ANALISA STRUKTUR PADA PLANE FRAME DENGAN MENGGUNAKAN METODE CROSS DAN
FINITE ELEMENT METHOD
Tugas Akhir
Diajukan untuk melengkapi tugas-tugas dan memenuhi Syarat untuk menempuh ujian sarjana Teknik Sipil
Disusun oleh :
ESTOMIHI SITOMPUL
030404072
Pembimbing
Prof. Dr. Ing. Johannes Tarigan NIP. 130905362
BIDANG STUDI STRUKTUR DEPARTEMEN TEKNIK SIPIL
FAKULTAS TEKNIK
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur penulis ucapkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa karena limpahan kasih karunia-Nya maka penulis dapat menyelesaikan tugas akhir ini dengan judul : “Analisa Struktur pada Plane Frame dengan menggunakan Metode Cross dan Finite Elemen Method”.
Tugas akhir ini ditulis dan disusun sedemikian rupa sebagai syarat dalam ujian sarjana Teknik Sipil bidang studi Struktur pada Fakultas Teknik Universitas Sumatera Utara, Medan. Penulis menyadari bahwa isi dari tugas akhir ini masih memiliki kekurangan dan jauh dari sempurna karena keterbatasan pengetahuan penulis. Sehinnga untuk penyempurnaannya maka penulis mengharapkan saran dan kritik dari bapak dan ibu dosen serta dari rekan-rekan mahasiswa.
Penulis juga menyadari tanpa bimbingan, bantuan dan dorongan semangat dari berbagai pihak tugas akhir ini tidak mungkin dapat diselesaikan dengan baik. Sehinnga dengan ini penulis mengucapkan terima kasih kepada :
1. Bapak Prof. Dr. Ing. Johannes Tarigan, selaku ketua jurusan departemen teknik sipil Universitas Sumatera Utara.
2. Bapak Ir. Teruna Jaya, Msc, selaku sekretaris jurusan departemen teknik sipil Universitas Sumatera Utara.
3. Bapak Prof. Dr. Ing. Johannes Tarigan, selaku dosen pembimbing yang telah banyak meluangkan waktu, tenaga dan pikiran untuk memberikan bimbingan dalam menyelesaikan tugas akhir ini.
5. Bapak/Ibu dosen pengajar departemen teknik sipil Universitas Sumatera Utara.
6. Seluruh pegawai administrasi yang telah memberikan bantuan dalam kemudahan penyelesaian administrasi.
7. Kedua orang tua ku terkasih serta adek-adek yang ku banggakan yang telah menjadi pendorong semangat dalam menyelesaikan tugas akhir ini.
8. Pemimpin Kelompok Kecil ku yaitu B’ Antonius Panjaitan, ST dan B’ Samuel Haratua, ST yang telah banyak memberi bimbingan dan dorongan semangat untuk terus berjuang dan berkarya sehingga saya bisa tetap berdiri teguh dan bersemangat untuk terus berkarya untuk Tuhan.
9. Teman Kelompok Kecil ku yang telah menjadi saudara buat ku karna kasih Tuhan yang telah mengikat kami dalam persekutuan Adelphos, yang juga telah banyak memberi dukungan buatku , Jubel Nainggolan, Ganda Putra Hutapea, ST dan Rodo Hutagalung. Thanx Bro.
10.Rekan-rekan mahasiswa Departemen Teknik Sipil Universitas Sumatera Utara angkatan’03, khususnya ; Masana yang telah banyak memberi masukan dalam pengerjaan FEM, Himsar, Dapot, Maradona, Yunus (genk irigasi), Donni, Hendrik, Zulfahriza, Toni, Aldo, Imran, Natan, Sarman, Boni, Mianto dan teman-teman yang lain yang telah memberikan dukungan pada penulis dalam menyelesaikan tugas akhir ini.
Dengan kesadaran dalam keterbatasan dari ketidak-sempurnaan bahwa tugas akhir ini tidak luput dari kesalahan baik dalam penulisan atau penyusunannya, maka dengan hati yang tulus mengucapkan maaf. Akhir kata penulis berharap tugas akhir ini berguna bagi semua pihak yang memerlukan.
Medan, Juni 2009
ABSTRAK
Dewasa ini, analisa perhitungan struktur dalam perencanaan Teknik Sipil sudah dalam tahap penggunaan bantuan teknologi yaitu dengan bantuan program komputer untuk menyelesaikan semua permasalahannya. Selain akurasi yang lebih baik, perhitungan dengan program komputer memberikan efisiensi waktu yang lebih baik dan lebih efektif dari segii hasil. Walaupun demikian, tidak boleh dilupakan bagaimana cara perhitungan secara manual karena setiap program komputer yang dirancang untuk menghitung permasalahan perhitungan dalam perencanaan teknik sipil didasarkan pada analisa perhitungan secara manual. Dengan kata lain, bahasa pemrograman yang dipakai didasarkan pada konsep perhitungan manual.
Dengan pemikiran diatas maka pada tugas akhir ini akan dilakukan analisa struktur secara manual pada frame (portal dua dimensi) dengan membandingkan hasil perhitungan antara metode cross dengan metode elemen hingga (finite element method) serta membandingkan hasil perhitungan kedua metode manual tersebut dengan hasil dari program SAP2000 versi 11.0
D A F T A R I S I
Kata Pengantar ………. i
Abstrak ………..iv
Daftar isi ………..v
Daftar Notasi ……….……….………ix
Daftar Tabel ………x
Daftar Gambar ……….xiii
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Umum ……….1
1.2 Latar Belakang Permasalahan ……….4
1.3 Tujuan ……….……….………..5
1.4 Pembatasan Masalah ……….5
1.5 Metode Pembahasan ………..………6
BAB II. TEORI DASAR 2.1 Umum ……….8
2.2 Kelas – kelas Umum Struktur ……….12
2.2.1 Struktur Utama ………..………12
2.2.2 Elemen – elemen struktur utama ………..17
2.2.2.1 Balok dan kolom ………..17
2.2.2.2 Rangka kaku ………..20
2.2.2.3 Pelengkung ………24
2.2.2.4 Flat Plate (Plat datar) ……….28
2.2.2.5 Cangkang ………..31
2.2.2.6 Kabel ………..33
2.2.2.7 Membran, tents dan jaring ………..35
2.2.3 Satuan struktural utama ……….38
2.2.4 Penggabungan (Aggregations) ………39
2.3 Analisis dan Desain Struktur ………40
2.3.1 Kestabilan struktur ………..40
2.3.2 Gaya dalam ; tarik, tekan dan lentur ……….41
2.4 Prinsip – prinsip Mekanika ………..45
2.4.1 Gaya dan momen ……….45
2.4.1.1 Gaya ……….45
2.4.1.2 Besaran skalar dan vektor ………46
2.4.1.3 Jajaran – genjang gaya ………..46
2.4.1.4 Momen ……….47
2.4.1.5 Sistem ekuivalen secara statis ……….50
2.4.2 Keseimbangan ………...51
2.4.2.1 Keseimbangan suatu partikel ………..51
2.4.2.2 Keseimbangan benda tegar ………52
2.4.3 Gaya internal dan eksternal ………53
2.4.3.1 Sistem gaya eksternal ………...53
2.4.3.2 Sistem gaya internal ……….55
2.4.4 Sifat mekanis material ……….58
2.4.4.1 Sifat beban deformasi pada material ………59
2.4.4.2 Elastisitas ………..60
2.4.4.3 Kekuatan ………62
2.4.4.4 Sifat mekanis lainnya ………63
2.5 Statis tertentu dan statis tak tentu ………..65
2.6 Jenis-jenis struktur pada bangunan Teknik Sipil ……….69
2.6.1 Truss (Rangka) ………69
2.6.2 Grid /Grillage (Balok Silang) ………69
2.6.3 Frame (Portal) ……….………69
BAB III METODE ANALISA 3.1 Umum ……….70
3.2 Konsep Elemen Hingga ………..70
3.3 Sejarah Singkat Metode Elemen Hingga ………74
3.4 Dasar-dasar Metode Elemen Hingga ………..75
3.4.1 Matriks dan persamaan penting ……….75
3.4.2 Teori elastisitas ………78
3.4.3 Metode elemen hingga Rayleigh-Ritz ……….79
3.4.4.1 Elemen Beam uniform ……….82
3.4.4.2 Persamaan kekakuan elemen Beam ……….85
3.4.4.3 Elemen Bar/Truss ………..89
3.4.4.4 Transformasi pada sistem koordinat ………..92
3.4.4.5 Kompatibilitas, keseimbangan, penentuan dari matriks kesimbangan …..93
3.4.4.6 Syarat keseimbangan ……….95
3.4.4.7 Beban merata, beban elemen ……….97
3.4.5 Transformasi koordinat ………99
3.5 Metode Cross ……….………..104
3.5.1 Penurunan persamaan-persamaan dasar ………104
3.5.2 Momen – Pemindah (Carry-Over-Moment) ………109
3.5.3 Faktor distribusi dan momen distribusi ………110
3.5.4 Pengaruh perletakan sendi ………111
3.5.5 Perletakan simetris ………113
3.5.6 Perhitungan momen tidak seimbang ………114
BAB IV APLIKASI dan PEMBAHASAN 4.1 Analisa Struktur dengan Metode Elemen Hingga ………115
4.1.1 Menentukan Inersia dan Modulus Elastisitas kolom dan balok ………..118
4.1.4 Menentukan matriks kekakuan struktur ……….121
4.1.5 Menghitung gaya-gaya pada batang ……….131
4.1.6 Tabulasi gaya-gaya batang ……….136
4.2 Analisa Struktur dengan Metode Cross ………137
4.2.1 Menentukan koefisien distribusi ………138
4.2.2 Menentukan Momen Primer ………..142
4.2.3 Pergoyangan ……….146
4.2.4 Kesetimbangan ………155
4.2.5 Momen akhir ………..160
4.3 Hasil keluaran (output) dengan Program SAP2000 ver 11.0 ………..…….167
4.4 Pembahasan ………...175
4.4.1 Perbandingan Hasil ………175
BAB V KESIMPULAN DAN SARAN
DAFTAR NOTASI
U = Energi
F = gaya
φi = suatu fungsi
Te = Energi Potensial Total V = Potensial dari gaya luar
f} = vektor dari gaya-gaya luar pada titik simpul {d} = vektor dari perpindahan (displacement) [K] = matrix kekakuan simetri
[Kt] = matrix kekakuan lokal [Kg] = matrix kekakuan global qi = displacement nodal
(x) = variabel polinomial elemen E = Modulus Elastisitas
A = Luas penampang melintang L = Panjang elemen
