SISTEM ANTRIAN M/G/1, M/M/1 DAN M/D/1. Oleh: GUSTANTI NINGRUM G

(1)

SISTEM ANTRIAN M/G/1, M/M/1 DAN M/D/1

Oleh:

GUSTANTI NINGRUM

G54101034

(2)

ABSTRAK

GUSTANTI NINGRUM. Sistem antrian M/G/1, M/M/1 dan M/D/1. Dibimbing oleh RETNO BUDIARTI dan I G PUTU PURNABA.

Sistem antrian yang dipelajari dalam karya ilmiah ini adalah sistem antrian M/G/1 tanpa waktu libur server dan dengan waktu libur server. M menyatakan pola kedatangan bersifat markov (proses kedatangan costumer menyebar Poisson dan waktu antar kedatangan menyebar exponensial), G menyatakan pola pelayanan bersifat umum (General) dan 1 menyatakan banyaknya server. Disiplin pelayanan yang digunakan adalah FIFO (First In First Out) dan kapasitas sistem tak terbatas, artinya tidak ada batasan untuk jumlah costumer yang masuk.

Tujuan dari karya ilmiah ini adalah mempelajari penentuan nilai rata-rata dari banyaknya

costumer di sistem, nilai rata-rata panjang antrian dan nilai rata-rata dari waktu antrian pada sistem

antrian M/G/1 tanpa waktu libur server dan dengan waktu libur server.

Diperoleh bahwa nilai rata-rata dari banyaknya costumer di sistem baik pada sistem antrian

M/G/1 dengan waktu libur server ataupun tanpa waktu libur server meningkat secara linear sesuai

dengan ragam dari waktu pelayanan. Nilai rata-rata dari banyaknya costumer sistem antrian M/G/1 dengan waktu libur server lebih banyak daripada nilai rata-rata dari banyaknya costumer pada sistem antrian M/G/1 tanpa waktu libur server. Begitu juga dengan nilai rata-rata dari panjang antrian dan waktu antriannya.

(3)

SISTEM ANTRIAN M/G/1, M/M/1 DAN M/D/1

Skripsi

Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains

pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan alam

Institut Pertanian Bogor

Oleh:

GUSTANTI NINGRUM

G54101034

(4)

Judul

: SISTEM ANTRIAN M/G/1, M/M/1 DAN M/D/1

Nama :

Gustanti

Ningrum

NRP :

G54101034

Menyetujui,

Pembimbing I

Ir. Retno Budiarti, M.S

NIP. 131 804 163

Pembimbing II

Dr. Ir. I G Putu Purnaba, DEA

NIP. 131 878 945

Mengetahui,

Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Institut Pertanian Bogor

Prof. Dr. Ir Yonny Koesmaryono, M.S

NIP. 131 473 999

(5)

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Jakarta pada tanggal 25 Agustus 1983 sebagai anak kelima dari lima bersaudara dari pasangan Bapak Supandi dan Ibu Sumini.

Pada tahun 2001 penulis lulus dari SMUN 1 Jakarta dan berhasil menjadi mahasiswa Jurusan Matematika (yang sekarang berganti nama menjadi Departemen Matematika), Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Pertanian Bogor melalui jalur USMI (Undangan Seleksi Masuk IPB).

Selama mengikuti kegiatan perkuliahan, penulis aktif dalam kepengurusan GUMATIKA (Gugus Mahasiswa Matematika) pada periode 2002/2003.

(6)

PRAKATA

Bismillaahirrahmaaniirahiim,

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada ALLAH SWT atas rahmat dan karunia yang diberikan sehingga penulis dapat menyelesaikan karya ilmiah ini. Dengan segala kerendahan hati, penulis ingin mengucapkan terimakasih kepada:

1. Bu Retno selaku pembimbing 1 yang telah memberikan waktu dan kesediaannya untuk memberikan saran dan masukan.

2. Bapak Putu selaku pembimbing 2 atas bimbingannya dan telah membantu dalam penulisan karya ilmiah ini.

3. Bapak Wayan atas bimbingan dan kesediannya menjadi penguji.

4. Bapak dan Ibu yang telah membesarkan penulis dengan penuh kasih sayang. Terima kasih atas doa, dukungan, nasihat dan kesabarannya, khususnya di saat pengerjaan karya ilmiah ini. 5. Kakak-kakakku beserta keluarga besar yang telah memberikan dukungan dan doanya. 6. Seluruh dosen beserta staf Departemen Matematika atas ilmunya yang tak ternilai.

7. Muhammad Hanifudin yang telah mengisi hari-hariku dengan penuh kasih sayang, perhatian dan kesabaran.

8. Wulan dan Yenny yang telah bersedia menjadi sahabat dalam suka maupun duka. Semoga persahabatan ini tak lekang dimakan waktu.

9. Teman-teman angkatan 38 atas kenangan yang indah selama masa perkuliahan. 10. Seluruh rekan seperjuangan angkatan 35, 36, 37, 39 dan 40.

11. Rekan-rekan di Sinotif atas dukungan, semangat dan doanya. 12. Serta semua pihak yang telah membantu terselesaikannya skripsi ini.

Penulis menyadari dalam penyusunan ini masih jauh dari sempurna. Penulis mengharapkan saran dan kritik yang membangun untuk kesempurnaan skripsi ini. Semoga skripsi ini bermanfaat baik bagi penulis maupun pihak-pihak lain yang memerlukan.

Bogor, Agustus 2006

(7)

DAFTAR ISI

Halaman

DAFTAR TABEL ………. viii

DAFTAR GAMBAR ………. viii

DAFTAR LAMPIRAN ………. viii

I PENDAHULUAN Latar Belakang ……… 1

Tujuan ………. 1

II LANDASANTEORI……….. 3

III PEMBAHASAN Nilai Rata-rata Dari Banyaknya Costumer Pada Sistem Antrian M/G/1,M/M/1 dan M/D/1... 6

Nilai Rata-rata Dari Panjang Antrian dan Waktu Antrian Pada Sistem Antrian M/G/1,M/M/1dan M/D/1... 11

Nilai Rata-rata Dari Banyaknya Costumer Pada Sistem Antrian M/G/1, M/M/1 dan M/D/1 dengan waktu libur server... 12

Nilai Rata-rata Dari Panjang Antrian dan Waktu Antrian Pada Sistem Antrian M/G/1,M/M/1dan M/D/1 dengan waktu libur server... 14

V SIMPULAN ……… 16

DAFTAR PUSTAKA ……… 16

LAMPIRAN ……….. 19

(8)

DAFTAR TABEL

Halaman

1 Notasi Bentuk Antrian………... 4

2 Hasil Yang Diperoleh ………... 16

DAFTAR GAMBAR

Halaman 1 Peluang transisi dari i…... 7

DAFTAR LAMPIRAN

Halaman

1 Pembuktian Teorema 1 dan Teorema 2……… 19

2 Pembuktian Teorema 6………. 20 3 Perhitungan persamaan (29)………. 21 4 Perhitungan persamaan (39)………. 22 5 Perhitungan persamaan (77)………. 23 6 Perhitungan persamaan (86)... 24

viii

(9)

PENDAHULUAN

Latar Belakang

Salah satu permasalahan yang ditemui dalam bidang matematika adalah mencari model yang sesuai dengan fenomena yang dihadapi sehingga menghasilkan solusi yang eksak dan dapat menjamin eksistensi dari solusi tersebut. Salah satu fenomena yang dapat dimodelkan adalah persoalan antrian.

Masalah antrian ditimbulkan oleh kebutuhan akan pelayanan yang melebihi kemampuan (kapasitas) pelayanan atau fasilitas pelayanan, sehingga costumer yang datang tidak segera dilayani. Akibatnya

costumer harus menunggu untuk beberapa

waktu untuk dapat menerima pelayanan atau terkadang ada costumer yang meninggalkan sistem pelayanan karena tidak sabar menunggu. Dalam kehidupan sehari-hari ternyata masalah antrian sering kita jumpai dan hampir setiap orang pernah mengalaminya, misalnya di traffic light, antrian layanan telepon, layanan bank terhadap nasabah, truk-truk yang menunggu muatan, loket pembayaran listrik, dan lain-lain.

