Pengoptimuman Risiko dan Profit dalam Perencanaan Investasi Bank dengan Metode Goal programming dan Fuzzy Goal Programming.

(1)

PENGOPTIMUMAN RISIKO DAN PROFIT DALAM PERENCANAAN

INVESTASI BANK DENGAN METODE

GOAL PROGRAMMING

DAN

FUZZY GOAL PROGRAMMING

NURUL KHOTIMAH

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

(2)

ABSTRAK

NURUL KHOTIMAH. Pengoptimuman Risiko dan Profit dalam Perencanaan Investasi Bank

dengan Metode Goal Programming dan Fuzzy Goal Programming. Dibimbing oleh FARIDA

HANUM dan TONI BAKHTIAR.

Bank merupakan badan usaha yang menghimpun dana dari masyarakat dalam bentuk simpanan dan menyalurkannya kepada masyarakat dalam bentuk kredit atau bentuk lainnya. Sumber dana bank berasal dari dana sendiri, giro, deposito berjangka, dan tabungan. Dana yang dihimpun oleh bank dari berbagai sumber akan digunakan untuk berbagai pembiayaan khususnya ke dalam aktiva-aktiva yang dapat menghasilkan keuntungan, seperti pemberian kredit, investasi, dan usaha-usaha lainnya. Dalam masalah investasi bank terdapat tiga tujuan, yaitu meminimumkan aset berisiko, memaksimumkan profit, dan meminimumkan kecukupan modal. Dalam karya ilmiah ini, masalah-masalah tersebut diformulasikan dalam bentuk goal programming (GP) dan fuzzy goal programming (FGP) dan diselesaikan dengan bantuan software LINGO 11.0. Metode GP mengharuskan pembuat keputusan menetapkan secara tepat level aspirasi dari setiap tujuan yang ingin dicapai sehingga berakibat level aspirasi yang ditetapkan tidak teliti. Dalam masalah investasi bank, nilai dari beberapa parameter tidak diketahui secara pasti atau didefinisikan dalam arti fuzzy sehingga digunakan pendekatan FGP. Metode FGP menggunakan level aspirasi yang tidak tepat (imprecise) untuk setiap tujuan fuzzy. Tujuan fuzzy tersebut dikarakteristikan dengan fungsi keanggotaan masing-masing. Oleh karena itu, dengan menentukan nilai toleransi untuk setiap tujuan fuzzy, maka setiap tujuan yang diperoleh akan berada pada selang toleransi yang ditentukan, yaitu aset berisiko sebesar 707.54∈ 595, 805, profit sebesar

28100∈ 26695, 29505, dan kecukupan modal sebesar 118.5∈ 64.9, 171.5.

(3)

ABSTRACT

NURUL KHOTIMAH. Optimization of Risk and Profit in the Bank Investment Plans using Goal

Programming and Fuzzy Goal Programming. Supervised by FARIDA HANUM and TONI

BAKHTIAR.

Bank is defined as a financial institution that operates to collect funds from the public in the form of deposits and distributing the funds to the public in the form of credit, etc. Sources of bank funding come from equity capital, demand deposits, time deposits, and saving deposits. The funding will be used for a variety of financing, especially to the assets that can generate profits, such as credit, investment, etc. In the bank investment problem there are three objective functions, which minimize the risk assets, maximize the profit, and minimize the capital adequacy. In this work, the problems are formulated in the form of goal programming (GP) and fuzzy goal programming (FGP) and solved by using LINGO 11.0. GP method requires the decision maker precisely define the aspiration level of each objective function to be achieved. But in many cases the aspiration levels are not properly determined, they are intrinsically fuzzy. FGP method uses imprecise aspiration level for each fuzzy goal. The fuzzy goals are to be characterized by their respective membership functions. Therefore by determining the tolerance value for each fuzzy goal, each goal will be obtained at an interval specified tolerance. The goals are risk assets

= 707.5∈ 595, 805, profit = 28100∈ 26695,29505, and capital adequacy = 118.5∈ 64.9, 171.5 .

(4)

PENGOPTIMUMAN RISIKO DAN PROFIT DALAM PERENCANAAN

INVESTASI BANK DENGAN METODE

GOAL PROGRAMMING

DAN

FUZZY GOAL PROGRAMMING

NURUL KHOTIMAH

Skripsi

sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada

Departemen Matematika

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

(5)

Judul : Pengoptimuman Risiko dan Profit dalam Perencanaan Investasi Bank

dengan Metode

Goal programming

dan

Fuzzy Goal Programming.

Nama : Nurul Khotimah

NIM : G54080006

Menyetujui,

Pembimbing I

Pembimbing II

Dra. Farida Hanum, M.Si.

Dr. Toni Bakhtiar, M.Sc.

NIP. 19651019 199103 2 002

NIP. 19720627 199702 1 002

Mengetahui,

Ketua Departemen

Dr. Berlian Setiawaty, MS.

NIP. 19650505 198903 2 004

(6)

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur penulis panjatkan ke hadirat Allah SWT atas segala nikmat, karunia, izin, dan pertolongan-Nya sehingga penulisan skripsi ini berhasil diselesaikan. Tema yang dipilih adalah Riset Operasi dengan judul Pengoptimuman Risiko dan Profit dalam Perencanaan Investasi Bank dengan Metode Goal Programming dan Fuzzy Goal Prrogramming. Skripsi ini merupakan syarat untuk menyelesaikan studi pada Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Pertanian Bogor. Terima kasih penulis ucapkan kepada:

1 Dra. Farida Hanum, M.Si. dan Dr. Toni Bakhtiar, M.Sc. selaku dosen pembimbing serta Bapak Drs. Siswandi, M.Si. selaku penguji atas segala kesabaran dan masukannya selama membimbing penulis;

2 Dr. Ir. Hadi Sumarno, MS. selaku dosen pembimbing akademik dan seluruh dosen Departemen Matematika FMIPA IPB atas bekal ilmu yang telah diberikan kepada penulis;

3 Ibu dan Bapak serta seluruh keluarga atas nasihat, dukungan, doa, dan kasih sayang yang tiada henti;

4 keluarga besar dan staf Departemen Matematika FMIPA IPB: Bu Susi, Pak Yono, Mas Heri, Pak Deni, Bu Ade, Pak Acep, dan Pak Bono yang telah membantu penulis dalam administrasi dan sebagainya;

5 sahabat terbaik: Fitriyah, Putri Utari, Indah, dan Vitri atas segenap dukungan, motivasi, semangat, dan doa yang diberikan kepada penulis serta terima kasih kepada Yunda, Maya, Vivi, dan Isna atas segala bantuan dan masukan yang diberikan untuk penulis;

6 teman-teman mahasiswa Matematika angkatan 45 atas segenap dukungan, suka-duka dan kebahagiaan selama penulis menempuh studi di Departemen Matematika IPB;

7 keluarga besar Kost Edelweis atas segala dukungan dan semangat yang telah diberikan; 8 juga pihak-pihak lain yang telah membantu penyusunan skripsi ini, yang tidak dapat

disebutkan satu per satu.

Penulis menyadari bahwa dalam karya ilmiah ini masih terdapat kekurangan dan jauh dari kesempurnaan, oleh karena itu penulis mengharapkan kritik dan saran yang membangun dari pembaca. Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi semua pihak yang memerlukan.

Bogor, Juli 2012

(7)

vii Kamsari dan Sri Nur Heni. Penulis merupakan anak pertama dari tiga bersaudara.

Pada tahun 2008 penulis lulus dari SMA Negeri 2 Brebes. Penulis melanjutkan studinya di Program Studi Matematika, Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor melalui jalur Undangan Seleksi Masuk (USMI) IPB pada tahun 2008.

