I. PENDAHULUAN
1.1.Latar Belakang Masalah
Model linear merupakan bentuk hubungan antara peubah respon dengan peubah penjelas.
Maksud dari model linear di sini yaitu linear dalam parameter. Secara umum model linear ditulis = � + �. Dimana Y adalah vektor peubah respon berordo nx1, X matriks peubah penjelas berordo nxp, β vektor parameter berordo px1, dan ε vektor sisaan berordo nx1. ε diasumsikan saling bebas dan menyebar normal dengan nilai tengah nol dan ragam �2.
Koefisien-koefisien model linear adalah nilai duga dari parameter model linear. Parameter
merupakan keadaan yang sesungguhnya untuk kasus yang diamati. Parameter diduga melalui
teknik perhitungan yang disebut Ordinary Least Square (OLS). Tentu saja, yang namanya
menduga, tidak mungkin terlepas dari kesalahan, baik itu sedikit maupun banyak. Namun dengan
OLS, kesalahan pendugaan dijamin yang terkecil (dan merupakan yang terbaik) asalkan
memenuhi beberapa asumsi diantaranya :
1. Galat menyebar normal dengan nilai tengah nol dan ragam �2
2. Ragam dari galat bersifat homogen (homokedastisitas)
3. Galat tidak mengalami autokorelasi
4. Tidak terjadi multikolinearitas antar variabel bebas X
Penanganan kasus varians galat tidak homogen (heterokedastisitas) atau munculnya
metode Generalized Least Square (GLS) karena GLS sebagai salah satu bentuk pendugaan yang
dibuat untuk mengatasi sifat heterokedastisitas supaya tetap mendapatkan penduga yang tidak
bias, konsisten, dan varians minimum.
Penyimpangan asumsi yang terjadi dalam GLS seperti adanya varians yang bersifat
heterokedastisitas atau penyimpangan asumsi varians berautokorelasi. Penyimpangan asumsi
varians yang bersifat heterokedastisitas dapat diatasi dengan transformasi �′�� sedangkan
penyimpangan asumsi varians yang berautokorelasi dapat diatasi dengan transformasi
Dekomposisi Spektral. Sehingga dalam skripsi ini akan dibahas tentang “ Karakteristik Penduga GLS Pada Model Linear Berdasarkan Simulasi Dalam Kasus Varian Galat Yang Heterokedastisitas Dan Kasus Varians Galat Yang berautokorelasi.”
1.2.Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah :
a. Melakukan pengkajian karakteristik penduga GLS pada model linear
b. Melakukan transformasi untuk mengatasi sifat heterokedastisitas dan heterokedastisitas
yang disertai korelasi antarvariabel yang memiliki kemampuan untuk mempertahankan
sifat efisiensi estimator tanpa harus kehilangan sifat unbiased dan konsistennya.
c. Melakukan pengkajian simulasi model linear dengan menggunakan metode Generalized
II. TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Model Linear Umum
Menurut Usman dan Warsono (2000) bentuk model linear umum adalah : = � + �
dengan :
� � adalah vektor peubah acak yang teramati.
� � � adalah matriks dengan unsur-unsurnya bilangan tertentu yang diketahui > .
�� � adalah vektor parameter yang tidak diketahui.
�� � adalah vektor peubah acak yang tidak teramati,dengan E(ε) = 0 dan cov (ε) = ∑
Model di atas dinamakan model linear umum.
Kasus2. Distribusi ε tidak diketahui, tetapi mempunyai nilai tengah nol kovarians matriks � ,
dengan � > dan tidak diketahui. Diasumsikan ruang parameter untuk kasus-kasus di atas adalah Ω,dengan
Ω = {(β, � ), β dalam ��, � >
Untuk kasus pertama, yang sering disebut teori normal, seringkali digeneralisasikan dengan �~� , � � , dengan � > dan tidak diketahui serta V matriks yang diketahui nilainya.
