Jika y = f (u) sedangkan u = g (x) , dengan kata lain y = f [ g (x) ], maka

(1)

Modul Praktikum Materi Derivatif

MATEK 2 Hal. 1 Periode ATA

MODUL DERI VATI F

A. KONSEP DASAR TURUNAN

Turunan (derivatif) membahas tingkat perubahan suatu fungsi sehubungan

dengan perubahan kecil dalam variabel bebas fungsi yang bersangkutan. Turunan diperoleh dengan menentukan limit dari hasil bagi diferensi, dimana : x  0.

y Jika y = f ( x ), maka

y = f ( xo +

∆x )

- f ( xo )

x

y /

x merupakan hasil bagi perbedaan atau koefisien diferensi dan menggambarkan

tingkat perubahan variabel terikat dari fungsi y = f ( x ), dirumuskan :

y = f (x) = lim

y/

x =

lim f ( x + x) – f ( x)

x  0

x  0 x

Berikut ini kaidah diferensiasi dalam berbagai bentuk fungsi :

1. Diferensiasi fungsi konstanta

Jika

y = k

, dimana k adalah konstanta, maka

y = 0

Contoh : y = 3 maka y’ = 0

2. Diferensiasi fungsi linier

Jika

y = a + bx

, dimana a adalah konstanta, maka

y = b

Contoh : y = 24 + 16x maka y’ = 16

3. Diferensiasi fungsi pangkat

(2)

4. Diferensiasi penjumlahan ( pengurangan ) fungsi

Jika

y = u  v

, dimana u = g (x) dan v = n (x), maka

y = u  v

Contoh : y = 8x3 – 8x2 maka y’ = 24x2 – 16x

5. Diferensiasi perkalian

a. Perkalian fungsi dan konstanta

Jika

y = k.u

, dimana u = g (x), maka

y = k.u

Contoh : y = 4.4x2 maka y’ = 4.8x = 32x

b. Perkalian fungsi

Jika

y = u.v

, dimana u = g (x) dan v = h (x), maka

y = u.v + u.v

Contoh : y = ( 2x6 – 1 )( 2x3 – 5 ) maka

y’ = (12x5)(2x3 – 5) + (2x6 – 1)(6x2) = 36x8 – 60x5 – 6x2

6. Diferensiasi hasil bagi fungsi

Jika

y = u

, dimana u = g (x) dan v = h (x), maka

y = u.v – u.v

V

2 Contoh : y = (2x6 – 1) maka y’ = (12x5)(2x3 – 5) – (2x6 – 1)(6x2)

(2x3 – 5) (2x3 – 5)2

y’ = 36x8 – 60x5 – 6x2

(2x3 – 5)2

7. Diferensiasi fungsi komposisi ( dalil rantai )

Jika y = f (u) sedangkan u = g (x) , dengan kata lain

y = f [ g ( x) ] ,

maka

dy = dy . du

dx du . dx

contoh : y = ( 3x2 + 2 )2

misalkan : u = 3x2 + 2 , sehingga y = u2

du / dx = 6x dy / du = 2u

maka dy = dy . du = 2u . 6x = 2 (3x2 + 2)(6x) = 36x3 + 12x

dx du . dx

8. Derivatif tingkat tinggi

Derivatif ke-n dari fungsi y = f (k) diperoleh dengan mendiferensiasikan sebanyak n

(3)

Derivatif ke-n dilambangkan :

d

n

y

atau f

n

( x) atau d

n

( y)

dx

n

dx

Contoh : y = 5x5 + 4x4 + 3x3 + 2x2 + x maka

y’ atau dy / dx = 25x4 + 16x3 + 9x2 + 4x + 1

y’’atau d2y/ d2y = 100x3 + 48x2 + 18x + 4 ………..dst

9. Diferensiasi implisif

Adalah suatu metode diferensiasi dengan mendiferensiasikan

f ( x,y) = 0

suku demi suku dengan memandang y sebagai fungsi x, kemudian dari persamaan tersebut ditentukan

nilai

dy/ dx .

Contoh : xy2 - x2 + y = 0 didiferensiasikan terhadap x, maka :

1.y2 + x.2y dy/ dx – 2x + dy / dx = 0

( 2xy + 1 ) dy/ dx = - y2 + 2x

dy/ dx = - y2 + 2x

2xy + 1

10. Derivatif fungsi logaritmik



y = ln x



dy/ dx = 1/ x

y = ln u

, dimana u = g (x)

dy = du . 1 = u

dx dx u u



y =

a

log x



dy/ dx = 1/

a

ln a

Contoh : jika y = ln ( 3 – 3x2 ) maka tentukan dy / dx

u = 3 – 3x2

du / dx = u’ = -6x

dy = u’ = -6x

dx u 3 – 3x2

11. Derivatif fungsi eksponensial

(4)

12. Derivatif fungsi trigonometrik

Beberapa turunan fungsi trigonometrik yang penting adalah :



y = sin x



dy/ dx = cos x



y = cos x



dy/ dx = - sin x



y = tg x



dy/ dx = sec

2

x



y = ctg x



dy/ dx = - cosec

2

x



y = sec x



dy/ dx = sec x . tg x



y = cosec x



dy/ dx = - cosec x . ctg x



Catatan :

sec x = 1 / cos x

cos x = 1 / sin x

B. HUBUNGAN ANTARA FUNGSI DAN DERI VATI FNYA

1. Menentukan persamaan Garis singgung dan Garis Normal

Langkah – langkah untuk mencari Garis singgung dan Garis normal adalah :

1. Tentukanlah titik singgung ( Xo , Yo )

2. Cari koefisien arah

m = f ‘ ( x)

3. Cari Garis singgung dengan rumus :

y - yo = m ( x – xo)

4. Cari Garis Normal dengan rumus :

y - yo = -1 ( x – xo )

m



Catatan : Garis Normal adalah garis yang tegak lurus pada Garis

Singgung kurva

2. Menentukan Keadaan Fungsi Menaik dan Fungsi Menurun

1. Fungsi y = f (x) monoton naik jika

f ( x) > 0

2. Fungsi y = f (x) monoton turun jika

f ( x) < 0

3. Nilai stasioner

(5)

Jenis – jenis Titik Stasioner adalah :



Jika

f  ( x) > 0

, maka (x , y) merupakan

titik balik minimum



Jika

f  ( x) < 0

titik balik maksimum



Jika

f  ( x) = 0

titik balik belok

Contoh : Diketahui TR = 30Q - Q2 , tentukanlah nilai maksimum

atau minimum dari fungsi tsb !