(8)

DAFTAR ISI

Halaman

DAFTAR TABEL ... vii

DAFTAR GAMBAR ... vii

DAFTAR LAMPIRAN ... viii

I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang ... 1

1.2 Tujuan ... 1

II LANDASAN TEORI 2.1 Istilah-Istilah Perbankan ... 1

2.2 Pemrograman Linear ... 4

2.3 Goal Programming ... 4

2.3.1 Preemptive Goal Programming ... 4

2.4 Logika Fuzzy (Fuzzy Logic) ... 5

III FUZZY GOAL LINEAR PROGRAMMING 3.1 Prosedur Pengoptimuman ... 10

IV CONTOH KASUS DAN PEMBAHASAN 4.1 Contoh Kasus Bank AXN ... 12

4.2 Model Pemrograman Linear dengan Multiobjektif dari Kasus Bank AXN ... 13

4.3 Model Goal Programming ... 14

4.4 Formulasi Fuzzy Goal Linear Programming ... 15

V SIMPULAN DAN SARAN 5.1 Simpulan ... 22

5.2 Saran ... 22

DAFTAR PUSTAKA ... 22

(9)

vii

1 Kategori investasi Bank AXN ... 13

2 Hasil fuzzy goal programming dengan nilai 1berubah dari 5% sampai 50% ... 29

3 Hasil fuzzy goal programming dengan nilai 1 berubah dari 55% sampai 100% ... 30

4 Hasil fuzzy goal programming dengan nilai ₂ berubah dari 5% sampai 50% ... 31

8 Hasil fuzzy goal programming dengan nilai ₁₁ berubah dari 5% sampai 50% ... 35

11 Hasil fuzzy goal programming dengan nilai ₁₂ berubah dari 55% sampai 100% ... 38

13 Hasil fuzzy goal programming dengan nilai ₂ berubah dari 55% sampai 100% ... 40

DAFTAR GAMBAR

Halaman 1 Grafik fungsi keanggotaan segitiga ... 6

2 Grafik fungsi keanggotaan segitiga kiri... 6

3 Grafik fungsi keanggotaan segitiga kanan ... 6

4 Grafik fungsi keanggotaan trapesium... 6

5 Grafik fungsi keanggotaan himpunan fuzzy dewasa ... 7

6 Grafik fungsi keanggotaan tujuan fuzzy (�) ... 8

7 Grafik fungsi keanggotaan tujuan fuzzy (�) ... 8

8 Grafik fungsi keanggotaan dari kendala fuzzy � ≅ ... 9

9 Diagram alir pengoptimuman MLP ... 11

10 Grafik perubahan nilai fungsi objektif terhadap 1 ... 16

11 Grafik perubahan nilai aset berisiko terhadap ₁ ... 17

12 Grafik perubahan total profit terhadap 1 ... 17

13 Grafik perubahan total kecukupan modal terhadap ₁ ... 17

15 Grafik perubahan nilai aset berisiko terhadap 2 ... 17

16 Grafik perubahan total profit terhadap ₂... 18

17 Grafik perubahan total kecukupan modal terhadap 2 ... 18

19 Grafik perubahan nilai aset berisiko terhadap ₃ ... 18

20 Grafik perubahan total profit terhadap 3... 18

21 Grafik perubahan total kecukupan modal terhadap ₃ ... 19

23 Grafik perubahan nilai aset berisiko terhadap 11... 19

26 Grafik perubahan nilai fungsi objektif terhadap ₁₂ ... 20

27 Grafik perubahan nilai aset berisiko terhadap 12... 20

28 Grafik perubahan total profit terhadap ₁₂ ... 20

31 Grafik perubahan nilai aset berisiko terhadap ₂ ... 21

(10)

viii

DAFTAR LAMPIRAN

Halaman

1 Penyelesaian Contoh 1 dengan Preemptive Goal Programming (Prioritas Pertama) .... 24

2 Penyelesaian Contoh 1 dengan Preemptive Goal Programming (Prioritas Kedua) ... 24

3 Persamaan Garis Melalui Dua Titik ... 24

4 Penyelesaian Contoh 2 dengan Fuzzy Goal Programming ... 25

5 Penyelesaian Masalah Investasi Bank AXN dengan Preemptive Goal Programming (Prioritas Pertama: Fungsi Objektif Aset Berisiko)... 25

6 Penyelesaian Masalah Investasi Bank AXN dengan Preemptive Goal Programming (Prioritas Kedua: Fungsi Objektif Profit) ... 26

7 Penyelesaian Masalah Investasi Bank AXN dengan Preemptive Goal Programming (Prioritas Ketiga: Fungsi Objektif Kecukupan Modal)... 26

8 Penyelesaian Masalah Investasi Bank AXN dengan Metode Goal Programming (Kasus 1: 1= 700, 2= 28100, 3= 118) ... 27

9 Penyelesaian Masalah Investasi Bank AXN dengan Metode Goal Programming (Kasus 1: ₁= 700, ₂= 28100, ₃= 80) ... 28

10 Tabel Hasil Fuzzy Goal Programming dengan Nilai 1 Selalu Berubah... 29

11 Tabel Hasil Fuzzy Goal Programming dengan Nilai 2 Selalu Berubah ... 31

12 Tabel Hasil Fuzzy Goal Programming dengan Nilai ₃ Selalu Berubah ... 33

13 Tabel Hasil Fuzzy Goal Programming dengan Nilai 11 Selalu Berubah ... 35

14 Tabel Hasil Fuzzy Goal Programming dengan Nilai ₁₂ Selalu Berubah ... 37

15 Tabel Hasil Fuzzy Goal Programming dengan Nilai 2 Selalu Berubah... 39

(11)

I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Bank umum atau yang lebih dikenal dengan nama bank komersial merupakan bank yang paling banyak beroperasi di Indonesia. Bank komersial memunyai peranan yang sangat penting untuk keberlangsungan perekonomian di suatu negara karena luasnya kegiatan finansial yang dilakukannya.

Peranan bank tidak hanya sebagai lembaga penghimpun dan penyedia dana saja, akan tetapi juga memotivasi dan mendorong inovasi dalam berbagai cabang kegiatan ekonomi. Sesuai dengan perannya sebagai perantara keuangan masyarakat maka pada dasarnya aktivitas utama manajemen bank adalah mengelola dana, baik mengatur dana yang masuk dari masyarakat dalam bentuk giro, deposito, dan tabungan maupun menyalurkannya dalam berbagai bentuk produk investasi. Keberhasilan dalam mengelola dana tersebut merupakan salah satu kunci sukses bagi manajemen bank dalam mengelola sebuah bank.

Manajemen dana berkaitan dengan masalah bagaimana mengoptimalkan dana yang dihimpun dan mengalokasikan dana tersebut untuk mencapai tingkat profitabilitas yang tinggi dengan tetap menjaga agar posisi likuiditas tetap aman sehingga kepercayaan masyarakat terhadap bank tetap terjaga. Oleh karena itu, manajemen bank tidak terlepas dari permasalah bagaimana memaksimumkan profit, meminimumkan aset berisiko, dan meminimumkan kecukupan modal. Masalah tersebut dapat diselesaikan dengan

menggunakan metode goal programming (GP) dan metode fuzzy goal programming (FGP).

Metode GP mengharuskan pengambil keputusan untuk menetapkan dengan pasti nilai aspirasi untuk setiap tujuan yang ingin dicapai sehingga dapat berakibat nilai aspirasi yang ditetapkan tidak teliti. Sedangkan metode FGP menggunakan nilai aspirasi yang tidak tepat (imprecise) untuk setiap tujuan dan kendala yang diinginkan. Fungsi tujuan dioptimalkan dengan memasukkan unsur fuzzy untuk menangani ketidaktepatan dalam menyatakan objektivitas sasaran yang ingin dicapai. Selain itu, masalah ini akan diselesaikan dengan menggunakan software LINGO 11.0.

Sumber utama karya ilmiah ini adalah artikel yang berjudul Goal programming and fuzzy goal programming techniques in the bank investment plans under the scenario of maximizing profit and minimizing risk yang ditulis oleh Mousumi Gupta dan Debasish Bhattacharya pada tahun 2010.

1.2 Tujuan

Tujuan dari karya ilmiah ini adalah memaksimumkan profit dan meminimumkan aset berisiko secara bersamaan dalam masalah pengalokasian dana bank untuk berbagai kategori investasi dengan menggunakan metode goal programming dan metode fuzzy goal programming.

II LANDASAN TEORI

2.1 Istilah-Istilah Perbankan

Menurut UU No. 10 Tahun 1998 tentang Perbankan, bank adalah badan usaha yang menghimpun dana dari masyarakat dalam bentuk simpanan dan menyalurkannya kepada masyarakat dalam bentuk kredit dan atau bentuk lainnya dalam rangka meningkatkan taraf hidup rakyat banyak. Berdasarkan jenisnya bank dibedakan atas Bank Sentral, Bank Umum, dan Bank Perkreditan Rakyat (BPR). Bank Umum adalah bank yang melaksanakan kegiatan usaha secara konvensional dan atau berdasarkan prinsip syariah yang dalam kegiatannya memberikan jasa dalam lalu lintas pembayaran.

Sumber-sumber Dana Bank

Dana bank adalah uang tunai yang dimiliki bank ataupun aktiva lancar yang dikuasai bank dan setiap waktu dapat diuangkan (Sinungan 1992). Sumber dana yang dimiliki bank terdiri atas dana internal dan dana eksternal. Dana internal adalah dana yang diperoleh dari dalam bank itu sendiri, sedangkan dana eksternal adalah dana yang diperoleh dari luar bank.

Menurut Sinungan (1992) dana bank bersumber dari:

1 dana sendiri, disebut juga dana dari pihak kesatu,

(12)

3 dana dari masyarakat, disebut dengan dana dari pihak ketiga.

