (1961) 70.42 70.34 -0.08 7 70 (1971) 72.61 72.71 0.10 8 80 (1981) 74.71 75.01 0.30 9 90 (1991) 75.57 77.24 1.67

Dari Tabel 3 diperoleh yang menunjukkan bahwa Model II menyesuaikan data dengan baik.

0.0235

PE=

KESIMPULAN

AHH kohort, CAL dan RAK suatu negara

dapat dihitung apabila memiliki data angka kematian per umur per tahun secara lengkap. Negara Amerika Serikat memiliki data angka kematian tahun 1901-1991. Data tersebut digunakan untuk mendapatkan fungsi laju kematian sesaat yang sesuai. Hasil yang diperoleh :

( , )a t exp( 5.3377 0.0016a

µ = − − +

t

2

0.0006a −0.0164 ) di mana a adalah umur dan adalah tahun merupakan laju kematian sesaat yang paling menggambarkan angka kematian AS. Kemudian fungsi tersebut digunakan untuk menghitung AHH periode, AHH kohort, CAL

dan RAK. Fungsi tersebut dapat pula digunakan untuk memprediksi ke empat indikator beberapa tahun ke depan.

t

Perhitungan AHH periode, AHH kohort,

CAL dan RAK menggunakan fungsi tersebut, diketahui bahwa AHH kohort adalah indikator dengan nilai tertinggi. Karena indikator ini dapat dihitung setelah kohort melengkapi

kematiannya sehingga nilainya sesuai dengan kenyataan.

RAK adalah indikator yang baik digunakan untuk menghitung AHH dibandingkan dengan AHH periode dan CAL.

Indikator ini menyediakan ukuran yang tepat dan jelas secara konsep karena didasarkan dari AHH kohort. Dalam model dinamika penduduk, RAK dapat diuji dengan model kematian yang berbeda dan hasilnya dibandingkan dengan indikator lainnya.

CAL menghasilkan nilai yang terkecil karena kematian masa lalu lebih besar dibanding masa kini.

Mengikuti kondisi kematian di AS, RAK [ ] dan AHH kohort [ ] dapat diduga melalui AHH periode [ ] dengan persamaan :

# ( )

RAK t ec(0, )t # (0, ) *

p

e t

#

( ) 1.7526 1.0765 _p(0, ) *

RAK t = − + e t

#

(0, ) 8.0697 1.0789 (0, ) *

c p

DAFTAR PUSTAKA

Ardana NKK. 2004. Panduan Penggunaan

Mathematica (Ed ke-1). Bogor: Departemen Matematika, FMIPA IPB.

Bloom DE. 1982. “What’s happening to the age at first birth in the United States? A study of recent cohorts”. Demography 19 (3): 351-370. Koleksi Jurnal HS-FMIPA-IPB.

Bongaarts J, G Feeney. 2002. “How long do we live?” Population and Development Review 28(1): 13-29.

Brown RL. 1997. Introduction to The Mathematics of Demography (Ed ke-3). Connecticut : Actex Publications.

Draper NR, H Smith. 1992. Analisis Regresi Terapan (Ed ke-2). Bambang S, penerjemah. Jakarta: PT Gramedia Pustaka Utama. Terjemahan dari: Applied Regression Analysis.

Guillot M. 2003a. “The cross-sectional average length of life (CAL), A cross-sectional mortality measure that reflects the experience of cohorts”. Population Studies 57(1): 41-54.

Hogg RV, JW McKean, AT Craig. 2005.

Introduction to Mathematical Statistics

(Ed ke-6). Upper Saddle River, NJ: Pearson Education.

Lucas D et al. 1984. Pengantar Kependudukan. Sumanto WB, R Saladi, penerjemah. Yogyakarta: Gadjah Mada University Press.

Mathematica 5.2. Copyright 1988-2005 Wolfram Research, Inc. United States of America.

Schoen R, VC Romo. 2005. “Changing mortality and average cohort life expectancy”. Demographic Research 13: 117-142.

Shrestha LB. 2005. Life Expectancy in The United States. Order Code RL32792. [7 Des 2006].

Utomo B. 1985. Mortalitas: Pengertian dan Contoh Kasus di Indonesia. Jakarta: Proyek Penelitian Morbiditas dan Mortalitas UI.

