ABSTRAK
NUR NA’IMAH. Model Pertumbuhan Ekonomi dengan Input Sumber Daya Alam Terbarukan. Dibimbing oleh RETNO BUDIARTI dan ENDAR H. NUGRAHANI.
Karya tulis ini membahas hubungan antara kemajuan teknologi, sumber daya alam terbarukan dan pertumbuhan ekonomi dalam model pertumbuhan ekonomi yang berlaku proses creative destruction. Kemudian, dari model tersebut dibahas masalah maksimisasi utilitas dengan kendala stok sumber daya alam dan kemajuan teknologi untuk menentukan alokasi tenaga kerja dan laju pertumbuhan pada kondisi steady state. Masalah maksimisasi utilitas diformulasikan dalam bentuk masalah kontrol optimum yang kemudian diselesaikan dengan menggunakan metode current-value Hamiltonian. Selanjutnya, pada saat laju pertumbuhan ekonomi positif, dianalisis pengaruh parameter yang ada dalam model yaitu efisiensi dari sektor R&D, tingkat keterbaruan dari sumber daya, tingkat diskon dan elastisitas utilitas marjinal terhadap alokasi tenaga kerja dan laju pertumbuhan pada kondisi steady state yang optimal. Dari analisis yang dilakukan diperoleh hasil berikut: peningkatan dari efisiensi dari sektor R&D dan tingkat keterbaruan dari sumber daya akan meningkatkan nilai alokasi tenaga kerja dan laju pertumbuhan pada kondisi steady state yang optimal. Sebaliknya, peningkatan dari tingkat diskon dan elastisitas utilitas marjinal akan mengakibatkan penurunan pada alokasi tenaga kerja dan laju pertumbuhan pada kondisi steady state yang optimal.
BUDIARTI and ENDAR H. NUGRAHANI.
This paper discusses relationship among technological progress, renewable resources, and economic growth in economic growth model with creative destruction. This model deals with the problem of utility maximization with stock of resources and technological progress as constraints. It aims to determine the optimal allocation of labor and also the optimal steady state growth rate. The utility maximization problem is formulated in a form of optimal control problem, which can be solved using current-value Hamiltonian method. Furthermore, when the optimal growth rate is positive, we analyze how the optimal labor allocation and the optimal growth rate are affected by the parameters of the model, i.e. the efficiency of R&D sector, renewable rate of the resources, discount rate, and elasticity of marginal utility. The analysis gives the following results. An increase in the efficiency of R&D sector and renewable rate of the resources would improve the optimal labor allocation and the optimal growth rate. On the contrary, an increase in discount rate and elasticity of marginal utility would reduce the optimal labor allocation and the optimal growth rate.
MODEL PERTUMBUHAN EKONOMI DENGAN INPUT
SUMBER DAYA ALAM TERBARUKAN
NUR NA’IMAH
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
Dibimbing oleh RETNO BUDIARTI dan ENDAR H. NUGRAHANI.
Karya tulis ini membahas hubungan antara kemajuan teknologi, sumber daya alam terbarukan dan pertumbuhan ekonomi dalam model pertumbuhan ekonomi yang berlaku proses creative destruction. Kemudian, dari model tersebut dibahas masalah maksimisasi utilitas dengan kendala stok sumber daya alam dan kemajuan teknologi untuk menentukan alokasi tenaga kerja dan laju pertumbuhan pada kondisi steady state. Masalah maksimisasi utilitas diformulasikan dalam bentuk masalah kontrol optimum yang kemudian diselesaikan dengan menggunakan metode current-value Hamiltonian. Selanjutnya, pada saat laju pertumbuhan ekonomi positif, dianalisis pengaruh parameter yang ada dalam model yaitu efisiensi dari sektor R&D, tingkat keterbaruan dari sumber daya, tingkat diskon dan elastisitas utilitas marjinal terhadap alokasi tenaga kerja dan laju pertumbuhan pada kondisi steady state yang optimal. Dari analisis yang dilakukan diperoleh hasil berikut: peningkatan dari efisiensi dari sektor R&D dan tingkat keterbaruan dari sumber daya akan meningkatkan nilai alokasi tenaga kerja dan laju pertumbuhan pada kondisi steady state yang optimal. Sebaliknya, peningkatan dari tingkat diskon dan elastisitas utilitas marjinal akan mengakibatkan penurunan pada alokasi tenaga kerja dan laju pertumbuhan pada kondisi steady state yang optimal.
ABSTRACT
NUR NA’IMAH. Economic Growth Model with Renewable Resources. Supervised by RETNO BUDIARTI and ENDAR H. NUGRAHANI.
This paper discusses relationship among technological progress, renewable resources, and economic growth in economic growth model with creative destruction. This model deals with the problem of utility maximization with stock of resources and technological progress as constraints. It aims to determine the optimal allocation of labor and also the optimal steady state growth rate. The utility maximization problem is formulated in a form of optimal control problem, which can be solved using current-value Hamiltonian method. Furthermore, when the optimal growth rate is positive, we analyze how the optimal labor allocation and the optimal growth rate are affected by the parameters of the model, i.e. the efficiency of R&D sector, renewable rate of the resources, discount rate, and elasticity of marginal utility. The analysis gives the following results. An increase in the efficiency of R&D sector and renewable rate of the resources would improve the optimal labor allocation and the optimal growth rate. On the contrary, an increase in discount rate and elasticity of marginal utility would reduce the optimal labor allocation and the optimal growth rate.
NUR NA’IMAH
Skripsi
Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains
pada Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
Judul Skripsi : Model Pertumbuhan Ekonomi dengan Input Sumber Daya Alam
Terbarukan
Nama
:
Nur Na’imah
NIM
: G54070090
Disetujui
Pembimbing I
Ir. Retno Budiarti, MS
NIP. 19610729 198903 2 001
Pembimbing II
Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, MS
NIP. 19631228 198903 2 001
Diketahui
Ketua Departemen
Dr. Berlian Setiawaty, MS
NIP. 19650505 198903 2 004
karunia-Nya, sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Shalawat dan salam semoga senantiasa tercurah kepada junjungan kita Nabi besar Muhammad SAW beserta keluarga. Penyusunan karya ilmiah ini juga tidak lepas dari peranan berbagai pihak. Untuk itu penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada:
1. Keluarga tercinta: Ibu dan Bapak (terima kasih atas do’a, cinta, kasih sayang, nasehat, didikan dan motivasinya), kakak, adik, ponakan, dan seluruh keluarga keluarga besar bapak maupun ibu (terima kasih atas dukungan, hiburan dan motivasinya).
2. Departemen Agama Republik Indonesia Bagian SubDirektorat Pendidikan Pesantren (terima kasih atas beasiswa yang telah diberikan selama penulis kuliah di IPB).
3. Ibu Ir. Retno Budiarti, MS. selaku dosen pembimbing I, Ibu Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, MS selaku dosen pembimbing II dan Bpk Dr. Ir. Hadi Sumarno, MS. selaku dosen penguji (terima kasih atas segala ilmu, nasehat, arahan serta bimbingan yang diberikan selama penyusunan karya ilmiah ini).
4. Segenap dosen Departemen Matematika (terima kasih atas semua ilmu dan nasehat yang telah diberikan).
5. Seluruh staf departemen Metematika IPB (terima kasih atas segala pelayanan dan bantuan yang diberikan).
6. Staf Direktorat BUD dan Kerjasama Internasional IPB, Mbak Ani, Mbak Onya dan yang lainnya (terima kasih atas motivasi dan bantuannya).
7. Keluarga besar Pondok Pesantren Wahid Hasyim DIY: Bapak Jalal, Ibu Neli, Pak Toto, Pak Halim, Pak Yunus, Pak Ari, Pak Wahyu, Bu Rina, Bu Etu, Pak Ikhsan, Pak Anas, Pak BI, segenap guru MA, MTS, dan MI, semua pembina, kakak-kakak dan adik-adik kelas MA Weha (terima kasih atas dukungan, bantuan, semangat, do’a dan motivasinya).
8. Teman-teman Matematika angkatan 44: Iip, Lukman, Puying, Oli, Aqil, Ikhsan, Pepi, Yogi, Iam, Eka, Aswin, Ayum, Ririh, Indin, Yuli, Wahyu, Endro, Ruhy, Ucu, Selvy, Yuyun, Titi, Deva, Wewe, Fikri, Sri, Fajar, Mutia, Rachma, Ayung, Cita, Tanty, Arina, Devi, Titi, Resha, Sari, Anis, Lilis, Imam, Aze, Ali, Zae, Tandhy, Tyas, Ima, Dora, Nunuy, Siska, Tita dan lainnya (terima kasih atas dukungan, do’a, semangat dan kebersamaannya).
9. Teman-teman CSS MoRA IPB angkatan 44: Linda, Petri, Umi, Atin, Dhila, Elfa, Obi, Chirzin, Heri, Rizky, Mita, Kholis, Muna, Siti, Iwan, Puying, Lukman, Oli, Isti, Meme, Eneng, Mala, Eko, Komar, Syahid, Tika, Ana, Tachu, Au, Johan, Fieki dkk (terima kasih atas kebersamaan dan motivasinya).
