Pemodelan Selang Kelahiran Anak Pertama

(1)

6 / M A T

a@[

02S5

PEMODELAN SELANG KELAI-IIRAN ANAK PERTAMA

AYUN RESTYANI

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

(2)

RINGKASAN

AYUN

RESTYANI. Pe~iiodelan Selang Kelal~iran Anak Pertama. Dibimbing oleh Dr. lr. Hadi Su~iiarno

dan Ir. Retno Budiarli, MS.

Selang kelaldran anak pertanla nlerupakan jarak waktu dari ulnur perkawinan pertama pada

wanita sampai unlur kclal~iran anak pertama. Selang kelalliran anak pertanla dapat diynakan sebagai

pcnduga kesuburan wanita karena pada umumnya pasangan sua~ni istri yang barn ~nenikal~ tidak nienunda

kelal~iran anak pcrtama.

A

'

rnenyatakan unlur perkawinan pcrtama pada wanita yang nicnyebar Coale-McNcil dcngar~

paralncter A,qy dan

OA,.

Y nienyatakan ulnur kelaliiran anak pertanla yang nie~iyebar Coale-McNcil dcngali

paramckr A , at. dan

4..

Z = Y

-S

lnenyatakan selang kelahiran aliak pertalila. Besaran p mcnunjukkan Ilubungan linear unlur perkawinan pertama pada wanita dan ulilur kelahiran anak pcrtama. Jika p besar

maka dengan ~nelalui pendekatan para~netrik diperolel~ model selang kelahiran anak pertanla dalan~ bentuk

(3)

PEMODELAN SELANG KELAHIRAN ANAK PERTAMA

AYUN RESTYANI

SWpsi

Sebagai salah satu s w a t untuk rnempuoleh gelar Sarjana Sains

pada

Junrsan Mtematika

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN lLMU PENGETAHUAN ALAM

MSTITUT PERTANIAN BOGOR

(4)

Judul

: Pemodelan Selang Kelahiran Anak Pertama

Nama

:

Ayun Restyani

NRP

:

GO5496007

Menyetujui,

Dr.

Ir. Hadi Sumarno

Pembimbing

I

ketua Jurusan

Ir. Retnh Budiarti, MS

Pembimbing I1

(5)

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilal~irkan di Boyolali pada tanggal 9 Febmari 1978 sebagai anak bungsu dari tujult

bersaudara, anak dari Bapak Drs. Saptono dan Ibu Sumiyati.

Tal~un 1996 penulis lulus dari SMA 1 Boyolali dan pada tahun yang salna penulis lulus seleksi

masuk IPB nlelalui jalur Undangn Seleksi Masuk IPB pada lumsan Mate~natika Fakullas Matelnatika dan

IIJIIU Pengetalluan Alam.

Selama menjadi 111ahasisn.a penulis menjadi penyrus BKIM IPB, periode tabun 199711995 dan

1998/1999 kemudiau n~enjadi pengums BDMA IPB periode tal~un 199912000 dan tal~un 2001 sallipai

sekarang. Penulis juga nlenjadi asisten pada lnata kuliah Pengantar Mateulatika pada semester gar~jil tallun

(6)

PRAKATA

Alham~wlillah

penulis halurkan kepada Allah swt yang telah memberikan pertolongan, kemudahan

serta rahmal-Nya sehingga pcnulis dapat rnenyelesaikan karya ilmiah dcngan judul Pelnodelan Sclang

Kelahiran Anak Pertama.

Ucapan terima kasih penulis ucapkan kepada :

1. Bapak Dr. Ir. Hadi Sumarno, Ibu Ir. Retno Budiarti, MS serta Bapak Ir. N.K Kutha Ardhana, MSc

yang telah memberikan bimbingan dan perhatian selama ini. tlanya Allah slvl yang bisa mernbalas

scmuanya.

2. Bapak, ibu serca kakak-kakakku sernua : Mas Ari sekeluarga, Mbak Eni sekeluarga, saudara kcl~ibarku tcrcinta

,

Mbak Antik, terima kasih banyak atas dukungan, bantuan dan pcngerliannya

sclama ini. IIanya Allah s v l yang akan mcmbalasnya.

3. Teman-teman seperjuangan di UDMA : Yuce, Euis, Eka, Ela, Aam, Tini, Aih, Ilirin, Nita dan teman

-

teman A'33 dan A'34 di jurusan Matcmatika yang tidak bisa penulis sebutkan satu-satu. Syukron

katsiro jazakillah dan teruskan perjuangan ini. Insya Allah perjuangan kita belum selesai.

4. Ternan-teman dan adik-adik di Mexindo 5, Baitnr Rahmah ( Anik, Uswah, Suci, Yayu dan yang lainnya) dan juga Batra's crew khususnya Teh Hanni.

Syukron katsiro ja~akillah atas perhatian dan kebersarnaannya selama ini. Semoga Allah swt selalu

menyatukan hati dan langkah kita dalam perjuangan ini.

5 . Kak Rini dan teman-teman sehalaqoh. Syukron katsiro jazakillah atas nasehat, bimbingan dan

pengertiannya se!ama ini. Semoga kita tetap disatukan dalam barisan ini.

(7)

DAPTAR IS1

Hslanian _...

DAFTAR LAMPIRAN

...

v111

PENDAHULUAN LANDASAN TEORI Fungsi Kepekalan Peluang Bersyarat Transiormasi Pcubal~ Acnk PEMODELAN SELANG KELAHIRAN ANAK PERTAMA For~i~ulasi Model

...

3

Contoh Kasus

...

14

KESIMPULAN

...

16

DAFTAR PUSTAKA

...

17

DAFTAR

LAMPIRAN

Halaman

...

(8)

PENDAHULUAN

Latar Beiakang

Pemodelan adalah proses penyederhanaan masalah ke dalam bentuk model tertentu. Suatu model akan nlempermudah dalam menganalisa suatu fenomena atau masalah yang te jadi. Salah satunya adalah model dalam ilmu demografi, antara lain model pertumbuhan penduduk agregat serla model kelahiran, kematian d m migrasi. Model yang menjelaskan kelahiran anak dalarn ilmu demografi disebnt modek fertilitas. Tingkat kelahiran bayi salah satunya tergantung dari

jumtah pasangan snbur.

Selang kelahiran anak pertama rnerupakan jarak waktu dari umur perkawinan pertama pada wanita sampai umur kelahiran anak pertama. Pada umumnya pasangan suami istri yang barn n~enikah memiliki kecendemngan untnk segera m e m i l i anak selungga mereka tidak akan menggunakan alat kontrasepsi apapun selama menunggu kelahiran an& pertama. Ole11 karena itu selang kelahiran anak pertama digunakan sebagai penduga

kesuburan wanita. Pada tuliwn ini akan dibahas fungsi peluang bagi selang kelahiran anak penanla.

Permasalahan

Selang kelahiran anak pertama akan dipengamhi oleh bekrapa faktor antara lain unlur

perkawinan, sosial budaya, kcsehatan dan

perbedaan wilayah. Banyaknya rvanita =bur pada suatu wilayah dapat diketahui dari sebaran selang kelahiran anak pertama. Masalah yang muncul adalah faklor-faktor di atas menyebabkan panjang selang kelaluran anak pertama tidak menyebar

s e r a g w artinya peluang lamanxa aaktu

menunggu kelahiran anak pertama untuk setiap wanita tidak sama.

Tujuan

Berdasarkan hal di atas, tulisan ini bertujuan mencari model parametrik selang kelahiran anak pertama.

