REPRESENTATION OF POSITIVE INTEGERS AS SUMS OF TWO PERFECT SQUARES NUMBER

ABSTRACT

REPRESENTATION OF POSITIVE INTEGERS AS SUMS OF TWO PERFECT SQUARES NUMBER

By

ISNAN SUBKHI

Perfect square number is positive integers which built from the result of

multiplication against itself, or can be called integer square. A multiplication of two integers is the simpliest application which the result than is an integers. Representation of sums two integer is simple from constructed of sums of two integers. Representation which is constructed of two integer is possible consist of same variation of form. Due to, the square of integer is a perfect square number, then sums of two integers is integers number. It can be said that representation of sums of two squares is positif integers.

It is not all positif integer can be represented as a sum of two perfect squares number. Primes number �> 2 can be stated as sum of two perfect square number if � ≡1_(mod 4_{). And} �= 2 _{can be stated as sum of square numbers. But}

composite numbers can be stated as sums of two perfect square number if � =�2 _{with is square free with no prime divisor in form} 4�+ 3_. Keyword: integers, perfect squares number, representation of sum integers, prime

ABSTRAK

REPRESENTASI BILANGAN BULAT POSITIF SEBAGAI PENJUMLAHAN DUA BILANGAN KUADRAT SEMPURNA

Oleh ISNAN SUBKHI

Bilangan kuadrat sempurna merupakan bilangan bulat positif yang dibangun dari hasil perkalian suatu bilangan bulat terhadap dirinya sendiri, atau disebut kuadrat bilangan bulat. Penjumlahan dua buah bilangan bulat merupakan aplikasi paling sederhana yang kemudian hasil penjumlahannya merupakan bilangan bulat. Representasi penjumlahan dua bilangan bulat merupakan bentuk sederhana penjumlahan yang dibangun dari dua bilangan bulat. Maka representasi yang terbangun dimungkinkan terdiri dari beberapa bentuk yang bervariasi. Karena hasil kuadrat bilangan bulat merupakan suatu bilangan kuadrat sempurna, maka penjumlahan dua bilangan kuadrat sempurna adalah bilangan bulat.

Tidak semua bilangan bulat positif dapat direpresentasikan menjadi jumlahan dua bilangan kuadrat sempurna. Untuk suatu bilangan prima �> 2 dapat dinyatakan sebagai jumlahan dua bilangan kuadrat sempurna jika memenuhi � ≡1_(mod 4_). Dan untuk �= 2 _{dapat dinyatakan sebagai jumlahan dua bilangan kuadrat.} Sedangkan untuk bilangan komposit � dapat dinyatakan sebagai jumlahan dua bilangan kuadrat sempurna jika berbentuk �= �2 _{dengan adalah kuadrat} bebas yang tidak memuat pembagi prima yang berbentuk 4�+ 3_.

Kata kunci: bilangan bulat, bilangan kuadrat sempurna, representasi penjumlahan

DAFTAR ISI

Halaman

DAFTAR ISI ... i

I. PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang ... 1

1.2. Tujuan Penelitian ... 4

1.3. Manfaat Penelitian ... 4

II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1. Keterbagian Dalam Bilangan Bulat ... 5

2.2. Persekutuan Pembagi Terbesar (Greatest Common Divisor) ... 6

2.3. Bilangan Prima ... 8

2.4. Kekongruensian Modulo m ... 10

2.5. Teori Kongruensi Linear ... 12

2.6. Teori Kuadrat Residu ... 13

2.7. Bilangan Kuadrat Sempurna ... 13

2.8. Bilangan Bulat Kuadrat Bebas (Square-Free) ... 13

2.9. Teori Fermat ... 14

2.10. Teorema Wilson ... 14

III.METODOLOGI PENELITIAN 3.1.Tempat dan Waktu Penelitian ... 15

3.2.Metode Penelitian ... 15

IV.HASIL DAN PEMBAHASAN 4.1. Perkalian Bilangan Kuadrat Sempurna ... 16

4.2. Representasi Penjumlahan Pada Bilangan Prima ... 17

4.3. Representasi Penjumlahan Pada Bilangan Komposit ... 26

4.4. Representasi Pengurangan Dua Bilangan Kuadrat Sempurna ... 32

ii

I. PEDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Dalam perkembangan sejarah kehidupan manusia, matematika menjadi salah satu ilmu yang memiliki peranan penting. Menjadi kesimpulan beberapa ahli