Salah satu model antrian yang ada dan akan dipelajari dalam karya ilmiah ini adalah sistem antrian M/G/1. M menyatakan pola kedatangan bersifat Markov, yaitu proses kedatangan costumer bersifat bebas dan menyebar Poisson, sedangkan waktu antar kedatangannya memiliki sebaran eksponensial. G menyatakan waktu pelayanan untuk setiap costumer bersifat umum (General) dan bebas, dengan tingkat rata-rata tertentu. Sistem antriannya memiliki 1 server. Disiplin pelayanan yang digunakan adalah FIFO (First In First Out), dengan kapasitas sistem tak terbatas.

Jika waktu pelayanan pada sistem antrian ini diasumsikan menyebar eksponensial maka sistem antriannya menjadi sistem antrian

M/M/1, sedangkan jika waktu pelayanannya

diasumsikan konstan, maka akan didapatkan sistem antrian M/D/1.

Karya ilmiah ini juga mempelajari tentang sistem antrian M/G/1 dengan waktu libur server, dimana jika server menemukan sistem kosong maka dia akan libur untuk suatu panjang waktu tertentu dan akan kembali ke sistem jika di akhir dari waktu liburnya dia menemukan costumer di dalam sistem.

Contoh dari sistem antrian M/M/1 salah satunya adalah sistem pelayanan pasien pada suatu klinik. Pada klinik tersebut terdapat seorang dokter (server) yang melayani setiap pasien (costumer) yang datang dengan prioritas pelayanan disesuaikan dengan urutan kedatangan pasien. Waktu antar kedatangan maupun waktu pelayanan diasumsikan memiliki sebaran eksponensial, jumlah pasien tidak dibatasi dan pasien tersebut berasal dari populasi masyarakat yang banyaknya tak terhingga.

Permasalahan yang di bahas dalam karya ilmiah ini berpedoman pada buku yang ditulis oleh Trivedi, K.S yang berjudul Probability

and Statistics with Reliability Queuing and Computer Science Applications.

Tujuan

Tujuan dari penulisan karya ilmiah ini adalah mempelajari beberapa hal berikut: 1. Penentuan nilai rata-rata banyaknya

costumer pada sistem antrian M/G/1, M/M/1 dan M/D/1

2. Penentuan nilai rata-rata dari panjang antrian dan waktu antrian pada sistem antrian M/G/1, M/M/1 dan M/D/1.

3. Penentuan nilai rata-rata banyaknya

costumer pada sistem antrian M/G/1, M/M/1 dan M/D/1 dengan waktu libur server

4. Penentuan nilai rata-rata dari panjang antrian dan waktu antrian pada sistem antrian M/G/1, M/M/1 dan M/D/1 dengan waktu libur server.

LANDASAN TEORI

Definisi 1 (Percobaan Acak)

Dalam suatu percobaan seringkali dilakukan pengulangan, yang biasanya

dilakukan dalam kondisi yang sama. Walaupun kita dapat mengetahui semua kemungkinan hasil yang akan muncul, tetapi

(10)

2

hasil pada percobaan berikutnya tidak dapat diduga dengan tepat. Percobaan yang dapat diulang dalam kondisi yang sama semacam ini disebut percobaan acak.

[ Hogg dan Craig, 1995 ] Definisi 2 (Ruang Contoh)

Himpunan dari semua kemungkinan hasil dari suatu percobaan disebut ruang contoh, dinotasikan denganΩ .

[Grimmett dan Stirzaker, 1992] Definisi 3 (Kejadian)

Suatu kejadian A adalah himpunan bagian dari ruang contoh Ω .

[Grimmett dan Stirzaker, 1992] Definisi 4 (Medan-σ)

Suatu himpunan F yang anggotanya terdiri

atas himpunan bagian ruang contoh Ω , disebut medan-σ jika memenuhi kondisi berikut : 1.φ ∈F. 2. JikaΑ ∈F maka Ac_∈_F_. 3. Jika A1, A2,…∈F maka 1 i i ∞ = Α ∈ ∪ F . [Grimmett dan Stirzaker, 1992] Definisi 5 (Ukuran Peluang dan Ruang Peluang)

Suatu ukuran peluang P pada ( ,Ω F )

merupakan suatu fungsi P : F → [0,1] yang memenuhi :

1. Ρ

( )

φ =0,Ρ

( )

Ω =1.

2. Jika A1, A2,…∈F adalah

himpunan-himpunan yang saling lepas, yaituΑ_i∩Α_j=φuntuk setiap pasangan i ≠

j, maka

( )

∑ ΑΡ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Α Ρ ∞ = ∞ =1 i1 i i i ∪

Pasangan (Ω,F ,P) disebut ruang peluang. [Grimmett dan Stirzaker, 1992] Definisi 6 (Peubah Acak)

Suatu peubah acak X adalah suatu fungsi

R

X:Ω→ dengan sifat bahwa

( )

{

w∈ Ω;X w ≤x

}

∈F , untuk setiap x R∈ . [Grimmett dan Stirzaker, 1992] Peubah acak dinotasikan dengan huruf kapital seperti X,Y,Z. Sedangkan nilai

peubah acak dinotasikan dengan huruf kecil seperti x,y,z.

Definisi 7 (Fungsi Sebaran)

Fungsi sebaran dari suatu peubah acak X adalah suatu fungsi F:R→

[ ]

0,1 yang didefinisikan oleh

( ) (

x X x

)

F_X =Ρ ≤ .

[Grimmett dan Stirzaker, 1992] Definisi 8 (Peubah Acak Diskret)

Jika himpunan nilai semua kemungkinan dari peubah acak X adalah himpunan yang dapat dicacah, maka X disebut peubah acak diskret.

[Bain dan Engelhardt, 1992] Definisi 9 (Fungsi Kerapatan Peluang) Fungsi kerapatan peluang dari peubah acak diskret X adalah fungsi p R: →

[ ]

0,1 yang diberikan oleh

( ) (

x X x

)

pX =Ρ = .

[Grimmett dan Stirzaker, 1992] Definisi 10 (Peubah Acak Kontinu)

Suatu peubah acak X disebut kontinu jika fungsi sebarannya dapat dinyatakan sebagai FX

( )

x x fX

( )

u du,

−∞

= ∫

R

x∈ , dengan f : R→ ,

[ )

0∞ adalah fungsi

yang terintegralkan.

Fungsi f disebut fungsi kepekatan peluang dari peubah acak X.

[Grimmett dan Stirzaker, 1992] Definisi 11 (Nilai Harapan)

Jika X adalah peubah acak diskret dengan fungsi kerapatan peluang pX

( )

x , maka nilai

harapan dari X adalah :

[ ]

X

( )

x

X x p x

Ε = ∑ .

Jika X adalah peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang f_X

( )

x , maka nilai

harapan dari X adalah :

[ ]

X x fX

( )

x dx

∞ −∞

Ε _{= ∫} .

[Bain dan Engelhardt, 1992] Definisi 12 (Fungsi Sebaran Bersama Dua Peubah Acak)

Misalkan X dan Y adalah peubah acak. Fungsi sebaran bersama dari X dan Y adalah

( ) (

x y X xY y

)

FX,Y , =Ρ ≤ , ≤ .

(11)

Definisi 13 (Fungsi Kerapatan Peluang Bersama dan Fungsi Kepekatan Peluang Bersama)

1. Fungsi kerapatan peluang bersama dari peubah acak diskret X dan Y adalah fungsip:R2→

[ ]

0,1 yang diberikan oleh

( ) (

x y X xY y

)

pX,Y , =Ρ = , = .

2. Fungsi kepekatan peluang bersama dari peubah acak kontinu X dan Y adalah fungsi f:R2→ ,

[ ]

0∞ yang diberikan oleh

( )

y x y x F y x fXY _∂XY_∂ ∂ = , , , 2 , .

[Grimmett dan Stirzaker, 1992] Definisi 14 (Fungsi Kerapatan Peluang Bersyarat dan Fungsi Kepekatan Peluang Bersyarat)

1. Misalkan X dan Y adalah peubah acak diskret dengan fungsi kerapatan peluang bersama pX,Y

( )

x,y . Maka fungsi

kerapatan peluang bersyarat dari X dengan syarat Y = y adalah

( )

_{( )}

y p y x p y x p Y Y X Y X , , = , dengan syarat p_Y

( )

y >0.

2. Misalkan X dan Y adalah peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang bersama fX,Y

( )

x,y . Maka fungsi

kepekatan peluang bersyarat dari X dengan syarat Y = y adalah

( )

_{( )}

y f y x f y x f Y Y X Y X , , = , ,

dengan syarat fY(y) > 0.

