CHANGE POINT ANALYSIS
DENGAN PENDEKATAN
GENERALIZED PARETO DISTRIBUTION
MENGGUNAKAN ALGORITME REKURSIF
AGRA YURIANDANA
DEPARTEMEN STATISTIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Change Point Analysis
dengan Pendekatan Generalized Pareto Distribution Menggunakan Algoritme Rekursif adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor.
Bogor, Juli 2015
Agra Yuriandana
ABSTRAK
AGRA YURIANDANA. Change Point Analysis dengan Pendekatan Generalized Pareto Distribution Menggunakan Algoritme Rekursif. Dibimbing oleh AJI HAMIM WIGENA dan AAM ALAMUDI.
Indeks Harga Saham Gabungan (IHSG) dapat memperlihatkan sehatnya pasar keuangan di Indonesia. Dengan mempelajari pola fluktuasi pada IHSG investor dapat mempersiapkan diri apabila terjadi penurunan pada IHSG. Metode
Change Point Analysis (CPA) dengan pendekatan Genelalized Pareto Distribution dapat mendeteksi titik perubahan ekstrem, tetapi metode ini hanya dapat mendeteksi satu titik perubahan ekstrem. Untuk mendeteksi beberapa titik perubahan ekstrem, tahapan pada metode tersebut perlu diulang. Pengulangan dapat dilakukan dengan menggunakan algoritme rekursif atau iteratif. Penelitian ini membahas tentang metode CPA dengan pendekatan GPD untuk IHSG harian pada tahun 2014 dengan menggunakan algoritma rekursif dan algoritme iteratif. Hasil yang didapat dari kedua algoritma tersebut akan dibandingkan. Metode CPA dengan algoritme rekursif dan algoritme iteratif menghasilkan titik perubahan nilai ekstrem yang sama. Algoritme rekursif memiliki waktu eksekusi lebih lama, namun memiliki program yang lebih pendek dan lebih mudah dilihat dibandingkan algoritme iteratif.
Kata kunci: Algoritme Iteratif, Algoritme Rekursif, CPA, GPD
ABSTRACT
AGRA YURIANDANA. Change Point Analysis With Generalized Pareto Distribution Approach Using Recursive Algorithm. Supervised by AJI HAMIM WIGENA and AAM ALAMUDI.
Jakarta Composite Index (JCI) can be used as an indicator of financial markets in Indonesia. By studying the patterns of fluctuations in JCI we can analyse if JCI would decrease. Change Point Analysis (CPA) method with Generalized Pareto Distribution (GPD) approach can detect extreme points of change. However, this method can only detect a single extreme point of change. To be able to detect more than one extreme point changes, the step of the method needs to be repeated. To accomplish that, we need to modify the CPA program by using a recursive algorithm or iterative algorithms. This research discusses CPA with GPD approach for daily JCI in 2014 using recursive and iterative algorithms. The results of both algorithms are compared. CPA method with recursive and iterative algorithms generate the same extreme points of change. The Recursive algorithm required longer execution time than the iterative algorithm; however the first algorithm is shorter and simpler than the second algorithm.
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Statistika
pada
Departemen Statistika
CHANGE POINT ANALYSIS
DENGAN PENDEKATAN
GENERALIZED PARETO DISTRIBUTION
MENGGUNAKAN ALGORITME REKURSIF
AGRA YURIANDANA
DEPARTEMEN STATISTIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR
Judul Skripsi : Change Point Analysis dengan Pendekatan Generalized Pareto Distribution menggunakan Algoritme Rekursif
Nama : Agra Yuriandana NIM : G14110046
Disetujui oleh
Dr Ir Aji Hamim Wigena, MSc Pembimbing I
Ir Aam Alamudi, Msi Pembimbing II
Diketahui oleh
Dr Anang Kurnia MSi Ketua Departemen
PRAKATA
Segala puji bagi Allah SWT atas segala karunia dan nikmat yang telah diberikan-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Shalawat dan salam semoga selalu tercurahkan kepada Rasulullah Muhammad SAW beserta para keluarga, sahabat, serta pengikutnya yang setia sampai akhir zaman.
Terima kasih penulis ucapkan kepada Dr Ir Aji Wigena, MSc serta Ir Aam Alamudi Msi selaku pembimbing, serta Agus M. Soleh, SSi MT yang telah banyak memberi saran. Ungkapan terima kasih juga disampaikan kepada ibu, seluruh keluarga, serta seluruh teman atas segala dukungan dan doa sehingga penulis dapat menyelesaikan karya ilmiah ini.
Penulis menyadari bahwa tulisan ini jauh dari kata sempurna, oleh karena itu kritik yang membangun sangat diperlukan. Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi kita semua.
