Analisis Kinerja Sistem Antrian M/M/1/N

TUGAS AKHIR

ANALISIS KINERJA SISTEM ANTRIAN M/M/1/N

Diajukan untuk memenuhi salah satu persyaratan dalam menyelesaikan pendidikan sarjana (S-1) pada Departemen Teknik Elektro

Oleh :

FLORENSA BR GINTING 110422040

DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO PROGRAM PENDIDIKAN SARJANA EKSTENSI

FAKULTAS TEKNIK

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN

ABSTRAK

Sistem antrian sangat banyak terdapat dalam dunia nyata, diantaranya pada loket penjualan karcis, transaksi dibank, aliran paket pada jaringan data dan yang lainnya. Sistem antrian M/M/1/N adalah sistem antrian dengan satu pelayan (server) dengan tempat tunggu yang terbatas. Sistem antrian seperti ini banyak sekali penerapannya.

Salah satu permasalahan pada sistem antrian adalah apabila laju kedatangan melebihi laju pelayanan yang menyebabkan sebagian paket akan diblok apabila tempat antri sudah penuh. Kondisi seperti ini apabila berlanjut dapat menyebabkan keluhan pelanggan terhadap kinerja sistem tersebut yang pada akhirnya pelanggan akan mencari sistem yang lebih baik.

Pada tugas akhir ini dianalisis sistem antrian M/M/1/N yang terdapat pada sebuah jaringan paket data. Perolehan kinerja dilakukan secara simulasi dan secara teoritis. Selanjutnya kedua hasil analisis tersebut dibandingkan.

Dari analisis yang dilakukan diperoleh bahwa untuk utilisasi sistem (ρ) = 5 diperoleh bahwa hasil simulasi hampir mendekati hasil teori. Pada pelanggan yang dibatasi (N) = 10 diperoleh rata-rata waktu antri yaitu 0,0177 dengan 0,0175. Untuk rata waktu transaksi diperoleh yaitu 0,007 dengan 0,01. Untuk rata-rata waktu dalam sistem yaitu 0,0248 dengan 0,0195. Untuk rata-rata-rata-rata jumlah paket dalam antri yaitu 9 dengan 8,75, rata-rata jumlah paket dalam fasilitas pelayanan yaitu 0,9833 dengan 1. Untuk rata-rata jumlah paket dalam sistem yaitu 10 dengan 9,75. Untuk utilisasi sistem (ρ) = 2, hasil simulasi juga hampir mendekati hasil teori tersebut.

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur penulis ucapkan kepada Tuhan Yang Maha Esa karena atas Berkah dan Rahmat-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan Tugas Akhir yang berjudul:

“ANALISIS KINERJA SISTEM ANTRIAN M/M/1/N”

Tugas akhir ini merupakan bagian dari kurikulum yang harus diselesaikan untuk memenuhi persyaratan menyelesaikan pendidikan Sarjana Strata Satu (S-1) di Departemen Teknik Elektro Fakultas Teknik Universitas Sumatera Utara.

Selama penulis menjalani pendidikan di kampus hingga diselesaikannya Tugas Akhir ini, penulis banyak menerima bantuan, bimbingan serta dukungan dari berbagai pihak. Pada kesempatan ini penulis ingin menyampaikan terimakasih yang tulus dan sebesar-besarnya kepada:

1. Bapak Ir. M. Zulfin MT sebagai Dosen Pembimbing Tugas Akhir penulis yang selalu bersedia memberikan bantuan yang sangat dibutuhkan oleh penulis dalam menyelesaikan Tugas Akhir ini.

2. Bapak Ir. Masykur SJ sebagai Dosen Wali penulis yang membantu penulis selama menyelesaikan pendidikan di kampus USU.

3. Bapak Ir. Surya Tarmizi Kasim, M.Si sebagai Ketua Departemen Teknik Elektro Fakultas Teknik Universitas Sumatera Utara.

4. Bapak Rahmad Fauzi, ST, MT sebagai Sekretaris Departemen Teknik Elektro Fakultas Teknik Universitas Sumatera Utara.

5. Bapak Maksum Pinem, ST, MT sebagai Dosen Penguji penulis, yang memberikan arahan dan nasihat kepada penulis.

6. Seluruh Staf Pengajar dan Pegawai Departemen Teknik Elektro FT-USU. 7. Kedua orang tua penulis Mburak Ginting dan Ses Nirwana br Tarigan atas

semangat dan doanya kepada penulis dengan segala pengorbanan dan kasih sayang yang tidak ternilai harganya.

9. Kepada orang yang disayangi penulis M. Andri Azhari Lubis yang selalu memberikan dukungan penuh, bantuan dan doa kepada penulis

10. Seluruh sahabat penulis Desy C. Silaban, Elisabeth Siregar, Isywalsyah Lani, Siti Aminah, Eva, Imelda, Agus Noble, Bevan, Mutiara, Lucky dan teman-teman ekstensi stambuk 2011 lainnya, atas kebersamaan dan dukungan yang diberikan selama penulis bergelut di kampus.

11. Seluruh senior dan junior di Departemen Teknik Elektro, atas dukungan dan bantuan yang diberikan kepada penulis.

12. Semua orang yang pernah mengisi setiap detik waktu yang telah dilalui bersama penulis yang tidak dapat disebutkan satu per satu. Tanpa mereka, pengalaman penulis tidaklah lengkap.

Penulis menyadari bahwa Tugas Akhir ini masih banyak kekurangannya. Kritik dan saran dari pembaca untuk menyempurnakan Tugas Akhir ini sangat penulis harapkan.

Kiranya Tugas Akhir ini dapat bermanfaat bagi kita semua. Terimakasih

Medan, Februari 2014

Penulis

DAFTAR ISI

ABSTRAK ... i

KATA PENGANTAR ... ii

DAFTAR ISI ... iv

DAFTAR GAMBAR ... vii

DAFTAR TABEL ... ix

DAFTAR SINGKATAN ... x

DAFTAR SIMBOL ... xi

I. PENDAHULUAN ... 1

1.1 Latar Belakang Masalah ... 1

1.2 Rumusan Masalah ... 2

1.3 Tujuan Penulisan ... 2

1.4 Batasan Penulisan ... 3

1.5 Metodologi Penelitian ... 3

1.6 Sistematika Penulisan ... 4

II. LANDASAN TEORI ... 6

2.2 Komponen Proses Antrian ... 7

2.3 Struktur Dasar Proses Antrian ... 9

2.4 Karakteristik Antrian ... 12

2.5 Notasi Sistem Antrian ... 15

2.6 Antrian M/M/1/N ... 17

2.7 Diagram Transisi Kondisi ... 19

2.8 Pembangkit Nilai Acak ... 20

2.8.1 Penyelesaian RNG ... 20

2.8.2 Multiplicate RNG ... 21

2.9 Faktor - Faktor Sistem Antrian ... 23

2.9.1 Bentuk Kedatangan ... 23

2.9.2 Bentuk Pelayanan ... 25

2.9.3 Kapasitas Sistem ... 26

2.9.4 Utilisasi Sistem ... 26

2.10 Simulasi Antrian ... 27

III. SIMULASI SISTEM ANTRIAN M/M/1/N ... 34

3.1 Model Antrian ... 34

3.2 Diagram Alir (Flowchart) Simulasi ... 35

3.2.1 Pembangkitan Bilangan Acak ... 38

3.2.2 Waktu Antar Kedatangan Paket ... 39

3.2.3 Waktu Transaksi Paket... ... 40

3.2.4 Waktu Kedatangan Paket... ... 41

3.2.6 Waktu Selesai Transaksi Paket ... 42

3.2.7 Waktu Antri Paket ... 43

3.2.8 Lama Waktu Paket Didalam Sistem ... 47

IV. ANALISIS KINERJA SISTEM ANTRIAN M/M/1/N ... 45

4.1 Hasil-hasil dari Simulasi ... 45

4.2 Perhitungan Kinerja Sistem Antrian M/M/1/N secara Teoritis... 51

4.3 Perbandingan Hasil Simulasi dengan Perhitungan secara Teoritis 54 4.4 Analisis Kinerja Antrian M/M/1/N ... 56

V. KESIMPULAN DAN SARAN ... 59

6.1 Kesimpulan ... 59

6.2 Saran ... 60

DAFTAR PUSTAKA ... xii

DAFTAR GAMBAR

Gambar 2.1 Komponen Proses Antrian ... 7

Gambar 2.2 Satu Saluran Satu Tahap ... 10

Gambar 2.3 Banyak Saluran Satu Tahap ... 10

Gambar 2.4 Satu Saluran Banyak Tahap ... 11

Gambar 2.5 Banyak Saluran Banyak Tahap ... 11

Gambar 2.6 Model Antrian Pelayanan Tunggal ... 18

Gambar 2.7 Diagram Transisi Kondisi Sistem Antrian M/M/1/N ... 20

Gambar 2.8 Interval Waktu Kedatangan Paket pada Proses Poisson ... 23

Gambar 2.9 Distribusi Poisson dengan Interval Waktu T ... 24

Gambar 2.10 Flowchart dari Tahapan Simulasi yang Sistematis ... 33

Gambar 3.1 Model Antrian M/M/1/N... ... 34

Gambar 3.2 Diagram Alir Pembangkitan Nilai Acak dengan Metode LCG ... ... 39

Gambar 3.3 Diagram Alir Waktu Antar Kedatangan Paket... 40

Gambar 3.4 Diagram Alir Waktu Transaksi Paket ... ...40

Gambar 3.6 Diagram Alir Waktu Mulai Transaksi ... 42

Gambar 3.7 Diagram Alir Waktu Selesai Transaksi Paket... 42

Gambar 3.8 Diagram Alir Waktu Antri... ... 43

Gambar 3.9 Diagram Alir Waktu Dalam Sistem... ... 44

DAFTAR TABEL

Tabel 4.1 Nilai Bilangan Acak Metode LCG... 45

Tabel 4.2 Waktu Antar Kedatangan ... 46

Tabel 4.3 Waktu Transaksi.... ... 46

Tabel 4.4 Waktu Kedatangan Paket.... ... 47

Tabel 4.5 Waktu Mulai Transaksi.... ... 47

Tabel 4.6 Waktu Selesai Transaksi.... ... 48

Tabel 4.7 Waktu Antri.... ... 48

Tabel 4.8 Waktu Dalam Sistem.... ... 48

Tabel 4.9 Hasil Simulasi untuk N=10, 15, 20 dan 25.... ... 50

Tabel 4.10 Hasil Simulasi untuk N = 10, 15, 20 dan 25 untuk ρ=2.... ... 50

Tabel 4.11 Hasil Perhitungan Teori untuk N =10,15,20 dan 25.... ... 52

Tabel 4.12 Hasil Perhitungan Teori untuk N=10, 15, 20,25 untuk ρ=2.... ... 54

Tabel 4.13 Perbandingan Hasil Simulasi dengan Perhitungan Teoritis untuk ρ=5 .... ... 55