LANDASAN TEOlU

Dalam pelnodelan selang kelahiran anak dan tidak sama dengan no1 pada B maka h g s i pcrtama ini menggunakan konsep slatistika sebagai kepekatan peluang bagi Y adalah :

- -

Fungsi Kepekdtan Peluang Bersyarat (2)

Definisi 1 (Hogg & Craig, 1995)

Jika peubah acak

X

dan Y mernpunyai hngsi Definisi 3 (Bain, Engell~ardl, 1991)

kepekatan peluang bersruna J ( ~ , y) dan fun@ Dua peubal~ acak kontinuxdan Y memiliki fungsi

kepekatan peluang marginal h(x) dan kQ maka kepekatan peluang k r s a ~ n a x v pada

fungsi kepekatan peluang bersyarat dari 'f jika A ={(x,Y)

/

f

(x,Y) > O,(x,Y) E @ ). Dm peubah

diberikanX= x didefinisikan sebaeai : acak U dan V didefinisikan oleh transformasi wtu-

Transformasi Peuhah Acak

Definisi 2 (Bain, Engelhardt, 1991)

Peubah acak kontinu X memiliki fnngsi kepekatan peluang f (x) . Peubdh acak Y = u(X)dengau nilai y = u(x) mendefinisikan transformasi satu-satu dari

A={xlf(x)>O} ke B = { y l y = u ( x ) , y ~ ! V sehingga k(v) >0} dengan transfonnasi invers x =

w@). Jika turunan pertama, IV'Q), adalah kontinu

satu U = k, (X,Y) dan i/ = k , (S. I . ) . Peubah

acak U dan 18. terdefinisi pada

B = {(u, 1,)

1

u = k, (x. y ) dan v = k, (x.

.v)

untuk

(x, y ) dan (u,v) ezi@ sehingga g(u,v) XI). Fungsi

invers dari X dan Y didefinisikan sebagai

X = h, (U,V) dan

l'

= h, (U. I/) . Jacobian dari transfonnasi diperoleh dari turnnan parsial fungsiX

(9)

Jika Jacobian dari transformasi adalali kontinu dan tidak no1 pada B maka fungsi kepekatan peluang bersama dari peubah acak

U

dan l'adalah :

g(u, V) = f [ h , (u, v), h2 (u,

VI~JI

u , v e B (4)

Koefisien Korelasi (Hogg & Craig, 1995) Keeratan hnbnngan linear peubah acak X dan

Y

dilunjukkan olch :

Fungsi Gamma (Hogg & Craig, 1995)

Fungsi Gamma suatu peubah acak X didefinisikan sebagai :

m

r ( a ) = Ira-'e-'dx (9)

0

Jika a adalali bilangan bulat positif maka :

f ( a ) = (a-l)!

T(a +I) = &(a)

Fungsi Digamma (Hogg & Craig, 1995)

Fungsi Digamma dilambangkan dengan ' I J ( z )

dan didefinisikan :

T u m a n pertanla dari fungsi Digamma dituliskan scbagai berikut :

Kurtosis ( Hogg & Craig, 1995)

Kurtosis adalall derajat kemncingan kuwa frekuensi bermodus tunggal. Jika peubah acak S memiliki rataan

p,

dan ragam 0: maka :

Skewness ( Hogg & Craig, 1995)

Skewness adalah ukuran kesenjangan scbaran frekuensi. Jika sebaran bermodus tunggal melniliki

ekor lebih panjang ke arah kiri maka sebaran tersebut dikatakan memiliki skewness negatif dan jika sebaran bermodus tunggal memiliki ekor lebih panjang ke

arah

kanan maka sebaran tersebut diiatakan memiliki skewness positif. Jika peuball acak X m e m i l i rataan px dan ragam D: maka :

skew ( X ) = E [ ( X - ~ x ) ' l

u:

Selanjutnya diberikan modcl sebaran umur perkaxvinan pertama pada wanita dan model sebaran umur kelahiran anak pertama.

Model Sebaran Umur Perkawiuan Pertama pada Wanita (CoaIe and MeNeil, 1972)

Umnr perkawinan pertama pada xvanita mempakan ha1 yang penting ddam fertilitas. Hal ini disebabkan karena menurut norma agama dan norma sosial kelahiran anak tejadi setelali pernikahan.

Pernodelan umnr perkawinan pertama pada wanita telah dilakukan dengan ~nenggunakan

fungsi

miko

perkawinan pada kuna frekuensi

perkawinan pertama wanita Swedia. Perkaxxinan ~nempakan serangkaian proses dari masuknya seseorang dalam pasar perkawinan (manied market) sampai tnenunggu saat perkaninan, yang

bertumt-tumt akan menyebar normal dan

eksponensial. Kemudian dengan metode konvolusi beberapa peubdi acak diperoleh fungsi kepekatan peluang ulnur perkavvinan pertama pada wazita dalam bentuk fungsi eksponensial ganda. J ' i d

peubah acak X menunjukkan

umur

perkaxinan

pertama pada wanita maka umnr perkaxvinan

pertarna pada ~vanita memiliki fungsi kepekatan peluang :

"

.

,

Fungsi sebaran pada persamaan (12) discbnl

scbaran Coale-McNeil dengan parameter

/2,a,dan

6,

serta dilambangkan sebagai

A'-CN(

/2,

a,,

8,

)

dengan :

Peubah acak

S

~nemiliki nilai antara nlnur 15 sampai 49 tahun (krdasarkan data penduduk Srilanka).

A adalali parameter nnhlk peubali acak

S

yang

~ncnjamin kcsesuaian g(x) dengan kuna standar

perkawinan.

(10)

1 skcnncss yiu~g salna dcnga~i 1110dcl scbarilti unlur

0, = n+-Y'(%)dcllgan 0 ad;llah 11il;li tcllg;lll _{pcrkawillan pcrtama} _pads

waniu.

_{jika pcllball}

a

kurva standar fcnilitas. acak I' nicnunjukkan ulnur kclahiran anak pcrhma

G(x) mcnunjukkan fungsi scbaran wanila yang niaka I' tucmiliki ~nodcl scbaran Coalc-McNcil

mcnikah pnda ulnur I 5 sanipai 49 ~ I ~ I I I I ~ . ,Y;I~;III dcngan fungsi kcpckatan pcluang :

~.

, I alau dila~nbangk;~n 1'- Ci\l

(a,a,.

,Or

)

deng;ln :

q.

=T~lJ(%) A

(I6) Pcubal~ acak J' ~ncngambil nilai antar;l onutr I 5 .S ~ u c ~ i ~ i l i k i kurtosis d;~n skcn.ncss : sampai 49 tal~un (bcrdasarkan data pcoduduk J;~\v;i-

B Z I I ~ ) .

(17) 2 ad;llal~ parameter utituk pcub:~l~ acak I' ) . ; I I I ~

t n c ~ ~ j n ~ n i n kcscsuaian g(v) untuk kurv;~ stand;~r pcrka~\.inan.

(I8)

ay;~dalali nilai asimtot pad8 fbngsi rcsiko. r(v).

1

'Ii(%) dct~gan n adalah nilai tcngal~

Model Umur Kelahiran Aouk Pet-tan~o Kelahiran anak pertanla ~ ~ l c n ~ p a k a n awal dari scseorang ~ i ~ c n j a d i orang tua, ole11 karena itu akan mcmiliki pcngamli pada tingkat sosial ckonomi sescorang Uniur kclaliiran allak pertanla akan bcrpetlgamh pada junilal~ aseptor KB pada lembaga BKKBN selain akan ~nenentukan kccctldemngan fcrtiiitas suatu wilayall (Sumarno et al, 1998).

