Perhitungan Aktuaria untuk Manfaat Pensiun-Normal Menggunakan Metode Projected Unit Credit dan Entry Age Normal.

PERHITUNGAN AKTUARIA UNTUK MANFAAT PENSIUN-NORMAL

MENGGUNAKAN METODE

PROJECTED UNIT CREDIT

DAN

ENTRY AGE NORMAL

IRMA OKTIANI

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR

PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN

SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA

Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Perhitungan Aktuaria untuk Manfaat Pensiun-Normal Menggunakan Metode Projected Unit Credit dan Entry Age Normal adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.

Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor.

ABSTRAK

IRMA OKTIANI. Perhitungan Aktuaria untuk Manfaat Pensiun-Normal Menggunakan Metode Projected Unit Credit dan Entry Age Normal. Dibimbing oleh I GUSTI PUTU PURNABA dan RETNO BUDIARTI.

Program pendanaan pensiun merupakan suatu upaya untuk mengantisipasi resiko hari tua. Program pendanaan pensiun dibagi atas dua macam, yaitu program pensiun iuran-pasti (contribution-benefit cost) dan program pensiun manfaat-pasti (defined-benefit cost). Penelitian ini membahas program pensiun manfaat-pasti. Program pensiun manfaat-pasti adalah program pensiun yang besar manfaatnya telah ditentukan di awal berdasarkan peraturan Dana Pensiun, sedangkan iurannya ditentukan kemudian. Metode yang digunakan adalah metode Entry Age Normal (EAN) dan Projected Unit Credit (PUC). Tujuan penelitian ini adalah melakukan perhitungan aktuaria yang mencakup perhitungan iuran normal dan kewajiban aktuaria serta menentukan metode terbaik dilihat dari sisi peserta. Perhitungan nilai akhir dibutuhkan untuk dapat menentukan metode mana yang terbaik. Berdasarkan hasil perhitungan, didapatkan bahwa metode EAN lebih baik dari PUC karena total nilai akhirnya lebih kecil untuk manfaat pensiun yang sama. Kata kunci: entry age normal, iuran normal, kewajiban aktuaria, metode pendanaan pensiun, projected unit credit

ABSTRACT

IRMA OKTIANI. Actuarial Valuation for Defined-Benefit Cost Using Projected Unit Credit and Entry Age Normal Methods. Supervised by I GUSTI PUTU PURNABA and RETNO BUDIARTI.

A pension fund program is an attempt to anticipate the risk in the old days by providing benefit for the retired employees. Pension fund method is devided into two kinds; contribution-benefit cost and defined-benefit cost methods. This research discusses the defined-benefit cost method. A defined benefit cost is a pension plan that all of its benefits have been determined at the beginning, meanwhile the normal cost is being calculated later. The defined-benefit cost method that used in this research are Projected Unit Credit (PUC) and Entry Age Normal (EAN). The objectives of this research are to perform an actuarial valuation which includes the calculation of normal cost and actuarial liability and to obtain the best method that suits for the participants (employees). Calculation of the normal cost final values is normally required to determine which is the best method to apply. Actuarial valuation showed that EAN is better used than PUC because the total value of final dues is smaller than the PUC for the same pension benefits.

Skripsi

sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains

pada

Departemen Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

PERHITUNGAN AKTUARIA UNTUK MANFAAT PENSIUN-NORMAL

MENGGUNAKAN METODE

PROJECTED UNIT CREDIT

DAN

ENTRY AGE NORMAL

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR 2013

Judul Skripsi : Perhitungan Aktuaria untuk Manfaat Pensiun-Normal Menggunakan Metode Projected Unit Credit dan Entry Age Normal.

Nama : Irma Oktiani NIM : G54090044

Disetujui oleh

Dr Ir I Gusti Putu Purnaba, DEA Pembimbing I

Ir Retno Budiarti, MS Pembimbing II

Diketahui oleh

Dr Berlian Setiawaty, MS Ketua Departemen

PRAKATA

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas segala karunia dan keberkahan-Nya sehingga penelitian ini berhasil diselesaikan. Tema yang dipilih dalam penelitian ini adalah dana pensiun, dengan judul Perhitungan Aktuaria untuk Manfaat Pensiun-Normal Menggunakan Metode Projected Unit Credit dan Entry Age Normal.

Terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak Dr Ir I Gusti Putu Purnaba, DEA dan Ibu Ir Retno Budiarti, MS selaku pembimbing yang telah bersedia membimbing saya dengan penuh kesabaran serta Bapak Dr Ir I Wayan Mangku, M.Sc selaku penguji. Terima kasih juga penulis ucapkan untuk keluarga yang selalu setia mendo’akan dan mendukung penulis dalam bentuk apapun. Ungkapan terima kasih juga penulis sampaikan kepada Ka Hikmah, teman-teman matematika 46 (Ka Ruhiyat, Putri, Ami, Reni, Amel, Yoyok, Desyi, Dio, Fenny, dan yang lainnya), teman satu in the cost (Indri, Yulia, Kane, Sisil, Yuni) dan teman pengajar Primagama Quantum Kids yang tak pernah lelah untuk menyemangati dan menjadi tempat berbagi selama proses pembuatan penelitian ini. Besar harapan penulis agar penelitian ini tak hanya berguna untuk penulis, melainkan berguna di masyarakat luas.

Semoga penelitian ini bermanfaat, karena sesuai firman Allah: “Sebaik-baik manusia adalah yang lebih banyak manfaatnya bagi manusia yang lain”.