Jawab : TR = 0 TR’ = 30 – 2Q = 0

2Q = 30 maka Q = 15

TR = -2 (TR

 < 0, merupakan titik balik maksimum)

Nilai Minimum TR = 30Q - Q2

= 30(15) - (15)2

= 225

C. APLI KASI DERI VATI F DALAM BI SNI S DAN EKONOMI

1. ELASTI SI TAS

a. Elastisitas Harga

Adalah perbandingan antara perubahan relatif dari jumlah dengan perubahan relatif dari

harga. Untuk menentukan elastisitas harga, ada dua macam cara yang digunakan, yaitu :

1. Elastisitas Tit ik ( Point Elasticity )

 = Q/ Q = Q . P

P/ P P Q

2. Elastisitas Busur ( Arc Elast icity )

Merupakan elastisitas pada dua titik atau elastisitas pada busur kurva.

Kelemahannya : timbulnya tafsiran ganda.



= P1 . Q

Q1 P



= P2 . Q

(6)



=

P1 + P2 . Q

Q1 + Q2 P

Elastisitas Tit ik dan Busur dipakai untuk menghitung :

a.

Elastisitas harga Permintaan,

d < 0 ( negatif)

b. Elastisitas harga Penawaran,

s > 0 ( positif)

Dari hasil perhitungan, nilai elastisitas akan menunjukkan :



 > 1



Elastis



 < 1

atau 0< n< 1 

I nelastis

(elastis sebagian)



 = 1



Unitary Elastis

(elastis sempurna)

b. Elastisitas Permintaan

Adalah suatu koefisien yang menjelaskan besarnya jumlah barang yang diminta akibat

adanya perubahan harga. Jika fungsi permintaan dinyatakan dengan Qd = f ( P ), maka

elastisitas permintaannya

d = Qd . P

Qd

Contoh : Fs. permintaan Qd = 25 – 3P2. tentukan elastisitas pada P = 5

Qd’ = -6P

Maka d = Qd . P = (-6P ) . P = -6P2

Qd ( 25 – 3P2 ) ( 25 – 3P2 )

c. Elastisitas Penaw aran

Adalah suatu koefisien yang menjelaskan besarnya perubahan jumlah barang yang

ditawarkan berkenaan adanya perubahan harga. Jika fungsi penawaran dinyatakan

dengan Qs = f ( P ), maka elastisitas penawarannya :

s = Qs . P

(7)

Contoh : Fs Penawaran Qs = 7P2 – 200. Hitunglah elast isitas pada P = 10

Qs’ = 14P

s = Qs . P = 14P . P = 14P2

Qs 7P2 – 200 7P2 – 200 P = 10 maka s = 14(10)2

= 2,8

7(10)2 – 200

d. Elastisitas Produksi

Adalah suatu koefisien yang menjelaskan besarnya perubahan jumlah keluaran ( output )

yang dihasilkan akibat adanya perubahan jumlah masukan ( input ) yang digunakan. Jika

fungsi produksi dinyatakan dengan P = f ( x ), maka elastisitas produksinya :

p = P . X

P

Contoh : Fs Produksi P = 6x2 – x3. Hitunglah elastisitas pada x = 5

P’ = 12x – 3x2

p = P . X = ( 12x – 3x2

) . X = 12x2 – 3x3

P 6x2 – x3 6x2 – x3 X = 5 maka p =

12(5)2 – 3(5)3 = -3

6(5)2 – (5)3

2. BI AYA

o

Biaya Total ( TC )

Adalah seluruh biaya yang dibutuhkan untuk memproduksi atau memasarkan

sejumlah barang atau jasa, baik yang merupakan biaya tetap atau biaya variabel.

Dimana :

TC = Total cost

VC = Variabel cost

FC = Fixed cost

Q = Kuantitas

(8)

o

Biaya Rata – rata ( AC )

Adalah biaya per unit yang dibutuhkan untuk memproduksi suatu barang atau jasa

pada tingkat produksi total.

o

Biaya Marginal ( MC )

Adalah besarnya pertambahan biaya total yang dibutuhkan akibat pertambahan

hasil produksi satu unit pada suatu tungkat produksi tertentu.

Contoh :

Diketahui TC = 150 + 15Q2 , Tentukan AC dan MC pada Q = 20 ?

AC = TC / Q = 150 / Q + 15Q = 150 / 20 + 15 (20) = 307,5

MC = TC

 = 30Q = 30 (20) = 600

3. PENERI MAAN

o

Penerimaan Total ( TR )

Adalah total hasil penerimaan penjualan dari produk yang diproduksi.

o

Penerimaan Rata - rata ( AR )

Adalah hasil dari penerimaan per unit yang diperoleh dari penjualan suatu barang /

jasa pada kuantitas tertentu. Fungsi Average Revenue sama dengan fungsi permintaan

dari harga barang tersebut.

o

Penerimaan Marginal ( MR )

Adalah pertambahan hasil penerimaan yang diperoleh akibat pertambahan penjualan

satu unit barang / jasa pada suatu kuantitas tertentu.