[Grimmett dan Stirzaker, 1992] Definisi 15 (Nilai Harapan Bersyarat) Misalkan X dan Y peubah acak kontinu dan

( )

x y

f_X_Y , adalah fungsi kepekatan peluang

bersyarat dari X dengan syarat Y = y. Nilai harapan dari X dengan syarat Y = y adalah :

[

=

]

= ∫ Ε ∞ ∞ − x y Y X f_{X Y}

( )

x y dx .

Jika X dan Y adalah peubah acak diskret dengan p_X_Y

( )

xy adalah fungsi kerapatan

peluang bersyarat dari X dengan syarat Y = y, maka nilai harapan dari X dengan syarat Y = y adalah

[

=

]

=∑ Ε x x y Y X p_X_Y

( )

xy .

[ Hogg dan Craig, 1995 ]

Definisi 16 (Ragam)

Ragam dari peubah acak X adalah nilai harapan dari kuadrat selisih antara X dengan nilai harapannya. Secara matematis dinyatakan sebagai :

( )

[

(

( )

)

2

]

X X X Var =Ε −Ε .

[Bain dan Engelhardt, 1992] Definisi 17 (Fungsi Pembangkit Peluang) Misalkan X adalah peubah acak diskret yang nilainya berupa bilangan bulat tak negatif {0,1,2,…}, dan fungsi kerapatan peluangnya diberikan oleh Ρ

(

X = =t

)

pX

( )

t . Fungsi

pembangkit peluang dari peubah acak X didefinisikan oleh

( )

X G z = Ε z , yaitu

( )

(

)

( )

0 0 X t t X t t G z z ∞ z X t ∞ z p t = = = Ε =∑ Ρ = = ∑

[Grimmett dan Stirzaker,1992] Teorema 1

Jika X adalah peubah acak diskret yang mempunyai fungsi pembangkit peluang G(z), maka

( )

X G'

( )

1.

E =

Bukti : Lihat Lampiran 1 Teorema 2

Jika X adalah peubah acak diskret yang mempunyai fungsi pembangkit peluang G(z), maka Var

( )

X =G''

( )

1+G'

( )

1 −

(

G'

( )

1

)

2 Bukti : Lihat Lampiran 1

Definisi 18 (Proses Stokastik)

Proses Stokastik

{

X

( )

t,t∈T

}

adalah suatu

himpunan dari peubah acak yang memetakan suatu ruang contoh Ω ke ruang state S.

[Ross, 1996] Definisi 19 (Rantai Markov dengan Waktu Diskret)

Proses Stokastik

{

Xn,n=0,1,2,...

}

dengan ruang state {0,1,2,…} disebut rantai Markov dengan waktu diskret jika untuk setiap

{

0,1, 2,...

}

n∈ berlaku :

(

Xn+1 j Xn i X, n−1 in−1,...,X0 i0

)

Ρ = = = = =

(

Xn+1 j Xn i

)

Ρ = = [Ross, 1996] Definisi 20 (Rantai Markov dengan Waktu Kontinu)

Suatu Proses Stokastik

{

X

( )

t,t≥0

}

, dengan ruang state diskret

{

0,1,2,...

}

, disebut suatu

(12)

4

rantai Markov dengan waktu kontinu jika untuk setiap t > 0, s > 0 dan

( ) {

}

, , 0,1, 2,... ,0 i j x u ∈ ≤ <u s berlaku

(

)

( )

( ) ( )

(

X t s j X s i X u, x u ;0 u s

)

Ρ + = = = ≤ <

(

)

( )

(

X t s j X s i

)

= Ρ + = = . [Ross, 1996] Definisi 21 (Proses Pencacahan)

Suatu proses stokastik

{

N

( )

t,t≥0

}

disebut proses pencacahan (counting process) jika

N(t) menyatakan banyaknya kejadian yang

telah terjadi sampai waktu t.

[Ross, 1996] Definisi 22 (Proses Poisson)

Suatu proses pencacahan

{

N t t

( )

; ≥0

}

disebut proses Poisson dengan laju λ ,λ > jika 0 dipenuhi tiga syarat berikut.

(i) N

( )

0 = 0.

(ii) Proses tersebut memiliki inkremen bebas. Jadi banyaknya kejadian yang terjadi sampai waktu t, yaitu N t , adalah bebas

( )

terhadap banyaknya kejadian yang terjadi dalam interval waktu

(

t t, + , yaitu s

]

(

)

( )

N t+ −s N t untuk sembarang

bilangan nyata s> . 0

(iii) Banyaknya kejadian pada sembarang interval waktu dengan panjang t, memiliki sebaran Poisson dengan rataan

t

λ . Jadi untuk semua ,t s> , 0

(

)

( )

{

}

( )

! k t e t N t s N s k k λ _λ − Ρ + − = = untuk k = 0,1,2,… [Ross, 1996] Definisi 23 (Sebaran Eksponensial)

Peubah acak kontinu X dikatakan memiliki sebaran eksponensial dengan parameter ,λ λ > , jika memiliki fungsi 0 kepekatan peluang sebagai berikut

( )

, 0 0, 0. x e x f x x λ λ − ⎧ ≥ ⎪ = ⎨ _< ⎪⎩ [Ross, 1996] Definisi 24 (Karakteristik Antrian)

Sistem antrian dicirikan oleh lima komponen utama yaitu : pola kedatangan costumer, pola pelayanan costumer, banyaknya server, kapasitas sistem dan disiplin antrian.

[Medhi, 1991]

Definisi 25 (Pola Kedatangan)

Pola kedatangan costumer dapat dicirikan oleh waktu antar kedatangan (interarrival

time) yaitu waktu antara kedatangan costumer

yang satu dengan costumer berikutnya. Pola ini dapat bersifat deterministic (tertentu) dan

probabilistic (peubah acak yang mengikuti

sebaran peluang tertentu). Pola ini juga dapat bergantung pada banyaknya costumer yang ada di sistem (state dependent) atau tidak bergantung pada banyaknya costumer di sistem (state independent).

[Osaki, 1992] Definisi 26 (Pola Pelayanan)

Pola pelayanan biasanya dicirikan sebagai waktu pelayanan (sevice time) yaitu waktu yang digunakan oleh satu server untuk melayani satu costumer. Pola pelayanan juga dapat bersifat probabilistic, state independent atau state dependent. Selain itu dalam suatu sistem pelayanan, costumer dapat dilayani oleh satu atau lebih server.

[Osaki, 1992] Definisi 27 (Kapasitas Sistem)

Kapasitas Sistem adalah banyaknya costumer di sistem, baik costumer yang sedang dilayani maupun costumer yang terdapat dalam antrian. Suatu sistem antrian yang memiliki kapasitas tertentu, pada saat pelayanan penuh,

costumer yang datang akan ditolak untuk

masuk kedalam sistem. Dengan demikian

costumer tersebut dipaksa pergi dari sistem

tanpa menerima pelayanan. Sistem yang tidak mempunyai batasan terhadap jumlah costumer yang diijinkan untuk masuk ke dalam fasilitas pelayanan disebut kapasitas tak terbatas sedangkan proses sebaliknya disebut kapasitas terbatas.

[Osaki, 1992] Definisi 28 (Disiplin Antrian)

Secara umum disiplin antrian adalah cara untuk menentukan costumer mana yang akan dilayani lebih dulu oleh server.

[Osaki, 1992] Definisi 29 (Pemodelan Antrian)

Bentuk antrian secara umum dinotasikan oleh Kendall-Lee sebagai (a/b/c) : (d/e/f), dimana masing-masing simbol a, b ,c, d, e dan f dijelaskan dalam tabel berikut :

No. Karakteristik Simbol Keterangan 1. a = Sebaran waktu antar kedatangan M D Ek G Eksponensial Deterministik Erlang jenis k General

(13)

No. Karakteristik Simbol Keterangan 2. b = Sebaran waktu pelayanan M D Ek G Eksponensial Deterministik Erlang jenis k General 3. c = jumlah server 1,2,.. ∞ 4. d = Disiplin Pelayanan FIFO LIFO SIRO PRI GD First In First Out Last In First Out Service In Random Order Priority General Dicipline 5. e = Kapasi- tas Sistem 1,2,.. ∞ 6. f = Populasi Costumer 1,2,..∞ Tabel 1. Notasi Bentuk Antrian Definisi 30 (Steady-state)

Suatu keadaan pada antrian dikatakan

steady-state jika nilai peluangnya tidak lagi

bergantung pada nilai peluang awal. Dengan kata lain, setelah periode waktu yang cukup lama sistem mencapai keadaan setimbang.

