Bahan Ajar Kalk Integral

BAHAN AJAR KALKULUS INTEGRAL Oleh: ENDANG LISTYANI

PERSAMAAN DIFERENSIAL

Masalah:

Tentukanlah persamaan suatu

kurva y= f(x) yang melalui titik

(1,3) dan kemiringan garis

PERSAMAAN DIFERENSIAL

Penyelesaian

 Misalkan persamaantersebut y = f(x)

 Kemiringan garis singgung kurva di (x,y)

 Akan dicari suatu fungsi y=f(x) yang memenuhi persamaan

dengan syarat y=3 jika x=1

x dx

dy

4



x dx

dy

xdx

dy

x

dx

dy

4

4







C

x

y

C

x

C

y



₁



2

2



₂





2

2



C

 2.12

3 maka (1,3),

titik melalui

Kurva

dimaksud

yang

kurva

persamaan

Jadi

1

2x

y



2





dy





4

xdx

1



PERSAMAAN DIFERENSIAL

 Sebarang persamaan dengan yang tidak

diketahui berupa suatu fungsi dan

melibatkan turunan atau diferensial dari fungsi yang tidak diketahui tersebut

 Menyelesaikan suatu persamaan

Persamaan Diferensial

 Contoh

0





xy

dx

dy

y

x

dx

dy

Solusi

 5.2

18) Diket: a =

Ditanyakan v(2) dan S(2) Jawab:

10 ,

0 ,

) 1

(  t  4 v₀  S_o 

    

 

 dv adt v t t  C

dt dv

a (1 ) 3

3 1 )

(

3 1 )

0 1

( 3 1 0

) 0

(     3 C  C 

v

3 1 )

1 ( 3 1 )

(t   t  3 

Solusi

det

/

81

26

)

2

(

3

1

)

2

1

(

3

1

)

2

(

3

v

cm

v















dt t

S d vdt

dS dt

dS

v ]

3 1 )

1 ( 3 1

[ 3





   

 



PENDAHULUAN LUAS

Luas menurut persegipanjang-persegipanjang dalam

Misalkan Daerah R dibatasi kurva

sumbu-x dan garis x = 2. Akan dicari luas daerah R

Dibuat partisi pada [0,2] menjadi n selang bagian, dengan panjang selang bagian

2

x y 

PENDAHULUAN LUAS

Luas menurut persegipanjang-persegipanjang dalam

n x

x n x

x

x₀ 0, ₁  2 , ₂ 2. 2. 2

n x

x₃ 3. 3. 2

n i x

i

5.2 no 25

PENDAHULUAN LUAS

PENDAHULUAN LUAS

Luas menurut persegipanjang-persegipanjang dalam

)

(

x

_i1

f

1



i

PENDAHULUAN LUAS

Luas menurut persegipanjang-persegipanjang dalam

Luas daerah R dapat dihitung sbb

x x

f x

x f x

x f

L_R  ( ₀)  ( ₁) ... ( _n1)





x

x

f

(

_i

)

2

3 2

2 2 _. 2 8 _i

n n

n i x

x_{i }

  

   

  

PENDAHULUAN LUAS

Luas menurut persegipanjang-persegipanjang dalam

2 3 2 3 2 3 2

3 ( 1)

8 ... ) 2 ( 8 ) 1 ( 8 ) 0 ( 8       n n n n n L_R ] ) 1 ( ... 2 1 [

8 _{2 2 2}

3    

 n n

]

6

)

1

2

(

)

1

(

[

8

3







n

n

n

n

PENDAHULUAN LUAS

Luas menurut persegipanjang-persegipanjang dalam

2

3

4

4

3

8

n

n

L

_R







   

 

 



  

 3 2

4 4

3 8 lim lim

n n

L

n R

n

3

8

PENDAHULUAN LUAS

Luas menurut persegipanjang-persegipanjang luar

PENDAHULUAN LUAS

Luas menurut persegipanjang-persegipanjang luar

)

(

x

_i

f

1



i

PENDAHULUAN LUAS

Luas menurut persegipanjang-persegipanjang luar

x

x

f

x

x

f

x

x

f

L

_R



(

₁

)





(

₂

)





...



(

_n

)



2 3

2 3

2 3

2

3 ( )

8 ...

) 3 ( 8 )

2 ( 8 )

1 ( 8

n n

n n

n

L_R     

] ...