Bogor, Juli 2015
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL xi
DAFTAR GAMBAR xi
DAFTAR LAMPIRAN xi
PENDAHULUAN 8
Latar Belakang 8
Tujuan Penelitian 8
TINJAUAN PUSTAKA 2
Change Point Analysis 2
Generalized Extreme Value 3
Generalized Pareto Distribution 3
Algoritme Rekursif dan Iteratif 3
Saham 4
METODE 5
Data 5
Metode 5
HASIL DAN PEMBAHASAN 6
Eksplorasi Data 6
Fungsi Rekursif dan Iteratif 7
CPA Pada IHSG Harian Tahun 2014 8
CPA Pada IHSG Harian Bulan Januari Sampai Juni 2014 11 CPA Pada IHSG Harian Bulan Juli Sampai Desember 2014 12
Perbandingan 14
SIMPULAN 14
DAFTAR PUSTAKA 15
LAMPIRAN 16
DAFTAR TABEL
1 Hasil CPA Pada IHSG Periode 1 Januari – 31 Desember 2014 9 2 Waktu Eksekusi Hasil CPA Pada Data IHSG Periode 1 Januari – 31
Desember 2014 9
3 Hasil CPA Pada IHSG Periode 1 Januari – 30 Juni 2014 11 4 Waktu Eksekusi Hasil CPA Pada Data IHSG Periode 1 Januari – 30
Juni 2014 11
5 Hasil CPA Pada IHSG Periode 1 Juli – 31 Desember 2014 12 6 Waktu Eksekusi Hasil CPA Pada Data IHSG Periode 1 Juli – 31
Desember 2014 12
DAFTAR GAMBAR
1 Plot Deret Waktu IHSG Periode 1 Januari – 31 Desember 2014 6 2 Plot Deret Waktu IHSG Periode 1 Januari – 30 Juni 2014 (a) dan
Periode 1 Juli – 31 Desember 2014 (b) 6
3 Plot Statistik Uji (Zn) 9
4 Plot Deret Waktu IHSG Periode 1 Januari – 31 Desember 2014 serta
Titik Perubahannya 10
5 Plot Deret Waktu IHSG Periode 1 Januari – 30 Juni 2014 serta Titik
Perubahannya 12
6 Plot Deret Waktu IHSG Periode 1 Juli – 31 Desember 2014 serta Titik
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Saham merupakan salah satu instrumen pasar keuangan yang banyak dikenal oleh masyarakat. Instrumen ini banyak digunakan masyarakat untuk mencari keuntungan. Harga saham akan berfluktuasi seiring berjalannya waktu. Fluktuasi tersebut disebabkan oleh banyak faktor, salah satunya adalah penjualan dan pembelian oleh investor. Untuk mencegah kerugian, investor harus pandai memilih perusahaan penerbit saham serta memilih waktu yang tepat untuk menjual dan membeli saham. Indeks Harga Saham Gabungan (IHSG) merupakan indikator pergerakan harga saham di Bursa Efek Jakarta, indeks ini mencakup pergerakan harga seluruh saham biasa dan saham preferen yang tercatat di Bursa Efek Indonesia.
Perubahan nilai IHSG dapat memperlihatkan sehatnya pasar keuangan di Indonesia. Untuk melihat perubahan nilai tersebut, ada sebuah metode bernama Change Point Analysis (CPA). Pada tahun 2000 Taylor mengenalkan metode ini yang didasari diagram
cumulative sum (CUSUM). Metode CPA dengan CUSUM ini memperoleh perubahan nilai rata-rata. Metode ini diaplikasikan dalam penelitian Tua (2014). Tua (2014) menggunakan metode ini untuk memperoleh perubahan rata-rata data curah hujan harian, namun metode ini tidak dapat memperoleh titik perubahan ekstrem. Kelebihan penggunaan CPA dengan CUSUM adalah dapat mengetahui beberapa titik perubahan. Lalu pada tahun 2014 pula Prayogo melakukan penelitian menggunakan CPA pada data curah hujan dengan pendekatan Generalized Pareto Distribution (GPD). Metode CPA dengan pendekatan GPD dapat mendeteksi titik perubahan ekstrem. Sesuai dengan yang dikatakan oleh Dierckx dan Teugels (2010), “metode CPA dengan pendekatan GPD hanya mampu mendeteksi satu titik perubahan, sehingga jika terdapat banyak titik perubahan ekstrem pada gugus data tersebut, metode ini hanya akan mendeteksi satu perubahan yang paling besar.” Untuk mendeteksi semua titik perubahan pada suatu gugus data, dibutuhkan pengulangan dengan cara mengulang semua tahapan pada metode tersebut. Pengulangan tersebut dapat dilakukan dengan algoritme rekursif dan iteratif. Kedua algoritme tersebut memiliki kelebihan dan kekurangan masing-masing. Pada penelitian ini diterapkan algoritme rekursif dan iteratif pada metode CPA untuk IHSG harian tahun 2014.
Tujuan Penelitian
2
TINJAUAN PUSTAKA
Change Point Analysis
Change Point Analysis adalah metode untuk mengetahui saat suatu nilai mengalami perubahan. Pada tahun 2000, Taylor mengenalkan metode CPA ini. Perubahan yang dapat ditangkap oleh metode CPA ini adalah perubahan nilai rata-rata. CPA yang digunakan oleh Taylor menggunakan pendekatan Cumulative Summary (CUSUM). CUSUM digunakan untuk mendeteksi saat perubahan terjadi di suatu titik. Selain dengan CUSUM, pada penelitian Tua (2014) untuk mendeteksi titik perubahan digunakan penduga mean square error. Boostrap pula dilakukan untuk membantu pendeteksiaan titik perubahan tersebut.