Modcl utllur pcrkalvinan pcrtama pada wanita dapat ditcrapkan untuk unlur kelahiran anak pertalna (Bloom, 1982). Tetapi pada kenyataannya

kclaliiran anak pertanla akan dipengamhi

kcsuburan seseorang. Tingkat kcsuburan sescorang dipengamhi oleh ulllur pada saat menikah. Olcll karena itu nod el sebaran unlur kelaltiran anak pertanla tidnk ]lams memiliki kurtosis dan

kuma standar icrtilitas.

G(y) lli~mpakan fungsi scbaran ulliur kclahiran anak pertatna. I' memiliki rataan, ragam, kurtosis dan skcwncss :

PEMODELAN SELANG KELAHIRAN ANAK PERTAMA

Formulasi Model

Dalatn mernfortnulasikan ~nodcl sclang kelal~iran anak pellatna akan ~ n e n g y n a k a n fungsi kepckatan peluang dari ulnur perkawinan pertalna pada ~vanita dan ulnur kclahiran anak pertama. Jarak seorang wanita ~nelal~irkan anak pertanlanya dari ulnur perkawinannya bempa selang kelahiran

anak pertatna yang dinotasikan 2. G(z)

menu~~jukkan fungsi sebaran peluang wanita yang nielal~irkan anak pertalna dala~n sclang I. Untuk

nic~nodclkan selang kelahiran anak pertalna akan didefinisikan :

Z

=)'-A'

Seperti telah disebutkan sebelu~nnya ballwa ketal~iran anak hanya tejadi setelah perkawinan dan seseorang pada utnulnnya ingin scgcra tne~npunyai anak setelah perkawinannya. Hal ini d i y n a k a n sebagai asutnsi bahwa ulnur perkawinan pertanla wanita dan ulnur kelal~iran anak pertalna mc~npunyai hubungan linear sebesar p

.

Fungsi

kepekatan peluang bagi seorang wanita yang

(11)

perlalna lidak inudal~ unluk diinlerprcstasikan

61

sccara langsung sehingga pcrlu dilakukan g ( y ) = L'-/lY

pcll~bakuai~ (Rodriguez & Trussell, 1980).

Tcorcnia 1

-

Jika peubal~ acak Y ine~niliki ralaan dan ragam ~uasing-masing p,. dan

of

inaka fungsi kepekatan pcluang bagi Y bcrbentuk :

Bukti :

Dcngan incnggonakan persaillaan (19), (20) & (21) akan dibuklikan pcrsaluaail dialas

"@j=',&

Misal:

Sehingga g o mcnjadi :

Tcorema 2 (Hogg & Craig, 1995)

Jika dua peubal~ a c a k S d a n Y iilelniliki llubungan linear sebesar p maka nilai rataan dan standar deviasi

bersyarat dari Y jika diketallui

A'

= x yaitu Pj7s dan cry,, adalah :

(12)

Brll<ti ~ ) C I - S ; I I I I ; I ~ I I (27) & (28) :

1. Nilai tcng;~l~ bcrsy~rat )'.iika diketahc~i S = x

&,pat diluliskan :

-

, L I ~ , . ~ = E[J'

I

A'] = j.k!f(.k,

1

.r)!)>

-a

o f)f(.r,),)I<v=(a +b.r)J(.r)

-a

(2%

Kcmudian kedua sisi pcrs;lm;ian (29)

diintcgralkan tcrlladap x scl~iligga dipcrolch :

*

o j ~ f ( y ) d , ~ ~ = o +hitx -m

-{I,. =o+h/l,.

(30)

Kedua ruas persanlaan (29) di atas dikalikan dcngan x ke~nridian diintegralkan terhadap x

sel~ingga dipcroleh :

Dcngan n~cnggunakan persarnaan (5), (6), (7) &

(8) diperoleh :

1

p c x my

+

P , ~ p,. = u p s

+

40.;.

+ ( p x ) )

(32)

Persaniaan (30) di~nasuMtan ke (32), yaitu :

1 1

pqru,. + p s ( a + b p X ) = n p , + N o x +P,)

1 1 o pq,, or

+

npA,

+

bp.;. = ap., i b o x

+

bp.,

2. Kcragamarl bcrsyar;~t dari Yjika dikctalloi-Y= x

dibuktikan dcngan mcngg~~nakan persaltlaan (27)

yaitu :

ff,?l,v = E[(Y -A,rl,r)?J

e,

=

I(?

- rs.,.v)'f(~,

I

.s)r!v

- m

Persanlaan (34) dikalikan dcnganflx) kemudian diinlegralkan terlladap x, sel~ingga menjadi :

2 a;

+

p 7(.x

-

/ I , ~ ) ' ] f (x, y)dyi.x

a;.

Standar deviasi bcrsyarat dari Y jika diketahui

S =

x adalah :

Orl,r =

,/rp

(33)

Persainaan (33) dimsukkan ke dalaln persalnaan

(13)

Asumsi bal~wva umur pcrkawvinan pertama pada mcnggunakan pcrs;ima;ln (24) diln rata;l~l scrl;l wvanita dan ulilur kelal~iran anak pcrlalila lncn~iliki standar dcviasi bersy;lrat I' jika dikcl;ll~oi

S

= x

l~ubungan scbesar p ~ ~ i c ~ i l b c r i akibat di bawvah ini. yaitu p,.,, dan cr,,, , g(v1.r) dap;~l dituliskan

Scorang wanila akan melal~irkan anak pcrtama scbagai bcrikul:

pada umury jika i~ienikal~ pad;^ umor x nic~~ipunyai

liu~~gsi kcpekatan pcluang g(y1x). Dengan

Persamaan (15) disubstitusikan ke d a l a ~ n persalnaan

g@b),

sellingga inenjadi :

Y u,. 0,. <I)(

F)

6 ( ~

I

.v) = l o r esp{[-- nor (y-p,.

+(ex

-T

)p--p-x-

..,.

J;--T;ir(?)

vr

~7

YJ(F) q y ~ )

a,.

m

1

-esp[- Lor O I - p r + ( @ . v - ) p ~ - p ~ x - v v o.r a,. ~ ) I I

a,.

lo,. 'If(?)

-

esp

i

[-

~~-~,.-~,.,liq7

u,.

mu?)

u,.

0,.

L p e ,

+

p-x]-exl>[-

V.Y a,.

rn

OX

-

a

0 L p 6 ,

+

do,. _p-*I)U Y .

a,.

rn

0 s

,

.

'I)(%) a,. 'IJ(?) -

-

20,. (Y-(p,.+a,.mr+pZT

1)

+

a,rm

ao,.

(14)

Dcligan pemisalan di atas g(vlw) dituliskall :

4,s

g(y

I

I ) = -csp(-a CI'-O,,,)+- a.v p ( . ~ - ~ , ~ ) - e s p [ - & ( y -

or,,)

+ A p ( . r - ~ . v ) l )

r(7)

rn

&F

Tcorcrna 3

Jika Y mempunyai fungsi kcpekatan peluang g ( y ) dan g(vl x ) adalall fungsi kepekatan peluarlg Y jika diberikanAr= x maka pcubah acak S d a n Y mcmiliki fungsi kepekatan peluang bersama :

-

esp(

-a,.,

( y

-

e,.,

)

+

+ , ~ ( x

-

0,)))

(15)

Mis;~lk;nl dibcrikan peob:~h acak

U

dan 11' yang incrupakan fungsi peub;~l~ ;~cak

S

dill1 I' dill1 dilulisk;~n scbagai _.:

11' = 2Ll'

u

= A(Y

-

.Y) Fungsi i ~ ~ v c r s dari S d a n

I'

adalal~ :

Ke~nudian pcubal~ acak S d a n l'ditransforniasi ke peubal~ acak

U

dan 11' dan dituliskan di ba\\,al~ ini.