M = Momen
Θ = perubahan dalam sudut pertemuann-rotasi
Δ = Jumlah perpindahan pada ujung elemen k = kekakuan
u = displacemen aksial pada titik nodal v = displacement vertikal
DAFTAR TABEL
Tabel 3.1 Pembebanan pada batang ………..98
Tabel 4.1 Gaya-gaya batang yang terjadi pada setiap elemen struktur …………136
Tabel 4.2.1a Crossing akibat Momen Primer (cross I ) …………..…………..144
Tabel 4.2.1b Crossing akibat Momen Primer (cross I ) ………..145
Tabel 4.2.2a Crossing akibat geseran palang (batang) D – E (cross II) ………..147
Tabel 4.2.2b Crossing akibat geseran palang (batang) D – E (cross II) ………148
Tabel 4.2.3a Crossing akibat geseran palang (batang) C – F (cross III) ……..150
Tabel 4.2.3b Crossing akibat geseran palang (batang) C – F (cross III) ………151
Tabel 4.2.4a Crossing akibat geseran palang (batang) B – G (cross IV) ………153
Tabel 4.2.4b Crossing akibat geseran palang (batang) B – G (cross IV) ………154
Tabel 4.2.5a Momen batang pada Cross I (akibat momen primer) …………..158
Tabel 4.2.5b Momen batang pada Cross I (akibat momen primer) ……….158
Tabel 4.2.6a Momen batang pada Cross II (akibat geseran palang D - E) ……..158
Tabel 4.2.6b Momen batang pada Cross II (akibat geseran palang D - E) ……..158
Tabel 4.2.7a Momen batang pada Cross III (akibat geseran palang C - F)…….159
Tabel 4.2.7b Momen batang pada Cross III (akibat geseran palang C - F) ……159
Tabel 4.2.8a Momen batang pada Cross IV (akibat geseran palang B - G) ….159 Tabel 4.2.8b Momen batang pada Cross IV (akibat geseran palang B - G) ……159
Tabel 4.2.9a Titik A ; batang AB ………….……….160
Tabel 4.2.9b Titik B ; batang BA ……….……….160
Tabel 4.2.9c Titik B ; batang BG ………..…..……….161
Tabel 4.2.9e Titik C ; batang CB ……….……….161
Tabel 4.2.9f Titik C ; batang CF ……….…..………162
Tabel 4.2.9g Titik C ; batang CD …………..……..….………162
Tabel 4.2.9h Titik D ; batang DC ………….…..………..162
Tabel 4.2.9i Titik D ; batang DE ……….163
Tabel 4.2.9j Titik E ; batang ED ……….163
Tabel 4.2.9k Titik E ; batang EF ………..163
Tabel 4.2.9l Titik F ; batang FE ………..164
Tabel 4.2.9m Titik F ; batang FC ……….164
Tabel 4.2.9n Titik F ; batang FG ………..164
Tabel 4.2.9o Titik G ; batang GF ………..165
Tabel 4.2.9p Titik G ; batang GB ………165
Tabel 4.2.9q Titik G ; batang GH ………165
Tabel 4.2.9r Titik H ; batang HG ………166
Tabel 4.2.10a Tabulasi Momen Akhir ……….166
Tabel 4.2.10b Tabulasi Momen Akhir ……….166
Tabel 4.3.1 Elemen Forces – Frame ……….167
Tabel 4.3.2 Joint Displacements ……….168
Tabel 4.4.1a Perbandingan gaya-gaya dalam batang berdasarkan perhitungan manual dengan Metode Elemen Hingga (MEH) dengan Program SAP2000 ver 11.0 ……….175
Tabel 4.4.2 Perbandingan gaya-gaya dalam batang berdasarkan perhitungan manual dengan Metode Cross
(Distribusi Momen) dengan Program SAP2000 ver 11.0 …….177 Tabel 4.4.3 Perbandingan gaya-gaya dalam batang berdasarkan
perhitungan manual dengan Metode Elemen Hingga
(MEH) dengan Metode Cross (Distribusi Momen) ………178 Tabel 4.4.4 Perbandingan hasil deformasi berdasarkan
perhitungan manual dengan Metode Elemen Hingga
DAFTAR GAMBAR
Gambar 1.1 Plane Frame dengan beban terbagi rata dan gaya horizontal ……..4
Gambar 2.1(a) Susunan kolom dan balok dalam memikul beban vertikal ……11
Gambar 2.1(b) Susunan kolom dan balok dalam memikul beban horizontal .…11 Gambar 2.1 (d) Hubungan antar elemen diubah ……..……….12
Gambar 2.1 (c) Perubahan posisi antar elemen ………12
Gambar 2.2.1 Klasifikasi dari elemen struktur dasar menunjukkan geometris dan sifat-sifat fisik utama ……….14
Gambar 2.2.2 Struktur kaku dan struktur tidak kaku ………15
Gambar 2.2.3 Struktur kaku yang umum ………..21
Gambar 2.2.4 Rangka batang ………21
Gambar 2.2.5 Struktur Post-and-Beam dan struktur rangka kaku ………..23
Gambar 2.2.6 Pelengkung kaku ………..25
Gambar 2.2.7 Struktur pelengkung ………..27
Gambar 2.2.8 Pelat Lipat ………..29
Gambar 2.2.9 Struktur Grid Kompleks ………30
Gambar 2.2.10 Struktur Plat satu arah ………..31
Gambar 2.2.11 Struktur permukaan jala ………33
Gambar 2.2.12 Struktur atap dengan menggunakan kabel Pada Roman Colloseum, dibangun sekitar tahun 70 SM …….35
Gambar 2.3.1 Kondisi gaya internal: tarik, tekan dan lentur ……….43
Gambar 2.3.2 Sistem struktural satu arah dan dua arah ………..44
Gambar 2.4.2 Metode grafis untuk mencari gaya resultan
untuk sistem gaya konkuren ……….47
Gambar 2.4.3 Momen ………..48
Gambar 2.4.4 Momen akibat beban terdistribusi ………..49
Gambar 2.4.5 Komponen-komponen gaya pada sumbu x dan y ……….50
Gambar 2.4.6 Hubungan gaya-gaya, gaya resultan dan gaya penyeimbang …..51
Gambar 2.4.7 Diagram (keseimbangan) benda bebas dan reaksi ………..54
Gambar 2.4.8 Gaya tekan dan tarik internal pada batang ……….56
Gambar 2.4.9 Batang tarik ……….57
Gambar 2.4.10 Diagram tegangan-regangan tipikal untuk baja struktur yang diuji tarik ……….62
Gambar 2.5.1 Balok-balok statis tertentu ……….………66
Gambar 2.5.2 Balok-balok statis tak tentu ……….67
Gambar 2.5.3 Kerangka-kerangka statis tertentu ………67
Gambar 2.5.4 Kerangka-kerangka statis tak tentu ……….68
Gambar 2.5.4 Keranka yang dibentuk oleh segitiga ………68
Gambar 3.2.1 (a) Struktur bidang dengan bentuk sembarang. (b) Model elemen hingga yang mungkin pada struktur tersebut. (c) Elemen segi empat bidang dengan gaya-gaya titik kumpul pi dan qi.Garis putus-putus memperlihatkan ragam deformasi sehubungan dengan peralihan arah x titik 3 ……..……….71
(b) Ragam deformasi {d}={1 0 0 0} dan gaya-gaya yang diperlukan ki1
(c) Ragam deformasi {d}={0 1 0 0}
dan gaya-gaya yang diperlukannya, ki2 ……….77
Gambar 3.4.2 (a) Struktur yang mempunyai tiga d.o.f. aktif (u1,u2,u3). Elemen hinga disini adalah pegas linier dengankekakuan k1, k2, k3. (b) Gaya-gaya dan d.o.f. titik kumpul untuk elemen tipikal I ….78 Gambar 3.4.3 Tegangan dan gaya benda persatuan volume yang bekerja pada elemen bidang yang sangat kecil, yang mempunyai tebal konstan t . Notasi koma menunjukkan turunan parsial. Sebagai contoh σx.x=δσx/δx ………..78
Gambar 3.4.4 Pemodelan Ritz ...81
Gambar 3.4.5 Pemodelan FEM ...81
Gambar 3.4.6 Beam dengan penampang uniform ………..82
Gambar 3.4.7 Elemen Bar/Truss dibawah pengaruh Gaya Luar F pada node 1 dan node 2 ………89
Gambar 3.4.8 Transformasi koordinat pada sistem koordinat ...92
Gambar 3.4.9 Penomoran untuk nodal dan batang ...93
Gambar 3.4.10 Freebody diagram gaya-gaya dalam ...94
Gambar 3.4.11 Syarat batas perpindahan pada plane frame ...96
Gambar 3.4.12 Reduksi beban merata pada titik simpul plane frame ...97
Gambar 3.4.13 Pembebanan pada batang plane frame ...98
Gambar 3.4.14 Momen primer pada batang plane frame ...98
Gambar 3.4.16 Transformasi koordinat ...99
Gambar 3.5.1 Kondisi beam akibat gaya terpusat P ...105
Gambar 3.5.2 Kondisi Momen-Pemindah ...109
Gambar 3.5.3 Kondisi struktur akibat momen terdistribusi ………..111
Gambar 3.5.4 Perilaku struktur akibat perletakan sendi ………112
Gambar 3.5.4 Struktur dengan deformasi simetris ………..114
Gambar 3.5.4 Struktur dengan perletakan sendi ……….104
Gambar 3.5.5 Struktur dengan deformasi simetris ………..106
Gambar 4.1 Portal dua dimensi dengan gaya horizontal dan beban terbagi rata ………...117
Gambar 4.2 Portal dua dimensi dengan beban terpusat dan beban terbagi rata ………..138
Gambar 4.3.1 Penamaan elemen dan titik hubung dengan Program SAP2000 ver 11.0 ……….169
Gambar 4.3.2 Pembebanan struktur dengan Program SAP2000 ver 11.0 ……….….170
Gambar 4.3.3 Desain balok dan kolom struktur dengan Program SAP2000 ver 11.0 ………171
Gambar 4.3.4 Diagram Momen Lentur dengan Program SAP2000 ver 11.0 ……….172
Gambar 4.3.5 Diagram Axial force dengan Program SAP2000 ver 11.0 ………..173
ABSTRAK
Dewasa ini, analisa perhitungan struktur dalam perencanaan Teknik Sipil sudah dalam tahap penggunaan bantuan teknologi yaitu dengan bantuan program komputer untuk menyelesaikan semua permasalahannya. Selain akurasi yang lebih baik, perhitungan dengan program komputer memberikan efisiensi waktu yang lebih baik dan lebih efektif dari segii hasil. Walaupun demikian, tidak boleh dilupakan bagaimana cara perhitungan secara manual karena setiap program komputer yang dirancang untuk menghitung permasalahan perhitungan dalam perencanaan teknik sipil didasarkan pada analisa perhitungan secara manual. Dengan kata lain, bahasa pemrograman yang dipakai didasarkan pada konsep perhitungan manual.
