REPRESENTASI OPERATOR HILBERT SCHMIDT PADA RUANG TERINTEGRAL LEBESGUE

(1)

ABSTRAK

REPRESENTASI OPERATOR HILBERT SCHMIDT PADA RUANG TERINTEGRAL LEBESGUE

Oleh

Ma’rufah Hayati MT

Operator Hilbert-Schmidt merupakan operator terbatas pada ruang Hilbert. yaitu suatu ruang perkalian dalam yang lengkap yaitu (setiap barisan Cauchy-nya konvergen). Penelitian ini bertujuan untuk mencari representasi operator Hilber-Schmidt pada ruang terintegral Lebesgue. Dari hasil penelitian, diperoleh kesimpulan bahwa representasi operator Hilbert-Schmidt pada ruang terintegral Lebesgue dengan mengubah domain fungsi Hilbetr menjadi � ∈ ℒ [ , ], operator k didefinisikan �: ℒ [ , ] → ℒ [ , ]

�� = ∫ � �, � � � ��

dan ℒ [ , ] = {�| ∫|�| �� <∞} dimana ‖�‖ = ∫|�| �� , k dikatakan operator Hilbert Schmidt jika dan hanya jika

(2)

I. PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Salah satu cabang ilmu dalam matematika adalah analisis fungsional. Dalam analisis fungsional ada banyak topik yang mengacu pada ruang, misal ruang hilbert,dalam ruang

hilbert ada beberapa konsep dasar yang perlu diketahui terlebih dahulu yaitu ruang vektor,ruang metrik, ruang bernorma, ruang banach, dan ruang pre-Hilbert. Ruang

bernorma merupakan ruang vektor yang dilengkapi dengan suatu norma. Ruang bernorma yang sudah lazim dibicarakan yaitu ruang bernorma yang dilengkapi inner product (hasil kali dalam). Ruang hasil kali dalam yang bersifat lengkap disebut sebagai ruang Hilbert ℋ. Lengkap disini berarti setiap barisan Cauchy-nya konvergen.

Pembicaraan di dalam analisis fungsional ini tidak terlepas dari teori operator, Operator yang dimaksud yaitu operator linier.

Teori operator muncul setelah dikenal adanya ruang vektor (ruang linier). Operator linier

merupakan fungsi linier dari ruang linier ke ruang linier. Jenis operator yang banyak dikaji saat ini antara lain operator Hilbert-Schmidt.

Operator Hilbert-Schmidt merupakan operator terbatas pada ruang Hilbert, yaitu suatu ruang perkalian dalam yang lengkap yaitu (setiap barisan Cauchy-nya konvergen). Operator ini banyak diterapkan ilmu fisika terutama yang berkaitan dengan mekanika

(3)

mempelajari lebih mendalam mengenai materi tentangng representasi operator

Hilbert-Schmidt pada ruang terintegral Lebesgue tersebut sebagai bahan skripsi atau tugas akhir.

1.2 Tujuan Penelitian

Tujuan dari penelitian ini adalah

1. Menguraikan sifat- sifat dasar operator Hilbert Schmidt. 2. Mempelajari operator Hilbert-Schmidt.

3. Menyelidiki sifat- sifat dasar operator Hilbert Schmidt.

4. Mencari representasi operator ruang Hilbert Schmidt di ruang terintegral Lebesgue

1.3 Manfaat Penelitian

Manfaat dari penelitian ini adalah

1. Memahami lebih mendalam mengenai konsep operator pada ruang Hilbert.

2. Memberikan ide penelitian lain terkait operator linier. 3. Memahami konsep dasar integral Lebesgue.

(4)

(5)

II. LANDASAN TEORI

Pada bab ini akan diberikan beberapa konsep dasar (pengertian) yang akan digunakan dalam

pembahasan penelitian

2.1 Ruang Vektor

Definisi 3.1.1 (Darmawijaya, 2007)

Diketahui , + grup komutatif dan ℱ, ⨁, . lapangan dengan elemen identitas 1. disebut

ruang vektor (vector space) atas ℱ jika ada operasi luar * antara keduanya sehingga untuk setiap ∈ dan ∈ ℱ menentukan dengan tunggal ∈ yang memenuhi sifat – sifat :

(i) + = + ,

(ii) ⨁ = + ,

(iii) . = ,

(iv) = ,

untuk setiap , ∈ dan , ∈ ℱ.