Dana sendiri (equity capital) adalah dana yang berasal dari pemilik bank (pemegang saham). Sumber dana sendiri terdiri atas: 1 modal disetor, yaitu uang yang disetor

secara efektif oleh pemegang saham pada saat bank didirikan,

2 cadangan-cadangan, yaitu sebagian laba bank yang disisihkan dalam bentuk cadangan modal dan cadangan lainnya yang digunakan untuk menutupi kemungkinan timbulnya risiko di kemudian hari,

3 agio saham, yaitu nilai selisih jumlah uang yang dibayarkan oleh pemegang saham baru dibandingkan dengan nilai nominal saham,

4 laba ditahan, yaitu laba milik pemegang saham yang diputuskan oleh mereka sendiri melalui rapat umum pemegang saham untuk tidak dibagikan sebagai dividen, tetapi dimasukkan kembali dalam modal kerja untuk operasional bank.

(Dendawijaya 2005) Sumber dana pihak kedua terdiri atas: 1 call money, yaitu pinjaman dari bank lain

yang berupa pinjaman harian antarbank; pinjaman ini diminta bila ada kebutuhan mendesak yang diperlukan bank,

2 pinjaman biasa antarbank, yaitu pinjaman dari bank lain yang berupa pinjaman biasa dengan jangka waktu relatif lebih lama,

3 pinjaman dari lembaga keuangan bukan bank (LKBB),

4 pinjaman dari bank sentral (BI).

(Dendawijaya 2005) Dana pihak ketiga adalah dana yang diperoleh dari masyarakat, dalam arti masyarakat sebagai individu, perusahaan, pemerintah, rumah tangga, koperasi, yayasan, dan sebagainya baik dalam mata uang rupiah maupun dalam valuta asing. Pada sebagian besar bank, dana masyarakat merupakan dana terbesar yang dimiliki bank. Hal ini sesuai dengan fungsi bank sebagai penghimpun dana dari masyarakat. Sumber dana pihak ketiga terdiri atas:

1 giro (demand deposits atau checking accounts), yaitu simpanan yang dapat digunakan sebagai alat pembayaran dan penarikannya dapat dilakukan setiap saat dengan menggunakan cek, sarana perintah pembayaran lainnya atau dengan

cara pemindahbukuan (Undang-undang No.10 Tahun 1998 tentang Perbankan), 2 deposito berjangka (time deposits), yaitu

simpanan pihak ketiga pada bank yang penarikannya hanya dapat dilakukan dalam jangka waktu tertentu menurut perjanjian antara pihak ketiga dan bank yang bersangkutan,

3 tabungan (saving deposits), yaitu simpanan yang penarikannya hanya dapat dilakukan menurut syarat-syarat tertentu yang disepakati, tetapi tidak dapat ditarik dengan cek atau alat yang dapat dipersamakan dengan itu.

(Dendawijaya 2005) Dalam karya ilmiah ini hanya akan digunakan sumber dana dari pihak kesatu dan sumber dana dari pihak ketiga.

Penggunaan Dana Bank

Dana yang dihimpun oleh bank dari berbagai sumber akan digunakan untuk berbagai pembiayaan khususnya ke dalam aktiva-aktiva yang dapat menghasilkan keuntungan, seperti pemberian kredit, investasi, dan usaha-usaha lainnya. Namun di samping tujuan untuk memperoleh keuntungan, masalah pengamanan likuiditas dan kemungkinan timbulnya risiko atas penggunaan dana tersebut juga merupakan hal yang penting untuk diperhatikan.

Dalam Sihombing (1993) dikemukakan bahwa dana bank dialokasikan untuk:

1 pemenuhan legal reserve requirement, 2 cadangan untuk pemenuhan likuiditas, 3 pemenuhan kebutuhan kredit para

nasabahnya, dan

4 sisanya diinvestasikan dalam portofolio sekuritas.

Penggunaan dana bank berdasarkan prioritas penggunaan dana bank adalah sebagai berikut:

(13)

2 cadangan sekunder bank (secondary bank reserve) merupakan pelengkap cadangan primer bank yang sifatnya likuid. Jika diperlukan, maka cadangan sekunder dapat segera diuangkan, misalnya untuk membayar penarikan dana pihak ketiga yang penarikannya di luar kewajaran atau untuk ekspansi kredit. Pada umumnya cadangan sekunder berbentuk surat berharga yang mempunyai peringkat tinggi, berisiko rendah, berjangka waktu pendek dan sangat mudah dijual sehingga dapat dengan segera dikonversikan menjadi uang tunai pada saat dibutuhkan, 3 penyaluran kredit merupakan kegiatan

utama bank. Oleh karena itu, kredit menjadi sumber pendapatan dan keuntungan bank yang terbesar. Karena besarnya risiko kredit, kredit juga merupakan jenis kegiatan penanaman dana yang sering menjadi penyebab utama bank menghadapi masalah besar, 4 investasi, yaitu penanaman dana dalam

surat-surat berharga yang berjangka panjang. Tujuannya adalah untuk memperoleh pendapatan. Instrumen untuk investasi antara lain obligasi dengan berbagai jenisnya,

5 aktiva tetap (fixed assets), yaitu penanaman dana bank dalam bentuk aktiva tetap, seperti pembelian tanah, pembangunan gedung kantor bank, peralatan operasional bank, dan aktiva tetap lainnya.

(Dendawijaya 2005) Dalam karya ilmiah ini faktor-faktor yang menentukan penanaman dana untuk investasi meliputi:

a. tingkat pendapatan (return rate), yaitu penerimaan dana sebagai hasil dari suatu investasi,

b. bagian likuid (liquid part), yaitu posisi aktiva yang dengan cepat dapat diubah menjadi kas tanpa kerugian yang berarti, c. kecukupan modal (capital adequacy),

yaitu kemampuan suatu bank untuk menyerap atau menutup kerugian operasional atau penyusutan jumlah nilai asetnya,

d. risiko, yaitu tingkat kemungkinan terjadinya kerugian yang harus ditanggung dalam pemberian kredit, penanaman investasi, atau transaksi lain yang dapat berbentuk harta, kehilangan keuntungan, atau kemampuan ekonomis, antara lain, karena adanya perubahan

suku bunga, kebijakan pemerintah, dan kegagalan usaha,

(BI 2010) Penggunaan dana bank menurut sifat aktiva, meliputi:

1 penanaman dana dalam aktiva tidak produktif (non earning assets), yaitu penanaman dana dalam bentuk aktiva yang tidak memberikan hasil bagi bank. Komponen dana dalam bentuk aktiva tidak produktif ini terdiri atas cadangan primer dan penanaman dana dalam aktiva tetap dan inventaris,

2 penanaman dana dalam aktiva produktif (earning assets), yaitu semua aktiva dalam rupiah dan valuta asing yang dimiliki bank dengan maksud untuk memperoleh penghasilan sesuai dengan fungsinya. Komponen aktiva produktif terdiri atas cadangan sekunder, kredit, dan investasi jangka panjang.

(Dendawijaya 2005) Dalam karya ilmiah ini penggunaan dana bank diklasifikasikan sebagai berikut:

1 kas (cash), yaitu uang kartal yang dapat ditarik setiap saat,

2 investasi jangka pendek (short term investment), yaitu investasi yang dapat segera dicairkan dan dimaksudkan untuk dimiliki selama 12 bulan atau kurang, 3 surat berharga pemerintah jangka waktu

satu sampai lima tahun,

4 surat berharga pemerintah jangka waktu lima sampai sepuluh tahun,

5 pinjaman angsuran (instalment loans), yaitu pinjaman yang pembayaran pokok dan bunganya dilakukan secara berkala dalam jumlah angsuran yang sama pada jangka waktu tertentu,

(14)

7 sejumlah yang diperlukan setiap waktu tanpa khawatir ceknya ditolak atau mereka harus membayar denda cerukan (overdraft penalty),

8 pinjaman komersial (commercial loans), yaitu pinjaman yang diberikan kepada pengusaha, pedagang, atau pegawai yang digunakan untuk modal kerja atau modal usaha dengan jaminan benda bergerak atau benda tidak bergerak.

(BI 2010)

2.2 Pemrograman Linear

Sebelum membahas pemrograman linear (PL) atau linear programming (LP), terlebih dahulu akan dibahas fungsi linear yang didefinisikan sebagai berikut.

Definisi 1 (Fungsi Linear)

Suatu fungsi (�₁,�₂,…,� ) dari �1,�2,…,� disebut sebagai fungsi linear jika

dan hanya jika untuk beberapa kendala

1, 2,…, ; fungsi dapat dituliskan dengan

�1,�2,…,� = 1�1+ 2�2+⋯+ � .