AC = TC / Q

MC = TC = dTC / dQ

TR = f ( Q) = P . Q

AR = TR / Q = ( P.Q) / Q = P

(9)

Contoh :

Diketahui TR = Q2 + 14Q + 1000, tentukan AR dan MR pada Q = 50 !

Jawaban :

AR = TR / Q

= Q + 14 + 1000 / Q

= 50 + 14 + 1000 / 50

= 84

MR = TR

= 2Q + 14

= 2 (50) + 14

= 114

Contoh Soal :

1. Fungsi Permintaan suatu barang ditunjukkan oleh persamaan Qd = 50 - 2P2 . Tentukan

elastisitas permintaan pada saat harga Rp 6 / unit. Bagaimana sifat elastis permintaan

tersebut, analisislah !

Dik :

Qd = 50 - 2P2  Qd = -4P

P = Rp 6 / unit

Jaw ab

:

d

= Qd . P

Qd

= -4P . P

50 - 2P2

= -4 (6) . 6

50 - 2 (6)2

= -144 =

6,5



Elastis

-22

Analisis

: Jadi Elastisitas Permintaan sebesar 6,5 pada saat harga produk sebesar Rp 6 dan jika harga tersebut naik sebesar 1 % maka barang yang diminta akan turun sebanyak 6,5 %

(10)

2. Fungsi Penawaran suatu barang ditunjukkan oleh persamaan P2 = 80 + Qs . Tentukan

elastisitas penawaran pada saat harga Rp 4 / unit. Bagaimana sifat elastisitas penawaran

tersebut, analisislah !

Dik :

P2 = 80 + Qs  Qs = P2 - 80  Qs = 2P P = Rp 4 / unit

Jaw ab :

s

= Qs . P

Qs

= 2P . P

P2 - 80

= 2 (4) . 4

(4)2 - 80

= 32 = - 0,5 

I nelastis

- 64

Analisis

: Jadi Elastisitas Penawaran sebesar 0,5 pada saat harga produk sebesar Rp 4 dan jika harga tersebut naik sebesar 1 % maka barang yang ditawarkan akan bertambah

sebanyak 0,5 % .

3. Fungsi Permintaan suatu barang ditunjukkan oleh persamaan 2P = 60 - Q . Tentukanlah

tingkat penjualan yang menghasilkan penerimaan total, carilah harga jualnya, hitunglah

penerimaan jika terjual 10 unit, analisislah !

Dik :

2P = 60 - Qd  P = 30 - 0,5 Qd

Jaw ab :

TR = P . Q

= (30 – 0,5Q) . Q

= 30Q - 0,5Q2 TR max, TR = 0

30 – Q = 0

Q = 30 unit

TR jika Q = 30 unit

TR max = 30Q - 0,5Q2

= 30(30) - 0,5(30)2

(11)

* P max = TRmax

Qmax

= 450 = Rp. 15,-

30

* TR jika Q = 10 unit

TR = 30Q - 0,5Q2

= 30(10) - 0,5(10)2

= 300 – 50 = Rp. 250,-

Analisis

: Berawal dari tingkat penjualan sebesar 30 unit dan diperoleh penerimaan maksimal sebesar Rp.450,- dengan harga maksimal Rp.15,-, jika barang yang dijual

sebanyak 10 unit, maka penerimaan total yang diperoleh sebesar Rp.250,-.

Daftar Pustaka :

Dumairy, “Matematika Terapan Untuk Bisnis dan Ekonomi”, edisi kedua, BPFE, Yogyakarta,

(12)

Modul Praktikum Materi I ntegral Tak Tentu

MATEK 2 Hal. 12 Periode ATA I NTEGRAL TAK TENTU

I . KONSEP DASAR I NTEGRAL

Dalam kalkulus integral dikenal dua macam integral, yaitu integral tak tentu dan integral tertentu. Diferensial / anti derivative / integral, yaitu suatu konsep yang berhubungan dengan proses penemuan suatu fungsi asal apabila fungsi turunan dari fungsinya diketahui ( kebalikan dari derivatif atau disebut juga proses integrasi / integrand ).

A. I NTEGRAL TAK TENTU

Mengintegralkan suatu fungsi turunan f(x) berarti adalah mencari integral atau turunan antinya, yaitu F(x).Dinamakan integral tak tentu karena ada ketidaktentuan pada nilai konstantanya.

Bentuk umum :

Dimana : c adalah sembarang konstanta yang nilainya tak tentu. Contoh :

∫ f(x) dx = F(x) + c ∫ f(x) dx = F(x) + c ∫ 12x3

+ 9x2 – 2x + 2 dx = 12x3+ 1 + 9x2+ 1 - 2x1+ 1 – 2x + c 3+ 1 2+ 1 1+ 1

= 3x4 + 3x3 – x2 – 2x + c

Bila c = 4, maka F( x) = 3x4 + 3x3 – x2 – 2x + 4

I I . PENERAPAN I NTEGRAL TAK TENTU DALAM EKONOMI

Penerapan integral tak tentu yaitu untuk mencari persamaan fungsi total dari suatu variabel ekonomi apabila persamaan fungsi marginalnya diketahui. Karena fungsi marginal pada dasarnya merupakan turunan dari fungsi total, maka dengan proses sebaliknya yaitu integrasi dapat dicari fungsi asal dari fungsi turunan (fungsi total).

