Analisis Kinerja Sistem Antrian M/G/1 pada Jaringan Packet Switching

(1)

LAMPIRAN 1

KODE PROGRAM SIMULASI M/M/1

#include<stdio.h>

#include<conio.h>

#include<math.h>

main()

{

float a,c,x[50001], Z[50001],U[50001],tt[50001];

float tk[50001], tm[50001], ts[50001], tan[50001], tds[50001];

float wqtotal, wq, y, tttotal, ttr, z, wstotal, ws, w;

float lq, ls, l;

float lamda, p;

int i,m,j,k,N,g,h,jlhan;

printf("\n ---");

printf("\n --- ---");

printf("\n --- PROGRAM PENGHITUNG ---"); printf("\n --- KINERJA SISTEM ANTRIAN M/M/1 PADA PACKET SWITCHING ---");

printf("\n --- (SIMULASI) ---");

printf("\n --- ---");

printf("\n ---");

(2)

printf("\n Inputkan Parameter Pembangkit Bilangan Acak ");

printf("\n a, c, m, Z[0] : ");

scanf("%f %f %d %f", &a, &c, &m, &Z[0]);

printf("\n Masukkan jumlah paket : ");

scanf("%d", &N);

tk[0]=0;

ts[0]=0;

tan[0]=0;

y=0;

z=0;

w=0;

g=0;

for(i=1;i<=N;i++)

{

/* Pembangkitan bilangan acak LCG */

x[i]=(a*Z[i-1]) + c;

Z[i]=fmod(x[i],m);

U[i]=Z[i]/m;

/* Waktu kedatangan */

lamda = N/1;

(3)

/* Waktu transaksi */

tt[i]=(-(49.824/pow(10,6)))*log(U[i]);

/* Waktu mulai */

if(ts[i-1] < tk[i])

tm[i]=tk[i];

else if(ts[i-1]>=tk[i])

tm[i]=ts[i-1];

/* Waktu Selesai */

ts[i]=tm[i]+tt[i];

/* Waktu di dalam antrian */

tan[i]=tm[i]-tk[i];

/* Jumlah paket yang antri */

if(tan[i]==0)

h=0;

else if(tan[i]>0)

h=1;

jlhan=g+h;

g=jlhan;

/* Waktu di dalam sistem */

(4)

/* Rata-rata waktu pada tempat antri */

wqtotal=y+tan[i];

y=wqtotal;

wq=wqtotal/N;

/* Rata-rata waktu transaksi /pelayanan */

tttotal=z+tt[i];

z=tttotal;

ttr=tttotal/N;

/* Rata-rata waktu di dalam sistem */

wstotal=w+tds[i];

w=wstotal;

ws=wstotal/N;

Z[i-1]=Z[i];

}

/* Rata-rata jumlah paket didalam sistem */

ls=wstotal/ts[N];

/* Rata-rata jumlah paket didalam server/pelayan */

l=tttotal/(ts[N]*tttotal);

/* Rata-rata jumlah paket didalam tempat antri */

(5)

p=lamda*ttr;

printf("\n\n * Utilisasi (p) : %f ", p);

printf("\n\n");

printf("\n\n Sehingga : ");

printf("\n - Rata-rata waktu dalam antrian :%f", wq);

printf("\n - Rata-rata waktu dalam pelayanan :%f", ttr);

printf("\n - Rata-rata waktu dalam sistem :%f", ws);

printf("\n - Rata-rata jumlah paket dalam antrian :%f", lq);

printf("\n - Rata-rata jumlah paket dalam pelayanan :%f", l);

printf("\n - Rata-rata jumlah paket dalam sistem :%f", ls);

getch();

(6)

LAMPIRAN 2

KODE PROGRAM SIMULASI M/D/1

#include<stdio.h>

#include<conio.h>

#include<math.h>

main()

{

float a,c,x[50001], Z[50001],U[50001],tt[50001];

float tk[50001], tm[50001], ts[50001], tan[50001], tds[50001];

float wqtotal, wq, y, tttotal, ttr, z, wstotal, ws, w;

float lq, ls, l;

float lamda, p;

int i,m,j,k,N,g,h,jlhan;

printf("\n ---");

printf("\n --- ---");

printf("\n --- PROGRAM PENGHITUNG ---"); printf("\n --- KINERJA SISTEM ANTRIAN M/D/1 PADA PACKET SWITCHING ---");

printf("\n --- (SIMULASI) ---");

printf("\n --- ---");

printf("\n ---");

(7)

scanf("%f %f %d %f", &a, &c, &m, &Z[0]);

printf("\n Masukkan jumlah paket : ");

scanf("%d", &N);

tk[0]=0;

ts[0]=0;

tan[0]=0;

y=0;

z=0;

w=0;

g=0;

for(i=1;i<=N;i++)

{

/* Pembangkitan bilangan acak LCG */

x[i]=(a*Z[i-1]) + c;

Z[i]=fmod(x[i],m);

U[i]=Z[i]/m;

/* Waktu kedatangan */

lamda = N/1;

(8)

/* Waktu transaksi */

tt[i]=49.994/pow(10,6);

/* Waktu mulai */

if(ts[i-1] < tk[i])

tm[i]=tk[i];

else if(ts[i-1]>=tk[i])

tm[i]=ts[i-1];

/* Waktu Selesai */

ts[i]=tm[i]+tt[i];

/* Waktu di dalam antrian */

tan[i]=tm[i]-tk[i];

/* Jumlah paket yang antri */

if(tan[i]==0)

h=0;

else if(tan[i]>0)

h=1;

jlhan=g+h;

g=jlhan;

/* Waktu di dalam sistem */

(9)

/* Rata-rata waktu pada tempat antri */

wqtotal=y+tan[i];

y=wqtotal;

wq=wqtotal/N;

/* Rata-rata waktu transaksi /pelayanan */

tttotal=z+tt[i];

z=tttotal;

ttr=tttotal/N;

/* Rata-rata waktu di dalam sistem */

wstotal=w+tds[i];

w=wstotal;

ws=wstotal/N;

Z[i-1]=Z[i];

}

/* Rata-rata jumlah paket didalam sistem */

ls=wstotal/ts[N];

/* Rata-rata jumlah paket didalam server/pelayan */

l=tttotal/(ts[N]*tttotal);

/* Rata-rata jumlah paket didalam tempat antri */

(10)

p=lamda*ttr;

printf("\n\n * Utilisasi (p) : %f ", p);

printf("\n\n");

printf("\n\n Sehingga : ");

printf("\n - Rata-rata waktu dalam antrian :%f", wq);

printf("\n - Rata-rata waktu dalam pelayanan :%f", ttr);

printf("\n - Rata-rata waktu dalam sistem :%f", ws);

printf("\n - Rata-rata jumlah paket dalam antrian :%f", lq);

printf("\n - Rata-rata jumlah paket dalam pelayanan :%f", l);

printf("\n - Rata-rata jumlah paket dalam sistem :%f", ls);

getch();

}

(11)

LAMPIRAN 3

KODE PROGRAM TEORI M/M/1

#include<stdio.h>

#include<conio.h>

#include<math.h>

main()

{

float lamda, miu, var, lq, ls, wq, ws, p, ttr;

printf("\n ---");

printf("\n --- ---");

printf("\n --- PROGRAM PENGHITUNG ---"); printf("\n --- KINERJA SISTEM ANTRIAN M/G/1 PADA PACKET SWITCHING ---");

printf("\n --- (teori) ---");

printf("\n --- ---");

printf("\n ---");

printf("\n \n\n\n ") ; printf("\nInput nilai laju kedatangan (lamda) : "); scanf("%f", &lamda); printf("\nInput nilai laju transaksi (miu) : ");

scanf("%f", &miu);

ttr=1/miu;

var=1/(miu*miu);

(12)

ls=lq+(lamda*ttr);

wq=lq/lamda;

ws=wq+ttr;

p=lamda/miu;

printf("\n\n Maka : ");

printf("\n");

printf("\n - Rata-rata waktu dalam antrian :%f ", wq);

printf("\n - Rata-rata waktu dalam pelayanan :%f ", ttr);

printf("\n - Rata-rata waktu dalam sistem :%f ", ws);

printf("\n - Jumlah paket dalam antrian :%f ", lq);

printf("\n - Jumlah paket dalam pelayanan :1 " );

printf("\n - Jumlah paket dalam sistem :%f ", ls);

printf("\n * Utilisasi (p) :%f ", p);

getch();