perkembangan ilmu matematika selalu berbanding lurus dengan perkembangan corak produksi, teknologi, maupun tatanan sosial kehidupan manusia. Misalkan saja pada masa komunal primitif, masyarakat hanya sekedar menggunakan ilmu penjumlahan dan pengurangan dalam bentuk sederhana. Seterusnya, saat terjadi perkembangan corak produksi menjadi masa feodalisme yang mengatur tentang hak milik atas lahan, ilmu matematika mengalami perkembangan signifikan, karena aktifitas manusia saat itu tidak hanya sekedar penghitungan jumlah. maka diperlukan alat-alat pengukur untuk mengukur persil-persil tanah yang dimiliki, kemudian cara menilai kegiatan perdagangan, keuangan dan pemungutan pajak. Untuk keperluan yang lebih praktis, maka diperlukan bilangan-bilangan seebagai satuan untuk mengukur.

Bilangan pada awalnya hanya dipergunakan untuk mengingat jumlah, namun dalam perkembangannya setelah para pakar matematika menambahkan

2

kita pungkiri bahwa dalam kehidupan keseharian kita akan selalu bertemu dengan yang namanya bilangan, karena bilangan selalu dibutuhkan baik dalam teknologi, sains, ekonomi ataupun dalam dunia musik, filosofi dan hiburan serta banyak aspek kehidupan lainnya.

Awal kebangkitan teori bilangan modern dipelopori oleh Pierre de Fermat (1601-1665), Leonhard Euler (1707-1783), J.L Lagrange (1736-1813), A.M. Legendre (1752-1833), Dirichlet (1805-1859), Dedekind (1831-1916), Riemann (1826-1866), Giussepe Peano (1858-1932), Poisson (1866-1962), dan Hadamard (1865-1963). Sebagai seorang pangeran matematika, Gauss begitu terpesona terhadap keindahan dan kecantikan teori bilangan, dan untuk melukiskannya, ia menyebut teori bilangan sebagai the queen of mathematics.

Ahli matematika mendefinisikan sistem bilangan yang lebih mudah dimengerti dan diaplikasikan diberbagai disiplin ilmu, seperti dalam penjabaran berikut, bilangan bulat adalah bilangan yang terdiri atas bilangan positif, bilangan nol, dan bilangan negatif.

Misal: … … −3,−2,−1, 0, 1, 2, 3 …

Bilangan asli adalah bilangan bulat positif yang diawali dari angka 1(satu) sampai tak terhingga.

Misal: 1, 2, 3

Bilangan prima adalah bilangan yang tepat mempunyai dua faktor yaitu bilangan 1 (satu) dan bilangan itu sendiri.

(1 bukan bilangan prima, karena mempunyai satu faktor saja).

Bilangan komposit adalah bilangan yang bukan 0, bukan 1 dan bukan bilangan prima.

Misal ; 4, 6, 8, 9, 10, 12,…

Bilangan rasional adalah bilangan yang dinyatakan sebagai suatu pembagian antara dua bilangan bulat (berbentuk bilangan / , dimana dan merupakan bilangan bulat).

Misal: 1/2 ,2/(3),3/4…

Bilangan irrasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan sebagai pembagian dua bilangan bulat.

Misal: �, 3 , log 7 dan sebagainya.

Bilangan riil adalah bilangan yang merupakan penggabungan dari bilangan rasional dan bilangan irrasional

Misal: 1/2, 2,1

3, 5, �, 2/3, log 2 dan sebagainya.