-

- ?J"VI.X 1" 1,s

+

,,

exp(( - - O,

x

I,'

a

&F

P - a2.

-

a (- - 0 r,.r )ex]){ -ex,,( -A(-

-

0, ))

r ( ~ ) r ( ~ ) i. 7-

$1'

+

I ,

-W,,(-2 (--orl,v)+ A:v

2

-

- 1ri.x ex11 (( _P_-0,)

-

_-(N~ Y I . , .

+

_IU_-_{ol.ISa)) ex1)( -CXP(}_-(,u

-

_o,.~))

a r ( + ) r ( F )

a

1v

+

11

-

i.Orl, I V

-

ao,

- ""P( (

a

))I

-

- 2.YI.l- cxp( --I, av1x

-

I"(-- a,,, a , _{p+--"))esp(--}a

n r ( y ) r ( ~ )

a

2

a

m

2

a;.

0 , cxp( - e x d - ( I V - 0 , L ) ) - e s p ( d OYI,

-

Lcma 4

(16)

Bukti :

1. Bcrdasark~n pcrsamaan (35) yaitu :

1 - p -

a r I s =

a

or

u,.

J1-p2

Persarilaan (21) & (24) dimasukkan ke persa~liaan (31), yaitu :

3. Persalnaan (16), (21) & (37) da11 L a n a 4 no.1 disubstitusi dalam persamaan (35) yaitu :

= .lhrL,,

(17)

Pcrsarll;~;~n pads Lcma 4 disubslilusi dillilm g(u,\l,) yailu :

1

-

a r - ( a,. a.v _p

+

_{')w~}cspja,O,}a _-

-

P

- J I -P " l -( ) ) c ~ p -i

,

-

A A

JI-P"

I 1

+ A

o,.,,

)cs[7: -cx]>(-(\I, - 0 , ~ ) ) -cxP(--- p o ,

+

-

J7

1 - P ))

i

Jika nil;~i paramctcr ulnur pcrk:l\vinan pcrt:!ln:l

pada nit;^ dan umur kclallira~~ anak pcnallia

i";-=

pads ~ l ~ l l d ~ d u k u8ilayal~ Jaira-B~li didup1 dct~gan 2, ='P6G3

~uc~lggunakan ~uctodc numerik ~ ~ ~ c n g h a s i l k a n :

h =0,39

Jika p = 0,938 111;rka

Nilai penduga

a,, a,.

dan A diasu~nsikan kouslan I

-

1 , 0 6 6 3 ~ = I

-

1,0663.0,938 z 1 karclla kcllliringan kurva umur perkawinan Den@" nilai di alas, nilai 1

-

1 , 0 6 6 3 ~ p c r l a ~ ~ ~ a pada wanita dan UIIIUI kelahiran anak

pcrlaula diasu~nsikan sama unluk sctiap ~ i l a ) ~ a h . Bcrdasarkan nilai parallletcr di alas diasumsikan

-

:

Jika diasumsikan nilai p besar 111aka g ( a , ~ v )

A,

-

JY'

(T)

ditulisk~~n pada pcrsa~naan (40).

-- = 1,0663

A

m

(39)

1 a r

-

a

I,-( a.vP + ~ ) t ~ ~ } e s ~ { a , ~ O ~

-

S(","')=

m r ( y ) r ( T )

CxP'-mA

A

(40) Kenludian fungsi kepekalan peluang b e r s a ~ i ~ a peubal~ acak Udan il'diintegralkan terlladap kf' pada selang

(0,ca) diperolehg(u). Seperti dituliskan di bawal~ ini : ,-

1 a,.

(18)

I - J

-

- ₁₁_+a,@, _-- a,.

I

I1 2

-cs11(--

A,

+-6r,,y))

7

a,

-

*.rP

+a,)

fi

-" "Y- "L.0 < =.Y - 1

(

,

A )

a,.

(lt*->"or) -(-

--

"'P +%)>.qv -cx~(+I.- O.\.A))~,I<~

>.G

i.Jq

2

a,, a.rp

jilt;,

-

--

A 2 . i- f/.

1 , maka

r ( z ) a,.

esp\C- rr+a,O\. --

c;.

a,. 0 a,. ";.P

'(")= fiqY)r(?) A~

Jq

PO

'

+-

J1-p2

""

A

Kalau dipcrhatikan, persamaan (41) ~llcmpakan fungsi kepekatan peluang dari sebara~i Coale-McNeil scperti yang dituliskan pada persalllaan (14), k~rena

maka dapat dituliskan :

r( :)

4. ,I+-

esp

t----

''

41s

--

A

*")=fil-(y)r(T)

2m

Berdasarkan persanlaan (39) didapatkan :

2;. -

J'r.-

1,0663

"-m-

o

a:'

= 1 , 0 6 6 3 ~

o

pa',

= 1,0663Ap.

Jika p ~ ~ i e ~ n i l i k i nilai 0,938 niaka :

(19)

I k n g ~ n mengtmakan persama2m (42) g(u) dapat dituliskan sebagai berikut :

Teoreoix 5 dl-P2

Jika ~ I I ) mempunyai pa~amcta

;l,

,@, dan 0, dengan nilai parameter :

a

- ay

"-nm

0, =o,,,a-0,

maka llakan menyebar Coale-McNeil dengan fungsi kepekatan peluang

O < u < m .

(43)

13ukti (lampiran)

Selang kelahiran anak palama yang dinotasikan dengan 2, dimisalkan sebagai Cimungsi dari peubah a& ti yaim :

ti Z = - + U = W

a

Kemudian nilai z dan nilai parameta peubah acak U disubstitusi ke persamaan (43) schingga diperoleh

g(z), seperzi dituliskan di bawdh ini

2 ,

~ ( I I ) =

-

exp{ - a u (11

-

0 , )

-

ex@(

- X u

(u - 0 , )))

(20)

Teovenl;~ 6

Jika Z mcmiliki paranlcler a,,

a,

dan 0, dcngan n i h i pararnetcr :

a,.

a ,

= J q T

o,.l,s

=

orIx

-

o,s

luaka Z lnenycbar Coale-McNeil dengan Cungsi kepekatan peluang

Buliti :

Jika Z nielniliki nilai paralilctcr :

a,.

=-

(21)

Scllingga rungsi kcpckatal~ pcluang Z pada pcrs;bma;ln (44) dapat dituliskan :

-

F ( x

+

I)

-

F(x) F ( a )

Fungsi kclnungkinan ~~laksililulnnya adalafi :

L

=

rI:in0

(z4" )'"xo

dengan :

a. ~nenyatakan kelompok ulliur paling rendali a,, menyatakan kelo~npok ulnur paling tinggi

1 1 1 ~ ~lienyatakan jumlah wanita b e m ~ n u r a tallun

2 I

s(4

=

-

espi-- ffr ( Z

-

(erls

-

e.y

1)

-

CSP(-

-

2

m f i

\I]-P1

\I]-P1(2-(e

ry -@,,,))}.

r(7)

$7

(45)

Bcrd;ls;~rkao pcrsam:lan ( 4 3 , sclang kclahiran an;~k untuk n.ilayal~ Jaws-Bali till~un 1991 dita~npilkan pcrl;lma mcmiliki scbar;in Co:~lc-McNcil dcng:~n pada Tabel I dill1 Tabel 2 ( S u ~ i ~ a r ~ i o ct al, 199s). psr;lllstcr a,.A, dali U,, r1111gsi kcpckaia~~

yang mcnikali pada ~vaktu b e ~ l n u r x tabun.

