Laboratorium Manajemen Dasar. Nama NPM/Kelas Fakultas/Jurusan : : : Matematika Ekonomi 2 i Litbang ATA 13/14

(1)

Matematika Ekonomi 2 i Litbang ATA 13/14

Nama NPM/Kelas Fakultas/Jurusan

:

(2)

Matematika Ekonomi 2 ii Litbang ATA 13/14

KATA PENGANTAR

Puji syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT atas rahmat, hidayah, dan karunia yang diberikan-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan modul ini tepat pada waktunya. Dalam usaha meningkatkan kegunaan modul ini kepada mahasiswa dan meningkatkan mutu pengajaran dalam perkuliahan, maka modul ini dapat digunakan untuk memenuhi kebutuhan mahasiswa dalam pembelajaran.

Modul praktikum ini merupakan penyempurnaan dari modul praktikum sebelumnya dan diharapkan dengan adanya modul praktikum ini dapat meningkatkan pemahaman dasar materi praktikum serta sebagai pedoman bagi mahasiswa dalam melakukan penelitian-penelitian ekonomi. Selain itu, modul ini juga dapat digunakan sebagai dasar suatu pandangan mahasiswa melihat keadaan perekonomian dan disesuaikan dengan teori-teori ekonomi yang ada.

Dengan penuh kesadaran, bahwa modul praktikum ini masih perlu disempurnakan lagi, sehingga saran dan kritik untuk penyajian serta isinya sangat diperlukan. Akhir kata, kami ucapkan terimakasih kepada tim Litbang Matematika Ekonomi 2 - Laboratorium Manajemen Dasar yang turut berpartisipasi dalam penulisan modul praktikum ini.

Akhir kata, penyusun mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu baik secara langsung maupun tidak langsung.

Jakarta, 2013

Tim Litbang ATA 13/14

(3)

Matematika Ekonomi 2 iii Litbang ATA 13/14

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL ... i

KATA PENGANTAR ... ii

DAFTAR ISI ... iii

DERIVATIF 1. Konsep Dasar Turunan ... 1

2. Kaidah Diferensiasi ... 1

3. Hubungan Antara Fungsi Dan Derivatifnya ……... 6

3.1 Menentukan persamaan Garis singgung dan Garis Normal ... 6

3.2 Menentukan Keadaan Fungsi Menaik dan Fungsi Menurun ... 6

4. Penerapan Ekonomi ... 7

4.1 Elastisitas ………... .... 7

4.1.1 Elastisitas Harga ... 7

4.1.2 Elastisitas Permintaan ... 8

4.1.3 Elastisitas Penawaran ... 13

4.1.4 Elastisitas Produksi ... 17

4.2. Biaya ... 21

4.3 Penerimaan ………... 26

4.4 Laba Maksimum ... 31

INTEGRAL TAK TENTU 1. Konsep Dasar Integral ... 34

2. Kaidah-kaidah dalam Integral Tak Tentu ... 35

3.1 Fungsi Biaya ... 36

3.2 Fungsi Penerimaan ... 41

3.3 Fungsi Produksi ... 46

(4)

Matematika Ekonomi 2 iv Litbang ATA 13/14

3.4 Fungsi Utilitas ... 51

3.5 Fungsi Konsumsi dan Fungsi Tabungan ... 52

INTEGRAL TERTENTU 1. Konsep Dasar Integral Tertentu ... 58

2.1 Surplus Konsumen ... 58

2.2 Surplus Produsen ... 66

TRANSEDENTAL 1. Konsep Dasar Transedental ... 73

1.1 Fungsi Eksponensial ... 73

1.2 Fungsi Logaritmik ... 75

2.1 Model Bunga Majemuk ... 77

2.2 Model Pertumbuhan ... 82

2.3 Kurva Gompertz ... 86

2.4 Kurva Belajar (Learning Curve) ... 90

DAFTAR PUSTAKA ... 96

(5)

Matematika Ekonomi 2 1 Litbang ATA 13/14

DERIVATIF

1. KONSEP DASAR TURUNAN

Turunan (derivatif) membahas tingkat perubahan suatu fungsi sehubungan dengan perubahan kecil dalam variabel bebas fungsi yang bersangkutan. Turunan diperoleh dengan menentukan limit dari hasil bagi diferensi, dimana : ∆  0.

Y

Jika y = f ( x ), maka

∆

∆ = ⁽ ^{∆ ) ( )}

∆

Bentuk Δy / Δx merupakan hasil bagi perbedaan atau kousien diferensi (difference quotient) yang menggambarkan tingkat perubahan variabel terikat y terhadap variabel bebas x.

Jika y = f ( x ), maka turunan fungsinya adalah lim_{∆ →} ^∆

∆ = lim_{∆ →} ⁽ ^{∆ ) ( )}

∆

2. KAIDAH DIFERENSIASI

Berikut ini kaidah diferensiasi dalam berbagai bentuk fungsi:

1. Diferensiasi fungsi konstanta

Jika y = k, dimana k adalah konstanta, maka y’ = 0 Contoh : y = 4 maka y’ = 0

2. Diferensiasi fungsi linear

Jika y = a + bx, dimana a adalah konstanta, maka y’ = b Contoh : y = 25 + 12x maka y’ = 12

(6)

Matematika Ekonomi 2 2 Litbang ATA 13/14 3. Diferensiasi fungsi pangkat

Jika y = axⁿ, dimana a adalah konstanta, maka y’ = n.a x^n-1 Contoh : y = 5x⁴ maka y’ = 5.4x^4-1 = 20x³

4. Diferensiasi penjumlahan (pengurangan) fungsi

Jika y = u ± v dimana u = g(x) dan v = n (x), maka y’ = u’ ± v’

Contoh : y = 8x³ – 8x² u = 8X³, u’ = 8.3x^3-1 = 24x² v = – 8x², v’ = -8.2x^2-1 = -16x karena y’= u’ ± v’

maka y’ = 24x² – 16x

5. Diferensiasi perkalian

a. Perkalian fungsi dan konstanta

Jika y = k . u , dimana u = g (x), maka y’= k . u’

Contoh : y = 8 . 7x²

u = 7x² u’ = 7 . 2x = 14x karena y’ = k . u’ maka y’ = 8 . 14x = 112x b. Perkalian fungsi

Jika y = u.v , dimana u = g (x) dan v = h (x), maka y’ = u’.v + u.v’

Contoh: y = (2x⁶ – 2)(3x³ – 7)

u = (2x⁶ – 2) u’ = 2.6x^6-1 = 12x⁵ v = (3x³ – 7) v’ = 3.3x^3-1= 9x² karena y’ = u’.v + u.v’ maka

y’ = (12x⁵)(3x³ – 7) + (2x⁶ – 2)(9x²) = 36x⁸ – 84x⁵+ 18x⁸ – 18x² = 54x⁸ – 84x⁵ – 18x²

(7)

Matematika Ekonomi 2 3 Litbang ATA 13/14 6. Diferensiasi hasil bagi fungsi

Jika y = , dimana u = g (x) dan v = h (x), maka y’ = ^{’. – . ’} Contoh : y = ⁽ ^{– )}

( – )

u = (9x² – 5) u’ = 2.9x^2-1 = 18x v = (4x³ – 6) v’ = 3.4x^3-1= 12x² karena y’ = ^{’. – . ’}, maka:

y’ = ⁽ ⁾⁽ ^{– ) – (} ^{– )(} ⁾ ( – )

y’ = ^– ^–

( – )

y’ =

( – )

7. Diferensiasi fungsi komposisi (dalil rantai)

Jika y = f (u) sedangkan u = g (x) , dengan kata lain y = f [ g (x) ], maka = x

Contoh 1: y = (6x² + 4)²

misalkan : u = 6x² +4 , sehingga y = u²

= 12x = 2u

Maka = x = 2u . 12x = 2 (6x² + 4) (12x) = 144x³ + 96x

Contoh 2: y = √3x² + 4x – 5 y = (3x² + 4x - 5)^1/2

misalkan : u = 3x² + 4x -5 , sehingga y = u^1/2 = 6x + 4 = ½ u^-1/2

(8)

Matematika Ekonomi 2 4 Litbang ATA 13/14 Maka = x = ½ u^-1/2. (6x + 4)

= ½ (3x²+ 4x -5)^-1/2 . (6x + 4) = x

√ – x (6x + 4) =

√ –

8. Derivatif tingkat tinggi

Derivatif ke-n dari fungsi y = f (k) diperoleh dengan mendiferensiasikan sebanyak n kali.