(Winston 2004) Pemrograman linear adalah suatu masalah optimasi yang memenuhi ketentuan-ketentuan sebagai berikut:

a. Tujuan masalah tersebut adalah memaksimumkan atau meminimumkan suatu fungsi linear dari sejumlah variabel keputusan. Fungsi yang akan dimaksimumkan atau diminimumkan ini disebut fungsi objektif.

b. Nilai variabel-variabel keputusan harus memenuhi suatu himpunan kendala. Setiap kendala harus berupa persamaan linear atau pertaksamaan linear.

c. Ada pembatasan tanda untuk setiap variabel dalam masalah ini. Untuk sembarang variabel � , pembatasan tanda menentukan � harus taknegatif (� 0) atau tidak dibatasi tanda (unrestricted sign).

(Winston 2004)

2.3 Goal Programming (GP)

Goal programming adalah salah satu teknik yang dapat digunakan oleh pembuat keputusan untuk menyelesaikan masalah optimasi dengan tujuan lebih dari satu (multiobjektif).

(Winston 2004) Model goal programming merupakan perluasan dari model pemrograman linear, sehingga dapat menggunakan asumsi, notasi,

formulasi model, prosedur perumusan model dan penyelesaian yang sama. Model goal programming memiliki sepasang variabel deviasi − dan + yang taknegatif. Variabel

− _{mendefinisikan sejumlah nilai yang}

menampung deviasi yang berada di bawah sasaran ke-j sedangkan variabel + mendefinisikan sejumlah nilai yang menampung deviasi yang berada di atas sasaran ke-j. Variabel-variabel deviasi ini harus diminimumkan pada model goal programming. Suatu tujuan ke-j dianggap berhasil bila variabel deviasi pada fungsi objektif tujuan ke- bernilai 0.

(Winston 2004)

2.3.1 Preemptive Goal Programming

Preemptive goal programming adalah masalah goal programming dengan mengatur urutan prioritas peminimuman variabel deviasi. Preemptive goal programming digunakan jika pembuat keputusan dihadapkan pada masalah penentuan prioritas tujuan. Untuk mengaplikasikan model ini, pembuat keputusan harus menentukan peringkat tujuan mulai dari yang paling penting hingga tujuan yang tidak terlalu penting. Diasumsikan bahwa pembuat keputusan memiliki tujuan. Koefisien fungsi objektif untuk variabel yang merepresentasikan tujuan ke-i dinotasikan sebagai �. Diasumsikan bahwa

�1≫ �2≫ �3≫ ⋯ ≫ � ,

yang berarti bahwa tujuan ke-1 menjadi prioritas pertama, tujuan ke-2 menjadi prioritas kedua, tujuan ke-3 menjadi prioritas ketiga dan seterusnya. Oleh karena itu, pembuat keputusan akan memenuhi tujuan ke-1 terlebih dahulu, kemudian tujuan ke-2 dan seterusnya sampai tujuan ke- .

(Winston 2004) Tahapan penyelesaian preemptive goal programming memenuhi ketentuan sebagai berikut:

1 ditentukan prioritas tujuan yang didasarkan pada tingkat kepentingan tujuan; tujuan yang menjadi prioritas pertama akan diselesaikan terlebih dahulu, kemudian tujuan kedua dan seterusnya sampai tujuan ke- ,

(15)

3 jika tujuan pada prioritas pertama adalah meminimumkan, maka fungsi tujuan pada prioritas pertama akan menjadi kendala tambahan pada prioritas kedua dengan tanda pertaksamaan , sedangkan jika tujuan pada prioritas pertama adalah memaksimumkan, maka fungsi tujuan pada prioritas pertama akan menjadi kendala tambahan pada prioritas kedua dengan tanda pertaksamaan , begitu seterusnya sampai prioritas ke- , 4 jika tidak diperoleh solusi fisibel pada

prioritas ke- , maka solusi optimal yang digunakan adalah solusi yang diperoleh pada prioritas ke-( −1).

(Gupta dan Bhattacharya 2010b) Ilustrasi model preemptive goal programming dan penyelesaiannya dapat dilihat pada Contoh 1.

Contoh 1

Misalkan diberikan model pemrograman linear dengan tujuan lebih dari satu atau multiobjective linear programming (MLP) sebagai berikut:

1) Minimumkan

�1≔8�1+ 11�2+ 10�3+ 12�4

2) Maksimumkan �2≔

�1

5 +

�2

4

dengan kendala

�1+�2+�3+�4= 300

�1 125

�2 100

�3 150

�4 120

� 0, = 1,2, 3, 4.

Diasumsikan bahwa tujuan pertama menjadi prioritas pertama dan tujuan kedua menjadi prioritas kedua, maka model preemptive goal programming menjadi:

Prioritas pertama`

Minimumkan

�1≔8�1+ 11�2+ 10�3+ 12�4

dengan kendala

�1+�2+�3+�4= 300

�1 125

�2 100

�3 150

�4 120

� 0, = 1,2, 3, 4

Penyelesaian masalah ini menghasilkan solusi optimal �1= 125,�2= 25,�3= 150,�4= 0

dengan nilai fungsi objektif �₁= 2775 dan

�2= 31.25 (detail penghitungan dapat dilihat

di Lampiran 1). Kemudian ditambahkan kendala baru �1 2775 pada pemaksimuman

fungsi objektif kedua, sehingga modelnya menjadi:

Prioritas kedua

Maksimumkan �2≔

�1

5 +

�2

4

dengan kendala

�1+�2+�3+�4= 300

�1 125

�2 100

�3 150

�4 120

�1 2775

� 0, = 1,2, 3, 4.

Penyelesaian masalah ini menghasilkan solusi optimal �1= 125,�2= 25,�3= 150,�4= 0

dengan total nilai fungsi objektif �1= 2775

dan �₂= 31.25 (detail penghitungan dapat dilihat di Lampiran 2).

Dari hasil preemptive goal programming pada prioritas kedua, maka solusi optimal dari masalah pada Contoh 1 ialah �1= 125,�2=

25,�₃= 150,�₄= 0 dengan nilai fungsi objektif pada prioritas pertama sebesar 2775

dan total nilai fungsi objektif �₁= 2775 dan �2= 31.25.

2.4 Logika Fuzzy (Fuzzy Logic)

Konsep fuzzy pertama kali diperkenalkan oleh Lotfi A. Zadeh pada tahun 1965. Teori logika fuzzy merupakan perluasan dari teori himpunan tegas (crisp) yang menggunakan derajat keanggotaan {0, 1} menjadi selang [0, 1]. Pada teori himpunan klasik, keberadaan suatu elemen pada suatu himpunan hanya akan memiliki dua kemungkinan keanggotaan, yaitu

1, jika ( )

0, jika

A

x A

x

x A



  _



dengan � (�) menyatakan derajat keanggotaan dari � di himpunan .

(16)

Definisi 2 (Himpunan Fuzzy)

Jika � adalah koleksi dari objek-objek yang dinotasikan dengan �, maka suatu himpunan fuzzy dalam � adalah suatu himpunan pasangan berurutan:

= (�,� (�)) � ∈ �

dengan � � :� →[0, 1] adalah fungsi keanggotaan dari suatu himpunan fuzzy yang memetakan � ke ruang keanggotaan yang terletak pada selang 0,1 . Nilai fungsi

� (�) menyatakan derajat keanggotaan atau nilai keanggotaan dari � di himpunan .

(Zimmermann 1991) Fungsi keanggotaan dalam himpunan fuzzy adalah suatu pemetaan dari suatu objek ke dalam derajat keanggotaannya yang memiliki interval antara 0 sampai 1.

Beberapa contoh fungsi keanggotaan dalam suatu himpunan fuzzy beserta grafiknya diberikan dalam Contoh 2 berikut ini.

Contoh 2

1) Fungsi keanggotaan segitiga

� � =

0, jika atau

, jika

1, jika

, jika

x a x c

x a

a x b

b a

x b

c x

b x c

c b           













� (�) 1 � 0

Gambar 1 Grafik fungsi keanggotaan segitiga.

2) Fungsi keanggotaan segitiga kiri

� � = 0, jika , jika 1, jika x a x a

a x b

b a x b      











� (�) 1 � 0

Gambar 2 Grafik fungsi keanggotaan segitiga kiri.

3) Fungsi keanggotaan segitiga kanan

� � = 1, jika , jika 0, jika x b c x

b x c

c b x c      











� (�) 1 � 0

Gambar 3 Grafik fungsi keanggotaan segitiga kanan.

4) Fungsi keanggotaan trapesium

� � =

0, jika atau

, jika

1, jika

, jika

x a x d

x a

a x b

b a

b x c

d x

c x d

d c            













� (�) 1 � 0

(17)

Ilustrasi bentuk himpunan fuzzy dan fungsi keanggotaannya dapat dilihat pada Contoh 3.