Untuk kasus kedua seringkali asumsi-asumsi yang kaku disyaratkan seperti misalnya � adalah
independen dan berdistribusi identik dengan fungsi distribusi komulatif yang kontinu (Usman
dan Warsono,2000).
Misalkan L persamaan dengan kombinasi matriks :
[ … � �]
Dimana matriks tersebut memiliki n baris dan L(K+1 ) kolom, sehingga dapat ditulis � =
���+ ��. Kombinasikan semua persamaan L dalam bentuk partisi berikut :
Jika masing-masing , j = 1, …, L,terdiri dari unsur-unsur non stokastik dan memiliki peringkat
penuh, X akan memiliki sifat yang sama. Jika masing-masing � memiliki (� ) = sehingga memilki ε. Asumsikan bahwa galat dari masing-masing persamaan adalah homokedastisitas dan
tidak berkorelasi, yang berarti (� �′) = � , j = 1, …, L. Tetapi jika asumsi bahwa galat dari
masing-masing persamaan menjadi � �� =′ �� termasuk ke dalam kasus khusus (Graybill,
1983).
2.2 Pendugaan Parameter
2.2.1 Pengertian Pendugaan Parameter dan penduga
Pendugaan atau estimasi merupakan proses yang menggunakan sampel statistik untuk menduga
atau menaksir hubungan parameter populasi yang tidak diketahui. Pendugaan merupakan suatu
pernyataan mengenai parameter populasi yang diketahui berdasarkan populasi dari sampel
random yang diambil dari populasi yang bersangkutan. Jadi, dengan pendugaan ini keadaan
parameter populasi dapat diketahui.
Penduga adalah anggota peubah acak dari statistik yang mungkin untuk sebuah parameter.
Besaran sebagai hasil penerapan penduga terhadap dari suatu contoh disebut nilai duga
2.2.2 Sifat-sifat Penduga
Menurut Andi Hakim Nasution Penduga Parameter mempunyai sifat-sifat antara lain :
1. Tak Bias
Setiap fungsi peubah acak yang diamati merupakan penduga tak bias dari parameter θ,
apabila nilai harapannya sama dengan parameter tersebut. Jadi, apabila t(X1, …, Xn) atau
dengan catatan vektor , t(X’), merupakan fungsi atau statistik yang menjadi penduga tak bias
dari θ, haruslah
�(� ′ ) = �
Jika tidak terpenuhi maka t(X’) dikatakan sebagi penduga yang berbias dari θ, dan besarnya
bias ini, B(t,θ), sama dengan E(t(X’))-θ. Jika t(X’) penduga tak bias dari θ maka ′ −
� sama dengan ragam t(X’). tetapi jika t(X’) penduga berbias, maka nilai harapan ini
disebut kuadrat tengah galat dari penduga t(X’). sedangkan | ′ − �|disebut juga sebagai
galat pendugaan
2. Ragam Minimum
Apabila suatu parameter terdapat lebih dari satu macam penduga tak bias, maka penduga
yang terpilih sebagai yang lebih baik atau yang terbaik adalah yang memiliki ragam yang
sekecil-kecilnya. Hal ini disebabkan karena ragam penduga tersebut adalah ukuran
penyebaran penduga di sekitar nilai tengah populasi. Jika misalnya �̂ penduga tak bias dari θ maka sesuai dengan ketidaksamaan Chebyshev
�(|�̂ − �| < �) ≥ −�� , � >�̂
Suatu penduga tak bias yang memiliki ragam terkecil diantara semua penduga tak bias lainnya
dan sifat ragam terkecil ini berlaku untuk semua kemungkinan nilai-nilai parameter dinamakan
penduga tak bias dengan ragam minimum seragam
3. Konsisten
Apabila �̂� merupakan penduga parameter θ yang ditentukan berdasarkan contoh berukuran n, maka �̂� disebut penduga yang konsisten apabila �̂�konvergen dalam peluang ke θ untuk n →∞ atau untuk setiapn ε>0,
�
�→∞� |�̂�− �| > � = 4. Statistik Cukup
Sesuatu yang dijadikan sebagai penduga suatu parameter adalah statistik atau fungsi peubah acak.