10. Kakak-kakak CSS MoRA IPB angkatan 42 dan 43: Kak Lalu, Kak Anci, Kak Suci, Kak Daus, Kak Priwan, Mbak Yulia, Kak Habibi, Kak Misbah, Kak Hamka dan lainnya (terima kasih ilmu, bantuan dan kebersamaannya).
11. Adik-adik CSS MoRA IPB angkatan 45-48 (terima kasih atas dukungan, semangat, do’a, hiburan dan kebersamaannya).
12. Teman-teman CSS MoRA Nasional: Udin, Dimas, Aril, Kiya, Wiwiet, Maryani dan lainnya (terima kasih atas semangat dan dukungannya).
13. Sahabat tersayang: Dika, Nurus, Nad, Abang, Onenk, Adah, Elfa, Vitri, Isti, Nisak dan Asna (terima kasih untuk semua waktu, kebersamaan, motivasi dan bantuannya).
14. Keluarga besar kosan elpinkers: Ana, Ruri, Tita, Acil, Pitri, Hilwi, Tesa, Elfa dan Indri (terima kasih atas bantuan, doa dan motivasinya).
15. Pihak-pihak lain yang telah membantu penyusunan skripsi ini, yang tidak dapat disebutkan satu per satu.
Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi dunia ilmu pengetahuan khususnya matematika dan menjadi inspirasi bagi penelitian-penelitian selanjutnya.
Bogor, Januari 2012
RIWAYAT HIDUP
Penulis lahir di Magelang pada 11 Maret 1990 sebagai anak ke tujuh dari delapan bersaudara, anak dari bapak Khasanuddin dan ibu Siti Maesaroh.
Tahun 2001 penulis menyelesaikan pendidikannya di MI Ma’arif Pendem Grabag. Tahun 2004 penulis menyelesaikan pendidikannya di SMPN 2 Grabag. Tahun 2007 penulis menyelesaikan pendidikannya di MA Wahid Hasyim Sleman DIY dan pada tahun yang sama penulis mendapatkan beasiswa dari Departemen Agama Republik Indonesia dalam Program Beasiswa Santri Berprestasi Departemen Agama sehingga penulis berkesempatan untuk melanjutkan studinya di IPB. Penulis memilih mayor Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.
vii
DAFTAR GAMBAR ... viii
DAFTAR LAMPIRAN ... viii
I PENDAHULUAN ... 1
1.1 Latar Belakang ... 1
1.2 Tujuan ... 1
II LANDASAN TEORI ... 2
2.1 Istilah Ekonomi ... 2
2.2 Proses Poisson Homogen ... 3
2.3 Fungsi Konkaf ... 4
2.4 Masalah Kontrol Optimum ... 4
2.5 Prinsip Maksimum Pontryagin ... 4
2.6 Current-Value Hamiltonian ... 5
2.7 Syarat Transversalitas ... 6
III HASIL DAN PEMBAHASAN ... 7
3.1 Perumusan Model ... 7
3.2 Kondisi Optimal Steady State ... 8
3.3 Analisis Pengaruh Parameter ... 10
IV SIMPULAN ... 14
DAFTAR PUSTAKA ... 15
DAFTAR GAMBAR
Halaman
1 Kurva pengaruh terhadap �� pada saat �= 0.5, �= 0.25, �= 0.5, �= 1.4 dan
�= 0.5 ... 11
2 Kurva pengaruh γ terhadap �� pada saat �= 0.5, �= 0.25, �= 0.5, = 0.25 dan �= 0.5 ... 11
3 Kurva pengaruh � terhadap �� pada saat �= 0.5, �= 0.1, = 0.2, �= 1.2 dan �= 0.5 ... 12
4 Kurva pengaruh� terhadap �� pada saat �= 0.5, �= 0.14, �= 0.1, = 0.25 dan �= 1.4 ... 12
5 Kurva pengaruh � terhadap �� pada saat �= 0.5, �= 0.1, = 0.25, �= 1.4 dan �= 0.1 ... 13
DAFTAR LAMPIRAN
Halaman 1 Bukti Teorema 1 ... 172 Penentuan � � ... 18
3 Penentuan � 1 dan � 2bagian 1 ... 18
4 Penentuan � 1 bagian 2 ... 19
5 Penentuan � 2 bagian 2 ... 19
6 Penentuan nilai �� dan �� ... 19
7 Penentuan nilai �� dan �� ... 20
8 Uraian kondisi transversalitas pertama ... 21
9 Uraian kondisi transversalitas kedua... 22
10 Bukti Proposisi 1 ... 23
11 Bukti Proposisi 2 ... 25
12 Uraian Tabel 1 ... 27
13 Penentuan kurva pengaruh parameter dan � menggunakan Software Matematica 7 .... 30
14 Penentuan kurva pengaruh parameter �menggunakan Software Matematica 7 ... 34
15 Penentuan kurva pengaruh parameter � menggunakan Software Matematica 7 ... 36
I PENDAHULUAN
1.1 Latar BelakangPertumbuhan ekonomi adalah per-kembangan kegiatan dalam perekonomian yang menyebabkan barang dan jasa yang diproduksi dalam masyarakat bertambah. Tingkat pertumbuhan ekonomi ditunjukkan oleh persentase kenaikan pendapatan nasional riil pada tahun sebelumnya (Mankiw 2003).
Pertumbuhan ekonomi dipengaruhi oleh beberapa faktor diantaranya yaitu: modal, tenaga kerja, sumber daya alam dan tingkat kemajuan teknologi (Dornbusch et al. 2002).
Sumber daya alam sebagai faktor produksi jumlahnya terbatas. Hal ini berlaku baik itu yang terbarukan maupun yang tak terbarukan. Khusus untuk sumber daya alam terbarukan, banyak yang beranggapan bahwa karena dapat diperbarui jumlahnya menjadi tak terbatas. Anggapan inilah yang mengakibatkan banyak terjadi pengurasan sumber daya alam secara tidak bijaksana tanpa memikirkan tingkat keterbaruan dari sumber daya alam tersebut. Hal tersebut saat ini menjadi isu populer di bidang ekonomi untuk mempelajari bagai-mana mewujudkan pemanfaatan sumber daya secara berkelanjutan untuk pengembangan ekonomi.
Selain sumber daya alam, tingkat kemaju-an teknologi juga skemaju-angat berpengaruh terhadap pertumbuhan ekonomi. Sejarah telah mem-buktikan bahwa penemuan dan kemajuan teknologi terus berlangsung sehingga dapat meningkatkan kemungkinan produksi (pro-duction possibility) baik di Eropa, Amerika Utara maupun di Jepang. Kemajuan teknologi ditandai dengan adanya perubahan proses produksi, diperkenalkannya produk baru, ataupun peningkatan besarnya output dengan menggunakan input yang sama (Sugiyono 2000).
Dari uraian di atas, dapat diketahui bahwa sumber daya alam dan kemajuan teknologi merupakan faktor yang memiliki pengaruh yang cukup penting terhadap pertumbuhan ekonomi. Meskipun demikian, dari keempat faktor yang disebutkan di atas, modal dan tenaga kerja sering disebut sebagai faktor utama yang mempengaruhi tingkat pertum-buhan ekonomi. Hal ini ditunjukkan dengan beberapa teori pertumbuhan ekonomi yang
menyatakan pertumbuhan ekonomi sebagai fungsi dari modal dan tenaga kerja. Hal ini mendorong penulis untuk mengkaji lebih lanjut tentang pengaruh dua faktor lainya yaitu sumber daya alam dan kemajuan teknologi terhadap pertumbuhan ekonomi. Untuk mengkaji pengaruh tersebut, dalam karya ilmiah ini akan dibahas tentang model pertumbuhan ekonomi dengan input sumber daya terbarukan serta memasukkan faktor kemajuan teknologi yang mencakup tiga sektor perekonomian yaitu sektor produksi akhir, sektor produksi antara dan sektor Research and Development (R&D). Karena tujuan akhir dari perekonomian adalah untuk memaksimumkan tingkat utilitas dari rumah tangga, maka selanjutnya akan ditentukan rumusan matematika untuk memaksimumkan utilitas rumah tangga dari model pertumbuhan ekonomi tersebut.
Dalam teori ekonomi pada pertumbuhan ekonomi modern, disebutkan bahwa pertum-buhan ekonomi di sebagian besar negara mempunyai karakteristik steady state pada jangka waktu yang lama. Oleh karena itu selanjutnya akan ditentukan laju pertumbuhan optimal steady state untuk setiap variabel yang ada dalam model. Kemudian dilanjutkan dengan menganalisis pengaruh parameter yang ada dalam model terhadap laju pertum-buhan optimal steady state tersebut.
1.2 Tujuan
Tujuan yang ingin dicapai dari penulisan karya ilmiah ini adalah:
1. Mendapatkan rumusan matematika untuk memaksimumkan utilitas rumah tangga dari model pertumbuhan ekonomi de-ngan variabel sumber daya alam terbaru-kan dan tingkat kemajuan teknologi. 2. Menentukan alokasi optimal tenaga kerja
yang dapat memaksimumkan utilitas pada kondisi steady state.
3. Menentukan laju pertumbuhan optimal dari setiap variabel dari model yang diperoleh pada kondisi steady state. 4. Menganalisis pengaruh parameter
2
II LANDASAN TEORI
Pada bab ini akan diuraikan beberapadefinisi dan teori penunjang yang akan digunakan dalam karya ilmiah ini.
