ANALISIS STABILITAS PADA PENYEBARAN PENYAKIT DBD DI KABUPATEN JEMBER
DENGAN METODE SIR STOKASTIK
SKRIPSI
Oleh:
Effendy 091810101035
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS JEMBER
ii
ANALISIS STABILITAS PADA PENYEBARAN PENYAKIT DBD DI KABUPATEN JEMBER
DENGAN METODE SIR STOKASTIK
SKRIPSI
diajukan guna melengkapi tugas akhir dan memenuhi salah satu syarat
untuk menyelesaikan Program Studi Matematika (S1)
dan mencapai gelar Sarjana Sains
Oleh:
Effendy 091810101035
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS JEMBER
iii
PERSEMBAHAN
Skripsi ini saya persembahkan untuk:
1. Ibunda Umyati dan Ayahanda Ennam tercinta, yang telah mendoakan dan
memberi kasih sayang serta pengorbanan untuk putra tercintanya.
2. Kakak Eni Yuniarsih tersayang, yang telah banyak memberikan nasehat dan
semangat dalam penyelesaian skripsi ini.
3. Guru – guru sejak taman kanak-kanak sampai dengan perguruan tinggi;
4. Almamater Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam Universitas Jember, SMA Negeri 2 Situbondo, SMP
iv MOTTO
Keuletan adalah karakteristik semua orang sukses. Kejeniusan adalah seni
menjalani rasa sakit yang tak terhingga. Semua prestasi luar biasa diwarnai
dengan perhatian yang ekstrem, kesungguhan yang tak terbatas, bahkan ke hal –
hal yang paling kecil.
(Elbert Hubbard)1
Sukses itu terdiri dari 20% kemampuan dan 80% strategi. Anda mungkin
mengetahui bagaimana cara membaca, tapi yang terpenting apa tujuan Anda
membaca.
(Jim Rohn)2
v
PERNYATAAN
Saya yang bertanda tangan di bawah ini:
nama : Effendy
NIM : 091810101035
Menyatakan dengan sesungguhnya bahwa karya ilmiah yang berjudul “Analisis
Stabilitas pada Penyebaran Penyakit DBD di Kabupaten Jember dengan Metode
SIR Stokastik” adalah benar-benar hasil karya sendiri, kecuali kutipan yang sudah saya sebutkan sumbernya, belum pernah diajukan pada institusi mana pun, dan
bukan karya jiplakan. Saya bertanggung jawab atas keabsahan dan kebenaran isinya
sesuai dengan sikap ilmiah yang harus dijunjung tinggi.
Demikian pernyataan ini saya buat dengan sebenarnya, tanpa ada tekanan
dan paksaan dari pihak mana pun serta bersedia mendapat sanksi akademik jika
ternyata di kemudian hari pernyataan ini tidak benar.
Jember, Mei 2013
Yang Menyatakan,
Effendy
vi SKRIPSI
ANALISIS STABILITAS PADA PENYEBARAN PENYAKIT DBD DI KABUPATEN JEMBER DENGAN METODE SIR STOKASTIK
Oleh:
Effendy
091810101035
Pembimbing
Dosen Pembimbing Utama : Drs. Rusli Hidayat, M.Sc.
vii
PENGESAHAN
Skripsi yang berjudul “Analisis Stabilitas pada Penyebaran Penyakit DBD di
Kabupaten Jember dengan Metode SIR Stokastik” telah diuji dan disahkan pada:
hari, tanggal :
tempat : Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Jember
Tim Penguji,
Dosen Pembimbing Utama, Dosen Pembimbing Anggota,
Drs. Rusli Hidayat, M.Sc. Kusbudiono, S.Si, M.Si.
NIP 196610121993031001 NIP 197704302005011001
Penguji I, Penguji II,
Kiswara Agung Santoso, S.Si, M.Kom. Yuliani Setia Dewi, S.Si, M.Si.