Dengan pemikiran diatas maka pada tugas akhir ini akan dilakukan analisa struktur secara manual pada frame (portal dua dimensi) dengan membandingkan hasil perhitungan antara metode cross dengan metode elemen hingga (finite element method) serta membandingkan hasil perhitungan kedua metode manual tersebut dengan hasil dari program SAP2000 versi 11.0
BAB I
PENDAHULUAN
I. Umum
Saat ini perkembangan ilmu pengetahuan sudah sangat pesat, begitu juga dengan ilmu rekayasa struktur dalam bidang teknik sipil. Perkembangan ini didukung oleh kemajuan teknologi yang semakin mutakhir sehingga berbagai permasalahan dalam rekayasa struktur sudah dapat dicari solusinya walaupun dengan persoalan yang rumit sekalipun.
Seperti sekarang ini, dengan kemajuan teknologi tersebut maka perhitungan analisa struktur sudah lebih mengutamakan penggunaan program komputer dibanding dengan perhitungan secara manual karena dengan menggunakan bantuan program komputer maka pekerjaan akan semakin cepat dan tepat. Saat ini program komputer yang sering kita jumpai dipakai untuk perhitungan analisa struktur adalah seperti program SAP2000, ETABS, STAAD PRO dan masih banyak lagi perangkat lunak lain sejenisnya. Pada umumnya program lunak komputer tersebut didasarkan pada metode perhitungan dengan manual seperti finite elemen method (FEM)
dekade delapan puluhan perkembangan metode ini sangat pesat karena pada saat itu juga telah dikembangkan dan digunakan komputer untuk penyelesaian masalah numeriknya. Jika tidak menggunakan komputer, metode elemen hingga ini mungkin sampai sekarang tidak akan digunakan dalam perhitungan praktis, karena akan memerlukan waktu yang cukup lama dan keakuratan yang kurang baik.
Kemudian setelah dikembangkan komputer maka metode ini menjadi maju sangat pesat dan menjadi alat yang handal bagi para praktisi teknik sipil untuk menyelesaikan berbagai permasalahan yang ada didalam perhitungan analisa struktur, pada awalnya banyak dikembangkan bahasa pemrograman yang low level language dengan diperkenalkannya bahasa assembly dan high level language
seperti Fortran, C++, Basic, Pascal dan lain-lain, hingga akhir-akhir ini semakin berkembang bahasa script programming yang dijadikan alternatif karena kemudahannya dalam membuat suatu aplikasi program, salah satunya adalah Matlab (Matrix Laboratory). MATLAB adalah sebuah program untuk analisis dan komputasi numerik, yang merupakan suatu bahasa pemrograman matematika lanjutan yang dibentuk dengan dasar pemikiran menggunakan sifat dan bentuk matriks.
Bentuk bangunan sipil dapat dimodelkan sebagai plane frame (portal) dan
dan batang-batang tekan saja, umumnya dari baja, kayu, atau paduan ringan guna mendukung atap atau jembatan.
Dalam penggunaanya, program aplikasi komputer bidang rekayasa berbeda dengan program aplikasi komputer untuk umum. Proses atau tahapan penggunaanya dalam bidang rekayasa struktur / structure engineering meliputi :
1. Proses perencanaan ( analisa, desain dan pembuatan gambar struktur ) 2. Proses Pabrikasi ( mengimplementasikan gambar dan spesifikasi
rencana )
3. Proses Erection / Pengangkutan / Perakitan atau pelaksanaan di lapangan
4. Perawatan / perbaikan ( retrofit ) / evaluasi struktur
Hasil analisa dan desain struktur suatu program aplikasi rekayasa yang tidak benar dapat memberikan resiko kerugian yang tidak terduga besarnya dari segi biaya maupun kemungkinan terjadinya korban jiwa. Dalam tugas akhir ini disajikan suatu perbandingan perhitungan manual pada suatu portal yang dibebani oleh beban terbagi rata dan gaya horizontal dengan menggunakan Metode Elemen Hingga ( FEM ) dan Metode Cross (Hardy Cross) dan hasilnya dicek dengan menggunakan program Komputer SAP2000 versi 11.0.
Gambar 1.1 Plane Frame dengan beban terbagi rata dan gaya horizontal II. Latar Belakang Permasalahan
Pekerjaan dalam perencanaan teknik sipil untuk perhitungan struktur memiliki berbagai macam metode, baik metode yang dilakukan secara manual teoritis atau dengan menggunakan alat bantu dengan teknologi tinggi seperti penggunaan program-program komputer. Dengan penggunaan program komputer maka akan lebih memudahkan dan mempercepat pekerjaan dengan hasil yang lebih akurat.
III. Tujuan
Sesuai dengan latar belakang di atas maka tujuan dari penulisan Tugas Akhir ini adalah melihat perbandingan hasil analisa struktur dengan melakukan analisa perhitungan secara manual terhadap suatu struktur plane frame dengan menggunakan Metode Elemen Hingga (Finite Element Method) dan Metode Cross dan kemudian dibandingkan juga dengan hasil program Komputer SAP2000 versi 11.0.
IV. Pembatasan Masalah
Adapun yang menjadi batasan permasalahan dalam penulisan Tugas Akhir ini adalah :
1. Beban yang terdapat pada portal adalah beban mati (termasuk berat sendiri) berupa beban terbagi rata dan beban terpusat arah sumbu x. 2. Struktur Portal yang akan dianalisa adalah portal 2 (dua) dimensi yang
terdiri dari 3 (tiga) tingkat / 3 (tiga) lantai.
3. Perencanaan pada portal (frame) tidak diikutsertakan, walaupun material struktur frame terbuat dari beton tetapi perencanaan pembesian dari beton baik untuk pembesian utama ataupun sengkang untuk balok dan kolom tidak dibuat, hanya untuk perhitungan gaya-gaya dalam struktur saja.
4. Bahan bersifat homogen dan isotropis.
5. Perletakan yang digunakan adalah perletakan jepit-jepit. 6. Penampang balok dan kolom adalah persegi.
8. Analisa struktur hanya terhadap gaya lentur, gaya geser dan gaya normal.
V. Metode Pembahasan
Metode yang digunakan dalam kajian ini adalah secara analitis teoris yang didasarkan pada beberapa literatur dan dibandingkan dengan bantuan program komputer SAP2000 yang mengacu pada Metode Elemen Hingga (Finite Element Method). Analisa teoritis yang dilakukan dengan metode elemen hingga adalah pengerjaan perhitungan secara analitis (invers matrik) dan analisa dengan metode cross adalah analisa dengan distribusi momen dan perhitungan manualnya dibantu dengan menggunakan program Microsoft Excel.
VI. Sistematika Pembahasan
BAB I, Pendahuluan, berisi tentang perkembangan teknologi komputer yang mendukung perhitungan dalam pekerjaan teknik sipil sehingga dapat mempercepat pekerjaan perhitungan dan dengan hasil yang lebih akurat. Program SAP2000, ETABS, STAAD PRO adalah program komputer yang sering dipakai untuk menyelesaikan permasalahan dalam pekerjaan teknik sipil. Umumnya perangkat lunak yang digunakan tersebut berbasis pada Metode Elemen Hingga (MEH) untuk memecahkan masalah mekanikalnya. Tetapi perhitungan secara manual masih dapat digunakan jika struktur yang ditinjau belum begitu rumit. Dan ketelitian antara perhitungan secara manual tersebut dapat dibandingkan keakuratanya dengan hasil dengan pemrograman komputer.
jika digabungkan akan dapat menciptakan berbagai jenis struktur seperti rangka kaku, pelengkung, portal, plat, cangkang dan lain sebagainya. Bab ini juga berisikan tentang prinsip-prinsip mekanika secara umum yang terdiri dari gaya dan momen, faktor keseimbangan, serta sifat mekanis material.
BAB III, Metode Analisa, berisikan tentang konsep metode elemen hingga, sejarah perkembangan elemen hingga, dan dasar-dasar metode elemen hingga yang diarahkan pada metode Rayleigh-Ritz. Dan sebagai pembanding, pada BAB ini juga akan dibahas tentang metode cross dengan distribusi momennya yang mencakup terhadap pengaruh perletakan, faktor distribusi, dan akibat momen tidak seimbang.