[Cooper, 1981] Definisi 31 (Memoryless)

Peubah acak X disebut bersifat tanpa memori, atau memoryless, jika untuk setiap s, t≥ 0

(

X t s X t

)

(

X s

)

Ρ > + > = Ρ > . [ Ross, 1996 ] Teorema 3

Peubah acak kontinu X bersifat memoryless jika dan hanya jika X menyebar eksponensial. Bukti : Lihat Ross (1996)

Teorema 4 (Teorema Total Peluang)

Misalkan C C1, 2,...,Ck adalah himpunan

bagian dari ruang contoh Ω sehingga

( )

Ci 0,i 1, 2,...,k

Ρ > = . C C1, 2,...,Ck adalah

kejadian yang saling lepas dan

( )

1 1 k i i C = ⎛ ⎞ Ρ_⎜ _⎟= Ρ Ω = ⎝∪ ⎠ . Misalkan C adalah kejadian yang lainnya sehingga Ρ

( )

C >0. Jika C diekspresikan sebagai

(

1 2 ... k

)

C= ∩C C ∪C ∪ C

, maka

( )

(

)

( )

(

)

( )

(

)

( )

(

)

1 1 2 2 1 ... . k k k i i i C C C C C C C C C C C C C = Ρ = Ρ Ρ + Ρ Ρ + + Ρ Ρ =∑Ρ Ρ

Persamaan diatas dinamakan Teorema Total Peluang. Bukti :

(

)

(

11

) (

2 2

)

(

)

... ... . (1) k k C C C C C C C C C C C = ∩ ∪ ∪ = ∩ ∪ ∩ ∪ ∪ ∩ , 1, 2,..., i

C∩C i= k adalah kejadian yang

saling lepas, sehingga

( ) (

) (

)

(

1

)

2 ... . (2) k C C C C C C C Ρ = Ρ ∩ + Ρ ∩ + + Ρ ∩

(

C Ci

)

Ρ ∩ adalah fungsi kerapatan peluang bersama, sehingga berdasarkan Definisi 14 didapat

(

C C_i

)

( )

C_i

(

C C_i

)

,i 1, 2,...k

Ρ ∩ = Ρ Ρ = , (3)

dimana Ρ

(

C Ci

)

adalah fungsi kerapatan

peluang bersyarat dari kejadian C dengan syarat kejadian Ci .

Oleh karena itu persamaan (2) menjadi

( )

(

)

( )

(

)

( )

(

)

( )

(

)

1 1 2 2 1 ... . (4) k k k i i i C C C C C C C C C C C C C = Ρ = Ρ Ρ + Ρ Ρ + + Ρ Ρ =∑Ρ Ρ Terbukti. ٱ

[ Hogg dan Craig, 1995 ] Teorema 5 (Aturan L’Hôpital)

Andaikan lim

( )

lim

( )

0

x→uf x x→ug x

= = . Apabila

( ) ( )

lim⎡_⎣f' x / 'g x ⎤_{⎦ ada, maka}

( )

'

( )

lim lim ' x u x u f x f x g x g x → = →

Di sini, u dapat mewakili sembarang simbol a,

a-, a+_{, -}_{∞ atau + ∞ .}

Bukti : Lihat Purcell dan Varberg (1987). Teorema 6 (Teorema Little)

Perhatikan sebuah sistem pada keadaan setimbang dimana costumer datang, tetap di sistem untuk beberapa waktu (disebut waktu tunggu) dan kemudian pergi. Misal λ adalah laju costumer yang datang, W rata-rata waktu

(14)

6

tunggu dan L rata-rata banyaknya costumer yang ada, maka jika nilai rata-rata λ , W, L ada, ketiganya memenuhi persamaan

L = λ W.

[Cooper, 1981] Bukti : Lihat Lampiran 2 .

PEMBAHASAN

Nilai Rata-rata Dari Banyaknya Costumer Pada Sistem Antrian M/G/1, M/M/1 dan

M/D/1

Sistem antrian yang dibahas dalam karya ilmiah ini adalah sistem antrian dengan server tunggal dimana proses kedatangan costumer menyebar Poisson dengan laju kedatanganλ . Waktu pelayanan untuk costumer bersifat bebas, memiliki sebaran tertentu dengan fungsi sebaran F dan fungsi kepekatan B

peluang (fkp) f serta rata-ratanya B

1 μ . Waktu pelayanan pada sistem antrian ini tidak terikat pada proses kedatangan dan jangka waktu. Waktu libur pada sistem antrian ini adalah ketika suatu pelayanan telah selesai dilakukan. Disiplin antrian pada sistem ini tidak bergantung pada waktu pelayanan.

Costumer akan dilayani berdasarkan urutan

kedatangan mereka, sehingga disiplin antriannya adalah FIFO (First In First Out). Sistem antrian di atas dikenal dengan sistem antrian M/G/1.

Misalkan peubah acak ( )N t menyatakan

banyaknya costumer dalam sistem sampai dengan waktu t yaitu banyaknya costumer yang ada pada antrian ditambah seorang

costumer yang sedang dilayani. Jika N t( ) 1≥

maka tentunya ada seorang costumer yang sedang dilayani pada waktu t. Karena waktu pelayanan costumer tidak diasumsikan menyebar eksponensial (sehingga tidak bersifat memoryless), maka dalam rangka menentukan peluang dari N t

(

+s

)

,

dimanas>0

,

disamping N t , juga ( )

diperlukan informasi dari waktu yang dihabiskan costumer tersebut dalam

pelayanan. Dengan kata lain kita juga memerlukan nilai dari N u

( )

, 0< < . Itu u t

berarti bahwa proses stokastik

{

N t t( ), ≥0

}

ini bukanlah suatu rantai Markov.

Untuk menyederhanakan permasalahan di atas kita perhatikan suatu titik waktu dari kepergian seorang costumer, dimana pada

waktu itu costumer sudah selesai dilayani dan kemudian meninggalkan sistem. Kepergian dari costumer ini dibagi menjadi dua kasus. Kasus pertama adalah kepergian costumer menyebabkan sistem menjadi kosong (tidak ada lagi costumer pada sistem). Kasus kedua adalah kepergian costumer tidak menyebabkan sistem menjadi kosong karena ada satu atau lebih costumer yang juga menunggu untuk dilayani.

Misalkan peubah acak T (n = 1,2,3,…) _n

menyatakan waktu dari kepergian costumer ke-n dan X n menyatakan banyaknya costumer di sistem pada waktu T , sehingga n X = _n N T

( )

_n , n = 1,2,3,… (5)

Proses stokastik

{

Xn,n=1, 2,...

}

ini akan ditunjukkan menjadi rantai Markov dengan parameter diskret, yang dikenal sebagai rantai Markov imbedded dari proses stokastik parameter kontinu

{

N t t

( )

, ≥0

}

.

Setelah sistem berjalan lama sekali, t→ ∞ , peluang dari banyaknya

costumer tidak bergantung lagi pada t, atau

sistem dikatakan dalam keadaan steady-state , maka sebaran limit dari N t adalah sama

( )

dengan sebaran limit dari banyaknya costumer yang diperhatikan pada waktu kepergian

costumer lain , berarti

( )

(

)

lim lim _n . (6) n t P N t k P X k →∞ →∞ ⎡ = ⎤= = ⎣ ⎦ Misalkan Y_n,n=1, 2,..., menyatakan banyaknya kedatangan costumer selama waktu pelayanan costumer ke-n. Peubah acak

1, ,....2

Y Y saling bebas dan identik, serta bebas

dari X_n. Jika kepergian costumer ke-n

meninggalkan sistem yang tidak kosong, maka kepergian costumer ke-n+1 akan meninggalkan costumer-costumer yang sama dalam antrian yang ditinggalkan oleh kepergian costumer ke-n kecuali dirinya sendiri, ditambah dengan semua costumer yang sampai ke sistem selama waktu pelayanan costumer ke-n+1, sehingga didapat

(15)

Di sisi lain, jika costumer ke-n meninggalkan sistem yang kosong, maka kedatangan costumer ke-n+1 akan

menemukan server yang idle sehingga

costumer tersebut segera dilayani. Costumer

ke-n+1 akan meninggalkan

costumer-costumer yang lain yang sampai selama waktu

pelayanan costumer ke-n+1, sehingga Xn+1=Yn+1, Xn=0.

