Oleh: RISTINAWATI NIM 409530001 Program Studi Matematika
SKRIPSI
Diajukan Untuk Memenuhi Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sain
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI MEDAN
PEWARNAAN KUADRAT CARTESIAN PRODUCT POHON
RISTINAWATI (409530010) ABSTRAK
Pewarnaan dari graf kuadrat �2 adalah subbahasan dari teori pewarnaan dimana sebarang tiga simpul yang terletak pada lintasan sepanjang dua pada graf � mempunyai warna berbeda. Bilangan kromatik dari graf kuadrat, dilambangkan �(�2), merupakan bilangan terkecil � sedemikian rupa � mempunyai pewarnaan dengan � warna. Dikatakan bahwa kuadrat �2 dari graf � mempunyai himpunan simpul yang sama sebagaimana � tetapi memiliki dua simpul berdekatan jika dan hanya jika jarak mereka paling besar 2 di �.
Pada skripsi ini, dikaji bilangan kromatik dari kuadrat graf pohon � beserta batas-batasnya. Dengan menggunakan operasi Cartesian Product diperoleh:
1. Batas atas dari bilangan kromatik kuadrat graf pohon
� �2 = 1 + 2 1
2 ∆ (��) �
�=1
2. Batas bawah dari bilangan kromatik kuadrat graf pohon
� �2 = 1 + ∆ (� �) �
iv
KATA PENGANTAR
Syukur Alhamdulillah penulis panjatkan kehadirat Allah SWT yang telah memberikan curahan rahmat, taufiq dan hidayahNya sehingga skripsi yang berjudul “Pewarnaan Kuadrat Cartesian Product Pohon” ini dapat terselesaikan. Shalawat serta salam semoga tetap terlimpahkan kepada junjungan nabi besar Muhammad SAW yang telah membawa kita dari jalan yang gelap menuju jalan yang terang benderang.
Penulis menyadari bahwa dalam penulisan skripsi ini tidak akan mendapatkan suatu hasil yang baik tanpa adanya bimbingan, bantuan, saran serta doa dari berbagai pihak. Oleh karena itu penulis menyampaikan ungkapan terimakasih kepada :
1. Bapak Dr. Mulyono S.Si, M.Si selaku Dosen Pembimbing Skripsi yang telah banyak memberikan pengarahan, bimbingan, dan petunjuk-petunjuk yang sangat berharga selama penulisan skripsi ini, ditengah-tengah kesibukan beliau sehari-hari.
2. Bapak Dr. Edy Surya, M.Si selaku ketua Program Studi Matematika. 3. Bapak Dr. Asrin Lubis, M. Pd selaku dekan FMIPA.
4. Kepada Bapak Dr. Pardomuan Sitompul M.Si, Bapak Prof. Dr. Edy Syahputra M.Pd, dan Ibu Marlina Setia Sinaga S.Si, M.Si selaku Dosen Penguji.
5. Seluruh staf pengajar Jurusan Matematika FMIPA yang telah memberikan bimbingan kepada penulis semenjak mengikuti perkuliahan.
6. Seluruh staf pegawai di lingkungan FMIPA UNIMED.
8. Pimpinan serta seluruh pegawai Digital Library Unimed yang telah banyak membantu penulis dan memberikan izin dalam melakukan penelitian. 9. Spesial untuk Kak Fauziah, Kak Laila, Umi Kiki, Kak Maulina dan Kak
Yuni Mar yang selalu mengingatkan dan memberi semangat.
10.Sahabatku tercinta Ari Fitriani dan Nur Tri Julia yang selalu setia menemani dan memberikan dukungan semangat dan doa.
11.Teman seperjuangan stambuk 2009 dari berbagai jurusan yang selalu berusaha saling melengkapi satu sama lain.
12.Teman seperjuanganku di UKMI Ar-Rahman dan HPAI yang selalu memberikan motivasi.
13.Teman – temanku seperjuangan Non-Dik 2009 yang tidak dapat saya sebutkan satu persatu yang selama ini selalu memberikan dukungan, semangat, dan doa.