DAFTAR ISI

DAFTAR GAMBAR vi

DAFTAR LAMPIRAN vi

PENDAHULUAN 1

Latar Belakang 1

Tujuan Penelitian 2

Manfaat Penelitian 2

Pembatasan Masalah 2

TINJAUAN PUSTAKA 2

Fungsi Tingkat Suku Bunga 2

Anuitas Hidup 3

Fungsi Gaji 3

Fungsi Manfaat 3

Iuran Normal 4

Kewajiban Aktuaria 5

KONSEP DASAR PERHITUNGAN MANFAAT-PASTI 5

Manfaat 5

Present Value of Future Benefit 6

Present Value of Future Normal Cost 9

Metode Projected Unit Credit 12

Metode Entry Age Normal 13

Perhitungan Iuran Normal dan Kewajiban Aktuaria dengan

Metode PUC dan EAN 15

Tabel Perhitungan 15

Contoh perhitungan 16

SIMPULAN DAN SARAN 21

Simpulan 21

Saran 22

DAFTAR PUSTAKA 22

LAMPIRAN 24

DAFTAR GAMBAR

1. Diagram waktu untuk (PVFB)_x saat y≤x < r 6

2. Diagram waktu untuk (����)_� saat � ≥ � 8 3. Diagram waktu untuk (PVFNC)_x untuk kasus meninggal sebelum usia

pensiun r 9

4. Diagram waktu untuk (PVFNC)_x untuk kasus meninggal setelah usia

pensiun r 9

DAFTAR LAMPIRAN

1. Penjumlahan parsial 24

2. Tabel Mortalita Taspen 2012 (TMT 2012) 25 3. Perhitungan iuran normal dan kewajiban aktuaria menggunakan metode

PUC dan EAN dengan �_� = �_� =10%, �=2.5%,

PENDAHULUAN

Latar Belakang

Karyawan merupakan aset penting bagi suatu perusahaan. Kemajuan dan kemunduran sebuah perusahaan dipengaruhi oleh produktivitas karyawan pada perusahaan tersebut. Perusahaan bertanggung jawab untuk menjamin kesejahteraan karyawan sehingga karyawan tersebut merasa nyaman dan tidak khawatir dengan kesejahteraannya di masa mendatang. Bertambahnya usia merupakan faktor yang mempengaruhi produktivitas kerja seorang karyawan. Kemampuan fisik seseorang dalam bekerja akan menurun dengan bertambahnya usia sedangkan kebutuhan hidup akan terus meningkat. Oleh karena itu, perusahaan harus memiliki sebuah program yang dapat menjamin kesejahteraan karyawan sebagai salah satu bentuk timbal balik atas produktivitas karyawannya. Salah satu program untuk menjamin kesejahteraan karyawan suatu perusahaan adalah program pensiun. Program pensiun merupakan investasi jangka panjang yang mengupayakan manfaat pensiun bagi pesertanya.

Di Indonesia badan hukum yang mengelola program pendanaan pensiun adalah Dana Pensiun. Dana Pensiun adalah badan hukum yang mengelola dan menjalankan program yang menjanjikan manfaat pensiun bagi pesertanya. Dana Pensiun bertujuan untuk meningkatkan motivasi dan ketenangan kerja untuk peningkatan produktivitas. Jenis program pensiun dibagi menjadi dua, yaitu program pensiun iuran-pasti (contribution-benefit cost) dan program pensiun manfaat-pasti (defined-benefit cost). Program pensiun iuran-pasti adalah program pensiun yang iurannya ditetapkan dalam peraturan Dana Pensiun dan seluruh iuran serta hasil pengembangannya dibukukan pada rekening masing-masing peserta sebagai manfaat pensiun. Program pensiun manfaat-pasti adalah program pensiun yang manfaatnya ditetapkan dalam peraturan Dana Pensiun, sedangkan iuran berkala ditetapkan berdasarkan perhitungan aktuaris sehingga dana mencukupi untuk membayar manfaat yang telah dijanjikan kepada peserta. Hal tersebut tertuang dalam UU Nomor 11 Tahun 1992.

Menurut Winklevoss (1993), manfaat pensiun seorang peserta program pensiun dibagi menjadi beberapa jenis, yaitu manfaat pensiun-normal, cacat, mengundurkan diri, dan kematian. Pensiun-normal adalah pensiun pada saat peserta memasuki usia pensiun-normal. Pensiun-cacat adalah pensiun yang diberikan kepada seseorang yang mengalami cacat permanen akibat kecelakaan atau sebab lain ketika peserta menjalankan program pensiun. Pensiun-mengundurkan diri adalah pensiun yang pesertanya Pensiun-mengundurkan diri sebelum usia pensiun-normal, sehingga manfaat yang diberikan ditunda dalam jangka waktu tertentu. Pensiun-kematian adalah pensiun yang diberikan kepada seseorang yang telah meninggal dunia sebelum memasuki usia pensiun-normal.

2

sedangkan metode projected benefit cost adalah metode yang menekankan pada proyeksi manfaat pensiun ketika mencapai usia pensiun. Salah satu yang termasuk dalam metode accrued benefit cost adalah metode Projected Unit Credit (PUC), sedangkan yang termasuk dalam metode projected benefit cost adalah metode Entry Age Normal (EAN).

Tujuan Penelitian

Tujuan dari penelitian ini adalah

1 mengonstruksi ulang rumus perhitungan iuran normal dan kewajiban aktuaria menggunakan metode PUC dan EAN,

2 menghitung besarnya iuran normal yang harus dibayarkan peserta dan kewajiban aktuaria yang harus dibayarkan oleh suatu perusahaan, dan

3 membandingkan hasil perhitungan aktuaria menggunakan kedua metode tersebut.

Manfaat Penelitian

Manfaat penelitian ini adalah untuk memudahkan peserta dan perusahaan dalam menghitung seberapa besar iuran normal dan kewajiban aktuaria yang harus dibayarkan untuk memenuhi manfaat pensiun-normal dengan menggunakan metode PUC dan EAN.

Pembatasan Masalah

Pembatasan masalah dalam penelitian ini dibatasi oleh hal-hal berikut: 1. Semua peserta pensiun pada usia normal.

2. Tingkat bunga atas kewajiban pensiun dan tingkat pengembalian investasi diasumsikan sama.

3. Tingkat kenaikan gaji hanya dipengaruhi oleh masa kerja, sedangkan kebijakan pemerintah dianggap tidak ada.

4. Proporsi dari gaji yang dipersiapkan untuk manfaat pensiun (k) sebesar 2.5% dari gaji selama bekerja.

5. Tabel mortalita yang digunakan adalah Tabel Mortalita Taspen 2012 (TMT 2012) dengan asumsi tingkat suku bunga sebesar 10%.

TINJAUAN PUSTAKA

Fungsi Tingkat Suku Bunga

3

vn = 1 (1+i)n

vn adalah nilai sekarang dari pembayaran sebesar 1 satuan yang dilakukan

� tahun kemudian. Menurut Futami (1994), apabila pembayaran dilakukan 1 tahun lebih cepat, maka besarnya bunga yang hilang adalah

� =1− � = _1+�� .