BAB IV, Aplikasi, membahas tentang contoh aplikasi penerapan perhitungan analisa struktur dengan meninjau suatu portal dua dimensi dengan dua tingkat dengan pembebanan beban terpusat searah sumbu x dan beban terbagi rata pada balok tingkat pertama dan kedua. Analisa perhitungan dilakukan dengan dua metode yaitu dengan metode elemen hingga (MEH) dan metode cross (distribusi momen). Dan hasil kedua metode tersebut diatas akan dibandingkan dengan hasil dari perhitungan dengan program SAP2000 versi 11.0.
BAB II
TEORI DASAR
2.1 Umum
Pengertian yang paling sederhana tentang struktur dalam hubungannya dengan bangunan adalah bahwa struktur merupakan sarana untuk menyalurkan beban akibat penggunaan dan atau kehadiran bangunan kedalam tanah. Studi tentang struktur menyangkut pemahaman prinsip-prinsip dasar yang menunjukkan dan menandai perilaku objek-objek fisik yang dipengaruhi oleh gaya. Lebih mendasar, struktur juga menyangkut penentuaan apa gaya itu sendiri karena menyangkut kajian suatu konsep yang agak abstrak seperti hubungan suatu bangunan dengan ruang dan ukuran. Kata “ukuran, skala, bentuk, proporsi dan morfologi” merupakan istilah yang biasa ditemukan dalam perbendaharaan kata perancangan struktur.
Defenisi diatas menjelaskan bahwa suatu struktur adalah objek fisik yang nyata, bukan gagasan abstrak atau pokok persoalan yang menarik sehingga bukan sesuatu yang hanya diperdebatkan melainkan sesuatu yang harus dibangun dengan demikian struktur harus ditangani sesuai dengan kebutuhannya. Dan sarana fisik harus disediakan untuk mencapai tujuan yang diinginkan yang sesuai dengan prinsip-prinsip dasar tentang perilaku objek-objek fisik.
Dalam pengertian yang lebih luas juga dijelaskan bahwa struktur berfungsi sebagai keseluruhan. Hal ini merupakan masalah yang penting secara mendasar dan yang mudah dilupakan jika menghadapi banguan yang khas yang tersususun dari sejumlah balok dan kolom yang seperti tak terhingga banyaknya. Dalam hal itu, terdapat kecenderungan yang langsung menganggap bahwa struktur hanya sebagai gabungan unsur-unsur kecil yang sendiri-sendiri di mana setiap unsur itu melaksanakan fungsi yang terpisah. Tetapi dalam kenyataanya adalah bahwa semua struktur pertama-tama dirancang untuk berfungsi sebagai suatu kesatuan secara keseluruhan dan hanya yang kedua sebagai serangkaian unsur yang berbeda-beda.
jenis beban yang diantisipasi kedalam tanah maka susunan itu tidak dapat disebut suatu struktur.
Acuan terhadap jenis-jenis beban yang diperkirakan dalam pernyataan diatas disertakan untuk menampilkan pentingnya kenyataan bahwa struktur itu biasanya dirancang terhadap sekumpulan kondisi beban tertentu dan hanya berfungsi sebagai struktur terhadap kondisi-kondisi itu. Struktur sering kali rapuh terhadap kondisi-kondisi yang tidak diantisipasi, sehingga tidak dimungkinkan untuk mengubah fungsi suatu struktur dalam hal pelayanannya terhadap beban yang tidak sesuai dengan kodisi rancangan awal.
Merancang suatu struktur adalah tindakan menempatkan unsur-unsur pokok dan merumuskan hubungan-hubungan timbal-baliknya dengan tujuan menanamkan karakter yang diinginkan pada entitas struktur sebagai resultannya. Gagasan bahwa unsur-unsur itu ditempatkan dan bahwa hubungan-hubungan itu ada diantara unsur-unsur itu merupakan dasar konsep merancang struktur.
tepat, atau kedua-duanya. Pemasangan ini dapat dirancang kembali menjadi struktur yang tangguh terhadap beban lateral dengan mengubah hubungan-hubungan yang ada diantara unsur-unsurnya dan atau mengubah penempatannya. Contoh mengubah hubungan-hubungan yang ada diantara unsur-unsurnya bisa berupa penggunaan hubungan yang kaku alih-alih hubungan yang sederhana diantara unsur-unsur itu, seperti yang terlihat dalam gambar 2.1 (c). Sambungan yang kaku pada hakekatnya berperilaku seperti kesatuan yang monolitik. Maka pemasangan itu memperoleh stabilitas dengan cara yang sangat mirip dengan cara meja memperoleh stabilitas dari hubungan yang kaku yang terdapat diantara daun meja dan kaki-kakinya. Kemungkinan yang lain adalah unsur-unsur pemasangan itu diubah penempatanya dengan cara yang diperlihatkan dalam gambar 2.1 (d), yaitu salah satu unsurnya berfungsi sebagi penopang yang memindahkan beban lateral itu kedalam tanah.
Gambar 2.1 (a) Gambar 2.1 (b)
[Daniel L. Schodek, 1998] Susunan kolom dan balok untuk
memikul beban vertikal. Susunan ini menunjukkan kemampuan untuk menyalurkan beban ke tanah, jadi dapat disebut sebagai struktur
Gambar 2.1 (c) Gambar 2.1 (d)
[Daniel L. Schodek, 1998] 2.2 Kelas-kelas Umum Struktur
2.2.1 Struktur Utama
Dasar untuk memahami suatu bidang ilmu adalah dengan mengetahui bagaimana pengelompokan di dalam bidang tersebut secara sistematis seperti pemberian nama, urutan dan perbedaan satu bagian dengan bagian lainnya. Pengetahuan mengenai kriteria atau perkiraan pertalian yang membentuk dasar untuk mengklasifikasikan setiap jenis sangatlah penting. Dalam gambar 2.2.1 dapat kita lihat suatu metode umum untuk mengklasifikasikan elemen struktur dan sistem yang hanya menurut bentuk dan sifat fisik dasar dari suatu konstruksi.
Dari pola klasifikasi tersebut dapat dinyatakan secara tidak langsung bahwa struktur yang kompleks hanya merupakan hasil dari penambahan
elemen-Hubungan antar elemen diubah; susunan struktur yang diperlihatkan pada (b) dapat diubah menjadi struktur yang mampu memikul beban vertikal maupun lateral dengan mengatur hubungan antar elemen vertikal dan horizontal. Dalam hal ini perubahan yang dilakukan adalah menjadikan hubungan itu kaku sehingga struktur tersebut stabil.
Perubahan posisi antara
[image:30.595.129.314.98.233.2]elemen yang lebih sederhana. Yang penting dari penambahan tersebut adalah penambahan perilaku elemen dan yang penting pada struktur adalah bahwa elemen-elemen itu ditempatkan dan saling berhubungan dengan maksud supaya struktur mempunyai sifat dapat menahan beban tertentu.
Seperti terlihat pada gambar 2.2.1, bentuk geometri secara umum dari suatu struktur tertentu adalah bentuk geometris dasar yang digambarkan pada bagian sebelah kiri dari gambar atau berasal dari beberapa kombinasi atau kesatuan dari beberapa bentuk ini. Sesuai dengan bentuk-bentuk dasar ini adalah sekumpulan elemen struktur primer yang memiliki sifat fisik tertentu.
Gambar 2.2.1 Klasifikasi dari elemen struktur dasar menunjukkan geometris dan sifat-sifat fisik utama.
[Daniel L. Schodek, 1998]
Suatu elemen disebut berbentuk garis maupun permukaan juga bergantung pada bahan dan atau metode konstruksinya. Banyak bahan yang secara alami sudah berbentuk garis seperti kayu misalnya karena memang sudah secara alami tumbuh sedemikian rupa. Walaupun demikian kita juga dapat membuat kayu menjadi elemen permukaan, contohnya plywood. Bahan-bahan lain, misalnya beton dapat dibuat berbentuk elemen garis maupun elemen permukaan dengan mudah dan baja yang pada dasarnya sudah berbentuk garis dapat juga dibuat menjadi elemen-elemen yang berbentuk permukaan, contohnya lantai baja.
Kekakuan juga melukiskan pengklasifikasian dasar kedua berdasarkan karakteristik kekakuan elemen struktur. Perbedaan yang utama disini adalah apakah elemen itu kaku atau fleksibel. Elemen kaku biasanya sebagai batang, tidak mengalami perubahan bentuk yang cukup besar dibawah pengaruh gaya atau pada perubahan gaya yang diakibatkan oleh beban-beban seperti terlihat pada gambar 2.2.2-a. Struktur tersebut akan selalu melendut jika dibebani walaupun dengan beban yang kecil.
(a) (b) Gambar 2.2.2 Struktur kaku dan struktur tidak kaku
[Daniel L. Schodek, 1999]
Untuk kedua jenis struktur tersebut diatas akibat yang umum dari pembebanan adalah deformasi yang terjadi pada struktur. Umumnya deformasi yang terjadi bisa memanjang atau memendek. Pada struktur fleksibel yang terjadi hanyalah gaya tarik sehingga deformasinya selalu berupa perpanjangan. Apabila kita meninjau struktur kaku yang melendut keadaan memanjang dan memendek itu dapat terjadi pada potongan melintang yang sama dari elemen tersebut.