Metode CPA untuk pendugaan nilai ekstrem dikenalkan oleh Dierckx dan Teugels (2010), yaitu CPA untuk nilai ekstrem dengan pendekatan GPD. CPA ini akan mendeteksi titik perubahan ekstrem, tidak seperti CPA dengan pendekatan CUSUM yang mendeteksi titik perubahan rata-rata. Pendeteksian titik perubahan ekstrem tersebut menggunakan statistik uji berbasis kemungkinan, jika �� ~ GPD dengan parameter ��= (��,σ�) maka hipotesisnya adalah:
�0:�1 =�2 = ⋯=�� (tidak terjadi perubahan)
�1:�1 =�� ≠ ��+1 =⋯= �� (terjadi perubahan pada saat m)
dengan statistik uji berikut (Csörgö dan Horváth 1997): �� = �1<�≤�max (−2 log��)
3
Generalized Extreme Value
Generalized extreme value distribution adalah sebaran peubah acak kontinu yang mengikuti teori nilai ekstrem. Ada 3 tipe sebaran nilai ekstrem yaitu Gumbel, Fréchet and Weibull atau biasa disebut tipe I, tipe II, dan tipe III. Pada permulaan aplikasi teori nilai ekstrim, biasanya digunakan salah satu dari ketiga tipe distribusi tersebut lalu diduga nilai parameternya. Menurut Coles (2001) saat ini analisis yang lebih baik dapat dihasilkan dari reformulasi ketiga tipe tersebut. Ketiga tipe tersebut digabungkan menjadi satu tipe yang memiliki sebaran sebagai berikut:
�(�) = exp�− �1 + � �� − � secara Generalized Extreme Value dan � adalah suatu nilai ambang batas, maka fungsi sebaran dari �=� − �, dengan �> � adalah:
dengan σ adalah parameter skala, ξ adalah parameter bentuk.
�(�) merupakan fungsi kumulatif dari GPD dengan y = x – u dan y > 0, �1 +��
��� >
0. Lalu dimisalkan � adalah banyaknya nilai amatan yang melebihi ambang batas �, maka �1, … ,�� akan memiliki fungsi kepekatan peluang GPD sebagai berikut :
Untuk menduga parameter dari GPD, dapat digunakan metode kemungkinan maksimum. Fungsi log kemungkinan dari �1, … ,�� adalah :
Algoritme Rekursif dan Iteratif
4
Bagian ini ditujukan untuk menghentikan proses rekursif, juga memberikan nilai pada fungsi tersebut. Bagian rekurens adalah tempat terjadinya proses rekursif. Pada bagian ini pengacuan terhadap fungsi itu sendiri terjadi.
Iterasi dapat diartikan sebagai suatu aksi yang berulang atau perulangan, namun perulangan dalam iterasi berbeda dengan rekursi. Perulangan pada iterasi dilakukan di dalam fungsi itu sendiri (Herlambang, 2008). Fungsi iterasi sangat identik dengan loop.
Fungsi ini memiliki ciri ada nilai variabel yang terus berubah selama proses iterasi.
Salah satu contoh program yang dapat dibuat dalam fungsi rekursif dan fungsi iteratif adalah binary search. Fungsi ini terdapat dalam buku Introduction to Algorithms oleh Cormen, et all (2009). Fungsi tersebut ditulis dalam pseudo-code, berikut adalah fungsi binary search secara rekursif dan iteratif.
TREE-SEARCH(x.k) 1 if x = = NIL or k == x.key 2 return x
3 if k < x.key
4 return TREE-SEARCH(x.left, k) 5 else return TREE-SEARCH(x.right, k)
ITERATIVE-TREE-SEARCH(x,k)
Fungsi TREE-SEARCH merupakan fungsi binary search secara rekursif, sementara fungsi iteratifnya dinamai dengan ITERATIVE-TREE-SEARCH. Seperti yang telah dijelaskan sebelumnya, fungsi rekursif akan memanggil dirinya sendiri, terlihat pada didalam fungsi SEARCH memanggil fungsi TREE-SEARCH kembali, pengembalian nilai pada fungsi ini terjadi pada baris kedua. Fungsi ITERATIVE-TREE-SEARCH(x,k) akan berjalan dengan perulangan (loop) while. Kedua fungsi tersebut menghasilkan hasil yang sama. Cormen (2009) juga menyebutkan bahwa pada kebanyakan komputer, versi iteratif akan lebih efisien dibandingkan dengan versi rekursif untuk suatu fungsi yang sama.
Saham
Saham adalah sebuah instrumen pasar keuangan yang diterbitkan oleh sebuah perusahaan. Penerbitan saham ini dapat membantu pendanaan perusahaan. Pada lain pihak, saham dapat memberikan keuntungan pada pemegangnya (investor). Menurut Bursa Efek Indonesia, “Saham dapat didefinisikan sebagai tanda penyertaan modal seseorang atau pihak (badan usaha) dalam suatu perusahaan atau perseroan terbatas. Dengan menyertakan modal tersebut, maka pihak tersebut memiliki klaim atas pendapatan perusahaan, klaim atas aset perusahaan, dan berhak hadir dalam Rapat Umum Pemegang Saham (RUPS).”
