Teori Antrian Antrian M/M/1. Rijal Fadilah

Teori Antrian

Antrian M/M/1

Dasar Antrian

• Pelanggan (customer) tiba untuk pelayanan, dan jika semua pelayan (server) sibuk, pelanggan diantrikan dan dilayani kemudian

• Parameter: Kecepatan kedatangan (arrival rate), kecepatan pelayanan (service rate), jumlah pelayan (server)

• Pengukuran: waktu tunggu, waktu pelayanan, waktu di dalam sistem, utilisasi server, jumlah pelanggan dalam antrian, jumlah pelanggan dlm sistem, ...

Dasar Antrian

• Single queue system biasa digunakan utk merepresentasikan shared resource networks

• Network of queues biasa digunakan utk merepresentasikan tipe jaringan yg lain

– Process networks

Resource Sharing Networks

• Time-shared computers (Programs: CPU/DISK/IO) • Statistical Multiplexer/Concentrator

• Packet-based (Packets: links) • Channel-based (Calls: channels)

• Multiple-access & random access networks (Packets: shared medium)

Resource Sharing Networks

• Ukuran performansi

– Waktu tunggu

– Probabilitas blocking

• Pertanyaan

– Bagaimana relasi antara jumlah user, pola penggunaan, jumlah resource dan performansi?

Process Networks

• Multi-stage switch

• Distributed simulation system • Manufacturing process

Process Networks

• Ukuran performansi

– Waktu penyelesaian (delay)

– Throughput (penyelesaian persatuan waktu)

• Pertanyaan

– Bagaimana performansi dipengaruhi oleh pola penggunaan berbeda?

– Proses mana yg menjadi “bottlenecks” yg membatasi performansi?

– Apakaha input berbeda diperlakukan secara adil dalam hal performansi?

Switching Networks

• Jaringan telepon (telepon: circuit switches) • Jaringan signaling telepon (switches; STP)

• Jaringan Paket X.25 (komputer: packet switches) • Internet (komputer: router)

Switching Networks

• Ukuran performansi

– Delay (end point to end point) – Throughput

– Utilization

– Blocking probability – Loss

• Pertanyaan

– Topologi jaringan yg terbaik? – Bagaimana me-routekan?

Apa yang Bisa Dipelajari?

Faktor

• Jumlah pelanggan

• Pola penggunaan (workload) • Karakteristik service • Jumlah resource Performansi • Waktu tunggu • Blocking • Loss

Model Dasar

• Pelanggan dari suatu populasi tiba pada sistem dg waktu kedatangan random

• adalah rate kedatangan pelanggan

• Sistem antrian mempunyai c server identik

• Pelanggan ke-j meminta pelayanan dan akan memerlukan s_j unit waktu pelayanan dari satu server • Jika semua server sibuk, pelanggan yg datang

Model Dasar

• Disiplin pelayanan menspesifikasikan urutan dimana pelanggan dipilih dari antrian

– Contoh: FIFO, LIFO, priority, random, …

• Waktu tunggu t_Qj adalah waktu diperlukan pelanggan ke-j antara memasuki sistem dan memasuki pelayanan • Total delay dari sistem _j = t_Qj + s_j

• n = jumlah pelanggan dlm sistem

– suatu random variable

• n_q = jumlah pelanggan dlm antrian

Notasi Antrian

a/b/m/K • a = tipe proses kedatangan

– M (Markov) menunjukan kedatangan Poisson, shg waktu antar kedatangan iid exponential random variables

• b = service time distribution

– M (Markov) menunjukan distribusi eksponensial – D (Determistic) menunjukan service time konstan

– G (General) menunjukan iid service times mengikuti suatu general distribution

Notasi Antrian

a/b/m/K • m = jumlah server

• K = jumlah maksimum pelanggan yg dibolehkan dlm sistem

Background: Proses Poisson

• Kedatangan terjadi dg rate

• Probabilitas [secara eksak satu pelanggan tiba dlm interval [t, t+ t]] = t

• Probabilitas [tidak ada kedatangan dlm interval [t, t+ t]] = 1 - t

• Dg membuat t mendekati nol, kita mendapatkan proses Poisson

Distribusi Kedatangan

Jumlah Kedatangan

• Mis. E[n] adalah mean dari jumlah kedatangan dlm perioda interval t – Mean – Variance 0 ) ( ] [ n n t t nP n E

t

n

E

n

E

n 2 2 2

]

[

]

[

Kelayakan

Apakah proses Poisson cukup layak digunakan?