Misalnya salah satu penduga yang digunakan adalah hasil rata-rata dari contoh berukuran n. jika
statistik ini dianggap telah cukup memberikan semua informasi yang diperlukan untuk pendugaan
parameter populasi maka statistik ini secara wajar dapat disebut statistik cukup.
5. Kelengkapan Suatu sebaran
Misalkan X peubah acak dengan fungsi peluang atau fungsi kepekatan f(x;θ), θ Є Θ sedangkan Θ
adalah ruang parameter, yaitu gugus semua nilai yang mungkin diambil oleh θ. Sebaran peubah
acak X disebut sebaran lengkap jika untuk suatu fungsi s(X) dan untuk setiap nilai θ dan X,
� � =
Mengakibatkan s(X)=0.
Pengertian kelengkapan sebaran ini penting peranannya di dalam usaha mencari penduga terbaik
yang khas dari parameter sebaran tersebut.
Penduga yang baik adalah penduga yang memenuhi dua sifat pendugaan yaitu tak bias dan mempunyai
2.3 Generalized Least Square
Salah satu metode yang sangat populer untuk mengestimasi nilai rata-rata dari variabel random
adalah Metode Estimasi Kuadrat Terkecil (Least Square Estimation). Metode Kuadrat Terkecil
(Least Square) merupakan salah satu metode untuk menganalisis regresi yang paling sering
digunakan berdasarkan asumsi-asumsi tertentu yang merupakan bagian dari ilmu statistika.
Dalam perkembangannya Metode Estimasi Kuadrat Terkecil berkembang menjadi beberapa
metode sesuai dengan kebutuhan, misalnya apabila terjadi penyimpangan asumsi pada kuadrat
terkecil. Ada beberapa asumsi klasik yang harus dipenuhi oleh bentuk estimasi OLS (Ordinary
least Square) agar hasil estimasinya dapat diandalkan. Salah satu asumsi penting yang akan
dibahas dalam tulisan ini adalah asumsi homoskedastisitas. Asumsi variansi galat homogen
(asumsi homoskedastisitas) diperlukan oleh metode OLS untuk mendapatkan parameter regresi
yang bersifat tak bias linear terbaik (best linear unbiased estimation). Tidak dipenuhinya asumsi
variansi galat homogen atau terjadi heterokedastisitas akan dapat mengakibatkan :
a. Penduga OLS yang diperoleh tetap memenuhi persyaratan tidak bias.
b. Varian yang diperoleh menjadi tidan efisien, artinya cenderung membesar sehingga tidak
lagi merupakan varian yang terkecil.
Dengan demikian model perlu diperbaiki dulu agar pengaruh dari heteroskedastisitasnya hilang
(Muhammad Firdaus, 2004).
Penanganan kasus variansi galat tidak homogen (heteroskedastisity) diikuti munculnya
penyimpangan asumsi lainnya. Pada kondisi adanya heteroskedastisitas estimasi atau pendugaan
akan lebih efisien apabila menggunakan metode Generalized Least Square (GLS). Karena GLS
sebagai salah satu bentuk least square estimation, merupakan bentuk estimasi yang dibuat untuk
efisiensi estimatornya tanpa harus kehilangan sifat unbiased dan konsistensinya (Kariya dan
Kurata, 2004).
2.4 Autokorelasi
Menurut Ananta (1987) bahwa galat �� berkorelasi satu sama lain disebut berautokorelasi,
koefisien korelasi ini dinyatakan dengan �, jadi dapat ditulis �� = ���− + �
Dengan |�| < dan �bebas satu sama lain dan �~� , �
Model �� = ���− + � dikenal sebagai model autoregresi tingkat satu. Nama autoregresi adalah
sesuai karena dapat diinterpretasikan sebagai regresi � atas dirinya yang terlambat satu periode.