Derivatif ke-n dilambangkan dengan atau fⁿ(x) atau Contoh : y = 5x⁵ + 4x⁴ + 3x³ + 2x² + x maka

y’ atau = 25x⁴ + 16x³ + 9x² + 4x + 1

y’’ atau = 100x³ + 48x² + 18x + 4 ………..dst

9. Diferensiasi implisif

Adalah suatu metode diferensiasi dengan mendiferensiasikan f (x,y) = 0 suku demi suku dengan memandang y sebagai fungsi x, kemudian dari persamaan tersebut ditentukan nilai dy/dx .

Contoh : xy² - x² + y = 0 didiferensiasikan terhadap x, maka : 1.y² + x.2y

– 2x +

= 0

( 2xy + 1 )

= - y² + 2x

=

(9)

Matematika Ekonomi 2 5 Litbang ATA 13/14 10. Derivatif fungsi logaritmik

 y = ln x  =

y = ln u , dimana u = g (x)

=

.

=

 y = ^alog x  =

Contoh : jika y = ln ( 3 – 3x² ) maka tentukan dy / dx u = 3 – 3x²

= u’ = -6x = =

11. Derivatif fungsi eksponensial

 y = e^x  = e^x

 y = a^x  = a^x ln a

12. Derivatif fungsi trigonometrik

Beberapa turunan fungsi trigonometrik yang penting adalah :

 y = sin x  = cos x

 y = cos x  = - sin x

 y = tg x  = sec2 x

 y = ctg x  = - cosec2 x

(10)

 y = sec x  = sec x . tg x

 y = cosec x  = - cosec x . ctg x

Catatan: sec x = cos x =

3. HUBUNGAN ANTARA FUNGSI DAN DERIVATIFNYA

3.1 Menentukan persamaan Garis singgung dan Garis Normal

Langkah – langkah untuk mencari Garis singgung dan Garis normal adalah:

1. Tentukanlah titik singgung (xo , yo) 2. Cari koefisien arah m = f ‘ (x)

3. Cari Garis singgung dengan rumus : y - yo = m (x – xo) 4. Cari Garis Normal dengan rumus : y - yo = (x – xo)

* Catatan :

Garis Normal adalah garis yang tegak lurus pada Garis Singgung kurva

3.2 Menentukan Keadaan Fungsi Menaik dan Fungsi Menurun 1. Fungsi y = f (x) monoton naik jika f’(x) > 0

2. Fungsi y = f (x) monoton turun jika f‘(x) < 0 3. Nilai stasioner

Jika diketahui y = f (x), maka pada f (x) = 0 , titik (x , y) merupakan Nilai Stasioner

(11)

Matematika Ekonomi 2 7 Litbang ATA 13/14 Jenis – jenis Titik Stasioner adalah :

 Jika f (x) > 0, maka (x , y) merupakan titik balik minimum

 Jika f (x) < 0, maka (x , y) merupakan titik balik maksimum

 Jika f (x) = 0, maka (x , y) merupakan titik balik belok

Contoh :

Diketahui TR = 100Q - 5Q² , tentukanlah nilai maksimum atau minimum dari fungsi tersebut!

Jawab : TR’ = 0 100 – 10Q = 0

10Q = 100 jadi Q = 10

TR’’ = -10 (TR’’ < 0, merupakan titik balik maksimum) Nilai Maksimum TR = 100Q - 5Q²

= 100(10) - (10)²

= 900

4. PENERAPAN EKONOMI 4.1 ELASTISITAS

4.1.1 Elastisitas harga

Adalah perbandingan antara perubahan relatif dari jumlah dengan perubahan relatif dari harga.

Untuk menentukan elastisitas harga, ada dua macam cara yang digunakan yaitu:

1. Elastisitas titik (Point Elasticity)

2. Elastisitas busur (Arc Elasticity)

Merupakan elastisitas pada dua titik atau elastisitas pada busur kurva.

ƞ = ^{∆ /}

/ =

∙

(12)

Matematika Ekonomi 2 8 Litbang ATA 13/14 Kelemahannya adalah timbulnya tafsiran ganda.

Elastisitas titik dan busur dipakai untuk menghitung : a. Elastisitas harga permintaan, ƞ d < 0 (negatif) b. Elastisitas harga penawaran, ƞ s > 0 (positif )

Dari hasil perhitungan, nilai elastisitas akan menunjukkan : a. |ƞ| > 1  elastis

b. |ƞ| < 1  inelastis c. |ƞ| = 1  unitary elastis d. |ƞ| = 0  inelastis sempurna e. |ƞ| = ∞ ^ elastis tak hingga

4.1.2 Elastisitas Permintaan

Adalah suatu koefisien yang menjelaskan besarnya jumlah barang yang diminta akibat adanya perubahan harga. Jika fungsi permintaan dinyatakan dengan Qd = f(P), maka elastisitas permintaannya adalah

ƞd = Qd’ ∙ Ƞ = .^∆

∆

Ƞ = .^∆

∆

Ƞ = ⁽ ^)/

( )/ .^∆

∆

(13)

Matematika Ekonomi 2 9 Litbang ATA 13/14 Contoh soal :

Fungsi permintaan suatu barang ditunjukkan oleh persamaan Qd = 33 – 3P². Tentukanlah elastisitas permintaan pada saat P = 5/unit. Bagaimanakah sifat elastisitasnya? Analisislah!

Diketahui : Qd = 33 – 3P²  Qd’ = -6P P = 5

Ditanya : d?

Jawab : ƞd = Qd’ ∙ ƞd = -6P ∙

–

ƞd = -6(5) ∙

– ( )

ƞd = 3,57  elastis

Analisis :

Jadi besarnya elastisitas permintaan adalah 3,57 pada saat harga produk sebesar Rp 5. Jika harga tersebut naik sebesar 1% maka barang yang diminta akan turun sebanyak 3,57%.

(14)

Matematika Ekonomi 2 10 Litbang ATA 13/14 Langkah-Langkah Pengerjaan Menggunakan Software Ec-Math

1. Buka aplikasi EC – Math

2. Pilih Derivatif

(15)

Matematika Ekonomi 2 11 Litbang ATA 13/14 3. Pilih Mencari Elastis Permintaan

4. Masukkan Pangkat Terbesar sama dengan 2 kemudian tekan Enter

(16)

Matematika Ekonomi 2 12 Litbang ATA 13/14 5. Maka akan muncul tampilan di bawah ini. Masukkan angka-angka yang

diketahui di soal.

6. Kemudian tekan Enter , maka hasilnya adalah sebagai berikut.

(17)

Matematika Ekonomi 2 13 Litbang ATA 13/14 4.1.3 Elastisitas Penawaran

Adalah suatu koefisian yang menjelaskan besarnya perubahan jumlah barang yang ditawarkan berkenaan adanya perubahan harga. Jika fungsi penawaran dinyatakan dengan Qs = f (P), maka elastisitas penawarannya:

Contoh soal :

Fungsi Penawaran suatu barang ditunjukkan oleh persamaan Qs = -53 + 4P². Tentukan elastisitas penawaran pada saat harga Rp 3/ unit. Bagaimana sifat elastis penawaran tersebut, analisislah !

Diketahui : Qs = -53 + 4P² Qs’ = 8P P = Rp 3/ unit Ditanya : s?