• Secara umum proses Poisson adalah model yg baik jika terdapat sejumlah user yg besar (sumber paket)

sehingga

– Users serupa

Kelayakan

• Misalkan kita menggabungkan n proses Poisson

• Tiap proses mempunyai rate /n, shg rate gabungan (aggregate) =

• Waktu antar kedatangan , utk tiap proses mempunyai distribusi F(s) = P{ s} dan independen

• Proses penggabungan mendekati proses Poisson dg rate dg n

Waktu Antar Kedatangan

• Mis. T = waktu antar kedatangan dlm proses Poisson

– T adalah random variables

– Utk proses Poisson, waktu antar kedatangan adalah exponentially distributed random variables

Memoryless Property

• Distribusi eksponensial adalah memoryless

– Apa yg terjadi setelah waktu t adalah independen thd apa yg terjadi sebelum t

– Pengetahuan masa lalu tidak membantu memprediksi masa depan

• Untuk waktu service

– Waktu tambahan yg diperlukan utk menyelesaikan service pelanggan yg sedang berlangsung independen thd kapan service dimulai

Memoryless Property

• Utk waktu antar kedatangan

– Waktu utk kedatangan berikutnya independen thd kapan kedatangan terakhir terjadi

• Distribusi eksponensial adalah satu-satunya distribusi kontinyu mempunyai sifat memoryless

• Distribusi diskrit yg mempunyai sifat memoryless adalah distribusi geometric

Markov Property

• Memoryless property memungkinkan menggunakan Markov Chain untuk menganalisa antrian M/M/1

• Diberikan independensi dari waktu antara kedatangan dan waktu service, jumlah pelanggan dlm sistem kedepan hanya tergantung pd N(t), jumlah pelanggan dlm sistem pada saat t

Markov Property

• Proses random adalah proses Markov jika masa depan proses diberikan saat ini independen thd masa lalu

• Markov chain adalah proses Markov dg discrete state space

Markov Property

• Jika kita tahu sistem ada dlm state a pd saat t_k,

probabilitas transisi ke state lainnya pd saat t_k+1 dpt ditentukan

Little’s Law

• Jumlah pelanggan rata-rata dlm sistem (antrian) sama dgn rate kedatangan dikalikan waktu rata-rata dlm

Little’s Law

• Misalkan

– Rate kedatangan ( )

– Jumlah dlm sistem, n(t), jumlah dlm antrian n_Q(t), jumlah dlm pelayanan n_S(t)

– Waktu dlm sistem , waktu dlm antrian _Q, waktu dlm pelayanan s

• Relasi parameter-parameter dg Little’s Law

– Jumlah dlm sistem : E[n] = .E[ ] – Jumlah dlm antrian : E[n_Q] = .E[ _Q] – Jumlah dlm service : = E[n_S] = .E[s]

Utilisasi

• Utilisasi dari sistem single server

In-Class Exercise

• Pelanggan memasuki toko dg rate rata-rata 32 pelanggan per jam. Rata-rata pelanggan menghabiskan waktu 12 menit di dlm toko. Berapa banyak pelanggan yg kita harapkan kita jumpai di dlm toko dlm sembarang waktu?

Saluran Transmisi

• Parameter

– adalah rate kedatangan

– N_Q adalah jumlah rata-rata paket menunggu dlm antrain (belum ditransmisikan)

– W adalah rata-rata waktu tunggu dlm antrian (tidak termasuk waktu transmisi)

• Little’s law memberikan N_Q = .W

• Jika X adalah waktu transmisi rata-rata, Teorema Little memberikan utilisasi (rata-rata jumlah transmisi

paket)

Saluran Transmisi

• Perhatikan kasus dimana

• 1/ adalah rata-rata waktu antar kedatangan

• jika > 1, maka ekspektasi waktu service lebih besar drpd ekspetasi waktu antar kedatangan, yaitu

pelanggan datang lebih cepat drpd yg dp dilayani

– Antrian akan overflow atau meningkat sangat panjang – > 1, menghasilkan situasi yg tidak stabil

Network of Transmission Lines

• Paket tiba pada n node berbeda utk transmisi dg rate

1, 2, … , m

• N adalah jumlah paket total dlm jaringan

Network of Transmission Lines

• Perlu dicatat bahwa rata-rata delay per-paket adalah independen dari distribusi panjang paket dan metoda utk me-routing-kan paket

Antrian M/M/1

• Antrian tunggal (single queue) • Server tunggal (single server)

• Pelanggan (paket) tiba sesuai dg proses Poisson dg rate per-detik

• Distribusi waktu pelayanan adalah eksponensial dg mean 1/ detik

Markov Chain

• Karena memoryless property dari r.v. eksponensial, jumlah pelanggan dlm sistem saat t, N(t), dp

Probabilty Flux

• Probabilitas flux transisi adalah perkalian probabilitas state dimana transisi dimulai dan rate transisi