Dinamakan tingkat satu karena hanya � dan nilai tepat sebelumnya yang terlibat. ��− = ���− + �− dan
��− = ���− + �−
Sehingga diperoleh:
�� = �{���− + �− } + �
�� = � + � ��− + � �− dan
�� = �+ � {���− + �− } + � �−
�� = � + � ��− + � �− + � �−
Persamaan tersebut dapat dilanjutkan terus hingga dampak ε hilang (karena ρ dipangkatkan
dengan angka yang besar sekali) maka
�� = � + � �− + � �− + � �− + .
Terlihat bahwa �� dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear �, �− , �− ,… yang semuanya
� �� = � � + � � �− + � � �− + � � �− +
Karena per asumsi nilai harapan �(untuk tiap nilai i) sama dengan nol ����− = { ���− + � ��− }
= � ��− + ���−
����− =� � ��
Karena per asumsi � �� sama untuk setiap pengamatan dan tak ada korelasi antara � dan
�− sehingga tidak ada korelasi antara � dan ��− . Maka matriks Δ dapat disederhanakan lebih lanjut menjadi:
2.5 Heterokedastisitas
Heterokedastisitas muncul apabila kesalahan atau residual dari model yang diamati tidak
memiliki varians yang konstan dari suatu observasi ke observasi lainnya. Salah satu asumsi
paling penting adalah bahwa varians tiap unsur disturbance, tergantung pada nilai yang dipilih
dari variabel yang menjelaskan yaitu suatu angka konstan yang sama dengan � . Ini merupakan
asumsi homokedastisitas dengan Homo berarti sama, scedastic berarti sebaran yaitu varians yang
sama. Gangguan (disturbance) yang muncul adalah homokedastik yaitu semua gangguan tadi
mempunyai varians yang sama (Gujarati, 1997).
2.6 Uji Hipotesis
Dalam model linear umum = � + � dengan �~� , � , Λ adalah statistik uji GLR untuk
menguji hipotesis
: � = ℎ dengan alternatif �: � ≠ ℎ
Dengan statistik uji diberikan oleh
� = ( − ) �̂��̂− �̂Ω
Ω = [
′ − − − ′ − −
′ − − ]
−
dan � = [( ̂−ℎ)
′[ ′ −1 ′]( ̂−ℎ)
′ − − ]
�−
Di samping itu Λ berdistribusi F(q, n-p, �), dengan
� = � ( �̂ − ℎ)′[ ′ − ′]( �̂ − ℎ) Uji GLR dengan taraf signifikan sebagai berikut :
Tolak jika dan hanya jika Λ memenuhi � > , ,�− dengan , ,�− adalah titik kritis dengan
III. METODELOGI PENELITIAN
3.1 Waktu dan Tempat Penelitian
Penelitian ini dilakukan pada semester ganjil tahun ajaran 2011/2012 bertempat di jurusan
Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung.
3.2 Data Simulasi
Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data yang dibangkitkan melalui software SAS
9.0. Adapun data X yang dibangkitkan adalah variabel X sebanyak 5 pengamatan. Variabel X11 digenerete melalui proses random dengan distribusi normal nilai tengah 72,58 dan varians
168,27, dan X12 berdistribusi normal dengan nilai tengah 6,750 dan varians 1,970, X13 berdistribusi normal dengan nilai tengah 7,750 dan varians 1,841 , X21 berdistribusi normal dengan nilai tengah 6 dan varians 5,111 , X22 berdistribusi normal dengan nilai tengah 4 dan varians 2,444 , X23 berdistribusi normal dengan nilai tengah 44,1 dan varians 1,433 , X31 berdistribusi normal dengan nilai tengah 14,7 dan varians 1,344 , X32 berdistribusi normal dengan nilai tengah 27,2 dan varians 3,289 , dan X33 berdistribusi normal dengan nilai tengah 17 dan varians 30,22.