Suatu elemen dapat diketahui kaku atau fleksibel tergantung juga pada bahan konstruksi yang digunakan pada elemen tersebut. Banyak bahan, seperti kayu, sudah bersifat kaku. Bahan lain seperti baja bisa digunakan untuk membuat batang kaku maupun fleksibel. Contoh yang baik dari bahan baja kaku adalah balok karena elemen ini tidak mengalami perubahan besar dalam bentuknya bila beban berubah-ubah. Kabel baja atau rantai baja yang bersifat fleksibel selalu mempunyai bentuk yang bergantung pada pembebanan. Kabel baja akan berubah bentuk jika pembebanan berubah. Suatu struktur dapat dinyatakan kaku atau fleksibel bergantung pada karakteristik bahan yang ada juga pada mikro susunan bahan pada elemen tersebut.
pada semua kondisi nyata, beton tidak bertulang hanya bisa digunakan pada situasi beton hanya menerima gaya tekan dan beton akan retak dan pecah jika diberi gaya tarik akibat terjadinya perpanjangan. Dengan demikian bahan dan juga strukturnya itu kaku hanya pada suatu kondisi beban tertentu. Beton bertulang dengan baja dapat digunakan pada situasi dimana suatu gaya menyebabkan bahan tersebut memanjang karena baja tersebut bisa dirancang untuk memikul gaya tersebut.
2.2.2 Elemen-elemen struktur utama
Elemen kaku yang umum digunakan termasuk balok, kolom, pelengkung, flat-plate, plat berkelengkungan tunggal dan cangkang mempunyai kelengkungan yang berbeda-beda. Yang termasuk elemen tidak kaku atau fleksibel adalah kabel, membran ( bidang, berkelengkungan tunggal maupun ganda ). Selain itu ada jenis-jenis elemen yang lain yang diturunkan dari elemen-elemen tersebut misalnya rangka (frame), rangka batang, kubah dan jaring. Pemberian nama pada suatu elemen yang mempunyai karakteristik kekakuan dan geometri tertentu dilakukan hanya untuk memudahkan saja.
2.2.2.1 Balok dan Kolom
balok sering disebut memikul beban secara melentur. Ide mengenai lentur pada elemen struktural adalah salah satu yang terpenting. Kolom yang menumpu balok tidak melentur ataupun melendut karena kolom pada umumnya mengalami gaya aksial tekan saja.
Balok telah dipergunakan sejak dulu untuk mentransver beban vertikal secara horizontal. Sistem post-and-beam yaitu dengan meletakkan elemen struktur horizontal secara sederhana diatas dua elemen struktur vertikal merupakan konstruksi dasar yang digunakan sejak dulu. Pada sistem tersebut, secara sederhana balok dipergunakan sebagai sistem penting dalam konstruksi. Meskipun dianggap sederhana balok memiliki karakteristik internal yang rumit dalam memikul beban dibandingkan dengan jenis elemen struktur lainnya seperti rangka batang maupun kabel.
Diwaktu lampau masih sedikit pengetahuan mengenai mekanisme bagaimana balok memikul beban. Leonardo Da Vinci telah membuat sketsa yang mencoba menjelaskan aksi balok secara rasional. Namun produk jaman
Renaissance yang lain seperti Galileo Galilei telah meletakkan dasar teori balok bagi pemahaman kita sekarang. Dia telah menemukan dan memecahkan masalah lentur secara sistematis . Sebutan masalah lentur diartikan pada studi mengenai tegangan dan deformasi yang timbul pada elemen yang mengalami aksi gaya (umumnya tegak lurus pada sumbu elemen) sehingga salah satu tepi serat mengalami perpanjangan dan tepi serat lainnya mengalami perpendekan.
Navier, dan Coulomb berkaitan dengan masalah tersebut. Auguste Coulomb (1736-1806) pada umumnya dianggap sebagai orang yang menemukan solusi akhir masalah tersebut.
Selain dinding pemikul beban (load-bearing-walls), kolom juga merupakan elemen vertikal yang sangat banyak dipergunakan. Bahkan dinding pemikul beban itu sebenarnya dapat dipandang sebagai kolom yang diperluas di satu bidang. Kolom tidak selalu harus berarah vertikal. Meskipun suatu elemen struktur bisa berarah miring, asalkan memenuhi defenisi kolom yaitu beban aksial hanya diberikan di ujung-ujungnya dan tidak ada beban transversal, elemen struktur dapat disebut kolom. Dengan demikian kolom tidak mengalami lentur secara langsung (tidak ada beban tegak lurus terhadap sumbunya).
matematikawan yang dilahirkan di Switzerland dan mempunyai hubungan dekat dengan keluarga Bernoulli yang kita kenal sebagai ahli matematika juga.
Euler telah menganalisis dengan benar aksi pada elemen struktur panjang, langsing, yang dibebani aksial di St. Petersburg, Russia pada tahun 1759. Bentuk solusi yang dihasilkannya masih digunakan sampai hari ini. Solusi yang ditemukannya merupakan kontribusi berharga pada teknik struktur dan hingga kini mempunyai bentuk seperti ketika ditemukan oleh Euler.
2.2.2.2 Rangka Kaku
Gambar 2.2.3 Struktur kaku yang umum [Daniel L. Schodek, 1998]
[image:39.595.175.438.78.327.2]Rangka batang (trusses) adalah struktur yang dibuat dengan menyusun batang yang relatif pendek dan lurus dengan pola-pola segitiga seperti terlihat pada gambar 2.2(4). Struktur yang demikian secara eksak memang kaku karena setiap elemen garis pada struktur tersebut mempunyai posisi relatif tertentu. Berbagai pola lain (misalnya pola bujursangkar) tidak memberikan struktur kaku kecuali apabila titik hubungnya dirancang hingga seperti pada struktur rangka. Perlu diketahui bahwa rangka batang yang terdiri atas elemen-elemen diskrit melendut secara keseluruhan apabila dibebani dengan cara serupa dengan balok yang dibebani transversal, akan tetapi setiap batang tidak melentur karena hanya mengalami gaya tarik atau tekan.
Struktur rangka kaku (rigid frame) adalah struktur yang terdiri dari atas elemen-elemen linier, umumnya balok dan kolom yang saling dihubungkan pada ujung-ujungnya oleh joints (titik hubung) yang dapat mencegah rotasi relatif diantara elemen struktur yang dihubungkannya. Dengan demikian elemen struktur ini menerus pada titik hubung tersebut. Seperti halnya pada balok menerus, struktur rangka kaku adalah statis tak tentu.
[image:41.595.170.457.83.294.2]
Gambar 2.2.5 Struktur Post-and-Beam dan struktur rangka kaku [Daniel L. Schodek, 1998]
Apabila mengalami beban vertikal, balok pada struktur post-and-beam
akan memikul beban tersebut kemudian menyalurkannya ke kolom selanjutnya diteruskan ketanah. Pada jenis ini balok terletak bebas diatas kolom dengan demikian pada saat beban menyebabkan timbulnya momen pada balok, ujung-ujung balok berotasi di ujung-ujung atas kolom jadi sudut yang dibentuk antara ujung-ujung balok dan ujung atas kolom berubah. Kolom tidak mempunyai kemampuan untuk menahan rotasi ujung balok. Hal ini berarti tidak ada momen yang dapat diteruskan ke kolom oleh karena itu kolom hanya memikul gaya aksial.
menyebabkan hal-hal penting seperti salah satunya adalah balok tersebut lebih bersifat mendekati balok berujung jepit-jepit (bukan terletak sederhana). Dengan hal tersebut kita peroleh keuntungan-keuntungan seperti bertambahnya kekuatan struktur, berkurangnya defleksi, dan berkurangnya momen lentur internal. Hal lain yang penting dalam hubungan kaku ini adalah bahwa ujung kolom cenderung memberikan tahanan rotasionalnya, maka kolom menerima momen lentur juga selain tentu saja menerima gaya aksial sehingga desain kolom menjadi relatif lebih rumit dibandingkan dengan desain kolom yang hanya memikul beban aksial.
Terhadap beban horizontal struktur post-and-beam dengan struktur rangka kaku sangat berbeda. Struktur post-and-beam dapat dikatakan tidak mempunyai kemampuan sama sekali untuk memikul beban horizontal. Adanya sedikit kemampuan pada umumnya hanyalah karena berat sendiri elemen tiang (post), atau adanya kontribusi elemen lain misalnya dinding penutup yang secara tidak langsung berfungsi sebagai bracing (pengekang). Dan perlu diingat bahwa kemampuan memikul beban horizontal pada struktur post-and-beam ini sangat kecil, oleh karena itu struktur rangka post-and-beam tidak adapat digunakan untuk memikul beban horizontal seperti beban gempa dan beban angin.
2.2.2.3 Pelengkung
dihasilkannya hanya berfungsi dan stabil apabila dibebani gaya-gaya pada bidang yang menyebabkan struktur tersebut mempunyai gaya tekan merata. Struktur yang demikian tidak dapat memikul beban yang menimbulkan perpanjangan atau lenturan karena tumpukan bata-bata tersebut akan mudah berantakan. Sekalipun demikian, struktur bata-bata dapat sangat kuat apabila digunakan dengan cara yang benar. Kekuatan struktur ini sangat ditentukan oleh penempatan tiap-tiap elemen karena bata dapat dengan mudah diletakkan diatas yang lainnya atau dengan menggunakan adukan semen (tetapi adukan tersebut tidak banyak menambah kekuatan struktur). Pada akhirnya, penenmpatan tersebut tergantung pada jenis beban yang akan bekerja padanya. Sebagai contoh, bentuk pelengkung yang dibuat dari bata tidak dapat berupa lengkungan sembarangan, tetapi harus khusus untuk beban yang direncanakan akan bekerja padanya. Struktur demikian tentu saja hanya kaku untuk kondisi yang sangat khusus.
[image:43.595.223.396.578.737.2]Struktur yang sering kurang diperhatikan namun cukup sering dipergunakan dalam bangunan-bangunan modern adalah suatu bentuk struktur yang dinamakan rigid arch (pelengkung kaku). Bentuk hampir sama dengan pelengkung bata tapi terbuat dari material kaku yang dibentuk lengkung seperti terlihat dalam gambar 2.2.6.
