BAB III
SIMULASI SISTEM ANTRIAN M/M/1
3.1 Model Antrian M/M/1
Model antrian yang dibahas dalam tugas akhir ini adalah model antrian M/M/1. Sistem antrian ini diasumsikan digunakan pada simpul jaringan paket data. Adapun kinerja yang akan dibahas adalah rata-rata jumlah paket dalam sistem, rata-rata jumlah paket dalam tempat antrian, rata-rata waktu transaksi, rata-rata waktu tunggu dalam sistem dan rata-rata waktu tunggu pada tempat antri. Kinerja sistem antrian tersebut dihitung secara simulasi dengan menggunakan pemograman bahasa C dan dihitung secara teori. Hasil darisimulasi dan perhitungan teori akan dibandingkan. Gambar 3.1 menunjukkan model sistem antrian M/M/1.
Gambar 3.1 Model Sistem Antrian M/M/1 Pada Gambar 3.1 sistem antrian M/M1 di asumsikan bahwa: a. Jumlah server adalah = 1
b. Jumlah buffer adalah = ∞
Paket – paket tiba secara acak, kemudian paket antri di dalam buffer
sebelum dilayani oleh server. Setelah selesai dilayani, maka paket-paket meninggalkan sistem antrian melintasi outgoing link menuju tujuan.
3.2 Diagram Alir (Flowchart)
Diagram alir atau flowchart program merupakan suatu diagram yang menggambarkan suatu langkah – langkah dari input, proses dan output suatu program yang digambarkan dalam bentuk simbol – simbol. Untuk memberikan pedoman dalam pembuatan program maka sebelum suatu program dibuat, harus terlebih dahulu membuat diagram alirnya. Simulasi antrian dibuat dengan bahasa C DOSBox 0.74. Listing program (kode program) teori terdapat pada Lampiran 1. Sedangkan kode program simulasi terdapat pada Lampiran 2. Sebelum mengerjakan simulasi digunakan daftar variabel berikut ini :
1. Rata-rata waktu antar kedatangan (tar) 2. Rata-rata waktu transaksi (ttr)
3. Bilangan acak (Ui)
4. Waktu antar kedatangan (ta) 5. Waktu transaksi (tt)
6. Waktu kedatangan (tk) 7. Waktu mulai transaksi (tm) 8. Waktu selesai dilayani (ts) 9. Waktu antri (tan)
10.Waktu dalam sistem (tds)
setiap pengantri secara satu persatu sampai data yang cukup telah terkumpul. Berikut ini adalah langkah-langkah yang akan dilaksanakan untuk mendapatkan solusi perkiraan dalam menentukan karakteristik operasi sistem antrian :
1. Diasumsikan bahwa waktu antar kedatangan paket ke sistem terdistribusi eksponensial negatif dengan rata-rata 0,002 detik,
2. Diasumsikan bahwa waktu pelayanan terdistribusi secara eksponensial negatif dengan rata-rata 0,001 detik; 0,013 detik; 0,0018 detik.
3. Membangkitkan suatu variabel acak Zi, (Z[i] adalah waktu kedatangan paket) yang akan menghasilkan bilangan acak Ui sebanyak n.
4. Waktu antar kedatangan paket (ta) setiap paket yang datang menggunakan persamaan:
ta[i]= (-tar.ln (1 - U[i]
5. Tentukan lama waktu transaksi (tt) setiap paket pengantri dengan persamaan berikut:
) (3.1 )
Dengan Ui adalah bilangan acak yang dihasilkan dari pembangkitan variabel acak Zi.
tt = -ttr.ln (1 – Ui) (3.2)
Dengan Ui adalah bilangan acak yang dihasilkan dari pembangkitan bilangan acak Zi.
6. Untuk memudahkan dalam pensimulasian dan perhitungan data-data paket digunakan tabel untuk memasukkan data-data hasil simulasi.