Anuitas Hidup

Anuitas hidup adalah serangkaian pembayaran yang dilakukan secara terus menerus atau dalam jangka waktu tertentu (misal, bulanan, tiga bulanan, tahunan) selama orang tersebut masih hidup (Bowers et al. 1986). Berdasarkan jangka waktu pembayarannya, anuitas hidup dibagi menjadi 4 jenis, yaitu:

1 Anuitas seumur hidup

Anuitas yang pembayarannya dilakukan selama tertanggung masih hidup dan pembayarannya dapat dilakukan di awal atau akhir periode.

2 Endowment murni

Suatu pembayaran yang dilakukan pada akhir suatu jangka waktu tertentu bagi seseorang apabila hidup mencapai jangka waktu tersebut.

3 Anuitas berjangka

Anuitas hidup yang pembayarannya dilakukan pada jangka waktu tertentu. 4 Anuitas ditunda

Rangkaian pembayaran secara berkala yang ditunda selama jangka waktu tertentu.

Fungsi Gaji

Gaji saat ini untuk seorang karyawan berusia x dilambangkan dengan �_�, dan S_x merupakan akumulasi gaji dari usia masuk (�) sampai usia x-1, dimana

�> �. Secara matematis dituliskan dengan

�� =� ��

�−1

�=�

, �>�.

Apabila karyawan mendapat proporsi kenaikan gaji sebesar s setiap tahun, maka besarnya gaji karyawan pada saat berusia x + t, berdasarkan gaji pada usia

� adalah

��+� =��(1+�)�.

Fungsi Manfaat

4

1. Flat benefit

Besarnya manfaat pensiun untuk setiap tahun masa kerja adalah konstan. Formulasi manfaat untuk peserta yang pensiun pada usia r dan masuk kerja usia � adalah

�� = (� − �)��.

2. Rata-rata gaji selama n tahun terakhir

Jika n adalah banyaknya tahun terakhir dimana gaji akan dirata-ratakan dan

k adalah persentase dari gaji yang diberikan untuk manfaat, maka besarnya manfaat pada usia pensiun r tahun adalah

�_� =�(� − �)1

� � ��

�−1

�=�−�

.

3. Rata-rata gaji selama bekerja

Besar manfaat pensiun pada usia r adalah

�� =���−1.

4. Gaji terakhir

Manfaat pensiun pada usia�adalah

�_� =�(� − �)�_{�−1 .} (1) dengan �_�−1 adalah besarnya gaji pada satu tahun terakhir sebelum pensiun.

Iuran Normal

Iuran normal atau normal cost (��) adalah iuran tahunan yang dibayarkan pada tiap tahun masa kerja peserta aktif. Pada prinsipnya, iuran normal digunakan untuk mencicil present value of future benefit (����) masing-masing peserta. Iuran normal untuk seorang karyawan berusia x yang dihitung dengan menggunakan metode PUC dirumuskan sebagai berikut:

(��)_�= 1

(� − �)����

�−� _� �

�−� �̈�, � ≤ � ≤ � ,

Sedangkan yang dihitung dengan menggunakan metode EAN dirumuskan sebagai berikut:

B_r = manfaat pensiun pada usia pensiun-normal�,

��

�−� = peluang seseorang yang berusia� tahun akan tetap hidup hingga usia pensiun r tahun,

�_��−� = asumsi tingkat diskonto yang dikenakan atas kewajiban pensiun,

�̈� = anuitas hidup diskret awal yang dibayarkan mulai dari usia pensiun � tahun, dan

�̈�����������:�−�| = anuitas hidup diskret awal berjangka(� − �)tahun yang dibayarkan

5

Kewajiban Aktuaria

Kewajiban aktuaria atau actuarial liability (��) suatu program pensiun pada saat � adalah besarnya dana program pensiun yang seharusnya telah terkumpul pada saat � untuk pembayaran manfaat pensiun yang akan datang. Kewajiban aktuaria dapat dianalogikan dengan cadangan manfaat. Actuarial liability merupakan nilai dari present value of future benefit dikurangi dengan present value of future normal cost atau dituliskan menjadi

(��)_� = (����)_�−(�����)_� (2) dengan menggunakan metode PUC, dirumuskan sebagai berikut:

(��)_�= (� − �)

(� − �)����

�−� _� � �−� �̈�

sedangkan dengan metode EAN, dirumuskan sebagai berikut:

(��)_�= �_��_��−�_�−��_��̈_�−����

r-x = peluang seseorang yang berusia x tahun akan tetap hidup hingga usia

pensiun r tahun,

v_Lr-y = asumsi tingkat diskonto yang dikenakan atas kewajiban pensiun, dan

ä_x��������_:r-x� = anuitas hidup diskret awal berjangka (r-x) tahun yang dibayarkan mulai dari usia x.

KONSEP DASAR PERHITUNGAN MANFAAT-PASTI

Perhitungan aktuaria adalah langkah awal untuk mengetahui besarnya manfaat yang akan diterima oleh peserta program pensiun. Oleh karena itu, perhitungan aktuaria yang meliputi perhitungan iuran normal dan kewajiban aktuaria harus dihitung terlebih dahulu. Ada banyak metode yang dapat digunakan untuk perhitungan aktuaria. Metode perhitungan aktuaria yang digunakan dalam penelitian ini adalah metode Projected Unit Credit (PUC) dan Entry Age Normal (EAN). Konsep dasar yang digunakan dalam perhitungan pensiun manfaat-pasti antara lain:

Manfaat

6

investasi) selama periode pensiun (Aitken 1994). Manfaat pensiun pada program pensiun manfaat-pasti merupakan besaran yang telah ditetapkan di awal berdasarkan peraturan Dana Pensiun. Besaran tersebut akan menjadi dasar perhitungan aktuaria untuk menentukan iuran normal dan kewajiban aktuaria yang harus dibayarkan.

Present Value of Future Benefit

Present value of future benefit adalah nilai sekarang dari manfaat pensiun berkala yang akan diterima peserta program pensiun di masa yang akan datang. Besaran tersebut harus dapat memenuhi manfaat pensiun yang akan dibayarkan di masa datang. Nilai sekarang dari pembayaran manfaat pensiun secara berkala sebesar �_� yang dibayarkan di awal dari seseorang yang berusia x, masuk program pensiun saat berusia�, dan pensiun pada saat berusia r adalah (����)_�. Menurut Winklevoss (1993), secara matematis (����)_� dirumuskan sebagai berikut:

(����)_�= ������−��̈��−���, � ≤ � < �

���̈�, � ≥ �.

Bukti diperolehnya rumus tersebut yaitu (Irhamni 2011): 1. Dilihat sebelum usia� (� ≤ � < �).