Apabila bentuk lengkung yang bersifat kaku ini dibuat dengan baik maka struktur semacam ini dapat memikul beban aksial tanpa terjadi lendutan atau bengkokan pada elemen strukturnya. Sehingga pelengkung kaku merupakan bentuk struktur yang menguntungkan dalam hal memikul beban karena dapat memikul beban yang bervariasi.
Bentuk pelengkung ditentukan berdasarkan kondisi beban utama misalnya bentuk parabolik untuk beban terdistribusi merata. Apabila ada beban lain yang bekerja pada pelengkung maka akan timbul momen lentur sebagai tambahan pada gaya aksial. Supaya pelengkung itu mampu memikul variasi beban tersebut maka harus di desain sedemikian besarnya agar cukup untuk memikul kombinasi momen lentur dan gaya aksial. Dalam merancang elemen struktur kaku untuk memikul momen lentur biasanya akan menghasilkan ukuran elemen struktur yang sangat sensitif terhadap momen lentur yang timbul. Semakin besar momen lentur maka semakin besar pulalah ukuran elemen struktur yang diperlukan. Apabila momen lenturnya sangat besar maka desain tersebut tidak layak lagi. Dengan demikian, tinjauan desain yang perlu dilakukan adalah menentukan kembali bentuk pelengkung yang dapat memberi momen lentur minimum untuk segala kondisi pembebanan yang mungkin. Bagaimanapun, momen lentur selalu ada karena satu bentuk hanya merupakan funicular ( dalam bahasa latin artinya “tali” ) untuk satu kondisi beban sehingga tidak tepat untuk menyebut pelengkung kaku sebagai funicular karena kondisi demikian hanya
funicular untuk satu kondisi pembebanan.
atau pondasi. Apabila mungkin, penggunaan batang horizontal pada struktur ini merupakan batang tarik, maka batang ini sangat efisien dalam memikul gaya horizontal ke luar yang terjadi pada ujung pelengkung yang dibebani. Dengan demikian, fondasi hanya diperlukan untuk memikul reaksi vertikal dan dapat didesain dengan cara yang relatif lebih sederhana dibandingkan dengan yang harus memikul gaya horzontal juga.
Elemen vertikal sebagai sistem penumpu pada pelengkung sangat jarang dilakukan, tidak seperti pada kabel. Apabila mungkin, kita dapat meletakkan pelengkung langsung di atas tanah tanpa harus ada elemen vertikal dulu. Apabila pelengkung harus dipergunakan diatas elemen struktur vertikal biasanya digunakan elemen struktur vertikal yang mampu memikul momen dan gaya normal.
Pada desain struktur pelengkung kaku, penentuan bagaimana kondisi pada ujung adalah hal yang cukup penting. Ada tiga jenis utama pelengkung berdasarkan kondisi ujungnya yaitu pelengkung tiga sendi, pelengkung dua sendi, dan pelengkung jepit ( lihat gambar 2.2.7 ). Dan pelengkung tiga sendi merupakan pelengkung yang statis tertentu sehingga reaksi, gaya-gaya pada titik hubung, momen serta gaya internal dapat diperoleh dengan menerapkan secara langsung persamaan keseimbangan. Sedangkan analisis pelengkung dua sendi dan pelengkung jepit tidak dapat hanya didasarkan atas keseimbangan statis.
Gambar 2.2.7 Struktur pelengkung [Daniel L. Schodek, 1998]
Apabila didesain sebagai bentuk yang furnicular untuk suatu jenis beban, perilaku ketiga jenis struktur pelengkung kaku sama saja terhadap beban tersebut. Perbedaan yang ada hanyalah pada kondisi ujung (tumpuan) yang dipakai. Gaya tekan internal yang timbul sama saja. Sekalipun demikian, apabila faktor-faktor lain ditinjau akan muncul perbedaan nyata. Faktor-faktor yang penting meliputi efek settlement (penurunan) tumpuan, efek perpanjangan atau perpendekan elemen struktur akibat perubahan temperatur dan besar relatif defleksi akibat beban. Gambar 2.2.7 dapat kita lihat sebagai ilustrasi dari jenis-jenis pelengkung itu berperilaku terhadap faktor-faktor tersebut.
Pada umumnya, perbedaan kondisi ujung dikehendaki untuk menghadapi fenomena yang berbeda. Adanya sendi pada struktur sangat berguna apabila settlement tumpuan dan efek thermal diperhitungkan karena ujung sendi itu memungkinkan struktur tersebut berotasi terhadap titik sendi tersebut secara bebas. Apabila pada tumpuan yang digunakan adalah jepit, fenomena itu akan menyebabkan terjadinya momen lentur. Sekalipun demikian, pelengkung jepit dapat melendut kecil dibandingkan dengan jenis pelengkung lainnya apabila dibebani.
2.2.2.4 Flat Plate (Plat Datar)
secara vertikal, elemen struktur ini biasanya memikul beban pada bidangnya. Perilaku bentuk permukaan tersebut membuat elemen plat datar sangat berguna dalam situasi dimana diinginkan permukaan penutup suatu bangunan.
Plat dapat dibuat dengan berbagai cara. Salah satunya adalah dengan membuatnya dari beton bertulang. Permukaan vertikal yang dirancang untuk memikul beban vertikal dapat dibuat dengan tumpukan bata dan bentuk seperti ini disebut load bearing wall. Bentuk struktur yang seperti ini hanya dapat memikul beban pada bidang yang arah kerjanya juga vertikal. Jadi plat semacam ini tidak dirancang untuk mengalami lendutan pada permukaannya akibat beban eksternal.
Plat horizontal dapat juga dibuat dengan pola susunan elemen garis yang kaku dan pendek. Skema segitiga tiga dimensi digunakan untuk memperoleh kekakuan pada struktur yang tersusun tersebut.
[image:47.595.213.413.552.667.2]Plat kaku, sempit, panjang dapat pula digabungkan disepanjang tepi panjangnya dan digunakan dengan bentang horizontal, serupa dengan balok-balok. Struktur ini disebut folded plate (plat lipat), mempunyai potensi untuk membentang cukup jauh. Dapat kita lihat pada Gambar 2.2.8 yang mengilustrasikan struktur plat lipat tersebut.
Gambar 2.2.8 Pelat Lipat
diseluruh bentang plat bukan hanya pada titik-titik tertentu saja. Seperti yang terlihat pada gambar 2.2.9 mengisyaratkan plat satu arah sederhana. Plat tersebut dapat dibayangkan sebagai sederetan jalur balok yang berhubungan diseluruh panjangnya. Pada saat beban dipikul oleh satu jalur balok, maka ada kecenderungan untuk berdefleksi kebawah. Akan tetapi jalur balok disebelahnya cenderung menahan kecenderungan tersebut, yang berarti balok ini memikul juga bagian dari beban itu. Tentu saja akan timbul gaya geser pada pertemuan antara balok-balok yang bersebelahan. Untuk balok yang semakin jauh dari posisi beban yang bekerja, torsi dan gaya geser yang timbul akan lebih kecil karena sudah semakin banyak bagian beban yang diteruskan ke tumpukan oleh aksi longitudinal jalur-jalur tersebut.
Gambar 2.2.9 Struktur Grid Kompleks [Daniel L. Schodek, 1999]
Dengan demikian, momen lentur internal juga akan berkurang. Gambar.2.2.10 secara diagramatis akan mengilustrasikan bagaimana momen internal dan reaksi terdistribusi pada plat. Momen pada plat biasanya dinyatakan sebagai momen per satuan panjang m misalnya dinyatakan dalam ft-lb/ft atau kN-m/m. Reaksi yang diperlihatkan pada gambar 2.2.10 dinyatakan sebagai gaya persatuan panjang.
Gambar 2.2.10 Struktur Plat satu arah [Daniel L. Schodek, 1999] 2.2.2.5 Cangkang
struktur mencakup juga yang berarah melingkar seperti pada cangkang bola yang tidak terdapat pada pelengkung.
Cangkang adalah bentuk struktural tiga dimensional yang kaku dan tipis yang mempunyai permukaan lengkung. Permukaan cangkang dapat mempunyai sembarang bentuk . Bentuk yang umum adalah permukaan yang berasal dari kurva yang diputar terhadap satu sumbu misalnya permukaan bola, elips, kerucut dan parabola, permukaan translasional yang dibentuk dengan menggeserkan kurva bidang diatas kurva bidang lainnya misalnya permukaan parabola eliptik dan silindris, permukaan yang dibentuk dengan menggeser dua ujung segmen garis pada dua kurva bidang misalnya permukaan hiperbolik paraboloid dan konoid dan berbagai bentuk yang merupakan kobinasi dari yang telah disebutkan diatas.
Beban yang bekerja pada permukaan cangkang diteruskan ke tanah dengan menimbulkan tegangan geser, tarik dan tekan pada arah dalam bidang (in-plane) permukaan tersebut. Tipisnya permukaan cangkang menyebabkan tidak adanya tahanan momenyang berarti. Struktur cangkang tipis khususnya cocok digunakan untuk memikul beban terbagi rata pada atap gedung dan struktur ini tidak cocok untuk menahan beban terpusat.
Sebagai akibat dari cara elemen ini memikul beban dalam-bidang terutama dalam cara tarik dan tekan, struktur cangkang dapat sangat tipis dan mempunyai bentang yang relatif besar. *Perbandingan bentang-tebal sebesar 400 atau 500 dapat saja digunakan misalnya tebal 3 inc (8 cm) mungkin saja digunakan untuk kubah yang berbentang 100 sampai 125 ft (30 sampai 38 m). Cangkang setipis ini menggunakan material yang relatif baru dikembangkan, misalnya beton bertulang yang didesain khusus untuk membuat permukaan cangkang. Bentuk-bentuk tiga
dimensional lain, misalnya kubah pasangan (bata) mempunyai ketebalan lebih besar dan tidak dapat dikelompokkan sebagai struktur yang hanya memikul tegangan dalam-bidang karena pada struktur tebal seperti itu momen lentur sudah mulai dominan.
