DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2015
VIVIANISA WAHYUNI
PENYELESAIAN
CAPACITATED VEHICLE ROUTING
PROBLEM
MENGGUNAKAN
GREEDY RANDOMIZED
PERNYATAANSKRIPSI DANSUMBER INFORMASI SERTA
PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Penyelesaian Capacitated Vehicle Routing Problem Mengggunakan Greedy Randomized Adaptive Search Procedureadalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir karya ilmiah ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya ilmiah saya kepada Institut Pertanian Bogor.
ABSTRAK
VIVIANISA WAHYUNI. Penyelesaian Capacitated Vehicle Routing Problem Mengggunakan Greedy Randomized Adaptive Search Procedure. Dibimbing oleh FARIDA HANUM dan PRAPTO TRI SUPRIYO.
Capacitated Vehicle Routing Problem (CVRP) merupakan salah satu variasi dari Vehicle Routing Problem (VRP), yang secara khusus merupakan masalah penentuan rute kendaraan dengan penambahan kendala kapasitas kendaraan. Tujuan CVRP yaitu meminimumkan jarak tempuh atau waktu tempuh kendaraan. Pada karya ilmiah ini, masalah CVRP diselesaikan dengan sebuah metode heuristik yaitu Greedy Randomized Adaptive Search Procedure (GRASP) dengan prinsip cluster first-route second. GRASP merupakan metode dua fase. Fase pertama ialah penentuan solusi awal dan fase kedua peningkatan kualitas solusi. Penentuan solusi awal bekerja dengan cara mengelompokkan setiap pelanggan ke dalam beberapa grup untuk kemudian dirancang rute yang meminimumkan jarak tempuh. Selanjutnya dilakukan peningkatan kualitas solusi menggunakan metode 2-opt agar hasil yang didapatkan lebih baik. Contoh aplikasi CVRP dalam karya ilmiah ini ialah penentuan rute pengiriman produk roti dengan jarak minimum. Kata kunci: CVRP, metode heuristik, metode 2-opt , GRASP, VRP.
ABSTRACT
VIVIANISA WAHYUNI. Determination of Capacitated Vehicle Routing Problem Using Greedy Randomized Adaptive Search Procedure. Supervised by FARIDA HANUM and PRAPTO TRI SUPRIYO.
Capacitated Vehicle Routing Problem (CVRP) is a variation of Vehicle Routing Problem (VRP), which is intended is the problem to determine the route of vehicle with increasing its capacity. The goal of CVRP is either to minimize the mileage or delivery time of shipping product. In this paper, the CVRP problem will be solved by using a heuristic method, namely Greedy Randomized Adaptive Search Procedure (GRASP).This method has two phases, firstly is determining the initial solution and secondly is improving the quality of the solution. Determination of initial solution was carried out by classifying customers into groups and then designing the routes to minimize distances. Further, the initial solutions are improved by using the 2-opt method. The application of CVRP is showed as an ilustration in determining the minimum distance route of bread product delivery.
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika
VIVIANISA WAHYUNI
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2015
PENYELESAIAN
CAPACITATED VEHICLE ROUTING
PROBLEM
MENGGUNAKAN
GREEDY RANDOMIZED
Judul Skripsi : Penyelesaian Capacitated Vehicle Routing Problem Menggunakan Greedy Randomized Adaptive Search Procedure
Nama : Vivianisa Wahyuni NIM : G54100035
Disetujui oleh
Dra Farida Hanum, MSi Pembimbing I
Drs Prapto Tri Supriyo, MKom Pembimbing II
Diketahui oleh
Dr Toni Bakhtiar, MSc Ketua Departemen
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Tema yang dipilih ialah Riset Operasi, dengan judul Penyelesaian Capacitated Vehicle Routing Problem Menggunakan Greedy Randomized Adaptive Search Procedure.
Terima kasih penulis ucapkan kepada Ibu Dra Farida Hanum, MSi dan Bapak Drs Prapto Tri Supriyo, MKom selaku pembimbing dan Bapak Dr Ir Amril Aman, MSc selaku penguji yang telah memberikan saran, motivasi dan bimbingan dalam penulisan karya ilmiah ini. Di samping itu, penghargaan penulis sampaikan kepada Bapak Dr Ir Irmansyah, MSi selaku Kepala Asrama IPB 2014 dan Ibu Dr Megawati Simanjuntak, Spi.Msi selaku Kepala Sub Direktorat Kesejahteraan Mahasiswa yang telah memberikan saran, motivasi, dan beasiswa penelitian kepada penulis. Ungkapan terima kasih juga disampaikan kepada ayah, ibu, serta seluruh keluarga dan teman-teman Sospol Asrama, Senior Resident dan Matematika 47, atas segala doa dan kasih sayangnya.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL x
DAFTAR GAMBAR x
DAFTAR LAMPIRAN x
PENDAHULUAN 1
Latar Belakang 1
Tujuan 1
LANDASAN TEORI 2
Travelling Salesman Problem 2
Vehicle Routing Problem 3
Capacitated Vehicle Routing Problem 4
Generalised Assignment Problem 5
Greedy Randomized Adaptive Search Proccedure 6
Minimum Spanning Tree 6
Double Minimum Spanning Tree 7
Metode 2-opt 8
PEMBAHASAN 8
Deskripsi dan formulasi masalah 8
Algoritme GRASP untuk CVRP 10
IMPLEMENTASI MODEL 11
Penyelesaian masalah dengan menggunakan Greedy Randomized Adaptive
Search Procedure 13
SIMPULAN DAN SARAN 20
Simpulan 20
Saran 21
DAFTAR PUSTAKA 21
LAMPIRAN 23
DAFTAR TABEL
1 Data permintaan pelanggan 12
2 Nilai � dengan perhitungan ,3, ,10 dan ,19 13
3 Hasil klasifikasi pelanggan 14
4 Data jarak pelanggan di Grup 1 14
5 Data jarak pelanggan di Grup 2 15
6 Data jarak pelanggan di Grup 3 16
7 Data jarak dalam fase local search dengan metode 2-opt 18 8 Hasil akhir total jarak tempuh untuk setiap grup 20
DAFTAR GAMBAR
1 Contoh rute dalam Travelling Salesman Problem (TSP) 3 2 Contoh rute dalam Vehicle Routing Problem (VRP) dengan tiga
kendaraan 4
3 Contoh Graf � dan MST Graf � dengan bobot 15 6 4 Contoh ilustrasi MST dan Double Minimum Spanning Tree 7 5 Contoh hasil rute tempuh dari Double Minimum Spanning Tree 7
6 Contoh 2-opt 8
7 Lokasi depot dan semua pelanggan 12
8 MST Grup 1 dan Double Minimum Spanning Tree pada Grup 1 15 9 Rute Grup 1 hasil Double Minimum Spanning Tree 15 10 MST Grup 2 dan Double Minimum Spanning Tree pada Grup 2 16 11 Rute Grup 2 hasil Double Minimum Spanning Tree 16 12 MST Grup 3 danDouble Minimum Spanning Tree pada Grup 3 17 13 Rute Grup 3 hasil Double Minimum Spanning Tree 17 14 Rute tempuh gabungan pelangganGrup 1, 2, dan 3 17 15 Pergantian sisi pada Grup 1. (a) merupakan rute awal dan (b) rute
setelah 2-opt 19
16 Rute gabungan semua pelanggan setelah 2-opt lima kali iterasi 19
DAFTAR LAMPIRAN
1 Data jarak antar pelanggan 23
2 Data depot dan pelanggan 24
3 Perhitungan nilai � 25
4 Sintaks program LINGO 11.0 untuk menyelesaikan contoh kasus
Generalised Assignment Problem 29
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Masalah transportasi dan distribusi produk dalam kehidupan sehari-hari dapat dimodelkan sebagai vehicle routing problem (VRP). Model VRP akan menghasilkan sejumlah rute kendaraan untuk mengunjungi konsumen. Setiap rute berawal dan berakhir di tempat yang sama yang disebut depot. Selain itu, model VRP juga memastikan agar total permintaan pada suatu rute tidak melebihi kapasitas kendaraan yang beroperasi. Penggunaan model VRP diharapkan dapat meminimumkan total jarak tempuh dan jumlah kendaraan. Salah satu variasi dari VRP ialah capacitated vehicle routing problem (CVRP). Pada CVRP ditambahkan kendala kapasitas pada kendaraan untuk melayani permintaan pelanggan.