2.1 Istilah Ekonomi
Definisi 1 (Pertumbuhan Ekonomi)
Pertumbuhan ekonomi adalah per-kembangan kegiatan dalam perekonomian yang menyebabkan barang dan jasa yang diproduksi dalam masyarakat bertambah. Tingkat pertumbuhan ekonomi ditunjukkan oleh persentase kenaikan pendapatan nasional riil pada suatu tahun tertentu dibandingkan dengan pendapatan nasional riil pada tahun sebelumnya.
(Mankiw 2003)
Definisi 2 (Fungsi Produksi)
Fungsi produksi untuk suatu barang tertentu adalah = ( , ,…) dengan K menyatakan input modal dan L menyatakan input tenaga kerja sedangkan tanda titik-titik pada fungsi di atas menunjukkan kemung-kinan digunakan input lain. Fungsi produksi memperlihatkan jumlah output maksimum yang diperoleh dengan menggunakan berbagai alternatif input produksi.
(Mankiw 2003)
Definisi 3 (Fungsi Produksi Cobb-Douglas) Fungsi Produksi Cobb-Douglas adalah salah satu fungsi produksi yang dapat digunakan dalam analisis produktivitas. Bentuk umum dari fungsi Cobb-Douglas adalah = , di mana adalah output, K input modal, L input tenaga kerja, koefisien intersep (indeks efisiensi), elastisitas output dari input , elastisitas output dari input L di mana = 1− . Koefisien intersep yang dilambangkan dengan adalah koefisien yang secara langsung menggambarkan efisiensi dalam penggunaan input dalam menghasilkan output. Koefisien elastisitas output dari fungsi yang digunakan adalah koefisien yang memberikan gambaran elastisitas penggunaan input tertentu dalam menghasilkan output dari suatu proses produksi.
(Mankiw 2003)
Definisi 4 (Model Pertumbuhan dengan Perkembangan Teknologi)
Model pertumbuhan dengan perkembang-an teknologi sebagai faktor produksi secara umum ditulis sebagai
= , 0 , 1
Nilai dan masing-masing adalah elastisitas pendapatan terhadap modal dan tenaga kerja dan A adalah tingkat kemajuan teknologi.
(Mankiw 2003)
Definisi 5 (Returns to scale)
Returns to scale adalah ukuran besarnya tingkat perubahan output seiring dengan perubahan input secara proporsional. Return to scale dibedakan menjadi tiga yaitu:
i. Increasing returns to scale, yaitu situasi di mana output meningkat lebih banyak dari peningkatan porsi input
, < , .
ii. Constant returns to scale, yaitu situasi di mana output meningkat sama banyaknya dengan porsi peningkatan input
, = , .
iii. Decreasing returns to scale, yaitu situasi di mana output meningkat dengan porsi lebih sedikit dari peningkatan porsi input
, > , .
(Salvaltore 2006)
Definisi 6 (Elastisitas)
Ukuran persentase perubahan suatu variabel yang disebabkan oleh satu persen perubahan variabel lainya.
(Nicholson 2002 )
Definisi 7 (Utilitas)
Kesenangan, kepuasan, atau pemenuhan kebutuhan yang diterima atau diperoleh seseorang sebagai akibat dari aktivitas ekonomi yang dilakukanya.
(Nicholson 2002)
Definisi 8 (Utilitas Marjinal)
Utilitas tambahan yang diterima seorang individu dengan mengonsumsi satu unit tambahan barang tertentu.
(Nicholson 2002)
Definisi 9 (Fungsi Utilitas)
Fungsi utilitas adalah suatu fungsi yang menunjukkan kepuasan seseorang dari me-ngonsumsi barang dan jasa, yang dinotasikan sebagai berikut:
= ( 1, 2 ,…, )
dengan adalah kepuasan total, dan
1, 2 ,…, merupakan banyaknya produk
yang dikonsumsi.
Definisi 10 (Laju Pertumbuhan (Growth rate))
Laju pertumbuhan atau growth rate dari suatu variabel merujuk pada laju perubahan proporsional yaitu laju perubahan dari suatu variabel per satu satuan variabel tersebut. Sehingga laju pertumbuhan dari ( ) adalah
( )/ ( ) untuk ( ) = / .
(Romer 2006 )
Definisi 11 (Kondisi Mapan (Steady State)) Kondisi steady state atau kondisi balanced growth path adalah sebuah kondisi di mana setiap veriabel yang ada dalam model memiliki laju pertumbuhan yang konstan.
(Romer 2006 )
Definisi 12 (Inovasi )
Inovasi adalah tindakan disengaja yang dilakukan oleh produsen yang bertujuan untuk memaksimumkan keuntungan dengan cara memperbaiki kualitas atau memproduksi pro-duk baru yang lebih baik.
(Park 2008 )
Definisi 13 (Inovasi Vertikal)
Inovasi vertikal adalah upaya peningkatan kualitas dari suatu produk antara (produk intermediet) atau produk konsumsi yang secara khusus dihasilkan dari investasi di bidang R&D yang bertujuan untuk meningkat-kan produktivitas perusahaan atau utilitas konsumen.
(Grossmann & Streger 2007 )
Definisi 14 (Creative Destruction)
Creative destruction adalah istilah yang digunakan oleh Joseph Schumpeter untuk menggambarkan bahwa barang dan teknologi yang baru atau sudah ditingkatkan dapat menggantikan barang dan teknologi yang kurang produktif.
(Grossmann & Streger 2007)
2.2 Proses Poisson Homogen
Sebelum mendefinisikan proses poisson homogen, terlebih dahulu akan didefinisikan hal-hal yang berkaitan dengannya yaitu per-cobaan acak, ruang contoh, peubah acak, proses stokastik, proses pencacahan, dan proses poisson.
Definisi 15 (Percobaan Acak)
percobaan acak adalah percobaan yang meskipun diulang dalam kondisi yang sama hasil percobaan tidak dapat ditebak dengan tepat, namun kita mengetahui semua kemung-kinan hasilnya.
(Ross 1996)
Definisi 16 (Ruang Contoh)
Ruang contoh adalah himpunan semua hasil dari percobaan acak, disebut juga dengan ruang sampel dan dinotasikan dengan Ω.
(Ross 1996)
Definisi 16 (Peubah Acak)
Suatu peubah acak (random variable) adalah suatu fungsi ∶ Ω → � dengan sifat bahwa untuk setiap ∈ �, ∈ �;
∈ .
(Ross 1996) Definisi 17 (Proses Stokastik)
Proses stokastik = { , ∈ } adalah suatu himpunan dari peubah acak yang memetakan suatu ruang contoh Ω ke suatu ruang state .
(Ross 1996)
Definisi 17 (Proses Pencacahan)
Suatu proses stokastik {� , 0} disebut proses pencacahan (counting process) jika � menyatakan banyaknya kejadian yang telah terjadi sampai waktu t. Terkadang proses pencacahan {� , 0} ditulis � 0, yang menyatakan banyaknya kejadian yang terjadi pada interval waktu 0, . Proses pencacahan � harus memenuhi syarat-syarat berikut:
i. � 0 untuk semua ∈ 0,∞ . ii. Nilai � adalah integer (bilangan
bulat).
iii. Jika < maka � � , , ∈ 0,∞ .
iv. Untuk < maka � − � , sama dengan banyaknya kejadian yang terjadi pada interval , .
(Ross 1996)
Definisi 18 (Proses Poisson)
Suatu proses pencacahan {� , 0} disebut proses poisson dengan laju , > 0 jika terpenuhi tiga syarat:
i. � 0 = 0
ii. Proses tersebut memiliki inkremen bebas iii. Banyaknya kejadian pada interval waktu dengan panjang t memiliki sebaran poisson dengan nilai harapan . Jadi untuk semua , 0
� � + − � =� = − �
�! ,�= 0,1,…
(Ross 1996)
4
waktu t , , maka disebut proses poisson tak homogen.
Misalkan X adalah proses poisson homogen dan B adalah suatu selang bilangan nyata. Jika X adalah proses poisson homogen maka [ ( )] = . Dengan adalah panjang selang B, serta ( ) menyatakan banyaknya kejadian dari proses poisson pada selang B.
(Ross 1996) 2.3 Fungsi Konkaf
Sebelum membahas fungsi konkaf, terlebih dahulu akan dibahas himpunan konveks yang didefinisikan sebagai berikut.
Definisi 20 (Himpunan Konveks)
Himpunan ⊂ dikatakan himpunan konveks jika dan hanya jika untuk setiap dan di , maka ruas garis yang menghubungkan dan juga terletak di . Dengan kata lain himpunan ⊂ dikatakan himpunan konveks jika dan hanya jika untuk setiap dan di dan untuk setiap dengan 0 1, maka vektor + 1− juga terletak di .
(Peressini et al. 1988)
Definisi 21 (Fungsi Konkaf dan Konkaf Sempurna)
Misalkan adalah fungsi bernilai real yang terdefinisi pada himpunan konveks di , maka:
1. Fungsi dikatakan konkaf di jika + 1− + 1− ,
untuk setiap , di dan untuk setiap dengan 0 1.