Semoga Allah SWT memberikan balasan yang baik atas semua bantuan dan bimbingan yang telah diberikan. Penulis menyadari bahwa skripsi ini masih jauh dari sempurna, untuk itu penulis mengharapkan kritik saran untuk
penyempurnaan skripsi ini. Akhirnya, penulis berharap semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi penulis khususnya dan bagi pembaca pada umumnya.
Terima kasih.
Medan, Agustus 2016 Penulis,
vi
DAFTAR ISI
Halaman
LEMBAR PENGESAHAN i
RIWAYAT HIDUP ii
ABSTRAK iii
KATA PENGANTAR iv
DAFTAR ISI vi
DAFTAR GAMBAR vii
BAB I. PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang Masalah 1
1.2. Rumusan Masalah 5
1.3. Batasan Masalah 5
1.4. Tujuan Penelitian 6
1.5. Manfaat Penelitian 6
BAB II. TINJAUAN PUSTAKA
2.1. Graf 7
2.2. Graf Pohon (Tree) 13
2.3. Graf Kuadrat (The Square of Graph) 17
2.4. Cartesian Product 18
2.5. Pewarnaan Graf (Graph Coloring) 20
BAB III. METODOLOGI PENELITIAN
3.1. Tempat dan Waktu Penelitian 24
3.2. Jenis Penelitian 24
3.3. Prosedur Penelitian 24
BAB IV. PEMBAHASAN
4.1. Pewarnaan Kuadrat Graf Pohon 25
4.2. Batas-Batas Bilangan Kromatik 26
4.3. Bilangan Kromatik Kuadrat Graf Pohon 27
4.4. Pewarnaan Kuadrat Cartesian Product Graf Pohon 30
BAB V. KESIMPULAN DAN SARAN
5.1. Kesimpulan 35
5.2. Saran 35
DAFTAR PUSTAKA 36
DAFTAR GAMBAR
Halaman
Gambar 2.1. Sebuah Graf 7
Gambar 2.2. Graf dan Keterangan Jalur 9
Gambar 2.3. Graf dan Subgraf 10
Gambar 2.4. Derajat dan Simpul pada graf 11
Gambar 2.5. Jarak pada graf 13
Gambar 2.6. Graf Pohon 14
Gambar 2.7. Graf dan Kuadratnya 18
Gambar 2.8. Dua Graf Pohon 19
Gambar 2.9. Cartesian Product Pohon 20
Gambar 2.10. Sebuah Pewarnaan � →{1,2} 22
Gambar 2.11. Flowchart Pewarnaan Graf 23
Gambar 4.1. Graf dan Kuadratnya 28
Gambar 4.2. Pewarnaan � 29
Gambar 4.3. Pewarnaan �2 29
Gambar 4.4. Dua Graf Pohon 32
Gambar 4.5 Cartesian Product Pohon 33
1 BAB I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Matematika adalah salah satu ilmu yang banyak memberikan dasar bagi berkembangnya ilmu pengetahuan dan teknologi. Seiring dengan kemajuan dan perkembangan teknologi, matematika terus berkembang dan bercabang-cabang. Salah satu cabang ilmu matematika yang ditemukan oleh seorang matematikawan
Swiss, L. Euler adalah teori graf. (Munir, 2010)
Dalam perkembangan matematika, teori graf merupakan salah satu bidang ilmu yang populer. Perkembangan teori ini tidak hanya secara teoritis, tetapi juga secara aplikatif seperti dalam ilmu transportasi, jaringan komunikasi, ilmu komputer, dan teknik elektro. (Hamdunah, 2011)
Sebuah graf terdiri dari himpunan obyek-obyek � = 1, 2,…, �
yang disebut simpul (vertex) dan himpunan lainnya �= 1, 2,…, � yang mana unsur ini disebut jalur (edge). Himpunan �( ) disebut himpunan simpul
dari graf dan �( ) adalah himpunan jalur. Biasanya graf ditulis dengan
= (�,�). Untuk lebih mudah, di berikan dan sebagai simpul di graf dan
diberikan sebagai pasangan simpul yang disebut jalur. Jalur ini dapat ditulis
dengan . Hal ini menunjukkan bahwa = . Dapat juga ditulis dengan = .