VRP merupakan permasalahan integer programming yang termasuk kategori NP-Hard Problem (Nondeterministic Polynomial - Hard Problem), yang berarti usaha komputasi yang digunakan akan semakin besar dan banyak seiring dengan meningkatnya ruang lingkup masalah. Untuk masalah seperti ini, biasanya yang dicari adalah aproksimasi solusi yang terdekat dengan solusi optimal. Salah satu cara untuk menyelesaikannya ialah dengan metode heuristik (Pradhana et al. 2012).
Dalam karya ilmiah ini, metode heuristik yang digunakan untuk mencari solusi CVRP ialah algoritme greedy randomized adaptive search procedure (GRASP). Prosedur GRASP ini adalah sebuah metode metaheuristik berulang yang terdiri dari dua fase dalam setiap iterasinya. Fase pertama merupakan fase penentuan solusi awal dan fase kedua adalah fase local search. Pada fase pertama, proses penentuan solusi dimulai dengan membangkitkan grup untuk setiap titik yang ada dan banyaknya grup yang sudah ditentukan. Selanjutnya dalam fase local search mencari rute terpendek dari setiap grup yang telah didapatkan (Festa 2002). Sumber utama karya ilmiah ini ialah artikel berjudul Optimizing vehicle routes in bakery company allowing flexibility in delivery dates karangan J Pacheco A Alvarez I Garcia dan F Angel-Bello yang diterbitkan pada tahun 2012 dan Laporte G Gendreau M Potvin JY Semet F yang berjudul Classical and modern heuristics for the vehicle routing problem yang diterbitkan pada tahun 2000.
Tujuan
Tujuan karya ilmiah ini ialah:
1 menerapkan metode heuristik greedy randomized adaptive search procedure (GRASP) cluster first-route second untuk mencari jarak terpendek dari rute kendaraan,
jika pelanggan ke- j dikunjungi setelah pelanggan ke-i selainnya
LANDASAN TEORI
Dalam bab ini akan dijelaskan tentang travelling salesman problem (TSP) yang merupakan dasar dari vehicle routing problem, kemudian akan dijelaskan penggunaan metode heuristik yang mendasari penyelesaian capacitated vehicle routing problem menggunakan algoritme greedy randomized adaptive search procedure, double minimum spanning tree, dan 2-opt.
Travelling Salesman Problem
Dalam travelling salesman problem (TSP), seorang salesman akan berangkat dari satu pelanggan kemudian mengunjungi semua pelanggan yang ada dan pada akhir perjalanannya, salesman tersebut kembali ke pelanggan awal atau depot. Tujuan dari TSP ialah menentukan rute dan melalui setiap pelanggan satu kali yang meminimumkan jarak tempuh. Model TSP untuk � buah pelanggan dapat dituliskan sebagai berikut:
Misalkan,
= besarnya biaya yang dikeluarkan untuk melakukan perjalanan dari pelanggan i ke pelanggan j
Variabel keputusan �, =
1, 0,
Fungsi objektif untuk TSP tersebut adalah:
minimumkan = , �,
�
=1
�
=1
terhadap kendala sebagai berikut:
1 Setiap pelanggan tepat dikunjungi satu kali, �, = 1; ∀ = 1,2,…,�
�
=1
,
�, = 1; ∀ = 1,2,…,�
�
=1
,
2 Tidak terdapat subtour pada rute tersebut, �, −1; ∀ ⊂ 1,2,…,� ,
3 Variabel �, bernilai 0 atau 1, �, 0,1 ; ∀ , = 1,2,… �,
Gambar 1 Contoh rute dalam Travelling Salesman Problem (TSP)
Vehicle Routing Problem
Masalah yang berhubungan dengan pencarian rute yang optimal pada kendaraan dari suatu tempat ke tempat yang lain untuk melayani permintaan pelanggan disebut dengan vehicle routing problem (VRP). Dalam praktiknya, VRP banyak digunakan pada masalah distribusi logistik pada suatu wilayah.
Karakteristik model VRP di antaranya ialah terdapat satu depot yang memiliki sebanyak kendaraan untuk melakukan pengiriman, dengan kapasitas setiap kendaraan sebanyak . Kendaraan mengirim permintaan untuk � pelanggan masing-masing sebesar untuk pelanggan , dengan i=1,2,...,n. Jarak yang ditempuh dari setiap kendaraan sebisa mungkin adalah jarak yang terpendek antara pelanggan i ke pelanggan j. Penyelesaian yang didapat merupakan anggota dari { 1, 2,…, �} yang mengirimkan permintaan melalui � buah rute dan permintaan yang dikirim tidak melebihi kapasitas kendaraan yang tersedia untuk setiap rute (Machado et al. 2002).
Tujuan dari VRP ialah menentukan sejumlah rute untuk melakukan pengiriman pada setiap konsumen, dengan mengikuti beberapa ketentuan, antara lain: (1) setiap rute berawal dan berakhir di depot, (2) setiap konsumen dikunjungi tepat satu kali oleh tepat satu kendaraan, (3) jumlah permintaan tiap rute tidak melebihi kapasitas kendaraan dan (4) meminimumkan biaya perjalanan (Cordeau et al. 2002).