Gambar 1 Diagram waktu untuk (PVFB)_x saat y≤x < r

Jika � adalah peubah acak yang menyatakan nilai sekarang dari anuitas diskret awal sebesar �_� yang baru dibayarkan setelah usia pensiun selama seorang peserta program pensiun masih hidup, dilihat pada usia � . Peubah acak

� menyatakan banyaknya tahun di masa mendatang yang akan dijalani oleh seseorang yang berusia �, sebelum meninggal (curtate future life table). Secara matematis � dapat dinyatakan sebagai berikut:

�=�_�0, �= 0,1,2,…,� − � −1

����−��̈�������������������+1−(�−�)|, � =� − �,� − �+1, …

7 �� = manfaat pensiun berkala yang dibayarkan kepada seorang peserta setelah

peserta tersebut pensiun pada usia �,

��

�−� = peluang seorang peserta berusia�tetap bertahan hidup sampai usia pensiun �,

�� = tingkat diskonto yang dikenakan atas kewajiban pensiun, dan

8

2. Dilihat setelah usia r (x≥r).

Gambar 2 Diagram waktu untuk (����)_�saat � ≥ � Secara matematis Z dapat dituliskan sebagai berikut:

� =�_��̈_�+�������1| , �= 0,1,2,…

Nilai harapan dari Z dinotasikan (����)_�, yang dapat dirumuskan sebagai berikut:

(����)_� = �(�)

= � �_��̈_�+1|

∞

�=0

Pr (� =�)

= � �_��̈_�+�������_1| ∞

�=0

��

� ��+�

=�_�� �̈_�+�������_1| ∞

�=0

��

� ��+�

=�_��̈_� (4) dengan�̈_� adalah anuitas seumur hidup di awal periode yang dibayarkan mulai dari usia �.

Jadi, dari persamaan (3) dan (4) maka dapat disimpulkan bahwa

(����)_�= ������−��̈��−���, � ≤ � < �

9

Present Value of Future Normal Cost

Present value of future normal cost adalah nilai sekarang dari iuran berkala yang dibayarkan peserta program pensiun. Present value of normal cost dari seseorang yang berusia� masuk program pensiun saat berusia�, dan pensiun pada saat berusia�dinotasikan dengan (�����)_�. Menurut Winklevoss (1993), secara matematis (�����)_� dirumuskan sebagai berikut:

(�����)_�= �(��)_��_��−�_�−��_�.

�−1

�=�

Bukti diperolehnya rumus tersebut yaitu (Irhamni 2011):

(�����)_�dapat dijelaskan melalui gambar berikut

1. Dilihat pada usia �.

Gambar 3 Diagram waktu untuk (PVFNC)_x untuk kasus meninggal sebelum usia pensiun r

Misal � adalah peubah acak yang menyatakan nilai sekarang dari iuran berkala seorang peserta pensiun usia� sebesar (��)_� yang diterima setiap awal periode berjangka (� − �) tahun. Peubah acak � menyatakan sisa usia diskret, maka secara matematis � dapat dituliskan sebagai berikut:

�=�(��)_�+��_��, � =0, 1, 2,… ,� − � −1.

�

�=0

(5)

2. Dilihat pada usia �.

10

Secara matematis,� dapat dituliskan sebagai berikut:

� = � (��)_�+��_�� , �= � − �,� − �+1 , …

�−�−1

�=0

(6)

Dari persamaan (5) dan (6) dapat disimpulkan bahwa Y adalah

�= Bagian pertama ruas kanan pada persamaan (7)

� ��(��)_�+��_��

Penjumlahan parsial (lihat Lampiran 1)

11

Bagian kedua ruas kanan dari persamaan (7)

12

Jadi, dari persamaan(8) dan (9) diperoleh

(�����)_�= − � (��)_�+��_��_�−��_�

Secara khusus, apabila dilihat dari usia masuk y, adalah

(�����)_� =�(��)_��_��−�_�−��_�

�−1

�=�

. (10)

Metode Projected Unit Credit

Metode Projected Unit Credit (PUC) merupakan metode pembebanan aktuaria berdasarkan Pernyataan Standar Akuntansi Keuangan (PSAK) Nomor 24 Revisi 2004. Metode ini adalah metode pembebanan aktuaria yang akan menekankan pendanaan pada suatu tahun tertentu t, atas manfaat pensiun yang menjadi hak peserta pada tahun t, yang menetapkan:

1. Manfaat pensiun dialokasikan ke dalam satuan unit manfaat tahunan (benefit accrual function) yang sama setiap tahun masa kerja.

2. Iuran normal (��) dari seorang peserta berusia � dan pensiun pada usia � didefinisikan sebagai nilai sekarang dari manfaat yang akan datang (����)_�

13 Bukti diperolehnya rumus tersebut yaitu:

Berdasarkan definisi iuran normal pada metode PUC dan persamaan (3), didapatkan 3. Menggunakan asumsi tingkat kenaikan gaji.

4. Manfaat pensiun peserta usia� dihitung dengan manfaat pensiun yang akan datang pada usia pensiun-normal� tahun, manfaat pada usia pensiun-normal ini dialokasikan secara merata untuk setiap tahun masa kerja (pro rated). Manfaat pensiun pada usia � didefinisikan sebagai berikut:

��=

(� − �)

(� − �)��

dengan� adalah usia pensiun-normal, � adalah usia saat valuasi,� adalah usia saat masuk kerja, dan �_� adalah manfaat yang akan diterima oleh peserta program pensiun setelah berusia � tahun.

5. Kewajiban aktuaria (��) didefinisikan sebagai nilai sekarang dari akumulasi manfaat pada masa kerja sebelum perhitungan. Kewajiban aktuaria dirumuskan dengan Bukti diperolehnya rumus tersebut yaitu:

Berdasarkan penjelasan pada point (4) dan (5) pada metode PUC, maka

(��)_�= (����)�

(� − �) (� − �).