DAFTAR SINGKATAN FCFS First Come First Serve

LCFS Last Come First Serve

FIFO First In First Out

LIFO Last In First Out

SIRO Service In Random Order

PS Priority Service

RR Round Robin

RNG Random Number Geberator

DAFTAR SIMBOL

λ tingkat pelayanan

1/� waktu antar kedatangan rata-rata

µ tingkat pelayanan

1/µ waktu pelayanan rata-rata

ρ tingkat kedatangan dibagi tingkat pelayanan / utilisasi sistem

N jumlah maksimum paket dalam sistem antrian

M Markov, kedatangan atau keberangkatan berdistribusi Poisson atau Eksponensial

tar rata-rata waktu antar kedatangan

ttr rata-rata waktu transaksi

L_s rata-rata jumlah pelanggan dalam sistem

L_q rata-rata jumlah pelanggan ditempat antri

W rata- rata waktu tunggu didalam sistem

ABSTRAK

Sistem antrian sangat banyak terdapat dalam dunia nyata, diantaranya pada loket penjualan karcis, transaksi dibank, aliran paket pada jaringan data dan yang lainnya. Sistem antrian M/M/1/N adalah sistem antrian dengan satu pelayan (server) dengan tempat tunggu yang terbatas. Sistem antrian seperti ini banyak sekali penerapannya.

Salah satu permasalahan pada sistem antrian adalah apabila laju kedatangan melebihi laju pelayanan yang menyebabkan sebagian paket akan diblok apabila tempat antri sudah penuh. Kondisi seperti ini apabila berlanjut dapat menyebabkan keluhan pelanggan terhadap kinerja sistem tersebut yang pada akhirnya pelanggan akan mencari sistem yang lebih baik.

Pada tugas akhir ini dianalisis sistem antrian M/M/1/N yang terdapat pada sebuah jaringan paket data. Perolehan kinerja dilakukan secara simulasi dan secara teoritis. Selanjutnya kedua hasil analisis tersebut dibandingkan.

Dari analisis yang dilakukan diperoleh bahwa untuk utilisasi sistem (ρ) = 5 diperoleh bahwa hasil simulasi hampir mendekati hasil teori. Pada pelanggan yang dibatasi (N) = 10 diperoleh rata-rata waktu antri yaitu 0,0177 dengan 0,0175. Untuk rata waktu transaksi diperoleh yaitu 0,007 dengan 0,01. Untuk rata-rata waktu dalam sistem yaitu 0,0248 dengan 0,0195. Untuk rata-rata-rata-rata jumlah paket dalam antri yaitu 9 dengan 8,75, rata-rata jumlah paket dalam fasilitas pelayanan yaitu 0,9833 dengan 1. Untuk rata-rata jumlah paket dalam sistem yaitu 10 dengan 9,75. Untuk utilisasi sistem (ρ) = 2, hasil simulasi juga hampir mendekati hasil teori tersebut.

BAB I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Masalah

Pada kehidupan seperti sekarang ini, semua masyarakat ingin serba cepat dalam segala kegiatan. Kecepatan dan penghematan waktu sangat menunjang untuk menjalani segala kegiatan kehidupan.

Salah satu kegiatan yang memerlukan kecepatan dan penghematan waktu adalah antrian. Dalam kehidupan sehari-hari seseorang sering mengalami hal untuk menunggu antrian dengan waktu yang lama dan ini merupakan suatu hal yang sangat membosankan. Dan sangat menyenangkan jika mendapatkan pelajaran yang tanpa harus menunggu.

Sistem antrian M/M/1/N merupakan sistem antrian satu server yang membatasi pelanggan sebanyak N. Jika sudah ada N pelanggan dalam sistem, maka pelanggan yang tiba berikutnya ditolak. Sistem antrian M/M/1/N dibahas didalam tugas akhir ini adalah sistem M/M/1/N yang terdapat pada simpul

switching dalam jaringan data.

1.2 Rumusan Masalah

Dari latar belakang diatas maka dapat dirumuskan beberapa permasalahan yaitu;

1. Apa yang dimaksud dengan model sistem antrian M/M/1/N ? 2. Bagaimana kinerja sistem antrian M/M/1/N?

3. Bagaimana simulasi pemograman sistem antrian M/M/1/N menggunakan pemograman bahasa C?

1.3 Tujuan Penulisan

Adapun tujuan dari penulisan Tugas Akhir ini adalah untuk memperoleh kinerja sistem antrian M/M/1/N.

1.4 Batasan Masalah

Adapun batasan masalah pada penulisan tugas akhir ini yaitu ; 1. Hanya membahas secara singkat mengenai sistem antrian secara umum. 2. Model Antrian yang digunakan adalah M/M/1/N.

3. Kinerja yang dibahas adalah rata-rata waktu antri, rata-rata waktu pelayanan, rata-rata waktu dalam sistem, rata-rata jumlah paket dalam sistem, rata-rata jumlah paket dalam antrian, rata-rata jumlah paket pada fasilitas pelayanan. 4. Simulasi dilakukan dengan menggunakan software program bahasa C.

1.5 Metodologi Penelitian

Metodologi penulisan yang dilakukan pada penulisan Tugas Akhir ini adalah:

1. Studi Literatur

Mengambil dan mengumpulkan teori-teori dasar serta teori pendukung dari berbagai sumber, buku-buku referensi dan situs-situs dari internet tentang apa-apa yang menunjang dalam analisa ini.

2. Melakukan Simulasi ; dengan tahap-tahap sebagai berikut: a. Menetapkan Model

b. Menetapkan asumsi asumsi (jumlah buffer, kecepatan server, dll).

c. Membangkitkan bilangan acak, yaitu untuk antar kedatangan dan waktu pelayanan

f. Mendapatkan hasil kinerja model g. Melakukan validasi

3. Mendapatkan Kinerja secara Teoritis

Menghitung hasil kinerja dari sistem antrian M/M/1/N secara teori atau dengan menggunakan rumus yang digunakan.

4. Membandingkan Hasil Simulasi dengan Teori.

Data hasil perhitungan dari simulasi yang dilakukan dibandingkan dengan data yang diperoleh dari perhitungan secara teoritis.

5. Melakukan Analisis

Melakukan Analisis terhadap hasil perbandingan dari hasil simulasi dengan hasil perhitungan secara teoritis.

6. Membuat Kesimpulan

Membuat kesimpulan dari hasil analisi yang telah dilakukan.

1.6 Sistematika Penulisan

Untuk memberikan gambaran mengenai Tugas Akhir ini secara singkat maka penulis menyusun sistematika penulisan sebagai berikut:

BAB I : PENDAHULUAN

BAB II : LANDASAN TEORI

Bab ini berisi penjelasan tentang sistem antrian secara umum dan uraian mengenai model sistem antrian Pelayanan Tunggal serta dijelaskan mengenai simulasi .

BAB III : SISTEM ANTRIAN M/M/1/N

Bab ini berisi tentang sistem antrian pelayanan Tunggal M/M/1/N , ciri-ciri operasi sistem antrian, variabel sistem antrian tersebut. BAB IV : SIMULASI SISTEM ANTRIAN M/M/1/N

Bab ini berisi mengenai simulasi serta flowchart untuk pengerjaan simulasi tersebut

BAB V : ANALISIS KINERJA SISTEM ANTRIAN M/M/1/N

Bab ini berisi hasil hasil dari simulasi dan hasil dari perhitungan yang dilakukan secara teoritis juga dan dilakukan perbandingan dan análisis terhadap kedua hasil tersebut.

BAB II

LANDASAN TEORI

Antrian adalah suatu kejadian yang biasa dijumpai dalam kehidupan sehari–hari. Seperti menunggu di depan loket untuk mendapatkan tiket kereta api atau tiket bioskop, pada pintu jalan tol, pada bank, pada kasir supermarket, dan situasi–situasi yang lain merupakan kejadian yang sering ditemui. Studi tentang antrian bukan merupakan hal yang baru.