Formulasi Matematika VRP
Didefinisikan � = (�,�) merupakan graf lengkap yaitu graf dengan setiap verteksnya tersambung dengan satu sisi dengan � = {0,1,…,�} dan � adalah himpunan sisi di �. Verteks 0 menyatakan depot dan verteks lainnya menyatakan pelanggan. Misalkan bahwa menunjukkan himpunan pelanggan dengan ⊆ � −{0}, menunjukkan besarnya biaya yang dikeluarkan untuk melakukan perjalanan dari pelanggan i ke pelanggan j, menunjukkan banyaknya kendaraan yang digunakan untuk melayani pelanggan, dan ( ) menunjukkan banyaknya minimum kendaraan yang dibutuhkan untuk melayani pelanggan di .
Variabel keputusan: �, =
1, 0,
jika terjadi kunjungan dari pelanggan i ke pelanggan j selainnya
Konsumen
Rute
Fungsi objektif
minimumkan = , �, � �
dengan kendala sebagai berikut:
1 tepat satu kendaraan yang datang dan pergi dari lokasi , �, = 1
�
, ∀ � − 0 ,
�, = 1
�
, ∀ � − 0 ,
3 terdapat kendaraan yang masuk dan keluar depot, �,0 = ,
� �0, =
�
,
4 banyak kunjungan yang terjadi bernilai lebih besar atau sama dengan banyaknya kendaraan yang tersedia,
�, ,∀ ⊆ � − 0 , ≠ ∅,
5 variabel kunjungan bernilai biner, �, 0,1 , ∀ , �,
(Toth dan Vigo 2002).
Gambar 2 Contoh rute dalam Vehicle Routing Problem (VRP) dengan tiga kendaraan.
Capacitated Vehicle Routing Problem
Capacitated vehicle routing problem (CVRP) adalah salah satu variasi dari VRP yang memiliki kendala kapasitas pada kendaraan untuk melayani sejumlah permintaan konsumen. Sebelumnya jumlah permintaan konsumen untuk suatu barang telah diketahui dari sebuah depot. Oleh karena itu, CVRP sama seperti
Rute
Depot
Konsumen Depot
Rute
VRP dengan faktor tambahan yaitu tiap kendaraan punya kapasitas tersendiri untuk suatu barang yang akan dikirim.
CVRP bertujuan meminimumkan banyak kendaraan dan total waktu perjalanan. Selain itu, total permintaan barang untuk tiap rute tidak boleh melebihi kapasitas kendaraan yang melewati rute tersebut. Solusi CVRP dikatakan fisibel jika jumlah total barang yang diatur untuk setiap rute tidak melebihi kapasitas kendaraan yang melewati rute tersebut.
Sebagai contoh, misalkan melambangkan kapasitas sebuah kendaraan. Secara matematis, solusi untuk CVRP sama dengan VRP, tetapi dengan batasan tambahan total permintaan pelanggan pada rute tidak boleh melebihi kapasitas kendaraan atau �=1 dengan adalah banyaknya permintaan pada pelanggan .
Generalised Assignment Problem
Generalised assignment problem atau GAP merupakan masalah penempatan yang melibatkan sejumlah barang dan wadah dengan menempatkan setiap barang tepat pada satu wadah yang bertujuan memaksimumkan keuntungan. Setiap berat barang yang ditempatkan pada wadah tidak lebih besar dari kapasitas wadah itu sendiri.
Model GAP untuk permintaan dapat dinyatakan sebagai berikut:
Misalkan, , adalah jarak dari pelanggan ke pelanggan , menunjukkan banyaknya permintaan pelanggan , menunjukkan kapasitas kendaraan, dan menunjukkan banyaknya kendaraan yang tersedia dengan merupakan indeks kendaraan serta , merupakan indeks pelanggan.
�, =
1, 0,
Fungsi objektif
minimumkan = , �, =1
�
=1
�
=1
dengan kendala:
1 banyaknya permintaan tidak melebihi kapasitas kendaraan, �,
�
=1
= 1,2,… ,
2 setiap pelanggan hanya diantar satu kali oleh satu kendaraan, �, = 1
=1
= 1,2,…,�,
3 nilai �, bernilai 0 atau 1,
�, 0,1 ; ∀ = 1,2,… , = 1,2,… �,
(Wilson 1997).
Dalam karya ilmiah ini, GAP digunakan untuk mengklasifikasi grup pada pelanggan sesuai dengan kapasitas kendaraan.
Greedy Randomized Adaptive Search Procedure
Greedy randomized adaptive search procedure atau biasa disebut algoritme GRASP merupakan salah satu algoritme iteratif untuk menyelesaikan masalah kombinatorial dengan dua fase. Fase pertama merupakan fase penentuan solusi awal dan fase kedua ialah local search.
Pada implementasinya, ada banyak jenis algoritme GRAPS, di antaranya ialah GRASP dengan prinsip cluster first-route second. Pada prinsip ini, pelanggan dikelompokkan ke dalam beberapa grup terlebih dahulu (cluster first), kemudian dirancang rute yang paling efisien dari setiap grup yang telah terbentuk (route second) (Simchi-Levi et al. 2005).
Minimum Spanning Tree
Tree ( ) merupakan salah satu graf terhubung yang tidak mempunyai cycle. Suatu graf � dikatakan terhubung apabila setiap dua simpul dari graf � selalu terdapat jalur yang menghubungkan kedua simpul tersebut. Spanning tree atau pohon rentang merupakan graf yang mencakup semua simpul pada graf � dan merupakan tree.
Minimum spanning tree (MST) atau pohon rentang minimum adalah spanning tree dengan jarak minimum. Minimum spanning tree merupakan salah satu cara untuk mencari rute penghubung dari semua tempat pelanggan dalam jaringan secara bersamaan dengan jarak minimum (Nemhauser 1999).
Salah satu algoritme yang umum digunakan untuk membuat minimum spanning tree ialah algoritme Prim. Langkah-langkah untuk mencari bobot minimum yaitu:
1 mengambil sisi graf � yang berbobot minimum dan dimasukkan kedalam yang merupakan graf kosong,
2 menambahkan sisi minimum yang bersisian dengan tetapi sisi tersebut tidak membentuk cycle di , kemudian ditambahkan sisi tersebut ke dalam ,
3 langkah 2 diulangi hingga semua verteks masuk ke dalam (Siang 2002). Pada Gambar 3 terdapat sebuah graf terhubung. Gambar b) menunjukkan MST dari graf tersebut.
Gambar 3 (a) Contoh Graf � dan (b)MST Graf � dengan bobot 15.