Jawab : ƞs = Qs’ ∙ ƞs = 8P ∙

ƞs = 8(3) ∙

( )

ƞs = - 4,23  elastis

Analisis:

Jadi besarnya elastisitas penawaran adalah 4,23 pada saat harga produk sebesar Rp 3. Jika harga tersebut naik sebesar 1% maka barang yang ditawarkan akan bertambah sebanyak 4,23%

ƞs = Qs’ ∙

(18)

(19)

Matematika Ekonomi 2 15 Litbang ATA 13/14 3. Pilih Mencari Elastis Penawaran

(20)

diketahui di soal

6. Kemudian tekan Enter , maka hasilnya adalah sebagai berikut.

(21)

Matematika Ekonomi 2 17 Litbang ATA 13/14 4.1.4 Elastisitas Produksi

Adalah suatu koefisien yang menjelaskan besarnya perubahan jumlah keluaran (output) yang dihasilkan akibat adanya perubahan jumlah masukan (input) yang digunakan. Jika fungsi produksi dinyatakan dengan P= f(X), maka elastisitas produksinya:

Contoh soal :

Diketahui Fungsi Produksi suatu barang ditunjukkan oleh P = 4X² - 3X³. Hitunglah elastisitas pada X = 4 unit dan analisislah !

Diketahui : P = 4X² - 3X³ P’ = 8X - 9X² X = 4

Ditanya : p?

Jawab : ƞp = P’ ∙

ƞp = 8X – 9X² ∙ –

ƞp =

ƞp = ^{( )} ^{( )} ( ) ( )

ƞp = 3,5

Analisis :

Jadi elastisitas produksi sebesar 3,5 pada saat jumlah masukan produk sebesar 4 unit.

ƞp = P’ ∙

(22)

(23)

Matematika Ekonomi 2 19 Litbang ATA 13/14 3. Pilih Mencari Elastisitas Produksi

(24)

diketahui di soal:

6. Kemudian tekan Enter, maka hasilnya adalah sebagai berikut.

(25)

Matematika Ekonomi 2 21 Litbang ATA 13/14 4.2 BIAYA

a. Biaya Total (TC)

Adalah seluruh biaya yang dibutuhkan untuk memproduksi atau memasarkan sejumlah barang atau jasa, baik yang merupakan biaya tetap atau biaya variabel.

Dimana : TC = Total cost VC = Variabel cost FC = Fixed cost Q = Quantitas

b. Biaya Rata – rata (AC)

Adalah biaya per unit yang dibutuhkan untuk memproduksi suatu barang atau jasa pada tingkat produksi total.

c. Biaya Marginal ( MC)

Adalah besarnya pertambahan biaya total yang dibutuhkan akibat pertambahan hasil produksi satu unit pada suatu tingkat produksi tertentu.

Contoh soal :

Biaya total yang dikeluarkan oleh perusahaan mobil PT Honda di tunjukkan oleh persamaan TC = 43Q³ + 35Q² - 44Q + 45. Tentukanlah besarnya biaya total, biaya rata-rata, dan biaya marginal pada saat kuantitas 4 unit? Berikan analisisnya!

TC = F(Q) atau TC = FC + VC

AC = TC / Q

MC = TC’ =

(26)

Matematika Ekonomi 2 22 Litbang ATA 13/14 Diketahui : TC = 43Q³ + 35Q² - 44Q + 45

Q = 4

Ditanya : TC, AC dan MC pada Q = 4?

Jawab :

TC = 43(4)³ + 35(4)² – 44(4) + 45 = 2.752 + 560 – 176 + 45 = 3.181

AC = TC / Q

= 3.181 / 4

= 795,25

MC = TC’

= 129Q² + 70Q - 44

= 129(4)² + 70(4) - 44

= 2.064 + 280 - 44

= 2.300

Analisis:

Jadi pada saat perusahaan memproduksi sebesar 4 unit maka biaya total yang dikeluarkan sebesar Rp 3.181 dengan biaya rata – rata sebesar Rp 795,25 dan biaya marginal Rp 2.300.

(27)

(28)

Matematika Ekonomi 2 24 Litbang ATA 13/14 3. Pilih Mencari Fungsi Biaya

(29)

diketahui di soal:

6. Kemudian tekan Enter ,maka hasilnya adalah sebagai berikut.

(30)

Matematika Ekonomi 2 26 Litbang ATA 13/14 4.3 PENERIMAAN

a. Penerimaan Total (TR)

Adalah total hasil penerimaan penjualan dari produk yang diproduksi.

b. Penerimaan Rata – rata (AR)

Adalah hasil dari penerimaan per unit yang diperoleh dari penjualan suatu barang/jasa pada kuantitas tertentu. Fungsi Average Revenue sama dengan fungsi permintaan dari harga barang tersebut.

c. Penerimaan Marginal ( MR )

Adalah pertambahan hasil penerimaan yang diperoleh akibat pertambahan penjualan atau unit barang/jasa pada suatu kuantitas tertentu.

Contoh Soal :

Fungsi permintaan perusahaan makanan ringan ditunjukkan oleh P = 45Q + 3. Bagaimanakah persamaan penerimaan totalnya? Berapakah besarnya penerimaan total, penerimaan rata-rata, dan penerimaan marginal jika penjualan sebesar 4 unit? Berikan analisisnya!

Diketahui : P = 45Q + 3 Q = 4

Ditanya : Persamaan TR?

Besarnya TR, AR dan MR pada saat Q = 4?

TR = F(Q) = P ∙ Q

MR = TR’ = ^∆

∆ AR = = ^{( )} = P

(31)

Matematika Ekonomi 2 27 Litbang ATA 13/14 Jawab :

TR = P x Q

= (45Q + 3)Q

= 45Q² + 3Q

Jika Q = 4, maka:

TR = 45(4)²+ 3(4)

= 720 + 12

= 732

AR = TR / Q

= 732 / 4 = 183

MR = TR’

= 90Q + 3

= 90(4) + 3

= 363

Analisis :

Jadi penerimaan total yang diterima perusahaan makanan ringan saat penjualan 4 unit sebesar Rp 732 dengan penerimaan rata – rata sebesar Rp 183 dan penerimaan marginal sebesar Rp 363.

(32)

(33)

Matematika Ekonomi 2 29 Litbang ATA 13/14 3. Pilih Mencari Fungsi Penerimaan

Karena P = 45Q + 3, maka TR = P . Q = (45Q + 3) . Q = 45Q² + 3Q

4. Masukkan Pangkat Terbesar sama dengan 2, kemudian tekan Enter

(34)

diketahui di soal:

6. Kemudian tekan Enter, maka hasilnya adalah sebagai berikut.

(35)

Matematika Ekonomi 2 31 Litbang ATA 13/14 4.4 LABA MAKSIMUM

Terdapat tiga pendekatan perhitungan laba maksimum yaitu : 1. Pendekatan Totalitas (Totality Approach)

2. Pendekatan Rata-Rata (Average Approach) 3. Pendekatan Marginal (Marginal Approach)

Pada bab ini kita hanya akan membahas perhitungan laba maksimum dengan pendekatan marginal (Marginal Approach). Perhitungan laba dilakukan dengan membandingkan Biaya Marginal (MC) dan Pendapatan Marginal (MR). laba maksimum akan tercapai pada saat MR = MC.

Laba ( dibaca: phi) = TR – TC. Laba maksimum tercapai bila turunan pertama fungsi ( n/ Q) sama dengan nol dan nilainya sama dengan nilai turunan pertama TC ( TC/ Q atau MC ) sehingga MR – MC = 0. Dengan demikian, perusahaan akan memperoleh laba maksimum (atau kerugian minimum), bila ia berproduksi pada tingkat output di mana MR = MC.

Contoh soal:

Fungsi permintaan suatu barang ditunjukkan oleh persamaan P = -250Q + 20.000 dengan biaya variabel VC = 20Q² – 2.000Q. Biaya tetap yang dikeluarkan perusahaan sebesar 25.000. Tentukanlah pada tingkat penjualan berapa perusahaan bisa mendapatkan laba maksimum dan berapakah besarnya laba tersebut? Analisislah!