Contoh 3

Misalkan seseorang dikatakan sudah dewasa jika berumur 17 tahun atau lebih, maka dalam logika tegas, seseorang yang berumur kurang dari 17 tahun dikatakan tidak dewasa. Sedangkan pada logika fuzzy, seseorang yang berumur di bawah 17 tahun dapat dikategorikan dewasa tetapi tidak penuh. Secara grafik dapat digambarkan sebagai berikut:

� (�)

1

� 0 10 17

Gambar 5 Grafik fungsi keanggotaan himpunan fuzzy dewasa.

dengan � adalah umur (tahun), ialah himpunan orang dewasa, dan � (�) adalah fungsi keanggotaan yang dapat ditulis sebagai berikut:

� � =

0, jika 0 10

10

, jika 10 17 17 10

1, jika 17

x x

x

  













Dari fungsi keanggotaan tersebut dapat dilihat bahwa seseorang yang berumur 12 tahun termasuk dalam himpunan orang dewasa dengan derajat keanggotaan � 12 =2

7.

Derajat keanggotaan menunjukkan seberapa besar eksistensi dari seseorang yang berumur 12 tahun dalam himpunan orang dewasa.

III

FUZZY GOAL LINEAR PROGRAMMING

Konsep fuzzy linear programming untuk menyelesaikan masalah pemrograman linear multiobjektif atau multiobjective linear programming (MLP) pertama kali diperkenalkan oleh Zimmerman pada tahun 1978. Pada tahun 1980, Narasimhan menggunakan teori himpunan fuzzy untuk metode goal programming. Selanjutnya pada tahun 1997, Mohamed mempelajari model fuzzy programming dengan menggunakan konsep goal programming (Gupta dan Bhattacharya 2010b).

Dalam karya ilmiah ini akan dikonstruksi masalah fuzzy goal programming (FGP) yang merupakan perluasan dari model goal programming. FGP adalah model goal programming dengan fungsi objektif dan fungsi kendala yang memiliki parameter dan pertaksamaan atau persamaan fuzzy. Parameter FGP memiliki derajat keanggotaan tertentu dalam selang [0, 1] dan dinyatakan dalam pertaksamaan fuzzy, yaitu (mendekati lebih besar atau sama dengan), atau (mendekati lebih kecil atau sama dengan) atau persamaan fuzzy, yaitu ≅ (mendekati sama dengan).

Model fuzzy goal programming dapat diformulasikan sebagai berikut:

Tentukan

�= (�1,�2,…,� )�∈ �

sehingga memenuhi fungsi tujuan � , = 1, 2,…,�,

terhadap kendala

� ≅ , = ( ₁, ₂,…, )� ∈ �

dengan

� = vektor variabel keputusan

= ketidaktepatan level aspirasi (nilai ruas kanan) ke-k dari tujuan � ( = 1, 2,…,�)

= matriks koefisien berordo ×

= vektor nilai ruas kanan kendala � = tujuan fuzzy

ke-Tanda merupakan bentuk fuzzy dari tujuan dan kendala tipe , tanda merupakan bentuk fuzzy dari tujuan dan kendala tipe ,

dan tanda ≅ merupakan bentuk fuzzy dari kendala tipe =.

(18)

Selanjutnya ditetapkan derajat tertinggi sebagai level aspirasi dari tujuan fuzzy. Fungsi tujuan fuzzy menggunakan level aspirasi yang bersifat tidak tepat. Model fuzzy ini perlu diubah ke dalam persamaan tegas (crips) dengan menyubstitusikan fungsi tersebut pada fungsi keanggotaan fuzzy linear.

Menurut Gupta dan Bhattacharya (2010b), jika mendefinisikan toleransi untuk tujuan fuzzy ke- , yaitu konstanta positif yang dipilih secara subjektif dari ketidaktepatan nilai yang masih dapat diterima, maka fungsi keanggotaan dari fungsi tujuan fuzzy (�), dinyatakan dengan � � , dapat digunakan untuk mendefinisikan tujuan fuzzy

(�) sebagai berikut:

 Untuk tujuan fuzzy (�) , = 1,2,…,�, fungsi keanggotaannya didefinisikan sebagai berikut:

0, jika ( )

( ) ( )

jika ( )

1, jika ( )

,

Z_k X g_k p_k Z_k X g_k p_k

g_k p_k Z_k X g_k pk

g Z_k X g_k p

k k

   

  



 











Grafik fungsi keanggotaan �( (�))

diberikan pada Gambar 6 berikut. (lihat Lampiran 3)

�( (�))

1

(�)

0 − +

  

Gambar 6 Grafik fungsi keanggotaan tujuan fuzzy � .

 Untuk tujuan fuzzy � , = 1,2,…,�, fungsi keanggotaannya didefinisikan sebagai berikut:

1, jika ( )

( ) ( )

, jika ( )

0, jika ( )

k k k k

k k k

k k k k

k

k k k

g p Z X g

g p Z X

g Z X g p

p

Z X g p

  

 

  

 











Grafik fungsi keanggotaan �( (�))

diberikan pada Gambar 7 berikut. (lihat Lampiran 3)

�( (�))

1

(�)

0 − +

  

Gambar 7 Grafik fungsi keanggotaan tujuan fuzzy � .

dengan − dan + masing-masing menunjukkan batas bawah toleransi dan batas atas toleransi untuk tujuan fuzzy � .

Jika ( = 1, 2,…, ) mendefinisikan toleransi untuk kendala fuzzy ke-i, yaitu konstanta positif yang dipilih secara subjektif dari ketidaktepatan nilai yang masih dapat diterima, maka fungsi keanggotaan dari kendala fuzzy � ( adalah baris ke-i dari matriks �), dinyatakan dengan � � ,

dapat digunakan untuk mendefinisikan kendala fuzzy � sebagai berikut:

 Untuk kendala fuzzy � , = 1,2,…, ( adalah baris ke- dari vektor

), fungsi keanggotaannya didefinisikan sebagai berikut:

0, jika ( )

( ) ( )

, jika ( )

1, jika ( )

i i i

i i i i

i

i i i i

a X b q

b q a X b

q

b a X b q

 

 

  

  











(Z (X))

k

 

(Z_k( ))X





( ( ))a X_i

(19)

 Untuk kendala fuzzy � , = 1,2,…, , fungsi keanggotaannya didefinisikan sebagai berikut:

1, jika ( )

( ) ( )

, jika ( )

0, jika ( )

b q a X_i b_i

i i

b_i q_i a X_i

b_i a X_i b_i q_i qi

a X_i b_i q_i

         











dengan − dan + masing-masing menunjukkan batas bawah toleransi dan batas atas toleransi untuk kendala fuzzy pertaksamaan � .

 Untuk kendala fuzzy � ≅ , = 1,2,…, , fungsi keanggotaannya didefinisikan sebagai berikut:

1 2 1 1 1 2 2 2

jika ( ) 0,

atau ( )

( ) ( )

, jika ( )

1, jika ( )

( ) ( )

, jika ( )

i

a X_i b_i q_i

a X_i b_i q

b_i q_i a X_i b_i q

a X_i b_i

b_i q_i a X_i

b_i a X_i b_i q_i qi               











Grafik fungsi keanggotaan �( (�)) diberikan pada Gambar 8 berikut.

�( (�))

1

(�)

0 − ₁ + ₂

 ₁  ₂ 

Gambar 8 Grafik fungsi keanggotaan dari kendala fuzzy � ≅ .

dengan − 1 dan + 2 masing-masing

menunjukkan batas bawah toleransi dan batas atas toleransi untuk kendala fuzzy persamaan � dengan 1 dan 2 berturut-turut

mendefinisikan toleransi dari kendala fuzzy ke- untuk kendala fuzzy persamaan ke-1 dan

kendala fuzzy persamaan ke-2. Nilai toleransi

1 dan 2 boleh berbeda.

Pada metode fuzzy goal programming, derajat keanggotaan �( (�)) dari suatu tujuan ke-k berada pada selang 0, 1 ,

sehingga dengan menambahkan variabel deviasi − dan +, fungsi keanggotaan dari tujuan fuzzy dapat direpresentasikan sebagai berikut:

� � + −− += 1,

untuk fungsi keanggotaan dari tujuan tipe dan dengan −, + _0, +_∙ −_{= 0,} ₌

1, 2,…,�. Variabel − dan + berturut-turut merupakan variabel deviasi yang berada di bawah dan di atas dari derajat keanggotaan tujuan fuzzy ke- .

Suatu tujuan ke- dikatakan berhasil dicapai bila nilai variabel deviasi − dan + kurang dari satu. Jika nilai variabel deviasi

−_{> 1,}_{maka akan mengakibatkan derajat}

keanggotaan � � < 0. Sedangkan jika

+_{> 1,} _{maka akan mengakibatkan nilai}

fungsi objektif (�) melebihi batas toleransi yang diberikan oleh pembuat keputusan. Semakin nilai variabel deviasi − dan +

dekat dengan 0, semakin besar tingkat keberhasilan tujuan ke- .