Macam-macam penerapan integral tak tentu dalam ekonomi : A. Fungsi Biaya

Biaya total (TC) adalah integral biaya marginal (MC) : ∫ f(x) dx = F(x) + c

(13)

MATEK 2 Hal. 13 Periode ATA Dan Biaya rata-rata (AC) :

Contoh:

Diketahui suatu perusahaan fungsi biaya marginalnya MC = 12Q-9Q2, maka carilah fungsi biaya total dan biaya rata-rata dimana c ( konstanta ) sebesar 4 ?

TC = ∫ MC dQ

= ∫ 12Q - 9Q2 dQ = 6Q2 – 3Q3 + c

Jika c = 4

TC = 6Q2 – 3Q3 + 4

AC = TC / Q = 6Q – 3Q2 + 4/ Q

Analisa : dari perhitungan di atas maka dapat diketahui bahwa fungsi biaya total adalah TC = 6Q2 – 3Q3 + 4 dan fungsi biya rata-rata adalah AC = TC / Q = 6Q – 3Q2 + 4/ Q.

B. Fungsi Penerimaan

Penerimaan total (TR) adalah integral dari penerimaan marginal (MR).

Contoh :

Diketahui MR suatu perusahaan adalah 15Q2 + 10Q – 5. Tentukan penerimaan totalnya (TR), jika c = 0 ?

TR = ∫ MR dQ

= ∫ 15Q2 + 10Q – 5 dQ = 5Q3 + 5Q2 – 5Q + c jika c = 0

TR = 5Q3 + 5Q2 – 5Q

C. Fungsi Produksi

a. Produk Total : P = f( Q) , dimana P = keluaran dan Q = masukan b. Produk Marginal : MP = P’ = dP / dQ = f’( Q)

c. Produk Total adalah integral dari produk marginal.

F(Q) = ∫ f (Q) dQ

TC = ∫ MC dQ

AC = TC / Q

F(Q) = ∫ f(Q) dQ

(14)

MATEK 2 Hal. 14 Periode ATA Contoh :

Diketahui produk marginalnya 2Q2 + 4, maka produk totalnya jika c = 0 ? P = ∫ MP dQ = ∫ 2Q2 + 4

= 2/ 3 Q3 + 4Q + c jika c = 0, P = 2/ 3 Q3 + 4Q

Analisa : Dari perhitungan tersebut dapat diketahui bahwa fungsi total produksi adalah P = 2/ 3 Q3 + 4Q

D. Fungsi Konsumsi dan Fungsi Tabungan

Dalam ekonomi makro, konsumsi (C) dan tabungan (S) dinyatakan dalam fungsional terhadap pendapatan nasional (Y).

Berdasarkan kaidah integrasi, konsumsi (C) adalah integral dari MPC dan tabungan (S) adalah integral dari MPS.

a. k = a = Autonomous Consumption : konsumsi otonom menunjukkan besarnya konsumsi nasional pada saat Pendapatan Nasional sebesar nol

b. k = a = Autonomous Saving : Tabungan otonom menunjukkan besarnya tabungan nasional pada saat Pendapatan Nasional sebesar nol (0).

c. MPC ( Marginal Propensity to Consume) : Perbandingan antara besarnya perubahan konsumsi (∆C) dengan perubahan Pendapatan Nasional (∆Y) yang mengakibatkan adanya perubahan konsumsi tersebut.

P = ∫ MP dQ = ∫ f’(Q) dQ

C = f(Y) = a + bY

MPC = C’ = dC/dY = f’(Y) = b = turunan dari C

S = g(Y) = -a + (1-b)Y

MPS = S’ = dS/dY = g’(Y) = (1-b) = turunan dari S

Y = C + S

Y = [ a + bY ] + [ -a + (1-b)Y ]

MPC + MPS = 1

C = ∫ MPC dY = F(Y) + c

(15)

MATEK 2 Hal. 15 Periode ATA d. MPS ( Marginal Propensity to Saving) : Perbandingan antara besarnya perubahan saving (∆S) dengan perubahan Pendapatan Nasional (∆Y) yang mengakibatkan adanya perubahan konsumsi tersebut.

Keterangan :

MPC < 1, menunjukkan sebagian besar penggunaan tambahan pendapatan digunakan untuk menambah besarnya konsumsi, sedangkan sisanya yaitu sejumlah kecil merupakan tambahan tabungan.

MPC > ½ , menunj ukkan lebih dari 50 % pendapatan yang diperoleh digunakan untuk konsumsi.

MPC selalu positif, karena jika pendapatan naik, konsumsi akan naik.

Contoh :

Dimana C = ∫ MPC dY = ½ dY + c, bila pendapatan = 0 dan konsumsi autonomsnya adalah 50, maka fungsi konsumsi, tabungan dan Pendapatan Nasionalnya adalah…

Jawab :

C = ∫ MPC dY = ∫½ dY = ½ Y + 50

S = Y – ( ½ Y + 50 ) = Y – 50 - ½ Y S = ½ Y – 50

Atau S = Y – C

S = ∫ MPS dY = ∫ ½ dY = ½ Y – 50 Y = C + S

Y = ( ½ Y + 50 ) + ( ½ Y – 50 )

Analisa :Dari perhitungan di atas dapat kita ketahui bahwa fungsi konsumsi adalah C = ½ Y + 50, fungsi tabungan adalah S = ½ Y – 50, dan fungsi pendapatan nasionalnya adalah Y = ( ½ Y + 50 ) + ( ½ Y – 50 ).

Daftar Pustaka :

Dumairy, “Matematika Terapan Untuk Bisnis dan Ekonomi”, edisi kedua, BPFE, Yogyakarta, 1995.

(16)

Modul Praktikum Materi I ntegral Tertentu

MODUL I NTEGRAL TERTENTU

I ntegral tertentu merupakan suatu konsep yang berhubungan dengan proses pencarian luas

suatu area yang batasan-batasan (limit) nya sudah ditentukan.