Dari persamaan (3), maka persamaan diatas menjadi

(��)_�= ����

Konsep dasar metode Entry Age Normal (EAN) adalah nilai sekarang manfaat pensiun yang akan datang sama dengan nilai sekarang iuran normal yang akan datang pada titik usia masuk (usia�tahun). Besarnya manfaat yang akan diterima peserta setelah mencapai usia pensiun didasarkan pada:

1. Gaji peserta di masa datang

14

3. Gaji rata-rata peserta selama masa kerja

Iuran normal (��) diterima dari peserta dimulai dari usia masuk kerja, bukan usia masuk program pensiun. Iuran normal pada metode ini merupakan sejumlah uang yang besarnya sama setiap tahunnya, yaitu (��)Rt = (��) untuk semua t dan harus dapat mencukupi pembayaran manfaatdi masa datang. Besarnya iuran normal untuk seorang peserta program pensiun menggunakan metode EAN dirumuskan dengan

Bukti diperolehnya rumus tersebut, yaitu:

Pada prinsipnya, iuran normal digunakan untuk mencicil (����) setiap peserta, sehingga didapat hubungan antara (�����) dan (����), yaitu present value of normal contribution pada saat peserta berusia � harus sama dengan present value of future benefit peserta tersebut saat usia �. Hal tersebut merupakan konsep dasar pada metode EAN yang dapat dirumuskan sebagai berikut:

(�����)_� = (����)_�

karena manfaat pensiun adalah manfaat pensiun-normal dengan

(PVFB)_y = B_rv_Lr-yä_rr-yp_y , y≤ x≤ r (11)

15 Sedangkan Actuarial Liability (��) dirumuskan dengan

(��)_� =�_��_��−��̈_��−��_�−����

Bukti diperoleh rumus tersebut yaitu:

Berdasarkan persamaan (2), (3) dan (10), didapatkan

(��)_�= (����)_�−(�����)_�

�� = proyeksi manfaat pensiun,

��

�−� = peluang seseorang yang berusia y akan tetap hidup sampai usia pensiun�,

�� = asumsi tingkat diskonto yang dikenakan atas kewajiban pensiun,

�̈� = anuitas hidup diskret awal yang dibayarkan mulai dari usia pensiun �, dan

�̈_�����������:�−�|R = anuitas hidup diskret awal berjangka (� − �) tahun yang dibayarkan mulai dari usia masuk kerja �.

Perhitungan Iuran Normal dan Kewajiban Aktuaria dengan

Metode PUC dan EAN

Tabel Perhitungan

16

Contoh perhitungan

Seorang karyawan (pegawai negeri sipil golongan II A) berjenis kelamin laki-laki, mulai menjadi peserta program pensiun pada usia 19 tahun (� =19), terhitung pensiun pada usia 56 tahun (�= 56), dan gaji terakhir yang diterima selama setahun terakhir (�_�−1) sebesar Rp. 20569200,-. Perhitungan (valuasi) pada saat berusia 24 tahun dengan tingkat suku bunga sebesar 10% dan k sebesar 2.5% adalah

a. Berdasarkan persamaan (1), besar manfaat pensiun berdasarkan gaji terakhir adalah

�� =�(� − �)��−1

�56=2.5%(56−19)20569200

=19026510

Jadi, besarnya manfaat pensiun yang akan diterima pada saat pensiun dalam setahun sebesar Rp. 19026510.

b. Berdasarkan persamaan (3), perhitungan nilai sekarang manfaat pensiun adalah

(����)_� =�_��_��−��̈_��−��_�

Jadi, besarnya nilai sekarang manfaat pensiun pada saat berusia 24 tahun sebesar Rp. 814814.033,-

c. Perhitungan iuran normal 1) Metode PUC

17

Jadi, iuran normal yang harus dibayarkan selama setahun pada usia 24 tahun menggunakan metode EAN sebesar Rp. 47682.02932.

d. Perhitungan nilai akhir iuran normal 1) Metode PUC

Jadi, total nilai akhir iuran normal yang didapatkan dengan metode PUC adalah Rp. 16864065.114 selama masa kepesertaan.

18

=1462531.224+1330108.437+⋯+47682.030

=15800419.255

Jadi, total nilai akhir iuran normal yang didapatkan dengan metode EAN adalah Rp. 15800419.255 selama masa kepesertaan.

e) Perhitungan kewajiban aktuaria 1) Metode PUC

(��)_� =(� − �)

(� − �)����

�−�_�̈ ��−���

(��)_�= (� − �)

(� − �)(����)�

(��)24=

(24−19)

(56−19)(����)24 (��)24=

5

37(814814.033)

(��)₂₄= 110110.0045

Jadi, kewajiban aktuaria pada usia 24 tahun menggunakan metode PUC sebesar Rp. 110110.0045.

2) Metode EAN

(��)_� =�_��_��−��̈_��−��_�−����

�−�_�̈

��−���

�̈����������_�:�−�| �̈�:�−�|

����������

(��)₂₄ =�₅₆�_�56−24�̈_5656−24�₂₄−�56��

56−19_�̈

5656−19�19

�̈19�������������:56−19| �̈24:56−24|

�������������

(��)₂₄ = (����)₂₄−(��)₂₄�̈₂₄�������������_:56−24|

(��)24 = (814814.033)−(47682.02932)(10.36204772)

(��)₂₄ =320730.5698

Jadi, kewajiban aktuaria pada usia 24 tahun menggunakan metode EAN sebesar Rp. 320730.5698.

19 1. Iuran Normal (��).

Hasil perhitungan �� dilihat melalui grafik, hasilnya adalah:

Gambar 5 Grafik antara besar iuran normal (��) yang dihitung dengan metode Projected Unit Credit (PUC) dan Entry Age Normal

(EAN) pada tiap-tiap tahun

Grafik garis pada Gambar 5 menunjukkan hubungan antara besarnya iuran normal yang dihitung dengan dua metode berbeda. Perhitungan tersebut dilakukan pada tiap-tiap tahun kepesertaan. Grafik dengan garis berwarna biru merupakan iuran normal yang dihitung menggunakan metode PUC, sedangkan garis yang berwarna merah merupakan iuran normal yang dihitung menggunakan metode EAN. Dari gambar tersebut terlihat bahwa besarnya iuran normal yang dihitung dengan menggunakan metode PUC, sejak awal masa kepesertaan sampai mendekati pertengahan masa kepesertaan adalah lebih kecil dibandingkan dengan besar iuran normal yang dihitung menggunakan metode EAN. Setelah pertengahan masa kepesertaan, iuran normal yang didapat dari metode PUC lebih besar dan terus meningkat dibanding dengan iuran normal yang dihitung dengan metode EAN. Besarnya iuran normal yang dihitung menggunakan metode EAN (ditunjukkan dengan garis berwarna merah) adalah tetap setiap tahunnya. Secara analitik, hal tersebut terjadi karena pada rumus iuran normal metode EAN, besarnya iuran normal tidak terpengaruh oleh usia saat valuasi (perhitungan). Artinya, peserta harus membayar iuran normal yang lebih kecil dengan menggunakan PUC dibandingkan dengan menggunakan metode EAN sejak awal kepesertaan hingga pertengahan kepesertaan. Setelah itu, besarnya iuran normal yang harus dibayarkan peserta tiap tahunnya dengan menggunakan metode PUC terus meningkat sampai akhir masa kepesertaan untuk manfaat pensiun yang sama.