2. Fungsi f dikatakan konkaf sempurnadi jika
+ 1− + 1− ,
untuk setiap , di dan untuk setiap dengan 0 < < 1.
(Peressini et al. 1988)
Teorema 1
Jika fungsi terdiferensialkan dua kali pada suatu selang I, maka fungsi konkaf pada I jika dan hanya jika "( ) 0, untuk setiap ∈ . Jika "( ) < 0 untuk setiap ∈ maka dikatakan fungsi konkaf sempurna.
(Peressini et al. 1988)
2.4 Masalah Kontrol Optimum
Misalkan U menyatakan himpunan dari semua fungsi yang kontinu sepotong-sepotong (piecewise). Masalah kontrol optimum adalah masalah menentukan fungsi kontrol ∗ diantara fungsi admissible ∈ yang
membawa sistem dari state awal 0 kepada
state akhir yang memenuhi kondisi akhir T, melalui sistem
= , ,
sehingga fungsional J mencapai nilai maksimum. Dengan kata lain, masalah kontrol optimum adalah masalah memaksimumkan fungsional objektif
max
( )∈ [ ] = ,
+ 0 , ,
0
terhadap kendala:
= , , 0 = 0, ( )∈ dengan ( ) variabel state (state variable) dan
, yang didefinisikan sebagai fungsi scrap.
(Tu 1993)
2.5 Prinsip Maksimum Pontryagin
Prinsip maksimum merupakan salah satu metode penyelesaian masalah kontrol optimum yang ditemukan Pontryagin, yang kemudian dikenal sebagai Prinsip Maksimum Pontryagin. Prinsip ini diuraikan dalam teorema Pontryagin sebagai berikut:
Teorema 2 (Pontryagin)
Misalkan ∗( ) sebagai kontrol admisible yang membawa state awal [ 0 , 0] kepada
state akhir [ , ], dengan dan secara umum tidak ditentukan. Misalkan
∗( ) merupakan trajektori dari sistem yang berkaitan dengan ∗( ). Supaya kontrol ∗( ) merupakan kontrol optimum, maka perlu terdapat fungsi vektor ∗( )≠0, dan konstanta sedemikian rupa sehingga:
1. ∗( ) dan ∗( ) merupakan solusi dari sistem kanonik:
∗ = ∗ , ∗ , ∗ , ,
∗ =− ∗ , ∗ , ∗ , ,
dengan fungsi Hamiltonian H diberikan oleh
, , , = 0 , , + , , ,
dengan 0≡1.
2. ∗, ∗, ∗, , , , .
3. Semua syarat batas dipenuhi.
dipenuhi oleh = 0 dan < 0. Jika ∈ dan himpunan tertutup, maka = 0 tidak memiliki arti, kecuali maksimum dari diberikan oleh bagian dalam (interior) himpunan . Kondisi ∗, ∗, ∗,
, , , ini juga mencakup syarat cukup dari masalah ini.
Jika H fungsi monoton naik dalam peubah u dan U tertutup, maka kontrol optimum adalah � � untuk masalah memaksimum-kan dan � � untuk masalah meminimumkan. Jika fungsi monoton turun, maka kontrol optimum adalah � � untuk masalah memaksimumkan dan � � untuk masalah meminimumkan. Hal ini juga berlaku apabila H adalah fungsi linear dalam u. Sehingga peubah kontrol optimum � adalah kontinu bagian dan loncat dari suatu verteks ke verteks lainnya. Hal ini merupakan kasus dari kontrol bang-bang.
Vektor p disebut juga vektor adjoin, memiliki peranan sebagai pengali Lagrange. Dalam masalah optimisasi dinamis, peubah atau vektor adjoin, merupakan shadow price. Nilai marginal dari vektor atau peubah x, menunjukkan jumlah kenaikan atau penurun-an dalam nilai x pada waktu t yang berkontribusi terhadap fungsional objektif optimum J sedangkan mengindikasikan tingkat kenaikan (apresiasi untuk > 0) atau penurunan (depresiasi untuk < 0) dalam nilai dari tiap unit modal.
Nilai dari suatu = . Sementara itu syarat perlu untuk masalah ini diberikan oleh persamaan =− , = 0, = . Syarat batas diberikan oleh persamaan
− |==0+ + | =0 = = 0.
Apabila fungsi scrap = 0, maka persamaan tersebut menjadi
− |==0+ | =0 = = 0.
Khususnya pada waktu awal 0 dan ( 0)
telah ditentukan, sedangkan T dan x(T) belum ditentukan, maka syarat batas menjadi
– + = 0. Bukti: lihat Lampiran 1
(Tu 1993)
2.6 Current-Value Hamiltonian
Dalam penggunaan teori kontrol optimum. Pada masalah ekonomi, fungsi integran 0 sering memuat faktor diskon − . Dengan demikian, fungsi integran 0 secara umum
dapat dituliskan menjadi
0 , , = ( , , ) −
Sehingga masalah kontrol optimum menjadi memaksimumkan fungsi nilai
max = , , −
0
terhadap kendala = ( , , ) ditambah dengan syarat batas. Dengan definisi standar, fungsi Hamilton dapat dituliskan dalam bentuk
, , , = , , − + , , .
Akan tetapi, karena prinsip maksimum menggunakan turunan fungsi Hamilton terhadap x dan u, dengan hadirnya faktor diskon akan menambah kerumitan penentuan turunan tersebut. Untuk itu, dikenalkan fungsi hamilton baru yang sering disebut dengan current-value Hamiltonian. Untuk menerap-kan konsep current-value Hamiltonian, diper-lukan konsep current-value adjoin. Misalkan
( ) menyatakan current-value fungsi adjoin, yang didefinisikan = ( ) yang berimplikasi = − . Sehingga fungsi current-value Hamiltonian yang dinotasikan dengan , dapat dituliskan menjadi
≡ = , , + ( , , ).
Perhatikan bahwa , sebagaimana yang diinginkan sudah tidak memuat faktor diskon. Juga, perhatikan bahwa = . Kemudian penerapan prinsip maksimum Pontryagin terhadap harus disesuaikan. Karena u yang memaksimumkan H juga akan memaksimum-kan , maka
max ,∀ ∈ 0, .
Persamaan state yang muncul dalam sistem kanonik, aslinya adalah = .
Karena = 0 , , = , maka
persama-an ini disesuaikan menjadi = . Per-samaan untuk peubah adjoin yang muncul dalam sistem kanonik aslinya adalah dalam bentuk =− . Pertama-tama, transfor-masikan masing-masing suku dalam bentuk yang melibatkan peubah adjoin baru, , kemudian hasilnya disamakan. Untuk suku kiri,
6
− =− − .
Dengan menyamakan kedua persamaan di atas, persamaan adjoin menjadi
=− + .
Selanjutnya akan diperiksa kondisi (syarat) batas. Untuk syarat batas = 0, syarat batas yang sesuai adalah − = 0 dan untuk syarat batas = = 0, syarat batas
yang sesuai adalah −
= = 0.
(Tu 1993)
2.7 Syarat Transversalitas
Masalah kontrol optimum yang memaksi-mumkan fungsional objektif
max
( )∈ [ ] = ,
+ 0 , ,
0
terhadap kendala
= , , , 0 = 0, ∈ .
Syarat transversalitas atau syarat batas diberikan oleh persamaan
− |==0+ [ + ] | =0 = = 0.
Untuk masalah dengan fungsional objektifnya menggunakan current-value Hamiltonian dengan ≡ , fungsi scrap = 0, dan waktu awal 0 dan (0) telah ditentukan
seperti yang disebutkan sebelumnya, maka syarat batasnya adalah − = 0 dan −
= = 0.
(Tu 1993)
Pada kasus horizon waktu takhingga ( → ∞), asumsikan fungsional objektif max = 0 ( , , ) −� . Untuk titik akhir bebas, syarat transversalitas yang dapat digunakan adalah
lim
→∞ = 0⟹ lim→∞
−� = 0.
Limit di atas adalah present value formulation yang juga merupakan syarat cukup untuk optimalitas.
Kasus penting lainnya adalah jika terdapat kendala lim →∞ 0 dengan syarat transversalitasnya adalah
lim
→∞ −� 0 dan lim→∞ −� ∗( ) = 0.
III HASIL DAN PEMBAHASAN
3.1 Perumusan ModelPada bagian ini akan dirumuskan model pertumbuhan ekonomi yang mengoptimalkan utilitas dari konsumen dengan asumsi: 1. Terdapat tiga sektor dalam perekonomian:
sektor produksi akhir, sektor produksi antara dan sektor R & D.
2. Banyaknya output yang dihasilkan pada saat t semuanya akan dikonsumsi pada saat itu juga, sehingga rumah tangga sebagai konsumen, investor, penyedia tenaga kerja dan penyedia sumber daya alam berada dalam sektor ini.
3. Persediaan tenaga kerja (L) tetap dan untuk kemudahan distandarisasikan L = 1. 4. Terdapat kemajuan teknologi sebagai
akibat dari adanya inovasi.