13
13 pengamatannya berbeda-beda/heterogen. Demikian dengan S2 dan S3 dimana S ={i/100,
dengan i= 1, 2,…, 5} dan S ={i/1000, dengan i = 1, 2, …, 5}.
Untuk kasus autokorelasi variabel tak bebas (Y) diperoleh dari X * � + �, dan � digenerete berdasarkan �� = ���− + �, dimana � ~ � , � , sehingga berdistribusi N �,σ � ,
dimana � =
[
� � … ��− �
� ⋮
� … �
⋮ ⋮
… ⋱
��− ��− ⋮
��− ��− ��− … ]
.
3.3 Metode Penelitian
Langkah-langkah yang dilakukan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut :
1. Menduga parameter β pada model linier dengan Generalized Least Square.
2. Melakukan simulasi data dengan mendesign program pendugaan parameter β dengan
Generalized Least Square menggunakan software SAS 9.0.
14
14 3.4 Flowchart Simulasi Kasus Heteroskedastisitas
ya
tidak
Ya tidak
tidak
ya Mulai
Input X11, X12 X13,X21,X22,X23,X31,X32,X33, S1,S2,
dan S3
�
k = 1
k = k + 1
k<10
Selesai
Increase= { , . , − . , }
� = � + Increase
i = 1
i = i + 1
i<1000
Generete � ~ � , � ∗ Y = Mu + �
Power = Count / (1000-1) Mu = X* �
Hitung : F-hitung
Hitung : p-value
p-value < 0.05
Count = count + 0
15
15 3.5 Flowchart Simulasi Kasus Autokorelasi
ya
tidak
Ya tidak
tidak
ya Mulai
Input X11, X12, X13, X21, X22,
X23,X31,X32,dan X33
�
k = 1
k = k + 1
k<10
Selesai
Increase= { , . , − . , }
� = � + Increase
i = 1
i = i + 1
i<1000
Generete �� = ���− + � Y = Mu + �
Power = Count / (1000-1) Mu = X* �
Hitung : F-hitung
Hitung : p-value
p-value < 0.05
Count = count + 0
V. KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan
Berdasarkan hasil dan pembahasan yang telah dilakukan, dapat disimpulkan sebagai
berikut :
1. Penduga parameter dengan metode GLS pada kasus heteroskedastisitas
menghasilkan :
a. Nilai penduga � yang mendekati nilai sebenarnya dan jika keheterogenan
varians semakin diperkecil maka penduga yang dihasilkan akan semakin
mendekati nilai sebenarnya.
b. jika � menjauh dari asumsi H0 maka kuasa uji yang didapat akan bertambah
besar, hal ini berarti dengan menjauhnya � dari asumsi H0 maka peluang
untuk menolak H0 dimana H0 salah semakin besar (mendekati satu). Nilai
kuasa uji juga akan bertambah besar ketika keheterogenan dari varians data
diperkecil, sehingga semakin homogen varians maka kuasa ujinya pun
semakin besar.
2. Penduga parameter dengan metode GLS pada kasus autokorelasi menghasilkan:
a. Nilai penduga � yang mendekati nilai sebenarnya dan jika korelasi antar
76
menunjukkan perbedaan. Jika semakin kecil korelasi antar pengamatan
maka akan diperoleh σ̂2 yang mendekati nilai parameter. Akan tetapi jika
korelasi antar pengamatan diperbesar maka σ̂2 yang diperoleh semakin
besar dan jauh dari nilai parameter.
b. Kuasa uji terkecil disaat � =β2 = {0, 0, 0, 0}, tetapi untuk � selanjutnya,
nilai kuasa uji yang didapat bernilai satu, karena sesuai dengan F-hitung
yang sangat besar sehingga peluang untuk menolak H0 dimana H0 salah juga
sangat besar.