Antrian disebabkan oleh kebutuhan akan layanan melebihi kemampuan (kapasitas) pelayanan atau fasilitas layanan, sehingga pengguna fasilitas yang tiba tidak bisa segera mendapat layanan disebabkan kesibukan layanan. Pada banyak hal, tambahan fasilitas pelayanan dapat diberikan untuk mengurangi antrian atau untuk mencegah timbulnya antrian. Akan tetapi biaya karena memberikan pelayanan tambahan, akan menimbulkan pengurangan keuntungan mungkin sampai di bawah tingkat yang dapat diterima. Sebaliknya, sering timbulnya antrian yang panjang akan mengakibatkan hilangnya pelanggan / nasabah[1].

2.1. Sejarah Teori Antrian

fluktuasi permintaan fasilitas telepon yang berhubungan dengan automatic dialing equipment, yaitu peralatan penyambungan telepon secara otomatis. Dalam waktu – waktu yang sibuk operator sangat kewalahan untuk melayani para penelepon secepatnya, sehingga para penelepon harus antri menunggu giliran, mungkin cukup lama.

Persoalan aslinya Erlang hanya memperlakukan perhitungan keterlambatan (delay) dari seorang operator, kemudian pada tahun 1917 penelitian dilanjutkan untuk menghitung kesibukan beberapa operator. Dalam periode ini Erlang menerbitkan bukunya yang terkenal berjudul Solution of someproblems in the theory of probabilities of significance in Automatic TelephoneExhange. Baru setelah perang dunia kedua, hasil penelitian Erlang diperluas penggunaannya antara lain dalam teori antrian[1].

2.2. Komponen Proses Antrian

Proses antrian yang terjadi sangat sederhana atau sangat kompleks. Komponen dasar proses antrian adalah kedatangan dan pelayanan. Komponen ini dapat terlihat pada Gambar 2.1.

Dari Gambar 2.1 dapat dilihat komponen antrian ,yaitu ;

1. Sumber Kedatangan

Setiap masalah antrian melibatkan kedatangan ,misalnya orang , mobil atau panggilan telepon untuk dilayani. Unsur ini sering disebut proses input. Proses input meliputi sumber kedatangan (calling population) dan cara terjadinya kedatangan yang umumnya proses random.

2. Fasilitas Pelayanan

Pelayanan dapat terdiri dari satu atau lebih pelayan atau satu atau lebih fasilitas pelayanan. Contohnya pada sebuah check out counter dari suatu supermarket terkadang hanya ada seorang pelayan, tetapi bisa juga diisi seorang kasir dengan pembantunya untuk memasukkan barang barang ke kantong plastik. Sebuah bank dapat memperkerjakan satu atau banyak teller. Disamping itu ,perlu diketahui cara pelayanan dirampungkan ,yang kadang-kadang merupakan proses acak.

3. Antrian

Inti dari analisis antrian adalah antri itu sendiri. Timbulnya antrian terutama tergantung dari sifat kedatangan dan proses pelayanan. Penentu antrian yang lain adalah adalah disiplin antrian[2].

fasilitas pelayanan. Disiplin antrian adalah aturan yang menjelaskan cara melayani pengantri. Ada 5 bentuk disiplin pelayanan yang biasa digunakan, yaitu :

1. First Come First Served (FCFS) atau First In First Out (FIFO) artinya lebih dulu datang (sampai), lebih dulu dilayani (keluar), misalnya antrian pada loket karcis kereta api.

2. Last Come First Served (LCFS) atau Last In FirstOut (LIFO) artinya, yang tiba terakhir yang lebih dulu keluar. Misalnya, sistem antrian dalam elevator pada lantai yang sama.

3. Service In Random Order (SIRO)artinya, panggilan didasarkan pada pe-luang secara random, tidak soal siapa yang lebih dulu tiba.

4. Priority Service (PS) artinya, prioritas pelayanan kepada pelanggan yang mempunyai proritas lebih tinggi dibandingkan dengan pelanggan yang mempunyai prioritas lebih rendah, meskipun yang terakhir ini kemungkinan sudah terlebih dahulu dalam garis tunggu.

5. RR (Round Robin) artinya pelayanan diberikan pada jangka waktu tertentu saja. Contoh sistem parallel jobs pada sistem komputer.

2.3. Struktur Dasar Proses Antrian

Proses antrian pada umumnya dikelompokkan ke dalam empat struktur dasar menurut sifat – sifat dan pelayanan ,yaitu ;

1. Satu Saluran Satu Tahap

pada Gambar 2.2. Contoh model antrian ini misalnya : pembelian tiket atau karcis pada salah satu loket penjualan tiket bioskop.

Gambar 2.2 Satu Saluran Satu Tahap

2. Banyak Saluran Satu Tahap

Banyak saluran satu tahap (multi channel single phase) adalah model antrian yang mempunyai banyak barisan serta hanya satu pelayanan seperti pada Gambar 2.3. Contoh model antrian ini misalnya pelayanan potong rambut dimana terdapat lebih satu tukang potong rambut.

Gambar 2.3 Banyak Saluran Satu Tahap

3. Satu Saluran Banyak Tahap

antrian ini adalah dalam urutan suatu pekerjaan, mengurus izin usaha melalui beberapa orang pejabat pemerintah.

Gambar 2.4 Satu saluran banyak tahap

4. Banyak Saluran Banyak Tahap

Banyak saluran banyak tahap (multi channel multi phase) adalah antrian yang mempunyai banyak barisan dan banyak pelayanan seperti pada Gambar 2.5. Contoh model ini adalah pelayanan kepada pasien rumah sakit. Beberapa perawat akan mendatangi pasien secara teratur dan memberikan pelayanan secara kontinu (sebagai urutan suatu pekerjaan).

Gambar 2.5 Banyak Saluran Banyak Tahap

berurutan yang harus dilalui. Setiap kedatangan kategori yang disajikan diatas merupakan kategori dasar.

2.4. Karakteristik Antrian[3]

Dari beberapa masalah teori dalam antrian, perlu dibuat beberapa dasar asumsi tentang aspek – aspek khusus di sistem antrian. Dalam model dasar teori antrian, asumsi-asumsi yang dibuat adalah :

a. Sumber Populasi

Pengantri yang datang ke suatu sistem dapat berasal dari suatu populasi yang terbatas atau tidak terbatas. Bila jumlah pekerjaan tidak mempunyai batas diperbolehkan menunggu dalam suatu antrian, maka ini disebut sebagai antrian tidak terbatas sebaliknya antrian mempunyai batas disebut antrian yang terbatas.

b. Pola Kedatangan

Cara yang umum dipakai untuk menggambarkan pola kedatangan adalah dengan menggunakan waktu antar kedatangan yang didefenisikan sebagai interval antara kedatangan yang berurutan. Bila kedatangan berubah-ubah secara stokastik, dibutuhkan pendefenisian fungsi probabilitas antar waktu kedatangan. Untuk membahas pola kedatangan, digunakan notasi sebagai berikut :

tk adalah rata – rata waktu antar kedatangan λ adalah tingkat kedatangan

Besaran – besaran tersebut dihubungkan oleh Persamaan 2.1 berikut: � = 1

Untuk menjelaskan pola kedatangan, sering kali distribusi dinyatakan dalam probabilitas yang waktu antar kedatangannya lebih besar dari waktu yang diberikan . Dengan mendefenisikan Ao(t) sebagai distribusi kedatangan, maka Ao adalah probabilitas yang waktu antar kedatangannya lebih besar dari t.

��(�) = 1− �(�) ... (2.2)

c. Pola Kedatangan Poisson

Kedatangan biasanya dikatakan terjadi secara acak. Artinya kedatangan dapat terjadi setiap saat dan hanya dipengaruhi oleh kendala bahwa tingkat kedatangan memiliki suatu nilai tertentu. Dengan kata lain, diasumsikan bahwa waktu kedatangan berikutnya tidak bergantung pada kedatangan sebelumnya dan terdistribusi dalam interval Δt. Jika λ merupakan laju jumlah kedatangan rata- rata persatuan waktu, maka probabilitas kedatangan dalam Δt adalah λΔt. Fungsi kerapatan probabilitas waktu antar kedatangan diberikan oleh :

�(�) = ��−�� ( �> 0). ... (2.3)

Dan distribusi kedatangan adalah

��(�) =�−���. ... (2.4)

Notasi λ merupakan kedatangan rata-rata persatuan waktu. Jumlah kedatangan sebenarnya dalam periode waktu t merupakan variabel yang acak.

d. Distribusi Eksponensial

Dengan mendefenisikan F(t) = y maka dengan menggunakan Persamaan 2.4 yang dihitung dengan integral diperoleh fungsi kumulatif yang diberikan oleh �= ∫₀� ��−�� =� = 1− �−��� ... (2.5)

Yang bila dibalik atau di inversikan akan menghasilkan seperti berikut :

Karena y menunjukkan distribusi kumulatif, dimana untuk nilai 1- y berada di antara 0 dan 1. Dalam rentang nilai ini logaritma berharga negatif. Tanda negatif dalam rumus diatas akan menghasilkan nilai positif.