0 100000 200000 300000 400000 500000 600000

19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55

NC PUC

20

Untuk menentukan metode mana yang lebih baik diantara metode PUC dan EAN, maka dicarilah nilai akhir yang didapatkan dari kedua metode tersebut. Hasilnya adalah

Gambar 6 Grafik antara besar nilai akhir iuran normal yang dihitung menggunakan metode Projected Unit Credit (PUC) dan

Entry Age Normal (EAN) padatiap-tiap tahun

Grafik garis pada Gambar 6 menunjukkan hubungan antara nilai akhir yang dihitung menggunakan metode PUC dan EAN pada tiap-tiap tahunnya. Nilai akhir dihitung untuk melihat metode yang terbaik dari kedua metode tersebut untuk manfaat yang sama. Grafik dengan garis yang berwarna biru merupakan nilai akhir iuran normal yang dihitung menggunakan metode PUC. Nilai tersebut meningkat setiap tahunnya, namun tidak signifikan. Grafik dengan garis berwarna merah merupakan nilai akhir iuran normal yang dihitung menggunakan metode EAN.Nilai tersebut menurun setiap tahunnya. Pada awal hingga pertengahan periode kepesertaan, nilai akhir iuran normalnya lebih besar dibandingkan nilai akhir yang didapatkan dari metode PUC. Setelah pertengahan hingga akhir masa kepesertaan, nilai akhir iuran normal tersebut lebih kecil dibanding dengan nilai akhir yang didapatkan dari metode PUC. Total nilai akhir yang didapatkan dari metode PUC adalah 16864065.114, sedangkan yang didapatkan dari metode EAN adalah 15800419.255 (Selengkapnya disajikan pada Lampiran 3). Nilai akhir iuran normal yang didapatkan dari metode EAN lebih kecil dibandingkan dengan nilai akhir iuran normal yang didapatkan dari metode PUC untuk manfaat pensiun yang sama. Artinya, jumlah iuran normal yang harus dibayarkan oleh peserta dengan menggunakan metode EAN lebih sedikit dibandingkan dengan menggunakan metode PUC untuk manfaat pensiun yang sama. Oleh karena itu, metode EAN lebih baik dibandingkan dengan metode PUC.

21 2. Kewajiban Aktuaria(��)

Hasil perhitungan �� yang dilihat melalui grafik, hasilnya adalah:

Gambar 7 Grafik antara besar kewajiban aktuaria (��) yang dihitung dengan metode Projected Unit Credit (PUC) dan Entry Age Normal (EAN) pada tiap-tiap tahun

Grafik garis pada Gambar 7 menunjukkan hubungan antara besarnya kewajiban aktuaria pada tiap-tiap tahun yang dihitung dengan menggunakan dua metode yang berbeda. Grafik dengan garis yang berwarna biru merupakan besar kewajiban aktuaria yang didapat dengan metode PUC, sedangkan yang berwarna merah merupakan besarnya kewajiban aktuaria yang didapat dengan metode EAN. Dari gambar terlihat bahwa besarnya kewajiban aktuaria pada awal dan akhir kepesertaan adalah sama. Pada masa kepesertaan, besarnya kewajiban aktuaria yang didapat dengan menggunakan metode EAN lebih tinggi dibanding dengan menggunakan metode PUC setiap tahunnya. Artinya, perusahaan harus menyiapkan dana cadangan lebih besar setiap tahunnya jika menggunakan metode EAN dibandingkan dengan menggunakan metode PUC untuk manfaat pensiun yang sama.

SIMPULAN DAN SARAN

Simpulan

Iuran normal dan kewajiban aktuaria dihitung menggunakan metode PUC dan EAN. Pada tingkat bunga pengembalian investasi dan tingkat bunga atas kewajiban pensiun yang diasumsikan sama, maka nilai sekarang dari iuran normal yang akan datang sama dengan nilai sekarang dari manfaat pensiun yang akan datang. Dari hasil perhitungan, didapatkan bahwa iuran normal yang dihitung

0 2000000 4000000 6000000 8000000 10000000 12000000 14000000 16000000 18000000 20000000

19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55

AL PUC

22

dengan menggunakan metode EAN adalah konstan dibanding dengan iuran normal yang dihitung menggunakan metode PUC. Iuran normal yang dihitung menggunakan metode PUC besarnya meningkat setiap tahun dan setelah pertengahan tahun kepesertaan, nilainya lebih besar dari iuran normal yang didapat dengan metode EAN. Perhitungan nilai akhir iuran normal dibutuhkan untuk mengetahui metode manakah yang lebih baik dari kedua metode yang digunakan. Nilai akhir iuran normal yang didapatkan dengan menggunakan metode EAN lebih kecil dibandingkan dengan nilai akhir iuran normal yang didapatkan dengan metode PUC untuk manfaat pensiun yang sama. Oleh karena itu, metode EAN lebih baik dibandingkan dengan metode PUC dilihat dari sisi peserta.

Kewajiban aktuaria merupakan nilai sekarang dari manfaat pensiun yang akan datang dikurangi dengan nilai sekarang iuran normal yang akan datang. Besarnya kewajiban aktuaria yang dihitung menggunakan metode PUC lebih kecil dari besarnya kewajiban aktuaria yang dihitung menggunakan metode EAN. Artinya, cadangan manfaat yang harus disediakan perusahaan dengan metode PUC lebih kecil dibandingkan dengan metode EAN.