5.2 Saran
Masih banyak penelitian yang perlu dikaji dalam pendugaan parameter pada metode
lainnya. Oleh karena itu penulis mengharapkan kepada para pembaca untuk menelaah
lebih lanjut. Penulis juga mengharapkan supaya menyempurnakan program makro
KARAKTERISTIK PENDUGA GLS PADA MODEL LINEAR
BERDASARKAN KAJIAN SIMULASI
(Skripsi)
Djuwita Agustina 0717031028
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG
ABSTRAK
KARAKTERISTIK PENDUGA GENERALIZED LEAST SQUARE (GLS) PADA MODEL LINEAR BERDASARKAN KAJIAN SIMULASI
Oleh : Djuwita Agustina
Metode yang paling sering dipakai peneliti untuk menduga parameter adalah Metode Kuadrat Terkecil (Least Square Methode). Dengan menggunakan metode ini akan didapatkan penduga parameter yang tidak bias, konsisten dan efisien. Untuk menggunakan metode ini harus memenuhi asumsi-asumsi yang disebut asumsi klasik.
Kuadrat Terkecil yang memenuhi asumsi-asumsi ini disebut Ordinary Least Square (OLS). Namun, pada pelaksaannya sering kali terjadi penyimpangan asumsi-asumsi ini, salah satunya adalah terjadinya heteroskedastisitas (nilai variansi tidak konstan) atau varians galat yang berautokorelasi. Apabila penyimpangan ini terjadi maka akan dihasilkan penduga yang tidak bias, konsisten namun tidak efisien. Maka harus digunakan metode kuadrat terkecil yang merupakan pengembangan dari kuadrat terkecil yang bisa digunakan pada data yang homoskedastisitas dan juga bisa digunakan untuk mengatasi heteroskedastisitas atau autokorelasi supaya tetap mendapatkan penduga yang tidak bias, konsisten dan efisien yaitu metode Generalized least Square (GLS). Hasil yang diperoleh dengan menggunakan metode GLS yaitu penduga β yang mendekati nilai sebenarnya ketika keheterogenan di perkecil. Jika � menjauh dari asumsi H0 maka kuasa uji yang didapat akan semakin besar.
Judul : KARAKTERISTIK PENDUGA GLS PADA MODEL LINEAR BERDASARKAN KAJIAN SIMULASI
Nama Mahasiswa : DJUWITA AGUSTINA
No. Pokok Mahasiswa : 0717031028
Program Studi : Matematika S1
Jurusan : Matematika
Fakultas : Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
MENYETUJUI Komisi Pembimbing
Mustofa Usman, Ph.D Dian Kurniasari, M. Sc
NIP 19570101 198404 1 001 NIP 19690305 199603 2 001
MENGETAHUI
Ketua Jurusan Matematika Ketua Program Studi
Matematika
Tiryono Ruby, M.Sc., Ph.D. Dra. Dorrah azis, M.Si
NIP 19620704 198803 1 002 NIP 1960128 198811 2 001
MENGESAHKAN
1. Tim Penguji
Ketua : Mustofa Usman, Ph.D ...
Sekretaris : Dian Kurniasari, M.Sc ...
Penguji
Bukan Pembimbing : Warsono, Ph.D ...
2. Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Prof. Suharso, Ph.D 119690530 199512 1 001
Kupersembahkan Skripsi ini Untuk
“ Buyah (Alm) dan Ibuku serta Saudara
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Bandar Lampung pada tanggal 30
Agustus 1986 dan merupakan anak kelima dari lima
bersaudara, dari pasangan Bapak Burhanuddin Razak (alm)
dan Ibu Maryana.