Rumus I ntegral tertentu :

Keterangan :

a = x = batas minimum

b = x = batas maksimum

dimana a < b

contoh :

Hitunglah luas daerah persamaan 2x + 5 dibatasi oleh a= 2 dan b= 5 !

Jawab

Penerapan I nt egral Tert ent u Dalam Ekonomi

A. Surplus Konsumen

Yaitu cerminan suatu keuntungan lebih/ surplus yang dinikmati oleh konsumen tertentu berkenaan

dengan tingkat harga pasar suatu barang. Besarnya surplus konsumen (Cs) ditunjukkan oleh luas

area dibawah kurva permintaan (P= f(Q)) tetapi diatas tingkat harga pasar (Pe).

Dimana : Qe = Tingkat kuantitas keseimbangan dipasar

Pe = Tingkat Harga keseimbangan di pasar



P

= Tingkat harga pada saat Q= 0













Qe P Pe

dP

P

f

Pe

Qe

dQ

Q

f

Cs

0

)

(

)

(

36

)]

2

(

5

2

[

)]

5

(

5

[

]

5

[

5

2

2 2 5 2 2



















x

dx

x

 



 



 



b





a

b

a

F

b

F

a

(17)

MATEK 2 Hal. 17 Periode ATA contoh :

1. Jika fungsi permintaan P = 8 - Q dan tingkat kuantitas keseimbangan pasarnya adalah 2,

hitunglah surplus konsumennya dan analisislah!

6

)

2

(

8

2









Pe

Qe









 







 



2 12 0 14 12 0 5 . 0 0 8 2 5 . 0 2 8 12 5 , 0 8 6 2 8 ) ( 2 2 2 0 2 0 0                   



Q Q dQ Q Pe Qe dQ Q f Cs Qe

Analisis : Konsumen memperoleh surplus sebesar 2 karena konsumen dapat membeli barang

tersebut dengan harga 6 padahal mereka sanggup membayar lebih tinggi.

2. Fungsi permintaan suatu barang ditunjukkan oleh persamaan Q = 6 - P. Hitunglah

surplus konsumen jika tingkat harga keseimbangan pasarnya 4 !

2

)

4

(

6

4









Qe

Pe





P

Q

P

6

0

6

0

 









 







 



2

16

18

4

5

.

0

4

6

5

.

0

6

5

.

0

6

2 2 6 4 2 6 4























P

dP

P

dP

P

f

Cs

P Pe

Analisis : Konsumen memperoleh surplus sebesar 2 karena konsumen dapat membeli barang

(18)

B. Surplus Produsen

Yaitu mencerminkan suatu keuntungan lebih/ surplus yang dinikmati oleh produsen tertentu

berkenaan dengan pasar dari barang yang ditawarkan. Besarnya surplus produsen (Ps) ditunjukkan

oleh luas area diatas kurva penawaran (P = f(Q)) tetapi dibawah tingkat harga pasar (Pe) rentang

wilayahnya dibatasi oleh Q = 0 sebagai batas bawah dan Q = Qe sebagai batas atas.

Dimana : Qe = Tingkat kuantitas keseimbangan di pasar

Pe = Tingkat Harga keseimbangan di pasar



P

= Tingkat harga pada saat Q= 0

Contoh

1. Bila diketahui fungsi penawaran P = 2Q + 2 dan fungsi permintaan P = 8 - Q. Carilah surplus

produsen dengan dua cara dan analisislah!

Cara 1 :

(19)

MATEK 2 Hal. 19 Periode ATA Cara 2 :

1

5

.

0

2













P

Q

P

Q

P









P

Q

P

2

0

1

0

 









 







   



 

4

1

3

2

25

.

0

6

25

.

0

25

.

0

1

5

.

0

2 2 6 2 2 6 2





















_

P

dP

P

dP

P

f

Ps

Pe P

Analisa : Produsen memperoleh keuntungan sebesar 4 dikarenakan perusahaan dapat menjual

barang dengan harga 6 padahal sebenarnya ia bersedia menjual dengan harga yang

(20)

Modul Praktikum Materi Fungsi Transendental

MATEK 2 Hal.

20

Periode ATA

MODUL FUNGSI TRANSENDENTAL



Merupakan suatu hubungan matematis yang menyatakan hubungan ketergantungan.



Berguna untuk menentukan tingkat pertumbuhan pada periode yang akan datang.



Termasuk dalam fungsi transendental adalah fungsi eksponensial, fungsi logaritmik, fungsi

trigonometrik, fungsi siklometrik, dan fungsi berpangkat irrasional.



Tetapi pokok pembahasan di sini hanya pada fungsi eksponensial dan fungsi logaritmik.

A. Fungsi Eksponensial

Adalah fungsi dari suatu konstanta berpangkat variabel bebas.



Bentuk Fungsi Eksponensial yang paling sederhana adalah :

di mana n > 0



Bentuk Fungsi Eksponensial yang lebih umum adalah :

di mana n



0

e = 2,71828

k , c merupakan konstanta

Contoh Soal :

Tentukan titik potong kurva eksponensial

y = e

0.5x

- 1 ,

pada masing-masing

sumbu dan hitunglah f (2) !

Jawab :

 Pada sumbu x ; y = 0 e 0.5x = 1

Ln e 0.5x = Ln 1

0.5x Ln e = Ln 1 Ln e = 1

0,5x = 0 Ln 1 = 0

x = 0

Titik potongnya ( 0 ; 0 )

y

= n

x

(21)

MATEK 2 Hal.