Ada dua keuntungan saat investor membeli saham yaitu dividen dan capital gain. Dividen merupakan pembagian keuntungan oleh perusahaan yang terlebih dahulu harus disetujui dalam rapat umum pemegang saham. Untuk mendapatkan dividen, investor harus memegang saham dalam kurun waktu yang relatif lama. Keuntungan investor dari menjual dan membeli saham adalah capital gain. Saat investor membeli harga saham lebih rendah dari harga saat ia menjualnya, maka ia akan mendapatkan capital gain sebanyak selisih tersebut.
Selain keuntungan investor pun dapat mengalami kerugian. Ada dua kerugian yang dapat dialami investor yaitu capital loss dan risiko likuidasi.
5
harga belinya. Hal ini dapat terjadi saat harga saham mengalami tren turun, sehingga investor harus menjualnya sebelum harga saham tersebut menjadi lebih rendah lagi. Kerugian lain yang dapat dialami investor adalah risiko liquiditas, yaitu saat perusahaan dinyatakan bangkrut oleh pengadilan, investor pemegang sahamlah yang paling terahir mendapat hak klaim kerugian.
Perubahan nilai ekstrem pada saham akan menentukan tindakan yang harus dilakukan oleh investor, apakah investor harus membeli sejumlah saham, atau menjual sejumlah saham. Misal, jika nilai harga saham tiba-tiba naik, maka harga saham yang telah dibeli investor akan lebih rendah daripada harga saham saat ini, tentunya untuk keuntungan jangka pendek investor dapat menjual sejumlah sahamnya. Sebaliknya, jika harga saham tiba-tiba turun, maka harga saham akan lebih rendah dibanding sebelumnya. Untuk keuntungan jangka pendek, investor dapat membeli saham selagi harganya lebih murah. Kenaikan dan penurunan saham tersebut terjadi karena beberapa hal, antara lain kondisi ekonomi, politik, atau terjadinya suatu bencana alam pada suatu daerah. Oleh sebab itu, investor harus dapat melihat hal-hal tersebut.
METODE
Data
Data yang digunakan pada penelitian ini adalah data Indeks Harga Saham Gabungan periode 1 Januari – 31 Desember 2014 (tidak termasuk hari libur). Sumber data ini berasal dari Yahoo Finance dan dapat diunduh pada: http://finance.yahoo.com/
Metode
Penelitian ini menggunakan perangkat lunak R untuk melakukan Change Point Analysis (CPA). Langkah – langkah dalam penelitian ini adalah:
1. eksplorasi data IHSG harian tahun 2014 menggunakan diagram deret waktu 2. menentukan ambang batas dengan persentil 90%
3. mengambil amatan yang lebih dari ambang batas (�(1), … ,�(�))
4. melakukan CPA untuk Nilai Ekstrem mengikuti langkah-langkah berikut: a. menghitung nilai �(1), … ,�(�), yaitu mengurangi nilai �(1), … ,�(�) dengan
nilai ambang batas
b. menduga parameter ���dan �̂� berdasarkan �1, … ,��; k adalah banyaknya amatan yang melebihi nilai ambang batas
c. menghitung nilai �������
i. menarik simpulan dari hipotesis
6
HASIL DAN PEMBAHASAN
Eksplorasi Data
Sebelum dilakukan analisis data menggunakan Change Point Analysis
(CPA), terlebih dahulu dilakukan eksplorasi data. Eksplorasi data yang digunakan adalah dengan menggunakan plot deret waktu.
Gambar 1 Plot Deret Waktu IHSG Periode 1 Januari – 31 Desember 2014
Pada Gambar 1 terlihat bahwa data IHSG periode 1 Januari – 31 Desember 2014 memiliki trend naik. Rataan data IHSG harian pada tahun 2014 akhir jauh lebih tinggi daripada pada tahun 2014 awal. Perbedaan ini memungkinkan adanya perubahan titik ekstrem pada data IHSG harian pada tahun 2014 awal yang tidak terdeteksi. Oleh sebab itu, data IHSG tersebut dibagi dua menjai periode 1 Januari – 30 Juni 2014 dan periode 1 Juli – 31 Desember 2014.
(a) (b)
Gambar 2 Plot Deret Waktu IHSG Harian Periode 1 Januari – 30 Juni 2014 (a). dan Periode 1 Juli – 31 Desember 2014 (b)
7
90% dari data yang dipakai. Pada data IHSG harian periode 1 Januari – 31 Desember 2014 ambang batas yang digunakan adalah 5172.288 sementara pada data periode 1 Januari – 30 Juni 2014 dipakai ambang batas sebesar 4934.525 dan pada data perode 1 Juli – 31 Desember 2014 digunakan ambang batas sebesar 5198.366. Ambang batas yang digunakan pada data periode 1 Juli – 31 Desember 2014 lebih besar dibandingkan pada periode 1 Januari – 31 Desember 2014 maupun pada periode 1 Januari – 30 Juni 2014, hal ini disebabkan data yang digunakan pada bulan Juli sampai Desember secara keseluruhan memiliki nilai yang lebih tinggi dibanding data pada bulan Januari sampai Desember, sementara pada data 1 tahun nilai kuantil tersebut tertarik kebawah karena adanya data dengan nilai rendah yaitu data dari bulan Januari sampai Juni. Penentuan kuantil yang berbeda tersebut menentukan hasil analisis metode CPA.