(13)

LAMPIRAN 4

KODE PROGRAM TEORI M/D/1

#include<stdio.h>

#include<conio.h>

#include<math.h>

main()

{

float lamda, miu, var, lq, ls, wq, ws, p, ttr;

printf("\n ---");

printf("\n --- ---");

printf("\n --- PROGRAM PENGHITUNG ---"); printf("\n --- KINERJA SISTEM ANTRIAN M/G/1 PADA PACKET SWITCHING ---");

printf("\n --- (teori) ---");

printf("\n --- ---");

printf("\n ---");

printf("\n \n\n\n ") ; printf("\nInput nilai laju kedatangan (lamda) : "); scanf("%f", &lamda); printf("\nInput nilai laju transaksi (miu) : ");

scanf("%f", &miu);

ttr=1/miu;

var =0;

(14)

ls=lq+(lamda*ttr);

wq=lq/lamda;

ws=wq+ttr;

p=lamda/miu;

printf("\n\n Maka : ");

printf("\n");

printf("\n - Rata-rata waktu dalam antrian :%f ", wq);

printf("\n - Rata-rata waktu dalam pelayanan :%f ", ttr);

printf("\n - Rata-rata waktu dalam sistem :%f ", ws);

printf("\n - Jumlah paket dalam antrian :%f ", lq);

printf("\n - Jumlah paket dalam pelayanan :1 " );

printf("\n - Jumlah paket dalam sistem :%f ", ls);

printf("\n * Utilisasi (p) :%f ", p);

getch();

(15)

(16)

DAFTAR PUSTAKA

[1] Zulfin, M. 2013. Diktat Kuliah : “Teori Antrian”. Fakultas Teknik USU.

Medan

[2] Kakiay, T. J. 2004. “Dasar Teori Antrian Untuk Kehidupan Nyata”. Penerbit

ANDI: Yogyakarta

[3] Kakiay, T. J. 2004. “Pengantar Sistem Simulasi”. Penerbit ANDI:

Yogyakarta.

[4] (diakses pada tanggal 17

Agustus 2016 pukul 19.00 WIB)

[5] Ginting, Florensa. 2014. “Analisis Kinerja Sistem Antrian M/M/1/N”.

(17)

BAB III

SIMULASI SISTEM ANTRIAN M/G/1

3.1 Flowchart Penelitian

Adapun kinerja yang dianalisis pada model ini adalah Wq, E(t), Ws, Lq, L,

dan Ls. Kinerja sistem antrian ini akan dibandingkan secara perhitungan simulasi

bahasa C dan perhitungan rumus secara teori. Diagram alir penilitian tugas akhir

ditunjukkan pada Gambar 3.1

START

Hitung Karakteristik Sistem Antrian dengan rumus

(18)

3.2 Model Antrian

Adapun pemodelan antrian paket dari salah satu simpul pada jaringan

Packet Switching menggunakan antrian M/G/1 dapat dilihat pada Gambar 3.2.

Gambar 3.2 Model Antrian Paket pada salah satu simpul Packet Switching

Keterangan :

tk : waktu kedatangan

tm : waktu mulai transaksi

tan : waktu antri

tt : waktu transaksi

ts : waktu selesai dilayani

tds : waktu dalam sistem

Sesuai dengan notasi Kendalnya, sistem antrian M/G/1 merupakan sistem

antrian dimana waktu kedatangan secara acak terdistribusi Poisson, waktu

pelayanan terdistribusi umum (general), memiliki jumlah server = 1, dan dengan

PENGIRIM server PENERIMA

(19)

mekanisme disiplin antrian FCFS (First Come First Serve). Pada model ini,

diasumsikan :

a. Laju kedatangan (distribusi Poisson)

b. Waktu pelayanan � (distribusi umum/normal standar)

c. Servernya tunggal

d. First-come-first-served (FCFS)

e. Panjang antrian tak terbatas

f. Jumlah pelanggan tak terbatas

g. Laju pelayanan sama pada semua server

3.3 Flowchart Simulasi

Dalam pengerjaan simulasi, dibutuhkan flowchart (diagram alir) dari

program yang akan dibuat untuk memudahkan dalam pemahaman kerja dari

program simulasi yang dibuat. Parameter Kinerja dari sistem antrian M/G/1 ini

akan dibuat variabelnya sehingga dapat dikerjakan dalam bentuk simulasi yaitu :

1. Bilangan acak (Ui) 5. Waktu selesai dilayani (ts)

2. Waktu kedatangan (tk) 6. Waktu antri (tan)

3. Waktu transaksi (tt) 7. Waktu dalam sistem (tds)

4. Waktu mulai transaksi (tm)

Setelah penentuan dari variabel yang digunakan untuk kode simulasi maka

program tersebut dijalankan. Simulasi dilakukan beberapa kali sampai dan

(20)

Untuk simulasi ini, maka program dijalankan berdasarkan jumlah paket

yang masuk kedalam sistem antrian. Berikut ini adalah langkah-langkah yang

dilakukan untuk menganalisis kinerja sistem antrian:

1. Pembangkitkan variabel acak dengan rumus Z[i]. Z[i] adalah bilangan yang

akan menghasilkan bilangan acak U[i] sebanyak N.

2. Penentuan waktu kedatangan masing-masing paket. Waktu kedatangan (tk)

paket ditentukan dengan cara menjumlahkan waktu kedatangan (tk)

pelanggan sebelumnya dengan waktu antar kedatangan yang terdistribusi

eksponensial, sehingga :

tk[i] = tk[i-1] + (-1/λ).ln(U[i]) (3.1)

3. Penentuan waktu transaksi masing-masing paket. Waktu transaksi (tt) paket

ditentukan dengan cara penyesuaian bilangan pengali panjang paket dan

kecepatan server. Ditentukan kecepatan server 1Mbps atau 106, sehingga

a. Untuk M/M/1:

tt[i] = - (pengali panjang paket/106).ln(U[i] (3.2)

b. Untuk M/D/1:

tt[i] = pengali panjang paket/106 (3.3)

4. Penetuan waktu mulai transaksi (tm) masing masing paket. Adapun

syarat-syaratnya sebagai berikut :

a) Jika waktu kedatangan (tk) paket tersebut lebih besar dari waktu selesai

transaksi (ts) paket sebelumnya, maka waktu mulai transaksi (tm) paket

berikutnya sama dengan waktu kedatangan (tk) paket tersebut sehingga :

(21)

b) jika waktu kedatangan (tk) paket tersebut kurang dari atau sama dengan

waktu selesai transaksi (ts) paket sebelumnya, maka waktu mulai

transaksi (tm) paket berikutnya sama dengan waktu selesai transaksi (ts)

paket sebelumnya, sehingga :

tm[i] = ts[i-1], jika ts[i-1] ≥ tk[i] (3.5)

5. Penentuan waktu selesai transaksi (ts) dilakukan dengan menjumlahkan lama

waktu transaksi (tt) dengan waktu mulai dilayani (tm) setiap paket, yaitu :

ts[i] = tt[i] + tm[i] (3.6)

6. Penentuan waktu antrian (tan) dilakukan dengan melakukan pengurangan

waktu mulai transaksi (tm) dengan waktu kedatangan (tk) setiap paket, yaitu :

tan[i] = tm[i] – tk[i] (3.7)

7. Penentuan waktu dalam sistem (tds) dengan menjumlahkan lama waktu antri

(tan) dengan waktu transaksi (tt) setiap paket, yaitu :

tds[i] = tan[i] + tt[i] (3.8)

Untuk simulasi, kinerja sistem antrian dilakukan perhitungan ini:

1. Rata-rata waktu dalam antrian (Wq) adalah :

Wq =total waktu antri

N =

Wqtotal

N (3.9)

2. Rata-rata waktu dalam pelayanan atau rata rata waktu transaksi E(t):

ttr =total waktu pelayanan

N =

tttotal

N (3.10)

3. Rata-rata waktu dalam sistem (Ws) adalah :

Ws =total waktu dalam sistem

N =

Wstotal

N (3.11)