2.2 Ruang Vektor Bagian dan Bebas Linear

(6)

Diketahui ruang vektor atas lapangan ℱ dan ⊂ . Jika himpunan terhadap operasi –

operasi yang sama dengan operasi – operasi di bagian juga merupakan ruang vektor atas ℱ,

maka disebut ruang vektor bagian (vector sub-space) dari .

Teorema 2.2.2 (Darmawijaya, 2007)

Juga merupakan ruang vektor bagian yang memuat dan � sebagai ruang vektor bagiannya.

(7)

Diberikan ruang vektor atas lapangan ℱ. Jika , , … ∈ , maka = [ , , … , ]

merupakan ruang vektor bagian .

Teorema 2.2.7 (Darmawijaya, 2007

Jika ruang vektor atas lapangan ℱ dan ⊂ , maka [ ] merupakan ruang vektor bagian .

Lebih lanjut, [ ] merupakan ruang vektor terkecil yang memuat M.

jika dan hanya jika terdapat � dengan � sehingga vektor merupakan kombinasi linier − vektor – vektor lainnya.

Akibat 2..2.10 (Darmawijaya, 2007)

Diberikan ruang vektor atas lapangan ℱ. Vektor – vektor , , … , ∈ bebas linier jika

dan hanya jika untuk setiap �, � .

Vektor bukan merupakan kombinasi linier − vektor – vektor lainnya.

(8)

Diketahui ruang vektor atas lapangan ℱ. Vektor – vektor , , … , bebas linier jika dan hanya jika setiap persamaan

∑ = ∑

= =

berakibat = untuk setiap �.

2.3 Basis dan Dimensi

Ruang vektor dikatakan terbangkitkan secara hingga(finitely generated) jika ada vektor –

vektor , , … , ∈ sehinggga = [ , , … , ]. Dalam keadaan seperti itu, { , , … , } disebut pembangkit (generator) ruang vektor .

Diberikan ruang vektor . Himpunan ℬ ⊂ dikatakan bebas linier jika setiap himpunan bagian

hingga di dalam B bebas linier.

Diberikan ruang vektor atas lapangan ℱ. Himpunan ℬ ⊂ disebut basis (base)

jika ℬ bebas linier dan = [ℬ].

(9)

Ruang vektor terbangkitkan secara hingga jika dan hanya jika mempunyai

basis hingga.

Diketahui ruang vektor dan ℬ ⊂ basis. Banyaknya anggota ℬ disebut dimensi ruang vektor

,ditulis dim . Jika banyaknya anggota ℬ hingga maka dikatakan berdimensi hingga dan

jika banyaknya anggota ℬ tak hingga maka dikatakan berdimensi tak hingga.

Jika ruang vektor berdimensi , maka setiap + vektor di dalam tak bebas linier.

Akibat 2.3.7 (Darmawijaya, 2007)

Jika { , , … , } dan { , , … , } masing – masing basis untuk ruang vektor , maka =

.

2.4 Fungsi Linear

Fungsi dari suatu ruang vektor ke ruang vektor lain yang banyak digunakan dan mudah dalam

memahaminya adalah fungsi linear, yaitu fungsi yang bersifat aditif dan homogen.

(10)

(i) fungsi aditif (additive)

Fungsi : → merupakan fungsi linear jika dan hanya jika untuk sebarang skalar , dan

(11)

Diketahui dan , masing – masing ruang vektor dan ⊂ generator untuk . Jika : →

masing – masing merupakan ruang bagian di dalam . Selanjutnya, himpunan disebut ruang

nol (null space) fungsi .

Diketahui dan , masing – masing ruang vektor.Jika berdimensi dan : →

merupakan fungsi linear, maka dim .

Diketahui dan , masing – masing ruang vektor. Jika Jika berdimensi dan : →

(12)

� + � =

2.5 Operator Linear

Definisi 2.5.1 (Amanto, 2008)

Suatu pemetaan dengan daerah asal � dan daerah hasil ℜ adalah

suatu operator linear jika memenuhi:

1. � dan ℜ berada pada ruang vektor atas lapangan yang sama;

2. Untuk semua , ∈ � dan skalar berlaku + = + dan =

.