5. Inovasi yang dilakukan adalah inovasi vertikal.
6. Hanya terdapat satu produk antara.
7. Berlaku proses creative destruction di sektor produksi antara.
8. Sebelum dilakukan substitusi produk antara dengan kualitas yang lebih tinggi hasil penemuan atau inovasi dimonopoli oleh penemu dan diberikan ke sektor produksi akhir.
Pertumbuhan ekonomi merujuk pada pe-ningkatan total output pada suatu perekono-mian sehingga model pertumbuhan ekonomi dilambangkan sebagai fungsi output atau fungsi produksi. Fungsi produksi yang di-gunakan adalah fungsi produksi Cobb-Douglas yang koefisien intersepnya diganti dengan tingkat teknologi. Model ini oleh Mankiw (2003) dalam bukunya dituliskan sebagai model produksi dengan perkem-bangan teknologi yang secara umum ditulis sebagai berikut:
= ,
dengan:
= output pada saat t = input modal pada saat t = input tenaga kerja pada saat t
= elastisitas output terhadap tenaga kerja = elastisitas output terhadap modal A = perkembangan teknologi
Dalam permasalahan ini, karena akan dikaji pengaruh sumber daya alam terbarukan terhadap pertumbuhan ekonomi, maka input modal ( ) diganti atau dipersempit menjadi banyaknya sumber daya terbarukan yang dialokasikan oleh sektor produksi akhir dan
digunakan pada saat t, diberi lambang . Semetara itu, tenaga kerja (L) dialokasikan ke dalam dua sektor yaitu sektor produksi antara dan sektor R&D untuk penelitian. Misalkan tenaga kerja yang digunakan untuk penelitian di sektor R&D pada saat t adalah dan tenaga kerja yang digunakan untuk mengolah produk di sektor produksi antara pada saat t adalah . Diasumsikan berlaku constant return to scale sehingga = 1− . Berdasarkan asumsi-asumsi tersebut, maka diperoleh fungsi produksi sebagai berikut:
= 1− . (3.1)
Keterangan :
= banyaknya output pada saat t = tingkat teknologi pada saat t
= banyaknya tenaga kerja di sektor pro-duksi antara
= banyaknya sumber daya yang diguna-kan pada saat t
α = elastisitas output dari produk antara 1- α = elastisitas output dari sumber daya (0 <
α < 1)
Dengan asumsi persediaan tenaga kerja tetap, untuk penyederhanaan distandarisasikan total aliran tenaga kerja menjadi satu (L = 1). Dari penjelasan sebelumnya diketahui
= + , sehingga + = 1.
Misalkan satu unit tenaga kerja yang digunakan untuk penelitian menghasilkan inovasi secara acak dengan sebaran poisson dengan parameter , > 0. Misalkan [� −1,�] adalah suatu interval di mana penelitian dilakukan dan � adalah tingkat teknologi setelah dilakukannya penelitian, maka inovasi yang dihasilkan pada interval waktu tersebut akan mengubah tingkat teknologi yang sebelumnya yaitu �−1 sebesar
, ditulis
�= �−1, > 1 untuk semua �.
Pada periode , +Δ , peluang terjadi ino-vasi adalah Δ dan peluang tidak terjadi inovasi adalah 1− Δ , sehingga nilai hara-pan dari A (tingkat teknologi) adalah
+Δ = Δ + 1− Δ
= + −1 Δ
dan untuk Δ →0, diperoleh
= −1 . (3.2)
8
Berdasarkan asumsi nomor tiga, inovasi yang dilakukan adalah inovasi vertikal, yaitu upaya meningkatkan keuntungan dengan melakukan perbaikan kualitas khususnya pada produk antara. Kemudian sesuai dengan asumsi nomor tujuh, jika kualitas yang lebih tinggi ditemukan sebagai akibat dari adanya inovasi, maka produk antara dengan tingkat kualitas yang lebih rendah akan sepenuhnya diganti. Proses ini dalam bidang ekonomi disebut sebagai proses creative destruction. Akan tetapi, sebelum dilakukan substitusi produksi dengan tingkat kualitas yang lebih tinggi pada produk antara, sesuai dengan asumsi nomor delapan tersebut dimonopoli hasil penemuan atau inovasi oleh penemu dan diberikan kepada sektor produksi akhir.
Misalkan adalah stok sumber daya pada saat t, � adalah tingkat keterbaruan dari sumber daya. Jika diasumsikan bahwa ba-nyaknya stok sumber daya hanya dipengaruhi oleh tingkat keterbaruan dan banyaknya sum-ber daya yang digunakan, maka persamaan dinamis dari stok sumber daya pada saat t adalah
=� − . (3.3)
Seperti yang sudah disebutkan sebelumnya, dalam karya ilmiah ini diasumsikan bahwa output yang dihasilkan seluruhnya digunakan untuk konsumsi. Misalkan adalah konsumsi pada saat t, maka = . Sementara itu, untuk mengukur tingkat kepuasan dari konsumen digunakan fungsi utilitas . Agar perekonomian berada dalam jalur pertumbuhan ekonomi yang berimbang, formulasi fungsi utilitas yang digunakan adalah
=
1−�−1
1− � ,�> 0
di mana fungsi diasumsikan sebagai fungsi yang konkaf sempurna yang memenuhi ′ > 0 dan " < 0. Parameter � dalam fungsi ini merepresentasikan elastisitas utilitas marjinal, yaitu persentase perubahan utilitas total per satu persen perubahan jumlah komoditi yang dikonsumsi. Parameter 1/� adalah elastisitas substitusi antarwaktu yang menentukan seberapa mudah individu dalam menukarkan suatu konsumsi dengan konsumsi lainnya dalam periode waktu yang berbeda. Semakin besar nilai 1/� maka konsumen akan semakin mudah menukarkan suatu konsumsi dengan konsumsi lainnya. Hal ini dikarenakan nilai 1/� yang besar diperoleh pada saat nilai � yang kecil yang berarti utilitas tambahan
yang diperoleh dari menambah konsumsi dari komoditi tersebut kecil, sehingga konsumen cenderung lebih mudah untuk menukarkan konsumsi ke komoditi lainnya.
Misal diasumsikan semua individu memi-liki batas waktu yang tak terbatas ∈[0,∞) dan tingkat preferensi waktu (tingkat diskon) yang sama dan bernilai konstan �> 0, maka fungsi utilitasnya dapat dituliskan dalam bentuk
= ( )
∞
0
−� .
Tujuan akhir dari suatu kebijakan adalah untuk memaksimumkan utilitas setiap anggota rumah tangga. Dengan memilih variabel kon-trol dan , serta mensubstitusi tingkat konsumsi pada saat ( ) dengan fungsi produksi , maka diperoleh rumusan untuk memaksimumkan utilitas sebagai berikut:
max 1
1−�
∞
0 (( 1−
1− )1−�
−1) −�
(3.4)
dengan batasan:
= ( −1)
=� − .
3.2 Kondisi Optimal Steady State
Berdasarkan teori pertumbuhan ekonomi modern, sebagian besar pertumbuhan ekonomi suatu negara bersifat steady state dalam jangka waktu yang lama yaitu dengan laju pertumbuhan untuk setiap variabelnya bernilai konstan. Kondisi steady state pada pertum-buhan ekonomi suatu negara juga berarti bahwa pertumbuhan ekonomi dari negara ter-sebut berada dalam keadaan yang stabil atau jika terjadi perubahan, perubahan tersebut dalam satu arah dan terus seimbang dengan perubahan lain. Sehingga, untuk menjaga agar perekonomian dalam keadaan stabil maka pertumbuhan ekonominya diharapkan dalam kondisi ini. Untuk mendapatkan tingkat utilitas yang maksimum maka kondisi steady state ini harus dalam keadaan optimal yaitu dengan menentukan alokasi tenaga kerja yang optimal sehingga laju pertumbuhan steady state dari semua variabelnya juga akan optimal. Oleh karena itu, subbab ini akan difokuskan untuk menentukan alokasi optimal tenaga kerja dan laju pertumbuhan steady state yang optimal untuk setiap variabel yang ada dalam model.
variabel state dan , dan variabel kontrol dan . Dalam menentukan alokasi optimal tenaga kerja, kita harus menyelesaikan masa-lah ini dengan menggunakan syarat perlu orde pertama yang dikenal sebagai prinsip maksi-mum Pontryagin (Teorema 2). Berdasarkan subbab 2.6, current-value Hamiltonian dari masalah ini dapat dituliskan dalam bentuk
= 1
1− �(
1−�(1− ) (1−�) 1− (1−�)
−1) + 1 −1 + 2 � − ,
dengan:
1 = shadow price dari perkembangan
teknologi
2 = shadow price dari sumber daya.