Dengan menggunakan rumus logaritma natural dan menggantikan nilai y dengan sederet bilangan acak yang terdistribusi serba sama antar 0 dan 1, akan menghasilkan keluaran berupa sederetan bilangan acak yang terdistribusi secara eksponensial. Jika nilai – nilai untuk 1 – y juga berada di antara 0 dan 1, sehingga dimungkinkan untuk menggunakan rumus yang lebih sederhana ;

�� = −�� (�)

� = −���� (�). ... (2.7)

Dengan tk adalah nilai rata- rata waktu antar kedatangan yang muncul sebagai pengganti dalam rumus untuk menghasilkan bilangan acak yang terdistribusi secara eksponensial.

e. Kepanjangan Antrian

Dalam teori antrian umumnya dimulai dengan sumsi sumber kedatangan dan panjang antrian adalah tidak terbatas, meski asumsi ini sering kali tidak realistis. f. Disiplin Antrian

Istilah disiplin antrian menyatakan metode atau suatu set aturan yang digunakan untuk menentukan urutan pekerjaan yang akan dilayani, dalam antrian diasumsikan pekerjaan akan dilayani menurut “First Come First Serve”, yaitu menurut urutan yang sama sebagaimana mereka datang dalam antrian.

g. Pola Pelayanan

pelayanan adalah distribusi eksponensial negatif. Rumus umum fungsi kepadatan probabilitas eksponensial negative adalah ;

�(�) = ��−µ�� _{... (2.8)}

Dimana :

tc = waktu pelayanan

E(t) = probabilitas kepadatan yang berhubungan dengan t µ = tingkat pelayanan rata-rata

i/µ = waktu pelayanan rata- rata

Fungsi distribusi kumulatif diperoleh dari distribusi eksponensial yang dihitung dengan integral sebagai berikut :

�(�) =∫₀�µ�−µ����= 1− �−µ�� ... (2.9)

Dengan cara yang sama seperti beda waktu antar kedatangan (ta) pada persamaan 2.9, didapatkan rumus yang lebih sederhana sebagi berikut :

�� = −�� (�)

� = −���� (�). ... (2.10)

Dengan tp adalah rata-rata waktu pelayanan yang muncul sebagai pengali dalam rumus untuk menghasilkan bilangan acak yang terdistribusi secara eksponensial. h. Keluar

Bila seorang individu telah selesai dilayani, maka akan keluar dari sistem. Sesudah keluar ia akan bergabung pada satu diantara populasi.

2.5. Notasi Sistem Antrian[4]

A / S / m / B / K / SD

dimana simbol A/S/m/B/K/SD ini merupakan unsur – unsur dasar dari model sistem antrian. Penjelasan dari simbol – simbol ini adalah sebagai berikut:

A = Distribusi kedatangan (Arrival Distribution) S = Distribusi waktu pelayanan atau keberangkatan

(Service Time Departure)

m = Jumlah server / pelayan dalam paralel (dimana c = 1,2,3,…,

∞

) B = Jumlah buffer (sistem kapasitas)

K = Besar populasi

SD = Tertib layanan (service discipline)

Notasi standar ini dapat diganti dengan kode – kode yang sebenarnya dari distribusi – distribusi yang terjadi dan bentuk – bentuk lainnya, seperti:

M = Distribusi kedatangan atau keberangkatan dari proses

Poisson. Dapat juga menggunakan distribusi eksponensial D = Konstanta atau deterministic interarrival atau service time

(waktu pelayanan)

k = Jumlah pelayanan dalam bentuk paralel atau seri

N = Jumlah maksimum paket dalam sistem

Ek = Distribusi Erlang atau Gamma untuk waktu antar kedatangan atau

waktu pelayanan dengan parameter d

G = Distribusi umum dari service time atau keberangkatan (departure)

GI = Distribusi umum yang independen dari proses kedatangan.

GD = General Discipline (disiplin umum) dalam antrian

PRD = Preemptive Discipline

Contoh penerapan dari kode – kode ini adalah sebagai berikut:

(M/M/k):(GD/

∞

/

∞

)

Kode di atas berarti:

M = Distribusi Poisson atau Eksponensial untuk waktu antar kedatangan

M = Distribusi yang sama untuk waktu pelayanan

k = Jumlah server GD = General Discipline

∞

_{= Paket yang masuk dan sumber yang tak terhingga}

2.6. Antrian M/M/1/N

Model antrian M/M/1/N merupakan variasi dari model antrian pelayanan saluran tunggal M/M/1, dimana panjang antrian atau kapasitas tunggu dibatasi maksimum N individu . Jumlah maksimum ini meliputi individu yang menunggu dan yang sedang dilayani. Bila individu mencapai N atau lebih, individu yang datang berikutnya akan ditolak atau meninggalkan antrian[3].

Adapun sifat dari sistem antrian M/M/1/N adalah sebagai berikut; a. Sumber kedatangan terdistribusi Poisson ( Markov)

b. Distribusi service time; eksponensial negative (Markov) c. Hanya ada satu server

d. Disiplin antrian : FIFO

e. Kapasitas terbatas untuk N pelanggan dalam sistem[8]

Adapun pemodelan dari sistem antrian dengan server tunggal yakni seperti yang ditunjukkan pada Gambar 2.6 dibawah ini :

Kedatangan

Paket

Buffer

_Server

Keberangkatan

Paket

Gambar 2.6 Model Antrian Pelayanan Tunggal

Pada Gambar 2.6 dapat dilihat sebuah model antrian pelayanan tunggal (single server). Paket – paket tiba secara acak, kemudian paket antri di dalam buffer

sebelum dilayani oleh server. Setelah selesai dilayani, maka paket meninggalkan sistem antrian[4].

Rumus-rumus dasar model antrian M/M/1/N adalah sebagai berikut[9]: 1. Rata – rata jumlah paket di dalam sistem

�� = ����= ₁₋�_�− (�+1).�

�+1

1−��+1 ... (2.12)

2. Rata-rata jumlah pelanggan di tempat antri

��= ����– (1− ��) . ... (2.13)

Dimana �_�jika nilai ρ ≠ 0 terlebih dahulu dicari dengan rumus :

��= _1−�1−�_�+1 ... (2.14)

3. Rata- rata waktu tunggu didalam sistem

� =�_�� ... (2.15)

4. Rata – rata waktu tunggu pada antrian

�_� =�_�� ... (2.16)

2.7. Diagram Transisi Kondisi

Untuk memperoleh formulasi suatu sistem antrian dibutuhkan suatu diagram transisi kondisi ( state transition diagram). Diagram transisi kondisi ini mewakili suatu proses yang disebut birth-death process.

dalam komputer, dan lain-lain. Diagram transisi kondisi sistem antrian M/M/1/N adalah seperti Gambar 3.2 dibawah ini[7] :

Gambar 2.7 Diagram Transisi Kondisi Sistem Antrian M/M/1/N

2.8. Pembangkit Nilai Acak

Pembangkit Nilai Acak adalah suatu algoritma yang digunakan untuk menghasilkan urutan-urutan dari angka angka sebagai hasil dari perhitungan dengan komputer yang diketahui distribusinya sehingga angka-angka tersebut muncul secara acak dan digunakan terus menerus. Nilai-nilai acak uyang dihasilkan akan digunakan sebagai masukan bagi sistem antrian.

2.8.1 Penyelesaian R.N.G

Pada Congruential Pseudo Random Number Generator dapat dijelaskan untuk masing-masing formula/ rumus sebagai berikut :

1. Additive / Arithmatic RNG Bentuk rumusnya :

�� = ( � .�_�−1 + � ) ���.� . ... (2.17)

Dengan catatan :

Zi-1 = merupakan hasil akhir

Z0 = merupakan angka pertama yang bebas tertentu

m = angka modulo

Bagi Additive RNG ini diperlukan perhatian syarat-syaratnya sebagi berikut : a. Konstanta a harus lebih besar dari √m. Dan biasanya dinyatakan dengan syarat:

m/100 < a < m - √m.

b. Konstanta c harus berangka ganjil apabila m bernilai pangkat dua. Tidak boleh nilai berkelipatan dari m.

c. Modulo m harus bilangan prima atau bilangan tidak terbagikan, sehingga memudahkan dan memperlancar perhitungan-perhitungan didalam komputer. d. Untuk Zo harus merupakan angka integer dan juga ganjil dan cukup besar.

2.8.2 Multiplicate RNG

Bentuk rumus dari multiplicate RNG adalah :

��+1= ( � .��+� )���� . ... (2.18)

Dengan catatan:

Zi = Angka random nomor semula

Zi + 1 = angka random nomor yang baru

a > 1 ; c = 0; m > 1

Syarat-syarat lainnya adalah sama dengan Additive RNG. Dalam perumusan

multiplicate ini terdapat tiga variabel yang menentukan untuk nilai-nilai Random Number yang dapat diperoleh seterusnya dengan tidak ada pengulangan pada angka-angkanya. Dan untuk pemilihan nilai-nilai yang terbaik dijabarkan sebagai berikut :

1) Dalam komputer IBM 360/370 sistem sebuah kata adalah 32 bits panjangnya, berarti angka integer yang terbesar dalam satu kata komputer (computer words) adalah :

232−1 - 1 = 231 – 1 = 2147488647

Maka nilai m harus lebih satu integer, atau : m = 232−1 + 1 = 2147.483.648

2) Untuk mesin komputer sistem 1130 / 1800 IBM yang dikenal dengan 16 Bit words maka untuk memilih m adalah :

m = 216−1 = 32.768

3) Pada microcomputer dengan 8 bit akan digunakan : m = 28−1 = 128

4) Nilai m ini adalah merupakan pembagi dari nilai ( a x Z1) yang mengikuti operasi modulo.

Hal ini akan menjadikan mesin komputer hanya dapat tertinggi dengan integer m -1 dan apabila produk-produknya lebih besar dari nilai-nilai ini akan mengakibatkan overflow atau hang.

b. Pemilihan konstanta multiplier a harus tepat.

1) Pemilihan nilai a harus bilangan prima terhadap m. a juga harus bilangan ganjil .Pemilihan yang terbaik adalah dengan rumus

a = 2�/2± 3 yang lebih mendekat pada ketepatan.

2) Untuk sistem IBM 1130/1800 dengan 16 bit akan diperoleh

a = 216/2 ± 3 = 28 + 3 = 259

= 16 + 3 = 19

c. Pemilihan untuk Zo, yang dikenal dengan : SEED = Zo mengharuskan

bilangan prima terhadap m. Dengan demikian untuk Zo adalah setiap angka angka

yang ganjil.

d. Bilangan c yang dipilih harus bukan merupakan kelipatan dari m dan juga harus bilangan ganjil.