8. Mententukan waktu datang masing-masing paket dengan ketentuan seperti berikut:
a. Waktu kedatangan paket pertama sama dengan beda waktu antar kedatangan paket pertama karena diasumsikan dimulai pada saat ta = 0 sehingga tk[i] = t
b. Waktu kedatangan paket (tk) berikutnya ditentukan dengan menjumlahkan waktu datang paket sebelumnya dengan beda waktu antar kedatangan (ta) paket berikutnya, sehingga tk
a[i]
[i] = tk[i-1] + ta[i] (3.3) 9. Menentukan waktu mulai transaksi (tm) masing-masing paket ditentuan sebagai berikut :
a. Waktu mulai transaksi(tm) paket berikutnya sama dengan waktu kedatangan (tk) paket tersebut jika waktu kedatangan (tk) paket tersebut lebih besar dari waktu selesai transaksi (ts) paket sebelumnya, sehingga ; tm[i]= tk[i] jika ts[i-1] < tk[i] (3.4) b. Waktu mulai transaksi (tm) paket berikutnya sama dengan waktu selesai transaksi (ts) paket sebelumnya jika waktu kedatangan (tk) paket tersebut kurang dari waktu selesai transaksi paket sebelumnya, sehingga;
tm[i] = ts[i-1] jika ts[i-1] ≥ tk[i]
10. Waktu selesai transaksi (ts) ditentukan dengan menjumlahkan lama waktu transaksi (tt) dengan waktu mulai transaksi (tm) dari masing paket
ts[i] = tt[i] + tm[i] (3.5)
tan = tm[i] – tk[i] (3.6) 13. Waktu dalam sistem (tds) masing-masing paket ditentukan dengan cara menjumlahkan lama waktu antri (tan) dengan lama waktu transaksi (tt), sehingga :
tds[i] = tt[i] + ta[i] (3.7)
3.2.1 Pembangkit Bilangan Acak
Dalam tugas akhir ini waktu kedatangan paket yang acak dihasilkan dengan membangkitkan bilangan acak. Metode pembangkitan bilangan acak yang digunakan adalah metode Linear Congruential Generators (LCG). Urutan dari bilangan bulat Z1, Z2
= nilai awal (bilangan bulat positif)
Untuk mendapatkan bilangan acak Ui (i = 1, 2,…) pada interval [0,1], maka :
(3.9)
,
0<m a<m, c<m, dan Z0 <m
Untuk mendapatkan nilai acak dapat diperoleh dengan diagram alir seperti Gambar 3.2.
Gambar 3.2 Diagram Alir Pembangkitan Bilangan Acak Metode LCG
3.2.2 Waktu Antar Kedatangan
Gambar 3.3 Diagram Alir Waktu Antar Kedatangan
3.2.3 Waktu Transaksi
Gambar 3.4 Diagram Alir Waktu Transaksi
3.2.4 Waktu Mulai Transaksi
Gambar 3.5 Diagram Alir Waktu Mulai Transaksi
3.2.5 Waktu Dalam Sistem
Gambar 3.6 Diagram Alir Waktu Dalam Sistem
3.2.6 Waktu Antri
Gambar 3.7 Diagram Alir Waktu Antri
3.2.7 Waktu Selesai Dilayani
Gambar 3.8 Diagram Alir Selesai Dilayani
3.3 Perhitungan Parameter Kinerja Secara Teori
Untuk mendapatkan kinerja sistem antrian M/M/1 diperlukan parameter-parameter sebagai berikut[4]:
a. Rata - rata jumlah paket dalam sistem
n
� = μ−λλ (3.10)
b. Rata – rata jumlah paket pada tempat tudalam antrian
nq ���� = λ
2
c. Rata – rata waktu transaksi
ttrata
d. Rata – rata waktu tunggu pada sistem antrian = 1
μ (3.12)
tsrata
e. Rata – rata waktu tunggu pada tempat antri = 1
(μ−λ) (3.13)
τq ���� = λ
BAB IV
ANALISIS KINERJA SISTEM ANTRIAN M/M/1
4.1 Analisis Bilangan Acak Metode LCG
Dengan menggunakan diagram alir pada Gambar 3.2 dapat diperoleh
pembangkitan bilangan acak dengan metode LCG dimana diasumsikan dengan
nilai a = 21, c= 3, m = 500 dan Z0 = 13 seperti pada Tabel 4.1. Adapun Kombinasi nilai-nilai asumsi yang diberikan tersebut adalah untuk memperoleh nilai acak yang lebih bagus. Contoh kombinasi dengan asumsi lain yang memperoleh nilai acak yang kurang bagus dapat dilihat pada lampiaran 3.