Wirosuhardjo K et al. 1985. Kamus Istilah Demografi. Jakarta: Pusat Pembinaan dan Pengembangan Bahasa.

Lampiran 1

Tabel 4 Nilai ( , )µ a t AS per umur per tahun 1901-1991 dan ( , )µ a t Model II

t a AS Model II t a AS Model II t a AS Model II t a AS Model II t a AS Model II

Tabel 4 (Lanjutan)

t a AS Model II t a AS Model II t a AS Model II t a AS Model II t a AS Model

II

[image:30.842.100.722.133.511.2]

Lampiran 2

Diketahui :

x t

t x

t t

p

x +

∂

=

∂

∂

∂

A

A

dan

x x

x

D

µ

=

−

A

A

Akan dibuktikan : _{t x t x x t}

t

p

p

µ

₊

∂

= −

∂

Bukti :

x x

x

D

µ

=

−

A

A

x x

D

A

= −

A

µ

_x

x x

t

x

µ

∂

= −

∂

A

A

x t x t x t

t

µ

+ +

∂

= −

∂

A

A

+

x t x t x t

t x x

µ

+ +

∂

−

=

∂

A

A

A

A

+

x t x t

t x t x x t

t x

p

+

µ

+

p

µ

₊

∂

−

=

= −

∂

A

A

Lampiran 3

Diketahui : A_yµ_y = −DA_y, n x

n x

x

d q =

A dan

x t

t x

x

p =A+

A

Akan dibuktikan : ( )f t =_tp_xµ_{x t+} adalah fkp

Bukti :

yµ = −y D y

A A , diintegralkan masing-masing ruas terhadap y dengan x≤ ≤ +y x n.

x n

y y

x

dy

µ

+

∫

A

x n

y

x

D dy +

=

∫

− A

|

x n

y x x n n

x

d +

+

= −_A =_A −_A = _x

y

t

sehingga

x n

n x y y

x

d µ d

+

=

∫

A

atau

0

n

ndx =

∫

Ax t+µx t+d

apabila diberikan n x

n x

x

d q =

A dan

x t

t x

x

p =A +

A , diperoleh :

nqx 0

n

x t x t

x dt

µ

+ +

=

∫

A

A

0

n

tpxµx t+d

=

∫

t

nqx adalah peluang seseorang berumur x meninggal sebelum mencapai x+n, jika n= ∞, maka

0

x t x x t

q p dt

0 |

tpx ∞ = −

µ

∞

∞ =

∫

+ = −∞px+0px = + =0 1 1

x p

∞ peluang bertahan hidup dari umur x hingga x+ ∞ adalah 0

0px peluang bertahan hidup dari umur x hingga x adalah 1

Fungsi tpxµx t+ memenuhi syarat fkp di mana terdapat fungsi adalah fkp apabila

, dengan

( )

f t

0

( ) 1

f t dt ∞

=

∫

f t( )≥0

Sehingga f t( )= tpxµx t+ adalah fkp.

n

y D y

Lampiran 4

Diketahui lµ = − A

0 0

exp[ ]

x

x = −

∫

µydy

A A

ln

y D y

Akan dibuktikan :

Bukti :

µ = − A

0 0

ln

x x

ydy D ydy

µ

−

∫

= − −

∫

A

0 0 0

ln ln ln

x

x

ydy x

µ

−

∫

= _A − _A = A

A

0 A Masing-masing ruas di eksponensialkan dan dikalikan dengan .

0 0

0 0

exp[ ] exp[ln ]

x

x

ydy x

µ

−

∫

= A =

A A A

A .

Lampiran 5

Dimisalkan α =A, β =b, γ =g, ε =e, u adalah laju kematian sesaat, l adalah peluang bertahan hidup dan E adalah AHH, perhitungan ke empat indikator dalam Mathematica 5.2

dirumuskan sebagai berikut.

