Identifikasi Sebaran Campuran Berhingga

IDENTIFIKASI SEBARAN CAMPURAN BERHINGGA

W C E MARIA ULFA

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

YUCE M R I A ULFA. Identfiasi Sebaran Campm Berlungg (Idenr$c?:iir,. ofJniie mi.rrures). Dibilnbing olch BERLIAN S E T I A W A n - clan I. G. PCrI-i; PURXAB.4.

hfisalkan

s=

;F(.,a)

/

a € R;' } adalah keluarga fun_esi s e b a m yang dicirka:, oleh parameter a € R;' .

dinmaR;' adalah lumpunan bagian Borei dari ruang Euciidenn berdiniensi n ~ . .?-. Fungsi F( ...) l e d w di

R'x R;' . Sebaran campuran berhingga H didefinisikan sebagai berihui

1

dinuna c, > O . x c , =1. a, E R I . i=I.Z

...

k . I: E !V. l i l

h<isalkan e%ad?lah kelas sebaran campuran berlungga dari F yaitu

1 1

~ ~ = { H ( . ) = ~ c ; ~ ( . . c . j l c . > 0 . ~ c , = l . a , ~ R P . 1 = 1 _ 2

....

_ I . ~ E . V

, = I ,=I

Jika terdapat dua scbann campuran

!.an? meinenuhi H(xj = H ( x ) . bcnlcibat ;: = 1;

_

dan uniili; seiiap I. lerdapat SLE;:~ j sedemikian stllingza c, =

(,

, a: =

6 ,

n l a h cedikatakan dc2-r diideniijiko.c:

IDENTIFIKASI SEBARAN CAMPURAN BERHINGGA

YUCE MARIA ULFA

Skripsi

sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains

pada

Jurusan Matematika

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

Judul

:

Identifikasi Sebaran Campuran Berhingga

Nama

:

Yuce Maria UIfa

N R P

:

GO5496022

Menyetujui,

Dr.

Berlian Setiawatv

Pembimbing I

Dr.

Ir.

I.

G. Putu Pumaba

Pembimbing

II

3

Msc

Penulis dialirkan di Mataram pada tanggal 12 Januari 1978 sebagai anak kelima dari enam orang

bersaudm , anak dari pasangan Abdul Qadir dan Saunah.

Tahun 1996 penulis lulus dari SMA Negeri I Mataran1 dan pada tahun yang sama lulus seleksi masuk IPB melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB pada Jurusan Matematika Fakdtas Matematika dan Ilmu

Pengetahuan Alam.

Selama mengikuti perkuliallan penulis menjadi asisten lnata kuliah Fisika Dasar I pada tahun ajaran

199711998. serta ~nata kuliah Persamaan Diferensial Biasa pada tahun ajaxan 199811999 dan mata kulial~

PRAKATA

Puji dan qwkw penulis panjatkan kepada AUah SWT atas segala kamia-Nya sehingga karya ilmiah

ini bisa diselesaikan. Judul yang dipilih dalam penulisan karya ilmiah ini adalah Identifikasi Sebaran

Campuran Berlingga.

Terilnakasih penulis sampaikan kepada berbagai pihak yang telah membantu penyelesaian kaqa

ilmiah ini, antara lain Ibu Dr. Berlian Setiawaty dan Bapak Dr.

Ir.

1.G.Putu Pumaba selaku p e m b i m b i i

atas bimbingan dan kesabarannya, serta Bapak Dr. Ir. N.K. Kutha Ardana sebagai penguji skripsi, atas

saran-saran yang diberikan dart Bapak Drs.Jaharuddin Msi sebagai dosen pembimbiig akademik atas

bimbingan dan dorongannya selama ini, serta Bapak dan Ibu dosen atas illnu yang sudah diberikan

kepada penulis. Ungkapan terimakasih yang sebesar-besarnya kepada bapak, mamak, kakak dan adikku

tersayang atas do'a dan dukungannyq serta teman-temanku Ayun, Ela, Eka, Aam, Aih, Tini, Euis,

Nandar, Anto, Tonah teman-teman matematika seangkatan atas kebersamaannya selama ini, dan

saudaraku sepe juangan keluarga besar Az-Zahirah atas bantuan dan do'anya.

Semoga karya tulis ini dapat bermanfaat.

Bogor, Novenber 2000

DAFTAR IS1

Halaman I. PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakan 1

1.2 Tujuan Penulis 1

1.3 Sistematika P 1

11. LANDASAN TEON

2.1 Ukuran 2

2.2 Fungsi Sebaran ... 2

2.: Transfonnasi Laplace 3

2.4 Basis Suatu Ruang Vektor ... 4

111. SEBARAN CAMPURAN BERHWGGA ... ... ... ... ... .. 4

1V.SYARAT KELAS SEBARAN CAMPURAN BERHR.IGGA DAPAT DIIDENTIFIKASI ... 6

V. KELAS SEBARAN CAMPURAN BERHINGGA YANG DAPAT DIIDENTiFIKASI 9

VI.

KESJMPULAN

...

.

.

.

.

... 11

I. PENDAHULUAN

1.1 Latar Belaknng Sebaran di alas mungkin berasal dari

Misalkan

9.

= {F(.,a)

I

U E R;'

1

adalah 2 .

H(x) = f ~ ( - l , l ) + ~ 0 ( - 2 . 2 )

keluarga fungsi sebaran yang dicirikan oleh

,

J (1)

parameter a6 R;'

.

dimana R;' adalab lulnpunan _atau

bagian Borel dari ruang Euclideai? berdimensi ni. ₁

R"! Fnngsi F( ...) terukur di R'XR;' . H(x) =-u(-2,l)+LU(-1,2) 2 2 (2)

Sebaran canlpuran berhingga

H

didefinisikan atau

sebagai berikut

P

H(x) = c, ~ ( x . a , )

t=1

i

dinlana c, > 0. c, = 1. >=I

a, E R;', i = 1,2 ...., k ;

k E N .

Misalkan

c%

adald~ kelas sebaran campuran

berllingga dari Fyaitu

i i

c % = { ~ ( . ) = ; I : c , ~ ( , a , ) I c , >O.;I:c,

= L

,=I I=!

U,ER;", i=1,2

,....

k, ~ E A ' } .

Masalah yang menarik untuk dipelajari di

c%

adalal~ jika terdapat dua sebaran campuran

1

dan H(x)=CE,F(X.&,)EC~~,

i=!

yang memenuhi H(x) = k ( x ) , apakah li dengan

i

dan pasangan (c,.aj) dengan (Ej,Gj) dapat

diidentifikasi. atau dengan kata lain dapdt ditunjulckan k =

i

_

dan untuk setiap i. terdapat suatu j sede~nikian sehingga c, =

E,

, a j =

&,

.

dimana U(a.b) adalah sebaran sengam pada selang (a, b).

Karena sebaran tersebut diperoleli dari data ti& ada alasan untuk mengatakan persamaan (I), (2) atau (3) yang benar. Pennasaldm yang te jadi terletak pada penentuan d x i tiap-tiap komponen penyusun sebaran campuran tersebut. Adanya beragan pemecahan dari data tersebut dapat membuat pendugaan panmeter menjadi lebih sulit.

Masalah di atas penting untuk pendugaan parameter. Salah satu aplikasi masalah ini adalah untuk mengidentifikasi parameter-parameter pada model 1\4arl<oi~ terselubung (hidden h4arlco1~ modeIs).[Setia~~~atyty B. 19991

Dari m i a n di atas tidak semua sebaran campuran berlungga dapat diidentifikasi. Oleh karena itu untuk lnengidentifikasi sualu kelas sebaran carnpuran berlingga diperlukan syarat

perlu dan syarat cukup. Dalam tulisan ini

diberikan syarat perlu dan syarat cukup, serta beberapa contoh sebaran c a m p m berhingga yang dapat diidentifikasi.

1 2 Tujuan Penulisan

1. Menentukan syarat perlu dan syarat cukup bagi suatu kelas fungsi sebaran campuran berhingga agar dapat diidentifikasi.

Perhatikan contoh dibawah ini, misalkan dari 2. Memberikan _{sebann canlpuran berhingga yang dapat} con1011 kelas-kelas fungsi data diperoleli sebaran ebagai berikut

f

diidentifikasi.

1.3 Sistematika Penulisan

Pada pendahuluan diulas secan singkat

--T-L

definisi sebaran c n n p m berlingga yang &pat

diidentifikasi, serta trjuan penulisan. Bab dua berisi landasan teori, yang merupakan dasar untuk

-2 -1 0 1

2

pembal~asan-pemballasan selanjutnya, seperti

sebaran, dan transfonnasi Laplace. Bab tiga sebaran campuran berhiigga diitakan dapat

membahas tentang sebaran campuran berhingga diidentifikasi, serta beberapa contoh kelas sebaran

dengan beberapa contoh. Pada bab empat dan linna yang memenuhi. Bab enain berisi kesimpulan

diulas syarat perlu dan syarat cukup suatu kelas lwsil peinbalwsan.

II.

LANDASAN TEORI

Untuk memahami penyelesaian masalali o-lapangan yang dibangun oleh yaitu EI = o m )

identifikasi camp- berllingga disebut hintprrr~un Borel atau Borel o-Irrpnngan

diperlukan beberapa teori sebagai berikut. _{dari R".}

2.1 Ulmran

Definisi 1. (Lapangan) pillingsley, 19781 Misalkan F adalah koleksi himpunan bagian dari 0 , inaka Fdisebut lapangan jika

i. Q E ~

ii. jikaA E 4 nlakaAC E F iii. jikaA,B E FrnakaA u B E F.