Saran

Asumsi yang digunakan pada penelitian ini belum sepenuhnya sesuai dengan kondisi yang sebenarnya. Pada kondisi yang sebenarnya, tingkat suku bunga atas kewajiban pensiun dan tingkat suku bunga pengembalian investasi tidak sama. Oleh karena itu, penelitian yang menggunakan perbedaan tingkat asumsi atas kewajiban pensiun dan tingkat suku bunga pengembalian investasi yang berbeda dapat dilakukan untuk menyempurnakan hasil yang didapat pada penelitian ini. Hal tersebut bertujuan untuk mendapatkan hasil yang lebih sesuai dengan kondisi sebenarnya. Di samping kesesuaian asumsi, perusahaan juga dapat memilih metode pandanaan pensiun lain yang lebih baik. Banyak metode pendanaan pensiun yang dapat digunakan. Perusahaan yang belum memiliki peraturan sendiri, aturan mengenai program pendanaan pensiun pada perusahaannya disesuaikan dengan undang-undang dana pensiun yang berlaku. Perusahaan yang memiliki aturan dana pensiun tersendiri, dapat memilih metode pendanaan pensiun yang lebih sesuai untuk diaplikasikan pada perusahaannya.

DAFTAR PUSTAKA

Aitken WH. 1994. A Problem Solving Approach to Pension Funding and Valuation. Ed ke-2. Winsted: ACTEX Publications.

Bowers NL, Gerber HU, Hickman JC, Jones DA, dan Nesbitt CJ. 1986. Actuarial Mathematics. Schaumburg (DE): The Society of Actuaries.

23 Irhamni F. 2011. Metode spreading gains and loses pada pendanaan program

pensiun manfaat-pasti [skripsi]. Depok (ID): Universitas Indonesia.

24

Lampiran 1 Penjumlahan parsial

∆[�(�)] =�(�+1)− �(�)

∆[�(�)�(�)] =�(�+1)�(�+1)− �(�)�(�)

=�(�+1)�(�+1)− �(�+1)�(�) +�(�+1)�(�)− �(�)�(�) =�(�+1)[�(�+1)− �(�)] +�(�)[�(�+1)− �(�)]

=�(�+1) ∆[�(�)] +�(�)∆[�(�)].

Kemudian, kedua ruas pada persamaan tersebut dijumlahkan dari 0 sampai � −1:

� ∆[�(�)�(�)] =�(�(�+1) ∆[�(�)] +�(�)∆[�(�)])

Ruas kiri pada persamaan (12) dapat dijabarkan sebagai berikut:

� ∆[�(�)�(�)] Substitusikan persamaan (12) ke persamaan (13):

�(�)�(�)|₀� =� �(�+1) ∆[�(�)] +� �(�)∆[�(�)]

Sehingga bentuk umum dari penjumlahan parsial adalah:

25 Lampiran 2 Tabel Mortalita Taspen 2012 (TMT 2012)

26

Lampiran 3 Perhitungan iuran normal dan kewajiban aktuaria menggunakan metode PUC dan EAN dengan �_� =�_� = 10%, � =2.5%,

dan �_�−1 =20569200.

� Usia _(�) TMT (�_�) �_� �_� �� �_�=���_� �_� =� �_�

�

�=�

�̈�=�_�� �

�� �−�

=��

��

��−� _(1+�)�−� _�̈

�:�−�|

����������=��− ��

��

0 19 0.00036884 0.99963116 1000 1 1000 10611.655 10.612 0.902 0.029 34.004 10.585

1 20 0.00040192 0.99959808 999.598 0.909 908.726 9611.655 10.577 0.902 0.032 30.913 10.548

2 21 0.00043797 0.99956203 999.160 0.826 825.752 8702.930 10.539 0.903 0.036 28.102 10.507

3 22 0.00047724 0.99952276 998.683 0.751 750.326 7877.177 10.498 0.903 0.039 25.548 10.463

4 23 0.00052004 0.99947996 998.164 0.683 681.760 7126.852 10.454 0.904 0.043 23.225 10.415

5 24 0.00056667 0.99943333 997.598 0.621 619.430 6445.092 10.405 0.904 0.047 21.114 10.362

6 25 0.00061748 0.99938252 996.982 0.564 562.771 5825.662 10.352 0.905 0.052 19.194 10.305

7 26 0.00067285 0.99932715 996.312 0.513 511.265 5262.891 10.294 0.905 0.057 17.449 10.242

8 27 0.00073318 0.99926682 995.581 0.467 464.446 4751.626 10.231 0.906 0.063 15.863 10.174

9 28 0.00079892 0.99920108 994.786 0.424 421.886 4287.180 10.162 0.907 0.069 14.421 10.099

10 29 0.00087055 0.99912945 993.920 0.386 383.199 3865.294 10.087 0.908 0.076 13.110 10.018

11 30 0.0009486 0.9990514 992.977 0.350 348.032 3482.095 10.005 0.908 0.084 11.918 9.929

12 31 0.00103364 0.99896636 991.951 0.319 316.066 3134.062 9.916 0.909 0.092 10.835 9.832

13 32 0.0011263 0.9988737 990.833 0.290 287.009 2817.996 9.818 0.910 0.102 9.850 9.726

14 33 0.00122727 0.99877273 989.617 0.263 260.597 2530.987 9.712 0.911 0.112 8.954 9.610

15 34 0.00133728 0.99866272 988.294 0.239 236.590 2270.390 9.596 0.913 0.123 8.140 9.484

16 35 0.00145714 0.99854286 986.854 0.218 214.768 2033.800 9.470 0.914 0.135 7.400 9.346

17 36 0.00158774 0.99841226 985.287 0.198 194.934 1819.032 9.332 0.915 0.149 6.727 9.195

27

� Usia _(�) TMT (�_�) �_� �_� �� ��

=���_� �� =� ��

�

�=�

�̈�

=��

��

�� �−�

=��

��

��−� _(1+�)�−� _�̈

�:�−�|

����������=��− ��

��

19 38 0.00188506 0.99811494 981.728 0.164 160.520 1447.192 9.016 0.919 0.180 5.560 8.850

20 39 0.00205398 0.99794602 979.712 0.149 145.628 1286.672 8.835 0.921 0.198 5.054 8.653

21 40 0.00223801 0.99776199 977.519 0.135 132.093 1141.044 8.638 0.923 0.218 4.595 8.437

22 41 0.0024385 0.9975615 975.136 0.123 119.791 1008.951 8.423 0.925 0.239 4.177 8.201

23 42 0.00265694 0.99734306 972.545 0.112 108.612 889.160 8.187 0.927 0.263 3.797 7.942

24 43 0.00289492 0.99710508 969.729 0.102 98.452 780.548 7.928 0.930 0.290 3.452 7.659

25 44 0.00315417 0.99684583 966.671 0.092 89.220 682.095 7.645 0.933 0.319 3.138 7.348