Fungsi ke~nungkinan ~ i ~ a k s i ~ n u ~ n di atas ~ n e ~ n i l i k i logaritlna asli :

pcl~~:rngny;~

g ( z ) =

-

csl,{-a,(z-Uz)-csp(-&(z-0,)))

r(3)

O < z < m .

13

Conto11 Kssus

Model yang tclal~ dibentuk akan digunakan ulituk memodelkan ulliur perkawi~ian pertalila padl \vanita, umur kelahiran anak pertalila dan selang kelal~iran anak pertailin pada penduduk wilayah Jawa-Bali tahun 1991. Dalam pell~odelan ini akan menggunakan data SDKI (Sulvai Demografi dan Kcsellatan Indonesia) taliun 1991 untuk wilayal~ Jawa-Bali. Data yang digunakan adalah data wanita pernah menikali bemlliur 15 salnpai 49 tahun. Peluang seorang wanila menikali pada ulliur x tallun jika tclall b e ~ l l l u r a tallun dituliskan :

P ( X ~ S < X + I )

~ . v I " =

P(X' < a )

11,, "-I

L oc

z

Z:

mm, {ln[F(x

+

1)

-

F(x)]

-

I~i[l;(a)]}.

FX,,

Pendugaan parallieler sebaran dilakukan dengan ~lle~liaksi~nulnkan fungsi likelihood tersebut. Hasil

pendugaan parameter untuk model urnur

pcrkarvinan periarna pada rvanita, uniur kelahiran anak pertalila dan selang kelal~iran anak pertalna

Tabel 1

Par;llnctcr 11 a a ?. 0

- n

).

skcu,

kuri

U ~ n o r Pcrka\vinau 18.89 4.88 0.23 0.39 14,9G 0,604 2,72 3,57

U ~ n u r K c l a l ~ i r ; ~ ~ ~

(22)

15

Interpretasi Hasil memiliki ketncnjuluran yang lebih bcsar

Model umur pdmvinan pertama pada wanita dibandingkan dengan umur perkawinan pcrtana

d a i umur kelahiran anak pntarna unluk wilayah w a n i a Ini berarti bahwd jumlah wanita yang tidak

Jawa-llali taliun 1991 adalah : melahirkan anak pcrtama pada umur sekitar 40

ds)'0,26 exp(-023 (x-14,%)- exp (-0,39 (1-14,%))) tahun lebih hesar dibandigkan dengan wanila (46) yaig tidak mcnikah pada umur sekitar 40 tahun.

X-CN(0.39,0.23, 14.96) _{Kemudin den-=} _{menggunakan model umur}

prkawinan pcrtatna wanita d x i tunnr kclahiran g0,)=0,24 cxp(-0,22(y-l7,48tcxp(-0,39@17,48))) anak p n t a n a tclah diperolch model sclang (47) kelaliirati anak pcrlama. Modcl xlaig kclahiran

V - (7\1(0,39, 0.22, 17.48 ). _{iuiak pcrtama wilayah Jawa-Bali adalah}_:

I'ola tnodcl umur pcrk;l\\itvan pcrtama wan it:^ dan _g(,)_{= ~ , 8 ~ ~ ~ ~ ~ , 7 q ~ - 1 , 5 4 ) - ~ ~ ~ ( - ~ 3 q ~ ~}_1,54))) urnur kclahiran a ~ a k pcrtama itntuk nilai p = 0,938

ditampilkan pada (;ambar 1.

Z-

_{CN(1.36, 0.76, 1.54).} (48)

I k i 'L'akl 1 terliha~ nilai rataan ilniiu _{Ucrdasarkm Tabel 2 terlial bah~rd selaig}

pcrkawinan pertma wanira 18,9 tahun dengm _kelalliran _memiliki_{nilai rafaarl}_2,79

standar dcviasi 4,9. h g k a skewness positic _tahwl, _stan& _deviasi _dan_angka_skewness mcnunjukkan bahwa sebagian b a r wanita JaWd- _pitif _menunjukkm_{bahwa sebagian}

bar

I b l i m~nikah sekim wnur (18,9 1. 4,9) tahun &an _{Jawa-~ali memiliki}

an*

pertama

_{sekitar sclang} wmita yang menikah lebib dari (18,9

+

4,9) tahun

(2,79 tahun dan wanitayang memiliki

an*

semakm sedikit sehing~a menyebabkan median _pcrtama_dalam_{selang lebi} _~7~ ₊_1,49)

umiu pcrkawinan pertma pada wanita bemilai _tahun_semakin _sedildl, _{sebagian bar}

lebih kccil dari nilai rataannya. I'ada T a k l 1 tidak kclahiran

~nenunjukkan Miwa umur kelahiran

an&

pertana

pertamany, I.Ial ini mmyebabkan median &i mcmpunyi nilai rataan 21,9 tahun, standar deviasi _kclahiran_anak_patama_{be mil^}_{lebih kccil}

5,21 skWVness positif. kid d,i nila; ramp. Selanjumy &pat diketahui

mcnyatakan bahwa sebagian

bcsar

wmita Jawd- _jugs_{bahwa modd selang keiahiran} _penama

Uali melahirkan anak W a n a n y sekitar umw _memilild _kmi,.ingan _wg

sama

_{dengan model}

(21,9 f 521) tahun dan wanita yang melaliirkan _Urnus_{kclahiran anak}_pertama _ini_~i _{a n m a}

an&

perlama lebih dari umur (21,9

+

5,211 tahun

,,

_kclahiran

an&

mama

_{dan selang kelahiran}

sernakin sedikit sehingga menyebabkan median d i p e n m i oleh tertentu.

wnur kelahiran anak pertma krnilai lebih kccil _{pola model selang kclahiran} _{p e n m a untuk}

dari nilai rataanny. _nilai _p=_{0,938 &pat d i l i a t pa&}_Gambar_2.

Gamba 1 menunjukkan bahwa model umur kelahiran anak p d a m a memiliki kcmiringan lebih besar dibandigkan dengan umur perkawinan p~rtama w m i t a I-Ial ini berarti bahwa kelahiran

anak permma

a h

dipengaruhi oleh umur.

Scdangkan model umur kelahiran anak pertatna

... umur perkawinan UMUR PERTAnnA umur kelahiran DAN UMUR KELAHIRPN PNAK PERTAMA

(23)

MODEL SELANG KELAHIRAN

ANAK PERTAMA

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1

Waktu (tnhun)

KESIMPULAN

S

mc~iyatakan uliiur perkawinan pert;tma p;ida wanita yang memiliki fungsi kepekalan peluaiig g(x) dengan parameter

A

ax dan Ox. Y

mcnyatakan uliiur kelalliran anak pertalna yang memiliki fungsi kepekatan pcluang g(y) dengan parameter

A

a].

dan

4..

Z = l'

-

S

tiienyatakan sclnng kelahiran anak pertama.

Besaran p ~nenunjukkan liubungan linear

antara ulnur perkawinan perlama pada wanita dengan uliiur kelahiran anak pertama. Parameter iiiituk fungsi kepekatan peluang seorang wanita yang ~ilclaliirkan anak perlama pada urnur y jika menikah pada ulnur x yaitu g(y1x)adalah

aw,

Lw

daii

&.

Jika nilai p besar Inaka melalui pendekatan parainetrik dipcroleli model selang kelaltiran anak pertalila dalain bentuk model sebaran Coale-

McNcil dengan fungsi kcpekatan peluang :

O < z < m .

Nilai parameter-parameter dari Z adalali :

Oz =

o,.,,

-

o,,.