2 2 2 2
3
3 3
4
4
4
4 5
5
10
Double Minimum Spanning Tree
Double minimum spanning tree merupakan salah satu metode heuristik untuk menentukan solusi dari TSP. Solusi yang didapatkan merupakan solusi pendekatan sehingga solusi tersebut tidak dijamin optimal. Namun dengan nilai pendekatan, diharapkan hasil yang diperoleh menjadi lebih baik dari sebelumnya. Langkah-langkah penentuan rute dengan double minimum spanning tree ialah sebagai berikut:
1 membuat MST dari graf �dengan algoritme Prim, 2 menggandakan setiap edge pada MST tersebut,
3 membuat urutan titik yang akan dikunjungi mulai dari depot sampai kembali lagi ke depot,
4 menghapus atau menghilangkan titik selain depot yang muncul lebih dari satu kali,
5 membuat rute baru dari setiap urutan titik yang didapat dari Langkah 4.
Sebagai contoh, pada Gambar 4(a) terdapat sebuah MST. Kemudian, setiap edge pada MST tersebut digandakan seperti pada Gambar 4(b). Misalkan MST pada Gambar 4(b) dimulai dari titik 1, maka rute dari titik 1 kembali ke 1 adalah 1,2,3,2,4,2,5,2,6,7,8,7,9,7,6,2,1. Dari urutan tersebut terlihat bahwa terdapat lokasi yang dilewati lebih dari satu kali, titik 2, 6, dan 7 . Selanjutnya, titik yang muncul lebih dari dua kali selain titik awal dihapus hingga menghasilkan sebuah rute baru. Rute baru setelah penghapusan titik yang muncul lebih dari satu kali menjadi 1,2,3,4,5,6,7,8,9,1 seperti pada Gambar 5 (Nemhauser 1999).
Gambar 4 (a) Contoh ilustrasi MST dan (b) Double Minimum Spanning Tree
Metode 2-opt
Suatu rute yang akan diminimumkan jaraknya dapat ditentukan dengan beberapa cara. Salah satu cara yang dapat digunakan ialah menggunakan metode local search. Dalam karya ilmiah ini salah satu metode local searh yang digunakan ialah metode 2-opt.
Pada dasarnya metode 2-opt memindahkan dua jalur pada rute yang ada, kemudian menghubungkan kembali jalur tersebut dengan pasangan pelanggan yang berbeda. Metode 2-opt hanya dapat dilakukan jika rute baru yang dihasilkan lebih baik daripada rute awal (Nilsson 2003). Sebagai contoh, pada Gambar 6 terdapat rute 0,1,3,2,4,0. Sisi (1,3) dan sisi (2,4) dihapus dan ditambahkan sisi baru yang menghubungkan pelanggan 1 dengan pelanggan 2 dan pelanggan 3 dengan pelanggan 4. Perpindahan ini mengubah rute tempuh menjadi 0,1,2,3,4,0 (Idaman 2013).
Path di antara dua verteks Sisi yang dihilangkan Sisi yang ditambahkan Gambar 6 Contoh 2-opt
PEMBAHASAN
Deskripsi dan Formulasi Masalah
Perusahaan yang memproduksi produk yang cepat rusak, misalkan perusahaan makanan, memiliki beberapa kendala dalam distribusinya. Produk yang diproduksi biasanya memiliki waktu kadaluarsa yang tidak lama. Oleh karena itu, setiap distributor memerlukan keefisienan waktu dalam mengirimkan produk tersebut sampai kepada pelanggan. Meminimumkan jarak tempuh merupakan salah satu cara untuk mengatur agar produk yang dikirim cepat sampai dan dapat meminimumkan biaya pengiriman serta waktu tempuh kendaraan.
Pada karya ilmiah ini, dalam perhitungan pendistribusian produk kepada pelanggan, ada beberapa aturan yang dibuat. Aturan-aturan tersebut antara lain: 1 terdapat beberapa pelanggan yang tersebar dalam suatu wilayah di sekitar
depot,
2 terdapat beberapa kendaraan yang tersedia untuk melayani setiap pelanggan, 3 banyaknya permintaan tidak melebihi kapasitas kendaraan yang tersedia,
1
0 2
3 4
1
0 2
4 kendaraan memiliki waktu tempuh maksimum dalam sekali perjalanan melayani pelanggan,
5 setiap perjalanan dimulai dan diakhiri pada depot yang sama pada hari yang sama,
6 setiap pelanggan hanya boleh dikunjungi oleh satu kendaraan. Beberapa asumsi yang digunakan dalam perhitungan ini ialah: 1 banyaknya kendaraan yang tersedia setiap hari sama,
2 waktu tempuh dianggap homogen (lewat jalan tol atau lewat jalan biasa dianggap sama),
3 kapasitas setiap kendaraan yang digunakan sama,
Model matematik untuk masalah tersebut adalah sebagai berikut: dan : indeks untuk lokasi pelanggan
: indeks untuk kendaraan.
Notasi
� : banyaknya lokasi pelanggan.
� : himpunan lokasi pelanggan 0,1,…,� dengan 0 merupakan depot dan merupakan tempat yang sesuai dengan pelanggan ke , ∀ {1,2,…,�}.
, : jarak antara pelanggan dan , ∀ , �.
: banyaknya permintaan pelanggan ,∀ = 1,2,… �. : kapasitas kendaraan.
: banyaknya kendaraan.
, : waktu tempuh kendaraan melayani pelanggan .
Variabel keputusan: �, =
1, 0,
Fungsi objektif dari masalah ini ialah meminimumkan total jarak tempuh setiap kendaraan:
minimumkan = , �,
� � terhadap kendala-kendala berikut:
1 tepat satu kendaraan yang datang dan pergi dari lokasi , �, = 1; ∀ �,
�
=1
�, = 1; ∀ �,
�
=1
2 banyaknya kendaraan yang meninggalkan depot sama dengan banyaknya kendaraan yang kembali ke depot,
�,0= �0,
� , �
3 waktu tempuh yang digunakan dalam melayani pelanggan dalam satu kelompok tidak lebih dari satu hari (24 jam),
, 24 ,
�
4 total permintaan pelanggan tidak melebihi dari total kapasitas kendaraan yang beroperasi,
, �
5 �, bernilai 1 atau 0, �, 0,1 ; ∀ , �.
Algoritme GRASP untuk CVRP
Algoritme GRASP pada umumnya diselesaikan dengan bantuan software.Pada prinsipnya, GRASP merupakan metode heuristik yang bekerja secara bertahap dengan memilih setiap kemungkinan solusi yang ada tanpa memikirkan akibat yang terjadi pada langkah selanjutnya. Khusus pada karya ilmiah ini, prinsip GRASP yang digunakan adalah GRASP dengan metode cluster first-route second. Prinsip ini membagi metode GRASP menjadi dua bagian: mengelompokkan terlebih dahulu, kemudian merancang rute tempuh yang optimal.