2 1

[

8 _{2 2 2}

3 n

n   

PENDAHULUAN LUAS

Luas menurut persegipanjang-persegipanjang luar

] 6 ) 1 2 )( 1 ( [ 8 3  

 n n n

n L_R ] 1 3 2 [ 6 8 2 n n

L_R   

INTEGRAL TENTU

Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang [a,b]

Dibuat persegi panjang dengan lebar dan tinggi

dan pada selang , seperti pada gambar berikut:

i

x



f (xi*)

*

i

x

[

x

_{i 1}

,

x

_i

]

* 1

x

x

₂*

INTEGRAL TENTU

Dibentuk pejumlahan

disebut jumlah Riemann

i n

i i

n

n x f x x

x f x

x f x

x

f       





1

* *

2 *

2 1

*

1 ) ( ) ... ( ) ( )

(

P i

n

i i

R x

x

f  



1

*₎

INTEGRAL TENTU

DEFINISI INTEGRAL TENTU

Misalkan f suatu fungsi terdefinisi pada selang [a,b]. Jika

maka dikatakan f terintegralkan di [a,b] Selanjutnya

disebut integral tentu atau integral Riemann f dari a ke b

ada x

x f

n

i

i i

P 



_1 

* 0 ( )

lim



b

a

dx

x

f

(

)







 

n

i i i

P ₁

f

x

x

*

0

(

)

lim

terpanjang bagian

selang panjang

Contoh Integral tentu dengan

definisi

Hitunglah integral tentu berikut dengan definisi.







1

2

2 ₁₎

Penyelesaian







1

2

2

1

)

(

x

dx

menjadi selang

pada partisi

Dibuat [ 2,1]

 x panjang sama bagian selang n n 3 i i i

i x gunakan x x

x selang tiap

Dalam [ _1, ] * 

2 , x₀ 

Maka x₁ 

n x 2 3

2    

  2 x n 3 2 2  



i

x

n i 3 2    ) (x_i

f

x

_i2



1

_{( 2 } 3₎2 _1

Penyelesaian

1

)

3

2

(

1

)

(



2









2



n

i

x

x

f

_{i i}

x x f x x f Sehingga n i i n i i

i  









1 1

*_{) ( )} ( n n i n i 3 1 3 2 1 2                     1 ) 9 12 4 ( 3 1 2 2 _   



 n i n i n i n           







   n i n i n i i n i n

n _{1 1}

2 2 1 9 12 5 3



  1 2

2 ₁₎

Penyelesaian

    n i i x x f 1 ) ( _n

n.5

3 2 ) 1 ( . 12 . 3 

 n n

n n ₆ ) 1 2 )( 1 ( . 9 . 3 2  

 n n n n n 15  n 18 18   2 2 9 2 27 9 n n    2 2 9 2 27 18 6 n n

n  

 



  1 2

2 ₁₎

Penyelesaian

) 2

9 2

27 18

6 ( lim )

(

lim ₂

1

*

0 f x x n n n n

n

i i i

P 



_      

6









1

2

2

1

)

Hitunglah dengan menggunakan

definisi integral tentu





2

1

) 1 2

( )

1 x dx







1

2

2 ₂₎

3 ( )

TEOREMA DASAR KALKULUS

TEOREMA

Misalkan f kontinu (shg f terintegralkan) pada [a,b], dan misalkan F sebarang anti turunan dari f pada [a,b], maka

) ( )

( )

(x dx F b F a f

b

a

 

Bukti Teorema dasar kalkulus

Dibuat partisi pada selang [a,b] b x

x x

x

a  ₀  ₁ ...  _i ... _n 

)

(

)

(

)

(

)

(

b

F

a

F

x

F

x

₀

F





_n



) (

) ( ...

) (

) (

) (

)

(x F x ₁ F x ₁ F x ₂ F x₁ F x₀

F _n  _n  _n  _n   

 _{  }

)]

(

)

(

[

₁

1 









n _i

i i

x

F

x

Bukti Teorema dasar kalkulus

(lanjutan)

Menurut Teorema rata-rata pada turunan

terdapat _{[ , ]}

1 *

i i

i pada selang x x

x _ ) ).( ( ' ) ( )

(x_i  F x_i1 F x_i* x_i  x_i1

F sehingga i i

x

x

f





(

*

)





        n

i i i

n

i i i

Bukti Teorema dasar kalkulus

(lanjutan)

i i

n

i P

P 

[

F

(

b

)



F

(

a

)]



lim





_

f

(

x

)



x

lim

*

1 0 0



 

b

a

dx x

f a

F b

F( ) ( ) ( )

Teorema dasar kalkulus

Notasi

F(b) – F(a) = Contoh





b

a

x

F

(

)

7 1

2 3

3 )

1 ( )

2 (

3 3 3

2

1 3 2

1

2 _{  }

  

  



Dibuat partisi pada selang menjadi n selang bagian dengan panjang

[

0

,



]

n x_i  

n i x

n x

n x

x

x₀ 0, ₁   , ₂ 2 , _i  

2 2 _{(sin )}

) (sin

) (

n i x

x

Soal 5.6 no 43.

Menentukan Rumus

Bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan x

 



b

dx

x

0

Soal 5.6 no 43.

Menentukan Rumus

 

b

 b

1 _{2 3 4 b}

 

b -1

 



b

dx

x

Soal 5.6 no 43.