Diketahui : TC = VC + FC = 20Q² – 2.000Q + 25.000 TR = P x Q = -250Q² + 20.000Q

Ditanya : Q pada saat laba max?

Jawab :

laba / rugi = TR – TC

= (-250Q² + 20.000Q) - (20Q² – 2.000Q + 25.000)

= -270Q²+ 22.000Q – 25.000

(36)

Matematika Ekonomi 2 32 Litbang ATA 13/14 Laba maksimum → laba’ = 0

-540Q + 22.000 = 0 540Q = 22.000

Q = 40,74 ≈ 41

Saat Q = 41 → Laba = -270Q²+ 22.000Q – 25.000

= -270(41)²+ 22.000(41) – 25.000

= 423.130 Analisis:

Jadi untuk mendapatkan laba maksimum, perusahaan harus menjual produknya sebanyak 41 unit sehingga keuntungan yang ia dapat sebesar Rp 423.130.

Langkah-Langkah Pengerjaan Menggunakan Software Ec-Math 1. Buka software EC-MATH seperti tampilan dibawah ini

(37)

Matematika Ekonomi 2 33 Litbang ATA 13/14 2. Pilih menu Derivatif

3. Pilih Mencari Fungsi Laba

Kemudian masukan data-data yg ada di soal, maka akan muncul output seperti berikut :

(38)

Matematika Ekonomi 2 34 Litbang ATA 13/14 ( ) = ( ) +

INTEGRAL TAK TENTU

1. KONSEP DASAR INTEGRAL

Dalam kalkulus integral dikenal dua macam pengertian integral, yaitu integral tak tentu (indefinite integral) dan integral tertentu (definite integral).

Integral tak tentu adalah kebalikan dari diferensial, yakni suatu konsep yang berhubungan dengan proses penemuan suatu fungsi asal apabila turunan atau derivatif dari fungsinya diketahui. Sedangkan integral tertentu merupakan suatu konsep yang berhubungan dengan proses pencarian luas suatu area yang batas-batas atau limit dari area tersebut sudah tertentu.

Mengintegralkan suatu fungsi turunan f(x) berarti adalah mencari integral atau turunan-antinya, yaitu F(x).

Bentuk umum integral dari f(x) adalah :

Keterangan :

∫ = tanda integral ( ) = diferensial dari F(x) ( ) = intergal partikular

= konstanta pengintegralan

Dalam diferensial kita menemukan bahwa jika suatu fungsi asal dilambangkan dengan F(x) dan fungsi turunannya dilambangkan dengan f(x) maka:

Untuk fungsi asal : ( )= + 5 Fungsi turunannya : ( )= ^{( )}= 2

(39)

Matematika Ekonomi 2 35 Litbang ATA 13/14 Jika prosesnya dibalik (fungsi turunan f(x) diintegralkan), maka:

( ) = ( ) + = +

Derivatif dari setiap konstanta adalah nol. Jadi setiap kita mengintegralkan fungsi turunan konstanta c tetap dalam bentuk c. Nilai c tidak dapat diisi dengan sembarang bilangan tertentu kecuali nilai c tersebut sudah ditentukan. Karena ketidaktentuan nilai konstanta itulah maka bentuk integral yang merupakan kebalikan dari diferensial dinamakan integral tak tentu.

2. KAIDAH-KAIDAH DALAM INTEGRAL TAK TENTU

Berikut ini adalah beberapa kaidah dalam integral tak tentu, diantaranya:

1. Formula pangkat

= + 1+ 2. Formula logaritmis

1 = ln +

3. Formula eksponensial

= +

= + = ( ) 4. Formula penjumlahan

{( ) + ( )} = ( ) + ( ) = ( ) + ( ) +

5. Formula perkalian

( ) = ( ) ≠ 0

(40)

Matematika Ekonomi 2 36 Litbang ATA 13/14 Biaya total (TC) = f(Q)

Biaya marginal (MC) = TC’ = f’(Q)

Biaya total (TC) = ∫ = ∫ ’( ) Biaya rata-rata (AC) =

6. Formula subtitusi

( ) = ( ) = ( ) +

3. PENERAPAN EKONOMI

Pendekatan integral tak tentu dapat diterapkan untuk mencari persamaan fungsi total dari suatu variabel ekonomi apabila persamaan fungsi marginalnya diketahui. Karena fungsi marginal pada dasarnya merupakan turunan dari fungsi total, maka dengan proses sebaliknya, yaitu integrasi, dapat dicari fungsi asal dari fungsi turunan tersebut atau fungsi totalnya.

3.1 Fungsi Biaya

Biaya total (TC) adalah integral biaya marginal (MC).

Contoh soal :

Diketahui fungsi biaya marjinal pada suatu perusahaan MC = 5Q² + 5Q + 5.

Bentuklah fungsi biaya total dan biaya rata-ratanya apabila diketahui konstanta sebesar 5? Berapakah besarnya biaya total dan biaya rata-rata jika kuantitasnya sebesar 10 unit? Analisislah!

Diketahui : MC = 5Q² + 5Q + 5 c = 5

Q = 10

Ditanya : Persamaan TC dan AC?

Besarnya TC & AC jika Q = 10?

(41)

TC = ∫ MC dQ

= ∫ 5Q² + 5Q + 5 dQ

= Q³ + Q² + 5Q + c

= Q³ + Q² + 5Q + 5

AC =

=

( )

= Q² + Q + 5 +

Jika Q = 10, maka:

TC = Q³ + Q² + 5Q + 5

= (10)³ + (10)² + 5(10) + 5

= (1000) + (100) + 5(10) + 5

= 1.971,67

AC =

= ^. ^,

= 197,167

(42)

Matematika Ekonomi 2 38 Litbang ATA 13/14 Analisis :

Apabila MC = 5Q² + 5Q + 5 dan konstanta sebesar 5, maka fungsi biaya totalnya adalah TC = Q³ + Q² + 5Q + 5, dan fungsi biaya rata-ratanya adalah AC = Q² + Q + 5 + .

Jika kuantitasnya sebesar 10 unit, maka besarnya biaya total yang harus dikeluarkan perusahaan tersebut adalah Rp 1.971,67. Sedangkan besarnya biaya rata-rata adalah Rp 197,167.

Langkah-Langkah Pengerjaan Menggunakan Software EC-Math 1. Buka aplikasi EC – Math

(43)

Matematika Ekonomi 2 39 Litbang ATA 13/14 2. Pilih Integral Tak Tentu

3. Pilih Fungsi Biaya

(44)

Matematika Ekonomi 2 40 Litbang ATA 13/14 4. Masukan data-data yang diketahui dari soal. Untuk menentukan Banyaknya Variabel lihat pangkat tertinggi dari soal, yaitu 2. Masukkan FC sebesar c, yaitu 5, kemudian masukkan persamaan MC seperti yang diketahui di soal. Klik Calculate.

(45)

Matematika Ekonomi 2 41 Litbang ATA 13/14 Penerimaan total (TR) = f(Q)

Penerimaan marginal (MR) = TR’ = f’(Q)

Penerimaan total (TR) = ∫ = ∫ ’( ) Penerimaan rata-rata (AR) =

5. Untuk mencari besarnya TC dan AC, masukkan nilai Q seperti yang ada di soal, yaitu 10. Kemudian klik Calculate.

3.2 Fungsi Penerimaan

Penerimaan total (TR) adalah integral dari penerimaan marginal (MR).

Contoh soal :

Jika fungsi penerimaan marginal suatu perusahaan ditunjukkan oleh persamaan MR = 4Q² + 3Q + 4, maka bentuklah fungsi TR dan AR jika c = 0?

(46)

Matematika Ekonomi 2 42 Litbang ATA 13/14 Berapakah besarnya penerimaan total dan penerimaan rata-rata jika kuantitas yang terjual sebesar 10 unit? Analisislah!