Fdisebut 5 lapangan jika

i. F adalah lapangan

rn

ii. jikaA1,A2, ... E Fmaka

UA,

E F

k=l

J i a 4 adalah o-lapangan dari 0 , maka pasangan

(Q,q

disebut ruang terukrrr.

Contoh 1.

Misalkan Q = R, A = [2,3) maka A' = (-03.2) u [3,03). Misalkan 4 = {.4A:R,@, maka F adalah

lapai?gai7 dart sekaligus G - lapangal? . 0

Misalkan 2 merupakan koleksi himpunan

bagian dari S2. Dengan melakukan operasi gabungan. irisan. dan komplemen pa& 2 &pat diperoleh suatu o-lapangal7 Fyang d i b a n , ~ oleh 2 dan dinotasikan F =

Contoh 2.

Dari contoli 1, Fadalah lapangan yang dibanguri

oleh liinipunan A, atau ditulis F=o(A). 0

Definisi 2. (HiinpunanBorel)pillingsley. 19781 Misalkan

a = { x ~ x = ( x l , x ~ x 3 , - . , x n ) , a , r x , r b , ,

I,€ R, i= 1.2.: ,... 17 }

Definisi 3. (Ukuran Peluang) [Billingsley, 19781

Misalkan 4 adalah lapangan dari Q. Fungsi

bernilai nil P yang terdefinisi pada F disebut

ukuranpeluang ataupeluang jika memenuhi :

i. 0 5 P(A) s 1, untuk setiap A E F ii. P ( 0 ) = 0, P(Q) = 1

iii. jika.4,,A2, ... adalah barisan saling lepas di F

rn co

dan

UA,

E F m a k a ~ ( ~ A , ) = g ~ ( A , ) .

k=I k=I k=l

Pasangan (S2,KP) disebut ruang ukurarr pelrrang atau ruangpelufrng.

Definisi 4. (Fungsi Terukur) [Kolmogorov &

Fomin 19611

Misalkan T adalal~ o-lapangan

dari

Q dan L8

adalah Borel o

-

lapangan dari R. Misalkan f adalah fungsi bemilai riil yang terdefinisi pada 0. Fungsi f dikatakan terukur jika f -'(B~E 4 untuk setiap llinipunan B E B .

Fungsi terukur f pada ruang u k m peluang ( R E P ) , disebut peubah acak.

2.2 Fungsi Sebaran

Definisi 5. (Fungsi Icepekatan Peluang)pogg &

Craig. 19951

Misalkan X adalah beubah acak di (QTP),

AX) >o, ~ € 0 , dan

f(x)dx= 1

n

inaka P(.II). untuk A E F dapat dinyatakan sebagai P(A) = P(,Yd) = Jf(x)dx

A

Definisi 6. (Fungsi Sebaran)[Hogg & Craig, 19953 Fungsi sebaran dari peubah acak X didefinisikan oleh

F(x) = P[.Y 2 x] =

If

(o)do

as =

untnk setiap xeR.

Sifat fungsi sebaran adalah 1. lim F(x) _*--- = 0 dan lim F(x) = 1

r--

2. F fungsi tak turun

3. F fungsi yang kontinu k a n a yaitu l i ~ n F ( x ) = F(xO). untuk s e t i a p x ~ ~ R .

I-'%*

Definisi 7. (Fungsi Sebaran Normal)[Hogg &

Craig, 19953

Peubah acak X dikatakan menyebar norntal

dengan parameter p

dan

o:

dimana PER, dan

o > 0, jika

S

mempunyai fungsi kepekatan peluang

1 1 x-p 2

Ax) =

-

e p - , - m < x < w .

Untuk p = 0 dan 0 =1, S dikatakan menyebar

norntal bakri.

Definisi 8. (Fungsi Sebaran Ganuna)[Hogg &

Craig, 19951

Peubah acak X dikatakan menyebar gantma

dengan parameter a dan

P,

diunana a > 0, dan

p

> 0, jikaSmempunyai fungsi kepekatan peluang

dengan

Definisi 9. (Fungsi Sebaran Poisson)[Hogg &

Craig, 19953

Peubah acak X dikatakan mempunyai sebaran

Poisson dengan parameter i. > 0, jika fungsi

kepekatan peluang dari -1- dapat dinyatakan

sebagai

2.3 Transformasi Laplace

Definisi 10. (Transfonnasi Lap1ace)parlow. 19941

Misalkan f adalah fungsi dari R ke R, maka transforntasi Laplace daxi fadalah suatu fungsi F yang didefinisikan oleh

m

F(t) =

J

e-x' f (x) dx

-m

dan dinotasikan dengan L m .

Lema 1.

Transfor171asi Laplace dari sebaran nonnal adalall

Buliti : lihat lampiran.

Lema 2.

Transforn~asi Laplace dari s e b a m gamma

Bukti : lihat lampiran

Lema 3,

Transfor~nasi Laplace dari s e b a m Poisson dengan pamneter h > 0 adalah

2.4 Basis Suatu Ruang Vektor

Definisi 11. (Merentang) [Anton, 19911

Misalkan I' adalah mang \&lor alas R. Jika S = {i71.ix1 ... 1'. ) adalah lumpunan vektor di 1'. dan

jika setiap vektor )I'EP' dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier

is = k l ~ ' l

+

k2v2

+

...+

kni>"

uniuk suatu k; E R. i = 1.2.3

...

17; maka vektor-

vekor di S dikatakan rnerentang 1' dan

dinotasikan I,'= < S >.

Dcfinisi 12. (Bebas Linier)[Anton, 19911

Misalkan V adalah mang vektor atas R. Jiia

S = { I J I . ~ ~ Z ,..., v,) adalah himpunan vektor di I/,

maka persamaan

klvl

+

k Zl'z

+

...+

k "18" = 0

mempunyai paling sedikit satn pemecahan yaitu k , = o . n ; = o . k ~ = o

....,

k,=O.

Jika ini adalah satu-satunya pemecallan maka S disebut lunlpunan yang bebas linier. Jika ada peinecalian lain. inaka S disebut lulnpunan tali bebas linier.

Dcfinisi 13. (Basis Suatu Ruang Vektor)[Anton. 19911

Jika li adalah se~nbarang mang vektor atas R dan

S = {i'1.i'2...i~,) adalah liimpunan vektor di V maka S dikatkan basis unluk I.jika S bebas linier dan S ilierentang

I'

Misalkan

d

= {F(.,a)

I

aeR;') adalah

keluarga fungsi sebaran yang dicirikan oleh

parameter a ER;' , dimanaR;' adalah hiipunan

bagian Bore1 dari ruang Euclidean berdimensi 111,

Rm. Fnngsi F(.,.) terukur di R'XR;' . Misalkan G(.)

mempakan fungsi sebaran pada R;' , maka

H(x) =

I

F(x.a)dG(a) (3.1)

R;

disebut sebaran cantpuran dengan G adalah

sebaran pencanlpur. [Teicher, 19601

Contoh 3. [Lloyd, 19801

Misalkan

f

adalah fungsi kepekatan peluang dari

keluarga fungsi sebaran eksponensial

6,

yang

didefinisikan oleh

fix,@ = Be'&, x > O,8 > 0,

dan g adalah fungsi kepekatan peluang pencampur

yang hanya tergantung pada parameter 8 yang didefinisikan ole11

g(O ) = ae'". a > O,B > 0,

maka sebaran canlpuran dari fungsi eksponensial adalah

Misalkan

Cfi

=

{G(.)

/

G fungsi sebaran pada R;' ) adalah kelas semua sebaran pencampur G dan

cie*

adalah kelas selnua sebaran campuran H,

yaitu

& = { H ( . ) l H ( x ) = JF(x.a)dG(a)).

acRp

Misalkan

H ( x ) =

I

F(x.a)dG(a) E

cie*

a s ~ y

jikaH

=fi

berakibatG =

6

dimanaG.6 E&

Inaka

c%9

dikalakan dapat diiidetttifihsi. [Teicl~er, !960] Jika scbaran G pa& (3.1) dislcrit dan memberikan ~ u l a i positif c, untuk a, E R r ,

dcngan i = 1.2

...

k.

111aka H disebut sebnrnrt cat?tpuran berltittgga dan H dapat ditulis

P

H ( x ) = x c , F ( x . a , ) .

/=I

Colltoll 4.

Misalk:ln @- adalah kelas sebaran binom Xang didefinisikan o l c l ~

O < p < l )

dan GI ;1dala11 sebaran pencampur .?.zing

I

~ n c ~ n b e r i k a ~ ~ nilai --untuk 0.5 dan

2

untuk

4 4

(1.125. rnzrk;~

adalal~ sebaran c a m p m n b e r l i n g a dari sebaran binom.

K u n a sebaran bin0111 13(..50.0.125)

Kunla sebarilli canipuran berliingga dari sebaran binom.

Contoll 5.

Misalkan

d =

{N(.-p.cr)

I

p.0 E R. a >O) adalali

kelas sebann nornlal da11 G adalali iungsi

1

pcncampur pang nic~~iberikan 1111ai ; unluk (0.1)

i

dan

O 3

I

k ( x ) = z E , F ( x . & , )

~c?;:

A ! ,=I

I i , \ !