Bentuk tiga dimensional juga dapat dibuat dari batang-batang kaku dan pendek seperti yang terlihat dalam gambar 2.2.11. Struktur seperti itu pada hakikatnya adalah struktur cangkang karena perilaku strukturnya dapat dikatakan sama dengan permukaan cangkang menerus hanya saja tegangannya tidak lagi menerus seperti pada permukaan cangkang tetapi terpusat pada setiap batang. Struktur demikian baru pertama kali digunakan pada awal abad XIX. Kubah Schwedler yang terdiri atas jaring-jaring batang bersendi tak teratur, pertama kali diperkenalkan oleh Schwedler di berlin pada tahun 1863, pada saat ia mendesain kubah dengan bentang 132 ft (48 m). Struktur baru yang lain adalah yang menggunakan batang-batang yang diletakkan pada kurva yang dibentuk oleh garis membujur dan melintang dari suatu permukaan putar. Banyak kubah di dunia ini ayng menggunakan cara yang demikian.
Gambar 2.2.11 Struktur permukaan jala [Daniel L. Schodek, 1999] 2.2.2.6 Kabel
ujungnya saja, maka bentuknya lurus. Jenis kabel demikian disebut tie-rod. Jika kabel digunakan pada bentang antara dua titik dan memikul beban titik eksternal maka bentuk kabel akan berupa segmen-segmen garis. Jika yang dipikul beban terbagi maka kabel akan mempunyai bentuk lengkungan. Berat sendiri kabel dapat menyebabkan bentuk lengkung tersebut, biasanya berbentuk catenary-curve.
Ada hubungan yang cukup erat antara bentuk kabel dan bentuk pelengkung. Jika bebannya sama, bentuk kabel akibat beban tersebut akan sama dengan bentuk pelengkung. Bentuk yang satu merupakan inversi bentuk yang lain. Apabila terjadi tarik pada kabel maka pada pelengkung terjadi tekan. Kabel dapat digunakan pada bentang yang panjang. Biasanya kabel digunakan pada jembatan yang memikul dek jalan raya beserta lalulintas diatasnya. Karena beban lalu lintas selalu menyebabkan kabel utama mengalami perubahan bentuk karena berubah-ubahnya posisi beban maka dek jembatan dibuat kaku sehingga permukaan jalan pada dasarnya tetap datar dan beban yang diterima oleh kabel pada dasarnya konstan. Kabel juga dipakai untuk memikul permukaan atap pada gedung, khususnya pada situasi bentang yang besar. Akan tetapi pada kasus ini perlu diperhatikan bahwa harus diusahakan agar permukaan atap tidak bergetar sebagai akibat berganti-gantinya angin yaitu tekanan berubah jadi isapan
sebagai atap amfiteater Romawi yang dibangun sekitar tahun 70 SM seperti terlihat pada gambar 2.2.12. Sekalipun kabel telah lama digunakan pengertian teoritisya masih belum lama dikembangkan. Di Eropa, jembatan gantung masih belum lama digunakan meskipun struktur rantai-tergantung telah pernah dibangun di Alpen Swis tahun 1595 yaitu sejak Fausto Veranzio menerbitkan gambar jembatan gantung. Selanjutnya pada tahun 1741 dibangunjembatan rantai di Durham Country, Inggris dan jembatan ini mungkin adalah jembatan yang pertama di Eropa.
Gambar 2.2.12 Struktur atap dengan menggunakan kabel Pada Roman Colloseum, dibangun sekitar tahun 70 SM.
[Daniel L. Schodek, 1998] 2.2.2.7 Membran, Tents dan Jaring
Bentuk membran dipertahankan oleh tekanan udara internal didalam struktur. Mekanisme lain adalah dengan menggunakan gaya jacking eksternal yang menarik membran agar mempunyai bentuk tertentu. Berbagai struktur kulit-bertegangan (skin-tressed) adalah jenis tersebut. Sekalipun demikian pra-tarik pada kulit mempunyai banyak pembatasan pada bentuk yang akan dibuat. Sebagai contoh untuk permukaan bola sangat sulit dilakukan pra-tarik oleh gaya jacking
eksternal, sedangkan bentuk hiperbolik-paraboloid cukup mudah.
Jaring adalah permukaan tiga dimensi yang terbuat dari sekumpulan kabel lengkung yang melintang. Jaring mempunyai analogi dengan kulit membran. Dengan memperbolehkan suatu bukaan jaring divariasikan sesuai dengan keperluan,sangat banyak bentuk permukaan yan dapat diperoleh. Keuntungan penggunaan kabel melintang adalah bahwa penempatan kabel tersebut dapat mencegah atap dari getaran akibat tekanan dan isapan angin. Selain itu gaya tarik umumnya dapat diberikan pada kabel dengan alat-alat jacking sehingga seluruh permukaan dapat mempunyai bentuk seperti kulit-tertarik. Hal ini juga dapat memberikan stabilitas dan tahanan terhadap getaran pada atap.
Membran adalah struktur permukaan fleksibel tipis yang memikul beban dengan mengalami tegangan tarik. Gelembung sabun adalah contoh klasik yang dapat dipakai untuk mengilustrasikan apakah struktur membran itu dan bagaimanakah perilakunya. Struktur membran cenderung dapat menyesuaikan diri dengan cara struktur tersebut dibebani. Selain itu struktur tersebut sangat peka terhadap efek aerodinamika dari angin. Efek ini dapat menyebabkan terjadinya
menggunakan sistem prategang pada permukaan membran. Sistem prategang dapat dilakukan dengan memberikan gaya eksternal yang menarik membran maupun dengan menggunakan tekanan internal apabila membrannya berbentuk volume tertutup. Contoh pemberian prategang yang menggunakan gaya eksternal adalah struktur tenda. Akan tetapi, adapula tenda yang tidak mempunyai permukaan yang benar-benar ditarik oleh kabel sehingga dapat bergerak apabila dibebani. Sekalipun dapat memikul beban angin normal, banyak permukaan tenda yang dapat bergetar sebagai akibat dari efek aerodinamika dari angin kencang. Karena itulah tenda lebih banyak digunakan sebagai struktur sementara bukan sebagai struktur permanen. Sekalipun demikian, kita dapat memberi prategang pada membran dengan memberikan gaya jacking yang cukup untuk tetap menegangkan membran pada berbagai kondisi pembebanan yang mungkin terjadi.
antena radar yang sangat besar. Pada saat ini, pneumatika adalah sebutan yang biasa/umum pada konteks gedung.
2.2.3. Satuan Struktural Utama
Sebelumnya telah dijelaskan dengan singkat mengenai beberapa elemen dasar beserta fungsinya sebagai struktur pemikul beban. Dan dari penjelasan tersebut jelas bahwa beberapa diantaranya harus dikombinasikan dengan yang lain untuk memperoleh struktur yang menutup atau membentuk suatu volume. Karena itulah struktur yang digunakan pada gedung biasanya berbeda dengan yang digunakan pada bangunan lain. Struktur gedung selalu berperilaku pembentuk-volume, sementara bangunan lain seperti jembatan biasanya digunakan untuk memikul permukaan linier.
yang ditinjau. Sebagai contoh, sebagian besar gedung dapat dipandang terdiri atas kumpulan satuan volumetrik yang ukurannya dengan penggunaan yang direncanakan.
2.2.4 Penggabungan (Aggregations)
Seperti yang telah disebutkan sebelumnya, struktural utama dapat digabungkan hingga membentuk struktur yang lebih besar yang pada dasarnya mempunyai perilaku berulang. Dalam konteks ini tidak mudah untuk mengatakan bahwa perilaku penggabungan yang mungkin sangat dipengaruhi oleh karakteristik fisik, termasuk geometri dan kekakuan satuan struktural utama yang digunakan.
penutup suatu luasan berupa satuan struktur besar dibandingkan dibandingkan penggabungan banyak elemen kecil.
2.3 Analisis dan Desain Struktur
Metode pengklasifikasian struktur telah memberikan tinjauan dasar sehubungan dengan bentuk geometris elemen struktur atau susunannya dan sifat fisik utamanya. Tepatnya, sistem klasifikasi deskriptif tersebut tidak merefleksikan hubungan yang harus ada diantara bagian-bagian yang berhubungan pada susunan struktur agar struktur dapat berfungsi sebagai satu kesatuan. Secara mudah struktur disebutkan sebagai elemen-elemen yang digabung. Akan tetapi, setiap struktur nyata harus berfungsi sebagai satu kesatuan dalam memikul beban untuk disalurkan ke tanah. Setiap penggabungan elemen tidak menjamin secara implisit bahwa strukturnya dapat berlaku demikian. Keharusan suatu struktur berfungsi sebagai satu kesatuan dalam memikul beban dapat diilustrasikan dengan menggunakan stabilitas dasar dari struktur yang dibebani. Ide mengenai stabilitas ini dijelaskan sebagai berikut.
2.3.1 Kestabilan struktur
dibebani. Struktur yang tidak stabil tidak memberikan gaya-gaya internal yang mempunyai kecenderungan mengembalikan struktur ke bentuk semula. Struktur yang tidak stabil mudah mengalami collapse (runtuh) secara menyeluruh dan seketika begitu dibebani.
Ada beberapa cara dasar untuk mengubah struktur berdiri-sendiri menjadi konfigurasi stabil. Yang pertama adalah dengan menambah elemen struktur
diagonal pada struktur. Dengan demikian struktur tidak dapat mengalami deformasi menjadi jajaran genjang. Metode lain untuk menjaga kestabilan adalah dengan menggunakan dinding geser. Elemen ini berupa elemen permukaan bidang kaku yang tentu saja dapat menahan deformasi akibat beban horizontal tersebut. Beton bertulang atau dinding bata dapat digunakan sebagai dinding geser. Baik dinding penuh maupun sebagian dapat digunakan padanya. Metode sederhana lain untuk memperoleh kestabilan adalah dengan mengubah hubungan antara elemen struktur sedemikian rupa sehingga perubahan sudut yang terjadi berharga konstan untuk kondisi pembebanan tertentu. Hal ini dilakukan dengan membuat titik hubung kaku diantara elemen struktur. Sebagai contoh, meja adalah struktur stabil karena adanya titik hubung kaku diantara setiap kaki meja dengan permukaan meja, yang menjamin hubungan sudut konstan diantara elemen-elemen tersebut. Struktur yang menggunakan titik hubung kaku untuk menjamin kestabilan sering disebut sebagai rangka (frame).