Diketahui : MR = 4Q² + 3Q + 4 c = 0

Q = 10

Ditanya : Persamaan TR dan AR?

Besarnya TR dan AR jika Q = 10?

Jawab : TR = ∫ MR dQ

= ∫ 4Q² + 3Q + 4

= Q³ + Q² + 4Q + c

= Q³ + Q² + 4Q

AR =

=

4

3 ³₂

= Q² + Q + 4

Jika Q = 10, maka:

TR = Q³ + Q² + 4Q

= (10)³ + (10)² + 4(10)

= 1.523,33

AR =

= ^. ^,

= 152,333

(47)

Apabila MR = 4Q² + 3Q + 4 dan konstanta sebesar 0, maka fungsi penerimaan totalnya adalah TR = Q³ + Q² + 4Q dan fungsi persamaan rata-ratanya adalah AR = Q² + Q + 4.

Jika kuantitasnya sebesar 10 unit, maka besarnya penerimaan total perusahaan tersebut adalah Rp 1.523,33. Sedangkan besarnya penerimaan rata-rata adalah Rp 152,333.

Langkah-Langkah Pengerjaan Menggunakan Software Ec-Math 1. Buka aplikasi EC – Math

(48)

3. Pilih Fungsi Penerimaan

(49)

Matematika Ekonomi 2 45 Litbang ATA 13/14 4. Masukan data-data yang diketahui dari soal. Untuk menentukan Banyaknya Variabel lihat pangkat tertinggi dari soal, yaitu 2. Masukkan persamaan MR seperti yang diketahui di soal. Klik Calculate.

(50)

Matematika Ekonomi 2 46 Litbang ATA 13/14 5. Untuk mencari besarnya TR dan AR, masukkan nilai Q seperti yang ada

di soal, yaitu 10. Kemudian klik Calculate.

3.3 Fungsi Produksi

Produk Total adalah integral dari produk marginal.

Produk total (P) = f(X) dimana,

P = keluaran; X = masukan Produk marginal (MP) = P’ = f’(X)

Produk total (P) = ∫ = ∫ ^′( ) Produk rata-rata (AP) =

(51)

Matematika Ekonomi 2 47 Litbang ATA 13/14 Contoh soal :

Produk marjinal PT POOH ditunjukkan oleh persamaan 3Q² + 5. Bentuklah fungsi produk total dan fungsi produk rata-ratanya jika c = 0? Berapakah besarnya produk total dan produk rata-rata jika masukan yang digunakan sebesar 10 unit? Analisislah!

Diketahui : MP = 3Q² + 5 c = 0

X = 10

Ditanya : Persamaan TP dan AP?

Besarnya TP dan AP jika X = 10?

Jawab : TP = ∫ MP dQ

= ∫ 3Q² + 5

= Q³ + 5Q + c

= Q³ + 5Q AP =

= ^Q

3 + 5Q

= Q² + 5

Jika X = 10, maka:

TP = Q³ + 5Q

= (10)³ + 5(10)

= 1000 + 50

= 1.050 AP =

= ^.

= 105

(52)

Apabila MP = 3Q² + 5 dan konstanta sebesar 0, maka fungsi produk total PT POOH adalah TP = Q³ + 5Q dan fungsi produk rata-ratanya adalah AP = Q² + 5.

Jika masukan yang digunakan sebesar 10 unit, maka besarnya produk total adalah 1.050 unit. Sedangkan produk rata-ratanya sebesar 105 unit.

Langkah-Langkah Pengerjaan Menggunakan Software Ec-Math 1. Buka aplikasi EC – Math

(53)

3. Pilih Fungsi Produksi

(54)

Matematika Ekonomi 2 50 Litbang ATA 13/14 4. Masukan data-data yang diketahui dari soal. Untuk menentukan Banyaknya Variabel lihat pangkat tertinggi dari soal, yaitu 2. Masukkan persamaan MP seperti yang diketahui di soal. Klik Calculate.

(55)

Matematika Ekonomi 2 51 Litbang ATA 13/14 Utilitas total (TU) = f(Q)

Utilitas marginal (MU) = TU’ = f’(Q)

Utilitas total (TU) = ∫ = ∫ ’( )

5. Untuk mencari besarnya TP dan AP, masukkan nilai Q seperti yang ada di soal, yaitu 10. Kemudian klik Calculate.

3.4 Fungsi Utilitas

Utilitas Total adalah integral dari utilitas marginal.

Contoh soal:

Bentuklah persamaan utilitas total dari seorang konsumen jika utilitas marginalnya ditunjukkan oleh persamaan MU = 90 – 10Q dan konstantanya sebesar 0? Berapakah besarnya utilitas total jika Q = 10?

(56)

Matematika Ekonomi 2 52 Litbang ATA 13/14 Diketahui : MU = 90 – 10Q

c = 0 Q = 10

Ditanya : Persamaan TU?

Besarnya TU jika Q = 10?

Jawab : TU = ∫ MU dQ

= ∫ 90 – 10Q

= 90Q – 5Q²+ c

= 90Q – 5Q²

Jika Q = 10, maka:

TU = 90Q – 5Q²

= 90(10) – 5(10)²

= 900 – 500

= 400

Analisis :

Apabila MU = 90 – 10Q dan konstanta sebesar 0, maka fungsi utilitas totalnya adalah TU = 90Q – 5Q².

Jika kuantitasnya sebesar 10 unit, maka besarnya utilitas total konsumen tersebut adalah 400.

3.5 Fungsi Konsumsi dan Fungsi Tabungan

Dalam ekonomi makro, konsumsi (C) dan tabungan (S) dinyatakan fungsional terhadap pendapatan nasional (Y). Berdasarkan kaidah integrasi, konsumsi (C) adalah integral dari MPC dan tabungan (S) adalah integral dari MPS.

(57)

 k = a = Autonomous Consumption → konsumsi otonom menunjukkan besarnya konsumsi nasional pada saat Pendapatan Nasional sebesar nol

 k = a = Autonomous Saving → Tabungan otonom menunjukkan besarnya tabungan nasional pada saat Pendapatan Nasional sebesar nol.

 MPC (Marginal Propensity to Consume) → Perbandingan antara besarnya perubahan konsumsi (∆C) dengan perubahan Pendapatan Nasional (∆Y) yang mengakibatkan adanya perubahan konsumsi tersebut.

 MPS (Marginal Propensity to Saving) → Perbandingan antara besarnya perubahan saving (∆S) dengan perubahan Pendapatan Nasional (∆Y) yang mengakibatkan adanya perubahan konsumsi tersebut.

Keterangan:

 MPC < 1 → menunjukkan sebagian besar penggunaan tambahan pendapatan digunakan untuk menambah besarnya konsumsi, sedangkan sisanya yaitu sejumlah kecil merupakan tambahan tabungan.

 MPC > ½ → menunjukkan lebih dari 50 % pendapatan yang diperoleh digunakan untuk konsumsi.

 MPC selalu positif → karena jika pendapatan naik, konsumsi akan naik.

Contoh soal :

Bentuklah fungsi konsumsi dan fungsi tabungan masyarakat suatu negara jika diketahui bahwa MPC = 0,55 dan konsumsi autonomnya sebesar 34 milyar?

C = ∫ = ( ) + k = a S = ∫ = ( ) + k = -a

1 > MPC > 1 2 MPC + MPS = 1

(58)

Matematika Ekonomi 2 54 Litbang ATA 13/14 Diketahui : MPC = 0,55

Konsumsi otonom = a = k = 34 Ditanya : C dan S?

Jawab : MPC + MPS = 1

MPS = 1 – MPC MPS = 1 – 0,55 MPS = 0,45

C = ∫

= ∫ 0,55

= 0,55Y + c

= 0,55Y + 34

S = ∫

= ∫ 0,45

= 0,45Y + c

= 0,45Y - 34

Analisis :

Apabila MPC = 0,55 dan konsumsi autonomnya sebesar 34; maka fungsi konsumsi yang terbentuk adalah C = 0,55Y + 34. Sedangkan fungsi tabungannya adalah S = 0,45Y – 34.