Tabel 4.1 Bilangan Acak Metode LCG
Dengan menggunakan diagram alir pada Gambar 3.2 maka dapat diperoleh bilangan acak waktu antar kedatangan pada Tabel 4.2.
Tabel 4.2 Bilangan Acak Waktu Antar Kedatangan Paket ke i ta
Dengan menggunakan diagram alir pada Gambar 4.4 maka dapat diperoleh bilangan acak waktu transaksi pada Tabel 4.3.
Tabel 4.3 Bilangan Acak Waktu Transaksi Paket ke i tt
1 0.00594
2 0.00514
Tabel 5.3 Lanjutan
4.2 Analisis Perbandingan Kinerja Hasil Simulasi dengan Perhitungan Teori Pada tugas akhir ini, dilakukan perbandingan kinerja sistem antrian M/M/1 hasil simulasi dengan hasil perhitungan secara teori. Pada Tabel 4.4 diperoleh perbandingan kinerja sistem antrian dimana λ = 500 paket/detik, µ = 1000
paket/detik (�= 0.5).
Tabel 4.4 Tabel Perbandingan Simulasi dan Teori pada � = 0.5
N0 Kinerja Simulasi Teori
1 Rata-rata jumlah paket dalam sistem 0.75975 1.00
2 Rata–rata jumlah paket dalam antrian 0.26157 0.5
3 Rata – rata waktu transaksi 0.00099 0.001
4 Rata – rata waktu tunggu pada sistem antri 0.00151 0.002
Perbandingan kinerja sistem antrian dimana λ = 500 paket/detik, µ=716
paket/detik paket/detik (�= 0.7) dapat dilihat pada Tabel 4.5.
Tabel 4.5 Perbandingan Simulasi dan Teori pada �= 0.7
N0 Kinerja Simulasi Teori
1 Rata-rata jumlah paket dalam sistem 1.16768 2.315
2 Rata–rata jumlah paket dalam antrian 0.52077 1.616
3 Rata – rata waktu transaksi 0.00129 0.001
4 Rata – rata waktu dalam sistem 0.00233 0.005
5 Rata –rata waktu tunggu pada tempat antri 0.00104 0.003
Perbandingan kinerja sistem antrian dimana λ = 500 paket/detik, µ = 559
paket/detik (�= 0.9) dapat dilihat pada Tabel 4.6.
Tabel 4.6 Perbandingan Simulasi dan Teori pada �= 0.9
N0 Kinerja Simulasi Teori
1 Rata-rata jumlah paket dalam sistem 2.5555 8.475 2 Rata–rata jumlah paket dalam antrian 1.66142 7.580 3 Rata – rata waktu transaksi 0.00179 0.002
4 Rata – rata waktu tunggu dalam sistem 0.00512 0.017 5 Rata –rata waktu tunggu pada tempat antri 0.00332 0.015
Dari Tabel 4.4, Tabel 4.5 dan Tabel 4.6 perbandingan antara hasil secara simulasi dengan perhitungan secara teori dapat diperoleh bahwa:
1. Kinerja M/M/1 untuk � = 0,5
a. Rata-rata jumlah paket dalam sistem hasil simulasinya adalah 0,75975 sedangkan dengan teori yaitu 1,00.