Di sisi lain, dalam perkembangannya dibutuhkan metode penyelesaian suatu bilangan apakah dapat dijumlahkan oleh dua bilangan bulat sempurna, sebagai contoh,

� = 1: 1= 02 + 1

� = 2 (prima): 2 = 12 + 12

� = 3 (prima) tidak dapat dijumlahkan oleh dua bilangan sempurna n = 4: 4 = 22 + 02

n = 5 (prima): 5 = 22 + 12

4

n = 7 (prima) tidak dapat dijumlahkan oleh dua bilangan sempurna n = 8: 8 = 22 + 22

n = 9: 9 = 32 + 02

n = 10: 10 = 32 + 12

n = 11 (prima) tidak dapat dijumlahkan oleh dua bilangan sempurna n = 12 tidak dapat dijumlahkan oleh dua bilangan sempurna

n = 13 (prima): 12 = 32 + 22

n = 14 tidak dapat dijumlahkan oleh dua bilangan sempurna n = 15 tidak dapat dijumlahkan oleh dua bilangan sempurna

selain itu, berapakah jumlah kombinasi penjumlahan dua bilangan kuadrat sempurnaya pada bilangan tertentu,

n = 50: 50 = 12 + 72 = 52 + 52

menjadi pertanyaan kemudian bagaimana mencari dua bilangan kuadrat sempurna dengan jumlah tertentu serta kombinasinya

1. 2 Tujuan Penelitian

Tujuan dari penelitian ini adalah untuk mengkaji dan menjabarkan sifat bilangan bulat yang dapat direpresentasikan sebagai penjumlahan dua bilangan kuadrat atau lebih.

1. 3 Manfaat Penelitian

II. TINJAUAN PUSTAKA

Pada bab ini akan dibahas konsep-konsep yang mendasari konsep representasi penjumlahan dua bilangan kuadrat sempurna. Seperti, teori keterbagian bilangan bulat, bilangan prima, kongruensi dalam bilangan bulat.

2.1 Keterbagian Dalam Bilangan Bulat

Definisi 2.1.1

Suatu bilangan bulat dikatakan habis dibagi oleh suatu bilangan bulat ≠0, jika terdapat suatu bilangan bulat sedemikin sehingga = . Jika jal ini dipenuhi maka dikatakan membagi dan dinotasikan dengan │ yang dapat diartikan sebagai adalah faktor (pembagi) , atau adalah kelipatan . Jika

tidak habis membagi , maka dinotasikan ∤ (Burton, 1998).

Teorema 2.1.2 (Algoritma Pembagian)

Jika > 0, dan , ∈ℤ, maka ada bilangan-bilangan , ∈ℤ yang masing-masing tunggal (unique), sehingga = + dengan 0 < . jika ∤

maka memenuhi ketidaksamaan 0 < < . disebut bilangan yang dibagi (devided)

6

disebut bilangan hasil (quotient), dan

disebut bilangan sisa (remaider/residu)

Sifat- sifat keterbagian bilangan bulat 1. │0, 1│ , │ .

2. │1, jika dan hanya jika = ±1. 3. Jika │ dan │ , maka │ . 4. Jika │ dan │ , maka │ .

5. │ dan │ , jika dan hanya jika = ± . 6. jika │ dan ≠ 0, maka ≤

7. jika │ dan │ , maka │( + ), untuk sembarang bilangan bulat dan .

(Byrne, 1967).

2.2 Persekutuan Pembagi Terbesar (Greatest Common Divisor)

Kita mengetahui bahwa faktor-faktor 30 adalah 1, 2, 3,5, 6, 10, 15 dan 30. Faktor- faktor 105 adalah 1, 3, 5, 7,15, 21, 35, dan 105. Maka 1, 3, 5, dan 15 disebut faktor-faktor persekutuan (pembagi-pembagi bersama/ common divisor) dari 30 dan 105

Definisi 2.2.1

perlu diperhatikan bahwa jika dan kedua-duanya bilangan bulat yang tak nol, maka dan hanya memiliki sejumlah faktor terbatas saja. Dengan kata lain himpunan faktor persekutuan dari dan terbatas. Hal itu disebabkan faktor-faktor persekutuan dari dan tidak akan lebih besar dari bilangan yang terbesar diantar dan . tetapi jika atau sama dengan 0, himpunan semua faktor persekutuannya tak terbatas. Karena 1 membagi semua bilangan, maka 1

merupakan faktor persekutuan dua bilangan bulat sembarang dan . oleh karena itu setiap pasangan bulat sembarang selalu memiliki faktor persekutuan. Karena elemen-elemen himpunan faktor pembagi persekutuan dari dan adalah bilangan-bilangan bulat maka himpunan ini mempunyai elemen terbesar yang biasa disebut faktor persekutuan terbesar (Burton, 1998).