Suatu kendala fuzzy ke- memiliki derajat keanggotaan pada selang 0, 1, sehingga dengan menambahkan variabel deviasi − dan

+_,_{fungsi keanggotaan dari kendala tipe}

dan dapat direpresentasikan sebagai berikut:

� � + −− +_{= 1}₍₁₎ −_, + _0, +_⋅ −_{= 0, = 1, 2,}_…_, _. −_dan +_{merupakan variabel deviasi yang}

berada di bawah dan di atas dari derajat keanggotaan kendala fuzzy ke- .

Suatu kendala ke- dikatakan berhasil dicapai bila nilai variabel deviasi −dan + kurang dari satu. Jika nilai variabel deviasi

−_{> 1,}_{maka akan mengakibatkan derajat}

keanggotaan � � < 0. Sedangkan jika

+_{> 1,} _{maka akan mengakibatkan nilai}

fungsi objektif (�) melebihi batas toleransi yang diberikan oleh pembuat keputusan. Semakin nilai variabel deviasi − dan + dekat dengan 0, semakin besar tingkat keberhasilan kendala ke- .

Fungsi keanggotaan untuk kendala fuzzy persamaan merupakan gabungan dari fungsi keanggotaan untuk kendala fuzzy (a_i(X))

 

(a_i(X))

(20)

pertaksamaan ( dan ), maka fungsi keanggotaan dari kendala fuzzy persamaan dapat direpresentasikan seperti persamaan (1).

Selanjutnya akan digunakan metode min sum fuzzy goal programming, yaitu suatu metode fuzzy goal programming yang menggunakan fungsi keanggotaan dari fungsi objektif dan fungsi kendala yang dianggap sebagai kendala fuzzy dengan menetapkan derajat tertinggi dari level aspirasi. Metode ini akan meminimumkan variabel deviasi yang berada di bawah tujuan dan kendala fuzzy.

(Gupta dan Bhattacharya 2010b) Menurut Gupta dan Bhattacharya (2010b) metode min sum fuzzy goal programming dapat diformulasikan sebagai berikut:

Tentukan

�= (�1,�2,…,� )∈ �

yang meminimumkan

1 1

K m

k i

z

d



d



 









dengan kendala

(1) � −( − )+ −− += 1, (untuk tujuan tipe )

(2) + − � + −− +_{= 1,}

(untuk tujuan tipe ) (3) � − − + −− +_{= 1,}

(untuk kendala tipe ) (4) + − � + −− +_{= 1,}

(untuk kendala tipe ) (5) + 1 − �

1 +

−₋ +_{= 1} � − − 2

2 +

−₋ +_{= 1}

(untuk kendala tipe ≅)

(6) �, −, + 0; −, + 1; +⋅ −= 0; = 1,2,…,�

−, + 0; −, + 1, +⋅ −= 0; = 1, 2,…, .

Dengan menambahkan kendala batas toleransi untuk setiap kendala fuzzy, maka model min sum fuzzy goal programming tersebut dapat dituliskan sebagai berikut: Tentukan

�= (�1,�2,…,� )∈ �

yang meminimumkan

1 1

K m

k i

z

d



d



 









dengan kendala

(1) � −( − )+ −− += 1, (untuk tujuan tipe )

(2) + − � + −− +_{= 1,}

(untuk tujuan tipe ) (3) � − − + −− += 1,

(untuk kendala tipe ) (4) + − � + −− +_{= 1,}

(untuk kendala tipe ) (5) + 1 − �

1 +

−₋ +_{= 1} � − − 2

2 +

−₋ +_{= 1}

(untuk kendala tipe ≅)

(6) − � +

(kendala batas toleransi untuk tujuan tipe dan )

(7) − � +

(kendala batas toleransi untuk kendala tipe dan )

(8) − ₁ � + ₂

(kendala batas toleransi untuk kendala tipe ≅)

(9) �, −, + _0, _{> 0;} −_, + _1; +_⋅ −_{= 0; = 1,2,}_…_,_�

−, + 0, , 1, 2> 0; −, + 1, +_⋅ −_{= 0; = 1, 2,}_…_, _.

3.1 Prosedur Pengoptimuman

Tahapan dan diagram alir dari proses pengoptimuman dengan metode fuzzy goal programming dapat direpresentasikan sebagai berikut:

Tahapan proses pengoptimuman memenuhi ketentuan sebagai berikut:

1 formulasikan model fuzzy goal programming,

2 identifikasi tipe fuzzy dari tujuan yang ingin dicapai, yaitu untuk kasus maksimisasi dan untuk kasus minimisasi. Kemudian tentukan level aspirasi ( ) untuk tujuan ke- ,

3 ditentukan kendala yang akan menjadi kendala fuzzy,

4 ditentukan nilai toleransi untuk setiap tujuan dan kendala fuzzy kemudian konstruksi fungsi keanggotaan dari tujuan dan kendala fuzzy berdasarkan limit toleransi yang diperoleh,

5 aplikasikan ke dalam model min sum fuzzy goal programming sehingga semua tujuan fuzzy berhasil dicapai,

(21)

Diagram alir untuk proses pengoptimuman diberikan pada Gambar 9 berikut:

Tidak

Ya

Gambar 9 Diagram alir pengoptimuman MLP. Ilustrasi fuzzy goal programming dapat dilihat pada Contoh 4.

Contoh 4

Berdasarkan MLP pada Contoh 1, maka diperoleh formulasi model fuzzy goal programming sebagai berikut:

Tentukan

�= (�1,�2,�3,�4)

sehingga memenuhi fungsi tujuan (1) 8�₁+ 11�₂+ 10�₃+ 12�₄ 2700

(2) �1

5 + �2

4 32

terhadap kendala

(1) �1+�2+�3+�4≅300

(2) �1 125

(3) �2 100

(4) �3 150

(5) �₄ 120

(6) � 0, = 1,2, 3, 4

Fungsi tujuan (1) dan (2) diperoleh dari fungsi tujuan masalah pada Contoh 1. Diasumsikan fungsi tujuan (1) dan (2) merupakan fungsi tujuan fuzzy dan kendala (1) merupakan kendala fuzzy.

Misalkan dipilih batas toleransi 1= 20

dan ₂= 16 berturut-turut untuk fungsi keanggotaan dari fungsi tujuan fuzzy 1(�)

(kendala pertama) dan 2 � (kendala kedua)

dan ₁₁= 50, ₁₂= 25 untuk fungsi keanggotaan dari kendala fuzzy persamaan

1 � (kendala ketiga), maka fungsi

keanggotaan untuk setiap tujuan dan kendala fuzzy menjadi:

 Fungsi keanggotaan untuk tujuan (1)

1

(Z (X))

 

1 1

1

1, jika 2680 ( ) 2700

2720 ( )

, jika 2700 ( ) 2720 20

0, jika ( ) 2720

Z X Z X Z X Z X      











dengan 1 � = 8�1+ 11�2+ 10�3+ 12�4  Fungsi keanggotaan untuk tujuan (2)

2

(Z (X))

 

2 2

2

0, jika ( ) 16

( ) 16

, jika 16 ( ) 32 16

1, jika 32 ( ) 48

Z X Z X Z X Z X      











dengan 2 � = �1

5 + �2

4

 Fungsi keanggotaan untuk kendala (1) � 1 � =

1 1 1 1 1 1 1 jika ( ) 250 0,

atau ( ) 325 ( ) 250

, jika 250 ( ) 300 50

1, jika ( ) 300 325 ( )

, jika 300 ( ) 325 25 a X a X a X a X a X a X a X         











dengan ₁ � =�₁+�₂+�₃+�₄

Selanjutnya dengan melakukan substitusi setiap fungsi tujuan dan kendala fuzzy ke dalam fungsi keanggotaannya, maka permasalahan tersebut dapat diselesaikan dengan menggunakan metode min sum fuzzy goal programming yang diformulasikan menjadi:

Tentukan

�= (�₁,�₂,�₃,�₄)

yang meminimumkan

�= ₁−+ ₂−+ ₃−+ ₄−

Model fuzzy goal programming

Tentukan tipe fuzzy dan nilai untuk tujuan ke-

Tentukan kendala fuzzy

Konstruksi fungsi keanggotaan

Model min sum fuzzy goal programming

Apakah semua tujuan berhasil dicapai?