2.9. Faktor –Faktor Sistem Antrian[4]

Dalam suatu sistem antrian terdapat faktor – faktor yang harus diperhatikan agar suatu fasilitas pelayanan dapat melayani paket yang berdatangan, yaitu bentuk kedatangan paket, bentuk fasilitas pelayanan, kapasitas fasilitas pelayanan untuk menampung paket, utilisasi sistem, dan disiplin antrian yang mengatur pelayanan kepada paket.

2.9.1 Bentuk Kedatangan

Proses kedatangan paket – paket yang mengikuti distribusi Poisson dapat dilihat pada Gambar 2.8.

Waktu

t t + ∆t

∆t

Gambar 2.8 Interval Waktu Antar Kedatangan Paket pada Proses Poisson

Pada Gambar 3.3 dapat dilihat bahwa sebuah interval waktu yang kecil ∆t (∆t

→ _{0), antara waktu t dan t + ∆t. Jika terdapat interval waktu terbatas yang}

panjangnya T, seperti dilihat pada Gambar 2.9.

Waktu

∆t ∆t ∆t ∆t

T

Gambar 2.9 Distribusi Poisson dengan Interval Waktu T

Maka pada interval waktu T, dapat diketahui probabilitas kedatangan p(k) dari k

kedatangan yaitu:

�(�) =(��)� �−��

�! ...(2.19)

dimana :

p(k) = probabilitas dari k kedatangan

λ = Laju kedatangan paket (paket/detik)

k = 0, 1, 2…

Poisson sering digunakan sebagai model untuk kedatangan paket yang acak ke dalam sistem antrian. Pada analisa ini, perlu untuk menghasilkan suatu urutan waktu kedatangan paket 0 = �₀ ≤ �₁ ≤ �₂ ≤ ⋯ dimana kejadian ke i terjadi pada saat ti (i = 1, 2,…) dan distribusi dari waktu kejadian {ti} mengikuti pola tertentu. �(�) = max(� ∶ �_� ≤ � ) adalah jumlah kejadian yang terjadi pada saat atau sebelum t untuk t ≥ 0 . Sebuah proses {�(�),� ≥ 0} dikatakan proses

Poisson jika:

1. Paket yang tiba sebanyak satu paket, pada suatu waktu.

2. N(t + s) – N(t) adalah jumlah kedatangan pada interval waktu (t, t + s), adalah independen dari { � (�), 0 ≤ � ≤ �}

3. Distribusi dari N(t + s) – N(t) independen dari t untuk t,s

≥

0

2.9.2 Bentuk Pelayanan

waktu. Rata – rata laju pelayanan (mean server rate) diberi simbol µ (miu), merupakan jumlah paket yang dapat dilayani dalam satuan waktu. Sedangkan rata

– rata waktu yang dipergunakan untuk melayani setiap paket diberi simbol 1�_�,

merupakan rata – rata waktu yang dibutuhkan untuk suatu pelayanan.

2.9.3 Kapasitas Sistem

Kapasitas sistem adalah jumlah maksimum paket, mencakup yang sedang dilayani dan yang berada dalam antrian, yang dapat ditampung oleh fasilitas pelayanan pada saat yang sama. Sebuah sistem yang tidak membatasi jumlah paket di dalam fasilitas pelayanannya dikatakan memiliki kapasitas tak terhingga, sedangkan suatu sistem yang membatasi jumlah paket yang ada di dalam fasilitas pelayanannya dikatakan memiliki kapasitas yang terbatas.

2.9.4 Utilisasi Sistem

Utilisasi sistem adalah perbandingan antar kedatangan acak paket – paket dengan laju λ, terhadap laju pemrosesan paket µ, maka antrian akan mulai terbangun. Untuk sebuah buffer antrian yang terbatas, antrian akan menemukan keadaan titik maksimumnya yaitu λ melampaui µ dan terus menerus bertambah.

Jika buffer penuh, semua paket lain yang tiba akan diblok.

Jika buffer diasumsikan tidak terbatas, maka sistem menjadi tidak stabil yaitu λ → µ . Untuk menjamin sistem menjadi stabil pada antrian dengan pelayanan tunggal maka dapat dilihat bahwa λ < µ . Terutama sekali maka akan didapat parameter ρ, yaitu:

dimana:

ρ = Utilisasi Sistem

λ = Laju Kedatangan Paket (paket/detik)

µ = Laju Pelayanan Paket (paket/detik)

Parameter ρ ini sering disebut juga dengan utilisasi link atau intensitas trafik.

Untuk antrian dengan pelayanan tunggal, jika nilai ρ mendekati atau melampaui satu, maka akan dijumpai keadaan kongesti, yang menyebabkan waktu tunggu dalam antrian akan meningkat, dan paket – paket lain yang tiba akan diblok.

2.10. Simulasi Antrian

Simulasi merupakan salah satu cara untuk memecahkan berbagai persoalan yang dihadapi di dunia nyata. Simulasi dapat diartikan sebagai suatu sistem yang digunakan untuk memecahkan atau menguraikan persoalan-persoalan dalam kehidupan nyata yang penuh dengan ketidakpastian dengan tidak atau menggunakan model atau metode tertentu dan lebih ditekankan pada pemakaian komputer untuk mendapatkan solusinya[5].

1. Alasan Menggunakan Simulasi

2. Keuntungan Simulasi

Ada berbagai keuntungan yang bisa diperoleh dengan memanfaatkan simulasi, yaitu sebagai berikut :

a. Menghemat Waktu (CompressTime)

Kemampuan menghemat waktu ini dapat dilihat dari pekerjaan yang dikerjakan tahunan tetapi kemudian dapat disimulasikan hanya dalam beberapa menit, bahkan dalam beberapa kasus hanya dalam hitungan detik.

b. Dapat Mengembangkan Waktu (Expand Time)

Simulasi dapat digunakan untuk menunjukkan perubahan struktur dari suatu Sistem Nyata (Real System) yang sebenarnya tidak dapat diteliti pada waktu yang seharusnya (Real Time). Dengan demikian simulasi dapat membantu mengubah

Real System hanya dengan memasukkan sedikit data.

c. Dapat Mengontrol Sumber-Sumber yang Bervariasi (Control Sources of Variation)

Kemampuan Pengawasan dalam simulasi ini tampak terutama apabila analisis statistik digunakan untuk meninjau hubungan antara variable bebas (independent) dengan variable terkait yang merupakan faktor faktor yang akan dibentuk dalam percobaan. Hal ini dalam kehidupan sehari-hari merupakan suatu kegiatan yang harus dipelajari dan ditangani dan tidak dapat diperoleh dengan cepat.

angka-angka diambil dari komputer secara teratur dan bebas. Komputer mempunyai kemampuan untuk melakukan penghitungan dengan akurat.

e. Dapat Dihentikan dan Dijalankan Kembali (Stop Simulation and Restart) Simulasi komputer dapat dihentikan untuk kepentingan peninjauan ataupun pencatatan semua keadaan yang relevan tanpa berakibat buruk terhadap program simulasi tersebut. Dalam dunia nyata, percobaan tidak dapat dihentikan begitu saja. Dalam simulasi komputer, setelah dilakukan penghentian maka kemudian dapat dengan cepat dijalankan kembali (restart).

f. Mudah Diperbanyak (Easy to Replicate)

Dengan simulasi komputer percobaan dapat dilakukan setiap saat dan dapat diulang-ulang. Pengulangan dilakukan terutama untuk mengubah berbagai komponen dan variabelnya, seperti dengan perubahan pada parameternya,perubahan pada kondisi operasinya , dengan memperbanyak output.

3. Tahap dari Simulasi

Diperlukan tahap-tahap yang sederhana tetapi sitematis agar penyususnan program simulasi dapat berjalan dengan baik. Tahap-tahap simulasi adalah:

a. Menggunakan atau tidak menggunakan Simulasi.

Apabila diputuskan untuk tidak mempergunakan sistem simulasi maka perlu memberikan cara model atau metode lain yang dapat dipergunakan untuk memecahkan persoalan tersebut. Namun apabila keputusan adalah menggunakan sistem simulasi maka dapat lansung menuju langkah langkah berikutnya.

b. Pemodelan Formulasi

harus memperhatikan variabel yang menentukan fungsi tersebut dan ada atau tidaknya konstanta yang harus dimasukkan.

c. Persiapan Pengambilan Data

Dalam mengumpulkan data harus diperhatikan aturan yang berlaku atau yang diwajibkan yaitu menguraikan data yang sudah dikumpulkan dalam bentuk statistik untuk membuat program simulasi, menggunakan teori analisis untuk menguraikan data yang telah dikumpulkan, meninjau apakah mempergunakan analisis regresi atau analisis yang lainnya serta meninjau juga computer time

untuk simulasi ini sehingga dapat dibuat rencana dengan alokasi waktu yang tepat. d. Penulisan Program

Dalam penulisan program seseorang sudah memasuki liku-liku ketentuan dalam penggunaan komputer dan meninjau serta memperhatikan bahasa komputer yang dipergunakan dalam simulasi.

e. Verifikasi

Langkah verifikasi merupakan langkah untuk mengetahui apakah program benar dan sesuai dengan simulasi yang dikehendaki. Kemudian melakukan debugging terhadap program yang dimasukkan ke dalam komputer, melaksanakan perbaikan pada program simulasi yang sudah dimasukkan kedalam komputer, perbaikan atas program atau berupa pengeditan atas program. Apabila sudah tepat dan dapat beroperasi dengan benar maka akan dilanjutkan dengan langkah berikutnya.