Fungsi Rekursif dan Iteratif
Setelah melakukan eksplorasi data, dilanjutkan dengan analisis menggunakan CPA. Pada penelitian sebelumnya oleh Prayogo (2014) telah dibuat sebuah fungsi dalam program R untuk melakukan CPA. Namun fungsi ini hanya dapat menentukan satu titik perubahan ekstrem seperti yang dikatakan oleh Dierckx dan Teugels (2010). Perlu adanya modifikasi pada fungsi yang telah dibuat oleh Prayogo (2014) untuk membuat fungsi tersebut dapat mendeteksi semua titik perubahan ekstrem pada satu set data. Fungsi yang telah dibuat oleh Prayogo (2014) akan menjadi fungsi utama untuk fungsi yang dibuat pada penelitian ini.
Secara umum fungsi yang dibuat mengikuti logika sebagai berikut. Pertama, buatlah vektor m yang akan diisi oleh indeks titik perubahan nilai ekstrem. Lalu tentukan selang batas bawah (a) dan batas atas (b) sebagai tempat dilakukannya CPA, nilai a awal adalah 1 sementara b awal bernilai sama dengan banyaknya data (n) selanjutnya lakukan perulangan dengan syarat:
1. jika ditemukan perubahan nilai ekstrem pada titik m, maka a = a dan b = nilai m paling kecil yang lebih besar dari a
2. jika ditemukan perubahan nilai ekstrem pada titik a, maka a = a + 1 dan b = nilai m paling kecil yang lebih besar dari a
3. jika tidak ditemukan perubahan nilai ekstrem, maka a = nilai b dari proses rekursif sebelumnya dan b = nilai m paling kecil yang lebih besar dari a
4. jika tidak ditemukan perubahan nilai ekstrem, sementara nilai m paling kecil yang lebih besar dari b pada proses rekursif sebelumnya tidak ada; maka a = nilai b dari proses rekursif sebelumnya dan b = n
8
Selain fungsi iteratif, dapat pula dibuat fungsi rekursif dengan mengacu pada fungsi yang telah dibuat oleh Prayogo (2014) sebagai berikut:
DTR <- function (x,u,i,j) { m<-DT(x[i:j],u)
if (j>i && !is.null(m)) {
p<- c(i-1+m,DTR(x,u,i,i+m-1), DTR(x,u,i+m,j)) } else { p<- NULL }
P }
Dengan sedikit modifikasi, fungsi DT yang telah dibuat oleh Prayogo (2014) diacu dalam fungsi rekursif DTR, x merupakan data yang digunakan, u adalah nilai ambang batas, i adalah batas bawah (a), sedangkan j adalah nilai batas atas (b). Fungsi iteratif dan fungsi rekursif diatas menghasilkan titik-titik perubahan ekstrem, namun terlihat bahwa fungsi iteratif memiliki baris lebih panjang dibandingkan fungsi rekursif. Setelah selesai membuat fungsi iteratif dan fungsi rekursif, maka analisis dapat dilakukan.
CPA Pada IHSG Harian Tahun 2014
9
ekstrem. Namun, nilai Zn tertinggi pada ulangan pertama belum tentu akan menjadi nilai Zn tertinggi dibandingkan dengan nilai Zn tertinggi pada ulangan-ulangan setelahnya. Walau pun titik perubahan ekstrem yang pertama kali terdeteksi memiliki arti titik tersebut mengalami perubahan terbesar, akan tetapi nilai Zn dari titik tersebut belum tentu nilai Zn tertinggi dibandingkan dengan nilai Zn pada titik perubahan ekstrem yang lain.
Gambar 3 Plot Statistik Uji (Zn)
Pada CPA untuk data IHSG Periode 1 Januari – 31 Desember 2014 dengan nilai ambang batas 5172.288, hasil CPA terdapat pada Tabel 1, dengan waktu eksekusi pada Tabel 2.