21

Periode ATA

 Pada sumbu y ; x = 0 y = e 0.5x - 1

y = e 0.5 (0) - 1

y = e 0 - 1

y = 1 - 1

y = 0

Titik potongnya ( 0 ; 0 )

 Untuk x = 2 y = e 0.5x - 1

y = e 0.5 (2) - 1

y = e 1 – 1

y = 2,72 – 1

y = 1,72

Titik potongnya ( 2 ; 1,72 )

B.

Fungsi Logaritmik

Adalah fungsi yang variabel bebasnya merupakan bilangan logaritma.



Bentuk Fungsi logaritmik yang paling sederhana adalah :

di mana n > 0

n



1

y

=

n

log x

Grafik 1

(22)

MATEK 2 Hal.

22

Periode ATA



Bentuk fungsi logaritmik yang lebih umum adalah :

di mana x > -1

Contoh soal :

Tentukan titik potong kurva logaritmik y = - 0,5 Ln (1 + x) –1, pada masing-masing

sumbu dan hitunglah f (3) !

Jawab :

 Pada sumbu x ; y = 0 -0,5 Ln (1 + x) = 1

Ln (1 + x) = -2

1 + x = e –2

1 + x = 0,14

x = - 0.86

Titik potongnya (-0,86 ; 0 )

 Pada sumbu y ; x = 0 y = -0,5 Ln (1 + x) –1

y = -0,5 Ln (1 + 0) –1

y = -0,5 Ln 1 –1

y = -0,5 .0 – 1

y = –1

Titik potongnya ( 0 ; -1 )

 Untuk x = 3

y = -0,5 Ln (1 + x) –1

y = -0,5 Ln (1 + 3) –1

y = -0,5 Ln 4 –1

y = -0,69 –1

y = -1,69

Titik potongnya ( 3 ; -1,69 )

(23)

MATEK 2 Hal.

23

Periode ATA

C. Penerapan Ekonomi

Banyak model-model bisnis dan ekonomi sangat relevan ditelaah dengan fungsi

eksponensial dan fungsi logaritmik, khususnya model-model yang berkenaan dengan aspek

pertumbuhan. Model-model yang menerapkan fungsi eksponensial dan fungsi logaritmik

tersebut antara lain :

1. Model Bunga Majemuk

Model ini digunakan untuk menghitung jumlah di masa datang dari jumlah

sekarang suatu pinjaman atau tabungan. Model bunga majemuk ini tidak lain

merupakan bentuk fungsi eksponensial.

atau

di mana :

Fn = Jumlah pinjaman atau tabungan setelah n tahun.

P = Jumlah sekarang (tahun ke-0).

i = Tingkat bunga pertahun.

m = Frekuensi pembayaran bunga dalam setahun.

n = Jumlah tahun

Di sini Fn sebagai variabel terikat (dependent variable) dan n sebagai variabel

bebas (independent variable). Dengan demikian prinsip-prinsip penyelesaian persamaan

eksponensial relevan diterapkan atas model ini.

Fn

= P(1 +

i

)

n

Fn

= P(1 +

)

m.n

m

i

Grafik 2

(24)

MATEK 2 Hal.

24

Periode ATA Jika m sangat besar, bunga diperhitungkan sangat sering (terus-menerus) dalam

setahun sehingga jumlah di masa datang tersebut dapat diperoleh dengan cara :

di mana e = 2,71828

Contoh Soal :

Seorang pengusaha muda sedang melakukan pengembangan usaha, modal yang

dibutuhkan sekitar Rp 10.000.000,-. Untuk itu, ia meminjam modal ke Bank

Konvensional dengan bunga pinjaman 10 % pertahun dan diperhitungkan secara

bulanan (1 tahun = 12 bulan) untuk jangka waktu 5 tahun. Hitunglah jumlah yang

harus dibayarkan oleh pengusaha muda tersebut pada saat pinjamannya jatuh tempo !

Jaw ab:

A. Dengan Rumus Bunga Majemuk Biasa

1) . Tanpa Menggunakan Logaritma

F5 = 10.000.000

. (1 +

0.10

)

12.5

12 F5 = 10.000.000 . (1.008)

60

F5 = 10.000.000 . (1.613)

F5 = 16.130.000,-

2) . Dengan Menggunakan Logaritma

F5 = 10.000.000 . (1.008)

60

Log F5 = log 10.000.000 + 60 log 1.613

Log F5 = 7 + 0.208

Log F5 = 7.208

F5 = 16.130.000,-

Fn

≈ Pe

m

Fn

= P(1 +

)

m.n

(25)

MATEK 2 Hal.

25

Periode ATA

B. Dengan Rumus Bunga Majemuk Sinambung

1) . Tanpa Menggunakan Logaritma

F5

≈ 10.000.000. e

0.10 . 5

F5

≈ 10.000.000. e

0.5

≈

10.000.000. (1.65)

≈ 16.500.000,

-

2) . Dengan Menggunakan Logaritma

F5

≈

10.000.000. e

050

Ln F5

≈

Ln 10.000.000 + 0.5 Ln e Ln e = 1

Ln F5

≈

16.12 + 0.5

Ln F5

≈

16.52

≈ 16.500.000,

-

Analisis :

“Jumlah uang yang harus dibayar oleh pengusaha muda tersebut saat jatuh tempo

adalah sebesar Rp 16.130.000,-. Hal ini berarti bunga pinjaman dalam jangka waktu 5

tahun yang harus dibayar adalah sebesar Rp 6.130.000,-.”

2. Model Pertumbuhan

Model pertumbuhan juga merupakan salah satu bentuk eksponensial. Model

semacam ini tidak saja relevan bagi penaksiran variabel kependudukan, tetapi dapat

juga diterapkan untuk menaksir variabel – variabel lain, berkenaan dengan

pertumbuhannya dan dapat dirumuskan sebagai berikut :

di mana :

Pt = Jumlah penduduk pada tahun ke-t.

t = Jumlah tahun.