f. Validasi

berjalan dengan baik. Apabila belum memenuhi kebutuhan yang sebenarnya, maka dilakukan peninjauan kembali pada formulasi model untuk diubah dan diperbaiki. Apabila sudah memenuhi kebutuhan maka dapat dilanjutkan ke langkah berikutnya.

g. Desain Eksprimen

Langkah eksprimen ini dilakukan untuk menguji desain dengan menggunakan teori Experimental Design. Bagaimana mendapatkan data input untuk dapat melaksanakan percobaan ini dengan baik. Perlu juga untuk mencari nilai efektif dari percobaan ini yang dikenal sebagai MOE ( Measure Of Effectiveness). Bila diperlukan langkah ini merupakan langkah tambahan untuk melakukan percobaan guna mendapatkan ketepatan simulasi. Apabila tidak dibutuhkan percobaan, baik secara fisik maupun kimiawi, maka kita dapat langsung mengerjakan langkah berikutnya.

h. Perencanaan yang Taktis

Langkah ini merupakan bentuk studi kelayakan dari Experimental Design

yakni untuk melihat bagaimana percobaan dapat dikerjakan melalui perencanaan yang terarah. Perencanaan juga dilakukan untuk menentukan berapa lama percobaan dapat dilakukan sehingga kita dapat mengetahui dengan tepat kapan kita akan memulai dan mengakhiri percobaan itu. Langkah ini juga digunakan untuk merencanakan prosedur pelaksanaan percobaan guna memudahkan pelaksanaannya.

i. Percobaan Dilaksanakan

penelitian atau lainnya. Percobaan dapat dilakukan dengan menggunakan teknik penelitian kimia dan fisika dengan teori yang sudah diketahui dan dikuasai. Kemudian melakukan interpretasi terhadap hasil percobaan tersebut dengan tetap memungkinkan untuk dikoreksi bila perlu dan membuat laporan yang terperinci mengenai percobaan yang telah dilaksanakan.

j.Model Terpakai

Langkah ini merupakan langkah untuk menjawab pertanyaan apakah model yang sudah didesain itu dapat memberikan hasil yang benar dan memadai sesuai yang diharapkan. Apabila output sudah memadai dan sesuai dengan yang diharapkan , maka kita akan langsung ke langkah terakhir , yaitu dokumentasi.

k.Dokumentasi

Langkah yang terakhir ini merupakan langkah yang menyatakan bahwa model simulasi telah dapat diterima dan sesuai dengan yang diharapkan. Dapat dilakukan berbagai dokumentasi, merekam program-programnya, dan prin-out

4. Flow Chart Tahap Simulasi

Flowchart dari tahap simulasi diperlihatkan pada Gambar 2.10.

FORMULASIKAN

BAB 3

SIMULASI SISTEM ANTRIAN M/M/1/N

Pada tugas akhir ini dianalisis kinerja sistem antrian M/M/1/N dengan simulasi dan perhitungan secara teori. Adapun kinerja yang akan dibahas adalah rata –rata waktu antri, rata – rata waktu pelayanan, rata-rata waktu dalam sistem, rata-rata jumlah waktu dalam antrian, rata-rata jumlah paket dalam pelayanan, rata-rata jumalah paket dalam sistem. Kinerja sistem antrian tersebut dihitung secara simulasi dengan menggunakan pemograman bahasa C dan dihitung secara teori juga. Hasil dari simulasi dan perhitungan secara teori akan dibandingkan. Kode program dapat dilihat pada Lampiran 1.

3.1. Model Antrian

Model antrian M/M/1/N yang digunakan dalam tugas akhir ini adalah seperti Gambar 3.1 .

Gambar 3.1 Model Antrian M/M/1/N

Pada tugas akhir ini diambil asumsi-asumsi sebagai berikut :

a. Jumlah server : 1

c. Pola kedatangan paket : Eksponensial Negatif (Poisson)

d. Pola pelayanan paket : Eksponensial Negatif

3.2. Diagram Alir ( Flowchart) Simulasi

Untuk mendapatkan parameter kinerja yang akan dibahas dalam tugas akhir ini, dibutuhkan diagram alir. Sebelumnya untuk mengerjakan simulasi dari antrian M/M/1/N akan digunakan daftar variabel berikut ini[3] :

1. Rata-rata antar waktu kedatangan (tar) 2. Rata-rata waktu transaksi( ttr)

3. Bilangan acak (Ui)

4. Waktu antar kedatangan (ta) 5. Waktu transaksi (tt)

6. Waktu kedatangan (tk) 7. Waktu Mulai Transaksi (tm) 8. Waktu selesai dilayani (ts) 9. Waktu antri (tan)

10.Waktu dalam sistem (tds)

1. Diasumsikan bahwa rata-rata waktu antar kedatangan paket ke sistem terditribusi eksponensial negative dengan rata-rata 0,002 detik.

2. Diasumsikan bahwa rata-rata waktu pelayanan terdistribusi secara eksponensial negative dengan rata-rata 0,01 detik.

3. Membangkitkan suatu variabel acak Z[i], ( Z[i] adalah waktu kedatangan paket yang akan menghasilkan bilangan acak U[i] sebanyak n.

a) Waktu antar kedatangan (ta) setiap paket yang datang menggunakan persamaan berikut ini :

��[�] =−��� .��(1− �[�]) ... (3.1)

Ui adalah bilangan acak yang dihasilkan dari pembangkitan nilai acak Zi.

b) Tentukanlah waktu transaksi (tt) setiap paket yang antri dengan menggunakan persamaan berikut :

��[�] =−��� .��(1− �[�]). ... `(3.2)

Untuk memudahkan dalam pensimulasian dan perhitungan data-data paket digunakan tabel untuk memasukkan data-data hasil simulasi.

4. Memasukkan hasil perhitungan waktu antar kedatangan dan waktu transaksi ke dalam tabel.

5. Menentukan waktu kedatangan masing masing paket dengan ketentuan seperti berikut ini :

b. Waktu kedatangan (tk) paket berikutnya ditentukan dengan menjumlahkan waktu datang (tk) pelanggan sebelumnya dengan waktu antar kedatangan (ta) paket berikutnya, sehingga;

��[�] = ��[�−1]+ ��[�]. ... (3.3)

6.Ditentukanlah Waktu mulai transaksi (tm) masing masing paket ditentukan sebagai berikut;

a. Waktu mulai transaksi (tm) paket berikutnya sama dengan waktu kedatangan (tk) paket tersebut jika waktu kedatangan (tk) paket tersebut lebih besar dari waktu selesai transaksi (ts) paket sebelumnya, sehingga ;

��[_�] = ��[_�] ������[_�−1] < ��[_�] . ... (3.4)

b. Waktu mulai transaksi (tm) paket berikutnya sama dengan waktu selesai transaksi (ts) paket sebelumnya jika waktu kedatangan (tk) paket tersebut kurang dari waktu selesai transaksi(ts) paket sebelumnya,sehingga;

��[�] =��[�−1 ]������[�−1] ≥ ��[�]. ... (3.5)

7. Waktu selesai transaksi (ts) ditentukan dengan menjumlahkan lama waktu transaksi (tt) dengan waktu mulai dilayani (tm) dari masing masing paket. ��[�] =��[�] + ��[�]. ... (3.6)

8. Waktu antri (tan) masing masing paket ditetapkan dengan cara melakukan pengurangan waktu mulai transaksi dengan waktu kedatangan, sehingga: ���[�] = ��[�]− ��[�]. ... (3.7)

9. Tentukanlah waktu dalam sistem (tds) masing masing paket dengan cara menjumlahkan antara lama waktu antri (tan) dengan waktu transaksi (tt), sehingga;

Untuk simulasi, kinerja sistem antrian dapat dilakukan dengan melakukan perhitungan sebagai berikut :

1. Rata-rata waktu antri(tan) setiap paket:

�������� = ����������_� ����� ���� ���_������ ... (3.9)

dimana N merupakan banyaknya jumlah paket yang bisa masuk ke dalam sistem. 2. Rata-rata jumlah paket dalam tempat antri yaitu menjumlahkan semua paket yang masuk ke dalam antrian. Untuk paket yang tidak antri tidak dihitung.

3. Rata-rata waktu pelayanan (tt):

�������= ����������_���������� ���� �������_� ... (3.10)

4. Rata-rata jumlah paket didalam server / pelayan :

= �������������������

�������������������������������ℎ�� ���� �������

��� . ... (3.11)

5. Rata-rata lamanya waktu dalam sistem(tds) :

�������� = ����������_������������ ���� ���_���� ... (3.12)

6. Rata-rata jumlah paket didalam sistem yaitu menjumlahkan semua paket yang dapat masuk ke dalam sistem, apabila antrian dibatasi hingga N pelanggan maka rata-rata jumlah paket yang masuk adalah sebanyak N.

3.2.1 Pembangkitan Bilangan Acak

�[�] =��.�[�−1]+ ��(����) ...(3.13)

Untuk mendapatkan bilangan acak Ui pada interval [0,1], maka

�� = ��_� ...(3.14)

Adapun diagram alir pembangkitan bilangan acak dengan metode LCG dapat dilihat pada Gambar 3.2.