Definisi 2.2.2

Jika dan bilangan-bilangan bulat yang tak nol, adalah membagi persekutuan terbesar dari dan (ditulis “( , )”) jika dan hanya jika faktor persekutuan dari dan , jika merupakan faktor persekutuan dari dan , maka

(Baum, 1990).

Teorema 2.2.3

Jika ( , ) = maka ( ∶ , ∶ ) = 1

8

Teorema 2.2.4

1. jika = + dimana ( , ) = ( , )

2. jika gcd ( , ) = maka bilangan dan sehingga + =

3. misalkan │ dan │ dengan gcd( , ) = 1, maka │ .

Definisi 2.2.5

dua bilangan bulat dan , dimana keduanya tidak nol, maka disebut relatif prima jika setiap gcd( , ) = 1 (Burton, 1998).

Teorema 2.2.6

Diketahui dan adalah bilangan bulat, keduanya tidak nol. Maka dan relatif prima jika dan hanya jika terdapat bilangan bulat dan yang memenuhi

persamaan 1 = + .

Akibat 2.2.7

Jika gcd ( , ) = , maka gcd ( / , / ) = 1 (Burton, 1998).

2. 3 Bilangan Prima

Definisi 2.3.1

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 adalah bilangan prima pertama. Sedangkan 4, 6, 8, 9, 10, 12,

adalah contoh bilangan komposit. Perlu diketahui juga, bahwa 1 bukan merupakan bilangan prima maupun bilangan komposit.

Teorema 2.3.2

1. Suatu bilangan bulat �, dimana � > 1 dapat dibagi oleh bilangan prima. 2. Jika � adalah bilangan prima dan �│ , maka �│ dan �│ .

Teorema 2.3.3

1. Jika � adalah bilangan prima dan �│ ₁, ₁, . . . , _�, maka �│ _� untuk beberapa nilai�dimana 1 � �

2. Jika �, 1, 2,…, � semua adalah bilangan prima dan �│ 1, 2,…, �, diman �= _� untuk setiap �dimana 1 � �.

Teorema 2.3.4 Teorema Dasar Aritmatika

Untuk sembarang bilangan bulat � > 1 dapat dinyatakan sebagai hasil kali dari bilangan prima serta dinyatakan dalam bentuk kanonik

� =�₁1 � 2

2… �

��

Dimana ₁, ₂, . . . , _� bilangan bulat positif dan �1,�2, . . . ,�_� merupakan bilangan prima, dan �1 <�2 < . . . <�_�.

Teorema 2.3.5

1. Jika n bilangan komposit, maka � memiliki faktor �sedemikian sehingga

10

2. Untuk setiap bilangan komposit �, terdapat bilangan prima� sedemikian sehingga �.

Teorema 2.3.6

Jika �_� merupakan bilangan prima ke-�, maka �_� 22� −1

Akibat 2.3.7

Untuk � 1, setidaknya ada � + 1 bilangan prima kurang dari 22�.

Lemma 2.3.8

Hasil kali dari dua bilangan bulat atau lebih yang merunut pada persamaan 4�+ 1

adalah sebuah bilangan prima

Teorema 2.3.9

Terdapat bilangan prima tak hingga yang sesuai mengikuti persamaan 4�+ 3

3.4 Kekongruensian Modulo m

Definisi 2.4.1

Teorema 2.4.2

1. ≡ (mod ) jika dan hanya jika terdapat bilangan �sehingga =

�+ .

2. setiap bilangan bulat modulo dengan tepat satu diantara 0, 1, 2, 3, . . .,

( –1) (Burton, 1998).

Definisi 2.4.3

Pada ≡ (mod ) dengan 0 < , maka disebut residu terkecil dari (mod ). Untuk kongruen ini, {0, 1, 2, 3, … , ( –1)} disebut himpunan residu terkecil modulo (Burton, 1998).