2.3.2 Gaya dalam : Tarik, Tekan dan Lentur
maka akan timbul gaya tekan atau tarik merata di dalam batang, bergantung pada gaya luar yang bekerja. Aksi umum gaya-gaya ini menyebabkan terputusnya atau hancurnya material. Bergantung pada apakah gaya yang ada berupa tarik atau tekan. Kapasitas pikul beban batang tarik umumnya bergantung pada jenis material yang dipakai dan pada luas penampang batang. Faktor-faktor tersebut juga menentukan kapasitas pikul batang tekan. Akan tetapi, kapasitas pikul beban batang tekan yang relatif panjang mempunyai kecenderungan berkurang apabila batang semakin panjang. Batang tekan yang panjang cenderung tidak stabil apabila dibebani dan menekuk tiba-tiba pada taraf beban tertentu yang disebut beban kritis. Ketidakstabilan tiba-tiba biasanya terjadi tanpa adanya kehancuan material. Sekalipun demikian, apabila ini terjadi struktur tersebut tetap dalam keadaan berdeformasi karena tidak dapat memberi gaya internal untuk mengembalikan struktur ke bentuk semula. Apabila dibebani terus maka akhirnya elemen struktur tersebut mengalami kegagalan dengan melentur.fenomena demikian disebut tekuk (bukling).
Sehubungan dengan fenomena tersebut tentu ada gaya tarik dan tekan. Elemen struktur dapat melentur dibebani transversal adalah karena tarik dan tekan tersebut. Dengan demikian ada gaya tarik dan tekan internal pada penampang yang sama dan disebut momen lentur (bending). Elemen struktur yang mengalami lentur demikian umumnya disebut balok.
Gambar 2.3.1 Kondisi gaya internal: tarik, tekan dan lentur [Daniel L. Schodek, 1998]
Pengenalan mengenai adanya perbedaan kapasitas pikul beban suatu elemen struktur terhadap tarik, tekan dan lentur adlah hal mendasar dalam merencanakan struktur yang efisien. Tujuan umum desain struktural sering kali berupa minimisasi lentur pada struktur. Teknik untuk melakukan hal ini sangat bervariasi tetapi prinsipnya selalu sama. Tujuan desain lainnya adalah minimisasi penggunaan batang tekan panjang. Elemen yang lebih diinginkan adalah elemen struktur tarik murni atau elemen struktur tekan pendek. Prinsip desain lainnya adalah kesesuaian jenis keadaan gaya yang ada dan pemilihan material yang cocok sehingga karakteristik material dapat dimamfaatkan dengan baik.
2.3.3 Sistem satu arah dan dua arah
sistem satu arah dan dua arah. Pada sistem satu arah, mekanisme transfer beban yang ada pada struktur untuk menyalurkan beban eksternal ke tanah adalah pada satu arah saja. Pada sistem dua arah, arah mekanisme transfer beban lebih rumit tetapi paling sedikit selalu melibatkan dua arah. Balok linier yang membentang diantara dua titik tumpuan merupakan salah satu contoh sistem satu arah seperti yang terlihat pada gambar 2.3.2. Sistem yang terdiri atas dua elemen saling melintang dan terletak pada dua kumpulan titik tumpuan yang tidak terletak pada garis yang sama dan kedua elemen itu bekerja sama memikul beban luar sembarang merupakan contoh sistem dua arah.
Gambar 2.3.2 Sistem struktural satu arah dan dua arah [Daniel L. Schodek, 1998]
tumpuan dapat pula memberikan hasil sebaliknya. Oleh sebab itu sejak awal harus dapat dibedakan sistem satu arah dengan sistem dua arah.
2.4 Prinsip-prinsip Mekanika
Mekanika merupakan salah satu cabang ilmu pengetahuan terapan yang berhubungan dengan gaya dan gerak, dan dasar ilmu ini adalah keseimbangan. Sebutan statika digunakan untuk menunjukkan bagian dari mekanika yang khusus berhubungan dengan gaya-gaya yang bekerja pada benda tegar (rigid bodies) yang berada dalam keseimbangan dan diam. Sebutan dinamika menunjukkan bagian mekanika yang berhubungan dengan benda tegar yang bergerak. Apabila gaya
inersia juga diperhitungkan, maka benda yang bergerak dapat juga dipandang berada dalam keseimbangan.
2.4.1 Gaya dan Momen 2.4.1.1 Gaya
dikembangkan oleh beberapa ilmuawan seperti Leonardo da Vinci, Steven,
Roberval, dan Galileo Galilei. Masalah demikian sering disebut sebagai masalah dasar di dalam statika yang akhirnya berhasil dipecahkan dengan tuntas oleh
Varginon dan Newton.
2.4.1.2 Besaran skalar dan vektor
Dalam mempelajari mekanika, ada perbedaan yang jelas tentang besaran skalar dan besaran vektor. Besaran skalar dapat dengan memadai dikarakteristikkan dengan besarnya juga, sedangkan besaran vektor harus dikarakteristikkan oleh besar dan arahnya. Gaya adalah besaran vektor. Setiap besaran vektor dapat dinyatakan dengan garis. Arah garis tersebut terhadap suatu sumbu-tetap menunjukkan arah besaran vektor tersebut. Panjang garis, apabila digambarkan dengan skala maka akan menunjukkan besarnya (lihat gambar 2.4.1)
Gambar 2.4.1 Vektor gaya, interaksi gaya, resultan dan jajaran genjang Sesungguhnya gaya tidak dapat secara lengkap dinyatakan hanya dengan besar dan arah karena titik tangkap bekerjanya disepanjang garis aksi sering kali merupakan sesuatu yang juga penting. Garis kerja suatu gaya adalah garis yang panjangnya tak tentu dimana terdapat vektor gaya tersebut.
2.4.1.3 Jajaran-genjang gaya
vektor. Aturan ini didasarkan atas observasi eksperimental. Pada awalnya metode pertama pada perjumlahan vektor adalah berdasarkan hukum jajaran genjang. Pada vektor gaya menyatakan bahwa apabila ada dua garis kerja gaya berpotongan maka ada satu gaya yang disebut resultan yang ekivalen dengan kedua gaya tersebut yang dapat dinyatakan dengan diagonal jajaran genjang yang dibentuk oleh kedua vektor gaya tersebut (lihat gambar 2.4.1 b,c dan d).
Pada umumnya, kumpulan gaya yang lebih kompleks dapat dijadikan sederhana menjadi resultan gaya tanpa mengubah efek yang ditimbulkan pada benda di mana gaya-gaya tersebut bekerja. Ada satu cara grafis untuk mencari gaya resultan dari beberapa vektor gaya yang garis kerjanya bertemu di satu titik seperti yang terlihat pada gambar 2.4.2. Vektor-vektor itu masing-masing digambar berskala dan saling menyambung (ujung disambung dengan pangkal). Urutan kombinasi tidak penting. Apabila gaya resultan tersebut tidak nol maka tidak ada poligon gaya yang tertutup. Garis penutup merupakan gaya resultan dari semua vektor tersebut yaitu garis yang berawal dari titik awal vektor pertama ke titik vektor terakhir. Gaya tersebut menutup poligon gaya. Cara umum ini berasal dari aturan jajaran genjang.
Gambar 2.4.2 Metode grafis untuk mencari gaya resultan untuk sistem gaya konkuren
2.4.1.4 Momen
tangkapnya, gaya itu juga dapat menyebabkan terjadinya rotasi yang disebut
momen dari gaya tersebut (lihat gambar 2.4.3). Terhadap suatu titik atau suatu garis, besar putaran atau rotasi ini sama dengan hasil kali besar gaya dengan jarak tegak lurus dari garis kerja gaya ke titik atau garis yang ditinjau. Momen M akibat gaya P terhadap titik O dapat dengan mudah disebut MO=F x r di mana r adalah
jarak tegak lurus dari garis kerja gaya F ke titik O. r sering disebut sebagai lengan momen dari suatu gaya. Momen mempunyai satuan gaya kali jarak misalnya ft-lb dan N-m).
Gambar 2.4.3 Momen [Daniel L. Schodek, 1998]
Efek rotasional total yang diakibatkan oleh beberapa gaya terhadap satu titik atau garis yang sama adalah jumlah aljabar dari momen masing-masing gaya terhadap titik atau garis tersebut. Dengan demikian :
MO =( F1 x r1) + ( F2 x r2) + ( F3 x r3)+ … + ( Fn x rn)
Efek rotasional terhadap benda tegar (rigid body) yang diakibatkan oleh banyak gaya yang bekerja terhadap suatu titik atau garis , tetapi tidak sebidang sama dengan yang diakibatkan apabila gaya-gaya tersebut sebidang.
Kopel adalah sistem gaya yang terdiri atas dua gaya yang sama besar tetapi berlawanan arah dan garis kerjanya sejajar dan tidak terletak pada satu garis lurus ( ). Kopel hanya mengakibatkan efek rotasional (tidak ada translasional) terhadap benda. Momen akibat kopel didapat dari hasil k
![Gambar 2.2.5 Struktur Post-and-Beam dan struktur rangka kaku [Daniel L. Schodek, 1998]](https://thumb-ap.123doks.com/thumbv2/123dok/343014.31501/41.595.170.457.83.294/gambar-struktur-post-beam-struktur-rangka-daniel-schodek.webp)