P

t

= P1.

R

t-1

R

= 1 +

r

(26)

MATEK 2 Hal.

26

Periode ATA P1 = Jumlah penduduk sekarang.

r = Tingkat pertumbuhan

Agar model di atas dapat diterapkan secara umum terhadap segala macam variable dan

tidak semata-mata hanya terpaku pada masalah kependudukan, maka persamaan di

atas dapat ubah bentuknya menjadi :

di mana :

N = Variabel yang diamati.

r = Persentase pertumbuhannya persatuan waktu.

t = I ndeks waktu.

Contoh Soal :

Mulia Sejahtera Networking (MS Net) merupakan salah satu perusahaan yang

bergerak dalam bidang MLM (Multilevel Marketing) di I ndonesia, mulai beroperasi tahun

2003. Pada awal usahanya, perusahaan ini menggunakan Personal Marketing / sales

sebanyak 100 orang untuk seluruh I ndonesia. Dan diperkirakan pertumbuhan Personal

Marketingnya sebesar 15 % pertahun. Hitunglah berapa jumlah Personal Marketing

dalam jaringan MS Net pada tahun 2010 ? dan analisislah !

Jawab :



Diketahui : N = 100 orang t = 8 tahun

R = 1 + 0.15 r = 0.15



Ditanya : N8 = ….. ?



Jawab :

N

t

=

N1

.

R

t-1

N8

= 100 . (1.15) 8-1

(27)

MATEK 2 Hal.

27

Periode ATA Analisis :

“ Dalam kurun waktu 8 tahun ke depan diperkirakan jumlah Personil Marketing (sales)

akan meningkat menjadi 266 orang, dengan peningkatan sebesar 166 orang.

Peningkatan ini tergolong kecil atau belum optimal peningkatannya.”

3. Kurva Gompertz

Metode ini digunakan untuk menganalisis variabel yang meningkat secara

eksponensial selama jangka waktu tertentu, tetapi sesudah itu peningkatannya sangat

kecil atau bahkan tidak berarti meskipun waktu terus berjalan.

di mana :

N = Jumlah variabel yang diamati.

c = Batas jenuh pertumbuhan.

a = Proporsi pertumbuhan awal.

r = Tingkat pertumbuhan rata-rata (0 < r < 1).

t = I ndeks waktu.

Contoh Soal :

Perusahaan “MQ Enterprise” merupakan produsen produk VCD penyejuk Qolbu

yang sudah beroperasi selama 3 tahun. Produksi awal perusahaan sebanyak 7.500

buah, terjual laris di pasar . jika tingkat rata-rata pertumbuhannya pertahun sekitar 20

% , dengan batas maksimum produksi sebanyak 30.000 buah, hitunglah berapa jumlah

produksi VCD pada tahun ketiga dan analisislah !

Jawab :



Diketahui : C = 30.000 buah r = 0.20

A = X = 7.500 = 0.25 t = 3

C 30.000



Ditanya : N untuk tahun ke–3 atau N3 = …….?

(28)

MATEK 2 Hal.

28

Periode ATA



Jawab : Untuk t = 3

N = 30.000. ( 0.25 ) 0.20 ^ 3

Log N = log log 30.000 + 0.20 3 log 0.25

Log N = 4.477 + 0.008 . ( -0.602 )

Log N = 4.477 – 0.0048

Log N = 4.4722

N = 29.661 buah

Analisis :

“ Dengan produksi awal sebesar 7.500 buah. Ditambah rata - rata pertumbuhan sekitar

20 % pertahun didapatkan jumlah produksi tahun ke – 3 sebesar 29.661 buah. Jumlah

produksi tahun ke- 3 masih dibawah produksi maksimum perusahaan yaitu 30.000

buah”.

4. Kurva Belajar ( Learning Curve)

Metode ini lebih banyak digunakan ke dalam penerapan ekonomi untuk

menggambarkan prilaku produksi dan biaya dalam hubungannya dengan variabel

waktu.



Bentuk dasar :

k, m, s > 0

Konstanta m melambangkan batas jenuh y, atau y tertinggi yang dapat tercapai.



Prilaku Produksi :

di mana :

P = Produksi persatuan waktu setelah t satuan waktu.

Pm = Kapasitas produksi maksimum persatuan waktu.

Ps = Sisa kapasitas produksi pada permulaan kegiatan produksi

(pada t = 0).

t = I ndeks waktu.

r = Tingkat pertumbuhan produksi.

P = P

m

- P

s

. e

- r. t

(29)

MATEK 2 Hal.

29

Periode ATA



Prilaku Biaya :

di mana :

C = Biaya total persatuan waktu.

Cm = Biaya maksimum yang diperkenankan (anggaran yang disediakan) persatuan

waktu.

Cs = Sisa anggaran pada permulaan periode (pada t = 0).

t = I ndeks waktu.

r = Persentase kenaikan biaya persatuan waktu.

Contoh Soal :

Percetakan “Adil Sejahtera” mempunyai mesin cetak yang dapat memproduksi

hingga 10.000 cetakan (produksi maksimum). Pada awal produksi, optimalisasi

(pemanfaatan) produksi diperkirakan baru sekitar 60 % dari kapasitas yang tersedia.

Namun, manajer operasional yakin bahwa produksi dapat ditingkatkan sekitar 5 %

setiap bulannya. Maka :

a. Bentuklah persamaan prilaku produksi bulanan percetakan

tersebut !

b. Berapa jumlah cetakan / produksi perdananya !

c. Berapa cetakan yang dapat dioptimalkan / dimanfaatkan

perbulannya setelah pabrik beroperasi selama 1 tahun (12 bulan) !

d. Analisislah !