2.6 Fungsi Linear dan Matriks

Jika merupakan ruang vektor real (kompleks) berdimensi n, maka isomorfis dengan ℛ � , yaitu terdapat fungsi linear dan bijektif dari ke ℛ � .

Akibat 2.6.2 (Darmawijaya, 2007)

Jika dan , masing – masing ruang vektor (atas lapangan yang sama), dim dim ,

dan fungsi : → linear dan injektif, maka isomorfis dengan = .

(13)

= = : → . Dalam hal ini, fungsi tersebut dinamakan isomorfisma ruang vektor (vector space

isomorphism) antara dan .

Jika , dan masing – masing adalah ruang vektor – ruang vektor atas lapangan yang sama,

maka pernyataan – pernyataan di bawah ini benar :

(i) Untuk setiap ∈ ℒ , dan ∈ ℒ , , maka ∈ ℒ , .

(ii) ℒ , merupakan ruang vektor.

(iii) ℒ = ℒ , merupakan aljabar assosiatif yang mempunyai elemen satuan.

(14)

(N3) ‖ + ‖ ‖ ‖ + ‖ ‖, untuk setiap , ∈ �,

Disebut norma (norm) pada � dan bilangan nonnegatif ‖ ‖ disebut norma vektor . Ruang linear � yang dilengkapi dengan suatu norma ‖. ‖ disebut ruang bernorma (norma space) dan

dituliskan singkat dengan �, ‖. ‖ atau � saja asalkan normanya telah diketahui.

2.8 Ruang Banach

Ruang Banach (Banach Space) adalah ruang bernorma yang lengkap (sebagai ruang metrik yang

lengkap)

2.9 Ruang Hilbert

Ruang Hilbert (Hilbert Space) adalah ruang pre-Hilbert yang lengkap

(15)

Untuk setiap , , ∈ ℋ dan skalar , dan

(I4) , > 0 jika dan hanya jika ≠ �,

disebut inner-product atau dot product, atau scalar product pada ℋ.

(ii) Ruang linier ℋ yang dilengkapi dengan suatu inner-product disebut ruang pre-Hilbert (pre-Hilbert space) atau ruang inner-product (inner-product space)

Di bawah ini akan diberikan contoh - contoh Ruang Hilbert :

1. Ruang linier � dan ℛ masing-masing merupakan ruang pre-Hilbert terhadap

inner-Karena ̅_� = _� (komponen-komponen anggota ℛ merupakan bilangan real).

2. Contoh yang lebih umum dari pada contoh 1 adalah ruang linier ℓ . ℓ merupakan ruang

(16)

, = ∫ ̅ �

untuk setiap , ∈ C[a, b]. C[a, b] dapat dianggap sebagai koleksi semua fungsi kontinu

bernilai bilangan kompleks. Jadi, ∈ C[a, b] jika dan hanya jika = + � dengan

dan masing-masing fungsi kontinu pada [a, b] bernilai bilangan real. Mudah dipahami

bahwa jika = + � ∈ C[a, b] maka ̅ = − � ∈ C[a, b]

2.10 Basis Orthonormal

(i) Basis ortogonal (ortogonal basis) di dalam ruang pre-Hilbert adalah basis yang setiap dua

vektornya saling tegak lurus.

(ii) Basis ortonormal (orthonormal basis) di dalam suatu ruang pre-Hilbert adalah basis

ortogonal dan setiap anggotanya merupakan vektor satuan (normanya sama dengan 1).

Diketahui ruang Hilbert ℋ mempunyai basis orthonormal { }. Diperoleh pernyataan ∈ ℋ

jika dan hanya jika ada { } ∈ ℓ sehingga

= ∑ ∞

(17)

(18)

Diketahui ℋ, � dan masing – masing ruang Hilbert. Jika ∈ ℒ ℋ, � dan ∈ ℒ �,

Diketahui M dan N berturut-turut merupakan ruang bagian yang tertutup di dalam ruang Hilbert ℋ �� . Untuk setiap ∈ ℒ ℋ, � diperoleh ⊂ jika dan hanya jika ⊥ ⊂ ⊥.