Gambar 3.2 Diagram Alir Pembangkitan Nilai Acak Metode LCG

3.2.2 Waktu Antar Kedatangan Paket

Proses Poisson dengan laju kedatangan paket λ > 0, mempunyai waktu antar kedatangan yang acak atau disebut juga dengan interarrival times. Waktu antar kedatangan ini merupakan variabel acak yang artinya waktu antar kedatangan tiap paket ke dalam server tidak terikat satu sama lainnya, dan waktunya berbeda – beda untuk setiap paket yang datang. Adapun diagram alir untuk menghasilkan waktu antar kedatangan (ta) yaitu seperti Gambar 3.3.

Start

Gambar 3.3 Diagram Alir Waktu Antar Kedatangan Paket

3.2.3 Waktu Transaksi Paket

Waktu transaksi paket merupakan lamanya waktu setiap paket yang datang dilayani oleh server. Adapun waktu transaksi(tt) paket, untuk menghasilkannya hampir sama dengan waktu antar kedatangan paket yaitu dengan nilai Z[i] dan U[i] yang telah dihasilkan sebelumnya dengan pembangkitan bilangan acak dan dengan mengasumsikan waktu transaksi (ttr) = 0.01, maka diagram alir untuk menghasilkan waktu transaksi paket yaitu seperti Gambar 3.4.

Start

3.2.4 Waktu Kedatangan Paket

Waktu kedatangan paket (tk) merupakan waktu paket tiba didalam sistem. Waktu kedatangan paket tersebut diperoleh dengan menambahkan waktu antar kedatangan sebelumnya dengan waktu antar kedatangan berikutnya. Adapun diagram alir untuk menghasilkan waktu kedatangan seperti pada Gambar 3.5.

Start

Gambar 3.5 Diagram Alir Waktu Kedatangan (tk) Paket

3.2.5 Waktu Mulai Transaksi Paket

St a rt

Gambar 3.6 Diagram Alir Waktu Mulai Transaksi 3.2.6 Waktu Selesai Transaksi Paket

Waktu selesai transaksi paket merupakan waktu setiap paket keluar dari sistem antrian karena telah selesai dilayani oleh server. Waktu paket selesai dilayani dapat diperoleh dengan menambahkan waktu kedatangan paket dengan waktu lamanya transaksi paket tersebut dalam sistem. Diagram alir waktu selesai transaksi yaitu seperti pada Gambar 3.7.

3.2.7 Waktu Antri Paket

Waktu antri paket merupakan waktu setiap paket yang telah tiba didalam sistem mulai menunggu karena belum dapat dilayani oleh server sebab pada

server masih terdapat paket yang sedang dalam proses pelayanan. Apabila paket yang tiba langsung antri, maka ia akan dilayani apabila paket yang sebelumnya sudah tiba selesai dilayani oleh server. Waktu antri setiap paket dapat dihasilkan dengan mengurangkan waktu mulai transaksi paket tersebut dengan waktu kedatangan paket tersebut ke dalam sistem. Adapun diagram alir untuk menghasilkan waktu antri (tan) adalah seperti Gambar 3.8.

St a rt

I nisia lisa si t m (i),t k (i),N

t a n(i) = t m (i) - t k (i)

I nput t a be l Wa k t u

a nt ri

i+ +

Gambar 3.8 Diagram Alir Waktu Antri

3.2.8 Lama Waktu Paket Didalam Sistem

tersebut mengantri didalam sistem. Adapun diagram alir untuk memperoleh lamanya waktu didalam sistem dapat dilihat pada Gambar 3.9.

Start

Inisialisasi

tt(i),tan(i),N

tds(i) = tt(i) + tan(i)

Input tabel Waktu dalam

sistem

i++

BAB IV

ANALISIS KINERJA SISTEM ANTRIAN M/M/1/N

Pada bagian ini akan ditampilkan hasil-hasil dari simulasi yang telah dilakukan. Adapun hasil-hasil yang diperoleh akan dibuat ke dalam tabel dan dilakukan perhitungan secara teoritis juga. Selanjutnya akan dibandingkan hasil-hasil dari simulasi dan perhitungan secara teoritis tersebut.

4.1. Hasil–Hasil dari Simulasi

Dengan mengacu kepada diagram alir Gambar 3.2 dilakukan simulasi untuk memperoleh bilangan acak metode LCG. Asumsi yang diambil adalah : a = 21, c = 3, m = λ (500), dan Z[0] = 13. Hasil dari pembangkitan bilangan acak tersebut

dapat dilihat pada Tabel 4.1.

Tabel 4.1 Nilai Bilangan Acak Metode LCG

i Z[i] U[i]

Setelah bilangan acak diperoleh, maka didapatkan hasil untuk waktu antar kedatangan setiap paket yang diperlihatkan pada Tabel 4.2.

Tabel 4.2 Waktu Antar Kedatangan Paket

Paket ke i Waktu Antar

Pada Tabel 4.2 dapat dilihat waktu antar kedatangan yang akan mengatur jarak waktu kedatangan tiap paket dari satu paket dengan paket berikutnya.

Setelah waktu antar kedatangan tiap paket diperoleh, maka diperoleh juga waktu transaksi tiap- tiap paket yang diperlihatkan pada Tabel 4.3.

Tabel 4.3 Waktu Transaksi

Paket ke i Waktu Transaksi (tt)

Waktu kedatangan paket hasil simulasi tampak pada Tabel 4.4.

Tabel 4.4 Waktu Kedatangan Paket

Paket

Waktu mulai transaksi hasil simulasi diperlihatkan pada Tabel 4.5. Tabel 4.5 Waktu Mulai Transaksi

Paket

Tabel 4.6 Waktu Selesai Transaksi

Waktu antri paket hasil simulasi diperlihatkan pada Tabel 4.7.

Tabel 4.7 Waktu Antri(tan)

Paket ke i Waktu Antri (tan)

Waktu dalam sistem hasil simulasi diperlihatkan pada Tabel 4.8.

Tabel 4.8 Waktu Dalam Sistem

Setelah data-data yang diperlukan untuk mengetahui kinerja sistem terkumpul, maka dapat dikatakan bahwa pelaksanaan simulasi telah selesai. Untuk menentukan suatu kuantitas dari karakteristik operasi kinerja sistem antrian dengan N=10 diatas dapat dilakukan dengan perhitungan sebagai berikut :

1. Rata-rata waktu antri(tan) setiap paket:

waktu antri_total = 0,17781

10

= 0,01778

2. Rata-rata jumlah paket didalam tempat antri

Ada satu pelanggan yang tidak antri pada sistem antrian dengan N = 10, maka rata- rata jumlah paket ditempat antri yaitu 10 – 1 = 9

3. Rata-rata waktu pelayanan (tt):

tt_total= 0,07025

10 = 0,00702

4. Rata-rata jumlah paket didalam server / pelayan :

tttotal

tsN =

0,07025

0,07144

= 0,98336

5. Rata-rata lamanya waktu dalam sistem(tds) :

tds_total = tdstot

N =

0,24806

10

= 0,02481

6. Rata-rata jumlah paket didalam sistem :

Untuk N= 10 maka jumlah paket yang masuk kedalam sistem adalah 10.

Gambar 4.1 Tampilan Hasil Simulasi untuk pelanggan dibatasi (N)=10

Pada Gambar 4.1, dapat dilihat hasil kinerja dari sistem antrian untuk pelanggan yang dibatasi (N)= 10. Terlebih dahulu dimasukkan nilai nilai untuk a, c, m, Z[0], setelah itu dimasukkan nilai tar ( rata-rata waktu antar kedatangan) dan nilai ttr ( rata-rata waktu transaksi). Kemudian dimasukkan nilai N (batas pelanggan yang dapat masuk kedalam sistem). Setelah itu maka akan keluar hasil dari kinerja sistem antrian. Untuk jumlah paket didalam sistem di simulasi disingkat menjadi ‘jpksrt’. Untuk jumlah paket rata-rata dalam antrian disingkat menjadi ‘jpkanrt’. Untuk jumlah paket rata rata dalam pelayanan disingkat menjadi ‘jpkfprt’.

Tabel 4.9 Hasil Simulasi untuk N=10,15,20 dan 25

No. Kinerja

Sistem Antrian

N=10 N=15 N=20 N=25

1 Rata-rata waktu antri 0,01778 0,03393 0,04776 0,06300 2 Rata-rata waktu transaksi 0,00702 0,00690 0,00688 0,00779 3 Rata-rata waktu pada sistem 0,02481 0,04084 0,05444 0,07079

4 Jumlah paket dlm antrian 9 14 19 24

5 Jumlah paket dlm pelayanan 0,98336 0,98866 0,99199 0,99394

6 Jumlah paket pada sistem 10 15 20 25

Dengan cara yang sama dapat diperoleh hasil untuk N=10 ,15, 20,25 dengan asumsi tar = 0.002 dan ttr = 0.004. Hasil selengkapnya diperlihatkan pada Tabel 5.10.

Tabel 4.10 Hasil Simulasi untuk N=10,15,20 dan 25 untuk Utilisasi (ρ)=2

No. Kinerja Sistem Antrian N=10 N=15 N=20 N=25 1 Rata-rata waktu antri 0,00428 0,00834 0,01183 0,01547 2 Rata-rata waktu transaksi 0,00281 0,00276 0,00267 0,00312 3 Rata-rata waktu pada sistem 0,00709 0,01110 0,01450 0,01859

4 Jumlah paket dlm antrian 9 14 19 24

5 Jumlah paket dlm pelayanan 0,9594 0,97211 0,97826 0,98498

4.2. Perhitungan Kinerja Sistem Antrian M/M/1/N secara Teoritis

Dalam tugas akhir ini, untuk mendapatkan kinerja sistem antrian M/M/1/N selain dengan menggunakan simulasi, dilakukan juga perhitungan secara teori. Perhitungan secara teori juga dihitung menggunakan N=10,15,20 dan 25.