4. Rata-rata jumlah paket dalam antrian (Lq) adalah :

Lq = total waktu antri waktu selesai paket ke N=

Wqtotal

(22)

5. Rata-rata jumlah paket dalam pelayanan adalah

L = total waktu pelayanan waktu selesai pak et ke N∗tttotal =

tttotal

ts[N]∗tttotal (3.13)

6. Rata-rata jumlah paket dalam sistem (Ls) adalah :

Ls =total waktu dalam sistem waktu selesai paket ke N =

Wstotal

ts[N] (3.14)

3.3.1 Pembangkitan Bilangan Acak

Pembangkitan bilangan acak ini digunakan untuk membangkitan

bilangan yang acak untuk waktu kedatangan paket dan lama transaksi atau

pelayanan. Bilangan acak menggunakan metode Line Linear Congruential

Generators (LCG). Urutan dari bilangan bulat Z1, Z2, … menggunakan

persamaan :

Z[i] = (a. Z[i-1] + c)(mod m) (3.15)

Didalam program simulasi maka akan diinputkan pertama sekali

parameter untuk pembangkitan bilangan acak yaitu a, c, m, dan Z0 dan

jumlah paket. Pemilihan angka a, c, m , Zo harus sesuai dengan

persyaratan-persyaratan dalam memilih bilangan acak atau random. Jika tidak sesuai

maka program biasanya akan mengalami error atau hang. Untuk

mendapatkan bilangan acak Ui pada interval [0,1], maka menggunakan

persamaan:

U[i] =Z[i]/m (3.16)

Adapun diagram alir untuk pembangkitan bilangan acak dengan dapat

(23)

Gambar 3.3 Diagram Alir Pembangkitan Nilai Acak Metode LCG

3.3.2 Waktu Kedatangan Paket

Waktu kedatangan paket merupakan waktu ketika paket sampai di

dalam sistem. Waktu kedatangan paket dihasilkan dari penjumlahan waktu

kedatangan (tk) pelanggan sebelumnya dengan waktu antar kedatangan yang

terdistribusi eksponensial. Adapun diagram alir untuk menghasilkan waktu

kedatangan paket (tk) dapat dilihat pada Gambar 3.4.

Gambar 3.4 Diagram Alir Waktu Kedatangan Paket

(24)

3.3.3 Waktu Transaksi Paket

Waktu transaksi paket merupakan lamanya waktu pelayanan oleh

server untuk setiap paket. Waktu transaksi diperoleh dari nilai Z[i] dan U[i] yang telah didapatkan dengan pembangkitan bilangan acak. Adapun

diagram alir untuk menghasilkan waktu transaksi paket (tt) dapat dilihat

pada Gambar 3.5.

Gambar 3.5 Diagram Alir Waktu Transaksi Paket

3.3.4 Waktu Mulai Transaksi Paket

Waktu mulai transaksi paket merupakan waktu saat mulai dilayani

oleh server ketika paket yang telah tiba didalam sistem. Paket pertama yang

langsung mulai dilayani karena tidak ada antrian paket sebelumnya, paket

berikutnya dimulai pada saat server sudah tidak ada lagi antrian atau jika

paket sebelumnya telah selesai dilayani atau. Adapun diagram alir untuk

menghasilkan waktu mulai transaksi paket (tm) dapat dilihat pada Gambar

(25)

Gambar 3.6 Diagram Alir Waktu Mulai Transaksi

3.3.5 Waktu Selesai Transaksi Paket

Waktu selesai transaksi paket merupakan waktu ketika paket sudah

selesai dilayani oleh server, sehingga keluar dari server. Waktu selesai

transaksi paket dihasilkan dengan menjumlahkan waktu kedatangan paket

dengan waktu lamanya transaksi paket tersebut dalam sistem. Adapun

diagram alir waktu selesai transaksi paket (ts) dapat dilihat pada Gambar

3.7.

Gambar 3.7 Diagram Alir Waktu Selesai Transaksi

START

(26)

3.3.6 Waktu Antri Paket

Waktu antri paket merupakan waktu mulai menunggu untuk dilayani

oleh server ketika setiap paket yang telah tiba didalam sistem, dikarenakan

masih adanya paket yang sedang dalam proses pelayanan. Waktu antri paket

diperoleh dengan mengurangkan waktu mulai transaksi paket tersebut

dengan waktu kedatangan paket tersebut ke dalam sistem. Adapun diagram

alir untuk waktu antri (tan) dapat dilihat pada Gambar 3.8

Gambar 3.8 Diagram Alir Waktu Antri

3.3.7 Lama Waktu Paket di Dalam Sistem

Lama waktu paket di dalam sistem merupakan lamanya suatu paket

dalam antrian dan server atau lamanya setiap paket tersebut berada didalam

sistem. Lama waktu paket didalam sistem dapat diperoleh dengan

menjumlahkan lama waktu transaksi paket tersebut dengan lamanya paket

tersebut mengantri di dalam sistem. Adapun diagram alir untuk memperoleh

lama waktu didalam sistem (tds) dapat dilihat pada Gambar 3.9.

START

Inisialisasi tm[i], tk[i], N

tan[i] = tm[i] - tk[i]

Input Tabel Waktu Antri

i ++

i ≤ N

STOP

YES

(27)

Gambar 3.9 Diagram Alir Waktu di Dalam Sistem

START

Inisialisasi tt[i], tan[i], N

tds[i] = tt[i] + tan[i]

Input Tabel Waktu Dalam Sistem

i ++

i ≤ N

STOP YES

(28)

BAB IV

ANALISIS KINERJA SISTEM ANTRIAN M/G/1

4.1 Hasil Simulasi

Pada bab ini ditampilkan hasil simulasi yang telah dijalankan. Hasil-hasil

tersebut dimuat ke dalam tabel. Kemudian dilakukan juga perhitungan teoritis

menggunakan rumus. Selanjutnya dibandingkan hasil dari simulasi dan

perhitungan teoritis tersebut.

Setelah syntax dari simulasi telah dapat di compile dan di run, maka

pertama sekali yang dijumpai menginputkan parameter pembangkitan bilangan

acak. Bilangan yang diambil adalah : a = 65539, c = 987657 , m = 2147483647,

Z[0]=894573 sesuai dengan persyaratan pemilihan bilangan pada pembangkitan

bilangan acak. Dan kemudian menginputkan bilangan 10000 untuk jumlah paket.

(29)

Gambar 4.2 Tampilan Awal Simulasi M/D/1

Adapun logika program berjalan seperti pada rumus dan flowchart

program pada Bab III dan tabel pertama yang didapatkan adalah pembangkitan

bilangan acak yang dapat dilihat pada Tabel 4.1 pada interval [0,1].

Tabel 4.1 Nilai Bilangan Acak Metode LCG

i M/M/1 M/D/1

Z[i] U[i] Z[i] U[i]

0 894573 -- 894573 --

1 648347648 0.301910 648347648 0.301910

2 1946176896 0.906259 1946176896 0.906259

3 696313856 0.324246 696313856 0.324246

4 1686131456 0.785166 1686131456 0.785166

5 8440067 0.003930 8440067 0.003930

6 1251213568 0.582642 1251213568 0.582642 7 1627428096 0.757830 1627428096 0.757830

8 939573760 0.437523 939573760 0.437523

9 1778413568 0.828138 1778413568 0.828138

10 771806208 0.359400 771806208 0.359400

… … … … …

(30)

Kemudian didapatkan hasil untuk waktu kedatangan paket (tk) tiap-tiap

paket yang terdapat pada Tabel 4.2.

Tabel 4.2 Waktu Kedatangan

Kemudian didapatkan hasil untuk waktu transaksi (tt) tiap-tiap paket yang

terdapat pada Tabel 4.3.

Tabel 4.3 Waktu Transaksi

Paket ke i M/M/1 M/D/1

(31)

tt (detik) tt (detik)

10 0.000051 0.000050

… … …

10000 0.000065 0.000050

Kemudian didapatkan hasil untuk waktu mulai transaksi (tm) tiap-tiap

Tabel 4.4 Waktu Mulai

Kemudian didapatkan hasil untuk waktu selesai transaksi (ts) tiap-tiap

Tabel 4.5 Waktu Selesai

10000 1.003540 1.003540

ts (detik) ts (detik)

1 0.000179 0.000170

2 0.000184 0.000220

(32)

Kemudian didapatkan hasil untuk waktu antri (tan) tiap-tiap paket yang

terdapat pada Tabel 4.6.