Jika = adalah jalur di graf , maka dan berdekatan (adjacent) di dan menghubungkan dan . Hal ini mengakibatkan dengan atau dengan
dikatakan berselisih (incident). (Vasudev, 2007)
Sebagai penekanan, � tidak boleh kosong, sedangkan � boleh kosong. Jadi, sebuah graf dimungkinkan tidak mempunyai jalur satu buah pun, tetapi
simpulnya harus ada, minimal satu. Graf yang hanya mempunyai satu buah simpul tanpa sebuah jalur pun dinamakan graf trivial. (Munir, 2010)
Salah satu aplikasi teori graf adalah pewarnaan graf (graph coloring). Ada tiga macam persoalan pewarnaan graf, yaitu pewarnaan simpul (vertex coloring),
pewarnaan jalur (edge coloring), dan pewarnaan wilayah (region). Pewarnaan
sedemikian rupa tidak terdapat dua simpul yang berdekatan memiliki warna yang
sama. Konsep yang sama juga berlaku untuk pewarnaan jalur dan pewarnaan wilayah. Pewarnaan graf menjadi subyek yang sangat menarik perhatian. Sebagian karena keanekaragaman teoritisnya, masalah-masalahnya yang belum terungkap, dan aplikasinya yang sangat banyak. (Chartrand dan Zhang, 2009)
Salah satu masalah yang dapat diselesaikan dengan pewarnaan graf adalah proses penjadwalan kuliah. Penjadwalan merupakan kegiatan untuk mengalokasikan sejumlah sumber daya yang tersedia untuk memastikan bahwa
perencanaan dapat berjalan dengan baik dengan waktu dan tenaga yang digunakan secara efisien. Penjadwalan kuliah yang sederhana yaitu menjadwalkan beberapa komponen yang terdiri dari mata kuliah, dosen, dan kelas mahasiswa dengan memperhatikan sejumlah batasan dan syarat tertentu. (Noor, 2012)
Masalah di pewarnaan graf yang paling banyak mendapat perhatian yaitu yang melibatkan pewarnaan simpul dari graf. Secara matematis, biasanya warna-warna yang digunakan untuk mewarna-warnai suatu graf dinyatakan dengan 1,2,…,�.
Pewarnaan menggunakan paling banyak � warna yang disebut �-coloring.
Misalkan adalah suatu pewarnaan simpul pada graf dengan menggunakan
warna-warna 1,2,…,� untuk suatu bilangan bulat positif �. Maka dapat diartikan
bahwa pewarnaan merupakan sebuah fungsi :�( )→ ℕ (dimana ℕ adalah himpunan bilangan bulat positif) sedemikian rupa ( )≠ ( ) jika dan
berdekatan di graf . Lebih spesifik, sebuah k-coloring dari graf G dengan himpunan simpul �( ) merupakan sebuah fungsi :� → 1,2,…,� .
(Chartrand dan Zhang, 2009)
Pewarnaan jalur dan pewarnaan wilayah merupakan bentuk lain dari pewarnaan simpul dan dapat diubah kembali menjadi model pewarnaan simpul. Masalah yang berkaitan dengan pewarnaan wilayah (peta), seperti peta belahan dunia, dua daerah dengan batas yang sama harus diberikan warna berbeda. Salah
satu cara untuk memastikan bahwa dua daerah yang berdekatan tidak memiliki warna sama adalah dengan menggunakan warna yang berbeda untuk
3
akan sulit untuk membedakan warna yang mirip. Sebagai gantinya, sejumlah kecil warna harus digunakan bila memungkinkan. (Rosen, 2007)
Penentuan sedikitnya jumlah warna yang dapat digunakan untuk mewarnai peta sehingga daerah yang berdekatan tidak memiliki warna sama, erat kaitannya dengan penentuan bilangan kromatik (chromatic number). Bilangan kromatik yaitu masalah yang menentukan banyaknya warna minimum yang
diperlukan untuk mewarnai suatu graf. Apabila diberikan sebuah graf , maka bilangan kromatik dari graf dinyatakan dengan �( ). Jika � =�, disebut
k-colorable. (Kumar dan Nicholas, 2012)
Dalam teori graf juga dibahas tentang perkalian graf (graph product).