Syarat perlu untuk solusi optimal adalah
=− 1−� 1− 1−� −1 1− 1−�
+ 1 −1 = 0,
(3.5)
= 1− 1−� 1− 1−� −1−
2= 0,
(3.6)
1 =� 1−
1 =� 1− −� 1− 1−�
1− 1−�
− 1 −1 , (3.7)
2=� 2− =� 2− � 2. (3.8)
Dari persamaan (3.5) dan (3.6) di atas dipero-leh:
1 =
1−� 1− 1−� −1 1− 1−�
−1
=
−� 1− 1−� −1 1− 1−�
−1 ,
(3.9)
2= 1−
1−� 1− 1−� −1
. (3.10)
Misalnya didefinisikan bahwa adalah laju pertumbuhan dari variabel p sehingga = ,
maka dengan menggunakan persamaan (3.7) dan (3.8) diperoleh
1 =� −
−1
+ −1 1− ,
(3.11)
2=� − �. (3.12)
(lihat Lampiran 3)
Untuk menentukan nilai , diperlukan nilai 1 dan 2 dalam bentuk yang berbeda
dengan persamaan (3.11) dan (3.12). Jika
diketahui = ( −1) sehingga
= = ( −1) , maka dengan terlebih
dahulu menentukan 1 dan 2 dari persamaan (3.9) dan (3.10) diperoleh
1=−� + 1− 1− �
=−� −1 + 1− 1− � ,
(3.13) (lihat Lampiran 4)
2= 1− � + 1− 1− � −1
= 1− � −1 − +� − � .
(3.14) (lihat Lampiran 5)
Selanjutnya, dari persamaan (3.11) sampai (3.14) didapatkan:
� − −1 + −1 1−
=−� + 1− 1− � ,
(3.15) � − � − 1− � −1
= − +� − � . (3.16) Dari persamaan (3.15) dan (3.16) di atas, diperoleh solusi yaitu alokasi tenaga kerja untuk sektor R&D
=
� 1−
� − � 1− 1− �
−1 + 1− ,
(3.17) dan laju pertumbuhan penggunaan sumber daya
=1
� −1 1− � − �+� 1− + � .
(3.18)
(lihat Lampiran 6)
Dan dari persamaan (3.17), (3.18), = =
+ (1− ) dan = ( −1) dapat diperoleh laju pertumbuhan teknologi
=1
�( � 1− 1− � − �+
−1 +� − � , (3.19)
dan laju pertumbuhan output
= =1
� � 1− + −1 − � . (3.20) (lihat Lampiran 7)
10
(3.3) diperoleh =� − / , karena bernilai konstan pada saat pertumbuhan dalam kondisi steady state dan � adalah sebuah konstanta, maka nilai / juga konstan. Dengan demikian, karena banyaknya stok sumber daya diasumsikan hanya di-pengaruhi tingkat keterbaruan � dan banyaknya penggunaan sumber daya , maka laju pertumbuhan stok sumber daya nilainya sama dengan laju pertumbuhan penggunaan sumber daya yaitu
= =1
� −1 1− � − �+ �1− + �. (3.21)
(Yang et al. 2006)
Syarat batas atau syarat transversalitas yang harus dipenuhi agar laju pertumbuhan yang diperoleh optimal adalah lim→∞ 1 −� = 0 dan lim→∞ 2 −� =
0. Kondisi transversalitas pertama yaitu lim→∞ 1 −� = 0 mengakibatkan
� − −1 + −1 1−
+ −1 − �= 0,
dan < 1. Dari syarat tersebut diperoleh:
�> 1− �
−1 +� 1− . (3.22) (lihat Lampiran 8)
Seperti pada kondisi transversalitas yang pertama, kondisi transversalitas yang kedua adalah lim→∞ 2 −� = 0 mengakibatkan
� − �+1
� −1 1− � − �
+� 1− + � − �= 0,
dan − �< 0 dengan ketentuan kondisi transversalitas pertama (persamaan (3.22)) masih berlaku. Sementara itu, untuk menjaga agar > 0 diperlukan
�> 1−
� − �
−1 − � −1 . (3.23) (lihat Lampiran 9)
Berdasarkan persamaan (3.22) dan (3.23), jika dipilih �< −1 +� 1− , maka
1−
�−�
−1 −� −1 < 0 < 1−
� −1+� 1− .
Jika dan hanya jika �> 1− � −1+� 1− , diperoleh 0 < < 1, yang berarti terdapat grafik untuk pertumbuhan steady state yang optimal. kemudian, untuk nilai � tersebut, diperoleh > 0, yaitu laju pertumbuhan ekonomi optimalnya adalah positif sepanjang
grafik laju pertumbuhan optimal steady state (Proposisi 1, lihat Lampiran 10).
Sementara itu, jika untuk nilai �>
−1 +� 1− , maka 1− �
−1+� 1− <
0 <1− −�−�1 −� −1 . Jika dan hanya jika
�>
1−
�−�
−1 −� −1 , maka diperoleh
0 < < 1, yang berarti terdapat grafik untuk pertumbuhan steady state yang optimal. Kemudian, dengan nilai � tersebut, diperoleh nilai < 0, yang berarti laju pertumbuhan optimal ekonomi adalah negatif sepanjang grafik laju pertumbuhan optimal steady state (Proposisi 2, lihat Lampiran 11).
Berdasarkan Proposisi 1 dan Proposisi 2 di atas, dengan memilih �< −1 + � 1− maka syarat transversalitas pertama dan kedua dapat dipenuhi. Berdasarkan asumsi awal bahwa fungsi utilitas yang digunakan adalah fungsi konkaf sempurna dan memenuhi lim →∞ 1 −� = 0 dan lim →∞ 2 −� = 0 (lihat subbab 2.7 pada
landasan teori), maka syarat cukup agar solusi optimal juga dapat dipenuhi. Jadi, nilai , , , dan yang diperoleh adalah nilai yang optimal untuk menjaga agar perekonomian berada dalam kondisi steady state yang optimal.
3.3 Analisis Pengaruh Parameter
Pada bagian ini, akan dibahas mengenai pengaruh parameter terhadap alokasi tenaga kerja dan laju pertumbuhan steady state , dan dengan menjaga agar kondisi laju pertumbuhan ekonomi steady state jangka panjang ( ) tetap positif. Sebagaimana telah disebutkan pada subbab sebelumnya, laju pertumbuhan ekonomi positif jika dan hanya jika �< −1 +� 1− . Adapun pe-ngaruh dari setiap parameter terhadap dan laju pertumbuhan steady state dapat dilihat dari nilai turunan pertamanya terhadap semua parameter tersebut. Nilai-nilai turunan per-tama tersebut secara keseluruhan dinyatakan dalam Tabel 1.
Pertama, diketahui bahwa λ ( - 1) dalam model merupakan efisiensi sektor R & D, sehingga λ dan memiliki pengaruh yang sama terhadap perekonomian. Adapun penga-ruh parameter λ dan terhadap alokasi tenaga kerja adalah sebagai berikut. Berdasarkan persamaan (3.17) dapat ditentukan
= � − � 1− � 1−
� 2 −1 dan
Tabel 1. Nilai turunan pertama dan laju pertumbuhan steady state terhadap parameter
�= �= �=� �=� �=�
� tak tentu tak tentu < 0 < 0, jika �< 1 > 0< 0, jika , jika ��< 1> 1
� > 0 > 0 < 0 < 0, jika �< 1 > 0< 0, jika , jika ��< 1> 1
� > 0 > 0 < 0 < 0, jika �< 1 > 0
� > 0< 0, jika , jika ��< 1> 1
> 0, jika �< 1
< 0, jika �> 1 < 0 < 0, jika �< 1 > 0
(lihat Lampiran 12)
Nilai dari kedua persamaan di atas ditentukan oleh � dan � 1− � 1− . Terutama, jika σ = 0 yaitu sumber daya yang digunakan adalah jenis sumber daya yang tak terbarukan, karena 0 < < 1, > 0, > 1 dan �> 0, maka dapat ditentukan nilai > 0 dan > 0, yang berarti λ dan memiliki pengaruh positif terhadap . Karena meningkatnya λ atau berarti peningkatan efisiensi sektor R & D, akibatnya akan menarik lebih banyak tenaga kerja untuk sektor R & D. Tetapi dalam hal ini agar dapat diperoleh > 0 dan > 0 juga dibutuhkan �> 1. Artinya, tidak hanya dipengaruhi oleh λ atau , tetapi juga oleh tingkat keterbaruan sumber daya dan elastisitas utilitas marjinal.
Selain terhadap , λ dan memiliki pe-ngaruh positif terhadap yang lainnya. Hal ini dapat dilihat dalam Tabel 1 di atas, nilai turunan pertama dari , dan terhadap λ atau bernilai positif. Dengan catatan, khusus untuk , nilai turunan pertamanya akan ber-nilai positif jika �< 1 dan bernilai negatif jika �> 1. Nilai turunan pertama positif ini berarti kemiringan dari kurva λ atau terhadap , dan bernilai positif, yang berarti kenaikan λ atau mengakibatkan kenaikan pula pada , dan . Ilustrasi dari pengaruh λ dan ini dapat dilihat pada kurva pada Gambar 1 dan Gambar 2. Kurva pada Gambar 1 diperoleh dengan menetapkan sebagai fungsi dari λ dengan parameter lainnya bernilai tetap yaitu: = 0.5, �= 0.25, �= 0.5, = 1.4 dan �= 0.5. Sedangkan kurva pada Gambar 2 diperoleh dengan menetapkan sebagai fungsi dari dengan parameter lainnya bernilai tetap yaitu: = 0.5, �= 0.25, �= 0.5, = 0.25 dan �= 0.5. Kurva digambar dengan mengguna-kan software Mathematica 7 (program dan kurva pengaruh λ dan terhadap laju pertumbuhan lainnya dapat dilihat pada Lampiran 13).