( )

8

Dilihat dari persamaan (7) dan (8) serta diketahui Y_n₊₁ bebas dari X X₁, ₂,...,Xn,

maka untuk menentukan peluang transisi dari

1

n

X + dimana diberikan nilai X , kita tidak n

memerlukan nilai-nilai dari X X1, 2,...,Xn−1,

sehingga diketahui bahwa

{

Xn,n=1, 2,...

}

adalah rantai Markov.

Peluang transisi dari banyaknya costumer sebesar j saat kepergian costumer ke-n+1 jika diketahui banyaknya costumer sebesar i saat kepergian costumer ke-n adalah :

P X

(

n+1= j Xn= =i

)

pij. (9)

Karena transisi ini diamati hanya pada saat kepergian costumer dan juga dikarenakan hanya ada 1 server, maka jelas bahwa

1 1

n n

X + <X − tidak mungkin terjadi.

SedangkanXn+1≥Xn− adalah situasi 1

yang mungkin untuk semua nilai kedatangan

1

n

Y₊ bila Xn> , dengan kata lain 0 1 atau 1 0

j≥ −i j− + ≥ untuk semua i Yn+1

bila Xn> . 0

Berdasarkan persamaan (7) dan (8) didapatkan peluang transisi sebagai berikut:

(

)

(

)

(

)

1 1 1 1 , jika 0, 1, , jika 0, 0, 0, selainnya. (10) ij n n n n p P X j X i P Y j i i j i P Y j i j + + + = = = ⎧ = − + > ≥ − ⎪⎪ =⎨ = = ≥ ⎪ ⎪⎩ Dinotasikan :

(

n 1

)

j, P Y+ = j =a dimana diketahui 0 j 1 j a ∞ = = ∑

.

Untuk kasus dimana costumer meninggalkan sistem dalam keadaan kosong, keadaan sistem akan tetap kosong sampai ada kedatangan costumer sehingga peluang transisi untuk i = 0 sama dengan untuk i = 1. Matriks peluang (dimensi tak hingga) dari

{ }

X_n diberikan oleh:

P 0 1 2 3 0 1 2 3 0 1 2 0 1 0 .... .... 0 .... 0 0 .... 0 0 0 .... . . . . .... a a a a a a a a a a a a a a ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦

Keadaan ini ditunjukkan pada gambar dibawah ini

Gambar 1 Peluang transisi dari i Misalkan limit peluang dari state j

dinotasikan oleh v_j, ditulis

(

)

(

1

)

lim lim j n n n n v P X j P X + j →∞ →∞ = = = = (11)

berdasarkan Teorema Total Peluang, diketahui

(

)

(

)

(

)

1 1 0 . . (12) n n n i n P X j P X j X i P X i ∞ + + = = = ∑ = = =

Berdasarkan persamaan (10), persamaan (12) menjadi

(

)

(

) (

)

(

) (

)

1 1 1 1 1 . 0 1 . n n n j n n i P X j P Y j P X P Y j i P X i + + + + = = = = = + = − + = ∑

(

)

(

)

(

)

( )

1 1 1 1 . 0 . . 13 j n j n j i i n P X j a P X a P X i + + − + = = = = + ∑ =

Jika kedua ruas pada persamaan (13) dikenakan limit n→ ∞ , maka

…

i-2 i-1 i+1 i+2

…..

j 1 a i a0 a2 a3 aj-i+1

(16)

8 (

)

(

)

(

)

(

)

(

)

1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 lim lim . 0 lim . . lim 0 . lim . (14) n j n n n j j i n n i j j n n j j i n n i j j j j i i i P X j a P X a P X i v a P X a P X i v a v a v + →∞ →∞ + − + →∞ = →∞ + − + →∞ = + − + = = = = + = ∑ = = + = ∑ = + ∑

Sekarang kita definisikan fungsi pembangkit peluang G z

( )

danGA

( )

z

sebagai berikut:

( )

0 . j j j G z ∞ v z = = ∑ (15)

( )

0 . j A j j G z ∞ a z = = ∑

(16)

Subtitusikan persamaan (14) ke dalam persamaan (15), didapat

( )

₀ 1 ₁ 0 0 1 . j j j j i j i j j i G z v a z v a z + ∞ ∞ − + = = = = ∑ + ∑ ∑ (17)

Jika kita membalikkan urutan penjumlahan, maka persamaan (17) menjadi

( )

(

)

0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 j j j i j i j i j i j j j i j i j i j i j k i j i k j i k G z v a z v a z v a z v a z v a z v a z k j i ∞ ∞ ∞ − + = = = − ∞ ∞ ∞ − + = = − + = ∞ ∞ ∞ _{+ −} = = = = ∑ +∑ ∑ = ∑ +∑ ∑ = ∑ +∑ ∑ = − + 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 . (18) j k i j i k j i k j i k j i k j i k v a z v a z z z v a z v z a z z ∞ ∞ ∞ ₋ = = = ∞ ∞ ∞ = = = = ∑ +∑ ∑ = ∑ + ∑ ∑

Perhatikan bagian dari suku kedua pada persamaan (18) yaitu 1 i i i v z ∞ = ∑

,

0 1 0 0 0 . (19) i i o i i i i i i i v z v z v z v z v ∞ ∞ = = ∞ = = − ∑ ∑ =∑ −

Berdasarkan persamaan (15), (16) dan (19) , persamaan (18) menjadi

( )

(

( )

)

( )

( ) ( )

( )

0 0 0 0 1 1 1 A A A A A G z v G z G z v G z z v G z G z G z v G z z z = + − = + −

( )

( ) ( )

0

( )

0

( )

1 1 A A A G z G z G z v G z v G z z z ⇔ − = −

( )

(

z GA z

)

G z

( ) (

z 1

)

v G0 A

( )

z z z − − ⇔ =

( ) (

1

)

0

_{( )}

A

( )

_. ₍₂₀₎ A z v G z G z z G z − ⇔ = −

Perhatikan persamaan (15) dan (16), untuk nilai z= didapat 1

G

( )

1 =GA

( )

1 = . (21) 1 Berdasarkan aturan L’Hôpital dan persamaan (21) didapat

( )

(

)

_{( )}

( )

(

)

( )

0 1 1 0 1 0 0 1 1 lim lim 1 ' 1 lim 1 ' 1 1 ' 1 1 ' 1 . (22) A z z _A A A z _A A A z v G z G G z z G z z G z G z v G z v G v G → → → − = = − − + ⇔ = − ⇔ = − ⇔ = − Misalkan ρ =G' 1A

( )

, maka v0= −1 ρ

,

sehingga persamaan (20) menjadi

( ) (

)(

) ( )

( )

1 1 . (23) A A z G z G z z G z ρ − − = −

Jika persamaan (15) diturunkan terhadap z, kemudian substitusikan z = 1, maka didapat

( )

[ ]

0 ' 1 _j _n j G ∞ jv E X = = ∑ = . (24) sehingga fungsi pembangkit G z

( )

diperlukan

untuk menghitung rata-rata dari banyaknya

costumer dalam keadaan steady-state, dimana

[ ]

lim

[ ]

n ' 1

( )

n

E N E X G

→∞

= = . (25) Dilihat dari persamaan (23), untuk mencari G z

( )

, kita terlebih dahulu harus

mencari G_A

( )

z , sehingga diperlukan

penghitungan a_j =P Y

(

_n₊₁= j

)

.