Terdapat tiga graph product yang mendasar dalam teori graf yaitu cartesian
product, direct product, dan strong product. Cartesian product dari graf dan
ditulis □ , direct product ditulis × , dan strong product ditulis ⊠ .
Perkalian-perkalian ini diteliti secara luas dan memliki banyak aplikasi signifikan.
Dalam penelitian ini yang akan dibahas selanjutnya hanya cartesian product. Hal
ini dikarenakan, dibanding direct product dan strong product, cartesian product
dari graf memiliki konstruksi yang sederhana dan biasa. (Hammack, 2011)
Diberikan dan adalah graf. Cartesian product (ditulis □ , □
dibaca square atau box product) dari dan adalah graf dengan himpunan
simpul �( ) ×�( ) dimana dua simpul (�,ℎ) dan (�′,ℎ′) berdekatan �= �′
dan ℎℎ′ ∈ �( ), atau ��′ ∈ � dan ℎ =ℎ′�=�′ dan ℎℎ′ ∈ �( ), atau
��′ ∈ � dan ℎ= ℎ′. Jadi,
� □ = �,ℎ | � ∈ � ��ℎ ∈ �( ) ,
� □ = �,ℎ �′,ℎ′ | �= �′,ℎℎ′ ∈ � ,� � ��′ ∈ � ,ℎ= ℎ′ .
Graf dan disebut faktor dari perkalian □ . (Hammack, 2011)
Teori graf juga membahas tentang graf pangkat (power). � adalah graf
pangkat ke-� (�-th power) dengan himpunan simpul �( ), dimana dua simpul
yang berdekatan di � memiliki jarak (distance) maksimum � di dimana jarak
merupakan panjang lintasan terpendek antara simpul dan yang dinotasikan
2 merupakan kuadrat dari graf G yang memberikan � 2 = �( ) dan
∈ �( 2) jika dan hanya jika ∈ �( ) atau terdapat ∈ �( ) sedemikian rupa , ∈ �( ). Dengan kata lain, ada dua simpul dengan jarak paling
besar dua di G yang dihubungkan oleh jalur di 2. (Sopena dan Wu, 2009)
Permasalahan pokok dari penggunaan cartesian product adalah
memperhitungkan atau mencari batas terkecil dari bilangan independence.
Bilangan independence dari graf dilambangkan dengan �( ). Bilangan
independence digunakan jika berhadapan dengan permasalahan komplit dan jika
graf mempunyai himpunan bebas dengan orde terkecilnya � dan jika � dipakai
dalam permasalahan tersebut. Untuk alasan ini, banyak penelitian yang meneliti
bilangan independence dari cartesian product dan meletakkan perhatian untuk
menemukan batas atas dan batas bawahnya. (Imrich, 2008)
Dalam penentuan batas atas dan batas bawah tersebut, bilangan
independence akan saling berkaitan dengan clique juga bilangan cliquenya. Clique merupakan subgraf komplit dari graf yang dilambangkan dengan �( ).