Model iiii dipadankan pada penduduk wilayall Jawa-Bali tahun 1991. Model selang kelalliran anak pertarria wilayall Jawa-Bali menycbar Coale-McNeil dengan fungsi kepekatan peluang :

g(z) =0,85exp{4,76(z -1.54) -esp(-1,36(z -1,54))}

(24)

DAFTAR PUSTAKA

Bloom, I1.E. & N.G. Dennctt. 1990. Modclirng

American Marriage l'attcrns. 412:1009- 1017.

Dlwm, D.E. 1982. Wbat's Ileppcning to tlie Age

at First 13irUi in the Unitcd States ? A

study o f Recent Col~orts. 3:351-370.

Coalc, A.J. 8: 1).11. McNcil. 1972. 'Ilic

Distribution by Age of 1:rcquency of1:irst Marriage in a Fcmelc Colior(. .lourn;~l of American Slatistical Assosiation. 67:743- 749.

Coale, A.J. & 0.11. McNeil. 1971. Age l'attcrns

of Marriagc. Population Studics. 25:193- 214.

IZngelhardt, 13. 199 1. Introduction to I'robability

and Mathcmatiwl Statistics. Ed kc-?. Doston.

Ilogg, 11.V. & A.T. Craig. 1995. Introduction to

Mathematical Statistics. lid. kc-5.

MacMillan. New York.

I<odrigue% G. & J . Trussell. 1980. M a x i l ~ i u ~ ~ l

Likclihod Esti~nation oT the i'aramclcrs o f Coale's Model Nupliality Schedule kom Survey Ilata. World 1:cilility Survey, 'S~xlinical Bulletin No.7. London.

Sumerno, II., I<. Bodiani & Sisw;~ndi. 1998.

I'emdclan IJrnur Kclahiran Anak

I'crtama dan Selang Kcl:ihiran Anak

l'ertama. I'cnclitisn. I30gor : 111stiti1t

I'crtanian Bogor.

(25)

(26)

Teorenia 5

.liki &<u) mclnptnyai parameter -panuncler A,, ,a,

&an

0,

dcngan nilai parameter :

1

*"

= p

0,, =O,,xh-Oxh

~naka [Jakan ma~ycbar Ccx~lc-McNeil dengin lilngsi kepekalan peluang :

r ( F ) l - ( z ) Ikngan mengiu~akan persanaan (36), (46) d m lema 4

akan

diwri nilai dari

r ( y ) r ( T ) Jika :

A," = I

maka

1 J - T

Jika o x

-

pa - - Y (

,

) p- Y (T)

,

dengan menggunakan pasamaan (39) mak8 :

y - h h

. .

Diasumsikan bahwa nilai p = 0,938 sehiingga :

1-p.1.0663 =1-0,938.1.0663 - 0

I>engan mrnggunakan asumsi di atas maka o x - per, = 0

(27)

(28)

6 / M A T

a@[

02S5

PEMODELAN SELANG KELAI-IIRAN ANAK PERTAMA

AYUN RESTYANI

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

(29)

(30)

PENDAHULUAN

Latar Beiakang

Permasalahan

Tujuan

LANDASAN TEOlU

- -

Jika peubah acak

X

/

f

(x,Y) > O,(x,Y) E @ ). Dm peubah

B = {(u, 1,)

1

u = k, (x. y ) dan v = k, (x.

.v)

untuk

X = h, (U,V) dan

l'

(31)

PENDAHULUAN

Latar Beiakang

Permasalahan

Tujuan

LANDASAN TEOlU

- -

Jika peubah acak

X

/

f

(x,Y) > O,(x,Y) E @ ). Dm peubah

B = {(u, 1,)

1

u = k, (x. y ) dan v = k, (x.

.v)

untuk

X = h, (U,V) dan

l'

(32)

Jika Jacobian dari transformasi adalali kontinu dan tidak no1 pada B maka fungsi kepekatan peluang bersama dari peubah acak

U

dan l'adalah :

g(u, V) = f [ h , (u, v), h2 (u,

VI~JI

u , v e B (4)

Koefisien Korelasi (Hogg & Craig, 1995) Keeratan hnbnngan linear peubah acak X dan

Y

dilunjukkan olch :

Fungsi Gamma (Hogg & Craig, 1995)

Fungsi Gamma suatu peubah acak X didefinisikan sebagai :

m

r ( a ) = Ira-'e-'dx (9)

0

Jika a adalali bilangan bulat positif maka :

f ( a ) = (a-l)!

T(a +I) = &(a)

Fungsi Digamma (Hogg & Craig, 1995)

Fungsi Digamma dilambangkan dengan ' I J ( z )

dan didefinisikan :

T u m a n pertanla dari fungsi Digamma dituliskan scbagai berikut :

Kurtosis ( Hogg & Craig, 1995)

Kurtosis adalall derajat kemncingan kuwa frekuensi bermodus tunggal. Jika peubah acak S memiliki rataan

p,

dan ragam 0: maka :

Skewness ( Hogg & Craig, 1995)

Skewness adalah ukuran kesenjangan scbaran frekuensi. Jika sebaran bermodus tunggal melniliki

ekor lebih panjang ke arah kiri maka sebaran tersebut dikatakan memiliki skewness negatif dan jika sebaran bermodus tunggal memiliki ekor lebih panjang ke

arah

kanan maka sebaran tersebut diiatakan memiliki skewness positif. Jika peuball acak X m e m i l i rataan px dan ragam D: maka :

skew ( X ) = E [ ( X - ~ x ) ' l

u:

Selanjutnya diberikan modcl sebaran umur perkaxvinan pertama pada wanita dan model sebaran umur kelahiran anak pertama.

Model Sebaran Umur Perkawiuan Pertama pada Wanita (CoaIe and MeNeil, 1972)

Umnr perkawinan pertama pada xvanita mempakan ha1 yang penting ddam fertilitas. Hal ini disebabkan karena menurut norma agama dan norma sosial kelahiran anak tejadi setelali pernikahan.

Pernodelan umnr perkawinan pertama pada wanita telah dilakukan dengan ~nenggunakan

fungsi

miko

perkawinan pada kuna frekuensi

perkawinan pertama wanita Swedia. Perkaxxinan ~nempakan serangkaian proses dari masuknya seseorang dalam pasar perkawinan (manied market) sampai tnenunggu saat perkaninan, yang

bertumt-tumt akan menyebar normal dan

eksponensial. Kemudian dengan metode konvolusi beberapa peubdi acak diperoleh fungsi kepekatan peluang ulnur perkavvinan pertama pada wazita dalam bentuk fungsi eksponensial ganda. J ' i d

peubah acak X menunjukkan

umur

perkaxinan

pertama pada wanita maka umnr perkaxvinan

pertarna pada ~vanita memiliki fungsi kepekatan peluang :

"

.

,

Fungsi sebaran pada persamaan (12) discbnl

scbaran Coale-McNeil dengan parameter

/2,a,dan

6,

serta dilambangkan sebagai

A'-CN(

/2,

a,,

8,

)

dengan :

Peubah acak

S

~nemiliki nilai antara nlnur 15 sampai 49 tahun (krdasarkan data penduduk Srilanka).

A adalali parameter nnhlk peubali acak

S

yang

~ncnjamin kcsesuaian g(x) dengan kuna standar

perkawinan.

(33)

waniu.

_{jika pcllball}

a

~.

(a,a,.

,Or

)

deng;ln :

q.

=T~lJ(%) A

B Z I I ~ ) .

(I8)

1

PEMODELAN SELANG KELAHIRAN ANAK PERTAMA

Formulasi Model

Z

=)'-A'

.

Fungsi

(34)

waniu.

_{jika pcllball}

a

~.

(a,a,.

,Or

)

deng;ln :

q.

=T~lJ(%) A

B Z I I ~ ) .

(I8)

1

PEMODELAN SELANG KELAHIRAN ANAK PERTAMA

Formulasi Model

Z

=)'-A'

.