Teorema 2.4.4

≡ (mod ), maka dan memiliki sisa yang sama jika dibagi .

Definisi 2.4.5

himpunan bilangan bulat ₁, ₂, … , disebut sistem residu lengkap modulo jika dan hanya jika setiap bilangan bulat kongruen modulo m dengan satu dan hanya satu diantara ₁, ₂, … , atau (Burton, 1998).

Teorema 2.4.6

12

1. ≡ (mod )

2. jika ≡ (mod ), maka ≡ (mod )

3. jika ≡ (mod ) dan ≡ (mod ), maka ≡ (mod )

4. jika ≡ (mod ) dan ≡ (mod ), maka + = + (mod ) dan = (mod )

5. jika ≡ (mod ), maka + = + (mod ) dan +

(mod ).

6. jika ≡ (mod ), maka � ≡ � (mod m) untuk setiap bilangan bulat �

Teorema 2.4.7

1. Jika ≡ (mod ), lalu ≡ (mod / ), maka = gcd ( ,�) 2. Jika ≡ (mod �) dan gcd ( ,�) = 1, maka ≡ (mod �). 3. Jika ≡ (mod �) dan � ∤ , dimana � merupakan bilangan prima,

maka ≡ (mod �) (Burton, 1998).

2. 5 Teori Kongruensi Linear

Definisi 2.5.1

Teorema 2.5.2

Jika gcd ( ,�) = 1, maka kongruensi linear ≡ (mod �) merupakan solusi unik modulo � (Burton, 1998).

2.6 Teori Kuadrat Residu

Definisi 2.6.1

Diketahui � bilangan prima ganjil dan gcd( ,�) = 1. Jika kongruensi kuadrat 2 _{≡ (mod �) adalah solusi, maka disebut sebagai residu kuadrat dari �.} selainnya disebut tak residu kuadrat dari � (Burton, 1998).

2.7 Bilangan Kuadrat Sempurna

Definisi 2.7.1

Bilangan kuadrat sempurna adalah bilangan bulat �yang dapat dinyatakan sebagai � = 2dimana adalah bilangan bulat (Burton, 1998).

2.8 Bilangan Bulat Kuadrat Bebas (Square-Free)

Definisi 2.8.1

Suatu bilangan bulat dikatakan kuadrat bebas jika bilangan tersebut tidak dapat dibagi oleh kuadrat dari bilangan bulat yang lebih dari 1. Syaratnya adalah

14

2. Setiap bilangan bulat � > 1 adalah hasil kali dari bilangan bulat kuadrat bebas dan berpangkat sempurna.

(Burton, 1998).

2. 9 Teori Fermat

Definisi 2.9.1

Jika p adalah bilangan prima, dan a adalah bilangan bulat positif, sehingga � ∤ , dimana �−1≡ 1 (mod �).

Teorema 2.9.2

1. Jika � merupakan bilangan prima, dimana � ≡ � untuk setiap bilangan bulat

2. Jika �dan merupakan bilangan prima yang berbeda dengan � ≡

( ) dan ≡ ( �), maka � ≡ ( � )

(Baum, 1990).

2. 10 Teorema Wilson

Definisi 2.10.1

III. METODOLOGI PENELITIAN

3.1 WAKTU DAN TEMPAT PENELITIAN

Penelitian ini dilakukan pada semester genap tahun ajaran 2012 – 2013 bertempat di jurusan matematika, fakultas matematika dan ilmu pengetahuan alam,

Universitas Lampung.

3.2 METODE PENELITIAN

Langkah-langkah yang digunakan dalam penelitian ini adalah:

1. Mengumpulkan pustaka (jurnal, buku, makalah dan website) yang berhubungan dengan penelitian

2. Menentukan apakah suatu bilangan bulat yang merupakan bilangan prima atau bilangan komposit

3. Mengkaji apakah bilangan prima atau komposit tersebut merupakan representasi penjumlahan dua bilangan kuadrat sempurna.

DAFTAR PUSTAKA

Byrne, J.R. 1967. Number System : An Elementary Approach. McGraw-Hill Book Company, New York.

Baum, G.T. 1990. Introduction To Analytic And Probabilistic Number Theory. Cambridge University Press, London.