Misalkan peubah acak B menyatakan waktu pelayanan seorang costumer, dengan kedatangan costumer menyebar Poisson, maka fkp bersyarat dari Y_n+₁ adalah:

(

1

)

( )

! j t n t P Y j B t e j λ λ − + = = = . (26)

Berdasarkan Teorema Total Peluang (versi kontinu), maka didapat

(

1

)

( )

0 j n B a P Y j B t f t dt ∞ + =∫ = =

(17)

( )

_{( )}

0 . (27) ! j t j B t a e f t dt j λ λ ∞ − = ∫

Dengan mensubstitusi persamaan (27) ke dalam persamaan (16) maka didapat

( )

0 0 ! . j t j A B j t G z e f t dt z j λ λ ∞ ∞ ₋ = = ∑ ∫

( )

_{( )}

0 0 0 0 ! . (28) ! j t A B j j t B j tz G z e f t dt j tz e f t dt j λ λ λ λ ∞ ∞ ₋ = ∞ ₋ ∞ = = ∑ ∫ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = ∫ ∑ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦

Karena

( )

0 ! j tz j tz e j λ λ ∞ = = ∑

(29)

(lihat Lampiran 3), maka

( )

_{( )}

0 1 0 . (30) t tz A B t z B G z e e f t dt e f t dt λ λ λ ∞ ₋ ∞ − − = ∫ = ∫

Bila fungsi GA

( )

z

diturunkan terhadap z

maka dengan menggunakan aturan rantai didapat

( )

(

)

(

)

( )

_{( ) ( ) ( )}

( )

_{( )}

1 0 1 0 ' 1 . 1 . . . (31) A A A t z B t z B dG G z dz d z dG d z dz e t f t dt e t f t dt λ λ λ λ λ λ ∞ − − ∞ − − = − = − =∫ − − = ∫

Jika memasukkan nilai z = 1, maka persamaan (31) menjadi

( )

[ ]

0 0 ' 1 . (32) A B B G t f t dt t f t dt E B λ λ λ ∞ ∞ = ∫ = ∫ =

Karena waktu pelayanannya diasumsikan mempunyai tingkat rata-rata 1

μ , maka didapat

( )

1 ' 1A . G λ ρ λ μ μ = = = . (33)

Berdasarkan Teorema 1, kita dapatkan nilai rata-rata dari banyaknya costumer yang datang selama waktu pelayanan seorang

costumer (dalam keadaan steady-state), yaitu

E Y

[ ]

G' 1_A

( )

ρ λ μ

= = = . (34) Untuk mendapatkan Var Y maka kita

( )

memerlukan turunan kedua dari fungsi pembangkit GA

( )

z , yaitu dengan

menurunkan persamaan (31) terhadap z sehingga didapat

( )

( )1 2 2

( )

0 '' t z A B G z = ∫∞ − −e λ λ t f t dt

. (35)

Untuk nilai z = 1 maka didapatkan

( )

(

[ ]

)

(

)

2 2 0 2 2 2 2 '' 1A B G t f t dt E B Var B E B λ λ λ ∞ = ∫ ⎡ ⎤ = _⎣ _⎦ = +

( )

(

[ ]

)

( )

2 2 2 2_. ₍₃₆₎ Var B E B Var B λ λ λ ρ = + = +

(dinotasikan

( )

2 B Var B =σ ).

Berdasarkan Teorema 2, maka didapat

( )

(

2 2 2

)

2 2 2 _. ₍₃₇₎ B B Var Y λ σ ρ ρ ρ λ σ ρ = + + − = +

Nilai rata-rata dari banyaknya costumer di sistem, dalam keadaan steady-state, ditentukan dengan mengambil turunan pertama dari G z

( )

terhadap z dan kemudian

mengambil limit z→ , 1

[ ]

( )

1 1 lim _n _j lim ' . n j z E N E X ∞ jv G z →∞ = → = =∑ = (38)

Dengan menggunakan aturan L’Hôpital, maka didapat

[ ]

(

)

2 2 2 2 1 B E N ρ λ σ ρ ρ + = + − . (39) (lihat Lampiran 4)

Cara lain untuk mendapatkan nilai rata-rata dari banyaknya costumer di sistem dalam keadaan steady-state adalah sebagai berikut.

Persamaan (7) dan (8) dapat dijadikan satu persamaan, yaitu

X_n+₁=X_n−U X

( )

_n +Y_n+₁ (40)

dimana U X

( )

_n adalah peubah acak yang

(18)

10 ( )

1 jika 0, 0 jika 0. n n n X U X X > ⎧ = ⎨ ₌ ⎩ (41)

Dengan mengasumsikan suatu solusi dalam keadaan steady-state untuk n→ ∞ , maka lim

[ ]

_n lim

[

_n ₁

]

[ ]

n→∞E X =n→∞E X + =E N (42) 2 2 2 1 lim n lim n n→∞E X n→∞E X + E N ⎡ ⎤= ⎡ ⎤= ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (43) lim

[ ]

_n lim

[ ]

_n₁

[ ]

n→∞E Y =n→∞E Y+ =E Y (44) lim n2 lim n21 2 n→∞E Y n→∞E Y + E Y ⎡ ⎤= ⎡ ⎤= ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ . (45)

Dengan mengambil ukuran nilai harapan pada persamaan (40) dan kemudian diberikan nilai limit untuk n→ ∞ , maka persamaan (40) menjadi

[ ]

( )

[ ]

E X =E X −E U X⎡_⎣ ⎤_⎦+E Y

( )

[ ]

( )

' 1 . (46) A E U X E Y G ρ ⎡ ⎤ ⇔ _⎣ _⎦= = =

Kemudian persamaan (40) dikuadratkan sehingga diperoleh bentuk

(

)

2

(

( )

)

2 1 1 n n n n X + = X −U X +Y+

( )

(

)

( )

2 2 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 . (47) n n n n n n n n n n n n n X X U X Y X U X Y X U X X Y U X Y + + + + + = − + = + + − + −

Dari persamaan (41) maka didapatkan U2

( )

Xn =U X

( )

n

(48)

dan

X U Xn.

( )

n =Xn

. (49)

Sehingga persamaan (47) menjadi

( )

2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 . (50) n n n n n n n n n X X U X Y X X Y U X Y + + + + = + + − + −

Dengan mengambil nilai harapan dari persamaan (50) dan sejak Xn danYn+1 saling

bebas maka didapatkan

( )

[ ]

[ ] [ ]

( )

[ ]

2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 . (51) n n n n n n n n n E X E X E U X E Y E X E X E Y E U X E Y + + + + ⎡ ⎤= ⎡ ⎤+ ⎡_⎣ ⎤_⎦+ ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ − + ⎡ ⎤ − _⎣ _⎦

Karena sistem diasumsikan dalam keadaan steady-state untuk n→ ∞ , maka

berdasarkan persamaan (42), (43), (44) dan (45) maka persamaan (51) menjadi

( )

[ ]

[ ] [ ]

( )

[ ]

2 2 2 2 2 2 . (52) E N E N E U X E Y E N E N E Y E U X E Y ⎡ ⎤= ⎡ ⎤+ ⎡_⎣ ⎤_⎦+ ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ − + ⎡ ⎤ − _⎣ _⎦

Berdasarkan persamaan (46) maka persamaan (52) menjadi

[ ]

2 2 0= +ρ E Y_{⎣ ⎦}⎡ ⎤−2E N +2E N ρ−2ρ (53) sehingga didapat

[ ]

₍

₎

2 ₂ 2 2 1 E Y E N ρ ρ ρ ⎡ ⎤ + _{⎣ ⎦}− = − . (54) Selanjutnya, diketahui bahwa

( )

(

[ ]

)

( )

2 2 2_. ₍₅₅₎ E Y Var Y E Y Var Y ρ ⎡ ⎤ = + ⎣ ⎦ = +

Substitusi persamaan (37) ke persamaan (55),

E Y⎡ ⎤ =⎣ ⎦2 λ σ2 2B+ +ρ ρ2 . (56)

Dengan mensubstitusi persamaan (56) kedalam persamaan (54), maka didapat

[ ]

₍

₎

(

)

2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 . (57) 2 1 B B E N ρ λ σ ρ ρ ρ ρ λ σ ρ ρ ρ + + + − = − + = + −

Terlihat dari persamaan (57) bahwa nilai rata-rata dari banyaknya costumer di sistem meningkat secara linear sesuai dengan ragam dari waktu pelayanan

( )

2

B

σ .

Sekarang diasumsikan bahwa waktu pelayanan pada sistem antrian tersebut menyebar secara eksponensial, maka sistem antriannya disebut sistem antrian M/M/1. Waktu pelayanan dari sistem antrian ini mempunyai nilai rata-rata 1

μ dan ragam 2

1 μ , sehingga berdasarkan persamaan (57) kita dapatkan nilai rata-rata dari banyaknya

costumer pada sistem antrian M/M/1 yaitu

sebagai berikut

[ ]

₍

₎

(

)

2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 B E N ρ λ σ ρ ρ λ ρ μ ρ ρ + = + − + = + −

(19)

[ ]

₍

₎

2 2 2 1 E N λ _ρ μ ρ ρ ⎛ ⎞ ₊ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = + −

(

)

2 2 2 1 ρ ρ ρ ρ + = + −

(

)

(

)

2 .2 1 2 2 1 ρ ρ ρ ρ − + = −

(

1

)

. (58) ρ ρ = −

Jika

diasumsikan bahwa waktu pelayanannya bersifat konstan, maka sistem antriannya disebut sistem antrian M/D/1, dimana 2 ₀

B

σ = , sehingga dengan mudah didapatkan nilai rata-rata dari banyaknya

costumer pada sistem antrian ini yaitu sebagai

berikut

[ ]

2

₍

.0

₎

2 2 1 E N ρ λ ρ ρ + = + −

(

)

(

)

2 2 2 1 . (59) 1 2 1 ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ = + − = − − −

Terlihat dari persamaan (59), bahwa nilai rata-rata dari banyaknya costumer dari sistem antrian M/D/1 mempunyai

₍

₎

2 2 1 ρ ρ − kurangnya dari nilai rata-rata banyaknya

costumer pada sistem antrian M/M/1.