• AHH kohort

In[1]:= uco=Exp[A+b x+g x^2+e (t+x)]

Out[1]=

A+bx+gx2+eHt+xL

In[2]:= lco=Exp[- Integrate[uco,{x,0,a}]]

Out[2]=

−

A−Hb+eL2

4g +et"#####_πi

k jjjj

jj−ErfiB b+e 2"####g

F+ErfiBb+e+2ag 2"####g

Fy { zzzz zz

2"####g

In[3]:= Eco=Integrate[lco,{a,0,110}]

Out[3]=

·

0

110 −

A−Hb+eL2

4g +et"#####_πi

k jjjj

jj−ErfiB b+e 2"####g

F+ErfiBb+e+2ag 2"####g

Fy { zzzz zz

2"####g _a

In[4]:= A=-5.3377; b=-0.0016; g=0.0006; e=-0.0164;

In[5]:= Eco=Integrate[lco,{a,0,110}]

Out[5]= ‡0

110 ₋

36.1801 −5.4727−0.0164tH0.43403+Erfi@20.4124H−0.018+0.0012aLDL _a

In[6]:= Kohort=Table[NIntegrate[lco,{a,0,110}],{t,0,90,10}]

Out[6]= {66.9609,70.0748,73.0913,76.0068,78.8183,81.522,84.1126,86.5832,88.9256,91.

1312}

• AHH periode

In[1]:= up=Exp[A+b x+g x^2+e t]

Out[1]=

A+et+bx+gx2

In[2]:= lp=Exp[- Integrate[up,{x,0,a}]]

Out[2]=

−

A−b2

4g+et"#####_πi

k jjjj

jj−ErfiB b 2"####g

F+ErfiBb+2ag 2"####g

Fy { zzzz zz

2"####g

Out[3]=

·

0

110 −

A−b2

4g+et"#####_πi

k jjjj

jj−ErfiB b 2"####g

F+ErfiBb+2ag 2"####g

Fy { zzzz zz

2"####g _a

In[4]:= A=-5.3377; b=-0.0016; g=0.0006; e=-0.0164;

In[5]:=Ep=Integrate[lp,{a,0,110}]

Out[5]= ‡0

110 ₋

36.1801 −5.33877−0.0164tH0.0368658+Erfi@20.4124H−0.0016+0.0012aLDL _a

In[6]:= Periode=Table[NIntegrate[lp,{a,0,110}],{t,0,90,10}]

Out[6]= {54.8072,57.5468,60.2311,62.8555,65.4168,67.9129,70.343,72.7068,75.0051,77. 2389}

• CAL

In[1]:=ucal=Exp[A+b x+g x^2+e (t-a+x)]

Out[1]=

A+bx+gx2+eH−a+t+xL

In[2]:=lcal=Exp[- Integrate[ucal,{x,0,a}]]

Out[2]=

−

A−ae−Hb+eL2

4g +et"#####_πi

k jjjj

jj−ErfiB₂b"####+e_gF+ErfiB

b+e+2ag

2"####g

Fy { zzzz zz

2"####g

In[3]:= Ecal=Integrate[lcal,{a,0,110}]

Out[3]=

·

0

110 −

A−ae−Hb+eL2

4g +et"#####_πi

k jjjj

jj−ErfiB b+e 2"####g

F+ErfiBb+e+2ag 2"####g

Fy { zzzz zz

2"####g _a

In[4]:=A=-5.3377; b=-0.0016; g=0.0006; e=-0.0164;

In[5]:=Ecal=Integrate[lcal,{a,0,110}]

Out[5]= ‡0

110 _−36.1801 −5.4727+0.0164a−0.0164t_{H0.43403+Erfi@20.4124H−0.018+0.0012aLDL}

a

In[6]:= cal=Table[NIntegrate[lcal,{a,0,110}],{t,0,90,10}]

Out[6]={49.6524,52.4174,55.157,57.863,60.5284,63.1473,65.7152,68.2284,70.6846,73.0 819}

•

RAK

In[1]:=uco=Exp[A+b x+g x^2+e (t-a+x)]

Out[1]=

A+bx+gx2+eH−a+t+xL

Out[2]=

−

A−ae−Hb+eL2

4g +et"#####_πi

k jjjj

jj−ErfiB b+e 2"####g

F+ErfiBb+e+2gx 2"####g

Fy { zzzz zz

2"####g

In[3]:= Eco=Integrate[lco,{x,0,110}]