$

e 2

I memenulii 19 =

17

bsrakibat !< = dan wltuk

-.J

scriap 1 = 1.2.3 ... i terdapat j. sedemikian

got

1

sel~ingga ci =

E j

, a; = &, , m<&a

c+E

dikatakan

On

LL~

dapaf dii(1~11tifikasi . .eicher.1963]

s e , : ; . 5 s :

Kelas sebaran calipuran berlungga yang dapal diideiiiifikasi iiiciiiiliki ko~i~policn pcn)usun

Kun2a sebami C a l l l P m krhingga sebararl 5eban11 xang unik. atau daigan kala lain

nonlial. _{p-rsamaannya ridak dapat interpretasikan 611am}

1 . 2

Jf(x) = ;~Y(..(!.l)-

f

Al(..3>1). :

-

bziituk yang berbeda. s e d a q k a n permulasinya

3 3 tciap berlaku.

Misalkan cifadalali keias seriiua sebamn _{Conrol~ kelas sebarari c s ~ n p u r a ~ ~ bcrliingg:~}

campuran berhinggn !any didefinisikan sebagai _{yang ridak dapat diidentifiknsi :~dalali kcl:ls}

1 1 _{ssbaniri sernyam (liliar pendaliuluan). d:~n kel;ls}

c ~ = { N ( . ) = ~ c ~ . ~ ( . . a , ) l c , > O . ~ c , = l

.-> rebaran camplmn bsrl~ingga yany dalx11

,=n L 8.

diidcntifik~si airara lain sebaml~ nor~iial. g ; ~ ~ u r u : ~ a , ~ R " : ! = 1 . 2 ...., !<.

!<EX:

dan Poissori yang aka11 dijclasknn pada b;rb lilua

&barn tulisan ini. Jika

N

(x) =

Z

C: F(x. a , ) E

c*-

..

I\'. S Y h R l T KELAS SES.-iRAN CARlPURAN BERHINGGA

DAPAT DIIDEKTIFIKASI

dari {/',(.r)

I

F1.2 ... 1;: dapar diidenlifikasi m a k ~ !

i

lerdapat ~iilai nil rl,x2,. .x; ssliirigga

,

_{. . , I}

. . . " I / i c y E . , ) ,

,

x , . F'li)/

X ) 1 ) . . Fe(.,),

*

(1. unruk seillua x hi semua?.,

.

1 2 i 5 k- I

S y ~ r a t perlu h l a s se3xzlan ca1npnr;ui berliinps;~

dapal diidentifikasi dikrikan dalaii reoreln;~ I . F . . i : , ~ . ~ , )

berikut.

I . . I

. . I

,

,

. . . l<(J,)

j

ji;(.vt) FI(q) . . Ft[.vb);

Bukti : . .

Misalkali {I?,(>-) [ i = 1.2 .... X-> dapat diidentifikasi. _I

akan dibuktikaii terdapai rl.x: ... xk riil sehingga . . I

t

Tcorelr~a 1. [Tciclicr. 13631 _I ) F ) . . .' F,;.~' 1,

I .

. I

bC114)

rib%+) . , . %$b&->)

atau dinyatakan sebagai

Misalkan ada y1,.v2 ,...,

dan

i , 1 5 i 5 1; sehingga a,# 0, dan misalkan juga

I = { i l a , = a , ( ! ? l , , y 2 , ..., y ~ . ~ ) # O , l < i r k } . Jadi

dengan

a, = a,

WI,,

y2, ..., yk.1): i ~1.2.3 >...: k.

1

4 I . . . 5

dengan a, # 0 untuk setiap i e I.

Misalkan

,?(I)

= r. Dengan mengambil x++w

pada persamaan (I) diperoleh

C a , =O. (2)

, E l

Bila r = 1, maka dari (2) diperoleh a?= 0. Kontradiksi, jadi l m s l a h 2 2 r 5 k.

= (-1)I-l

Misalkan

S I = { i e 1 / a , > 0 ) S2 = { i e I l a ; < O )

s,

= {1,2 ,..., 1;)-

sl-$,

dari persamaan (1) dan ( 2 ) diperoleh Sl

dan

S2 bukan hinlpunan kosong.

Misalkan b = makr,,,.

/

a;

I

maka 4($) 5($ . . . &($

. . . .

. . . .

. . . .

80k) Wi2 . . . &(%) 546k4) . . . f f i k

26 1

-

E ~ C ( X ) + ~ - f i ( x ) + ~ - & ( x ) (3)

%St its2 c2 IS$ c dimana

adalall dua sebamn calnpuran yang sania dengan koefisien yang berbeda. ini rnenunjukkan bahwa {F,(x)

/

1 5 i 2 k) tidak &pat diidentifikasi. kontradiksi dengan lupotesis a~val.

Jika a, Cvl, y3 .... yt.1) = 0 untuk setiap i. i =1.2,3

...

k dan untuk setiap yl,y2 .... ,JI~.! maka

setiap U ~ ( I , ~ , . V ~ ... ,.yI.,) dapat dibentuk menjadi

I-I

C b , F, (.VI ) = 0,

Misalkan ada y% y3, ... , yk.~ sehingga bi # 0 dan misalkan juga

J = {i

1

bi= bi(!?%ys ,..., ~1k.1) * O , 1 5 i 5 k-I).

,=I

dengan

b j = b, b y 3 ,

....

}a.l),

i = 1,2 ,... k-1.

k-1

Jadi ~ b , ~ ( y l ) = ~ b , ~ i ( y l ) = ~

t=l isJ

=(-l)j+l

dengan bi ;l0, maka dengan proses yang sama seperti di atas akan diperoleh kon'adiksi.

Jika bi &,y3 ,... , y ~ ) = 0 unhlk setiap 1< i 5 k-1 dan setiap y2,yj, ... ,yI.l. nnlaka setiap bi (Y?.JJ~. ... , ~ I . I )

dapat dinyatakan dalam bentuk

&)

W

. . . f5,0;) K,69 . . -

56;)

&) &) . . .

co

K$W . . .

. . . . .

. . . .

Jika proses seperti di atas dilanjutkan terus akan diperoleh

zlF1Q1.i) = 0,

dengan mengambil yI.~++rn, maka diperoleh

zl = 0, kontradiksi dengan kenyataan bahwa rl t 0.

Jadi, agar sebalan daxi {Fj(x)

I

1

r

i 5 k) dapat identifikasi, haruslah terdapat xl,x2, ... xi riil sehingga

F;(x,) F+,) . . . ,

,

)

,

,,

. . .

J;,,

. .

. .

5(xx) F A ) . . . &(.$I

Syarat cukup kelas sebaran campuran berhingga dapat diidentifikasi diberikan dalam teorema berikut.

Tcorcma 2. [Teicher. 19631

Misalkan

6

=

{F)

merupakan keluarga fungsi

sebaran dengan transformasi $(t) yang terdefi~si pada S$. sedemikian seliingga pemetaan A4:F+$ adalah linier dan satu-salu. Jika ada urutan

<

dari

>qsedemikian selungga Fl

<

F2 berakibat

i. S+, E S+?

-

ii. Ada

rl

E S$, ,

r,

tidak tergantung pada $2r dan

-

S$, adalah penutup dari S+!, sedemikian

+ 2 ( f ) =0,

sel~ingga lim -

'+I1 $1 ( 1 )

maka kelas dari semua sebaran campuran berliingga ctedari Cfdapat diidentifikasi. Bukti :

Misalkan C f i ,

C.i;i

c d d i n m

~ = { ~ , ~ l < i < k ) d a n C . i ; i = { p , l l S j S i )

sedelnikian sehingga.

dilnana 0 < ci

s

1, i = 1:2 ,..., k ,

O < i j S l . j=1,2.3 ...., k ,

P k

dan C c , =

xi,

=1

i=l ,=I

Tanpa mengurangi kernnumuan bukti, urutkan

kembali indeks sedemikian sehingga

F,

< F J untuk i < j dengan ij = 1,2, ..., k dan k,<$juntuk i < j dengan i , j = l , 2 , 3 ,..,>

i.

Jika Fl

+

k,

, misalkan F, 4

kl

maka Fl

<

kj

,

untuk setiap j = 1,2,3

,...,

k

Misalkan pemetaan Ad: F

+

$ yang men-

Uansformasi F(x)

+

$ ( I ) dengan pemetaan satu- satu dan linier. mnaka persamaan ( 4 ) dapat dinyatakan sebagai

Dengan membagi persamaan di atas dengan $ I ( [ ) di~eroleh

Anibil 1+ ti melalui I di TI. maka dari persanuan

( 5 ) diperoleh cl = 0 , ini kontradiksi dengan cl > 0, seliingga diperoleh Fl = dan untuk suatu t 6 TI

Dengan n~engambil

r

+

rl

untuk t E T I pada (6) maka akan diperoleh c, -

i,

= 0 atau c, = 2.)

seldngga

Dengan menggunakan proses yang sama seperti di atas

akan

diperoleh6 =

6,

dan c, =

ii

untuk

i= 1.2 ,..., m i n ( k , i ) . Jika k + i misalkan k > i maka persamaan ( 4 ) menjadi

akibat

4.

= F, dan c, = t i , untuk i = 1,2,5 ,..., k maka diperoleh

k

-&ci&(x)= 0.

i=k+l

( 8 )

Dengan mecgambil x++m pada (8) diperoleh

C c , = 0 , iN kontradiksi dengan ci > 0 untuk

i=k+l

i + l S i < k . Jadi haruslah k = i ,

6.