Nilai Rata-rata Dari Panjang Antrian dan Waktu Antrian Pada Sistem Antrian

M/G/1, M/M/1 dan M/D/1

N pada persamaan (57) menyatakan

banyaknya costumer di sistem (dalam keadaan

steady-state) setelah waktu kepergian seorang costumer. Jika didefinisikan panjang antrian

(dinotasikan dengan Q) adalah banyaknya

costumer yang ditemukan oleh costumer yang

datang selama waktu pelayanan seorang

costumer lain yang terlebih dahulu datang,

maka N merupakan panjang antrian ditambah dengan banyaknya costumer yang datang selama waktu pelayanan seorang costumer yang baru meninggalkan sistem karena sudah selesai dilayani, sehingga

N= +Y Q

[ ]

[ ] [ ]

E N =E Y +E Q

E N

[ ]

= +ρ E Q

[ ]

. (60) Berdasarkan persamaan (57), maka didapat nilai rata-rata dari panjang antrian pada sistem antrian M/G/1, yaitu

[ ]

2 2

₍

₎

2 2 1 B E Q λ σ ρ ρ + = −

. (61)

Jika waktu pelayanannya diasumsikan eksponensial (sistem antrian M/M/1), maka didapat

[ ] ( )

1 2 E Q ρ ρ = −

. (62)

Sedangkan untuk waktu pelayanan yang bersifat konstan (sistem antrian M/D/1), didapat

[ ] ( )

2 2 1 E Q ρ ρ = −

. (63)

Dilihat dari persamaan (62) dan persamaan (63), maka diketahui bahwa rata-rata dari panjang antrian pada sistem antrian

M/D/1 merupakan setengahnya dari rata-rata

panjang antrian pada sistem antrian M/M/1. Waktu tunggu adalah waktu yang dihabiskan oleh costumer didalam sistem yaitu waktu dalam antrian ditambah waktu pelayanan. Untuk mendapatkan rata-rata dari waktu tunggu, kita menggunakan Teorema Little, yaitu

E N

[ ]

=λ.E T

[ ]

(64)

dimana E T

[ ]

menyatakan rata-rata waktu

yang dihabiskan costumer di dalam sistem (waktu tunggu).

Berdasarkan persamaan (57) dan (64) maka didapat

2 2

₍

₎

2 .

[ ]

2 1 B _{E T} λ σ ρ ρ λ ρ + + = −

(65)

sehingga,

[ ]

₍

₎

(

)

(

)

2 2 2 1 1 2 1 1 1 2 1 B B E T λσ ρ μ μ ρ ρ μ σ μ μ ρ + = + − + = + −

(

₍

₎

)

2 ₁ 1 2 1 B C ρ μ μ ρ + = + −

(66)

dimana 2 2 2 B B C =μ σ .

Persamaan (66) menyatakan rataan total dari waktu yang dihabiskan costumer di sistem yaitu rataan waktu dari pelayanan ditambah rataan waktu yang dihabiskan

(20)

12

costumer di dalam antrian. Karena suku

pertama dari persamaan (66) diketahui sebagai rata-rata dari waktu pelayanan, maka diketahui bahwa suku kedua merepresentasikan rata-rata dari waktu antrian (dinotasikan dengan E W

[ ]

). Akhirnya dari

persamaan (66) didapatkan rata-rata dari waktu antrian yaitu sebagai berikut

[ ]

(

₍

₎

)

2 ₁ 2 1 B C E W ρ μ ρ + = −

. (67)

Berikut ini merupakan rata-rata dari waktu antrian untuk sistem antrian M/M/1 dan sistem antrian M/D/1 berturut-turut sebagai berikut

[ ]

(

1

)

E W ρ μ ρ = −

(68)

[ ]

₍

₎

2 1 E W ρ μ ρ = −

. (69)

Dengan membandingkan persamaan (68) dan persamaan (69), maka juga didapatkan bahwa rata-rata waktu antrian pada sistem antrian M/D/1 merupakan setengahnya dari rata-rata waktu antrian pada sistem antrian

M/M/1.

Nilai Rata-rata Dari Banyaknya Costumer Pada Sistem Antrian M/G/1, M/M/1 dan

M/D/1 dengan Waktu Libur Server

Sekarang kita perhatikan sistem antrian

M/G/1 dalam keadaan steady-state dengan

variasi sebagai berikut. Server bekerja secara kontinu selama setidaknya ada satu costumer di sistem. Ketika server telah menyelesaikan pelayanan terhadap costumer dan menemukan sistem kosong, maka server akan pergi keluar sistem untuk suatu panjang waktu yang disebut dengan waktu libur server. Di akhir waktu liburnya, server kembali ke sistem dan bersiap untuk memulai melayani costumer kembali, jika ada, yang sampai selama waktu libur server. Jika di akhir waktu liburnya server mengetahui bahwa tidak ada costumer yang menunggu, maka server akan segera mengambil waktu libur kembali dan berlanjut terus sampai server menemukan setidaknya ada satu costumer yang sedang menunggu ketika server kembali dari waktu liburnya.

Misalkan H menyatakan banyaknya kedatangan costumer yang datang selama waktu libur server. Didefinisikan fungsi pembangkit peluang untuk H yaitu,

( )

1 . j j j H z ∞ H z = = ∑ (70) dimana H adalah peluang dari awal periode _j

sibuk server yang menemukan j costumer sedang menunggu pelayanan.

Jika Xn> maka dengan jelas diketahui 0, bahwa Xn+1=Xn− +1 Yn+1, sesuai dengan

model pada sistem antrian M/G/1 yang telah kita bahas sebelumnya (tidak ada waktu libur server). Jika Xn = maka server akan 0, pergi untuk libur dan tidak kembali untuk memulai pelayanan sampai ada H≥ di 1 sistem, sehingga didapat

X_n₊₁=H− +1 Y_n₊₁, X_n= . (71) 0

Didefinisikan peubah acak _, , 0 , 0 H K K K C H K > ⎧ = ⎨ ₌ ⎩ (72) sehingga persamaan (71) menjadi

Xn+1=CH X, n− +1 Yn+1. (73)

Didefinisikan fungsi pembangkit peluang

( )

1 , 1 1 1 . (74) n H Xn n X n C Y G z E z E z + + ∧ + − + ⎡ ⎤ = ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ = ⎢_⎣ ⎥_⎦

Karena X Yn, n+1dan H adalah peubah

acak yang saling bebas, maka persamaan (74) menjadi

( )

, 1 1 1 CH X n Yn n G∧ ₊ z E z⎡ ⎤E z⎡ − ⎤ E z⎡ + ⎤ = ⎢⎣ ⎥ ⎣⎦ ⎦ ⎣ ⎦. (75) Misalkan n→ ∞ , sehingga sistem dalam keadaan steady-state, kita dapatkan

( )

_{[ ]}

( )

, , ₍₇₆₎ H X H X Y C C A E z G z E z E z G z E z z ∧ ⎡ ⎤_{⎣ ⎦} ⎡ ⎤ = ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ = ⎣ ⎦ dimana

(

)

, , 0 . (77) H X H X C C k E z ∞ E z X k X k = ⎡ ⎤₌ _∑ ⎡ ₌ ⎤_Ρ ₌ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(lihat lampiran 5),

(21)

(

)

(

)

(

)

(

) (

)

(

)

, 1 1 1 0 . 0 . . 0 0 . 0 H X C H X k j j k j k E z E z X X E z X k X k H X z X z X k X ∞ = ∞ ∞ = = ⎡ ⎤= ⎡_⎣ = ⎤_⎦Ρ = + ∑ ⎡_⎣ = ⎤_⎦Ρ = ⎣ ⎦ Ρ = =∑ Ρ = +∑ Ρ = Ρ =