2. Operator uniter (unitary operator) jika = = �;

(19)

4. Operator proyeksi (projection operator) jika = dan = ;

5. Operator normal (normal operator) jika = .

2.11 Ruang ukuran

Jika Ω adalah himpunan tak kosong, koleksi semua himpunannya disebut himpunan kuasa (

power set) dan biasa dituliskan dengan P(Ω) atau 2Ω

Definisi 2.12.1 ( Darmawijaya, 2007)

(a). Jika Ω≠ θ, koleksi semua � ⊂ 2Ω disebut aljabar-σ himpunan pada Ω jika memenuhi sifat:

1. θ∈ �

2. A∈ � Ac_{∈ �}

3. {An }⊂� ⋃∞₌ ∈ �

(b). jika � aljabar-σ himpunan pada Ω , maka setiap anggota � disebut himpunan terukur dan

(Ω, �) pasangan berurut Ω dengan � disebut ruang ukuran

(c). jika (Ω, �) ruang terukur , fungsi μ : �→̅ disebut ukuran pada (Ω, � ) jika μ memenuhi

sifat- sifat berikut:

1. μ(A) ≥ 0 untuk setiap A∈ �

2. μ(Ø) = 0

(20)

(d). Ruang terukur (Ω, �) yang dilengkapi dengan suatu ukuran μ padanya disebut ruang

ukuran dan ditulis dengan (Ω, �,μ)

Diberikan Ω≠Ø, fungsi μ*_{: 2}Ω_→̅ _{disebut ukuran luar pada Ω jika fungsi tersebut mempunyai}

sifat :

(a). μ*(A) ≥ 0 untuk setiap A _∈ Ωdan μ*_{(Ø) = 0}

(b). μ*(A)≤μ*_{(B) unuk setiap A,B}_∈ Ω_{dengan A}_⊆

(c). μ*₍_⋃∞

= ) ≤ ∑∞= Untuk setiap { An} ⊂ 2Ω

Jika μ*_{ukuran luar pada himpunan Ω≠Ø, maka E}_{⊂ Ω}_{dikatakan terukur}_–_μ* _jika

μ*_{(A)= μ}*_(A _{� +} _�

untuk setiap A ⊂Ω

Definisi 2.12.4 (Darmawijaya , 2007)

Jika (Ω, �) ruang ukuran dan E ∈ �, maka fungsi f : Ω →̅ dikatakan terukur pada E jika salah

satu pernyataan (i),(ii),(iii) atau (iv) terpenuhi:

(i). {x:x ∈& f(x) < α} ∈� E

(21)

(iii). {x:x ∈& f(x) > α} ∈� E

(iv). {x:x ∈ & f(x) α} ∈� E

Untuk setiap α ∈ R

2.12. Integral Lebesgue

Pada tahun 1902 Lebesgue, seorang matematikawan Perancis mencermati

adanya fungsi yang tidak terintegral Riemann yaitu fungsi yang nilainya 0 dan 1. Selanjutnya Lebesgue menyusun teori ukuran yang terkenal dengan ukuran

Lebesgue. Lebesgue menyusun teori integral baru yang merupakan perluasan dari integral Riemann karena jika fungsi f terintegral Riemann pada [a, b] maka fungsi

f juga terintegral Lebesgue pada [a, b].

Definisi 3.13.1 (Darmawijaya. 2007)

Diketahui (Ω, �,μ ruang ukuran lengkap dan hingga − σ. jika : Ω → R

(berbentuk kanonik):

= ∑ ��

=

dan � Є�, bilangan

(22)

disebut nilai integral – / integral Lebesgue umum fungsi sederhana μ pada �.

Jika bilangan

| _� � | < ∞

(23)

III. METODOLOGI PENELITIAN

3.1 Waktu dan Tempat Penelitian

Penelitian ini dilakukan di Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu

Pengetahuan Alam Universitas Lampung, pada semester genap tahun ajaran 2011/2012.

3.2 Metode Penelitian

Langkah – langkah yang digunakan dalam penelitian ini adalah

1. Mengumpulkan referensi berupa junal buku-buku, literature dari internet dan

perpustakaan yang berhubungan dengan penelitian ini.