Gambar 1. Kurva pengaruh λ terhadap pada saat = 0.5, �= 0.25, �= 0.5, = 1.4 dan �= 0.5.
Gambar 2. Kurva pengaruh terhadap pada saat = 0.5, �= 0.25, �= 0.5, = 0.25 dan �= 0.5. Dari kedua gambar di atas, terlihat bahwa λ dan memiliki pengaruh positif terhadap laju pertumbuhan teknologi , yaitu pening-katan λ dan mengakibatkan peningkatan pula pada laju pertumbuhan teknologi. Pengaruh ini dapat dijelaskan karena λ dan sebagai efisiensi sektor R & D memiliki pengaruh penting terhadap tingkat teknologi yang juga akan berimbas pada sektor lainnya. Karena λ dan memiliki pengaruh yang sama terhadap perekonomian, jadi kita ambil laju perubahan teknologi sebagai contohnya.
Peningkatan yang berarti peningkatan efisiensi sektor R & D mengakibatkan tingkat produktivitas di sektor ini juga akan meningkat, dengan kata lain peneliti akan
0.5 1.0 1.5 2.0
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 g A
1.5 2.0 2.5 3.0
12
lebih banyak menemukan inovasi yang berarti juga akan meningkatkan laju kemajuan teknologi . Kenaikan ini akan mengakibatkan kenaikan pula pada laju pertumbuhan output . Namun, pengaruh dari untuk meningkatkan laju pertumbuhan penggunaan sumber daya tidak pasti karena juga dipengaruhi oleh elastisitas dari utilitas marjinal θ. Jika θ > 1, peningkatan akan menyebabkan penurunan . Ini karena saat elastisitas utilitas marjinal θ bernilai θ > 1 berarti konsumen relatif mendapatkan tambahan kepuasan yang lebih besar pada saat menambah barang yang dikonsumsi, akibat-nya konsumen relatif akan mengonsumsi lebih banyak output dan akan mengakibatkan laju pertumbuhan output yang lebih rendah. Karena diketahui laju pertumbuhan output = + 1− dan kenaikan akan meningkatkan , maka penurunan dari disebabkan karena nilai yang menurun.
Selanjutnya, dari Tabel 1 diperoleh bahwa nilai turunan pertama dari , , dan terhadap � bernilai negatif yang berarti kemi-ringan kurva � terhadap , dan laju per-tumbuhan lainnya tersebut bernilai negatif. Ini mununjukkan bahwa pengaruh dari � terhadap , , dan adalah negatif, yang berarti peningkatan pada � akan mengakibatkan pe-nurunan terhadap , , dan . Ilustrasi dari pengaruh � ini dapat dilihat dalam kurva pengaruh � terhadap pada Gambar 3. Kurva tersebut diperoleh dengan menetapkan sebagai fungsi dari � dengan parameter lainnya bernilai tetap yaitu sebagai berikut: = 0.5, �= 0.1, = 0.2, = 1.2 dan �= 0.5. Kurva digambar dengan mengguna-kan software Mathematica 7 (program dan kurva pengaruh � terhadap variabel lainnya dapat dilihat pada Lampiran 14).
Gambar 3. Kurva pengaruh � terhadap pada saat = 0.5, �= 0.1,
= 0.2, = 1.2 dan �= 0.5.
Dari kurva pengaruh � terhadap pada Gambar 3 di atas, tampak bahwa peningkatan ρ mengakibatkan penurunan . Hal ini di-karenakan kenaikan tingkat diskon ρ berarti bahwa rumah tangga mendapatkan keuntung-an lebih dari konsumsi saat ini dkeuntung-an relatif terhadap konsumsi masa depan. Kemudian investasi dalam R & D yang berarti pengor-banan konsumsi saat ini demi konsumsi masa depan tidak akan menarik bagi mereka. Sebagai hasilnya, harus menurun dan akan mengakibatkan menurun. Selain itu, ting-kat diskon yang lebih tinggi berarti konsumen akan mengonsumsi lebih banyak pada saat ini dan mengakibatkan pertumbuhan konsumsi yang lebih rendah dan pertumbuhan output pun menjadi lebih rendah (karena = dan = / , sehingga nilai yang lebih besar menyebabkan nilai yang lebih kecil). Oleh karena itu, untuk memenuhi konsumsi yang lebih banyak, produsen harus menghasil-kan lebih banyak output. Akibatnya, produsen akan mengambil lebih banyak sumber daya dan mengakibatkan penurunan dan .
Dari Tabel 1 juga dapat diketahui penga-ruh dari elastisitas utilitas marjinal � terhadap
, , dan yang semuanya bernilai negatif untuk �< 1. Hal ini dapat dilihat turunan pertama yang menggambarkan kemi-ringan kurva yang semuanya bernilai negatif untuk �< 1. Ilustrasi pengaruh � ini dapat dilihat pada kurva pengaruh � terhadap pada Gambar 4. Kurva ini diperoleh dengan menetapkan sebagai fungsi dari � dengan parameter lainnya bernilai tetap yaitu = 0.5, �= 0.14, �= 0.1, = 0.25 dan = 1.4. Kurva digambar dengan menggunakan soft-ware Mathematica 7 (program dan kurva pengaruh � terhadap variabel lainnya dapat dilihat pada Lampiran 15).
Gambar 4. Kurva pengaruh � terhadap pada saat = 0.5, �= 0.14, �= 0.1, = 0.25 dan = 1.4.
0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08
0.5 1.0 1.5 nt
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
Pengaruh dari θ ini dapat dijelaskan karena peningkatan elastisitas utilitas marjinal θ berarti rumah tangga akan mendapatkan tam-bahan kepuasan yang lebih besar dengan menambah banyaknya barang konsumsi. Dengan demikian, konsumen akan menolak untuk menyimpang dari modus konsumsi dan tidak akan berinvestasi di sektor R & D (in-vestasi akan mengakibatkan konsumsi masa depan yang lebih tinggi). Sebagai hasilnya, akan berkurang dan mengakibatkan akan menurun. Sementara itu, konsumsi saat ini yang lebih banyak akan mengakibatkan per-tumbuhan konsumsi yang lebih rendah dan pertumbuhan output pun menjadi lebih ren-dah, dan laju pertumbuhan penggunaan sum-ber daya juga menjadi lebih rendah.
Terakhir, dari Tabel 1 juga dapat dilihat pengaruh dari laju keterbaruan � terhadap , , dan . Dalam tabel tersebut tampak � memiliki pengaruh positif terhadap semuanya dengan pengecualian khusus untuk dan , pengaruh positif ini berlaku jika �< 1 dan akan bernilai negatif jika �> 1. Sebagai ilustrasi dari pengaruh tingkat keterbaruan � ini dapat dilihat kurva pengaruh � terhadap pada Gambar 5 dibawah ini.
Gambar 5. Kurva pengaruh � terhadap pada saat = 0.5, �= 0.1,
= 0.25, = 1.4 dan �= 0.1.
Kurva pada Gambar 5 di atas diperoleh dengan menetapkan sebagai fungsi dari � dengan parameter lainnya bernilai tetap
= 0.5, �= 0.1, = 0.25, = 1.4 dan �= 0.1 dan digambar dengan menggunakan software Mathematica 7 (program dan kurva pengaruh � terhadap variabel lainnya dapat
dilihat pada Lampiran 16). Pada kurva tersebut, terlihat bahwa kenaikan � me-ngakibatkan kenaikan . Hal ini dikarenakan kenaikan laju keterbaruan sumber daya σ akan menyebabkan peningkatan laju pertumbuhan stok sumber daya dan akan mengakibatkan kenaikan juga pada laju pertumbuhan peng-gunaan sumber daya . Pada saat yang sama pula, laju pertumbuhan output juga akan meningkat. Sementara itu, pengaruh σ ter-hadap alokasi tenaga kerja untuk sektor R&D
dan laju pertumbuhan teknologi adalah relevan dengan elastisitas marjinal θ. Jika �> 1, peningkatan σ akan mengakibatkan pe-nurunan dan . Hal ini dikarenakan jika nilai elastisitas marjinal �> 1, konsumen cenderung akan mengonsumsi lebih banyak dan akan mengakibatkan penurunan pada laju pertumbuhan output. Karena diketahui laju pertumbuhan output = + 1− dan laju keterbaruan sumber daya � memiliki pengaruh positif terhadap , maka penurun-an dari terjadi jika nilai dari yang menurun. Dari persamaan (3.2) diperoleh = ( −1) . Sehingga untuk nilai efisiensi R&D yaitu ( −1) yang tetap, penurunan dari akan terjadi jika nilai dari alokasi tenaga kerja untuk sektor R&D yang menurun. Maka dapat disimpulkan untuk nilai θ > 1, pada saat nilai σ meningkat, nilai
dan menurun.
Berdasarkan analisis pengaruh parameter , , �, � dan � terhadap , , dan pada semua uraian di atas, pada saat elastisitas utilitas marjinal � bernilai 0 <�< 1, maka secara keseluruhan dapat diketahui bahwa kenaikan dari efisiensi sektor R&D, yang meliputi dan , serta tingkat keterbaruan sumber daya � mengakibatkan kenaikan pula pada , , dan . Sebaliknya, kenaikan tingkat diskon � dan elastisitas marjinal � mengakibatkan penurunan pada , , dan . Sehingga untuk meningkatkan tingkat utilitas dapat dilakukan dengan meningkatkan nilai dari , dan � dan menurunkan nilai dari � dan � agar diperoleh nilai , , dan yang lebih besar dan kondisi steady state yang diperoleh pun berada pada level yang lebih tinggi.