Menentukan Rumus

 

b

 

b

 

b b

Luas = {b - }( )

 

b

 



b

dx

x

Soal 5.6 no 43.

Menentukan Rumus

 

x

dx

 

b

b

   

b

b

b

)

(

)

1

(

...

3

2

1

0



















 

 



 



 

b

b

b

b

b









2

)

1

(

 



b

dx

x

Contoh: Hitunglah

 











    2 , 3 3 3 2 2 1 1 0 2 , 3 0 3 2 1

0dx dx dx dx

dx x

 

x

dx



2 , 3

0

 

3,2 3

3

2

1

0







x





3

,

6

  







(3,2



3,2

 

) 3,2



SIFAT-SIFAT INTEGRAL

TEOREMA A: PENAMBAHAN SELANG

 Jika f terintegralkan pada suatu selang

yang mengandung tiga titik a, b, dan c, maka

bagaimanapun urutan dari a, b, dan c Contoh







  c b b a c a dx x f dx x f dx x

f ( ) ( ) ( )

SIFAT-SIFAT INTEGRAL

TEOREMA B: PEMBANDINGAN

Jika f dan g terintegralkan pada [a , b] dan jika f(x) g(x) untuk semua x dalam [a,b] Maka









b

a b

a

dx

x

g

dx

x

SIFAT-SIFAT INTEGRAL

TEOREMA C: KETERBATASAN

Jika f terintegralkan pada [a , b] dan jika m f(x) M untuk semua x dalam [a,b] Maka

 

)

(

)

(

)

(

b

a

f

x

dx

M

b

a

m

b

a







SIFAT-SIFAT INTEGRAL TEOREMA D:

PENDIFERENSIALAN INTEGRAL TENTU

Andaikan f kontinu pada selang tertutup [a , b] dan x titik dalam (a , b)

Maka

Carilah dengan dua cara

) ( )

(t dt f x

f D x

a

x  

  

 



















x

x

t

dt

D

2

jawab

 Cara I

 Jadi

















x

x

t

dt

D

2

)

1

(

4 2 1 ] 2 1 [ ) 1

( 2 ₂ 2

2      



t dt t t x x x

x 1 ] 4 2 1

[ x2  x  x 

D_x

















x

x

t

dt

D

2

)

1

jawab

 Cara II dengan teorema D

















x

x

t

dt

D

2

)

1

(

















x

x

t

dt

D

2

)

1

Soal 1: tentukan

Jawab

Teorema D hanya berlaku untuk variabel batas yang linear

Misalkan ,

Menurut aturan rantai

2

x

u



] 1 2

[ 2

0

dt t

D_x x





dt t

D_x x_ 

2

0

1 2

[ _{[ 2 1 ]. (} 2₎

0

x D

dt t

D_u u



 _x 

dt t

y u_ 

0

1 2

u D y D y

Soal 2: tentukan

Jawab Misal ] ) ( sin [ 2

3 _{t dt}

D x x

x x



 ] ) ( sin [ 2

3 _{t dt}

D x x

x x



 ] ) ( sin ) ( sin [ 2 0 3 0

3 _{t dt t dt}

D x x

x

x





   ] ) ( sin ) ( sin [ 2 0 3 0

3 _{t dt t dt} D_x 



x  x



x

 ) ( ]. ) ( sin [ ] ) ( sin [ 2 0 3 2 0

3 _{t dt D t dt D x x}

D_x x



x  _u u



_x 



x x

) ( ]. ) ( sin [ ] ) ( sin [ 2 0 3 2 0

3 _{t dt D t dt D x x}

D_x x



x  _u u



_x 

 ) ( sin ) 1 2 ( ) 1 2 ( ). ( sin 2 3 3 x x x x u      Jadi ] ) ( sin [ 2

3 _{t dt}

D x x

x x



 ) ( sin ) 1 2 ( ) (

sin3 x  x  3 x2  x

 Bentuk Substitusi hasil

2 2 _x

a 

x



a

sin

t

a

cos

t

t

a

x



tan

2 2 _x

a 

a

sec

t

2 2 _a

Contoh

SUBSTITUSI YANG MERASIONALKAN

 Bentuk

•

Substitusi

2 2

x

PENGINTEGRALAN PARSIAL (548)

 Metode ini didasarkan pada rumus

turunan hasilkali dua fungsi

 Misalkan _{u u(x) v v(x)}

) ( ' )

(

' v x

dx dv x u dx du   dx x v dv dx x u

du  '( )  '( )

dx

x

v

x

u

dx

x

u

x

v

x

v

x

u

d

(

(

)

(

))



(

)

'

(

)



(

)

'

(

)

udv

vdu

uv

d

(

)





udv

vdu

uv

d







(

)





udv

vdu

uv









vdu

uv

udv



 Contoh

dx

x



ln

vdu

uv

udv









dx dv

x u

Misal ln 

x v

dx x

du 1 

dx x x x

x dx

x





ln  ln  .1

C x

x x

dx

x   