(59)

2. Pilih Integral Tak Tentu

(60)

Matematika Ekonomi 2 56 Litbang ATA 13/14 3. Pilih Fungsi Konsumsi

4. Masukkan nilai k atau a sesuai dengan data yang diketahui di soal, yaitu 34, kemudian masukkan nilai MPC, yaitu 0,55. Kemudian klik Calculate.

(61)

Matematika Ekonomi 2 57 Litbang ATA 13/14 Catatan:

Untuk mencari fungsi Konsumsi dan tabungan, dapat pula dilakukan dengan mengklik Integral Tak Tentu → Fungsi Tabungan. Hanya saja, saat memasukkan nilai k atau a, peru ditambahkan minus.

Untuk contoh soal ini, masukkan nilai k atau a sebesar -34. Lalu masukkan nilai MPS sebesar 0,45 (didapat dari 1 – MPC). Kemudian klik Calculate.

(62)

INTEGRAL TERTENTU

1. KONSEP DASAR INTEGRAL TERTENTU

Integral tertentu merupakan suatu konsep yang berhubungan dengan proses pencarian luas suatu area yang batasan-batasan (limit) nya sudah ditentukan.

Rumus Integral tertentu:

( ) = [ ( )] = ( ) − ( )

Keterangan : a = batas minimum b = batas maksimum dimana a < b

Contoh :

Hitunglah luas daerah persamaan 6x² – 8x + 2 dibatasi oleh a=2 dan b=4 ! Jawab :

∫ 6 – 8 + 2 = [ 2 − 4 + 2 ]

= [2(4) − 4(4) + 2(4)] − [2(2) − 4(2) + 2(2)]

= 72 − 4 = 68

2. PENERAPAN EKONOMI 2.1 Surplus Konsumen

Surplus konsumen yaitu cerminan suatu keuntungan lebih/surplus yang dinikmati oleh konsumen tertentu berkenaan dengan tingkat harga

(63)

Matematika Ekonomi 2 59 Litbang ATA 13/14 pasar suatu barang. Besarnya surplus konsumen (Cs) ditunjukkan oleh luas area dibawah kurva permintaan ( P = f(Q) ) tetapi diatas tingkat harga pasar (Pe).

= ( ) − . = ( )

Dimana :

Qe = Tingkat kuantitas keseimbangan di pasar Pe = Tingkat Harga keseimbangan di pasar P = Tingkat harga pada saat Q=0

Grafik Surplus Konsumen

Contoh Soal 1:

Jika fungsi permintaan suatu barang Pd = 55 - 4Q dan fungsi penawaran Ps

= 5 + Q, hitunglah surplus konsumen dengan dua cara? Analisislah dan buatlah grafiknya !

Diketahui : Pd = 55 - 4Q Ps = 5 + Q Ditanya : Cs ?

(64)

Cara 1

Pd = Ps P = 55 – 4(10) 55 - 4Q = 5 + Q Pe = 15

- Q - 4Q = 5 – 55 - 5Q = - 50

Qe = 10

Cs = ∫ ( ) − .

= ∫ [55 – 4Q] dQ – 10 . 15

= [55Q – 2Q²] – 150

= [55(10) – 2(10)²] – [55(0) – 2(0)²] – 150

= 350 – 0 – 150

= 200

Analisis:

Jadi surplus yang diperoleh konsumen tersebut sebesar Rp 200 karena konsumen dapat membeli dengan harga Rp 15 padahal konsumen sanggup membayar lebih tinggi dari harga keseimbangan pasar yang bernilai Rp 15.

Grafik Surplus Konsumen Soal 1

(65)

Matematika Ekonomi 2 61 Litbang ATA 13/14 Langkah membuat Kurva:

1. Pd = 55 - 4Q

Misal P = 0 → Q = 13,75 Misal Q = 0 → P = 55

2. Letakkan nilai Kuantitas Keseimbangan Pasar (Qe = 10) dan Harga Keseimbangan Pasar (Pe = 15)

3. Untuk area Cs dapat hitung menggunakan rumus Luas Segitiga, L = (a x t) : 2. Dengan a = 10; t = 40 maka nilai Cs atau Luas Segitiga yang diarsir adalah L = (10 X 40) : 2 = 200

Langkah-Langkah Pengerjaan Menggunakan Software Ec-Math 1. Pilih materi Integral Tentu, lalu pilih Surplus Konsumen 1 (rumus 1)

(66)

Matematika Ekonomi 2 62 Litbang ATA 13/14 2. Masukkan jumlah variabel Q yang tertera pada soal (Lihat Fungsi

Permintaannya), pilih 1 variabel

3. Input data sesuai soal, kemudian klik Hitung maka jawaban soal akan muncul.

(67)

Matematika Ekonomi 2 63 Litbang ATA 13/14 Cara 2

Pd = 55 - 4Q → 4Qd = 55 – P Qd = 13,75 – 0,25P

Jika : Q = 0 ; = 55

Cs =∫ ( )

= ∫ [13,75 – 0,25P] dP

= [13,75P – 0,125P²]

= [13,75(55) – 0,125(55)²] – [13,75(15) – 0,125(15)²] = 378,125 – 178,125

= 200

Langkah-Langkah Pengerjaan Menggunakan Software Ec-Math 1. Pilih materi Integral Tentu, Surplus Konsumen 2 (rumus 2)

(68)

Permintaannya), pilih 1 variabel

3. Input data sesuai soal. Jika sudah diinput sesuai soal klik tab Hitung maka jawaban soal akan muncul.

(69)

Matematika Ekonomi 2 65 Litbang ATA 13/14 Contoh Soal 2:

Jika fungsi permintaan P = 34 - 4Q dan tingkat kuantitas keseimbangan pasarnya adalah 5, hitunglah surplus konsumennya dengan 2 cara, analisislah dan buat grafiknya!

Diketahui : P = 34 - 4Q Qe = 5 Ditanya : Cs ? Jawab :

Qe = 5 → Pe = 34 – 4(5) = 14

Cara 1

Cs = ∫ ( ) − .

= ∫ [34 − 4Q] dQ – 5 . 14

= [34Q – 2Q²] – 70

= [34(5) – 2(5)²] – [34(0) – 2(0)²] – 70

= 120 – 0 – 70

= 50

Cara 2

P = 34 - 4Q → Q = 8,5 – 0.25P

Jika : Q = 0 ; = 34 Cs = ∫ ( )

= ∫ [8,5 – 0.25P] dP

= [8,5P – 0,125P²]

= [8,5(34) – 0,125(34)²] – [8,5(14) – 0,125(14)²]

= 144,5 – 94.5

= 50

(70)

Jadi surplus yang diperoleh konsumen tersebut sebesar Rp 50 karena konsumen dapat membeli dengan harga Rp.14 padahal konsumen sanggup membayar lebih tinggi dari harga keseimbangan pasar yang bernilai Rp 14.

Grafik Surplus Konsumen Soal 2

Langkah membuat Kurva : 1. P = 34 - 4Q

Misal, P = 0 maka nilai Q = 8,5 Misal, Q = 0 maka nilai P = 34

2.2 Surplus Produsen

Surplus produsen mencerminkan suatu keuntungan lebih/surplus yang dinikmati oleh produsen tertentu berkenaan dengan harga pasar dari barang yang ditawarkan. Besarnya surplus produsen (Ps) ditunjukkan oleh luas area diatas kurva penawaran ( P= f (Q) ) tetapi dibawah tingkat harga pasar (Pe).

(71)

Matematika Ekonomi 2 67 Litbang ATA 13/14 Rentang wilayahnya dibatasi oleh Q = 0 sebagai batas bawah dan Q = Qe sebagai batas atas.