– Indikasi rata-rata brp kali per-detik event sesuai dg korespondesni transisi terjadi

• Dlm kondisi steady-state, rata-rata brp kali/det suatu state dimasuki adalah sama dg rata-rata brp kali/det suatu state ditinggalkan

Global Balance

• Total rate transisi keluar dari state n sama dg total rate transisi ke state n

Global Balance Equations

• Global balance equation utk antrian M/M/1

• Jika ada N state, ada N persamaan, termasuk relasi berikut

Local Balance

• Utk Markov Chain, rate transisi dari state A ke state B sama dg rate transisi dari B ke A

• Sbg contoh, rate transisi dari n-1 ke n sama dg rate transisi dari n ke n-1

Local Balance Equations

Menyelesaikan Local Balance

Equations

Menyelesaikan

Local Balance Equations

• Normalisasi dicapai melalui ‘conservation of probability’

Menyelesaikan Local Balance

Equations

• Dg = / dan menggunakan identitas berikut

Hasil

• Jika = / < 1 , kita dp

• Utilisasi

Hasil

• Dg Little’s law, dp dicari waktu rata-rata dlm sistem

Hasil

• Dg Little’s Law lagi, jumlah rata-rata pelanggan dlm antrian

Hasil Grafik Antrian M/M/1

• Ekspektasi jumlah pelanggan dlm sistem

In-Class Exercise

• Suatu konsentrator menerima message dari satu grup terminal dan mentransmisikannya melalui suatu saluran transmisi tunggal. Misalkan message tiba sesuai proses Poisson dg rate satu message setiap 4 ms, dan waktu transmisi message mengikuti distribusi eksponensial dg mean 3 ms.

(a) Cari rata-rata jumlah message dlm sistem dan total delay rata-rata

(b) Berapa persentase peningkatan rate kedatangan shg menghasilkan dua kali total delay rata-rata

Traffic Multiplexing

• Perhatikan suatu link komunikasi

– Kapasitas transmisi tetap (C), rate dimana bit dp ditransmisikan (bit/sec)

– Bbrp aliran trafik dp share capacity

– Skim sharing dp mempengaruhi performansi

• Bentuk-Bentuk Multiplexing

– Statistical multiplexing – Kanal terpisah

• Time Division Multiplexing (TDM)

Statistical Multiplexing

• Paket-paket dari semua aliran trafik digabungkan ke dlm satu antrian tunggal dan ditransmisikan secara FCFS

Time Division Multiplexing

• Waktu dibagi dlm m slot, dan masing-masing dari m aliran trafik diberikan satu slot

– Bangun m kanal, masing-masing dg kapasitas C/m

– L-bit paket memerlukan T_TDM = Lm/C sec utk transmit jika paket panjang dibandingkan dg panjang satu slot

– L-bit paket memerlukan T_TDM = L/C sec utk transmit jika slot sebesar panjang paket, tetapi harus menunggu (m-1) slot antar transmisi

Frequency-Division Multiplexing FDM

• Kanal bandwidth W dibagi kedlm m kanal dan masing-masing dari m aliran trafik diberikan satu kanal

– Bangun m kanal, masing-masing dg bandwidth W/m, atau kapasitas C/m (abaikan ‘guard band’ antar kanal)

Performansi Multiplexing

• Stat Mux mempunyai delay rata-rata lebih kecil drpd TDM atau FDM

– Kapasitas kanal terbuang dg TDM (wasted time slots) dan FDM (wasted bandwidth) jika aliran trafik idle

– Waktu transmisi lebih besar utk TDM dan FDM

• Keuntungan TDM dari FDM

– Stat mux mempunyai delay rata-rata lebih kecil tetapi variasi delay lebih besar

– TDM dan FDM mengeleminasi keperluan utk mengidentifikasi aliran trafik asosiasi dg tiap paket

Performansi Multiplexing

• Kita dp menggunakan hasil antrian M/M/1 utk menganalisa Statistical Multiplexing (SM) vs Time Division Multiplexing (TDM) atau Frquency Division Multiplexing (FDM)

• Asumsi:

– m aliran paket Poisson, masing-masing dg rate kedatangan /m, ditransmisikan melalui kanal komunikasi tunggal

– Panjang paket utk semua aliran memp distribusi eksponensial dg waktu transmisi rata-rata 1/

Performansi Multiplexing

• SM mengkombinasikan m aliran dari paket-paket dan mentransmisikannya dlm satu aliran tunggal

Performansi Multiplexing

• Utk SM

• Utk TDM (atau FDM)

• Rata-rata paket menghabiskan m kali lebih lama dalam antrian dan service dg TDM atau FDM dibandingkan dg SM