=&

dan c ; = i , , 1 S i S k b e r a k i b a t

&=&,

maka

terbukti kelas dari senlua sebaran campuran

berliingga d d a p a t diidentifikasi.

Syarat perlu dan syarat cukup kelas sebaran campuran berllingga dapat diidentif3asi diberikan dalam teorema berikut.

Teorcma 3. p'akowitz & Spragins, 19671

Bukti :

Syarat perlu : Jiia ci = 2

10.1

maka

Misalkan & adalah kelas sebaran campman b

berlungga yang dapat diidentitikasi akan _{c c i c} M _{= c c , F ,} N

dibuktikan bebas linier pada lapangan ;=I X=&I-I

bilangan nil. Misalkan _{adalah dua bentnk yang berbeda dari sebaran}

A'

C a , F i = O , c a n ~ p m berhingga yang sama, berakibat &

,=I (') tidak dapat diidentifikasi, kontradiksi dengan

a, R, ~ ~ b i k a n bebas lifier lupotesis a\b0al. selungga lwruslall

Cf

bebas lifier.

-

dapat diatur indeks i sehingga a, < 0 o I

s

A4.

Dari persamaan (9) diperolel~ Syarat cukup :

AI N Misalkan

CJ

adalah kelas fungsi sebaran yang

c I . , l ~ =

.XI.$.

(10) bebas linier akan dibuktikan

c?e

dapat

/=I I = ~ I + I diidentifikasi.

Dengan menganibil x++m pada persamaan (10)

~naka Fi(x) = 1 sehingga persamaan (10) menjadi Misalkan

Cf

bebas linier pada R maka

Cf

adalah

M N basis untnk

v.

Jadi setiap anggota dari

-++

Cia,/=

C l a i \ = b > O .

;=I i=Ad+l (I1) dapat dinyatakan sebagai konlbinasi limier dari

anggota-anggota

d

secara tunggal Karena

&c

-++

maka &dapat diidentifikasi.

V.

KELAS SEBARAN CAMPURAN BERHINGGA

YANG DAPAT DlIDENTIFlKASI

Contoll kelas sebaran campuran berhingga 2

0,- 9 0

yang dapat diidentifiasi diberikan dalam = lim exp[(--=- r - 8 , r ) - ( 2 ?-8jl )]

proposisi-proposisi berikut. ,++m 2 2

r 2

Proposisi 1. [Teicher, 19633 = 13+m lim esp[- ( u ~ ~ - G , ~ ) + 7 t(8,- e2)]. (5.1)

Kelas semua sebaran campuran berlhgga dari

sebaran normal &pat diidentifiiasi. _{J i a UI > a2 maka daxi (5.1)}

Bukti : lim 42(r,ez.0;)

Misalkan

N

= Ai(. ,€I,$) adalah sebaran normal $1 (1.81 , u ? )

dengan ntaan 8 dan varian

d,

dimana 8eR dan

r

G > 0. Transfornlasi Laplace dari sebaran normal = lim esp[- (0,'--u12)+ I(81- 82)]

1 3 i m 2

.Ai( .8.u2) diberikan ole11

oz t2

4

(t,8,cr2) = esp (-

i

-

8 I) , IS(-w,w). = lim esp[- (-09 + l(81- 82)) ,

7 r++m 2

-

Definisikan =O,

,

Ail= N ( . ,e1.ol2) -i

N(.

,8,,0h =hi, diinana G'=G~'-O~.

Jika m~ > 02 atau a1 = 02 tetapi 8, < 8,.

Misalkan S$ = (a. a) dan

r,

= sm. maka Jika u1 = u2 tetapi 81 < 8, inaka lin~ $ 2 ( r . 8 2 . ~ : )

r+ll $l(r,81.u;) lim $2(f.82.0:) = liln

I+"

4,

(t,8, ,G;) I++-

t2

= lim eip[- (oz2-oj2)+ (81- 8z)l

Jika al < a2 maka

= 0,

dimana 0 = 02- e l .

Berdasarkan teorema 2, terbuk-ti kelas selnua sebaran campuran berl~ingga dari sebaran nomlal

dapat diidentifikasi. ?

-

Proposisi 2. [Teicher, 19633

Kelas semua sebaran campuran berllingga dari sebaran garnma dapat diidentifikasi.

Bukti :

Misalkan F adalah sebaran gamma dengan dua

parameter a dan

6,

dimana a > 0 dan

p

> 0.

Bentuk transformasi Laplace dari sebaran gamma diberikan oleh

Definisikan

Fi (x,ai,P~)

<

Fz(x-a2,P?),

jika a1< a2, atan ai = a2 tetapi

pi

>

pz,

1

Pilih t, = --

,

maka untuk t

+

ti diperoleh

Pi

lim

+ ( t , a i ,P I )

,+--

PI

lim $(t,a2,P?) = l+lj +([,al ,Dl)

,+--

PI = 0.

lika a, = a? tempi

PI

>

PI

maka

= 0.

Berdasarkan teorenla 2, kelas semua sebaran campuran berlungga dari sebaran garnma dapat

diidentifikasi. 0

Proposisi 3.

Kelas semua sebaran campuran berhingga dari sebaran Poisson dapat diidentifisi .

Bukti :

Misalkan F adalah adalah sebaran Poisson dengan

parameter h

>

0,

Transformasi Laplace dari sebaran Poisson diberikan ole11

+(I,?.) = e A(e-'-i) , t € (-mp). Definisikan

F(x.hi)< F(x.h?),

jika 1, >?.?. Maka S+I =(-m,m) dan S+2 =(-m,m), pilih ti = -m sehingga, untuk t

+

tl diperoleh

+(t h2)

-

e>.2(a-'-i)

lim

-

- lim

4 , ( t , ? . ) I+-- eX,(~-'-l)

= 0.

Sehiigga dari teorelna 2, terbukti kelas semua sebaran campuran berhingga dari sebaran Poisson

VI. KESIMPULAN

Untuk ~nengidentifikasi kelas sebaran

calnpuran herlungga diperlukan syarat perlu

dan

cukup.

Misalkm

k k

& = { H ( x ) = C c i F , ( x ) I c i > O , x c i =1 ),

/=I ,=I

adalah kelas sebaran campuran berhingga dari {F,(x)

I

i = 1.2.. ..,k). Jika &dopat diidentijikasi. nlaka terdapat nilai nil xl,xz, ... .xk sehingga

Misalkan

Cf=

{F)

m e ~ p a k a n keluarga fungsi sebaran dengan transformasi +(t) yang terdefinisi

pada S+, sedenlikian sehingga pemetaan

A4: F

+

6 adalah l i ~ e r dan satu-satu.

Jika ada urutan

<

dari

&

sedemikian sehingga F,

<

F, berakibat

i.

r

S+>

ii. Ada I , E

x,

tI tidak terganhmg pada

m2,

dan

-

S$, adalali penutup

dari

S+I, sedemikian

b(')

=

schingga lim- 0,

$1

(0

nlaka kelas dari semua sebaran campuran berl~ingga M d a p a ! diidentijikasi.

Syarat perlu dan cukup kelas sebaran

canlpuran berhingga & dari

Cf

dapnt

diidenrijkasi yaitu Cflumpunan bebas l i ~ e r pada lapangan bilangan liil.

DAFTAR PUSTAKA

Anton, H. 1991. Aijabar Linier Elementer. Ed. Lloyd, E. 1980. Hand book of Aplicable

ke-3. Tejemahan Pantur Silaban. Erlangga Adathe~iraiics. Vo1.2. Probability. Jolm Willey

Jakarta. & Sons, New York.

Billingsley,

P.

1978. Probability and Measure John Willey & Sons. New York.

Farlow, S. J. 1991. An Introducfio~t to

DiJJrentinl Equations and Tlteir Aplications. Mc G n w Hill, New York.

Hogg, R V. Sr Craig, A. T. 1995.11ttroductian to A4atheiiratical Stat~stics. Ed. ke-5. Mc Millan New York.

Kolmogorov, A. N. & Fomin, S.V. 1961.

Elenlents of Theoty of Functions and

Functional Analysis. Vol. 2 . Translated from the first (1960) Russian Edition by Hyman Kame1 and Horace Komm. Graylock Press, Albany, New York.

Setiawaty, B. 1999. Consistent Estimator of the order for Hidden Markov Models. Thesis tlle University of Adelaide.

Teicher, H. 1961. Identifiable of Mixtures. J.4m7. Math. Statisl. 32: 211-258.

Teicher, H. 1963. Identifiable of Finite Mixtures. J. ilrtn. .bJatlt. Statist. 32: 1265-1269.

Lampiran : Pembuktian lema

Lema 1.

Transfonnasi Laplace dari sebaran nomnl adalah

e9

1 2

L{n

=

j

e - x i p 1 x - p GJZ;; e X p - & - - ] dx -m

= exp- ( p 2 - ( . u - 1 0 ~ ) ~ ) 2 0 2

= exp- pZ

-

( p ?

-

2 p 0 2

+

2 0 2

p2 - p 2 +2p102 - ( 1 ~ . 2 ) ~

= exp-

2 0 2 2*02 - ( 1 g 2 ) 2

= exp-

2 a 2 2 p r - ( r 2 0 2 )

Lema 2.