b. Rata-rata jumlah paket dalam antrian hasil simulasinya adalah 0,26157 sedangkan dengan teori yaitu 0,5.
c. Rata-rata waktu transaksi dalam sistem hasil simulasi adalah 0,00099 sedangkan dengan teori yaitu 0,001.
d. Rata-rata waktu tunggu dalam sistem hasil simulasi adalah 0,00151 sedangkan dengan teori yaitu 0.002.
e. Rata-rata waktu tunggu dalam sistem hasil simulasi adalah 0,00052 sedangkan dengan teori yaitu 0.001.
2. Kinerja M/M/1 untuk � = 0,7
a. Rata-rata jumlah paket dalam sistem hasil simulasinya adalah 1,16768 sedangkan dengan teori yaitu 2,315.
b. Rata-rata jumlah paket dalam antrian hasil simulasinya adalah 0,52077 sedangkan dengan teori yaitu 1,616.
c. Rata-rata waktu transaksi dalam sistem hasil simulasi adalah 0,00129 sedangkan dengan teori yaitu 0,001.
e. Rata-rata waktu tunggu dalam sistem hasil simulasi adalah 0,00104 sedangkan dengan teori yaitu 0.003.
3. Kinerja M/M/1 untuk � = 0,9
a. Rata-rata jumlah paket dalam sistem hasil simulasinya memiliki yaitu 2,5555 sedangkan dengan teori yaitu 8,475.
b. Rata-rata jumlah paket dalam antrian hasil simulasinya yaitu 1,6614 sedangkan dengan teori yaitu 7,58.
c. Rata-rata waktu transaksi dalam sistem hasil simulasi adalah 0,00179 sedangkan dengan teori yaitu 0,002.
d. Rata-rata waktu tunggu dalam sistem hasil simulasi adalah 0,00152 sedangkan dengan teori yaitu 0.017.
BAB V
KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan
Dari hasil analisis yang dilakukan maka dapat di ambil kesimpulan sebagai berikut:
1. Untuk � = 0,5, rata-rata jumlah paket dalam sistem hasil simulasinya adalah 0,75975 sedangkan dengan teori yaitu 1,00. Rata-rata jumlah paket dalam antrian hasil simulasinya adalah 0,26157 sedangkan dengan teori yaitu 0,5. Rata-rata waktu transaksi dalam sistem hasil simulasi adalah 0,00099 sedangkan dengan teori yaitu 0,001. Rata-rata waktu tunggu dalam sistem hasil simulasi adalah 0,00151 sedangkan dengan teori yaitu 0.002. Rata-rata waktu tunggu dalam sistem hasil simulasi adalah 0,00052 sedangkan dengan teori yaitu 0.001.
2. Untuk � = 0,7, rata-rata jumlah paket dalam sistem hasil simulasinya adalah 1,16768 sedangkan dengan teori yaitu 2,316. Rata-rata jumlah paket dalam antrian hasil simulasinya adalah 0,52077 sedangkan dengan teori yaitu 1,616. Rata-rata waktu transaksi dalam sistem hasil simulasi adalah 0,00129 sedangkan dengan teori yaitu 0,001. Rata-rata waktu tunggu dalam sistem hasil simulasi adalah 0,00233 sedangkan dengan teori yaitu 0.005. Rata-rata waktu tunggu dalam sistem hasil simulasi adalah 0,00104 sedangkan dengan teori yaitu 0.003.
yaitu 0,002. Rata-rata waktu tunggu dalam sistem hasil simulasi adalah 0,00152 sedangkan dengan teori yaitu 0.017. Rata-rata waktu tunggu dalam sistem hasil simulasi adalah 0,00332 sedangkan dengan teori yaitu 0.0151.
5.2 Saran