Fungsi

(35)

perlalna lidak inudal~ unluk diinlerprcstasikan

61

sccara langsung sehingga pcrlu dilakukan g ( y ) = L'-/lY

pcll~bakuai~ (Rodriguez & Trussell, 1980).

Tcorcnia 1

-

Jika peubal~ acak Y ine~niliki ralaan dan ragam ~uasing-masing p,. dan

of

inaka fungsi kepekatan pcluang bagi Y bcrbentuk :

Bukti :

Dcngan incnggonakan persaillaan (19), (20) & (21) akan dibuklikan pcrsaluaail dialas

"@j=',&

Misal:

Sehingga g o mcnjadi :

Tcorema 2 (Hogg & Craig, 1995)

Jika dua peubal~ a c a k S d a n Y iilelniliki llubungan linear sebesar p maka nilai rataan dan standar deviasi

bersyarat dari Y jika diketallui

A'

= x yaitu Pj7s dan cry,, adalah :

(36)

Brll<ti ~ ) C I - S ; I I I I ; I ~ I I (27) & (28) :

1. Nilai tcng;~l~ bcrsy~rat )'.iika diketahc~i S = x

&,pat diluliskan :

-

, L I ~ , . ~ = E[J'

I

A'] = j.k!f(.k,

1

.r)!)>

-a

o f)f(.r,),)I<v=(a +b.r)J(.r)

-a

(2%

Kcmudian kedua sisi pcrs;lm;ian (29)

diintcgralkan tcrlladap x scl~iligga dipcrolch :

*

o j ~ f ( y ) d , ~ ~ = o +hitx -m

-{I,. =o+h/l,.

(30)

Kedua ruas persanlaan (29) di atas dikalikan dcngan x ke~nridian diintegralkan terhadap x

sel~ingga dipcroleh :

Dcngan n~cnggunakan persarnaan (5), (6), (7) &

(8) diperoleh :

1

p c x my

+

P , ~ p,. = u p s

+

40.;.

+ ( p x ) )

(32)

Persaniaan (30) di~nasuMtan ke (32), yaitu :

1 1

pqru,. + p s ( a + b p X ) = n p , + N o x +P,)

1 1 o pq,, or

+

npA,

+

bp.;. = ap., i b o x

+

bp.,

2. Kcragamarl bcrsyar;~t dari Yjika dikctalloi-Y= x

dibuktikan dcngan mcngg~~nakan persaltlaan (27)

yaitu :

ff,?l,v = E[(Y -A,rl,r)?J

e,

=

I(?

- rs.,.v)'f(~,

I

.s)r!v

- m

Persanlaan (34) dikalikan dcnganflx) kemudian diinlegralkan terlladap x, sel~ingga menjadi :

2 a;

+

p 7(.x

-

/ I , ~ ) ' ] f (x, y)dyi.x

a;.

Standar deviasi bcrsyarat dari Y jika diketahui

S =

x adalah :

Orl,r =

,/rp

(33)

Persainaan (33) dimsukkan ke dalaln persalnaan

(37)

Asumsi bal~wva umur pcrkawvinan pertama pada mcnggunakan pcrs;ima;ln (24) diln rata;l~l scrl;l wvanita dan ulilur kelal~iran anak pcrlalila lncn~iliki standar dcviasi bersy;lrat I' jika dikcl;ll~oi

S

= x

l~ubungan scbesar p ~ ~ i c ~ i l b c r i akibat di bawvah ini. yaitu p,.,, dan cr,,, , g(v1.r) dap;~l dituliskan

Scorang wanila akan melal~irkan anak pcrtama scbagai bcrikul:

pada umury jika i~ienikal~ pad;^ umor x nic~~ipunyai

liu~~gsi kcpekatan pcluang g(y1x). Dengan

Persamaan (15) disubstitusikan ke d a l a ~ n persalnaan

g@b),

sellingga inenjadi :

Y u,. 0,. <I)(

F)

6 ( ~

I

.v) = l o r esp{[-- nor (y-p,.

+(ex

-T

)p--p-x-

..,.

J;--T;ir(?)

vr

~7

YJ(F) q y ~ )

a,.

m

1

-esp[- Lor O I - p r + ( @ . v - ) p ~ - p ~ x - v v o.r a,. ~ ) I I

a,.

lo,. 'If(?)

-

esp

i

[-

~~-~,.-~,.,liq7

u,.

mu?)

u,.

0,.

L p e ,

+

p-x]-exl>[-

V.Y a,.

rn

OX

-

a

0 L p 6 ,

+

do,. _p-*I)U Y .

a,.

rn

0 s

,

.

'I)(%) a,. 'IJ(?) -

-

20,. (Y-(p,.+a,.mr+pZT

1)

+

a,rm

ao,.

(38)

Dcligan pemisalan di atas g(vlw) dituliskall :

4,s

g(y

I

I ) = -csp(-a CI'-O,,,)+- a.v p ( . ~ - ~ , ~ ) - e s p [ - & ( y -

or,,)

+ A p ( . r - ~ . v ) l )

r(7)

rn

&F

Tcorcrna 3

Jika Y mempunyai fungsi kcpekatan peluang g ( y ) dan g(vl x ) adalall fungsi kepekatan peluarlg Y jika diberikanAr= x maka pcubah acak S d a n Y mcmiliki fungsi kepekatan peluang bersama :

-

esp(

-a,.,

( y

-

e,.,

)

+

+ , ~ ( x

-

0,)))

(39)

Mis;~lk;nl dibcrikan peob:~h acak

U

dan 11' yang incrupakan fungsi peub;~l~ ;~cak

S

dill1 I' dill1 dilulisk;~n scbagai _.:

11' = 2Ll'

u

= A(Y

-

.Y) Fungsi i ~ ~ v c r s dari S d a n

I'

adalal~ :

Ke~nudian pcubal~ acak S d a n l'ditransforniasi ke peubal~ acak

U

dan 11' dan dituliskan di ba\\,al~ ini.

-

- ?J"VI.X 1" 1,s

+

,,

exp(( - - O,

x

I,'

a

&F

P - a2.

-

a (- - 0 r,.r )ex]){ -ex,,( -A(-

-

0, ))

r ( ~ ) r ( ~ ) i. 7-

$1'

+

I ,

-W,,(-2 (--orl,v)+ A:v

2

-

- 1ri.x ex11 (( _P_-0,)

-

_-(N~ Y I . , .

+

_IU_-_{ol.ISa)) ex1)( -CXP(}_-(,u

-

_o,.~))

a r ( + ) r ( F )

a

1v

+

11

-

i.Orl, I V

-

ao,

- ""P( (

a

))I

-

- 2.YI.l- cxp( --I, av1x

-

I"(-- a,,, a , _{p+--"))esp(--}a

n r ( y ) r ( ~ )

a

2

a

m

2

a;.

0 , cxp( - e x d - ( I V - 0 , L ) ) - e s p ( d OYI,

-

Lcma 4

(40)

Bukti :

1. Bcrdasark~n pcrsamaan (35) yaitu :

1 - p -

a r I s =

a

or

u,.