Tabel 1 Hasil CPA Pada IHSG Periode 1 Januari – 31 Desember 2014 Titik Perubahan
(Hari ke) Tanggal Nilai
Nilai Sebelum
Nilai
Sesudah Zn 162 04/09/2014 5205.32 5224.13 5217.33 11.74397 156 27/08/2014 5165.25 5146.55 5184.48 13.29458 174 22/09/2014 5219.8 5227.58 5188.11 6.578243 170 16/09/2014 5130.5 5144.9 5188.18 3.730053 227 04/12/2014 5177.16 5166.04 5187.99 4.646202 177 25/09/2014 5201.38 5174.01 5132.56 6.545606
Tabel 2 Waktu Eksekusi Hasil CPA Pada IHSG Periode 1 Januari – 31 Desember 2014
Fungsi User System Elapsed
Rekursif 226.68 1.65 229.11 Iteratif 223.89 1.22 226.04
10
tertinggi dibanding nilai sebelum dan sesudahnya. Misal pada tanggal 27 Agustus 2014, nilai yang terdeteksi adalah 5165.25 sementara nilai sebelumnya 5146.55 dan nilai sesudahnya 5184.48, lalu pada tanggal 16 September 2014 nilai yang terdeteksi adalah 5130.5 justru lebih rendah dibanding nilai sebelum dan sesudahnya yaitu 5144.9 dan 5188.18. Hal ini disebabkan oleh sifat metode CPA yang mendeteksi perubahan nilai ekstrem maksimum, bukan melihat nilai ekstrem maksimum berada.
Gambar 4 Plot Deret Waktu IHSG Periode 1 Januari – 31 Desember 2014 serta
Titik Perubahannya
Gambar 4 memperlihatkan plot deret waktu IHSG periode 1 Januari – 31 Desember 2014 dengan titik perubahan hasil CPA. Titik perubahan ekstrem maksimum terdeteksi bukan hanya pada nilai ekstrem maksimum lokal seperti penjelasan sebelumnya. Terdapat enam titik yang terdeteksi sebagai titik perubahan ekstrem maksimum, tetapi dari keenam titik tersebut lima diantaranya berdekatan sementara satu yang lainnya berada di ujung kanan. Hal tersebut dimungkinkan karena pada data dari titik (hari) ke-143 sampai 183 memiliki perubahan nilai tiap titik yang cukup besar, banyak dari nilai tersebut memiliki nilai yang besar dan melebihi ambang batas, sehingga perubahan nilai ekstrem maksimum banyak terdeteksi pada selang tersebut.
11
ekstrem pada IHSG. Sebagai contoh pada tanggal 27 Agustus 2014 Xiaomi, salah satu perusahaan ponsel China akan meluncurkan smartphone di Indonesia. Dengan peluncuran tersebut investor akan banyak berinvestasi di Indonesia, sehingga IHSG akan naik. Pada tanggal 4 September 2014 terjadi konferensi tingkat tinggi NATO di Newport, Wales, United Kingdom. Konferensi ini tentunya akan berpengaruh secara tidak langsung bagi saham di Indonesia, salah satunya adalah IHSG. Dapat terlihat, pengaruh dari konferensi tersebut adalah IHSG yang semakin naik. Pada tanggal 4 Desember dolar menguat karena ekonomi Amerika yang semakin membaik. Penguatan dolar tersebut berdampak pada menguatnya IHSG namun kembali turun pada keesokan harinya.
CPA Pada IHSG Harian Bulan Januari Sampai Juni 2014
Pada CPA untuk data IHSG Periode 1 Januari – 30 Juni 2014 dengan nilai ambang batas 4934.525 yang merupakan nilai ambang batas terkecil, hasil CPA terdapat pada Tabel 3, dengan waktu eksekusi pada Tabel 4.
Tabel 3 Hasil CPA Pada IHSG Periode 1 Januari – 30 Juni 2014 Titik Perubahan 104 06/06/2014 4937.18 4935.56 4885.08 1.864671
Tabel 4 Waktu Eksekusi CPA Pada IHSG Periode 1 Januari – 30 Juni 2014 Fungsi User System Elapsed
Rekursif 18.51 0.15 18.68 Iteratif 18.45 0.09 18.58
Tabel 3 terdapat tiga titik perubahan yang terdeteksi, yaitu pada titik ke-95, 98, 104. Hasil tersebut sama baik menggunakan algoritme rekursif maupun algoritme iteratif. Perbedaan yang terjadi hanya pada waktu eksekusi, algoritme iteratif memiliki elapsed time sedikit lebih cepat dibanding algoritme rekursif. Pada nilai yang terdeteksi memiliki perubahan ekstrem maksimum, nilai-nilai tersebut belum tentu adalah nilai-nilai yang tertinggi dibanding nilai-nilai sebelum dan sesudahnya. Misal pada tanggal 22 Mei 2014, nilai yang terdeteksi adalah 4969.88 sementara nilai sebelumnya 4910.29 dan nilai sesudahnya 4973.06. Alasan terjadinya hal tersebut telah dikemukakan sebelumnya. Hal ini disebabkan oleh sifat metode CPA yang akan mendeteksi perubahan nilai ekstrem maksimum, bukan melihat nilai ekstrem maksimum berada. Hasil yang didapat dapat dilihat pada gambar 5.
12
pada data seperti terlihat pada gambar 5, CPA mendeteksi perubahan pada ujung kanan data.
Gambar 5 Plot Deret Waktu IHSG Harian Periode 1 Januari – 30 Juni 2014 serta Titik Perubahannya
CPA Pada IHSG Harian Bulan Juli Sampai Desember 2014
Pada CPA untuk data IHSG Periode 1 Juli – 31 Desember 2014 dengan nilai ambang batas 5198.366 yang merupakan nilai ambang batas terbesar, hasil CPA terdapat pada Tabel 5, dengan waktu eksekusi pada Tabel 6.