Sementara orde maksimum dari clique disebut bilangan clique. Orde maksimum dari himpunan bebas dalam graf itulah yang disebut bilangan independence. Himpunan bebas sendiri disebut himpunan bagian dari himpunan simpul pada graf yang tidak mengandung sepasang simpul yang berelasi. (Nieuwoudt, 2007)
Penentuan batas atas dan batas bawah juga menjadi permasalahan menarik dalam pembahasan pewarnaan dan bilangan kromatik �( ) sebuah graf. Beberapa
literatur menyatakan bahwa untuk graf berorde � dengan bilangan clique �( )
dan bilangan independence �( ), telah diketahui bahwa �( ) dan �/�( )
merupakan batas bawah dari �( ), sementara � − � + 1 merupakan batas atas
dari �( ). Tentu saja � juga merupakan batas atas dari �( ). Lebih khusus ditulis �( )≤ �( )≤ �. (Chartrand dan Zhang, 2009)
5
kehidupan sehari-hari, graf pohon digunakan untuk menggambarkan hirarki. Misalnya, silsilah keluarga, struktur organisasi, organisasi pertandingan, dan lain-lain. Graf pohon sudah lama digunakan sejak tahun 1857, ketika mate-matikawan Inggris Arthur Cayley menggunakan graf pohon untuk menghitung jumlah senyawa kimia. (Munir, 2010)
Penelitian mengenai pewarnaan graf dengan menggunakan operasi
cartesian product telah dilakukan oleh beberapa peneliti, seperti Sopena dan Wu
(2009) pada dua graf lingkaran, Kumar dan Nicholas (2012) juga pada dua graf
lingkaran. Kajian pewarnaan kuadrat dan permasalahan dalam menentukan
bilangan kromatik kuadrat dari graf khusus juga sudah mulai menarik banyak
perhatian. Dari hasil kajian literatur, sampai saat ini penelitian mengenai bilangan
kromatik graf kuadrat merupakan penelitian yang cukup baru dan jarang
ditemukan. Oleh karena itu, penelitian mengenai bilangan kromatik dari kuadrat
graf pohon dilakukan. Dimana graf pohon merupakan graf khusus yang unik dan
memiliki konsep yang sangat penting di dalam teori graf. Graf pohon juga graf
yang sangat menarik karena strukturnya berbeda-beda. Berdasarkan latar belakang
diatas, penelitian ini dikemas dalam judul ''Pewarnaan Kuadrat Cartesian Product
Pohon''.
1.2 Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang diatas, masalah yang akan diselesaikan dalam penelitian ini adalah bagaimana menentukan bilangan kromatik kuadrat dari graf pohon dengan menggunakan operasi cartesian product serta menentukan batas atas dan batas bawah dari bilangan kromatik kuadrat graf pohon.
1.3 Batasan Masalah
Agar permasalahan dapat diselesaikan dengan baik dan sesuai dengan tujuan yang ingin dicapai, maka dibuat batasan masalah sebagai berikut:
1. Graf yang digunakan adalah graf pohon
1.4 Tujuan Penelitian
Berdasarkan rumusan masalah diatas, maka penelitian yang telah dilakukan ini bertujuan untuk menentukan bilangan kromatik dari kuadrat graf pohon dengan menggunakan operasi cartesian product serta menentukan batas atas dan batas bawah bilangan kromatik dari kuadrat graf pohon tersebut.
1.5 Manfaat Penelitian
Adapun manfaat penelitian ini adalah:
1. Bagi penulis
Penelitian ini digunakan sebagai tambahan informasi dan wawasan pengetahuan tentang teori graf, khususnya tentang pewarnaan graf, graf kuadrat, operasi pada graf, dan klasifikasi graf.
2. Bagi lembaga
Hasil penelitian ini dapat digunakan sebagai tambahan kepustakaan yang dijadikan sarana pengembangan wawasan keilmuan khususnya di jurusan matematika untuk mata kuliah matematika diskrit .
3. Bagi pengembang ilmu
35 BAB V
KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan
Berdasarkan hasil penelitian yang telah dilakukan, maka dapat ditarik kesimpulan sebagai berikut:
1. Batas atas dari bilangan kromatik graf pohon kuadrat dengan mengguna- kan cartesian product adalah
� �2 = 1 + 2 1 2 ∆(��)
�
�=1
.