Tabel 4.6 Waktu Antri

10000 0.000000 0.000000

Kemudian didapatkan hasil untuk waktu dalam sistem (tds) tiap-tiap paket

yang terdapat pada Tabel 4.7.

(33)

Tabel 4.7. Waktu Dalam Sistem

10000 0.000065 0.000050

Adapun perhitungan yang terjadi di dalam program adalah sebagai berikut:

1. Rata-rata waktu dalam antrian (Wq)

Dalam simulasi, hasil dan perhitungan yang dilakukan adalah :

a. M/M/1

2. Rata-rata waktu dalam pelayanan (E(t))

a. M/M/1

(34)

ttr = tttotal N =

0.5

10000 = 0.000050 detik

b. M/D/1

tttotal = 0.5 detik

ttr = tttotal N =

0.5

10000 = 0.000050 detik

3. Rata-rata waktu dalam sistem (Ws)

a. M/M/1

Wstotal = 0.92 detik

Ws = Wstotal N =

0.92

10000= 0.000092 detik

b. M/D/1

4. Jumlah paket dalam antrian (Lq)

a. M/M/1

1.003605 = 0.232784 paket

5. Jumlah paket dalam pelayanan (L)

a. M/M/1

(35)

b. M/D/1

L = tttotal ts[10000]∗tttotal=

0.5

1.003590∗0.5 = 0.996423 paket

6. Jumlah paket dalam sistem (Ls)

Dalam simulasi, hasil dan perhitungan yang dilakukan adalah

a. M/M/1

Ls = Wstotal ts[10000] =

0.92

1.003605 = 0.912893 paket

b. M/D/1

Ls = Wstotal ts[10000] =

0.733651

1.003599 = 0.731027 paket

Simulasi pun dilakukan dengan memasukkan inputan berdasarkan banyak

paket. Tampilan hasil simulasi untuk kedua model dapat dilihat pada Gambar 4.3.

(a)

(b)

(36)

4.1.1 Hasil Simulasi 10000 paket

1. Simulasi 1

Simulasi 1 dilakukan dengan penyesuaian bilangan pengali panjang

paket sebesar 49.824 untuk hasil M/M/1 dan 49.994 untuk hasil

M/D/1 pada rumus waktu transaksi. Hasil dari simulasi kinerja

sistem antrian ini dapat dilihat pada Tabel 4.8.

Dimana:

λ = 10000 paket/detik

µ = 1

rata rata waktu pelayanan

= 1 0.000050

= 20000 paket / detik

Sehingga, didapatkan utilisasi sebesar,

ρ = _�λ

=

10000

20000

= 0.5

Tabel 4.8 Hasil Simulasi 1

No Parameter

Hasil M/M/1 Hasil M/D/1

1 Wq (detik) 0.000042 0.000023

2 E(t) (detik) 0.000050 0.000050

3 Ws (detik) 0.000092 0.000073

4 Lq (paket) 0.414689 0.232784

5 L (paket) 0.996407 0.996423

(37)

2. Simulasi 2

Dimana:

µ = 1

= 1 0.000060

ρ = λ �

=

10000 16666

= 0.6

. Tabel 4.9 Hasil Simulasi 2

No Parameter

1 Wq (detik) 0.000064 0.000039

2 E(t) (detik) 0.000060 0.000060

3 Ws (detik) 0.000124 0.000099

4 Lq (paket) 0.633758 0.390603

5 L (paket) 0.996389 0.996385

(38)

3. Simulasi 3

Dimana:

µ = 1

= 1 0.000070

ρ = λ �

=

10000 14285

= 0.7

No Parameter

1 Wq (detik) 0.000093 0.000064

2 E(t) (detik) 0.000070 0.000070

3 Ws (detik) 0.000163 0.000134

4 Lq (paket) 0.921665 0.635135

5 L (paket) 0.996300 0.996295

(39)

4.2.2 Hasil Simulasi 25000 paket

1. Simulasi 4

Dimana:

µ = 1

rata rata waktu pel ayanan

= 1 0.000020

ρ = _�λ

=

25000 50000

= 0.5

No Parameter

1 Wq (detik) 0.000017 0.000009

2 E(t) (detik) 0.000020 0.000020

3 Ws (detik) 0.000037 0.000029

4 Lq (paket) 0.415985 0.233355

5 L (paket) 0.996472 0.996463

(40)

2. Simulasi 5

Dimana:

λ = 25000 paket / detik

µ = 1

= 1 0.000024

ρ = λ �

=

25000 41666

= 0.6

No Parameter

1 Wq (detik) 0.000026 0.000016

2 E(t) (detik) 0.000024 0.000024

3 Ws (detik) 0.000050 0.000040

4 Lq (paket) 0.636376 0.391086

5 L (paket) 0.996458 0.996447

(41)

3. Simulasi 6

Dimana:

λ = 25000 paket / detik

µ = 1

= 1 0.000028

ρ = λ �

=

25000 35714

= 0.7

No Parameter

1 Wq (detik) 0.000037 0.000026

2 E(t) (detik) 0.000028 0.000028

3 Ws (detik) 0.000065 0.000054

4 Lq (paket) 0.924880 0.635315

5 L (paket) 0.996444 0.996427

(42)

4.2.3 Hasil Simulasi 50000 paket

1. Simulasi 7

paket sebesar 9.97 untuk hasil M/M/1 dan 10 untuk hasil M/D/1

pada rumus waktu transaksi. Hasil dari simulasi kinerja sistem

antrian ini dapat dilihat pada Tabel 4.14.

Dimana:

µ = 1

= 1 0.000010

ρ = _�λ

=

50000

100000

= 0.5

No Parameter

1 Wq (detik) 0.000008 0.000005

2 E(t) (detik) 0.000010 0.000010

3 Ws (detik) 0.000018 0.000015

4 Lq (paket) 0.416021 0.233891

5 L (paket) 0.996684 0.996675

(43)

2. Simulasi 8

Dimana:

µ = 1

= 1 0.000012

= 83333 paket /detik

ρ = λ �

=

50000

833333

= 0.6

No Parameter

1 Wq (detik) 0.000013 0.000008

2 E(t) (detik) 0.000012 0.000012

3 Ws (detik) 0.000025 0.000020

4 Lq (paket) 0.635381 0.390501

5 L (paket) 0.996673 0.996665

(44)

3. Simulasi 9

Dimana:

µ = 1

= 1 0.000014

= 71428 paket /detik

ρ = λ �

=

50000 71428

= 0.7

No Parameter

1 Wq (detik) 0.000019 0.000013

2 E(t) (detik) 0.000014 0.000014

3 Ws (detik) 0.000033 0.000027

4 Lq (paket) 0.923709 0.636063

5 L (paket) 0.996662 0.996655

(45)

4.2 Hasil Teoritis

Dalam tugas akhir ini dilakukan juga perhitungan kinerja dari sistem antrian

M/G/1 berdasarkan rumus teoritis yang telah didapatkan dari buku-buku referensi.

Perhitungan dilakukan berdasarkan hasil yang didapatkan pada simulasi.

Dilakukan perhitungan untuk parameter kinerja sistem antrian, yaitu rata-rata

waktu dalam antrian, pelayanan, dan sistem serta rata-rata jumlah paket dalam

antrian, pelayanan, dan sistem. Digunakan rumus M/M/1, M/D/1 dan M/G/1 yang

umum berdasarkan ada atau tidaknya variansi.