Tabel 5 Hasil CPA Pada IHSG Periode 1 Juli – 31 Desember 2014 Titik Perubahan
(Hari ke) Tanggal Nilai
Nilai Sebelum
Nilai
Sesudah Zn 177 25/09/2014 5201.38 5174.01 5132.56 6.436087 159 01/09/2014 5177.62 5136.86 5201.59 5.495856 162 04/09/2014 5205.32 5224.13 5217.33 2.997312 165 09/09/2014 5197.12 5246.48 5142.99 2.625767
Tabel 6 Waktu Eksekusi CPA Pada IHSG Periode 1 Juli – 31 Desember 2014 Method User System Elapsed
13
Tabel 5, terdapat empat titik perubahan yang terdeteksi, yaitu pada titik ke-159, 162, 165, 177. Hasil yang didapat tersebut sama baik menggunakan algoritme rekursif maupun algoritme iteratif. Perbedaan yang terjadi hanya pada waktu eksekusi, terlihat bahwa algoritme iteratif memiliki elapsed time sedikit lebih cepat dibanding algoritme rekursif. Pada nilai-nilai yang terdeteksi memiliki perubahan ekstrem maksimum, nilai-nilai tersebut belum tentu adalah nilai yang tertinggi dibanding nilai sebelum dan sesudahnya. Misal pada tanggal 1 September 2014, nilai yang terdeteksi adalah 5177.62 sementara nilai sebelumnya 5136.86 dan nilai sesudahnya 5201.59. Alasan terjadinya hal tersebut telah dikemukakan sebelumnya. Hal ini disebabkan oleh sifat metode CPA yang mendeteksi perubahan nilai ekstrem maksimum, bukan melihat nilai ekstrem maksimum berada. Hasil yang didapat dapat dilihat pada gambar 6.
Gambar 6 Plot Deret Waktu IHSG Periode 1 Juli – 31 Desember 2014 serta Titik Perubahannya
14
Perbandingan
Dari ketiga CPA yang telah dilakukan, dapat dilihat beberapa persamaan dan perbedaan. Pada CPA untuk IHSG Periode 1 Januari – 31 Desember 2014, terdapat 6 titik perubahan yang terdeteksi, yaitu pada titik ke-156, 162, 170, 174, 177, 227. Pada CPA untuk IHSG Periode 1 Januari – 30 Juni 2014 titik perubahan yang terdeteksi adalah pada titik ke-95, 98, 104. Pada CPA untuk IHSG Periode 1 Juli – 31 Desember 2014 titik perubahan yang terdeteksi adalah pada titik ke-159, 162, 165, 177. Beberapa titik perubahan terdeteksi sama, yaitu pada titik 162 dan 177, namun ada pula titik yang tidak terdeteksi sebelum data dibagi menjadi dua bagian. Setelah data IHSG harian tahun 2014 dibagi dua, yaitu menjadi awal tahun dan akhir tahun, terlihat CPA dapat mendeteksi beberapa titik perubahan pada awal tahun yaitu padatitik ke-95, 98, 104. Ini disebabkan oleh ambang batas yang telah tertarik. Pada CPA untuk IHSG harian tahun 2014 ambang batas yang digunakan terlalu tinggi, oleh karena itu titik perubahan pada awal tahun 2014 tidak dapat terdeteksi. Ambang batas sangat mempengaruhi hasil CPA, sehingga dibutuhkan pemilihan ambang batas yang tepat. Membagi data pula dapat dilakukan agar titik perubahan yang sebelumnya tidak terdeteksi, dapat terdeteksi.
Perbedaan juga terjadi pada waktu eksekusi antara algoritme rekursif dan algoritme iteratif. Rosen (2012) menyatakan bahwa algoritme rekursif membutuhkan komputasi yang jauh lebih banyak dibandingkan algoritme iteratif. Terkadang prosedur rekursif lebih banyak disukai untuk digunakan walaupun kurang efisien dibandingkan prosedur iteratif. Hal tersebut sesuai dengan hasil penelitian ini yang memperlihatkan bahwa waktu eksekusi algoritme iteratif lebih singkat dibandingkan algoritme rekursif. Hal ini terjadi karena algoritme rekursif membutuhkan waktu untuk memanggil dirinya sendiri dan mengembalikan nilai yang didapat. Stack terjadi setiap fungsi rekursif dipanggil, pemanggilan kembali
stack tersebut dibutuhkan untuk mengembalikan nilai, oleh sebab itu algoritma rekursif lebih lambat dibandingkan algoritma iteratif. Selain itu, algoritme rekursif akan menggunakan lebih banyak memori dan tentunya membuat proses berjalan lebih lambat. Beberapa fungsi tidak disarankan ditulis dalam algoritme rekursif. Walaupun mempunyai kelemahan, algoritme rekursif mempunyai keunggulan dengan fungsinya yang terlihat lebih elegan dan lebih mudah dibaca. Tetapi, untuk membuat fungsi yang elegan membutuhkan proses berfikir yang lebih agar fungsi yang dibuat lebih mudah dibaca namun tidak mengurangi isi dan kegunaan dari fungsi tersebut.