Tranforrnasi Laplace dari sebaran gamma

X , d x = -

(6.1) diperoleh dengan memisalkan y = -(tP

+

1) , t>-l/P atau x =

-

P

dy.0

IDENTIFIKASI SEBARAN CAMPURAN BERHINGGA

W C E MARIA ULFA

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

I. PENDAHULUAN

1.1 Latar Belaknng Sebaran di alas mungkin berasal dari

Misalkan

9.

= {F(.,a)

I

U E R;'

1

adalah 2 .

H(x) = f ~ ( - l , l ) + ~ 0 ( - 2 . 2 )

keluarga fungsi sebaran yang dicirikan oleh

,

J (1)

parameter a6 R;'

.

dimana R;' adalab lulnpunan _atau

bagian Borel dari ruang Euclideai? berdimensi ni. ₁

R"! Fnngsi F( ...) terukur di R'XR;' . H(x) =-u(-2,l)+LU(-1,2) 2 2 (2)

Sebaran canlpuran berhingga

H

didefinisikan atau

sebagai berikut

P

H(x) = c, ~ ( x . a , )

t=1

i

dinlana c, > 0. c, = 1. >=I

a, E R;', i = 1,2 ...., k ;

k E N .

Misalkan

c%

adald~ kelas sebaran campuran

berllingga dari Fyaitu

i i

c % = { ~ ( . ) = ; I : c , ~ ( , a , ) I c , >O.;I:c,

= L

,=I I=!

U,ER;", i=1,2

,....

k, ~ E A ' } .

Masalah yang menarik untuk dipelajari di

c%

adalal~ jika terdapat dua sebaran campuran

1

dan H(x)=CE,F(X.&,)EC~~,

i=!

yang memenuhi H(x) = k ( x ) , apakah li dengan

i

dan pasangan (c,.aj) dengan (Ej,Gj) dapat

diidentifikasi. atau dengan kata lain dapdt ditunjulckan k =

i

_

dan untuk setiap i. terdapat suatu j sede~nikian sehingga c, =

E,

, a j =

&,

.

dimana U(a.b) adalah sebaran sengam pada selang (a, b).

Karena sebaran tersebut diperoleli dari data ti& ada alasan untuk mengatakan persamaan (I), (2) atau (3) yang benar. Pennasaldm yang te jadi terletak pada penentuan d x i tiap-tiap komponen penyusun sebaran campuran tersebut. Adanya beragan pemecahan dari data tersebut dapat membuat pendugaan panmeter menjadi lebih sulit.

Masalah di atas penting untuk pendugaan parameter. Salah satu aplikasi masalah ini adalah untuk mengidentifikasi parameter-parameter pada model 1\4arl<oi~ terselubung (hidden h4arlco1~ modeIs).[Setia~~~atyty B. 19991

Dari m i a n di atas tidak semua sebaran campuran berlungga dapat diidentifikasi. Oleh karena itu untuk lnengidentifikasi sualu kelas sebaran carnpuran berlingga diperlukan syarat

perlu dan syarat cukup. Dalam tulisan ini

diberikan syarat perlu dan syarat cukup, serta beberapa contoh sebaran c a m p m berhingga yang dapat diidentifikasi.

1 2 Tujuan Penulisan

1. Menentukan syarat perlu dan syarat cukup bagi suatu kelas fungsi sebaran campuran berhingga agar dapat diidentifikasi.

Perhatikan contoh dibawah ini, misalkan dari 2. Memberikan _{sebann canlpuran berhingga yang dapat} con1011 kelas-kelas fungsi data diperoleli sebaran ebagai berikut

f

diidentifikasi.

1.3 Sistematika Penulisan

Pada pendahuluan diulas secan singkat

--T-L

definisi sebaran c n n p m berlingga yang &pat

diidentifikasi, serta trjuan penulisan. Bab dua berisi landasan teori, yang merupakan dasar untuk

-2 -1 0 1

2

pembal~asan-pemballasan selanjutnya, seperti

sebaran, dan transfonnasi Laplace. Bab tiga sebaran campuran berhiigga diitakan dapat

membahas tentang sebaran campuran berhingga diidentifikasi, serta beberapa contoh kelas sebaran

dengan beberapa contoh. Pada bab empat dan linna yang memenuhi. Bab enain berisi kesimpulan

diulas syarat perlu dan syarat cukup suatu kelas lwsil peinbalwsan.

II.

LANDASAN TEORI

Untuk memahami penyelesaian masalali o-lapangan yang dibangun oleh yaitu EI = o m )

identifikasi camp- berllingga disebut hintprrr~un Borel atau Borel o-Irrpnngan

diperlukan beberapa teori sebagai berikut. _{dari R".}

2.1 Ulmran

Definisi 1. (Lapangan) pillingsley, 19781 Misalkan F adalah koleksi himpunan bagian dari 0 , inaka Fdisebut lapangan jika

i. Q E ~

ii. jikaA E 4 nlakaAC E F iii. jikaA,B E FrnakaA u B E F.

Fdisebut 5 lapangan jika

i. F adalah lapangan

rn

ii. jikaA1,A2, ... E Fmaka

UA,

E F

k=l

J i a 4 adalah o-lapangan dari 0 , maka pasangan

(Q,q

disebut ruang terukrrr.

Contoh 1.

Misalkan Q = R, A = [2,3) maka A' = (-03.2) u [3,03). Misalkan 4 = {.4A:R,@, maka F adalah

lapai?gai7 dart sekaligus G - lapangal? . 0

Misalkan 2 merupakan koleksi himpunan

bagian dari S2. Dengan melakukan operasi gabungan. irisan. dan komplemen pa& 2 &pat diperoleh suatu o-lapangal7 Fyang d i b a n , ~ oleh 2 dan dinotasikan F =

Contoh 2.

Dari contoli 1, Fadalah lapangan yang dibanguri

oleh liinipunan A, atau ditulis F=o(A). 0

Definisi 2. (HiinpunanBorel)pillingsley. 19781 Misalkan

a = { x ~ x = ( x l , x ~ x 3 , - . , x n ) , a , r x , r b , ,

I,€ R, i= 1.2.: ,... 17 }

Definisi 3. (Ukuran Peluang) [Billingsley, 19781

Misalkan 4 adalah lapangan dari Q. Fungsi

bernilai nil P yang terdefinisi pada F disebut

ukuranpeluang ataupeluang jika memenuhi :

i. 0 5 P(A) s 1, untuk setiap A E F ii. P ( 0 ) = 0, P(Q) = 1

iii. jika.4,,A2, ... adalah barisan saling lepas di F

rn co

dan

UA,

E F m a k a ~ ( ~ A , ) = g ~ ( A , ) .

k=I k=I k=l

Pasangan (S2,KP) disebut ruang ukurarr pelrrang atau ruangpelufrng.

Definisi 4. (Fungsi Terukur) [Kolmogorov &

Fomin 19611

Misalkan T adalal~ o-lapangan

dari

Q dan L8

adalah Borel o

-

lapangan dari R. Misalkan f adalah fungsi bemilai riil yang terdefinisi pada 0. Fungsi f dikatakan terukur jika f -'(B~E 4 untuk setiap llinipunan B E B .

Fungsi terukur f pada ruang u k m peluang ( R E P ) , disebut peubah acak.

2.2 Fungsi Sebaran

Definisi 5. (Fungsi Icepekatan Peluang)pogg &

Craig. 19951

Misalkan X adalah beubah acak di (QTP),

AX) >o, ~ € 0 , dan

f(x)dx= 1

n

inaka P(.II). untuk A E F dapat dinyatakan sebagai P(A) = P(,Yd) = Jf(x)dx

A

sebaran, dan transfonnasi Laplace. Bab tiga sebaran campuran berhiigga diitakan dapat

membahas tentang sebaran campuran berhingga diidentifikasi, serta beberapa contoh kelas sebaran

dengan beberapa contoh. Pada bab empat dan linna yang memenuhi. Bab enain berisi kesimpulan

diulas syarat perlu dan syarat cukup suatu kelas lwsil peinbalwsan.

II.

LANDASAN TEORI

Untuk memahami penyelesaian masalali o-lapangan yang dibangun oleh yaitu EI = o m )

identifikasi camp- berllingga disebut hintprrr~un Borel atau Borel o-Irrpnngan

diperlukan beberapa teori sebagai berikut. _{dari R".}

2.1 Ulmran

Definisi 1. (Lapangan) pillingsley, 19781 Misalkan F adalah koleksi himpunan bagian dari 0 , inaka Fdisebut lapangan jika

i. Q E ~

ii. jikaA E 4 nlakaAC E F iii. jikaA,B E FrnakaA u B E F.

Fdisebut 5 lapangan jika

i. F adalah lapangan

rn

ii. jikaA1,A2, ... E Fmaka

UA,

E F

k=l

J i a 4 adalah o-lapangan dari 0 , maka pasangan

(Q,q

disebut ruang terukrrr.

Contoh 1.

Misalkan Q = R, A = [2,3) maka A' = (-03.2) u [3,03). Misalkan 4 = {.4A:R,@, maka F adalah

lapai?gai7 dart sekaligus G - lapangal? . 0

Misalkan 2 merupakan koleksi himpunan

bagian dari S2. Dengan melakukan operasi gabungan. irisan. dan komplemen pa& 2 &pat diperoleh suatu o-lapangal7 Fyang d i b a n , ~ oleh 2 dan dinotasikan F =

Contoh 2.