1. Perhitungan menggunakan rumus M/M/1, sebagai berikut ini :

Pada Simulasi 1 didapatkan utilisasi sebesar 0.5 dengan λ = 10000 paket/detik

dan µ = 20000 paket/detik, kemudian digunakan rumus pada M/M/1, sehingga

didapatkan :

20000− 10000 =0.000050 detik

Lq = λ2

2. Perhitungan menggunakan rumus M/D/1, sebagai berikut ini :

dan µ = 20000 paket/detik, kemudian digunakan rumus pada M/D/1, sehingga

(46)

E(t) = 1

2(20000 )(20000−10000 )= 0.000025 detik

Ws = Wq +1

3. Perhitungan menggunakan rumus M/G/1, sebagai berikut ini :

dan µ = 20000 paket/detik, kemudian digunakan rumus pada M/D/1, sehingga

didapatkan :

E(t) = 1

μ

=

1

20000

= 0.000050 detik

a. Jika terdapat variansi, untuk memperoleh variansi (var(t)), maka

var(t) = 1

b. Jika tidak terdapat variansi, maka

var(t) = 0

Lq =λ

2_[E2_{(t)+var (t)]} 2(1−λE(t)) =

100002[0.0000502+0]

(47)

Ls = Lq +λE(t)= 0.25 + 10000(0.00005) = 0.75 paket

Dengan cara yang sama, dilakukan perhitungan teoritis untuk setiap jumlah

paket yang disimulasikan yaitu 10000 paket, 20000 paket, dan 50000 paket.

4.2.1 Hasil Teori 10000 paket

1. Teori 1

Pada Simulasi 1, utilisasi sebesar 0.5 dengan λ = 10000 paket/detik

dan µ = 20000 paket/detik. Hasil perhitungan secara teori dapat

dilihat pada Tabel 4.17.

Tabel 4.17 Hasil Teori 1

No Parameter

Hasil Dengan Persamaan Teoritis

M/M/1 M/G/1

(48)

No Parameter

M/M/1 M/G/1

dilihat pada Tabel 4.19

No Parameter

M/M/1 M/G/1

4.2.2 Hasil Teori 25000 paket

1. Teori 4

dan µ = 50000 paket/detik. Hasil perhitungan secara teori dapat dilihat

(49)

No Parameter

M/M/1 M/G/1

No Parameter

M/M/1 M/G/1

Pada Simulasi 6 didapatkan utilisasi sebesar 0.7 dengan λ = 25000

paket/detik dan µ = 35714 paket/detik. Hasil perhitungan secara teori

(50)

No Parameter

M/M/1 M/G/1

4.2.3 Hasil Teori untuk 50000 paket

1. Teori 7

No Parameter

M/M/1 M/G/1

Pada Simulasi 8 didapatkan utilisasi sebesar 0.6 dengan λ = 50000

paket/detik dan µ = 83333 paket/detik. Hasil perhitungan secara

(51)

No Parameter

M/M/1 M/G/1

No Parameter

M/M/1 M/G/1

Adapun perhitungan teoritis juga dapat dihitung menggunakan

program bahasa C yang dapat mempercepat perhitungan. Program

penghitung kinerja sistem antrian M/G/1 pada jaringan packet switching ini

(52)

4.3 Perbandingan Hasil Simulasi dengan Hasil Teoritis

Hasil dari masing masing perhitungan yaitu perhitungan secara simulasi dan

secara teori kemudian dibandingkan. Hal ini dilakukan agar diketahui apakah hasil

simulasi mendekati hasil teori atau tidak. Hasil simulasi dengan hasil teori

dibandingkan berdasarkan dengan utilisasi terhadap setiap parameternya.

Perbandingan parameter kinerjanya adalah sebagai berikut :

4.3.1 Perbandingan rata-rata waktu dalam antrian (Wq)

Data perbandingan rata-rata waktu dalam antrian (Wq) dibandingkan

setiap utilisasi (ρ) = 0.5, 0.6, dan 0.7 Tabel 4.26 memperlihatkan

perbandingan kinerja dari parameter tersebut.

Tabel 4.26 Perbandingan Rata-rata Waktu dalam Antrian (Wq)

Perbandingan Rata-rata Waktu dalam Antrian (Wq)

No Jumlah

0.5 0.000042 0.000050 0.000023 0.000025

2 0.6 0.000064 0.000090 0.000039 0.000045

3 0.7 0.000093 0.000163 0.000064 0.000082

4

25000

0.5 0.000017 0.000020 0.000009 0.000010

5 0.6 0.000026 0.000036 0.000016 0.000018

6 0.7 0.000037 0.000065 0.000026 0.000033

7

50000

0.5 0.000008 0.000010 0.000005 0.000005

8 0.6 0.000013 0.000018 0.000008 0.000009

(53)

(a)

(b)

(c)

Gambar 4.4 Grafik Perbandingan Rata-rata Waktu dalam Antrian (Wq)

(54)

Gambar 4.4 menunjukkan grafik perbandingan rata-rata waktu

dalam antrian secara simulasi dan teori. Dimana dapat dianalisis bahwa:

1. Hasil dari kedua jenis antrian, untuk setiap jumlah paket terhadap setiap

utilitas, diperoleh hasil teori lebih besar daripada hasil pada simulasi.

2. Besar rata-rata perbedaan kedua hasil pada utilisasi 0.5, 0.6 dan 0.7

adalah 13.6%, 26.3%, dan 50.46%

4.3.2 Perbandingan rata-rata waktu dalam pelayanan (E(t))

Data perbandingan rata-rata waktu dalam pelayanan (E(t))

dibandingkan setiap utilisasi (ρ) = 0.5, 0.6, dan 0.7. Tabel 4.27

memperlihatkan perbandingan kinerja dari parameter tersebut.

Tabel 4.27 Perbandingan Rata-rata Waktu dalam Pelayanan (E(t))

Perbandingan Rata-rata Waktu dalam Pelayanan (E(t))

No Jumlah

0.5 0.000050 0.000050 0.000050 0.000050

2 0.6 0.000060 0.000060 0.000060 0.000060

3 0.7 0.000070 0.000070 0.000070 0.000070

4

25000

0.5 0.000020 0.000020 0.000020 0.000020

5 0.6 0.000024 0.000024 0.000024 0.000024

6 0.7 0.000028 0.000028 0.000028 0.000028

7

50000

0.5 0.000010 0.000010 0.000010 0.000010

8 0.6 0.000012 0.000012 0.000012 0.000012

(55)

(a)

(b)

(c)

Gambar 4.5 Grafik Perbandingan Rata-rata Waktu dalam Pelayanan (E(t))

(56)

Gambar 4.5 menunjukkan grafik perbandingan rata-rata waktu dalam

pelayanan secara simulasi dan teori. Dimana dapat dianalisis bahw :

2. Besar perbedaan kedua hasil pada utilisasi 0.5, 0.6 dan 0.7 adalah 0%

semua.

4.3.3 Perbandingan Rata-rata Waktu dalam Sistem (Ws)

Data perbandingan rata-rata waktu dalam sistem (Ws) dibandingkan

setiap utilisasi (ρ) = 0.5, 0.6, dan 0.7. Tabel 4.28 memperlihatkan

Tabel 4.28 Perbandingan Rata-rata Waktu dalam Sistem (Ws)

Perbandingan Rata-rata Waktu dalam Sistem (Ws)

No Jumlah

0.5 0.000092 0.000100 0.000073 0.000075

2 0.6 0.000124 0.000150 0.000099 0.000105

3 0.7 0.000163 0.000233 0.000134 0.000152

4

25000

0.5 0.000037 0.000040 0.000029 0.000030

5 0.6 0.000050 0.000060 0.000040 0.000042

6 0.7 0.000065 0.000093 0.000054 0.000061

7

50000

0.5 0.000018 0.000020 0.000018 0.000020

8 0.6 0.000025 0.000030 0.000025 0.000030

(57)

(a)

(b)

(c)

Gambar 4.6 Grafik Perbandingan Rata-rata Waktu dalam Sistem (Ws)

(58)

Gambar 4.6 menunjukkan grafik perbandingan rata-rata waktu dalam

sistem secara simulasi dan teori. Dimana dapat dianalisis bahwa

2. Besar perbedaan kedua hasil pada utilisasi 0.5, 0.6 dan 0.7 adalah 7.54%,

15.33%, dan 32.9%

4.3.4 Perbandingan Rata-rata Jumlah Paket dalam Antrian (Lq)

Data perbandingan rata-rata jumlah paket dalam antrian (Lq)

Tabel 4.29 Perbandingan Rata-rata Jumlah Paket dalam Antrian (Lq)

Perbandingan Rata-rata Jumlah Paket dalam Antrian (Lq)

(59)

(a)

(b)

(c)

Gambar 4.7 Grafik Perbandingan Rata-rata Jumlah Paket dalam Antrian (Lq)

(60)

Gambar 4.7 menunjukkan grafik perbandingan rata-rata jumlah

paket dalam antrian secara simulasi dan teori. Dimana dapat dianalisis

bahwa :

28.43% dan 52.5%

4.3.5 Perbandingan Rata-rata Jumlah Paket dalam Pelayanan (L)

Data perbandingan rata-rata jumlah paket dalam pelayanan (L)

Tabel 4.30 Perbandingan Rata-rata Jumlah Paket dalam Pelayanan (L)

Perbandingan Rata-rata Jumlah Paket dalam Pelayanan (L)

(61)

(a)

(b)

(c)

Gambar 4.8 Grafik Perbandingan Rata-rata Jumlah Paket dalam Pelayanan (L)

(62)

Pada Gambar 4.8 menunjukkan grafik perbandingan rata-rata

jumlah paket dalam antrian secara simulasi dan teori. Dimana dapat

dianalisis bahwa

0.35%, dan 0.35%.