NIP 197209071998031003 NIP 197407162000032001
Mengesahkan,
viii RINGKASAN
Analisis Stabilitas pada Penyebaran Penyakit DBD di Kabupaten Jember dengan Metode SIR Stokastik; Effendy, 091810101035; 2013: 49 Halaman; Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Jember.
Penyakit demam berdarah dengue (DBD) merupakan sebuah penyakit yang
umum diderita oleh masyarakat. Jumlah penderita penyakit ini cenderung
meningkat dan meluas. Penyakit demam berdarah dengue (DBD) disebabkan oleh
virus dengue. Jember merupakan salah satu kota yang jumlah penderitanya tingggi.
Dinas Kesehatan Kabupaten Jember menemukan 260 kasus demam berdarah (DB)
selama Januari hingga akhir Desember 2012. Penyebaran penyakit DBD yang
terjadi pada suatu populasi dapat dimodelkan ke dalam bentuk matematis. Tujuan
penelitian adalah: (1) mengetahui titik kesetimbangan penyebaran penyakit DBD
serta dinamika penyebaran penyakit DBD di Kabupaten Jember menggunakan
model epidemik stokastik, (2) menganilisis penyebaran penyakit DBD di
Kabupaten Jember dengan interpolasi.
Penelitian ini dibagi menjadi beberapa langkah. Langkah pertama adalah
mengkaji model epidemik SIR Stokastik, pada tahap ini peneliti akan mengkaji
literatur-literatur mengenai model SIR epidemik DBD. Langkah kedua adalah
mencari mean distribusi probabilitas individu terinfeksi. Langkah ketiga adalah
analisis kestabilan pada titik kesetimbangan model epidemik DBD, langkah ini
dilakukan dengan melihat tanda pada akar-akar polinomial karakteristik dari
matriks Jacobian. Langkah keempat adalah mencari nilai reproduksi dasar .
Langkah kelima adalah menyelesaikan model SIR Stokastik dan Interpolasi, tahap
ini dapat dilakukan dengan proses bivariat yang bergantung pada variabel random
I dan R. Langkah keenam adalah plot grafik, plot grafik pada langkah ini dilakukan
ix
Berdasarakan penelitian, diperoleh bilangan reproduksi dasar 2,54 yang
artinya penyakit DBD bersifat endemik di Kabupaten Jember dan titik
kesetimbangan endemik
� = , , ℎ , ℎ
= ( ����
��+�ℎ��ℎ�ℎ , ℎ��ℎ
�ℎ�� ,
�ℎ�ℎ
�ℎ+ +��ℎ���ℎ ,
�ℎ�� ℎ
�ℎ�ℎ+�ℎ )
= . , ; , ; . , ; . , .
Probabilitas sebuah infeksi baru sebesar 0,0087, probabilitas kesembuhan dari satu
individu sebesar 0,013 dan populasi kematian dari satu individu terinfeksi sebesar
x PRAKATA
Puji syukur kehadirat Allah SWT, yang telah melimpahkan rahmat dan
hidayah-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul “Analisis
Stabilitas pada Penyebaran Penyakit DBD di Kabupaten Jember dengan Metode
SIR Stokastik”. Skripsi ini disusun untuk memenuhi salah satu syarat
menyelesaikan pendidikan strata satu (S1) pada Jurusan Matematika Fakultas
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Jember.
Penulisan skripsi ini tidak lepas dari bantuan berbagai pihak. Oleh karena
itu, penulis menyampaikan terima kasih kepada:
1. Drs. Rusli Hidayat, M.Sc., selaku Dosen Pembimbing Utama dan Kusbudiono,
S.Si, M.Si., selaku Dosen Pembimbing Anggota yang telah meluangkan waktu,
pikiran dan perhatian dalam penulisan skripsi ini;
2. Kiswara Agung Santoso, S.Si, M.Kom. dan Yuliani Setia Dewi, S.Si, M.Si.,
selaku Dosen Penguji yang telah memberikan saran dan kritikan;
3. ibu dan bapak serta keluarga di rumah yang telah memberikan doa;
4. Kristiana Wijaya, S.Si, M.Si., selaku Dosen Pembimbing Akademik;
5. Winda Olyvia A yang telah memberikan semangat kepada penulis;
6. sahabat-sahabat A FIRE LIFE (Aan, Latifatur, Rizka, Ervin, Lutfi, Ifa, fathur
dan Elna) dan teman-teman angkatan 2009, terima kasih atas kebersamaannya;
7. Haerul, Vindy, Weldy dan teman-teman kost Nias Cluster A8 serta sahabatku
(Demy, Gian, Wirida dan Sartika), terima kasih telah menjadi keluarga selama
ini;
8. semua pihak yang tidak dapat disebutkan satu per satu.