SIMPULAN
15
22 Mei, 28 Mei, dan 6 Juni 2014. Pada data IHSG Periode 1 Juli – 31 Desember 2014 terdeteksi 4 titik perubahan ekstrem, yaitu pada tanggal 1 September, 4 September, 9 September, 25 September 2014. Hal tersebut dapat terjadi karena perbedaan ambang batas yang digunakan pada tiap data. Semakin tinggi ambang batas yang digunakan, maka semakin sulit pula menemukan titik perubahan nilai ekstrem. Pendeteksian perubahan nilai ekstrem maksimum menggunakan algoritme rekursif maupun algoritme iteratif tetap sama. Perbedaan hanya terjadi pada waktu eksekusi, yaitu algoritme rekursif memiliki waktu eksekusi lebih lama dibandingkan dengan algoritme iteratif. Perbedaan ini disebabkan algoritme rekursif membutuhkan waktu dan memori lebih untuk memanggil fungsi itu sendiri, juga ia membutuhkan waktu untuk melakukan pengembalian nilai. Kelebihan algoritme rekursif adalah tampilannya yang lebih elegan dan mudah dibaca dibandingkan algoritme iteratif. Tentunya untuk membuat program dengan algoritme rekursif membutuhkan pemikiran yang lebih karena harus membuat program dengan ringkas tanpa mengurangi isi / kemampuan dari program tersebut.
DAFTAR PUSTAKA
Coles S. 2001. An Introduction to Statistical Modelling of Extreme Values. London (EN): Springer.
Cormen, et al. 2009. Introduction to Algorithms. The MIT Press: London, England.
Csörgö M, Horváth L. 1997. Limit Theorems in Change-Point Analysis. Chichester (EN): J Wiley.
Dierckx G, Teugels JL. 2010. Change Point Analysis of Extreme Values. Environmetrics. 21(7-8): 661–686
Herlambang S. 2008. Implementasi Fungsi Rekursif Dalam Algoritma dan Perbandingannya dengan Fungsi Iteratif. Tersedia pada: http://informatika.stei.itb.ac.id/~rinaldi.munir/Matdis/2008-2009/Makalah2008 /Makalah0809-079.pdf
Prayogo G. 2014. Change Point Analysis Untuk Nilai Ekstrim Dengan Pendekatan Sebaran Pareto Terampat. [Skripsi]. Bogor (ID): Departemen Statistika, Institut Pertanian Bogor (IPB)
Rosen KH. 2012. Discrete Mathematics and Its Applications. The McGraw-Hill Companies, Inc.: New York, USA.
Saham. 2010. [diakses 2015, Januari] Tersedia pada: http://www.idx.co.id/id-id/beranda/produkdanlayanan/saham.aspx
Taylor WA. 2000. Change-Point Analysis A Powerful New Tool For Detecting Changes. [Internet]. Tersedia pada: http://www.variation.com/cpa/tech/ changepoint.html# ChangePoint%20Analysis
16
Lampiran 1 Fungsi DT oleh Prayogo (2014) DT<-function(data,u){
n<-length(data) Zn<-rep(0,n)
E<-ifelse(data>u,data-u,0) library(in2extRemes)
parm<-fevd(data, threshold = u, threshold.fun = ~1, location.fun = ~1, scale.fun = ~1, shape.fun = ~1, type = "GP", method = "MLE")
17
parm1<-fevd(data[1:m], threshold = u,
threshold.fun = ~1, location.fun = ~1, scale.fun = ~1, shape.fun = ~1, type = "GP", method = "MLE") parm2<-fevd(data[(m+1):n], threshold = u,
18
RIWAYAT HIDUP
Penulis lahir di Surabaya pada tanggal 10 Agustus 1993 dari ibu bernama Yuni Ernawati sebagai anak pertama dari dua bersaudara. Penulis lulus dari SMA Negeri 1 Karawang pada tahun 2011 dan melanjutkan pendidikan ke Institut Pertanian Bogor pada tahun yang sama melalui jalur Seleksi Nasional Masuk Perguruan Tinggi Negeri (SNMPTN) Undangan. Penulis menempuh pendidikan sarjana di Departemen Statistika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam dengan minor Ekonomi Studi Pembangunan.
Selama menempuh pendidikan di Institut Pertanian Bogor penulis aktif dalam berbagai kegiatan maupun organisasi. Penulis mengikuti kepanitiaan Statistika Ria 2012 sebagai anggota divisi desain, dekorasi, dan dokumentasi (D3), juga mengikuti kepanitiaan acara the 13th Islamic Countries Conference for Statistical Science (the 13th ICCS) sebagai anggota divisi LO. Penulis pula aktif di himpunan profesi Gamma Sigma Beta (GSB) sebagai anggota lembaga struktural Beta Club pada tahun 2012 sampai 2013. Penulis pernah menjadi asisten mata kuliah komputasi statistika. Penulis melakukan kegiatan praktik lapang pada PT. SAS Institute.