= . − ( ) = ( )

Dimana :

Qe = Tingkat kuantitas keseimbangan di pasar Pe = Tingkat Harga keseimbangan di pasar P = Tingkat harga pada saat Q=0

Grafik Surlus Produsen

Contoh Soal 1:

Bila diketahui fungsi penawaran dan fungsi permintaan masing-masing Ps = 33 + Q dan Pd = 45 – Q. Hitunglah surplus PT Lorebus sebagai produsen dengan dua cara, analisis dan buat grafiknya!

Diketahui : Ps = 33 + Q Pd = 45 – Q Ditanya : Ps ?

(72)

Cara 1

Pd = Ps P = 33 + (6) 45 – Q = 33 + Q Pe = 39 - Q - Q = 33 – 45

- 2Q = - 12 Qe = 6

Ps = . − ∫ ( )

= 6 . 39 – ∫ [33 + Q] dQ

= 234 – [33Q + 0,5Q²]

= 234 – [33(6) + 0,5(6)²] – [33(0) + 0,5(0)²]

= 234 – 216 – 0

= 18

Analisis :

Jadi produsen memperoleh keuntungan sebesar Rp 18 dikarenakan perusahaan dapat menjual barang dengan harga Rp 39 padahal sebenarnya ia bersedia menjual dengan harga yang lebih rendah dari harga keseimbangan pasar yang bernilai Rp 33.

Grafik Surplus Produsen Soal 1

(73)

Matematika Ekonomi 2 69 Litbang ATA 13/14 Langkah membuat Kurva :

1. Ps = 33 + Q

Misal, P = 0 maka nilai Q = -33 Misal, Q = 0 maka nilai P = 33

Langkah-Langkah Pengerjaan Menggunakan Software Ec-Math 1. Pilih materi Integral Tentu, lalu klik Surplus Produsen 1 (rumus 1)

(74)

Penawarannya), pilih 1 variabel

3. Input data sesuai soal. Kemudian klik Hitung maka jawaban soal akan muncul.

(75)

Matematika Ekonomi 2 71 Litbang ATA 13/14 Cara 2

Ps= 33 + Q → Qs = P - 33 Jika Q = 0 ; = 33

Ps = ∫ ( )

= ∫ [P – 33] dP

= [ 0,5P² – 33P]³⁹₃₃

= [0,5(39)² – 33(39)] – [0,5(33)² – 33(33)]

= -526,5 – (-544,5)

= 18

Langkah-Langkah Pengerjaan Menggunakan Software Ec-Math 1. Pilih materi Integral Tentu, lalu klik Surplus Produsen 2 (rumus 2)

(76)

Penawarannya), pilih 1 variabel

3. Input data sesuai soal. Kemudian klik Hitung maka jawaban soal akan muncul.

(77)

TRANSEDENTAL

1. KONSEP DASAR TRANSEDENTAL

Transedental merupakan suatu hubungan matematis yang menyatakan hubungan ketergantungan. Transedental digunakan untuk menentukan tingkat pertumbuhan pada periode yang akan datang. Yang termasuk dalam fungsi transendental adalah fungsi eksponensial, fungsi logaritmik, fungsi trigonometrik, fungsi siklometrik, dan fungsi berpangkat irrasional. Namun pokok pembahasan di sini hanya pada fungsi eksponensial dan fungsi logaritmik. Baik fungsi eksponensial maupun fungsi logaritmik keduanya memiliki hubungan yang erat, dikarenakan fungsi logaritma adalah fungsi balik (inverse) dari fungsi eksponen tertentu, atau sebaliknya.

1.1 Fungsi Eksponensial

Fungsi Eksponensial berbeda dengan fungsi pangkat. Fungsi pangkat adalah suatu fungsi dimana variabel bebasnya dipangkatkan dengan suatu konstanta. Sedangkan fungsi eksponensial adalah suatu fungsi dimana konstantanya dipangkatkan dengan variabel bebasnya.

 Bentuk Fungsi Eksponensial yang paling sederhana adalah:

di mana: n > 0

 Bentuk Fungsi Eksponensial yang lebih umum adalah:

di mana: n ≠ 0

e = 2,71828

k , c merupakan konstanta

 Hukum-Hukum Eksponensial, antara lain:

1. a⁰ = 1 2. a^-k =1/(a)^k 3. a^1/q = q√ a

y = n^x

y = ne ^kx+ c

(78)

Matematika Ekonomi 2 74 Litbang ATA 13/14 4. a^m aⁿ

5. a^m/ aⁿ= a ^m-n 6. (a^m)^k= a^mk

Contoh Soal:

Tentukan titik potong kurva eksponensial y = e^0,35x - 1 , pada masing-masing sumbu dan hitunglah f(3)!

Jawab :

 Pada sumbu x ; y = 0 e^0,35x – 1 = 0

e^0,35x = 1

Ln e^0,35x = Ln 1

0,35x Ln e = Ln 1

0,35x = 0

x = 0

Titik potongnya (0 ; 0)

 Pada sumbu y ; x = 0 y = e^0,35x - 1

y = e^0,35(0) - 1 y = e⁰ - 1 y = 1 - 1 y = 0

Titik potongnya (0 ; 0)

 Untuk x = 3 y = e^0,35x - 1 y = e^0,35(3) - 1 y = e^1,05 – 1 y = 2,718^1.05 – 1

Ln e = 1 Ln 1 = 0

(79)

Matematika Ekonomi 2 75 Litbang ATA 13/14 y = 2,858 – 1

y = 1,858

Titik potongnya (3 ; 1,858)

Grafik 1

Kurva Eksponensial pada y = e^3,5x - 1

1.2 Fungsi Logaritmik

Logaritma dapat diartikan sebagai pangkat dari suatu bilangan pokok untuk menghasilkan suatu bilangan tertentu. Misalnya, 5²= 25, ini berarti bahwa eksponen 2 sebagai logaritma dari 25 dengan bilangan pokok 5.

Sedangkan fungsi logaritma adalah fungsi yang variabel bebasnya merupakan bilangan logaritma, seperti y = a log x atau log y = a + b log x.

 Bentuk Fungsi logaritmik yang paling sederhana adalah : di mana: n > 0

n ≠ 1

 Bentuk fungsi logaritmik yang lebih umum adalah : di mana: x > -1

 Hukum-Hukum atau rumus-rumus logaritma 1. Log a.b = log a + log b

2. Log a/b = log a – log b 3. ^a log b = log b / log a y = ⁿlog x

y = a ln (1 + x) + b

(80)

Matematika Ekonomi 2 76 Litbang ATA 13/14 4. ^a log b = c maka a^c = b

5. ^alog a = 1 6. log xⁿ = n log x 7. ^alog 1 = 0 8. a ^{a log b}= b

Contoh soal:

Tentukan titik potong kurva logaritmik y = -4,5 Ln(1 + x) – 3, pada masing- masing sumbu dan hitunglah f(3)!

Jawab :

 Pada sumbu x ; y = 0 -4,5 Ln(1 + x) – 3 = 0 -4,5 Ln (1 + x) = 3 Ln (1 + x) = -0,67 1 + x = e^–0,67

1 + x = 0,512

x = -0,488

Titik potongnya (-4,88 ; 0)

 Pada sumbu y ; x = 0 y = -4,5 Ln (1 + x) – 3 y = -4,5 Ln (1 + 0) – 3 y = -4,5 Ln 1 – 3 y = -4,5 . 0 – 3 y = –3

Titik potongnya (0 ; -3)

 Untuk x = 3

y = -4,5 Ln(1 + x) – 3 y = -4,5 Ln(1 + 3) – 3

(81)

Matematika Ekonomi 2 77 Litbang ATA 13/14 y = -4,5 Ln 4 – 3

y = -6,2383 – 3 y = -9,2383

Titik potongnya (3 ; -9,2383)

Grafik 2

Kurva Logaritmik pada y = - 4,5 Ln(1 + x) = 3

2. PENERAPAN EKONOMI

Banyak model-model bisnis dan ekonomi sangat relevan ditelaah dengan fungsi eksponensial dan fungsi logaritmik, khususnya model-model yang berkenaan dengan aspek pertumbuhan. Model-model yang menerapkan fungsi eksponensial dan fungsi logaritmik tersebut antara lain:

2.1 Model Bunga Majemuk

Modul bunga majemuk tidak lain merupakan bentuk fungsi eksponensial. Model ini digunakan untuk menghitung jumlah di masa mendatang dari jumlah sekarang suatu pinjaman atau tabungan.