Penulis menyelesaikan pendidikan Taman Kanak-kanak di TK Budi Bhakti II
Bandar Lampung tahun 1993, Sekolah Dasar di SD Negeri 2 Langkapura
diselesaikan tahun 1999, pendidikan menegah di Sekolah Lanjutan Tingkat
Pertama Negeri 28 Bandar Lampung yang diselesaikan tahun 2002, dan
pendidikan lanjutan di Sekolah Menengah Atas Negeri 7 Bandar Lampung
diselesaikan pada tahun 2005. Tahun 2007 Penulis melanjutkan pendidikan Strata
Satu (S1) pada Jurusan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas
Lampung melalui jalur SNMPTN.
Pada tahun 2007 penulis aktif dalam beberapa organisasi dalam fakultas, menjadi
anggota Generasi Muda Matematika (GEMATIKA) tahun 2007. Menjabat sebagai
anggota kesekretariatan HIMATIKA tahun 2008. Penulis mengikuti Karya Wisata
Ilmiah (KWI) tahun 2008. Menjabat sebagai anggota danus HIMATIKA tahun
SANWACANA
Puji syukur penulis panjatkan pada ALLAH SWT atas berkat rahmat dan
hidayah-Nya, penulis dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul
“Karakteristik Penduga GLS Pada Model Linear Berdasarkan Kajian Simulasi“.
Penulis menyampaikan banyak terima kasih yang tulus dari dasar hati kepada:
1. Bapak Mustofa Usman, Ph.D selaku Dosen Pembimbing Utama, atas
bantuannya membimbing penulis dalam memberikan saran dan ide dalam
menyelesaikan skripsi ini.
2. Ibu Dian Kurniasari, M.Sc selaku Dosen Pembimbing Kedua yang
sekaligus Pembimbing Akademik yang telah sabar membimbing dan
meluangkan waktunya kepada penulis dalam penyelesaian skripsi ini.
3. Bapak Warsono, Ph.D selaku Pembahas yang telah memberi saran dan
kritik dalam perbaikan skripsi ini.
4. Ibu Widiarti, M. Si. selaku Dosen Statistik yang telah membantu penulis
dalam menyelesaikan program skripsi.
5. Ibu Dra. Dorrah Azis, M.Si. selaku Ketua Program Studi Matematika
Fakultas MIPA Universitas Lampung.
6. Bapak Tiryono Ruby, M.Sc., P.Hd. selaku Ketua Jurusan Matematika
Fakultas MIPA Universitas Lampung.
7. Bapak Amanto, M.Si. Selaku Sekretaris Jurusan Matematika Fakultas
MIPA Universitas Lampung.
8. Bapak Prof. Suharso, Ph.D. Selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu
9. Ibu dan alm. Buyah ku Tercinta serta saudara-saudaraku yaitu Ratu Hawi,
Ratu Ida, Daing Ansori dan Batin Muchsin serta semua keponakanku yang
selalu penulis sayangi, seluruh keluargaku tercinta atas doa dan kasih
sayang yang tulus.
10.Mas Andi yang selalu sabar memberikan dukungan, semangat, bantuan
tenaga maupun pikiran, serta perhatian.
11.My best friend Dewi, Rika, Ratna, Imelda dari SMP sampai sekarang
selalu setia memberi dukungan dan semangatnya.
12.Mas Dadang dan Lek Gunadi yang telah bersusah payah membantuku,
mengeluarkan ide yang sangat briliant.
13.Sahabat-sahabatku Olive, Niken, Sri Wahyuningsih, Meli, Ana, Wayan
atas bantuan, kebersamaan dan persahabatannya.
14.Teman-temanku semua (Animasi ’07) atas bantuan, dukungan,
kebersamaan dan persahabatan yang indah.
15.Semua pihak yang telah membantu penulis dalam menyelesaikan skripsi
ini, yang tidak dapat disebutkan satu persatu.
Semoga Allah SWT membalas kebaikan mereka terhadap penulis dan semoga
skripsi ini dapat bermanfaat.
Bandar Lampung, Februari 2012 Penulis