4.3.6 Perbandingan Rata-rata Jumlah Paket dalam Sistem (Ls)

Data perbandingan rata-rata jumlah paket sistem (Ls) dibandingkan

setiap utilisasi (ρ) = 0.5, 0.6, dan 0.7. Tabel 4.31 memperlihatkan

Tabel 4.31 Perbandingan Rata-rata Jumlah Paket dalam Sistem (Ls)

Perbandingan Rata-rata Jumlah Paket dalam Sistem (Ls)

(63)

(a)

(b)

(c)

Gambar 4.9 Grafik Perbandingan Rata-rata Jumlah Paket dalam Sistem (Ls)

(64)

Gambar 4.9 menunjukkan grafik perbandingan rata-rata jumlah

paket dalam antrian secara simulasi dan teori. Dimana dapat dianalisis

bahwa

13.9%, dan 28.7%

4. 4 Selang Kepercayaan (Confidence Interval)

Selang kepercayaan adalah sebuah interval antara dua nilai, dimana

dipercaya nilai parameter sebuah populasi tereletak di dalam interval tersebut.

Selang kepercayaan dinyatakan dalam level 95%. Pengambilan data simulasi

diambil berulang kali dengan mengganti angka c dan Z0 pada pembangkitan

bilangan acak, karena nilai a dan m sudah merupakan ketetapan. Selang

kepercayaan 95% dicari untuk setiap parameter kinerja sistem antrian.

Untuk mendapatkan selang kepercayaan dari hasil simulasi, dilakukan

pengambilan sampel data hasil simulasi berdasarkan syarat berikut:

1. Jumlah paket yang diamati = 10000 paket

2. Laju kedatangan rata-rata paket (λ) = 10000 paket/detik

3. Laju transaksi rata-rata paket (µ) = 20000 paket/detik

4. Kecepatan server = 1 Mbps

5. Penyesuaian pengali panjang paket untuk M/M/1 = 49.824

(65)

7. Pengambilan data simulasi sebanyak 3 kali, nilai c dan Z0 pada

pengambilan pertama adalah 987657 dan 894573, pada pengambilan

kedua adalah 997319 dan 837623, dan pada pengambilan ketiga adalah

977543 dan 873931.

Teknik estimasi rata-rata µ yang digunakan pada sampel tersebut adalah

menggunakan t-interval, dimana nilai simpangan baku populasi tidak diketahui,

sehingga rumus untuk selang kepercayaan sebesar (1-α ) 100% adalah :

�̅ − �(��;��₂)

Sehingga untuk selang kepercayaan 95 % dan 3 kali percobaan, rumus

akan menjadi sebagai berikut ini :

95% = (1-α ) 100% , maka α = 0.05, n = 3, df = n-1 = 3-1 = 2; ��₂=0.025.

Nilai t-interval untuk selang kepercayaan 95% adalah 4.303 (didapatkan dari tabel

t-student, ��₂=0.025 dan derajat bebas = 2).

Sehingga rumus menjadi :

�̅ −4.303 �

√� < µ < �̅+ 4.303 �

√� (4.2)

Tabel 4.32 menunjukkan hasil pengambilan hasil parameter sebanyak 3

(66)

Tabel 4.32 Data Sampel untuk M/M/1

Sampel Wq (detik) E(t) (detik) Ws (detik) Lq (paket) L (paket) Ls (paket) 1 0.00004200 0.00005000 0.00009200 0.41468900 0.99640700 0.91289300 2 0.00003400 0.00005200 0.00008600 0.32710700 0.99638000 0.82533800 3 0.00004200 0.00005000 0.00009200 0.41674200 0.99630000 0.91496100

�̅ 0.00003933 0.00005067 0.00009000 0.38617933 0.99636233 0.88439733 s 0.00000462 0.00000115 0.00000346 0.05116844 0.00005564 0.05115733

Tabel 4.33 Data Sampel untuk M/D/1

Sampel Wq (detik) E(t) (detik) Ws (detik) Lq (paket) L (paket) Ls (paket) 1 0.00002300 0.00005000 0.00007300 0.23278400 0.99642800 0.73102700 2 0.00002400 0.00005000 0.00007400 0.23513600 0.99638500 0.71512200 3 0.00002300 0.00005000 0.00007300 0.23363200 0.99629500 0.73211600

�̅ 0.00002333 0.00005000 0.00007333 0.23385067 0.99636933 0.72608833 s 0.00000058 0.00000000 0.00000058 0.00119115 0.00006787 0.00951272

4.4.1 Selang Kepercayaan (Confidence Interval) 95% untuk Rata-rata Waktu dalam Antrian

a. M/M/1

Selang kepercayaan 95% untuk Wq adalah sebagai berikut

�̅ −4.303 �

√�< µ < �̅+ 4.303 � √�

0.00003933−4.3030.00000462

√3 <µWq< 0.00003933+ 4.303

0.00000462

√3

0_.00002786_<_µ

(67)

b. M/D/1

Selang kepercayaan 95% untuk Wq adalah sebagai berikut

�̅ −4.303 �

√�< µ < �̅+ 4.303 � √�

0.00002333−4.3030.00000058

√3 <µWq< 0.00002333+ 4.303

0.00000058

√3

0_.00002158_<_µ

Wq< 0.00002509

4.4.2 Selang Kepercayaan (Confidence Interval) 95% untuk Rata-rata Waktu dalam Pelayanan

a. M/M/1

Selang kepercayaan 95% untuk E(t) adalah sebagai berikut

�̅ −4.303 �

√�< µ < �̅+ 4.303 � √�

0.00005067−4.3030.00000115

√3 <µE(t)< 0.00005067+ 4.303

0.00000115

√3

0.00004780_<_µ

E(t)< 0.00005354

b. M/D/1

Selang kepercayaan 95% untuk E(t) adalah sebagai berikut

�̅ −4.303 �

√�< µ < �̅+ 4.303 � √�

0.00005000−4.303 0

√3<µE(t)< 0.00005000+ 4.303

0

√3

0_.00005000_<_µ

(68)