J1-p2

Persarilaan (21) & (24) dimasukkan ke persa~liaan (31), yaitu :

3. Persalnaan (16), (21) & (37) da11 L a n a 4 no.1 disubstitusi dalam persamaan (35) yaitu :

= .lhrL,,

(41)

Pcrsarll;~;~n pads Lcma 4 disubslilusi dillilm g(u,\l,) yailu :

1

-

a r - ( a,. a.v _p

+

_{')w~}cspja,O,}a _-

-

P

- J I -P " l -( ) ) c ~ p -i

,

-

A A

JI-P"

I 1

+ A

o,.,,

)cs[7: -cx]>(-(\I, - 0 , ~ ) ) -cxP(--- p o ,

+

-

J7

1 - P ))

i

Jika nil;~i paramctcr ulnur pcrk:l\vinan pcrt:!ln:l

pada nit;^ dan umur kclallira~~ anak pcnallia

i";-=

pads ~ l ~ l l d ~ d u k u8ilayal~ Jaira-B~li didup1 dct~gan 2, ='P6G3

~uc~lggunakan ~uctodc numerik ~ ~ ~ c n g h a s i l k a n :

h =0,39

Jika p = 0,938 111;rka

Nilai penduga

a,, a,.

dan A diasu~nsikan kouslan I

-

1 , 0 6 6 3 ~ = I

-

1,0663.0,938 z 1 karclla kcllliringan kurva umur perkawinan Den@" nilai di alas, nilai 1

-

1 , 0 6 6 3 ~ p c r l a ~ ~ ~ a pada wanita dan UIIIUI kelahiran anak

pcrlaula diasu~nsikan sama unluk sctiap ~ i l a ) ~ a h . Bcrdasarkan nilai parallletcr di alas diasumsikan

-

:

Jika diasumsikan nilai p besar 111aka g ( a , ~ v )

A,

-

JY'

(T)

ditulisk~~n pada pcrsa~naan (40).

-- = 1,0663

A

m

(39)

1 a r

-

a

I,-( a.vP + ~ ) t ~ ~ } e s ~ { a , ~ O ~

-

S(","')=

m r ( y ) r ( T )

CxP'-mA

A

(40) Kenludian fungsi kepekalan peluang b e r s a ~ i ~ a peubal~ acak Udan il'diintegralkan terlladap kf' pada selang

(0,ca) diperolehg(u). Seperti dituliskan di bawal~ ini : ,-

1 a,.

(42)

I - J

-

- ₁₁_+a,@, _-- a,.

I

I1 2

-cs11(--

A,

+-6r,,y))

7

a,

-

*.rP

+a,)

fi

-" "Y- "L.0 < =.Y - 1

(

,

A )

a,.

(lt*->"or) -(-

--

"'P +%)>.qv -cx~(+I.- O.\.A))~,I<~

>.G

i.Jq

2

a,, a.rp

jilt;,

-

--

A 2 . i- f/.

1 , maka

r ( z ) a,.

esp\C- rr+a,O\. --

c;.

a,. 0 a,. ";.P

'(")= fiqY)r(?) A~

Jq

PO

'

+-

J1-p2

""

A

Kalau dipcrhatikan, persamaan (41) ~llcmpakan fungsi kepekatan peluang dari sebara~i Coale-McNeil scperti yang dituliskan pada persalllaan (14), k~rena

maka dapat dituliskan :

r( :)

4. ,I+-

esp

t----

''

41s

--

A

*")=fil-(y)r(T)

2m

Berdasarkan persanlaan (39) didapatkan :

2;. -

J'r.-

1,0663

"-m-

o

a:'

= 1 , 0 6 6 3 ~

o

pa',

= 1,0663Ap.

Jika p ~ ~ i e ~ n i l i k i nilai 0,938 niaka :

(43)

I k n g ~ n mengtmakan persama2m (42) g(u) dapat dituliskan sebagai berikut :

Teoreoix 5 dl-P2

Jika ~ I I ) mempunyai pa~amcta

;l,

,@, dan 0, dengan nilai parameter :

a

- ay

"-nm

0, =o,,,a-0,

maka llakan menyebar Coale-McNeil dengan fungsi kepekatan peluang

O < u < m .

(43)

13ukti (lampiran)

Selang kelahiran anak palama yang dinotasikan dengan 2, dimisalkan sebagai Cimungsi dari peubah a& ti yaim :

ti Z = - + U = W

a

Kemudian nilai z dan nilai parameta peubah acak U disubstitusi ke persamaan (43) schingga diperoleh

g(z), seperzi dituliskan di bawdh ini

2 ,

~ ( I I ) =

-

exp{ - a u (11

-

0 , )

-

ex@(

- X u

(u - 0 , )))

(44)

Teovenl;~ 6

Jika Z mcmiliki paranlcler a,,

a,

dan 0, dcngan n i h i pararnetcr :

a,.

a ,

= J q T

o,.l,s

=

orIx

-

o,s

luaka Z lnenycbar Coale-McNeil dengan Cungsi kepekatan peluang

Buliti :

Jika Z nielniliki nilai paralilctcr :

a,.

=-

(45)

Scllingga rungsi kcpckatal~ pcluang Z pada pcrs;bma;ln (44) dapat dituliskan :

-

F ( x

+

I)

-

F(x) F ( a )

Fungsi kclnungkinan ~~laksililulnnya adalafi :

L

=

rI:in0

(z4" )'"xo

dengan :

a. ~nenyatakan kelompok ulliur paling rendali a,, menyatakan kelo~npok ulnur paling tinggi

1 1 1 ~ ~lienyatakan jumlah wanita b e m ~ n u r a tallun

2 I

s(4

=

-

espi-- ffr ( Z

-

(erls

-

e.y

1)

-

CSP(-

-

2

m f i

\I]-P1

\I]-P1(2-(e

ry -@,,,))}.

r(7)

$7

(45)

Bcrd;ls;~rkao pcrsam:lan ( 4 3 , sclang kclahiran an;~k untuk n.ilayal~ Jaws-Bali till~un 1991 dita~npilkan pcrl;lma mcmiliki scbar;in Co:~lc-McNcil dcng:~n pada Tabel I dill1 Tabel 2 ( S u ~ i ~ a r ~ i o ct al, 199s). psr;lllstcr a,.A, dali U,, r1111gsi kcpckaia~~

yang mcnikali pada ~vaktu b e ~ l n u r x tabun.

Fungsi ke~nungkinan ~ i ~ a k s i ~ n u ~ n di atas ~ n e ~ n i l i k i logaritlna asli :

pcl~~:rngny;~

g ( z ) =

-

csl,{-a,(z-Uz)-csp(-&(z-0,)))

r(3)

O < z < m .

13

Conto11 Kssus

Model yang tclal~ dibentuk akan digunakan ulituk memodelkan ulliur perkawi~ian pertalila padl \vanita, umur kelahiran anak pertalila dan selang kelal~iran anak pertailin pada penduduk wilayah Jawa-Bali tahun 1991. Dalam pell~odelan ini akan menggunakan data SDKI (Sulvai Demografi dan Kcsellatan Indonesia) taliun 1991 untuk wilayal~ Jawa-Bali. Data yang digunakan adalah data wanita pernah menikali bemlliur 15 salnpai 49 tahun. Peluang seorang wanila menikali pada ulliur x tallun jika tclall b e ~ l l l u r a tallun dituliskan :

P ( X ~ S < X + I )

~ . v I " =

P(X' < a )

11,, "-I

L oc

z

Z:

mm, {ln[F(x

+

1)

-

F(x)]

-

I~i[l;(a)]}.

FX,,

Pendugaan parallieler sebaran dilakukan dengan ~lle~liaksi~nulnkan fungsi likelihood tersebut. Hasil

pendugaan parameter untuk model urnur

pcrkarvinan periarna pada rvanita, uniur kelahiran anak pertalila dan selang kelal~iran anak pertalna

Tabel 1

Par;llnctcr 11 a a ?. 0

- n

).

skcu,

kuri

U ~ n o r Pcrka\vinau 18.89 4.88 0.23 0.39 14,9G 0,604 2,72 3,57

U ~ n u r K c l a l ~ i r ; ~ ~ ~

(46)