26 45 0.00343661 0.99656339 963.348 0.084 80.830 592.876 7.335 0.936 0.350 2.853 7.007

27 46 0.00374428 0.99625572 959.741 0.076 73.207 512.045 6.995 0.940 0.386 2.594 6.632

28 47 0.00407945 0.99592055 955.826 0.069 66.280 438.839 6.621 0.944 0.424 2.358 6.221

29 48 0.00444455 0.99555545 951.578 0.063 59.987 372.558 6.211 0.948 0.467 2.144 5.768

30 49 0.00484225 0.99515775 946.970 0.057 54.269 312.571 5.760 0.953 0.513 1.949 5.271

31 50 0.00527544 0.99472456 941.975 0.052 49.076 258.302 5.263 0.958 0.564 1.772 4.723

32 51 0.00574727 0.99425273 936.561 0.047 44.358 209.226 4.717 0.963 0.621 1.611 4.119

33 52 0.00626117 0.99373883 930.697 0.043 40.073 164.869 4.114 0.969 0.683 1.464 3.452

34 53 0.00682086 0.99317914 924.349 0.039 36.181 124.796 3.449 0.976 0.751 1.331 2.716

35 54 0.00743039 0.99256961 917.480 0.036 32.648 88.614 2.714 0.983 0.826 1.210 1.902

36 55 0.00809417 0.99190583 910.054 0.032 29.440 55.967 1.901 0.991 0.909 1.100 1

28

t Usia (�) (����)_� PUC(��)_� Nilai Akhir NC

PUC (��)�

EAN Nilai Akhir NC

EAN (��)�

PUC

(��)_�

EAN

0 19 504720.382 13641.091 418407.567 47682.030 1462531.224 0 0

1 20 555415.653 _{15011.234 418744.102 47682.030 1330108.437 15011.234 52471.322}

2 21 611224.916 16519.592 419111.138 47682.030 1209719.309 33039.185 110216.959

3 22 672668.432 _{18180.228 419511.458 47682.030 1100269.919 54540.684 173771.819}

4 23 740320.271 20008.656 419948.124 47682.030 1000765.819 80034.624 243725.981

5 24 814814.029 _{22022.001 420424.473 47682.030 910302.950 110110.004 320730.560}

6 25 896849.219 24239.168 420944.161 47682.030 828059.447 145435.008 405504.240

7 26 987198.377 _{26681.037 421511.198 47682.030 753288.165 186767.260 498840.541}

8 27 1086714.972 29370.675 422129.966 47682.030 685309.878 234965.399 601615.921

9 28 1196342.251 _{32333.574 422805.271 47682.030 623507.112 291002.169 714798.813}

10 29 1317123.098 35597.922 423542.380 47682.030 567318.527 355979.216 839459.719

11 30 1450211.078 _{39194.894 424347.069 47682.030 516233.815 431143.834 976782.500}

12 31 1596882.787 43158.994 425225.675 47682.030 469789.061 517907.931 1128077.008

13 32 1758551.723 _{47528.425 426185.159 47682.030 427562.528 617869.524 1294793.268}

14 33 1936783.852 52345.510 427233.177 47682.030 389170.825 732837.133 1478537.392

15 34 2133315.077 _{57657.164 428378.134 47682.030 354265.411 864857.464 1681089.451}

16 35 2350070.967 63515.432 429629.282 47682.030 322529.435 1016246.905 1904423.641

17 36 2589189.023 _{69978.082 430996.817 47682.030 293674.857 1189627.389 2150731.040}

29

t Usia (�) (����)_� (��)�

PUC _{Nilai Akhir NC} PUC

(��)_�

EAN _{Nilai Akhir NC} EAN

(��)_�

PUC

(��)_�

EAN

19 38 504720.382 84980.414 434127.139 47682.030 243586.285 1614627.857 2722271.686

20 39 555415.653 93670.853 435916.026 47682.030 221897.851 1873417.059 3053220.341

21 40 611224.916 _{103269.055 437873.764 47682.030 202177.795 2168650.164 3418643.567}

22 41 672668.432 113873.642 440017.111 47682.030 184247.283 2505220.121 3822278.783

23 42 740320.271 125594.704 442364.661 47682.030 167943.746 2888678.184 4268297.505

24 43 814814.029 _{138555.280 444937.047 47682.030 153119.401 3325326.731 4761361.248}

25 44 896849.219 152893.059 447757.197 47682.030 139639.904 3822326.480 5306685.795

26 45 987198.377 _{168762.335 450850.668 47682.030 127383.133 4387820.722 5910115.369}

27 46 1086714.972 186336.264 454245.948 47682.030 116238.076 5031079.132 6578207.791

28 47 1196342.251 _{205809.480 457974.897 47682.030 106103.824 5762665.441 7318333.579}

29 48 1317123.098 227401.124 462073.184 47682.030 96888.648 6594632.587 8138790.431

30 49 1450211.078 _{251358.376 466580.847 47682.030 88509.173 7540751.285 9048936.921}

31 50 1596882.787 277960.578 471542.916 47682.030 80889.612 8616777.922 10059348.335

32 51 1758551.723 _{307524.060 477010.172 47682.030 73961.086 9840769.912 11181999.371}

33 52 1936783.852 340407.817 483040.028 47682.030 67660.987 11233457.959 12430478.882

34 53 2133315.077 _{377020.201 489697.562 47682.030 61932.421 12818686.822 13820242.946}

35 54 2350070.967 417826.837 497056.770 47682.030 56723.680 14623939.297 15368914.502

36 55 2589189.023 _{463360.036 505202.054 47682.030 51987.780 16680961.284 17096639.290}

37 56 2853043.776 514230 514230 47682.030 47682.030 19026510 19026510

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Jakarta pada tanggal 3 Oktober 1991. Penulis merupakan anak pertama dari tiga bersaudara, putri dari pasangan Bapak Irwan Sani dan Ibu Ida Yunita. Pada tahun 2003, penulis menyelesaikan pendidikan sekolah dasar di SDN Mekar Jaya XXVII. Penulis menyelesaikan sekolah menengah pertama pada tahun 2006 di SMP Yaspen Tugu Ibu Depok. Kemudian penulis melanjutkan pendidikan sekolah menengah atas di SMAN 2 Depok dan lulus pada tahun 2009. Setelah lulus sekolah menengah atas, penulis melanjutkan pendidikan S1 di Departemen Matematika, Fakultas matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Pertanian Bogor melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB (USMI).