Jika suatu modal awal P dibunga majemukkan secara tahunan pada suku bunga i selama n tahun, maka jumlah di masa mendatang Fn adalah :

Fn = P ( 1 + i )ⁿ

(82)

Matematika Ekonomi 2 78 Litbang ATA 13/14 Tetapi jika bunga dimajemukkan sebanyak m kali dalam setahun, maka jumlah di masa mendatang Fn adalah :

di mana :

Fn = Jumlah saldo pinjaman atau tabungan setelah n tahun.

P = Jumlah saldo sekarang (tahun ke-0).

i = Tingkat bunga per tahun.

m = Frekuensi pembayaran bunga dalam setahun.

n = Jumlah tahun

Dalam hal ini Fn merupakan variabel terikat (dependent variable) dan n sebagai variabel bebas (independent variable). Dengan demikian, prinsip- prinsip penyelesaian persamaan eksponensial relevan diterapkan terhadap model ini.

Selanjutnya, apabila bunga dimajemukkan secara kontinu selama satu tahun (m sangat besar / bunga diperhitungkan secara terus menerus atau sering), maka jumlah di masa mendatang Fn adalah:

dimana e = 2,71828

Bentuk ini dinamakan model bunga majemuk sinambung (continuous compound interest). Bunga majemuk sinambung dalam kasus pinjam- meminjam seringkali dipraktekkan oleh para “pelepas uang” atau “rentenir”

atau “lintah darat” yang kadang-kadang menetapkan atau memperhitungkan bunga atas uang yang dipinjamkannya secara harian (m = 360). Oleh karena itu, model ini dapat pula disebut “model lintah darat”

F n = P(1 + ) ^m.n

Fn ≈ Pe^i.n

(83)

Matematika Ekonomi 2 79 Litbang ATA 13/14 Contoh Soal :

Tuan Tedi seorang pengusaha tekstil yang sedang melakukan pengembangan usaha. Modal yang dibutuhkan sekitar Rp 300.000.000,-.

Untuk itu, ia meminjam modal ke Bank Swasta untuk jangka waktu 5 tahun dengan bunga pinjaman 5% per tahun. Hitunglah:

a. Berapa rupiah jumlah yang harus dibayarkan oleh Tuan Tedi pada saat pinjamannya jatuh tempo jika bunga diperhitungkan per kuartal!

b. Berapa rupiah jumlah yang harus dibayarkan oleh Tuan Tedi pada saat pinjamannya jatuh tempo jika bunga diperhitungkan per jam!

Diketahui : P = 300.000.000 i = 5% = 0,05 m = 3

n = 5

Ditanya : a. F5 per kuartal?

b. F5 per jam?

Jawab :

a. Per kuartal (dengan rumus bunga majemuk biasa) 1) Tanpa Menggunakan Logaritma

F5 = 300.000.000 (1 + ^, ) F5 = 300.000.000 (1,0167)¹⁵ F5 = 300.000.000 (1,2820) F5 = 384.600.000,-

2) Dengan Menggunakan Logaritma F5 = 300.000.000 (1,0167)¹⁵

Log F5 = log 300.000.000 + 15 log 1,0167 Log F5 = 8,4771 + 0,1079

Log F5 = 8,585 F5 = 384.591.782,-

(84)

Matematika Ekonomi 2 80 Litbang ATA 13/14 b. Per jam (dengan rumus bunga majemuk sinambung)

1) Tanpa Menggunakan Logaritma Natural F5 ≈ 300.000.000 x e^{0,05 * 5}

F5 ≈ 300.000.000 x e^0,25 F5 ≈ 300.000.000 x 1,2840 F5 ≈ 385.200.000,-

2) Dengan Menggunakan Logaritma Natural F5 ≈ 300.000.000 x e^{0,05 * 5}

F5 ≈ 300.000.000 x e^0,25

Ln F5 ≈ Ln 300.000.000 + 0,25 Ln e Ln F5 ≈ 19,5193 + 0,25

Ln F5 ≈ 19,7693 F5 ≈ 385.210.309,-

Analisis :

Jumlah uang yang harus dibayar oleh Tuan Tedi saat jatuh tempo apabila pembayaran bunga dihitung per kuartal adalah sebesar Rp 384.600.000,-.

Sedangkan jika pembayaran bunga dihitung per jam, maka jumlah uang yang harus dibayar oleh Tuan Tedi saat jatuh tempo adalah sebesar Rp 385.200.000,-.

(85)

1. Buka software EC MATH, lalu klik materi Transendental, klik Transendental.

2. Lalu pilih Model Bunga Majemuk

(86)

Matematika Ekonomi 2 82 Litbang ATA 13/14 3. Masukkan data yang diketahui pada soal, lalu klik hitung maka akan

muncul jawaban dibawah data diketahui.

Catatan :

Hasil perhitungan secara manual dengan menggunakan software EC-Math mengalami perbedaan karena pada perhitungan secara manual menggunakan pembulatan 4 angka dibelakang koma, sedangkan pada software EC-Math tidak menggunakan pembulatan.

2.2 Model Pertumbuhan

Model pertumbuhan tak lain juga merupakan bentuk fungsi eksponensial. Model ini tidak saja relevan bagi penaksiran variabel kependudukan, tetapi juga dapat diterapkan untuk menaksir variabel-variabel lain yang berkenaan dengan pertumbuhannya.

Pt = P1. R ^t-1 R = 1 + r

(87)

Matematika Ekonomi 2 83 Litbang ATA 13/14 di mana:

Pt = Jumlah penduduk pada tahun ke-t.

t = Jumlah tahun.

P1 = Jumlah penduduk pada tahun pertama (basis).

r = Tingkat pertumbuhan

Agar model di atas dapat diterapkan secara umum terhadap segala macam variabel dan tidak semata-mata hanya terpaku pada masalah kependudukan, maka persamaan di atas dapat ubah bentuknya menjadi:

di mana:

N = Variabel yang sedang diamati.

r = Persentase pertumbuhan per satuan waktu.

t = Indeks tahun.

Contoh Soal :

PRINCE merupakan salah satu perusahaan yang bergerak dalam bidang Multi Level Marketing di Indonesia, mulai beroperasi tahun 2005. Pada awal usahanya, perusahaan ini menggunakan Personal Marketing/Sales sebanyak 355 orang untuk seluruh Indonesia. Diperkirakan pertumbuhan Personal Marketingnya sebesar 5% per tahun. Hitunglah berapa jumlah Personal Marketing yang dimiliki oleh PRINCE pada tahun 2009? Analisislah!

Diketahui : N = 355 orang t = 5 tahun r = 0,05

R = 1 + 0,05 = 1,05 Ditanya : N5 = ….. ?

Nt = N1. R ^t-1 R = 1 + r

(88)

1) Tanpa Menggunakan Logaritma Nt = N1 x R^(t-1)

N5 = 355 x 1,05^(5-1) N5 = 355 x 1,05⁴ N5 = 355 x 1,2155 N5 = 431 orang

2) Dengan Menggunakan Logaritma N5 = 20.504 x 1,04^(5-1)

N5 = 355 x 1,05⁴

Log N5 = log 355 + 4 log 1,05 Log N5 = 2,5502 + 0,0847 Log N5 = 2,6349

N5 = 431 orang

Analisis :

Dalam kurun waktu 5 tahun ke depan diperkirakan jumlah Personal Marketing (sales) akan meningkat menjadi 431 orang, dengan jumlah peningkatan sebesar 76 orang.

(89)

1. Buka software EC MATH, lalu klik materi Transendental, klik transendental.

2. Lalu pilih Model Pertumbuhan Majemuk.