Penulis juga menerima kritik dan saran ddari semua pihak demi
kesempurnaan skripsi ini. Akhirnya penulis berharap, semoga skripsi ini dapat
bermanfaat.
xi DAFTAR ISI
Halaman
HALAMAN JUDUL ... ii
HALAMAN PERSEMBAHAN... iii
HALAMAN MOTTO ... iv
HALAMAN PERNYATAAN ...v
HALAMAN PEMBIMBING... vi
HALAMAN PENGESAHAN ... vii
RINGKASAN ... viii
PRAKATA ...x
DAFTAR ISI ... xi
DAFTAR GAMBAR ... xiii
DAFTAR TABEL... xiv
BAB 1. PENDAHULUAN ...1
1.1 Latar Belakang ...1
1.2 Rumusan Masalah ...2
1.3 Tujuan ...3
1.4 Manfaat ...3
BAB 2. TINJAUAN PUSTAKA ...4
2.1 Demam Berdarah Dengue (DBD) ...4
2.2 Persamaan Diferensial ...5
2.3 Model SIR ...7
2.4 Model SIR dengan Kelahiran dan Kematian...8
2.5 Model SIR Penyebaran Penyakit DBD ...9
2.6 Linierisasi ...10
2.7 Kestabilan dan Akar Karakteristik ...11
2.8 Kriteria Kestabilan Routh – Hurwitz ...12
xii
2.10 Rantai Markov Waktu Diskrit ...14
2.11 Model Epidemik SIR dengan Jumlah Populasi Konstan ...15
2.12 Mean Distribusi Probabilitas Individu Terinfeksi dan Analisis Kesetimbangan Model Epidemik SIR Stokastik ...18
2.13 Bilangan Reproduksi Dasar (Basic Reproduction Number) ...18
2.14 Interpolasi ...19
BAB 3. METODELOGI PENELITIAN ...22
BAB 4. HASIL DAN PEMBAHASAN ...24
4.1 Hasil ...24
4.1.1 Studi Kasus Model Epidemik DBD ...24
4.1.2 Titik Kesetimbangan Model Epidemik DBD ...26
4.1.3 Analisis Kestabilan ...29
4.1.4 Proses Stokastik ...32
4.1.5 Proses Interpolasi Individu Terinfeksi ...33
4.2 Pembahasan ...33
4.2.1 Model SIR ...33
4.2.2 Stokastik ...35
4.2.3 Interpolasi ...36
BAB 5. PENUTUP ...40
5.1 Kesimpulan ...40
5.2 Saran ...41
DAFTAR PUSTAKA ...42
xiii
DAFTAR GAMBAR
Halaman
2.1 Kompartemen Model Epidemik DBD ...5
2.2 Kompartemen Model SIR Klasik ...7
2.3 Model SIR dengan Kelahiran dan Kematian ...8
2.4 Model SIR Penyebaran Penyakit DBD ...9
3.1 Diagram Metode Penelitian...22
4.1 Plot susceptible populasi manusia ...33
4.2 Plot infected populasi manusia ...34
4.3 Spline Plot manusia infected ...36
4.4 Plot kompartemen infected pada tahun 2008-2012 ...37
xiv
DAFTAR TABEL
Halaman
2.1 Tabel Routh ...13