Dari contoli 1, Fadalah lapangan yang dibanguri

oleh liinipunan A, atau ditulis F=o(A). 0

Definisi 2. (HiinpunanBorel)pillingsley. 19781 Misalkan

a = { x ~ x = ( x l , x ~ x 3 , - . , x n ) , a , r x , r b , ,

I,€ R, i= 1.2.: ,... 17 }

Definisi 3. (Ukuran Peluang) [Billingsley, 19781

Misalkan 4 adalah lapangan dari Q. Fungsi

bernilai nil P yang terdefinisi pada F disebut

ukuranpeluang ataupeluang jika memenuhi :

i. 0 5 P(A) s 1, untuk setiap A E F ii. P ( 0 ) = 0, P(Q) = 1

iii. jika.4,,A2, ... adalah barisan saling lepas di F

rn co

dan

UA,

E F m a k a ~ ( ~ A , ) = g ~ ( A , ) .

k=I k=I k=l

Pasangan (S2,KP) disebut ruang ukurarr pelrrang atau ruangpelufrng.

Definisi 4. (Fungsi Terukur) [Kolmogorov &

Fomin 19611

Misalkan T adalal~ o-lapangan

dari

Q dan L8

adalah Borel o

-

lapangan dari R. Misalkan f adalah fungsi bemilai riil yang terdefinisi pada 0. Fungsi f dikatakan terukur jika f -'(B~E 4 untuk setiap llinipunan B E B .

Fungsi terukur f pada ruang u k m peluang ( R E P ) , disebut peubah acak.

2.2 Fungsi Sebaran

Definisi 5. (Fungsi Icepekatan Peluang)pogg &

Craig. 19951

Misalkan X adalah beubah acak di (QTP),

AX) >o, ~ € 0 , dan

f(x)dx= 1

n

inaka P(.II). untuk A E F dapat dinyatakan sebagai P(A) = P(,Yd) = Jf(x)dx

A

Definisi 6. (Fungsi Sebaran)[Hogg & Craig, 19953 Fungsi sebaran dari peubah acak X didefinisikan oleh

F(x) = P[.Y 2 x] =

If

(o)do

as =

untnk setiap xeR.

Sifat fungsi sebaran adalah 1. lim F(x) _*--- = 0 dan lim F(x) = 1

r--

2. F fungsi tak turun

3. F fungsi yang kontinu k a n a yaitu l i ~ n F ( x ) = F(xO). untuk s e t i a p x ~ ~ R .

I-'%*

Definisi 7. (Fungsi Sebaran Normal)[Hogg &

Craig, 19953

Peubah acak X dikatakan menyebar norntal

dengan parameter p

dan

o:

dimana PER, dan

o > 0, jika

S

mempunyai fungsi kepekatan peluang

1 1 x-p 2

Ax) =

-

e p - , - m < x < w .

Untuk p = 0 dan 0 =1, S dikatakan menyebar

norntal bakri.

Definisi 8. (Fungsi Sebaran Ganuna)[Hogg &

Craig, 19951

Peubah acak X dikatakan menyebar gantma

dengan parameter a dan

P,

diunana a > 0, dan

p

> 0, jikaSmempunyai fungsi kepekatan peluang

dengan

Definisi 9. (Fungsi Sebaran Poisson)[Hogg &

Craig, 19953

Peubah acak X dikatakan mempunyai sebaran

Poisson dengan parameter i. > 0, jika fungsi

kepekatan peluang dari -1- dapat dinyatakan

sebagai

2.3 Transformasi Laplace

Definisi 10. (Transfonnasi Lap1ace)parlow. 19941

Misalkan f adalah fungsi dari R ke R, maka transforntasi Laplace daxi fadalah suatu fungsi F yang didefinisikan oleh

m

F(t) =

J

e-x' f (x) dx

-m

dan dinotasikan dengan L m .

Lema 1.

Transfor171asi Laplace dari sebaran nonnal adalall

Buliti : lihat lampiran.

Lema 2.

Transforn~asi Laplace dari s e b a m gamma

Bukti : lihat lampiran

Lema 3,

Transfor~nasi Laplace dari s e b a m Poisson dengan pamneter h > 0 adalah

2.4 Basis Suatu Ruang Vektor

Definisi 11. (Merentang) [Anton, 19911

Misalkan I' adalah mang \&lor alas R. Jika S = {i71.ix1 ... 1'. ) adalah lumpunan vektor di 1'. dan

jika setiap vektor )I'EP' dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier

is = k l ~ ' l

+

k2v2

+

...+

kni>"

uniuk suatu k; E R. i = 1.2.3

...

17; maka vektor-

vekor di S dikatakan rnerentang 1' dan

dinotasikan I,'= < S >.

Dcfinisi 12. (Bebas Linier)[Anton, 19911

Misalkan V adalah mang vektor atas R. Jiia

S = { I J I . ~ ~ Z ,..., v,) adalah himpunan vektor di I/,

maka persamaan

klvl

+

k Zl'z

+

...+

k "18" = 0

mempunyai paling sedikit satn pemecahan yaitu k , = o . n ; = o . k ~ = o

....,

k,=O.

Jika ini adalah satu-satunya pemecallan maka S disebut lunlpunan yang bebas linier. Jika ada peinecalian lain. inaka S disebut lulnpunan tali bebas linier.

Dcfinisi 13. (Basis Suatu Ruang Vektor)[Anton. 19911

Jika li adalah se~nbarang mang vektor atas R dan

S = {i'1.i'2...i~,) adalah liimpunan vektor di V maka S dikatkan basis unluk I.jika S bebas linier dan S ilierentang

I'

Misalkan

d

= {F(.,a)

I

aeR;') adalah

keluarga fungsi sebaran yang dicirikan oleh

parameter a ER;' , dimanaR;' adalah hiipunan

bagian Bore1 dari ruang Euclidean berdimensi 111,

Rm. Fnngsi F(.,.) terukur di R'XR;' . Misalkan G(.)

mempakan fungsi sebaran pada R;' , maka

H(x) =

I

F(x.a)dG(a) (3.1)

R;

disebut sebaran cantpuran dengan G adalah

sebaran pencanlpur. [Teicher, 19601

Contoh 3. [Lloyd, 19801

Misalkan

f

adalah fungsi kepekatan peluang dari

keluarga fungsi sebaran eksponensial

6,

yang

didefinisikan oleh

fix,@ = Be'&, x > O,8 > 0,

dan g adalah fungsi kepekatan peluang pencampur

yang hanya tergantung pada parameter 8 yang didefinisikan ole11

g(O ) = ae'". a > O,B > 0,

maka sebaran canlpuran dari fungsi eksponensial adalah

Misalkan

Cfi

=

{G(.)

/

G fungsi sebaran pada R;' ) adalah kelas semua sebaran pencampur G dan

cie*

adalah kelas selnua sebaran campuran H,

yaitu

& = { H ( . ) l H ( x ) = JF(x.a)dG(a)).

acRp

Misalkan

H ( x ) =

I

F(x.a)dG(a) E

cie*

a s ~ y

2.4 Basis Suatu Ruang Vektor

Definisi 11. (Merentang) [Anton, 19911

Misalkan I' adalah mang \&lor alas R. Jika S = {i71.ix1 ... 1'. ) adalah lumpunan vektor di 1'. dan

jika setiap vektor )I'EP' dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier

is = k l ~ ' l

+

k2v2

+

...+

kni>"

uniuk suatu k; E R. i = 1.2.3

...

17; maka vektor-

vekor di S dikatakan rnerentang 1' dan

dinotasikan I,'= < S >.

Dcfinisi 12. (Bebas Linier)[Anton, 19911

Misalkan V adalah mang vektor atas R. Jiia

S = { I J I . ~ ~ Z ,..., v,) adalah himpunan vektor di I/,

maka persamaan

klvl

+

k Zl'z

+

...+

k "18" = 0

mempunyai paling sedikit satn pemecahan yaitu k , = o . n ; = o . k ~ = o

....,

k,=O.

Jika ini adalah satu-satunya pemecallan maka S disebut lunlpunan yang bebas linier. Jika ada peinecalian lain. inaka S disebut lulnpunan tali bebas linier.

Dcfinisi 13. (Basis Suatu Ruang Vektor)[Anton. 19911

Jika li adalah se~nbarang mang vektor atas R dan

S = {i'1.i'2...i~,) adalah liimpunan vektor di V maka S dikatkan basis unluk I.jika S bebas linier dan S ilierentang

I'

Misalkan

d

= {F(.,a)

I

aeR;') adalah

keluarga fungsi sebaran yang dicirikan oleh

parameter a ER;' , dimanaR;' adalah hiipunan

bagian Bore1 dari ruang Euclidean berdimensi 111,

Rm. Fnngsi F(.,.) terukur di R'XR;' . Misalkan G(.)

mempakan fungsi sebaran pada R;' , maka

H(x) =

I

F(x.a)dG(a) (3.1)

R;

disebut sebaran cantpuran dengan G adalah

sebaran pencanlpur. [Teicher, 19601

Contoh 3. [Lloyd, 19801

Misalkan

f

adalah fungsi kepekatan peluang dari

keluarga fungsi sebaran eksponensial

6,

yang

didefinisikan oleh

fix,@ = Be'&, x > O,8 > 0,

dan g adalah fungsi kepekatan peluang pencampur

yang hanya tergantung pada parameter 8 yang didefinisikan ole11

g(O ) = ae'". a > O,B > 0,

maka sebaran canlpuran dari fungsi eksponensial adalah

Misalkan

Cfi

=

{G(.)