Metode cluster first-route second pada GRASP memiliki beberapa tahapan penting yang mendasari setiap langkah dalam algoritme. Tahapan-tahapan tersebut ialah:
1 penentuan seedpoint,
2 penghitungan jarak antartitik dan mencari minimum dari jarak tersebut, 3 penentuan grup menggunakan GAP,
4 pencarian solusi jarak terpendek menggunakan travelling salesman problem, 5 mencari kembali jarak terpendek menggunakan metode local search hingga
solusi terdekat dipenuhi, 6 penghentian algoritme,
(Laporte et al. 2000).
Penentuan seedpoint
Pada karya ilmiah ini, dipilih titik yang akan mewakili setiap grup sebagai seedpoint. Seedpoint merupakan titik yang diambil sebagai titik acuan utama pada setiap grup. Titik diasumsikan sebagai tempat lokasi pelanggan. Sebelum menentukan titik yang akan dikelompokkan, ditentukan terlebih dahulu banyaknya grup yang diinginkan. Dalam karya ilmiah ini, banyaknya grup yang ditentukan disesuaikan dengan banyaknya kendaraan yang tersedia setiap hari.
Penghitungan jarak antartitik
Jarak antartitik yang berkorespondensi dengan seedpoint � dinotasikan sebagai ,�. Pada metode ini jarak ,� dihitung dengan cara yaitu,
,� = min 0, + , � + �,0 , 0,� + �, + ,0 −( 0,� + �,0),
Penentuan grup menggunakan Generalised Assignment Problem
Pada karya ilmiah ini, penyelesaian GAP untuk mengklasifikasi pelanggan ke dalam grup-grup dihitung menggunakan bantuan software LINGO 11.0 dengan fungsi objektif meminimumkan jarak tempuh rute setiap kendaraan dengan kendala banyaknya permintaan tidak melebihi kapasitas kendaraan.
Pencarian solusi terpendek dari Travelling Salesman Problem
Saat lokasi pelanggan telah terklasifikasi dalam beberapa grup, digunakan double minimum spanning tree hingga diperoleh membentuk cycle (solusi dari TSP). Jika grup yang dipilih sebanyak � grup, maka terdapat � rute (cycle) yang terbentuk.
Penggunaan local search
Jenis-jenis local search beragam namun pada karya ilmiah ini metode yang dipakai adalah metode 2-opt. Setiap rute yang terbentuk dicari kembali bobot minimumnya menggunakan 2-opt sebanyak iterasi tertentu.
Kriteria penghentian algoritme
Penghentian algoritme local search 2-opt dalam karya ilmiah ini ditentukan dengan membatasi banyak iterasi yang akan dilakukan.
IMPLEMENTASI MODEL
Perusahaan roti memiliki kendala dalam pendistribusian produk rotinya. Perusahaan tersebut memiliki produk yang cepat rusak dengan masa kadaluarsa yang cepat. Perusahaan menginginkan jarak rute tempuh minimum untuk kendaraan yang akan mendistribusikan produknya dengan kecepatan rata-rata tertentu, agar roti yang dikirim cepat sampai kepada pelanggan. Barang yang dikirim sesuai dengan hari permintaan dan masih ada waktu beberapa hari bagi roti tersebut sampai kepada pelanggan sebelum masa kadaluarsanya.
Karya ilmiah ini mengambil studi kasus pendistribusian roti pada PT Nippon Indosari Corpindo yang dikenal dengan produknya bermerek “Sari Roti”. Perusahaan tersebut kemudian disebut sebagai depot yang menjadi awal keberangkatan dan akhir proses distribusi. Dalam masalah ini terdapat beberapa ketentuan sebagai berikut:
1 terdapat 24 pelanggan yang akan dilayani dengan ketersediaan kendaraan setiap hari sebanyak tiga kendaraan,
2 kecepatan rata-rata kendaraan yang digunakan sebesar 50km/jam,
3 kendaraan tersebut dapat mengangkut sebanyak 135 boks dalam satu kali angkut sehingga total barang yang dikirim ke pelanggan tidak melebihi kapasitas kendaraan,
4 perusahaan tersebut membatasi jarak maksimal yang boleh ditempuh setiap kendaraan yang beroperasi sejauh 120 km,
6 satu pelanggan hanya boleh dikunjungi satu kali oleh kendaraan dan setelah pelanggan tersebut dikunjungi, maka kendaraan harus meninggalkan pelanggan tersebut.
Lokasi pelanggan dan depot dapat dilihat pada Gambar 7. Data permintaan pelanggan dapat dilihat pada Tabel 1 dan data pelanggan dapat dilihat pada Lampiran 1.
Gambar 7 Lokasi depot dan semua pelanggan Tabel 1 Data permintaan pelanggan
Pelanggan (�)
Permintaan (boks) Pelanggan (�)
Permintaan (boks)
1 17 13 12
2 3 14 22
3 7 15 15
4 17 16 9
5 8 17 4
6 12 18 11
7 19 19 18
8 17 20 18
9 2 21 37
10 19 22 18
11 37 23 25
12 16 24 18
a
Penyelesaian Masalah dengan Algoritme Greedy Randomized Adaptive Search Procedure
Penentuan seedpoint
Misalkan � adalah himpunan semua pelanggan dengan � = {1,2,…,24}, verteks 0 adalah depot, � adalah indeks untuk grup, dan � adalah seedpoint pada grup�. Terlebih dahulu ditentukan banyaknya grup yang akan dibuat, misalkan tiga grup, maka terdapat tiga � sesuai dengan banyak grup �. Misalkan 1 = 3,
2 = 10, 3 = 19.
Penghitungan jarak antartitik
Setelah 1, 2 dan 3 dipilih, langkah selanjutnya adalah menghitung jarak rute tempuh yang berkorespondensi ke setiap � dan depot. Jika disajikan dalam tabel, maka hasil perhitungan jarak � dapat dilihat pada Tabel 2. Perhitungan nilai � dapat dilihat pada Lampiran 3.
Tabel 2 Nilai � dengan perhitungan ,3, ,10 dan ,19
Pelanggan (�)
��,� ��, ��, � Pelanggan (�) ��,� ��, ��, �
1 1 2 2 13 26 20 22
2 10 9 10 14 13 1 10
3 0 2 3 15 19 10 12
4 2 5 5 16 16 5 3
5 7 3 4 17 15 3 6
6 7 6 5 18 28 14 6
7 9 3 9 19 23 14 0
8 7 6 6 20 29 23 6
9 4 4 3 21 26 13 3
10 16 0 8 22 21 9 4
11 16 10 15 23 26 12 4
12 26 22 24 24 27 14 5
Penentuan grup menggunakan Generalised Assignment Problem
Tabel 3 Hasil klasifikasi pelanggan
Grup 1 Grup 2 Grup 3
1 7 5
2 10 18
3 12 19
4 13 20
6 14 21
8 15 23
9 16 24
11 17 -
- 22 -
Dari Tabel 3 dapat dilihat terdapat 8 pelanggan pada Grup 1, 9 pelanggan pada Grup 2, dan 7 pelanggan pada Grup 3. Hasil perhitungan menggunakan LINGO 11.0 didapat nilai objektif sebesar 148 dengan total iterasi 93 kali (dapat dilihat di Lampiran 4).