(22)

dengan kendala (1)

2700 + 20− ₁(�)

20 + 1

−₋ 1+= 1

(2)

2 � −32−16

16 + 2

−₋ 2+= 1

(3)

1(�)−300 + 50

50 + 3

−₋ 3+= 1

(4)

300 + 25− 1(�)

25 + 4

−₋ 4 +_{= 1}

(5) 2680 1 � 2720

(6) 16 ₂(�) 48

(7) 250 ₁(�) 325

(8) �1 125

�2 100

�3 150

�4 120

(9) �, −, + 0; −, + 1; −⋅ += 0, = 1,2, 3, 4; = 1, 2

Penyelesaian masalah ini menghasilkan solusi optimal �₁= 125,�₂= 28,�₃= 139.2,�₄= 0, 1−= 2−= 0, 3−= 0.156, 4−= 0, 1+=

2 +₌

3 +_{= 0,}

4

+_{= 0.312}_{dengan nilai fungsi}

objektif sebesar 0.156 (detail penghitungan dapat dilihat di Lampiran 4).

IV CONTOH KASUS DAN PEMBAHASAN

Bank komersial adalah lembaga dengan multiproduk. Produk investasi yang ditawarkan bank komersial ada yang berisiko dan ada yang tidak berisiko. Semakin tinggi risiko suatu produk investasi, semakin besar tingkat pendapatan yang diperoleh. Oleh karena itu, bank komersial harus bisa mengalokasikan produk investasi sehingga memaksimumkan profit dan meminimumkan risiko secara bersamaan.

Diasumsikan bahwa setiap bank komersial harus memiliki karakteristik sebagai berikut:

1 Paling sedikit 47% dari giro dan 36% dari deposito berjangka dan tabungan tetap dalam keadaan likuid (liquid part). 2 Paling sedikit 14% dari giro dan 4% dari

deposito berjangka dan tabungan dialokasikan dalam kategori kas.

3 Paling sedikit 5% dari total sumber dana diinvestasikan ke setiap kategori investasi. 4 Paling sedikit 40% dari total sumber dana

diinvestasikan ke pinjaman komersial. (Gupta dan Bhattacharya 2010b) Selanjutnya akan digunakan tiga fungsi objektif, yaitu memaksimumkan profit, meminimumkan kecukupan modal, dan meminimumkan rasio aset berisiko (jumlah investasi yang berisiko/modal). Fungsi objektif profit diperoleh dari penjumlahan tingkat pendapatan setiap kategori investasi. Fungsi objektif kecukupan modal diperoleh dari rasio modal wajib untuk memenuhi kebutuhan investasi (dapat dilihat pada Tabel

1 kolom kecukupan modal) dengan modal sebenarnya (dana sendiri). Fungsi objektif risiko diperoleh dari rasio jumlah investasi yang berisiko terhadap dana sendiri.

Rasio aset berisiko yang rendah mengindikasikan bahwa suatu lembaga keuangan dalam keadaan aman. Kecukupan modal yang rendah mengindikasikan risiko yang minimum, karena kecukupan modal yang rendah memberikan makna bahwa selisih antara dana yang dibutuhkan untuk investasi dan dana sebenarnya (modal sendiri) juga rendah sehingga mengakibatkan risiko yang minimum.

Dalam karya ilmiah ini, akan digunakan contoh kasus dari bank fiktif yang disebut

sebagai “Bank AXN”. Perencanaan

pengoptimalan investasi pada bank tersebut akan diselesaikan dengan menggunakan metode goal programming dan fuzzy goal programming.

4.1 Contoh Kasus Bank AXN

(23)

Tabel 1 Kategori investasi Bank AXN Kategori Investasi

Tingkat Pendapatan (%)

Bagian Likuid (%)

Kecukupan Modal (%)

Aset Berisiko? (Ya/Tidak)

1 Kas 0 100 0 Tidak

2 Investasi jangka pendek 4 99.5 1 Tidak

3 Surat berharga pemerintah

jangka waktu 1 sampai 5 tahun 3.5 96 5 Tidak

4 Surat berharga pemerintah

jangka waktu 5 sampai 10 tahun 7 90 6 Tidak

5 Pinjaman angsuran 11.5 0 17 Ya

6 Kredit tunai 12 0 19 Ya

7 Pinjaman komersial 10.5 0 11 Ya

4.2 Model Pemrograman Linear dengan Multiobjektif dari Kasus Bank AXN

Keputusan investasi dari Bank AXN dapat dimodelkan dengan variabel keputusan untuk setiap kategori investasi yang ada dalam Tabel 1. Berdasarkan Tabel 1 dan asumsi-asumsi yang diberikan, maka model pemrograman linear dengan multiobjektif atau multiobjective linear programming (MLP) dapat diformulasikan menjadi:

Misalkan

� = banyaknya uang (dalam jutaan rupiah) yang akan diinvestasikan ke dalam kategori investasi ke- , = 1,2,…, 7.

Formulasi pemrograman linear multiobjektif adalah sebagai berikut:

(1) Minimumkan (aset berisiko)

1 � ≔

1

250 (�5+�6+�7)

(2) Maksimumkan (profit)

2 � ≔0.04 �2+ 0.035�3+ 0.07�4

+0.115�5+ 0.12�6+ 0.105�7

(3) Minimumkan (kecukupan modal)

3 � ≔

1

250 (0.01�2+ 0.05�3 +0.06�₄+ 0.17�₅+ 0.19�₆+ 0.11�₇)

dengan kendala

(1) Semua dana (dana sendiri dan dana pihak ketiga) diinvestasikan ke setiap kategori investasi

�1+⋯+�7= 350250

(2) Kendala likuiditas

�1+ 0.995�2+ 0.96�3+ 0.9�4

0.47 × 125000 + 0.36 × 225000 (asumsi 1)

(3) Kendala diversifikasi

�1 0.14 × 125000 + 0.04 × 225000

(asumsi 2)

� 0.05 × 350250, = 2,…,7 (asumsi 3)

(4) Kendala untuk aset komersial �7 0.4 (250 + 125000 + 225000)

(asumsi 4)

(MLP 1) Penyelesaian masalah investasi Bank AXN dengan preemptive goal programming dapat diselesaikan dengan menggunakan software LINGO 11.0. Tahap pertama untuk menyelesaikan masalah ini ialah dengan membagi fungsi objektif menjadi tiga bagian sesuai dengan urutan prioritas. Berdasarkan tingkat kepentingan setiap fungsi objektif, maka misalkan prioritas pertama adalah meminimumkan aset berisiko, prioritas kedua adalah memaksimumkan profit, dan prioritas ketiga adalah meminimumkan kecukupan modal.

Prioritas pertama

Minimumkan (aset berisiko)

1(�)≔

1

250 (�5+�6+�7)

dengan kendala

(1) �₁+⋯+�₇= 350250

(2) �1+ 0.995�2+ 0.96�3+ 0.9�4

139750

(3) �1 26500

� 17512.5, = 2,…,7

(4) �7 140100

Penyelesaian masalah ini menghasilkan solusi optimal (dalam juta rupiah) �1=

26500,�₂=�₃=�₅=�₆= 17512.5, �₄ = 113600, �7= 140100 dengan 1= 700.5, 2= 28091.38 juta rupiah dan 3=

118.329 (detail penghitungan dapat dilihat di Lampiran 5). Kemudian nilai fungsi objektif risiko 1 700.5 ditambahkan pada kendala

(24)

Prioritas kedua

Maksimumkan (profit)

2 � ≔0.04 �2+ 0.035�3+ 0.07�4

+0.115�₅+ 0.12�₆+ 0.105�₇

dengan kendala

(1) �1+⋯+�7= 350250

(2) �1+ 0.995�2+ 0.96�3+ 0.9�4

139750

(3) �1 26500

� 17512.5, = 2,…,7

(4) �7 140100

(5) 1 700.5

Penyelesaian masalah ini menghasilkan solusi optimal (dalam juta rupiah) �₁= 26500,�₂=�₃=�₅=�₆= 17512.5, �₄ = 113600, �₇= 140100 dengan 1= 700.5, 2= 28091.38 juta rupiah dan 3=

118.329 (detail penghitungan dapat dilihat di Lampiran 6). Kemudian nilai fungsi objektif profit 2 28091.38 juta rupiah

ditambahkan pada kendala di prioritas ketiga, sehingga modelnya menjadi:

Prioritas ketiga

Minimumkan (kecukupan modal)

3 � ≔

1

250 (0.01�2+ 0.05�3+ 0.06�4 +0.17�5+ 0.19�6+ 0.11�7)

dengan kendala

(1) �1+⋯+�7= 350250

(2) �₁+ 0.995�₂+ 0.96�₃+ 0.9�₄ 139750

(3) �1 26500

� 17512.5, = 2,…,7

(4) �7 140100

(5) 1 700.5

(6) 2 28091.38

Masalah ini tidak mempunyai solusi fisibel (detail penghitungan dapat dilihat di Lampiran 7). Meskipun solusi pada prioritas ketiga tidak fisibel, tetapi tetap diperoleh solusi optimal dengan nilai yang sama dengan solusi optimal yang diperoleh pada prioritas kedua. Hal ini dikarenakan solusi optimal pada prioritas ketiga hampir memenuhi kendala (6), yaitu 2 = 28091.375≅

28091.38.