Out[3]=

·

0

110 −

A−ae−Hb+eL2

4g +et"#####_πi

k jjjj

jj−ErfiB b+e 2"####g

F+ErfiBb+e+2gx 2"####g

Fy { zzzz zz

2"####g _x

In[4]:= ucal=Exp[A+b x+g x^2+e (t-a+x)]

Out[4]=

A+bx+gx2+eH−a+t+xL

In[5]:=lcal=Exp[- Integrate[ucal,{x,0,a}]]

Out[5]=

−

A−ae−Hb+eL2

4g +et"#####_πi

k jjjj

jj−ErfiB₂b"####+e_gF+ErfiB

b+e+2ag

2"####g

Fy { zzzz zz

2"####g

In[6]:=rak=(Integrate[Eco lcal ,{a,0,110}])/(Integrate[lcal,{a,0,110}])

Out[6]= i k jjjj jjjj jjjj jjjj jjjj jjj · 0 110 −

A−ae−Hb+eL2

4g +et"#####_πi

k jjjj

jj−ErfiB b+e 2"####g

F+ErfiBb+e+2ag 2"####g

Fy { zzzz zz

2"####g

·

0

110 −

A−ae−Hb+eL2

4g +et"#####_πi

k jjjj

jj−ErfiB b+e 2"####g

F+ErfiBb+e+2gx 2"####g

Fy { zzzz zz

2"####g _{x a}

y { zzzz zzzz zzzz zzzz zzzz zzz ì i k jjjj jjjj jjjj jjjj jjjj jjj · 0 110 −

A−ae−Hb+eL2

4g +et"#####_πi

k jjjj

jj−ErfiB b+e 2"####g

F+ErfiBb+e+2ag 2"####g

Fy { zzzz zz

2"####g _a

y { zzzz zzzz zzzz zzzz zzzz zzz In[7]:=A=-5.3377; b=-0.0016; g=0.0006; e=-0.0164;

Out[8]=

J‡

0 110 ₋

36.1801 −5.4727+0.0164a−0.0164tH0.43403+Erfi@20.4124H−0.018+0.0012aLDL

‡

0

110 _−36.1801 −5.4727+0.0164a−0.0164t_{H0.43403+Erfi@20.4124H−0.018+0.0012xLDL}

x aN ì

J‡

0

110 _−36.1801 −5.4727+0.0164a−0.0164t_{H0.43403+Erfi@20.4124H−0.018+0.0012aLDL}

aN

In[9]:=rak=Table[(NIntegrate[Eco

lcal,{a,0,110}])/(NIntegrate[lcal,{a,0,110}]),{t,0,90,10}]

AFNI SULISTIANI

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

Demografi adalah ilmu yang mempelajari secara ilmiah tentang populasi manusia, terutama yang berhubungan dengan umur, struktur dan perkembangannya. Salah satu komponen utama demografi yang berpengaruh terhadap struktur dan jumlah penduduk adalah kematian. Angka Harapan Hidup (AHH) merupakan indikator kematian yang umum dipakai. Terdapat empat macam AHH yaitu AHH periode, AHH kohort, The Cross-Sectional Average Length of Life (CAL)

dan Rata-rata AHH Kohort (RAK). Dengan menggunakan data angka kematian Amerika Serikat

1901-1991 diperoleh bahwa laju kematian sesaat , di mana a adalah umur dan t adalah

tahun, merupakan fungsi yang paling menggambarkan angka kematian Amerika Serikat. Fungsi tersebut digunakan untuk menghitung ke empat AHH tahun 1901-1991 dan dapat memprediksi AHH beberapa tahun ke depan. RAK adalah indikator yang baik digunakan untuk menghitung AHH dibandingkan dengan AHH periode dan CAL. RAK [ ] dan AHH kohort [ ]

dapat diduga melalui AHH periode [ ] dengan persamaan

dan 2

( , )a t exp( 5.3377 0.0016a 0.0006a 0.0164 )t

P

( )

RAK t ec(0, )t

(0, )

p

e t

( ) 1.7526 1.0765 p(0, )