4.4.3 Selang Kepercayaan (Confidence Interval) 95% untuk Rata-rata Waktu dalam Sistem

a. M/M/1

Selang kepercayaan 95% untuk Ws adalah sebagai berikut

�̅ −4.303 �

√�< µ < �̅+ 4.303 � √�

0.00009000−4.3030.000003460

√3 <µWs< 0.00009000+ 4.303

0.000003460

√3

0.00008139_<_µ

Ws< 0.00009861

b. M/D/1

Selang kepercayaan 95% untuk Ws adalah sebagai berikut

�̅ −4.303 �

√�< µ < �̅+ 4.303 � √�

0.00007333−4.3030.00000058

√3 <µWs< 0.00007333+ 4.303

0.00000058

√3

0_.00007158_<_µ

Ws< 0.00007509

4.4.4 Selang Kepercayaan (Confidence Interval) 95% untuk Jumlah Paket dalam Antrian

a. M/M/1

Selang kepercayaan 95% untuk Lq adalah sebagai berikut

�̅ −4.303 �

√�< µ < �̅+ 4.303 � √�

0.38617933−4.3030.05116844

√3 <µ��< 0.38617933+ 4.303

0.05116844

√3

0_.25905963_<_µ

(69)

b. M/D/1

Selang kepercayaan 95% untuk Lq adalah sebagai berikut

�̅ −4.303 �

√�< µ < �̅+ 4.303 � √�

0.23385067−4.3030.00119115

√3 <µ��< 0.23385067−4.303

0.00119115

√3

0_.23022638_<_µ

��< 0.23747495

4.4.5 Selang Kepercayaan (Confidence Interval) 95% untuk Jumlah Paket dalam Pelayanan

a. M/M/1

Selang kepercayaan 95% untuk L adalah sebagai berikut

�̅ −4.303 �

√�< µ < �̅+ 4.303 � √�

0.99636233−4.3030.00005564

√3 <µ�< 0.99636233+ 4.303

Selang kepercayaan 95% untuk L adalah sebagai berikut

�̅ −4.303 �

√�< µ < �̅+ 4.303 � √�

0.499636933−4.3030.01061208

√3 < µ�< 0.00006787+ 4.303

0.01061208

√3

0.99616283_<_µ

(70)

4.4.6 Selang Kepercayaan (Confidence Interval) 95% untuk Jumlah Paket dalam Sistem

a. M/M/1

Selang kepercayaan 95% untuk Ls adalah sebagai berikut

�̅ −4.303 �

√�< µ < �̅+ 4.303 � √�

0.88439733−4.3030.05115733

√3 <µ��< 0.88439733+ 4.303

0.05115733

√3

0_.75730521_<_µ

��< 1.01148945

b. M/D/1

Selang kepercayaan 95% untuk L s adalah sebagai berikut

�̅ −4.303 �

√�< µ < �̅+ 4.303 � √�

0.72608833−4.3030.00951272

√3 <µ��< 0.72608833−4.303

0.00951272

√3

0.69714417_<_µ

(71)

BAB V

KESIMPULAN DAN SARAN

5.1 Kesimpulan

Dari hasil analisis yang dilakukan maka dapat ditarik kesimpulan sebagai

berikut:

1. Untuk utilisasi 0.5, diperoleh hasil simulasi dan hasil teori : E(t) memiliki

nilai yang sama, sementara Wq, Ws, Lq, L, dan Ls yang berbeda dari 0.34%

sampai 12.3%.

sampai 28.43%.

sampai 52.5%.

4. Data-data yang diperoleh dari hasil simulasi dan hasil perhitungan teori

menunjukkan nilai yang mendekati (tidak jauh berbeda) antara perbandingan

kedua metode tersebut.

5. Grafik setiap parameter berdasarkan jumlah paket dan utilisasi (ρ)

menunjukkan bahwa hasil teori lebih besar dari hasil simulasi.

6. Semakin besar utilisasi (ρ) semakin besar juga perbedaan hasil kedua

(72)

5.2 Saran

Untuk pengembangan selanjutnya maka dapat dilakukan dengan

pengambilan data-data secara nyata di kehidupan sehari hari untuk menghasilkan

(73)

BAB II

LANDASAN TEORI

2.1 Umum

Antrian merupakan kejadian yang dapat dijumpai pada peristiwa-peristiwa

yang terjadi di kehidupan yang sehari-hari. Antrian ini tidak lepas dengan adanya

kegiatan menunggu karena di dalam antrian maka akan ada kegiatan menunggu,

contohnya seperti antrian pada kasir supermarket, antrian pada loket bus, antrian

pada pengisian BBM, antrian pada pembelian tiket bioskop dan

peristiwa-peristiwa lainnya.

Fasilitas pelayanan yang tidak dapat mencukupi kebutuhan (overcapacity)

yang ada akan menimbulkan adanya antrian. Untuk mengurangi peluang

terjadinya antrian ini, maka dilakukan berbagai cara, salah satunya adalah dengan

menambah fasilitas dari pelayanan. Penambahan fasilitas pelayanan cenderung

akan mengurangi dari keuntungan. Namun jika fasilitas pelayanan tidak

diperbaiki, maka kemungkinan pelanggan akan semakin berkurang. Oleh karena

itu, perlu adanya pengkajian yang tepat terhadap parameter-parameter antrian

sehingga dapat diambil keputusan yang tepat, dimana mendapatkan keuntungan di

kedua pihak, yaitu penggunan dan penyedia fasilitas.

Salah satu antrian yang dapat ditemui sehari hari dalam bidang komunikasi

adalah antrian yang terjadi pada jaringan packet switching. Packet

switching merupakan suatu metode pengiriman atau penerimaan dengan melalui

adanya proses pemecahan data kemudian dikirim menjadi beberapa bagian.

(74)

seri melalui satu jalur tertentu saja, tetapi bisa secara paralel dengan

memanfaatkan jalur koneksi lain yang tingkat kepadatannya tidak tinggi. Pada

jalur atau simpul di ujung packet switching ini terjadi adanya antrian.

2.2 Sejarah Teori Antrian

Teori antrian dipelopori oleh A. K. Erlang yang merupakan seorang insinyur

berkebangsaan Denmark, yang bekerja pada industri telepon. Adapun eksperimen

yang ia teliti adalah tentang masalah fluktuasi permintaan terhadap fasilitas

telepon dan pengaruhnya terhadap perangkat telepon yang otomatis (automatic

dialing equipment). Hal ini akan mengakibatkan pada waktu yang sibuk, operator

akan sangat kewalahan, yang menimbulkan terjadinya antrian yang cukup lama.

Erlang menerbitkan bukunya yang berjudul Solution of Some Problems in

Theory of Probabilities of Significance in Automatic Telephone Exchange pada

tahun 1917, setelah sebelumnya melakukan eksperimen dalam penghitungan

keterlambatan (delay)dari seorang operator dan penghitungan kesibukan beberapa

operator. Kemudian pada masa setelah Perang Dunia II, dilakukanlah

eksperimen-eksperimen lain yang lebih luas untuk memecahkan persoalan-persoalan umum

yang menyangkut masalah antrian[1].

2.3 Komponen Sistem Antrian

Komponen dasar dalam sistem antrian adalah kedatangan dan pelayanan.

Proses ntrian merupakan proses dimana pelanggan atau konsumen masuk ke

(75)

konsumen tersebut dilayana dan akhirnya selesai dilayani. Komponen dasar

proses antrian ada 3 yaitu[2]:

1. Sumber Kedatangan

Sumber kedatangan merupakan proses terjadinya kedatangan dari suatu

peristiwa. Sumber kedatangan ini bersifat acak yang dan dalam periode

waktu tertentu.

2. Pelayanan

Pelayanan merupakan tempat atau fasilitas yang akan menangani dari

konsumen. Pelayanan dapat terdiri dari satu atau lebih fasilitas pelayanan di

dalam suatu sistem antrian.

3. Antrian

Penentu antrian yaitu dari disiplin antrian, sifat kedatangan, dan proses

pelayanan.

Komponen antrian ini dapat dilihat pada Gambar 2.1.

Gambar 2.1 Komponen Proses Antrian

2.4 Struktur Dasar Sistem Antrian

Pada umumnya, struktur dasar sistem antrian dikelompokkan kedalam

empat model menurut sifat-sifat dan pelayanan, yaitu [2] :

SUMBER KEDATANGAN

(76)

1. Satu Saluran Satu Tahap

Satu saluran satu tahap (single channel single phase) adalah model antrian

dimana hanya ada satu jalur dan hanya ada satu fasilitas pelayanan. Sistem

antrian ini dapat dilihat pada Gambar 2.2.