2. Menjabarkan definisi, teorema, dan sifat yang berhubungan dengan penelitian.

3. Menguraikan konsep ruang Hilbert, ruang bernorm,ruang banach, operator

Hilbert-Schmid dan konsep dasar integral Lebesgue.

4. Mencari contoh representasi operator Hilbert-Schmidt pada ruang terintegral

(24)

V. KESIMPULAN DAN SARAN

5.1 Kesimpulan

Representasi operator Hilbert-Schmidt pada ruang terintegral Lebesgue dengan mengubah

domain fungsi Hilbetr menjadi � ∈ ℒ [ , ], operator K didefinisikan �: ℒ [ , ] → ℒ [ , ]

�� = ∫ � �, � � � ��

dan ℒ [ , ] = {�| ∫|�| �� <∞} dimana ‖�‖ = ∫|�| �� , K dikatakan operator

Hilbert Schmidt jika dan hanya jika

{∫ |�� | } <∞

5.2 Saran

Disini peneliti menyarankan kepada para peneliti yang akan datang untuk mengembangkan

(25)

(Skripsi)

Oleh

MA’RUFAH HAYATI MT 0817031032

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG

(26)

MOTTO

Barang Siapa menempuh suatu perjalanan untuk mencari ilmu

pengetahuan, maka Allah akan memudahkan padanya jalan menuju surga

( HR, Muslim)

ALLAH menganugerahkan al-hikmah (ilmu yang berguna) kepada

siapa yang dia kehendaki. Dan barang siapa yang dianugerahkan hikmah itu, ia

benar-benar telah dianugerahi karunia yang banyak dan hanya orang-orang yang

berakallah yang dapat mengambil pelajaran ( QS AL-Baqarah:260)

Kemajuan yang engkau dapatkan bukanlah terukur dengan

keberhasilanmu memperbaiki segala apa yang terjadi dan berlalu tetapi

kemajuan ditentukan oleh bagaimana merengkuh segala apa yang belum

terjadi dan akan datang

Setiap sesuatu itu pasti ada jalanya dan jalan menuju segala surga

(27)

Oleh

MA’RUFAH HAYATI MT

0817031032

Skripsi

Sebagai Salah Satu Syarat untuk Mencapai Gelar SARJANA SAINS

Pada

Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

JURUSAN MATEMATIKA

(28)

BANDAR LAMPUNG 2012

Judul Skripsi : REPRESENTASI OPERATOR HILBERT SCHMIDT PADA RUANG TERINTEGRAL LEBESGUE

Nama Mahasiswa : Ma’rufah Hayati MT

Nomor Pokok Mahasiswa : 0817031032

Jurusan : Matematika

Fakultas : Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

MENYETUJUI

1. Komisi Pembimbing

Dr. Muslim Ansori, S.Si., M.Si Amanto,S.Si., M.Si.

NIP 19631108 198902 2 001 NIP 19730314 200012 1 002

2. Mengetahui

Ketua Jurusan Matematika Ketua Program Studi Matematika

(29)

MENGESAHKAN

1. Tim Pembimbing

Ketua : Dr. Muslim Ansori, S.Si., M.Si ..………

Sekretaris : Amanto, M.Si. ………

Penguji

Bukan Pembimbing : Dra. Dorrah Aziz, M.Si. ………

2. Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Prof. Suharso, Ph.D

(30)

(31)

PERSEMBAHAN

Setulus hatiku kupersembahkan karya sederhana sebagai rasa syukurku kepada Allah

SWT dan orang-orang yang aku cintai

Tiada kata terindah yang pantas kuucapkan, selain kata syukur pada ALLAH

SWT yang telah memberikan begitu banyak nikmat, rahmat, hidayah dan

karunianya sehingga skripsi ini dapat terselesaikan.

kepada Ibunda (Roziyah) dan ayahanda (M Taslim Aziz) tercinta, sebagai motivasi terbesarku dalam

menyelesaikan studyku ,

yang membuat aku berani menatap kehidupan ini dengan do’a, kasih

sayang, perhatian, keikhlasan, bimbingan, didikan, pengorbanan, karena merekalah aku memiliki kekuatan.

Dan terima kasih atas segalanya yang telah diberikan tak akan pernah bisa membalasnya dengan materi, aku

ingin membalasnya dengan menjadi anak yang berbakti.