Pencarian solusi terpendek dengan Double Minimum Spanning Tree
Dari grup yang sudah didapat pada tahap sebelumnya, ditentukan rute terpendek menggunakan double minimum spanning tree. Perhitungan rute dilakukan pada setiapgrup sehingga akan ada tiga rute tempuh untuk tiga kendaraan berbeda pada setiap grup.
Tahap perhitungan jarak tiap grup dimulai dengan membuat MST untuk setiap grup. Selanjutnya, setiap sisi pada MST digandakan dan dibuat urutan titik tujuan tempuh dimulai dari titik �. Artinya, urutan destinasi kendaraan dimulai dari titik 3 pada Grup 1, titik 10 pada Grup 2 dan titik 19 pada Grup 3. Setelah semua titik dikunjungi, maka urutan destinasi kembali ke tempat semula. Titik yang muncul lebih dari satu kali dihilangkan sehingga graf membentuk cycle dan didapatkan rute baru.
Tabel 4 Data jarak pelanggan di Grup 1
Pelanggan (�)
1 2 3 4 6 8 9 11
1 0 7 3 3 5 3 12 11
2 0 7 8 11 8 18 8
3 0 2 5 4 14 7
4 0 5 4 13 10
6 0 3 19 11
8 0 15 9
9 0 22
11 0
pelanggan 3 bukan merupakan depot maka rute tempuh kendaraan menjadi 0,3,11,4,1,2,9,8,6,0 dengan total tempuh kendaraan sejauh 105 km.
Gambar 8 (a) MST Grup 1, (b) Double Minimum Spanning Tree pada Grup 1
: Seedpoint
Gambar 9 Rute Grup 1 hasil Double Minimum Spanning Tree
Sama seperti Grup 1, data jarak dan perhitungan graf pada Grup 2 disajikan pada Tabel 5 dan Gambar 10 sedangkan Grup 3 dapat dilihat pada Tabel 6 dan Gambar 12.
Tabel 5 Data jarak pelanggan di Grup 2
Pelanggan (�)
7 10 12 13 14 15 16 17 22
7 0 5 6 7 4 5 6 5 8
10 0 13 12 2 7 4 3 6
12 0 1 12 6 12 12 11
13 0 13 10 13 10 18
14 0 7 4 3 9
15 0 4 6 7
16 0 1 7
17 0 7
22 0
1
2
9 8
6 3
11
4 1
2
9 8
6 3
11
4
(a) (b)
1
2
9 8
6 3
11
Gambar 10 (a) MST Grup 2, (b) Double Minimum Spanning Tree pada Grup 2
: Seedpoint
Gambar 11 Rute Grup 2 hasil Double Minimum Spanning Tree
Dari Gambar 10 didapat rute tempuh kendaraan yaitu 10, 17, 16, 15, 16, 17, 22, 17, 10, 14, 7, 12, 13, 12, 7, 14, 10 dan dengan menghilangkan titik yang sama didapatkan rute tempuh Grup 2 yaitu 10, 17, 16, 15, 22, 14, 7, 12, 13, 10. Depot 0 ditambahkan dalam rute kendaraan Grup 2 sehingga rute tempuh berubah menjadi 0, 10, 17, 16, 15, 22, 14, 7, 12, 13, 0 dengan total jarak tempuh 93 km.
Tabel 6 Data jarak pelanggan di Grup 3
Gambar 12 (a) MST Grup 3, (b) Double Minimum Spanning Tree pada Grup 3
: Seedpoint
Gambar 13 Rute Grup 3 hasil Double Minimum Spanning Tree
Secara umum, jika setiap grup sudah memiliki rute, maka jika disatukan depot dan rute dari grup 1, 2 dan 3 dapat dilihat sebagai berikut:
Gambar 14 Rute tempuh gabungan pelangganGrup 1, 2, dan 3
5
Gambar 14 menunjukkan bahwa setiap kendaraan yang keluar dari depot selalu menuju seedpoint sebagai tujuan awal pada setiap grup dan kembali ke depot setelah pelanggan terakhir dikunjungi dari setiap grup tersebut. Garis putus-putus pada setiap grup menyatakan bagian akhir rute dari perhitungan TSP, namun kendaraan tidak perlu kembali ke seedpoint karena seedpoint sudah dilewati pertama kali sehingga setelah pelanggan terakhir dikunjungi, kendaraan dari setiap grup langsung kembali menuju depot.
Penggunaan local search 2-opt
Pada tahap ini, algoritme GRASP sudah masuk dalam fase kedua yaitu fase local search. Dari langkah sebelumnya didapat total jarak dari setiap grup masing-masing adalah 105 km, 93 km dan 100 km. Jarak tersebut kemungkinan bukan merupakan jarak optimal sehingga pada tahap ini, rute yang sudah didapat dicari kembali jarak yang lebih pendek menggunakan algoritme 2-opt. Algoritme ini bekerja dengan cara mengganti dua rute tertentu dengan dua rute baru dengan jarak yang lebih kecil. Pada karya ilmiah ini iterasi perhitungan 2-opt dibatasi sampai lima kali iterasi.
Tabel 7 Data jarak dalam fase local search dengan metode 2-opt
antara keduanya, dalam karya ilmiah ini diambil hasil dari iterasi 2. Total rute tempuh untuk Grup 2 setelah 2-opt adalah 92 km, sedangkan untuk Grup 3 selisih perpindahan jarak terbesar ada pada iterasi ke-4 dengan selisih 18 km dan mengubah total rute tempuh dari 100 km menjadi 82 km. Dengan demikian, rute tempuh kendaraan sudah lebih pendek dari rute sebelumnya dan iterasi algoritme berhenti.
Berikut adalah contoh pergantian rute dari Grup 1 pada iterasi pertama menggunakan 2-opt. Untuk ilustrasi lebih lengkap lihat dapat dilihat pada Lampiran 5.
Gambar 15 Pergantian sisi pada Grup 1. (a) merupakan rute awal dan (b) rute setelah 2-opt
Rute gabungan seluruh grup setelah dilakukan 2-opt dengan hasil jarak terpendek pada setiap grup dapat dilihat pada Gambar 16.