Gambar 2.2 Satu Saluran Satu Tahap

2. Satu Saluran Banyak Tahap

Satu saluran banyak tahap (single channel multi phase) adalah model

antrian dimana hanya ada satu jalur, namun beberapa pelayanan. Sistem

Gambar 2.3 Satu Saluran Banyak Tahap

3. Banyak Saluran Satu Tahap

Banyak saluran dan satu tahap (multi channel single phase) adalah model

antrian dimana terdapat banyak jalur, namun hanya satu pelayanan. Sistem

(77)

4. Banyak Saluran Banyak Tahap

Banyak saluran banyak tahap (multichannel multi phase) adalah model

antrian dimana terdapat banyak jalur dan banyak fasilitas pelayanan. Sistem

Gambar 2.5 Banyak Saluran Banyak Tahap

2.5 Disiplin Sistem Antrian

Disiplin antrian adalah sebuah aturan untuk pelanggan dilayani atau disiplin

pelayanan (service discipline) sebagai urutan daripada para pelanggan untuk

ditangan dalam fasilitas pelayanan. Disiplin antrian berdasarkan urutan

kedatangan ini dapat didasarkan pada[2] :

1. First Come First Served (FCFS) atau First In First Out (FIFO)

FIFO merupakan disiplin antrian dimana yang akan dilayani lebih awal

adalah pelanggan yang datang terlebih dahulu. Contohnya dapat dilihat pada

antrian di loket karcis atau tiket.

2. Come First Served (LCFS) atau Last In First Out (LIFO)

LIFO merupakan disiplin antrian dimana yang akan dilayani lebih awal

adalah yang datang paling akhir. Contohnya dapat dilihat pada sistem

(78)

3. Service in Random Order (SIRO)

SIRO merupakan disiplin antrian dimana yang akan dilayani lebih awal

adalah acak atau tidak tergantung apapun. Contohnnya dapat dilihat pada

arisan.

4. Priority Service (PS)

PSmerupakan disiplin antrian dimana yang akan dilayani lebih awal adalah

yang diprioritas khusus. Contohnya dapat dilihat pada pesta dengan tamu

VIP.

5. Round Robin (RR)

RR merupakan disiplin antrian dimana untuk fasilitas pelayanan diberikan

pada jangka waktu tertentu saja. Contohnya dapat dilihat pada sistem

komputer yaitu parallel jobs.

2.6 Karakteristik Sistem Antrian

Dalam masalah teori dalam antrian, ada beberapa dasar asumsi tentang

aspek khusus yang terdapat di dalamnya. Dalam model dasar teori antrian ini,

asumsi-asumsi yang dibuat adalah[2]:

a. Sumber Populasi

Suatu populasi yang terbatas atau tidak terbatas bisa menjadi asal tempat

pengantri yang datang ke suatu sistem. Jika tidak terdapat batas untuk

jumlah pekerjaan yang boleh menunggu dalam suatu antrian, maka disebut

dengan antrian tidak terbatas, sedangkan antrian yang terdapat batas

(79)

b. Pola Kedatangan

Untuk menggambarkan pola kedatangan cara yang umum dipakai adalah

penggunaan waktu antar kedatangan sebagai interval antara kedatangan

yang datang secara berurutan. Bila kedatangan acak atau random secara

stokastik, maka diperlukan fungsi kerapatan probabilitas dari antar waktu

kedatangan.

c. Panjang Antrian

Panjang antrian dan sumber kedatangan biasanya adalah diasumsikan

sebagai jumlah yang tidak terbatas. Meski asumsi ini tidak dapat terjadi di

kehidupan nyata atau tidak realistis.

d. Disiplin Antrian

Disiplin antrian adalah suatu metode atau aturan untuk menentukan urutan

dari pekerjaan yang dilakukan oleh fasilitas pelayanan, dalam sistem antrian

paling sering digunakan adalah yang menurut urutan waktu kedatangan

mereka datang dalam antrian, yaitu yang pertama datang akan pertama

dilayani.

e. Pola Pelayanan

Pola pelayanan dalam proses antrian akan dengan salah satu bentuk

distribusi probabilita dari waktu pelayanan. Waktu pelayanan ini biasanya

paling sering terdistribusi eksponensial negatif.

f. Keluar

Bila konsumen telah selesai dilayani, maka akan keluar dari sistem,

(80)

2.7 Notasi Sistem Antrian

Sebuah notasi sistem merupakan penunjuk dari ciri khas suatu disiplin

antrian. Notasi sistem antrian ini merupakan kombinasi proses kedatangan dengan

pelayanan. Pada umumnya notasi antrian ini dikenal sebagai notasi Kendall,

yaitu[2]:

(a/b/c):(d/e/f) (2.1)

dimana simbol a,b,c,d,e, dan f ini merupakan unsur – unsur dasar dari model

sistem antrian. Penjelasan dari simbol – simbol ini adalah sebagai berikut:

a = Distribusi waktu kedatangan

b = Distribusi waktu pelayanan atau keberangkatan

c = Jumlah pelayan dalam paralel (dimana c = 1,2,3,…, ∞)

d = Disiplin Pelayanan

e = Jumlah maksimum yang diizinkan dalam sistem

f = Jumlah paket yang ingin memasuki sistem sebagai sumber

Notasi standar ini dapat diganti dengan kode – kode yang sebenarnya dari

distribusi – distribusi yang terjadi dan bentuk – bentuk lainnya, seperti:

M = Distribusi kedatangan atau keberangkatan dari proses Poisson. Dapat

juga menggunakan distribusi eksponensial.

D = Konstanta atau deterministic interarrival atau service time (waktu

pelayanan). K Jumlah pelayanan dalam bentuk paralelatau seri.

N = Jumlah maksimum paket dalam sistem.

Ed = Distribusi Erlang atau Gamma untuk waktu antar kedatangan atau

(81)

G = Distribusi umum dari service time atau keberangkatan (departure).

GI = Distribusi umum yang independen dari proses kedatangan.

GD = General Discipline (disiplin umum) dalam antrian.

NPD = Non-Preemptive Discipline

PRD = Preemptive Discipline

2.8 Sistem Antrian M/G/1

Model antrian (M/G/1) merupakan model antrian dimana untuk banyak

kedatangannya berdistribusi Poisson atau waktu antar kedatangan berdistribusi

Eksponensial, sedangan untuk waktu pelayanannya dijabarkan dengan sebuah

distribusi General atau umum dengan rata-rata waktu pelayanan (E(t)) dan varians

dari waktu pelayanan tersebut (var(t)). Dalam sistem antrian M/G/1, terdapat 2

jenis keadaan yaitu :

1. Ketika waktu pelayanan tiap paket berbeda-beda, sehingga terdapat variansi

(var(t)<0) pada waktu pelayanannya, maka antrian akan mengikuti disiplin

antrian M/M/1.

2. Ketika waktu pelayanan tiap paket konstan, sehingga tidak terdapat variansi

(var(t) = 0) pada waktu pelayanannya, maka antrian akan mengikuti disiplin

antrian M/D/1.

Dengan demikian, sistem antrian M/G/1 dengan terdapatnya varians pada

waktu pelayanannya adalah sistem antrian M/M/1 yaitu waktu pelayanannya

terdistribusi eksponesial. Sedangkan, sistem antrian M/G/1 dengan tidak

terdapatnya varians pada waktu pelayanannya adalah sistem antrian M/D/1 yaitu

(82)

Adapun pemodelan antrian paket dari salah satu simpul pada jaringan

Packet Switching yang menggunakan antrian M/G/1 dapat dilihat pada Gambar

2.6.

Gambar 2.6 Model Antrian Paket pada salah satu simpul Packet Switching

Parameter kinerja dari sistem antrina M/G/1 adalah E(t), var(t), Ls , Lq , Ws ,

Wq, dan ρ dimana [2]:

λ : rata-rata laju kedatangan paket (paket/detik)

µ : rata-rata laju transaksi paket (paket/detik)

E(t) : rata rata waktu pelayanan/transaksi (detik)

var(t) : variansi dari waktu pelayanan/transaksi (detik2)

Ls : rata-rata jumlah paket dalam sistem (paket)

Lq : rata-rata jumlah paket dalam antrian (paket)

Ws : rata-rata waktu dalam sistem (paket)

Wq : rata-rata waktu dalam antrian (paket)

� : menyatakan utilisasi

Untuk rumus secara umum perhitungan parameter M/G/1 dapat

menggunakan persamaan berikut :

E(t) = ttr = 1

μ (2.2)

PENGIRIM server PENERIMA

(83)

var(t) = 1

Untuk perhitungan parameter kinerja dengan rumus M/M/1 digunakan

persamaan berikut:

Untuk perhitungan parameter kinerja dengan rumus M/D/1 digunakan