Adik-adiku Rahma, Fahrudin, Halimah, Yusuf, Hidayah, Fikri, Nasrul, Amrul

terimakasih atas do’a semangat, perhatian, pengertian, dan bantuanya , Gaya terima kasih atas dorongan dan

semangat yang kau berikan pada ku. Teman- teman Exotic matematika angkatan 2008,terimak kasih atas

(32)

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Labuhan Maringgai, Lampung Timur pada tanggal 15 Juli 1990, anak pertama dari sembilan bersaudara, dari pasangan Bapak M Taslim Aziz dan Ibu Roziyah.

Pendidikan TK di TK Aisyiah Bustanul Atfal Labuhan Maringgai diselesaikan pada thun 1996, kemudian dilanjutkan ke Sekolah Dasar di SD Negeri 5 Labuhan Maringgai kemudian waktu duduk di kelas 3 pindah ke Madrasah Ibtidaiyah Nurul Iman Muara Gading Mas dan

diselesaikan pada tahun 2002, Sekolah Menengah Tingkat Pertama (SMP) di SMP Islam Nurul Iman Muara Gading Mas, pada tahun 2005, dan Madrasah Aliyah Negri (MAN) di MAN 1

Metro Batang Hari Lampung Timur diselesaikan pada tahun 2008.

Pada tahun 2008 penulis terdaftar sebagai mahasiswa Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Lampung melalui jalur SNMPTN. Selama menjadi mahasiwa penulis pernah

menjadi mengikuti organisasi diantaranya Rois FMIPA Unila, Natural FMIPA Unila, Himatika FMIPA Unila. Pada tahun 2012 penulis melaksanakan kerja praktik di Kantor Pelayanan Pajak

(33)

SANWACANA

Puji syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT yang telah memberikan rahmat dan ridho-Nya

sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. Tak lupa shalawat serta salam selalu tercurah kepada baginda Nabi Muhammad SAW. Skripsi dengan judul “Representasi Operator Hilbert Schmidt Pada Ruang Terintegral Lebesgue” adalah salah satu syarat untuk memperoleh gelar sarjana sains matematika di Universitas Lampung

Dalam proses penyusunan skripsi ini, banyak pihak yang telah membantu dalam memberikan

bimbingan, dukungan serta saran demi terwujudnya skripsi ini. Untuk itu penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada :

1. Bapak Dr. Muslim Ansori, M.Si., selaku dosen pembimbing utama yang telah

meluangkan waktu diantara kesibukannya untuk membimbing serta mengarahkan, sehingga skripsi ini dapat terselesaikan.

2. Bapak Amanto, M.Si., selaku dosen pembimbing pembantu yang telah banyak membantu dan memberikan pengarahan dalam proses penyusunan skripsi ini.

3. Ibu Dorrah Aziz, M.Si., selaku penguji bukan pembimbing dan juga selaku Ketua Program Studi Matematika Jurusan atas saran dan kritik yang diberikan

untuk masukkan bagi skripsi ini

4. Ibu Wamiliana, Ph.D., selaku dosen pembimbing akademik yang Telah

membimbing penulis selama mengikuti perkuliahan di Jurusan Matematika FMIPA Universitas

(34)

5. Bapak Tiryono Ruby, M.Sc.Ph.D., selaku Ketua Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung.

6. Bapak Prof. Suharso, Ph.D., selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung.

7. Dosen, staf dan karyawan Jurusan Matematika FMIPA UNILA yang telah memberikan ilmu pengetahuan dan bantuan kepada penulis.

8. Kedua orang tua dan adik-adikku tercinta atas doa, nasihat, dukungan dan

semangatnya selama ini.

9. Gaya yang selalu memberikan semangatnya.

10. Isna, Tika, Anike, Ivip, Bundo, Mami, Wiwid, Anggun, Achi, Ida, Mia, Septi, Mila, Tiyas,Nurul dan para teman- teman Jurusan Matematika sekalian khususnya angkatan 2008 atas bantuan dan rasa kekeluargaan yang telah

diberikan selama ini atas dukungan,bantuan dan saran yang telah diberikan. 12. Semua pihak yang telah membantu selama ini, yang tidak dapat disebutkan

satu persatu.

Bandar Lampung, Mei 2012

Penulis