/

G fungsi sebaran pada R;' ) adalah kelas semua sebaran pencampur G dan

cie*

adalah kelas selnua sebaran campuran H,

yaitu

& = { H ( . ) l H ( x ) = JF(x.a)dG(a)).

acRp

Misalkan

H ( x ) =

I

F(x.a)dG(a) E

cie*

a s ~ y

jikaH

=fi

berakibatG =

6

dimanaG.6 E&

Inaka

c%9

dikalakan dapat diiidetttifihsi. [Teicl~er, !960] Jika scbaran G pa& (3.1) dislcrit dan memberikan ~ u l a i positif c, untuk a, E R r ,

dcngan i = 1.2

...

k.

111aka H disebut sebnrnrt cat?tpuran berltittgga dan H dapat ditulis

P

H ( x ) = x c , F ( x . a , ) .

/=I

Colltoll 4.

Misalk:ln @- adalah kelas sebaran binom Xang didefinisikan o l c l ~

O < p < l )

dan GI ;1dala11 sebaran pencampur .?.zing

I

~ n c ~ n b e r i k a ~ ~ nilai --untuk 0.5 dan

2

untuk

4 4

(1.125. rnzrk;~

adalal~ sebaran c a m p m n b e r l i n g a dari sebaran binom.

K u n a sebaran bin0111 13(..50.0.125)

Kunla sebarilli canipuran berliingga dari sebaran binom.

Contoll 5.

Misalkan

d =

{N(.-p.cr)

I

p.0 E R. a >O) adalali

kelas sebann nornlal da11 G adalali iungsi

1

pcncampur pang nic~~iberikan 1111ai ; unluk (0.1)

i

dan

O 3

I

k ( x ) = z E , F ( x . & , )

~c?;:

A ! ,=I

I i , \ !

$

e 2

I memenulii 19 =

17

bsrakibat !< = dan wltuk

-.J

scriap 1 = 1.2.3 ... i terdapat j. sedemikian

got

1

sel~ingga ci =

E j

, a; = &, , m<&a

c+E

dikatakan

On

LL~

dapaf dii(1~11tifikasi . .eicher.1963]

s e , : ; . 5 s :

Kelas sebaran calipuran berlungga yang dapal diideiiiifikasi iiiciiiiliki ko~i~policn pcn)usun

Kun2a sebami C a l l l P m krhingga sebararl 5eban11 xang unik. atau daigan kala lain

nonlial. _{p-rsamaannya ridak dapat interpretasikan 611am}

1 . 2

Jf(x) = ;~Y(..(!.l)-

f

Al(..3>1). :

-

bziituk yang berbeda. s e d a q k a n permulasinya

3 3 tciap berlaku.

Misalkan cifadalali keias seriiua sebamn _{Conrol~ kelas sebarari c s ~ n p u r a ~ ~ bcrliingg:~}

campuran berhinggn !any didefinisikan sebagai _{yang ridak dapat diidentifiknsi :~dalali kcl:ls}

1 1 _{ssbaniri sernyam (liliar pendaliuluan). d:~n kel;ls}

c ~ = { N ( . ) = ~ c ~ . ~ ( . . a , ) l c , > O . ~ c , = l

.-> rebaran camplmn bsrl~ingga yany dalx11

,=n L 8.

diidcntifik~si airara lain sebaml~ nor~iial. g ; ~ ~ u r u : ~ a , ~ R " : ! = 1 . 2 ...., !<.

!<EX:

dan Poissori yang aka11 dijclasknn pada b;rb lilua

&barn tulisan ini. Jika

N

(x) =

Z

C: F(x. a , ) E

c*-

..

I\'. S Y h R l T KELAS SES.-iRAN CARlPURAN BERHINGGA

DAPAT DIIDEKTIFIKASI

dari {/',(.r)

I

F1.2 ... 1;: dapar diidenlifikasi m a k ~ !

i

lerdapat ~iilai nil rl,x2,. .x; ssliirigga

,

_{. . , I}

. . . " I / i c y E . , ) ,

,

x , . F'li)/

X ) 1 ) . . Fe(.,),

*

(1. unruk seillua x hi semua?.,

.

1 2 i 5 k- I

S y ~ r a t perlu h l a s se3xzlan ca1npnr;ui berliinps;~

dapal diidentifikasi dikrikan dalaii reoreln;~ I . F . . i : , ~ . ~ , )

berikut.

I . . I

. . I

,

,

. . . l<(J,)

j

ji;(.vt) FI(q) . . Ft[.vb);

Bukti : . .

Misalkali {I?,(>-) [ i = 1.2 .... X-> dapat diidentifikasi. _I

akan dibuktikaii terdapai rl.x: ... xk riil sehingga . . I

t

Tcorelr~a 1. [Tciclicr. 13631 _I ) F ) . . .' F,;.~' 1,

i

dan

O 3

I

k ( x ) = z E , F ( x . & , )

~c?;:

A ! ,=I

I i , \ !

$

e 2

I memenulii 19 =

17

bsrakibat !< = dan wltuk

-.J

scriap 1 = 1.2.3 ... i terdapat j. sedemikian

got

1

sel~ingga ci =

E j

, a; = &, , m<&a

c+E

dikatakan

On

LL~

dapaf dii(1~11tifikasi . .eicher.1963]

s e , : ; . 5 s :

Kelas sebaran calipuran berlungga yang dapal diideiiiifikasi iiiciiiiliki ko~i~policn pcn)usun

Kun2a sebami C a l l l P m krhingga sebararl 5eban11 xang unik. atau daigan kala lain

nonlial. _{p-rsamaannya ridak dapat interpretasikan 611am}

1 . 2

Jf(x) = ;~Y(..(!.l)-

f

Al(..3>1). :

-

bziituk yang berbeda. s e d a q k a n permulasinya

3 3 tciap berlaku.

Misalkan cifadalali keias seriiua sebamn _{Conrol~ kelas sebarari c s ~ n p u r a ~ ~ bcrliingg:~}

campuran berhinggn !any didefinisikan sebagai _{yang ridak dapat diidentifiknsi :~dalali kcl:ls}

1 1 _{ssbaniri sernyam (liliar pendaliuluan). d:~n kel;ls}

c ~ = { N ( . ) = ~ c ~ . ~ ( . . a , ) l c , > O . ~ c , = l

.-> rebaran camplmn bsrl~ingga yany dalx11

,=n L 8.

diidcntifik~si airara lain sebaml~ nor~iial. g ; ~ ~ u r u : ~ a , ~ R " : ! = 1 . 2 ...., !<.

!<EX:

dan Poissori yang aka11 dijclasknn pada b;rb lilua

&barn tulisan ini. Jika

N

(x) =

Z

C: F(x. a , ) E

c*-

..

I\'. S Y h R l T KELAS SES.-iRAN CARlPURAN BERHINGGA

DAPAT DIIDEKTIFIKASI

dari {/',(.r)

I

F1.2 ... 1;: dapar diidenlifikasi m a k ~ !

i

lerdapat ~iilai nil rl,x2,. .x; ssliirigga

,

_{. . , I}

. . . " I / i c y E . , ) ,

,

x , . F'li)/

X ) 1 ) . . Fe(.,),

*

(1. unruk seillua x hi semua?.,

.

1 2 i 5 k- I

S y ~ r a t perlu h l a s se3xzlan ca1npnr;ui berliinps;~

dapal diidentifikasi dikrikan dalaii reoreln;~ I . F . . i : , ~ . ~ , )

berikut.

I . . I

. . I

,

,

. . . l<(J,)

j

ji;(.vt) FI(q) . . Ft[.vb);

Bukti : . .

Misalkali {I?,(>-) [ i = 1.2 .... X-> dapat diidentifikasi. _I

akan dibuktikaii terdapai rl.x: ... xk riil sehingga . . I

t

Tcorelr~a 1. [Tciclicr. 13631 _I ) F ) . . .' F,;.~' 1,

I .

. I

bC114)

rib%+) . , . %$b&->)

atau dinyatakan sebagai

Misalkan ada y1,.v2 ,...,

dan

i , 1 5 i 5 1; sehingga a,# 0, dan misalkan juga

I = { i l a , = a , ( ! ? l , , y 2 , ..., y ~ . ~ ) # O , l < i r k } . Jadi

dengan

a, = a,

WI,,

y2, ..., yk.1): i ~1.2.3 >...: k.

1

4 I . . . 5

dengan a, # 0 untuk setiap i e I.

Misalkan

,?(I)

= r. Dengan mengambil x++w

pada persamaan (I) diperoleh

C a , =O. (2)

, E l

Bila r = 1, maka dari (2) diperoleh a?= 0. Kontradiksi, jadi l m s l a h 2 2 r 5 k.

= (-1)I-l

Misalkan

S I = { i e 1 / a , > 0 ) S2 = { i e I l a ; < O )

s,

= {1,2 ,..., 1;)-

sl-$,

dari persamaan (1) dan ( 2 ) diperoleh Sl

dan

S2 bukan hinlpunan kosong.

Misalkan b = makr,,,.

/

a;

I

maka 4($) 5($ . . . &($

. . . .

. . . .

. . . .

80k) Wi2 . . . &(%) 546k4) . . . f f i k

26 1

-

E ~ C ( X ) + ~ - f i ( x ) + ~ - & ( x ) (3)

%St its2 c2 IS$ c dimana

adalall dua sebamn calnpuran yang sania dengan koefisien yang berbeda. ini rnenunjukkan bahwa {F,(x)

/

1 5 i 2 k) tidak &pat diidentifikasi. kontradiksi dengan lupotesis a~val.