Dalam kasus ini, solusi optimal dengan menggunakan metode preemptive goal programming hanya diperoleh sampai prioritas kedua, yaitu �₁= 26500,�₂=�₃=

�5=�6= 17512.5, �4= 113600, dan �7=

140100 (masing-masing dalam juta rupiah). Selanjutnya dilakukan substitusi dari solusi optimal tersebut ke dalam fungsi

objektif aset berisiko, profit, dan kecukupan modal, maka diperoleh total aset berisiko sebesar 700.5, total profit sebesar 28091.38 juta rupiah, dan total kecukupan modal sebesar 118.329.

Solusi optimal menunjukkan bahwa Bank AXN akan memperoleh profit sebesar 28091.38 juta rupiah dengan total risiko 700.5 dan kecukupan modal sebesar 118.329 jika menginvestasikan dana sebesar 26500 juta rupiah untuk kategori kas, sebesar 17512.5 juta rupiah untuk masing-masing kategori investasi jangka pendek, surat berharga pemerintah jangka waktu 1 sampai 5 tahun, pinjaman angsuran, dan kredit tunai, sebesar 113600 juta rupiah untuk kategori investasi surat berharga pemerintah jangka waktu 5 sampai 10 tahun, dan sebesar 140100 juta rupiah untuk kategori investasi pinjaman komersial.

Selanjutnya akan digunakan metode goal programming dengan menetapkan secara subjektif tiga level aspirasi dari fungsi objektif aset berisiko, profit, dan kecukupan modal, yaitu 1= 700, 2= 28100 juta rupiah, dan 3= 118. Penetapan level aspirasi tersebut

didasarkan pada solusi nilai fungsi objektif yang diperoleh dari metode preemptive goal programming.

4.3 Model Goal Programming

Berdasarkan formulasi (MLP 1) dan dengan mengasumsikan bahwa ada tiga tujuan yang ingin dicapai, yaitu tujuan pertama adalah meminimumkan aset berisiko, tujuan kedua adalah memaksimumkan profit, dan tujuan ketiga adalah meminimumkan kecukupan modal, maka dengan menambahkan variabel deviasi untuk setiap fungsi tujuan, model (MLP 1) dapat diubah menjadi model goal programming seperti berikut:

Tentukan

�= (�₁,�₂,…,�₇)

yang meminimumkan

1 +₊

2−+ 3+

dengan kendala

(1) Kendala aset berisiko ₁(�) + ₁−− ₁+_{= 700}

(2) Kendala profit

2(�) + 2−− 2+= 28100

(3) Kendala kecukupan modal 3 � + 3−− 3+= 118

(4) �1+⋯+�7= 350250

(5) �1+ 0.995�2+ 0.96�3+ 0.9�4

139750

(6) �₁ 26500

(25)

(7) �7 140100

(8) −, + _0, +_∙ −_{= 0,} _{= 1, 2, 3}

dengan

+₌_{nilai yang menampung deviasi yang}

berada di atas tujuan ke- ,

−₌_{nilai yang menampung deviasi yang}

berada di bawah tujuan ke- , = 1,2,3

Penyelesaian masalah ini menghasilkan solusi optimal (dalam juta rupiah), yaitu �1= 26500, �2= �3=�5= 17512.5,�4=

113427.5,�₆ = 17685,�₇ = 140100, ₁−=

2−= 3−= 0, 1+ = 1.19, 2+= 0, 3+=

0.4187 (detail penghitungan dapat dilihat di Lampiran 8). Karena 1+≠0 dan 3+≠0,

maka tujuan aset berisiko dan tujuan kecukupan modal tidak berhasil dicapai.

Misalkan dipilih 1= 700, 2= 28100

juta rupiah dan 3= 80, maka diperoleh

solusi optimal (dalam juta rupiah), �1=

26500, �2 = �3 = �5= 17512.5, �4 =

113427.5, �₆= 17685, �₇= 140100, ₁−=

2−= 3−= 0, 1+= 1.19, 2+= 0, dan 3+= 38.4187 (detail penghitungan dapat

dilihat di Lampiran 9). Karena 1+≠0 dan 3+≠0, maka tujuan aset berisiko dan tujuan

kecukupan modal tidak berhasil dicapai. Dalam kasus ini, dengan menggunakan metode goal programming, tidak semua tujuan berhasil dicapai. Hal ini berkaitan dengan pemilihan level aspirasi untuk setiap fungsi objektif. Pada umumnya fungsi objektif profit (memaksimumkan) berbanding lurus dengan fungsi objektif risiko (meminimumkan) dan kecukupan modal (meminimumkan) artinya jika profit mengalami kenaikan, maka risiko dan kecukupan modal juga akan naik begitu pula sebaliknya. Oleh karena itu, penggunaan metode goal programming yang mengharuskan memilih nilai aspirasi fungsi objektif 1< 700.5, 2> 28091.38, dan

3< 118.329 tidak akan terpenuhi.

Selanjutnya akan digunakan metode fuzzy goal programming untuk menyelesaikan masalah investasi Bank AXN.

4.4 Formulasi Fuzzy Goal Linear

Programming

Misalkan diberikan level aspirasi

1= 700, 2= 28100 juta rupiah, dan 3= 118 berturut-turut untuk fungsi objektif

aset berisiko ( 1(�)), fungsi objektif profit

( ₂ � ), dan fungsi objektif kecukupan modal

3 � , maka akan diperoleh model fuzzy

goal programming untuk masalah alokasi investasi Bank AXN sebagai berikut:

Tentukan

�= (�₁,�₂,…,�₇)

sehingga memenuhi fungsi objektif (1) 1(�) 700

(2) 2(�) 28100

(3) ₃(�) 118

terhadap kendala

(1) �1+⋯+�7≅350250

(2) �₁+ 0.995�₂+ 0.96�₃+ 0.9�₄ 139750

(3) �₁ 26500

� 17512.5, = 2,…,7 (4) �₇ 140100

Diasumsikan bahwa fungsi objektif (1), (2), dan (3) merupakan fungsi objektif fuzzy, kendala (1) dan (2) merupakan fungsi kendala fuzzy.

Misalkan 1, 2, dan 3 berturut-turut

merupakan batas toleransi untuk fungsi keanggotaan dari 1 � , 2(�), dan 3 �

dan ₁₁, ₁₂, ₂ merupakan batas toleransi untuk fungsi keanggotaan dari fungsi kendala fuzzy � , = 1, 2, maka fungsi keanggotaan untuk setiap tujuan dan kendala fuzzy menjadi:

1) Fungsi keanggotaan untuk tujuan fuzzy aset berisiko (fungsi objektif pertama)

1

(Z (X))

  1 1 1 1 1 1 1 1 1

1, jika 700 ( ) 700

(700 ) ( )

, jika 700 ( ) 700

0, jika ( ) 700

p Z X

Z X p

p

Z X p

         











2) Fungsi keanggotaan untuk tujuan fuzzy profit (fungsi objektif kedua)

2

(Z (X))

  2 2 2 2 2 2 2 2 2

0, jika ( ) 28100

( ) (28100 )

, jika 28100 ( ) 28100

1, jika 28100 ( ) 28100

Z X p

p Z X p

Z X p

         











(26)

3

(Z (X))

  3 3 3 3 3 3 3 3 3

1, jika 118 ( ) 118

(118 ) ( )

, jika 118 ( ) 118

0, jika ( ) 118

p Z X

Z X p

p

Z X p

         











4) Fungsi keanggotaan untuk kendala fuzzy

1(�) (kendala pertama) 1

(a X( ))

  1 11 1 12 1 11 11 1 11 1 12 1 1 12 12

jika ( ) 350250 0,

atau ( ) 350250 ( ) (350250 )

, jika 350250 ( ) 350250

1, jika ( ) 350250 350250 ( )

, jika 350250 ( ) 350250

a X q

q a X

q

a X

q a X

a X q

q               











5) Fungsi keanggotaan untuk kendala fuzzy

2(�) (kendala kedua) 2

(a (X))

  2 2 2 2 2 2 2 2 2

0, jika ( ) 139750

( ) 139750

, jika 139750 ( ) 139750

1, jika 139750 ( ) 139750

a X q

q a X

q

a X q

         











Selanjutnya permasalahan ini akan diselesaikan dengan metode min sum fuzzy goal programming yang dapat diformulasikan sebagai berikut:

Tentukan

�= (�₁,�₂,…,�₇)

yang meminimumkan

1−+ 2−+ 3−+ 4−+ 5−+ 6−

dengan kendala (1)

700 + 1 − 1(�) 1

+ ₁−− ₁+_{= 1}

(2)

2 � −(28100− 2) 2