Saat nilai selisih jarak pada metode 2-opt sudah mencapai lima kali iterasi, maka diambil nilai selisih terbesar pada setiap grup. Nilai tersebut kemudian diakumulasikan pada total jarak tempuh setiap grup sehingga nilai yang didapat merupakan nilai dengan jarak tempuh kendaraan minimum. Setelah itu, dihitung total waktu tempuh yang digunakan dengan menjumlahkan waktu tempuh kendaraan dan waktu bongkar muat setiap pelanggan pada setiap grup. Hasil akhir setiap grup dapat dilihat pada Tabel 8.
Tabel 8 Hasil akhir total jarak tempuh untuk setiap grup
Total jarak
Penyelesaian masalah CVRP menggunakan algoritme GRASP dengan prinsip cluster first-route second memiliki lima tahapan. Tahapan-tahapan tersebut yaitu, penentuan jumlah grup yang akan dibuat, penentuan seedpoint, menghitung jarak antartitik yang berkorespondensi dengan seedpoint dan depot, mengklasifikasikan grup menggunakan generalised assignment problem dan pencarian solusi jarak menggunakan TSP double minimum spanning tree. Selanjutnya solusi yang sudah didapat dicari kembali menggunakan metode 2-opt hingga beberapa iterasi sampai solusi yang didapatkan seminimum mungkin.
Saran
Pencarian rute kendaraan menggunakan GRASP dengan metode heuristik menghasilkan solusi yang belum optimal, disarankan jika ada yang ingin menentukan rute kendaraan dengan menggunakan metode heuristik untuk menambah metode tambahan seperti path relinking agar solusi yang didapat semakin mendekati solusi yang optimal.
DAFTAR PUSTAKA
Cordeau J-F, Gendreau M, Laporte G, Potvin JY, Semet F. 2002. A guide to vehicle routing heuristics. Journal of Operation Research Society. 53:512-522.
Feo TA, Resende MGC. 1995. Greedy randomized adaptive search procedures. Journal of Global Optimization. 6: 109-134.
Festa P. 2002. Greedy randomized adaptive search procedure [Internet]. 7(4):7-11. [diunduh 2014 April 10]. Tersedia Pada: http://crema.di.unimi.it/ ~righini/ Didattica/Algoritmi Euristici/MaterialeAE/GRASPPaolaFesta.pdf
Idaman S. 2013. Penyelesaian vehicle routing problem with simultaneous pick-up and delivery service menggunakan algoritme tabu search [skripsi]. Bogor (ID): Institut Pertanian Bogor.
Laporte G, Gendreau M, Potvin JY, Semet F. 2000. Classical and modern heuristics for the vehicle routing problem. International Transactions in Operational Research. 285-300. PII: S0969-6016(00)00003-4.
Machado P, Tavares J, Pereira BF, Costa E. 2002. Vehicle routing problem: Doing it The Evolutionary Way [Internet]. [diunduh 2014 Oktober 2]. Tersedia pada: http: //. aminer. org/ 000/ 366/ 914/ a_ new_ ga_ approach_ for_the_vehicle_routing_problem.pdf
Nemhauser G. 1999. Integer and Combinatorial Optimization. New York (US): John Wiley & Sons.
Nilsson C. 2003. Heuristics for The Travelling Salesman Problem [Internet]. Linkoping University. [diunduh 2014 Oktober 2]. Tersedia pada: http://web.tuke.sk/fei-cit/butka/hop/htsp.pdf
Pacheco J, Alvarez A, García I, Angel-Bello F. 2011. Optimizing vehicle routes in bakery company allowing flexibility in delivery dates. Journal of Operational Research Society. 63: 569-581. doi: 10.1057/jors.2011.51.
Pradhana FE, Sugiharti E, Kharis M. 2012. Penerapan algoritma tabu search untuk menyelesaikan vehicle routing problem. UJM. 1(1):1-6.
Prama RA. 2007. Aplikasi kombinatorial pada vehicle routing problem [Internet]. Bandung (ID): Institut Teknologi Bandung. hlm: 3; [diunduh 2014 Juli 24]. Tersediapada:http:/informatika.stei.itb.ac.id/~rinaldi.munir/Matdis/20072008/ Makalah/MakalahIF2153-0708-027.pdf.
Siang, JJ. 2002. Matematika Diskrit dan Aplikasinya pada Ilmu Komputer. Yogyakarta (ID): Andi.
Simchi-Levi D, Chen X, Bramel J. 2005. The Logic of Logistics. Algorithms and Applications for Logistics and Supply Chain Management. Berlin (DE): Springer.
Toth P, Vigo D. 2002. An overview of vehicle routing problems. Di dalam: Toth P, Vigo D, editor. The Vehicle Routing Problem. Philadelphia (US): Siam. hlm 1-26.
Pelanggan (�)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 0 0 18 23 20 20 23 22 25 23 10 27 29 36 35 26 30 28 27 32 30 33 31 30 31 32 1 0 7 3 3 4 5 7 3 12 11 11 20 19 8 4 9 9 17 14 17 15 11 15 16 2 0 7 8 6 11 8 8 18 13 8 9 10 11 13 12 12 20 17 20 19 14 19 19
3 0 2 4 5 4 4 14 9 7 10 11 7 9 8 8 16 13 16 15 11 15 15
4 0 4 5 6 4 13 12 10 21 20 7 15 9 8 17 15 18 16 11 16 17
5 0 4 3 2 15 7 7 9 10 4 11 6 5 14 11 14 12 8 12 13
6 0 7 3 19 11 11 19 19 6 13 8 9 16 13 16 15 11 15 15
7 0 4 18 5 5 6 7 4 5 6 5 16 14 17 15 8 11 15
8 0 15 10 9 19 13 6 13 8 7 16 13 16 14 10 14 15
9 0 21 22 29 28 19 23 21 21 26 23 26 24 23 25 25
10 0 8 13 12 2 7 4 3 9 11 17 9 6 8 9
11 0 4 5 5 7 7 6 18 16 19 17 9 11 13