2. Batas bawah yang diperoleh merupakan bilangan kromatik yang akan digunakan untuk mewarnai graf kuadrat yang dalam hal ini menggunakan Cartesian product dari graf pohon. Bilangan kromatik kuadrat tersebut adalah
� �2 = 1 + ∆(�
�) �
�=1 .
5.2 Saran
36
Alon, N., dan Mohar, B., (1993), The Chromatic Number of Graph Powers, Combinatorics, 11, 1-10.
Ardiyansah, R., dan Darmaji, (2013), Bilangan Kromatik Graf Hasil Amalgamasi Dua Buah Graf, Jurnal Sains dan Seni Pomits, Vol. 2, No, 1.
Chartrand, G., dan Lesniak, L., (1996), Graphs and Digraphs Third Edition, Chapman and Hall/CRC, USA.
Chartrand, G., dan Zhang, P., (2009), Chromatic Graph Theory, Chapman and Hall/CRC, USA.
Diestel, Reinhard, (2005), Graph Theory Electronic Edition 2005, Springer-Verlag Heidelberg, New York
Hamdunah, (2011), Nowhere-Zero 3-Flow Pada Graf Kuadrat, Artikel, Universitas Andalas, Padang.
Hammack, R., Imrich, W., dan Klavzar, S., (2011), Handbook of Product Graphs Second Edition, CRC Press, USA.
Hasmawati, (2007), Bilangan Ramsey Untuk Graf Gabungan Bintang, Disertasi, Penerbit ITB, Bandung.
Harary, F., dan Ross, I., C., (1960), The Square of A Tree, The Bell System Technical Journal, 641-647.
Imrich, W., Klavzar, S., dan R., Douglas, F., (2008), Topics in Graph Theory, A K Peters, India.
Jamison, R., E., Matthews, G., L., dan Villalpando, J., (2006), Acyclic Colorings of Product of Trees, Inform, Process, Lett., 99(1) : 7-12.
Johnsonbaugh, Richard, (2005), Discrete Mathematics Sixth Edition, Pearson Education, New York.
37
Kumar, S., Chandra, dan Nicholas, T., (2012), b-coloring in Square of Cartesian Product of Two Cycles, Annals of Pure and Applied Mathematics, Vol. 1: 131-137.
Munir, Rinaldi, (2010), Matematika Diskrit Revisi Kelima, Informatika, Bandung. Nieuwoudt, Isabelle, (2007), On The Maximum Degree Chromatic Number of a
Graph, Dissertation, Department of Mathematical Sciences, Stellenbosch University.
Noor, R., J., (2012), Implementasi Algoritma Baris dalam Pewarnaan Titik pada Graf Sederhana, FMIPA Universitas Hasanuddin.
Por, A., dan Wood, R., D., (2009), Colorings of the Cartesian Product of Graph and Multiplicative Sidon Set, Combinatorica, 29(4) : 449-466.
Rosen, Kenneth, H., (2007) Discrete Mathematics And Its Aplications Sixth Edition. McGraw-Hill, New York.
Sabidussi, G., (1957), Graph with Given Group and Given Graph-Theoretical properties, Canad. J. Math., 9 : 515-525.
Sopena, Eric, dan Wu, Jiaojiao, (2009), Coloring the Square of the Cartesian Product of Two Cycles, Bordeaux 1 University, France.
Vasudev, C., (2007), Combinatorics And Graph Theory, New Age International, New Delhi.
Wilson, R., J., (1996), Introduction to Graph Theory Fourth Edition, Prentice Hall, England.
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Aek Korsik Labuhanbatu Utara pada tanggal 07 September 1991. Ayah bernama Karno dan Ibu bernama Sanimah, dan merupakan anak kesebelas dari duabelas bersaudara. Pada tahun 1997, penulis masuk SD Negeri 115485 Aek Korsik, dan lulus pada tahun 2003. Pada tahun 2003, penulis melanjutkan sekolah pada SLTP Negeri 2 Aek Natas sebelum berubah menjadi SMP Negeri 1 Aek Kuo, dan lulus pada tahun 2006. Pada tahun 2006, penulis