Jika a, Cvl, y3 .... yt.1) = 0 untuk setiap i. i =1.2,3

...

k dan untuk setiap yl,y2 .... ,JI~.! maka

setiap U ~ ( I , ~ , . V ~ ... ,.yI.,) dapat dibentuk menjadi

I-I

C b , F, (.VI ) = 0,

Misalkan ada y% y3, ... , yk.~ sehingga bi # 0 dan misalkan juga

J = {i

1

bi= bi(!?%ys ,..., ~1k.1) * O , 1 5 i 5 k-I).

,=I

dengan

b j = b, b y 3 ,

....

}a.l),

i = 1,2 ,... k-1.

k-1

Jadi ~ b , ~ ( y l ) = ~ b , ~ i ( y l ) = ~

t=l isJ

=(-l)j+l

dengan bi ;l0, maka dengan proses yang sama seperti di atas akan diperoleh kon'adiksi.

Jika bi &,y3 ,... , y ~ ) = 0 unhlk setiap 1< i 5 k-1 dan setiap y2,yj, ... ,yI.l. nnlaka setiap bi (Y?.JJ~. ... , ~ I . I )

dapat dinyatakan dalam bentuk

&)

W

. . . f5,0;) K,69 . . -

56;)

&) &) . . .

co

K$W . . .

. . . . .

. . . .

Jika proses seperti di atas dilanjutkan terus akan diperoleh

zlF1Q1.i) = 0,

dengan mengambil yI.~++rn, maka diperoleh

zl = 0, kontradiksi dengan kenyataan bahwa rl t 0.

Jadi, agar sebalan daxi {Fj(x)

I

1

r

i 5 k) dapat identifikasi, haruslah terdapat xl,x2, ... xi riil sehingga

F;(x,) F+,) . . . ,

,

)

,

,,

. . .

J;,,

. .

. .

5(xx) F A ) . . . &(.$I

Syarat cukup kelas sebaran campuran berhingga dapat diidentifikasi diberikan dalam teorema berikut.

Tcorcma 2. [Teicher. 19631

Misalkan

6

=

{F)

merupakan keluarga fungsi

sebaran dengan transformasi $(t) yang terdefi~si pada S$. sedemikian seliingga pemetaan A4:F+$ adalah linier dan satu-salu. Jika ada urutan

<

dari

>qsedemikian selungga Fl

<

F2 berakibat

i. S+, E S+?

-

ii. Ada

rl

E S$, ,

r,

tidak tergantung pada $2r dan

-

S$, adalah penutup dari S+!, sedemikian

+ 2 ( f ) =0,

sel~ingga lim -

'+I1 $1 ( 1 )

maka kelas dari semua sebaran campuran berliingga ctedari Cfdapat diidentifikasi. Bukti :

Misalkan C f i ,

C.i;i

c d d i n m

~ = { ~ , ~ l < i < k ) d a n C . i ; i = { p , l l S j S i )

sedelnikian sehingga.

dilnana 0 < ci

s

1, i = 1:2 ,..., k ,

O < i j S l . j=1,2.3 ...., k ,

P k

dan C c , =

xi,

=1

i=l ,=I

Tanpa mengurangi kernnumuan bukti, urutkan

kembali indeks sedemikian sehingga

F,

< F J untuk i < j dengan ij = 1,2, ..., k dan k,<$juntuk i < j dengan i , j = l , 2 , 3 ,..,>

i.

Jika Fl

+

k,

, misalkan F, 4

kl

maka Fl

<

kj

,

untuk setiap j = 1,2,3

,...,

k

Misalkan pemetaan Ad: F

+

$ yang men-

Uansformasi F(x)

+

$ ( I ) dengan pemetaan satu- satu dan linier. mnaka persamaan ( 4 ) dapat dinyatakan sebagai

Dengan membagi persamaan di atas dengan $ I ( [ ) di~eroleh

Anibil 1+ ti melalui I di TI. maka dari persanuan

( 5 ) diperoleh cl = 0 , ini kontradiksi dengan cl > 0, seliingga diperoleh Fl = dan untuk suatu t 6 TI

Dengan n~engambil

r

+

rl

untuk t E T I pada (6) maka akan diperoleh c, -

i,

= 0 atau c, = 2.)

seldngga

Dengan menggunakan proses yang sama seperti di atas

akan

diperoleh6 =

6,

dan c, =

ii

untuk

i= 1.2 ,..., m i n ( k , i ) . Jika k + i misalkan k > i maka persamaan ( 4 ) menjadi

akibat

4.

= F, dan c, = t i , untuk i = 1,2,5 ,..., k maka diperoleh

k

-&ci&(x)= 0.

i=k+l

( 8 )

Dengan mecgambil x++m pada (8) diperoleh

C c , = 0 , iN kontradiksi dengan ci > 0 untuk

i=k+l

i + l S i < k . Jadi haruslah k = i ,

6.

=&

dan c ; = i , , 1 S i S k b e r a k i b a t

&=&,

maka

terbukti kelas dari senlua sebaran campuran

berliingga d d a p a t diidentifikasi.

Syarat perlu dan syarat cukup kelas sebaran campuran berllingga dapat diidentif3asi diberikan dalam teorema berikut.

Teorcma 3. p'akowitz & Spragins, 19671

Bukti :

Syarat perlu : Jiia ci = 2

10.1

maka

Misalkan & adalah kelas sebaran campman b

berlungga yang dapat diidentitikasi akan _{c c i c} M _{= c c , F ,} N

dibuktikan bebas linier pada lapangan ;=I X=&I-I

bilangan nil. Misalkan _{adalah dua bentnk yang berbeda dari sebaran}

A'

C a , F i = O , c a n ~ p m berhingga yang sama, berakibat &

,=I (') tidak dapat diidentifikasi, kontradiksi dengan

a, R, ~ ~ b i k a n bebas lifier lupotesis a\b0al. selungga lwruslall

Cf

bebas lifier.

-

dapat diatur indeks i sehingga a, < 0 o I

s

A4.

Dari persamaan (9) diperolel~ Syarat cukup :

AI N Misalkan

CJ

adalah kelas fungsi sebaran yang

c I . , l ~ =

.XI.$.

(10) bebas linier akan dibuktikan

c?e

dapat

/=I I = ~ I + I diidentifikasi.

Dengan menganibil x++m pada persamaan (10)

~naka Fi(x) = 1 sehingga persamaan (10) menjadi Misalkan

Cf

bebas linier pada R maka

Cf

adalah

M N basis untnk

v.

Jadi setiap anggota dari

-++

Cia,/=

C l a i \ = b > O .

;=I i=Ad+l (I1) dapat dinyatakan sebagai konlbinasi limier dari

anggota-anggota

d

secara tunggal Karena

&c

-++

maka &dapat diidentifikasi.

V.

KELAS SEBARAN CAMPURAN BERHINGGA

YANG DAPAT DlIDENTIFlKASI

Contoll kelas sebaran campuran berhingga 2

0,- 9 0

yang dapat diidentifiasi diberikan dalam = lim exp[(--=- r - 8 , r ) - ( 2 ?-8jl )]

proposisi-proposisi berikut. ,++m 2 2

r 2

Proposisi 1. [Teicher, 19633 = 13+m lim esp[- ( u ~ ~ - G , ~ ) + 7 t(8,- e2)]. (5.1)

Kelas semua sebaran campuran berlhgga dari

sebaran normal &pat diidentifiiasi. _{J i a UI > a2 maka daxi (5.1)}

Bukti : lim 42(r,ez.0;)

Misalkan

N

= Ai(. ,€I,$) adalah sebaran normal $1 (1.81 , u ? )

dengan ntaan 8 dan varian

d,

dimana 8eR dan

r

G > 0. Transfornlasi Laplace dari sebaran normal = lim esp[- (0,'--u12)+ I(81- 82)]

1 3 i m 2

.Ai( .8.u2) diberikan ole11

oz t2

4

(t,8,cr2) = esp (-

i

-

8 I) , IS(-w,w). = lim esp[- (-09 + l(81- 82)) ,

7 r++m 2

-

Definisikan =O,

,

Ail= N ( . ,e1.ol2) -i

N(.

,8,,0h =hi, diinana G'=G~'-O~.

Jika m~ > 02 atau a1 = 02 tetapi 8, < 8,.

Misalkan S$ = (a. a) dan

r,

= sm. maka Jika u1 = u2 tetapi 81 < 8, inaka lin~ $ 2 ( r . 8 2 . ~ : )

r+ll $l(r,81.u;) lim $2(f.82.0:) = liln

I+"

4,

(t,8, ,G;) I++-

t2

= lim eip[- (oz2-oj2)+ (81- 8z)l

Bukti :

Syarat perlu : Jiia ci = 2

10.1

maka

Misalkan & adalah kelas sebaran campman b

berlungga yang dapat diidentitikasi akan _{c c i c} M _{= c c , F ,} N

dibuktikan bebas linier pada lapangan ;=I X=&I-I

bilangan nil. Misalkan _{adalah dua bentnk yang berbeda dari sebaran}

A'

C a , F i = O , c a n ~ p m berhingga yang sama, berakibat &

,=I (') tidak dapat diidentifikasi, kontradiksi dengan

a, R, ~ ~ b i k a n bebas lifier