Demography is the scientific study of human populations, primarily with respect to their size, structure, and development. One of the prime demography components which influential to population structure and size is mortality. Life Expectancy (LE) is generally used as indicator of mortality. There are four kinds of LE i.e. period LE, cohort LE, The Cross-Sectional Average Length of Life (CAL) and Average Cohort LE (ACLE). By using data of United States mortality in 1901-1991 we found that the force of mortality

where is age and t is time, is the best function for describing mortality rate in United States. That function is used to calculate the four kinds of LE in years 1901-1991 and predict LE in the future. ACLE is a good indicator for calculating LE compared to period LE and CAL.ACLE [

2

( , )a t exp( 5.3377 0.0016a 0.0006a 0.0164 )t

P a

( )

ACLE t ] and cohort LE [ ] can be estimated by using period LE [ ] with equation

(0, )

c

e t

(0, )

p

e t ACLE t( ) 1.7526 1.0765 ep(0, )t and .

(0, ) 8.0697 1.0789 (0, )

c p

PENDAHULUAN

Latar Belakang

Demografi adalah kajian mengenai kependudukan yang menyangkut berbagai faktor seperti jumlah, struktur usia, kepadatan, kelahiran, kematian, pertumbuhan, serta variabel sosial dan ekonomi. Komponen utama demografi yang berpengaruh terhadap struktur dan jumlah penduduk adalah fertilitas (kelahiran), mortalitas (kematian), dan migrasi (perpindahan penduduk).

Mortalitas atau kematian dapat menimpa siapa saja, tua, muda, kapan, dan di mana saja. Kasus kematian terutama dalam jumlah banyak berkaitan dengan masalah sosial, ekonomi, adat istiadat maupun masalah kesehatan lingkungan. Tinggi rendahnya kematian diukur menggunakan indikator. Indikator ini berguna untuk memonitor kinerja pemerintah pusat maupun lokal dalam peningkatan kesejahteraan masyarakat. Indikator kematian yang umum dipakai adalah angka kematian kasar, angka kematian bayi, angka kematian balita, angka kematian anak, angka kematian ibu, dan angka harapan hidup.

Angka Harapan Hidup (AHH) pada suatu umur tertentu didefinisikan sebagai rata-rata tahun hidup yang akan dijalani oleh seseorang yang telah berhasil mencapai umur tersebut dalam situasi kematian yang berlaku di lingkungan masyarakatnya. Semakin tinggi kematian maka semakin rendah AHH. AHH dapat digunakan sebagai indikator pembangunan ekonomi. Semakin baik pembangunan ekonomi di suatu wilayah, maka semakin tinggi AHH.

AHH yang biasa dikenal adalah AHH periode dan AHH kohort. Nilai AHH periode bervariasi karena perubahan angka kematian. Sedangkan AHH kohort tidak dihitung sesering AHH periode karena untuk menghitung AHH kohort diperlukan data dalam jangka waktu bertahun-tahun hingga kohort melengkapi kematiannya. Kemudian

tahun 1986, Brouard memperkenalkan The Cross-sectional Average Length of Life (CAL)

sebagai indikator kematian alternatif. CAL

melengkapi AHH kohort atau AHH periode. Tetapi CAL tidak menyertakan kematian setelah periode tertentu. Sembilan tahun kemudian, Schoen dan Canudas-Romo memperkenalkan indikator kematian yang baru yaitu Rata-rata AHH Kohort (RAK). Indikator ini diharapkan dapat memberikan gambaran terbaik dari AHH.

Tujuan

Penulisan karya ilmiah ini bertujuan untuk mencari persamaan yang menggambarkan laju kematian sesaat, kemudian menghitung AHH periode, AHH kohort, CAL dan RAK dengan menggunakan persamaan tersebut.

Bahan dan Metode

Data yang digunakan adalah data angka kematian Amerika Serikat (AS) tahun 1901-1991

(WWW.demog.berkeley.edu/~bmd/states.html) Untuk mendapatkan laju kematian sesaat yang sesuai dengan data AS yang pertama dilakukan adalah mencoba beberapa model yang diperkirakan dapat merepresentasikan data tersebut. Kebermaknaan (significancy) dugaan parameter dalam model dan koefisien determinasi (yang disesuaikan banyaknya parameter) akan digunakan dalam pemilihan. Kemudian model terpilih tersebut akan digunakan untuk menghitung AHH periode, AHH kohort, CAL dan RAK. Untuk menunjukka