Perhitungan secara teori terlebih dahulu dilakukan dengan menggunakan N=10 yaitu pelanggan yang masuk kedalam sistem dibatasi hingga 10 paket saja. Telah diasumsikan saat simulasi bahwa rata-rata waktu antar kedatangan (tar)= 0.002 yang berarti bahwa λ = 1/0.002 = 500 paket/detik. Demikian juga rata-rata waktu transaksi (ttr) = 0.01 yang berarti bahwa µ = 100 paket/detik. Sehingga diperoleh :

ρ=λ_µ= 500₁₀₀ = 5

Untuk memperoleh P_o dilakukan perhitungan dengan menggunakan Persamaan (3.2) sehingga dihasilkan :

P_o= _1−ρ1−ρ_K+1 = ₁₋1−5₅₁₀₊₁

=₋₄₈−4

.828.125 = 8,19 . 10

−8

Untuk memperoleh rata –rata jumlah pelanggan di dalam sistem digunakan Persamaan (3.1) yang menghasilkan :

Untuk memperoleh rata-rata jumlah pelanggan ditempat antri digunakan Persamaan (3.3), yang menghasilkan :

L_q = L_s− (1−P_o) = 9,75−(1−8,19 . 10−8)

= 9,75−0.99999992 = 8,75

Untuk memperoleh rata- rata waktu tunggu didalam sistem digunakan Persamaan (3.4), yang menghasilkan :

W =L_λs= 9₅₀₀,75= 0,0195

Untuk memperoleh rata – rata waktu tunggu pada antrian digunakan Persamaan (3.5), yang menghasilkan :

W_q= Lq

λ =

8,75

500 = 0,0175

Dengan cara yang sama dapat diperoleh hasil – hasil untuk N=15, 20, 25. Hasil selengkapnya dapat dilihat pada Tabel 4.11.

Tabel 4.11 Hasil Perhitungan secara Teoritis untuk N=10,15,20 dan 25

No. Kinerja Sistem Antrian N=10 N=15 N=20 N=25 1 Rata-rata waktu antri 0,0175 0,0275 0,0375 0,0495 2 Rata-rata waktu transaksi 0,01 0,01 0,01 0,01 3 Rata-rata waktu pada

system

0,0195 0,0295 0,0395 0,0475

4 Jumlah paket dlm antrian 8,75 13,75 18,75 23,75

5 Jumlah paket dlm pelayanan 1 1 1 1

Perhitungan secara teori yang lain juga dilakukan dengan diasumsikan saat simulasi bahwa rata-rata waktu antar kedatangan (tar)= 0.002 yang berarti bahwa λ = 1/0.002 = 500 paket/detik. Demikian juga rata-rata waktu transaksi (ttr) =

0.004 yang berarti bahwa µ = 250 paket/detik. Sehingga diperoleh :

ρ =λ

Untuk memperoleh rata –rata jumlah pelanggan di dalam sistem digunakan Persamaan (3.1) yang menghasilkan :

L_s = N � = 2

Untuk memperoleh rata-rata jumlah pelanggan ditempat antri digunakan Persamaan (3.3), yang menghasilkan :

L_q = L_s− (1−P_o)

= 9−(1−0,000488) = 8

Untuk memperoleh rata- rata waktu tunggu didalam sistem digunakan Persamaan (3.4), yang menghasilkan :

W =Ls

λ =

9

Untuk memperoleh rata – rata waktu tunggu pada antrian digunakan Persamaan (3.5), yang menghasilkan :

W_q= Lq

λ =

8

500= 0,016

Dengan cara yang sama dapat diperoleh hasil – hasil untuk N=15, 20, 25. Hasil selengkapnya dapat dilihat pada Tabel 5.12.

Tabel 4.12 Hasil Perhitungan secara Teoritis untuk N= 10, 15, 20, 25 untuk ρ=2

No. Kinerja

4.3. Perbandingan Hasil Simulasi dengan Perhitungan secara Teoritis

Setelah dilakukan perhitungan secara simulasi dan dengan perhitungan secara teori, maka keduanya memperoleh hasil masing-masing. Hasil dari perhitungan secara simulasi dan teori tersebut kemudian dibandingkan agar dapat diketahui apakah hasil simulasi mendekati hasil teori atau tidak mendekati.

Tabel 4.13 Perbandingan Hasil Simulasi Dengan Perhitungan Teoritis untuk ρ=5

No. Kinerja Simulasi Teori

N=10 N=15 N=20 N=25 N=10 N=15 N=20 N=25

1 ��_��� 0,0177 0,0339 0,0477 0,0630 0,0175 0,0275 0,0375 0,0495

2 τ̅_tt 0,0070 0,0069 0,0068 0,0078 0,01 0,01 0,01 0,01

3 τ̅_tds 0,0248 0,0408 0,0544 0,0708 0,0195 0,0295 0,0395 0,0475

4 L_q 9 14 19 24 8,75 13,75 18,75 23,75

5 L 0,9833 0,9886 0,9919 0,9939 1 1 1 1

6 L_s 10 15 20 25 9,75 14,75 19,75 24,75

Perbandingan hasil simulasi dan hasil secara teori juga dilakukan untuk tingkat kedatangan dibagi tingkat pelayanan (ρ)=2 yang dapat dilihat seperti pada tabel 4.14.

Tabel 4.14 Perbandingan Hasil Simulasi Dengan Perhitungan Teoritis untuk ρ=2

No. Kinerja Simulasi Teori

N=10 N=15 N=20 N=25 N=10 N=15 N=20 N=25

1 ��_��� 0,0042 0,0083 0,0118 0,0154 0,016 0,026 0,036 0,046

2 τ̅_tt 0,0028 0,0027 0,0026 0,0031 0,004 0,004 0,004 0,004

3 τ̅_tds 0,0070 0,0111 0,0145 0,0185 0,018 0,028 0,038 0,048

4 L_q 9 14 19 24 8 13 18 23

5 L 0,959 0,9721 0,9782 0,9849 1 1 1 1

4.4 Analisis Kinerja Antrian M/M/1/N

Dari Tabel Perbandingan Antara Hasil Teori dengan Simulasi dapat dianalisis sebagai berikut :

1. Untuk utilisasi sistem (ρ)=5 diperoleh kinerja sistem antrian sebagai berikut ; a.Rata-rata waktu antri dengan simulasi dengan N=10 diperoleh 0,0177,

dengan N= 15 diperoleh 0,0339, dengan N =20 diperoleh 0,0477 dan dengan N= 25 diperoleh 0,0630 . Hasil Rata-rata waktu antri dengan simulasi hampir mendekati dengan hasil perhitungan secara teori.

b.Rata-rata waktu transaksi dengan simulasi dengan N=10 diperoleh 0,0070, dengan N= 15 diperoleh 0,0069, dengan N =20 diperoleh 0,0068 dan dengan N= 25 diperoleh 0,0078 . Hasil rata-rata waktu transaksi dengan simulasi hampir mendekati dengan hasil perhitungan secara teori.

c.Rata-rata waktu pada sistem dengan simulasi untuk N=10 diperoleh 0,0248, untuk N= 15 diperoleh 0,0408, untuk N =20 diperoleh 0,0544 dan untuk N= 25 diperoleh 0,0708. Hasil rata-rata waktu pada sistem dengan simulasi mendekati dengan hasil perhitungan secara teoritis.

d.Jumlah paket dalam antrian pada simulasi untuk N=10 diperoleh 9, untuk N=15 diperoleh 14, untuk N=20 diperoleh 19 dan untuk N=25 diperoleh 24. Hasil jumlah paket dalam antrian pada simulasi hampir mendekati dengan hasil perhitungan secara teoritis.

f.Jumlah paket dalam sistem pada simulasi untuk N=10 diperoleh 10, untuk N=15 diperoleh 15, untuk N=20 diperoleh 20, untuk N=25 diperoleh 25. Hasil jumlah paket dalam sistem pada simulasi hampir mendekati dengan hasil perhitungan secara teoritis.

2. Untuk utilisasi sistem (ρ)=2 diperoleh kinerja sistem antrian sebagai berikut ; a.Rata-rata waktu antri dengan simulasi dengan N=10 diperoleh 0,0042,

dengan N= 15 diperoleh 0,0083, dengan N =20 diperoleh 0,0118 dan dengan N= 25 diperoleh 0,0154. Hasil Rata-rata waktu antri dengan simulasi tidak mendekati dengan hasil perhitungan secara teori.

b.Rata-rata waktu transaksi dengan simulasi dengan N=10 diperoleh 0,0028, dengan N= 15 diperoleh 0,0027, dengan N =20 diperoleh 0,0026 dan dengan N= 25 diperoleh 0,0031. Hasil rata-rata waktu transaksi dengan simulasi hampir mendekati dengan hasil perhitungan secara teori.

c.Rata-rata waktu pada sistem dengan simulasi untuk N=10 diperoleh 0,0070, untuk N= 15 diperoleh 0,0111, untuk N =20 diperoleh 0,0145 dan untuk N= 25 diperoleh 0,0185. Hasil rata-rata waktu pada sistem dengan simulasi tidak mendekati dengan hasil perhitungan secara teoritis.

d.Jumlah paket dalam antrian pada simulasi untuk N=10 diperoleh 9, untuk N=15 diperoleh 14, untuk N=20 diperoleh 19 dan untuk N=25 diperoleh 24. Hasil jumlah paket dalam antrian pada simulasi hampir mendekati dengan hasil perhitungan secara teoritis.

diperoleh 0,9849. Hasil jumlah paket dalam pelayanan pada simulasi hampir mendekati dengan hasil perhitungan secara teoritis.