12 0 1 12 6 12 12 21 18 24 12 11 11 12
13 0 13 10 13 10 20 17 22 18 13 12 19
14 0 7 4 3 9 14 17 9 6 8 9
15 0 6 4 10 12 15 7 4 6 6
16 0 1 8 5 8 7 4 7 7
17 0 7 9 12 5 3 4 6
18 0 4 1 6 7 6 7
19 0 3 2 4 3 3
20 0 6 8 6 6
21 0 3 1 1
22 0 2 3
23 0 2
24 0 23
L
ampi
ra
n
1
Da
ta
jar
ak
antar
pe
langga
n
Lampiran 2 Data depot dan pelanggan
No Nama tempat Waktu bongkar muat
(menit)
0 PT NIPPON INDOSARI CORPINDO
1 HARI-HARI BEKASI TRADE CENTRE 38
2 MITRA WISMA ASRI 7
3 LION SUPERINDO BOROBUDUR BEKASI 34
4 PT CONTIMAS UTAMA IND. (BLUE MALL) 69
5 CARREFOUR BEKASI SQUARE 91
6 HERO KEMANG PRATAMA 37
7 GIANT HYPERMARKET BEKASI 28
8 LION SUPERINDO METROPOLITAN MALL 41
9 MAKRO BEKASI 2 32
10 HARI-HARI BEKASI CYBER PARK 15
11 CV NAGA SWALAYAN (Pondok Ungu) 69
12 GIANT UJUNG MENTENG 42
13 CARREFOUR CAKUNG 54
14 LION SUPERINDO KALIMALANG BEKASI 21
15 GIANT PONDOK KOPI SPM 18
16 GIANT JATI BENING 47
17 STAR MART PERSADA GOLF 8
18 TIP-TOP PONDOK GEDE 60
19 GIANT PONDOK GEDE 35
20 CV NAGA SWALAYAN (Jatiwaringin) 20
21 TIP-TOP PONDOK BAMBU 81
22 GIANT KALIMALANG 58
23 SUPERINDO PONDOK BAMBU 66
24 YOGYA PONDOK BAMBU TOSERBA 73
a
Lampiran 4 Sintaks program LINGO 11.0 untuk menyelesaikan contoh kasus Generalised Assignment Problem
MODEL:
SETS:
TITIK1/1..24/:Q; TITIK2/1..3/:;
RUTE(TITIK1, TITIK2):MATD, X;
ENDSETS
DATA:
MATD=@OLE('C:\Users\User\Documents\skripsi
vivi\data_jarak1.xlsx','DATA_D');
Q=@OLE('C:\Users\User\Documents\skripsi
vivi\data_jarak.xlsx','demand_q');
ENDDATA
!fungsi objektif
MIN = @SUM(RUTE: X * MATD);
!kendala
@FOR(TITIK1(I): @SUM(TITIK2(J): X(I, J)) = 1);
@FOR(TITIK2(j):@SUM(TITIK1(I):Q(I)*X(I,J))<=135);
@FOR(RUTE(I,J):@BIN(X(I,J)));
END
Hasil yang diperoleh:
Global optimal solution found.
Objective value: 148.0000 Objective bound: 148.0000 Infeasibilities: 0.000000 Extended solver steps: 0 Total solver iterations: 93
Q( 1) 17.00000 0.000000
MATD( 1, 1)1.000000 0.000000 MATD( 1, 2)2.000000 0.000000 MATD( 1, 3)2.000000 0.000000 MATD( 2, 1)10.00000 0.000000 MATD( 2, 2)9.000000 0.000000 MATD( 2, 3)10.00000 0.000000 MATD( 3, 1)0.000000 0.000000 MATD( 3, 2)2.000000 0.000000 MATD( 3, 3)3.000000 0.000000 MATD( 4, 1)2.000000 0.000000 MATD( 4, 2)5.000000 0.000000 MATD( 4, 3)5.000000 0.000000 MATD( 5, 1)7.000000 0.000000 MATD( 5, 2)3.000000 0.000000 MATD( 5, 3)4.000000 0.000000 MATD( 6, 1)7.000000 0.000000 MATD( 6, 2)6.000000 0.000000 MATD( 6, 3)5.000000 0.000000 MATD( 7, 1)9.000000 0.000000 MATD( 7, 2)3.000000 0.000000 MATD( 7, 3)9.000000 0.000000 MATD( 8, 1)7.000000 0.000000 MATD( 8, 2)6.000000 0.000000 MATD( 8, 3)6.000000 0.000000 MATD( 9, 1)4.000000 0.000000 MATD( 9, 2)4.000000 0.000000 MATD( 9, 3)3.000000 0.000000 MATD( 10, 1)16.00000 0.000000 MATD( 10, 2)0.000000 0.000000 MATD( 10, 3)8.000000 0.000000 MATD( 11, 1)16.00000 0.000000 MATD( 11, 2)10.00000 0.000000 MATD( 11, 3)15.00000 0.000000 MATD( 12, 1)26.00000 0.000000 MATD( 12, 2)22.00000 0.000000 MATD( 12, 3)24.00000 0.000000
MATD( 13, 1)26.00000 0.000000 MATD( 13, 2)20.00000 0.000000 MATD( 13, 3)22.00000 0.000000 MATD( 14, 1)13.00000 0.000000 MATD( 14, 2)1.000000 0.000000 MATD( 14, 3)10.00000 0.000000 MATD( 15, 1)19.00000 0.000000 MATD( 15, 2)10.00000 0.000000 MATD( 15, 3)12.00000 0.000000 MATD( 16, 1)16.00000 0.000000 MATD( 16, 2)5.000000 0.000000 MATD( 16, 3)3.000000 0.000000 MATD( 17, 1)15.00000 0.000000 MATD( 17, 2)3.000000 0.000000 MATD( 17, 3)6.000000 0.000000 MATD( 18, 1)28.00000 0.000000 MATD( 18, 2)14.00000 0.000000 MATD( 18, 3)6.000000 0.000000 MATD( 19, 1)23.00000 0.000000 MATD( 19, 2)14.00000 0.000000 MATD( 19, 3)0.000000 0.000000 MATD( 20, 1)29.00000 0.000000 MATD( 20, 2)23.00000 0.000000 MATD( 20, 3)6.000000 0.000000 MATD( 21, 1)26.00000 0.000000 MATD( 21, 2)13.00000 0.000000 MATD( 21, 3)3.000000 0.000000 MATD( 22, 1)21.00000 0.000000 MATD( 22, 2)9.000000 0.000000 MATD( 22, 3)4.000000 0.000000 MATD( 23, 1)26.00000 0.000000 MATD( 23, 2)12.00000 0.000000 MATD( 23, 3)4.000000 0.000000 MATD( 24, 1)27.00000 0.000000 MATD( 24, 2)14.00000 0.000000 MATD( 24, 3)5.000000 0.000000
Lampiran 5 Ilustrasi pergantian rute setiap grup dengan menggunakan metode 2-opt.
Grup 1
Sebelum 2-opt Setelah 2-opt
Grup 2
Sebelum 2-opt Setelah 2-opt
Grup 3
Sebelum 2-opt Setelah 2-opt
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Jakarta pada tanggal 11 Juni 1992 sebagai anak pertama dari pasangan Amril dan Suarni. Tahun 2010 penulis lulus dari SMA Negeri 112 Jakarta dan pada tahun yang sama penulis lulus seleksi masuk Institut Pertanian Bogor (IPB) melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB (USMI) dan diterima di Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam dengan memperoleh beasiswa Bidik Misi.