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
14
IV SIMPULAN
Pada karya ilmiah ini, dibahas modelpertumbuhan sebagai fungsi produksi dengan input sumber daya terbarukan dengan proses creative destruction dan fokus pada kondisi pertumbuhan ekonomi steady state. Untuk mengoptimumkan utilitas serta menjaga per-ekonomian dalam kondisi seimbang dalam jangka waktu yang lama, alokasi tenaga kerja dan laju pertumbuhan untuk setiap variabel juga harus optimum. Dari pembahasan di-peroleh:
1. Rumusan untuk memaksimumkan utilitas adalah sebagai berikut:
Max 1
1− � ∞
0
(( −1 1− )1−�
−1) −� dengan batasan:
= ( −1)
=� −
2. Alokasi optimal tenaga kerja pada sektor R&D akan tercapai bila
=
� 1−
� − � 1− 1− �
−1 + 1− .
3. Pada jangka panjang, laju pertumbuhan optimal untuk setiap variabel adalah steady state dengan nilai:
i. Laju pertumbuhan penggunaan sumber daya
=1
� −1 1− � − � +� 1− + � . ii. Laju pertumbuhan teknologi
=1
�( � 1− 1− � − �+ −1 +� − � .
iii. Laju pertumbuhan output
= =1
� � 1− + −1 − � .
iv. Laju pertumbuhan output sumber daya
= =1
� −1 1− � − � +� 1− + � .
4. Karena pertumbuhan ekonomi dinyatakan sebagai fungsi output, maka agar laju pertumbuhan ekonomi bernilai positif, laju pertumbuhan output haruslah bernilai positif yaitu dengan menentukan nilai �< −1 +� 1− .
5. Ketika perekonomian dalam keadaan steady state dengan laju pertumbuhan positif dan elastisitas utilitas marjinal � bernilai 0 <�< 1, dapat disimpulkan bahwa:
i. Efisiensi pada sektor R&D, yang meliputi dan , serta tingkat keterbaruan sumber daya �, memiliki pengaruh positif terhadap , , dan .
DAFTAR PUSTAKA
Dornbusch R, Fischer S, Startz R. 2002. Makroekonomi. Ed. Ke-10. Roy IM, penerjemah; Wibisono Y, editor. Jakarta: PT Media Global Edukasi. Terjemahan dari: Macroeconomics 10th Edition. Grossmann V, Streger TM. 2008. Growth,
Development and Technological Change, in Zhang WB (ed.) Mathematical Models in Economics: Encyclopedia of Life Support Sciences, UNESCO, United Nations.
Mankiw NG. 2003. Teori Makroekonomi. Ed. Ke-5. Iman N, penerjemah; Kristiaji WC, editor. Jakarta: Erlangga. Terjemahan dari: Macroeconomics 5th Edition.
Nicholson W. 2002. Mikroekonomi Intermediate dan Aplikasinya. Ed. Ke-8. Mahendra IB, Abdul A, penerjemah; Kristiaji WC, Yati S, Nurcahyo M, editor. Jakarta: Erlangga. Terjemahan dari: Intermediate Microeconomics and Its Application 8th Edition.
Park WG. 2008. Innovation and Economic Dynamics, in Zhang WB (ed.) Mathema-tical Models in Economics: Encyclopedia of Life Support Sciences, UNESCO, United Nations.
Peressini AL, Sullivan FE, Uhl JJ. 1988. The Mathematics of Nonlinear Programming. New York: Springer-Verlag.
Romer D. 2006. Advanced Macroeconomics. Third Edition. New York: The McGraw-hill Companies.
Ross SM. 1996. Stochastic Processes. Ed. Ke-2. New York: John Wiley & Sons.
Salvaltore D. 2006. Shcaum's Outlines: Mikroekonomi. Ed. Ke-4. Rudi S, Heris M, penerjemah; Hardani W, Barnadi D, Saat S, editor. Jakarta: Erlangga. Terjemahan dari: Shcaum's Outlines: Microeconomics 4th Edition.
Sethi SP, Gerald LT. 2000. Optimal Control Theory: Aplication to Managemant Science and Economics. Second Edition. New York: Springer Science+Bussiness Media.
Sugiyono A. 2000. Kemajuan Teknologi dan Pembangunan Ekonomi. Program Pasca-sarjana: Magister Sains dan Doktor. Program Studi Ilmu-Ilmu Ekonomi dan Studi Pembangunan. Yogyakarta: Universitas Gadjah Mada.
Tu PNV. 1993. Introductory Optimization Dynamics : Optimal Control with Econo-mis and Management Application. Second Revisied and Enlarged Edition. Berlin: Springer Verlag.
Lampiran 1. Bukti Teorema 1 Diketahui masalah memaksimumkan :
= , + 0 , ,
0 (1)
dengan kendala: = , , (2)
Misalkan 0= 0 dan 0 = 0, sedangkan ( ) dan T tidak ditentukan. Fungsi “scrap” , dalam bentuk
, ≡ 0, 0 + ,
0 (3)
sehingga fungsional objektif J dapat ditulis dalam bentuk berikut:
= 0, 0 + 0 , , + ,
0
= 0, 0 + 0[ 0 . + + ] (4)
dengan ( ), , 0( , , ) dan , secara sederhana dapat dituliskan sebagai , , 0 . dan S. Dapat dilihat bahwa upaya untuk mengoptimumkan persamaan (4) tidak dipengaruhi S pada saat = 0 tetapi ditentukan oleh integral persamaan tersebut.
Selanjutnya didefinisikan fungsional objektif yang diperbesar (augmented) �( ) sebagai:
� = 0 , , , , (5)
dengan
, , , , = 0 . + . − + +
= , , , − + + (6)
dengan , , , = 0 , , , + ( , , ) adalah Hamiltonian.
Syarat perlu agar fungsional (5) memiliki nilai ekstrim adalah � = 0. Untuk T dan x(T) tidak ditentukan, nilai � = 0 diperoleh seperti pada kalkulus variasi yaitu
� = ((
0
− ) + + ) + + − = = 0. (7)
Agar persamaan (7) dipenuhi maka persamaan Euler harus dipenuhi, yaitu
− = 0.
Sedangkan
− = + + − −
= + + − − +
= + = 0. (8)
Persamaan Euler ini memberikan
=− . (9)
Variasi dan mempunyai sifat saling bebas sehingga koefisien-koefisiennya bernilai nol, yaitu = 0 dan = 0. Definisi persamaan (6) memberikan = dan = . − = −
, sehingga
= 0, (10)
18
Selajutnya syarat batas diberikan oleh suku terakhir persamaan (7) yaitu
+ − = = 0. (12)
Karena = −
− = − + − + +
= +
maka persamaan (12) dapat ditulis menjadi
− |= + + |= = 0. (13)
persamaan ini dikenal sebagai transversality condition atau syarat batas. Apabila 0 dan 0 belum ditentukan, maka syarat batasa menjadi
− |=0
= + + |
=0
= = 0. (14)
Lampiran 2. Penentuan � �
Misalkan satu unit tenaga kerja yang digunakan untuk penelitian menghasilkan inovasi secara acak dengan sebaran poisson dengan parameter , > 0. Pada periode [ , +Δ ] peluang terjadi inovasi adalah Δ , dan peluang tidak terjadi inovasi adalah 1− Δ , sehingga nilai harapan dari A (tingkat teknologi) adalah
+Δ = Δ + 1− Δ
= Δ + − Δ
= + −1 Δ
Untuk Δ →0,
+Δ −
Δ = −1
lim Δ →0
+Δ −
Δ = limΔ →0 −1
= −1 (15)
Lampiran 3. Penentuan � dan � bagian 1
1 = 1
1
=� 1−
−� 1−
1 1−� 1− 1−� − 1 −1
1
=� −
−� 1− 1−� 1− 1−�
1
− −1
=� −
−� 1− 1−� 1− 1−�
−� 1− 1−� −1 1− 1−�
−1
− −1
=� − 1− −1 − −1
=� − −1 + −1 − −1
=� − −1 + −1 1− (16)
2= 2
2
=� 2− � 2
2
Lampiran 4. Penentuan � bagian 2
1 =
−� 1− 1−� −1 1− 1−�
−1
1 =
−� −�−1 1− 1−� −1 1− 1−�
+
−1
−�( 1− � −1)1− 1−� −2 − 1− 1−� + −1
−� 1− 1−� −1 1− 1− � 1− 1−� −1
−1
=−� 1+ 1− 1− � 1
=−� 1+ 1− 1− � 1 (18)
1= 1
1
=−� + 1− 1− �
=−� + 1− 1− �
=−� ( −1) + 1− 1− � (19)
Lampiran 5. Penentuan � bagian 2
2 = 1− 1−� 1− 1−� 1− 1−� −1
2 = 1− 1− � −� 1− 1−�
1− 1−� −1
+
1− 1