[ ]

( )

[ ]

( )

, ₀ ₀ 1 0 . (78) H X C X X X E z H z p G z p H z p G z ∧ ∧ ⎡ ⎤ ⎡ _{⎤ =} ₊_⎢ ₋ _⎥ ⎣ ⎦ _⎣ _⎦ ⎡ ⎤ =_⎣ − _⎦ +

Dengan mensubstitusi persamaan (78) ke dalam persamaan (76) maka didapat

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

_{( )}

( ) ( )

1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 . (79) A X A A X A A X A A X X A A G z G z H z p G z z G z G z G z G z H z p z z G z G z G z H z p z z z G z G z G z H z p z z H z p G z G z z G z ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ⎡_⎡ _⎤ ⎤ =_⎢_⎣ − _⎦ + _⎥ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ ⇔ − =_⎣ − _⎦ ⎛ ⎞ ⎡ ⎤ ⇔ ⎜_⎜ − _{⎟ ⎣}_⎟= − _⎦ ⎝ ⎠ ⎛ − ⎞ ⎡ ⎤ ⇔ ⎜_⎜ _{⎟ ⎣}_⎟= − _⎦ ⎝ ⎠ ⎡ − ⎤ ⎣ ⎦ ⇔ = −

Untuk menentukan p_X

( )

0 , terlebih dahulu kita buat persamaan (79) menjadi

Dengan mensubstitusi persamaan (82) ke persamaan (79) maka didapat

( )

_{( )}

( )

1

_{( )}

X

( )

0 A A H z G z G z z G z ∧ ⎡ − ⎤Ρ ⎣ ⎦ = − . (80) Untuk nilai z = 1, maka didapat

( )

1 A

( )

1

( )

1 1

G G H

∧

= = =

.

Bila kita kenakan limit z→ , maka dengan menggunakan 1 Aturan L’Hôpital persamaan (80) menjadi

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

1 1 1 0 1 1 lim 1 ' 0 lim 1 ' ' 1 0 1 ' 1 ' 1 0 , (81) 1 X z A A X z _A X A X H z p G G z G z H z p G z H p G H p ρ ∧ → → ⎡ − ⎤ ⎣ ⎦ = = − = − = − = − sehingga kita dapatkan

( )

0 1

_{( )}

' 1 X p H ρ − = . (82)

( )

_{( )}

1

(

1

) ( )

_{( )}

' 1 A A H z G z G z H z G z ρ ∧ ⎡_⎣ − ⎤_⎦ ₋ = −

. (83)

Berdasarkan persamaan (23) maka kita dapatkan

( )

_{( )}

( )

1

( )

' 1 ( 1) H z G z G z H z ∧ ⎡_⎣ − ⎤_⎦ = −

. (84)

Dari persamaan (84) kita mengetahui bahwa fungsi pembangkit peluang dari banyaknya costumer akibat kepergian

seorang costumer yang sudah selesai dilayani, dimana diperhatikan adanya waktu libur

server

(

G z

( )

∧

)

merupakan

( )

1 ' 1 ( 1) H z H z ⎡ − ⎤ ⎣ ⎦ − kalinya dari fungsi pembangkit peluang untuk banyaknya costumer akibat kepergian

seorang costumer yang sudah selesai dilayani, dimana tidak ada waktu libur server (G z ).

( )

Berdasarkan Teorema 1, nilai rata-rata dari banyaknya costumer di sistem antrian

(22)

14

keadaan steady state) juga ditentukan dengan mengambil turunan pertama dari fungsi pembangkit peluang G z

( )

∧

terhadap z dan kemudian mengambil limit z→ , 1

[ ]

[

]

( )

1 1 lim lim lim ' . (85) n n n n z E N E X E X G z ∧ →∞ + →∞ ∧ → ⎡ ⎤₌ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ = =

Dengan menggunakan aturan L’Hôpital maka kita dapatkan

2 2

₍

₎

2 '' 1

( )

_{( )}

2 1 2 ' 1 B H E N H λ σ ρ ρ ρ ∧ ⎡ ⎤_{= +} + ₊ ⎢ ⎥ ₋ ⎣ ⎦

(86)

(lihat Lampiran 6).

Suku pertama dan kedua pada persamaan (86) yaitu

(

)

2 2 2 2 1 B λ σ ρ ρ ρ + +

− adalah nilai rata-rata dari banyaknya costumer pada sistem antrian M/G/1 dengan tidak ada waktu libur

server. Sehingga diperoleh bahwa nilai

rata-rata dari banyaknya costumer sistem antrian

M/G/1 dengan waktu libur server adalah

( )

'' 1 2 ' 1

H

H lebihnya dari nilai rata-rata

banyaknya costumer pada sistem antrian

M/G/1 dengan tidak ada waktu libur server.

Hal ini menyebabkan nilai rata-rata banyaknya costumer pada sistem antrian

M/M/1 dengan waktu libur server juga

merupakan '' 1

( )

_{( )}

2 ' 1

H

H lebihnya dari nilai

rata-rata banyaknya costumer pada sistem antrian

M/M/1 dengan tidak ada waktu libur server,

yaitu sebagai berikut

₍

₎

'' 1

( )

_{( )}

. 1 2 ' 1 H E N H ρ ρ ∧ ⎡ ⎤₌ ₊ ⎢ ⎥ ₋ ⎣ ⎦

(87)

Begitu juga untuk sistem antrian M/D/1 dengan waktu libur server, yaitu

₍

2

₎

'' 1

( )

_{( )}

. 1 2 1 2 ' 1 H E N H ρ ρ ρ ρ ∧ ⎡ ⎤₌ ₋ ₊ ⎢ ⎥ ₋ ₋ ⎣ ⎦

(88)

Nilai Rata-rata Dari Panjang Antrian dan Waktu Antrian Pada Sistem Antrian

M/G/1, M/M/1 dan M/D/1 dengan waktu

libur server

N∧ pada persamaan (86) menyatakan banyaknya costumer di sistem (dalam keadaan

steady-state) setelah waktu kepergian seorang costumer pada sistem antrian M/G/1 dengan

waktu libur server, maka

N Y Q

∧ ∧

= +

(89)

dimana Q∧ adalah banyaknya costumer yang ditemukan oleh costumer yang datang selama waktu pelayanan seorang costumer lain yang terlebih dahulu datang. Dengan mengambil nilai harapan dari persamaan (92), didapat

[ ]

. (90) E N E Y E Q E Q ρ ∧ ∧ ∧ ⎡ ⎤₌ ₊ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ = + ⎢ ⎥_{⎣ ⎦}

Sehingga dari persamaan (86) kita dapatkan nilai rata-rata dari panjang sistem antrian M/G/1 dengan waktu libur server adalah sebagai berikut

2 2

₍

₎

2 '' 1

( )

_{( )}

. 2 1 2 ' 1 B H E Q H λ σ ρ ρ ∧ ⎡ ⎤₌ + ₊ ⎢ ⎥ ₋ ⎣ ⎦ (91)

Berikut ini merupakan nilai rata-rata dari panjang antrian pada sistem antrian M/M/1 dan M/D/1 dengan waktu libur server berturut-turut sebagai berikut

₍

2

₎

'' 1

( )

_{( )}

1 2 ' 1 H E Q H ρ ρ ∧ ⎡ ⎤ = + ⎢ ⎥ ₋ ⎣ ⎦

(92)

(dimana σB2 1₂ μ = ),

₍

2

₎

'' 1

( )

_{( )}

2 1 2 ' 1 H E Q H ρ ρ ∧ ⎡ ⎤₌ ₊ ⎢ ⎥ ₋ ⎣ ⎦

(93)

(dimana σ = ). B2 0

Untuk mendapatkan nilai rata-rata dari waktu tunggu pada sistem antrian M/G/1 dengan waktu libur server, kita gunakan Teorema Little, yaitu

E N λ.E T ∧ ∧ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (94) dimana E T⎡ ⎤_{⎢ ⎥}∧

⎣ ⎦ menyatakan rata-rata waktu yang dihabiskan costumer di dalam sistem (waktu tunggu) untuk sistem antrian M/G/1 dengan waktu libur server.

Berdasarkan persamaan (86) dan (94) maka didapat

2 2

₍

₎

2 '' 1

( )

_{( )}

. 2 1 2 ' 1 B H _{E T} H λ σ ρ ρ λ ρ ∧ ⎡ ⎤ + + + = _{⎢ ⎥} − _{⎣ ⎦}

(95)