Jawab :



Diketahui : Pm = 10.000 r = 0.05

Ps = 40 % (10.000) = 4.000 t = 1 tahun (12 bulan)

a. Persamaan Prilaku Produksi Cetakan.

P = Pm - Ps . e - r. t

P = 10.000 – 4.000 . e – 0.05. t

(30)

MATEK 2 Hal.

30

Periode ATA b. Jumlah perdana cetakan / produksi.

60 % x 10.000 = 6.000 cetakan

c. Jumlah cetakan yang dapat dioptimalkan setelah 1 tahun (12 bulan).

P = 10.000 – 4.000 . e – 0.05. t

= 10.000 – 4.000 . e – 0.05. 12

= 10.000 – 4.000 . ( 0.549 )

= 10.000 – 2196

P = 7.804 cetakan.



Analisis :

“Hasil cetakan yang dapat dioptimalkan setelah 1 tahun (12 bulan) adalah sebanyak

7804 cetakan, di mana dari 6000 cetakan pada awal produksi. Hal ini berarti ada

peningkatan dalam optimalisasi cetakan selama 1 tahun (12 bulan) sebesar 1804

(31)

Modul Praktikum Materi Break Even Point

MATEK 2 Hal.

31

Periode ATA

MODUL BREAK EVEN POI NT

A. FUNGSI BI AYA

Biaya dalam pengertian ekonomi adalah semua barang yang harus dibayarkan produsen untuk

menghasilkan barang atau jasa tersebut siap dikonsumsi konsumen. Oleh karena itu, besar

kecilnya biaya yang dikeluarkan tergantung kepada besar kecilnya barang atau jasa yang

dihasilkan. Dalam matematika dapat dikatakan bahwa biaya merupakan fungsi dari jumlah

produksi. Secara rumus dapat ditulis :

Dimana TC = Total Cost ( jumlah biaya ), sedangkan Q = jumlah produksi.

Jadi fungsi biaya adalah suatu fungsi yang menunjukkan hubungan antara biaya dan jumlah

barang yang diproduksi. Fungsi biaya dapat digambarkan dalam bentuk kurva. Maka yang

dimaksud dengan kurva biaya adalah suatu kurva yang menggambarkan titik – titik

kemungkinan besarnya biaya di berbagai tingkat produksi.

Elemen – elemen fungsi biaya

Menurut analisa jangka pendek, pengertian biaya ini dapat dibedakan menjadi

beberapa macam, yaitu :

TC = Total Cost ( JUmlah biaya keseluruhan )

TFC= Total Fixed Cost ( Jumlah Biaya tetap )

TVC= Total Variabel Cost ( Jumlah biaya variable cost )

VC = Variabel Cost ( Biaya variable yang digunakan perusahaan )

AC = Average Cost ( Biaya Rata – rata )

MC = Marginal Cost (perubahan biaya karena adanya perubahan produksi

perunit)

(32)

MATEK 2 Hal.

32

Periode ATA Bentuk umum rumus fungsi biaya :

TC = TFC + TVC

= TFC + VC ( Q ) TVC = VC / unit X Q MC =  TC /  Q AC = TC / Q

P TC

VC

FC

Q

Contoh :

Jika diketahui suatu perusahaan “RAI HAN” yang bergerak dalam bidang penjualan pakaian

muslim mempunyai biaya tetap 400.000, biaya variabel 20.000 dengan Quantitas 20 unit.

Berapa TC dan AC ?

Diketahui : FC = 400.000

VC = 20.000

Q = 20 Unit

Ditanya : TC serta AC . . . ?

Jawab : TC = TFC + VC ( Q )

= 400.000 + 20.000 ( 20 ) = 800.000

(33)

MATEK 2 Hal.

33

Periode ATA

P TC

VC

400.000 FC

Q

B. FUNGSI PENERI MAAN

Apabila barang hasil produksi dijual dipasar, maka uang hasil penjualan barang tersebut

dinamakan jumlah pendapatan dan dapat pula disebut “Total Revenue”. Oleh karena itu,

besarnya Total Revenue sama dengan harga perunit dikalikan jumlah unit yang terjual. Secara

matematika dapat dirumuskan :

Elemen – elemen fungsi penerimaan :

TR = Total Revenue (jumlah pendapatan yang diterima secara

keseluruhan)

AR = Average Revenue (Rata – rata penerimaan)

P = Price ( Harga per unit barang )

MR = Marginal Cost ( Perubahan penerimaan karena adanya

perubahan produksi perunit )

P TR

(34)

MATEK 2 Hal.

34

Periode ATA

Contoh Soal :

Perusahaan “BENAYU” menjual produknya dengan harga sebesar 40.000. Berapa besarnya TR

dan AR ?

Diketahui : Q = 20 unit

P = 40.000

Ditanya : TR serta AR . . . ?

Jawab : TR = P X Q

= 40.000 X 20 = 800.000

AR = TR / Q

= 800.000 / 20 = 40.000

P TR

40.00 0

(35)

MATEK 2 Hal.

35

Periode ATA

C. BREAK EVEN POI NT

Berdasarkan TR dan TC diatas, dapatlah ditemukan bahwa pada suatu saat perusahaan berada

disalah satu kemungkinan dari ketiga kemungkinan dibawah ini :

TR < TC - - - -- - - -- - - - Rugi

TR = TC - - - -- - - -- - - - BEP

TR > TC - - - -- - - -- - - - Laba

Bentuk umum BEP

TR = TC

P X Q = TFC + TVC

BEP Dalam unit :

FC Q =

P – VC

BEP Dalam rupiah :

FC P =

1 – VC / P

TR P TC

VC

FC

(36)

MATEK 2 Hal.

36

Periode ATA

Contoh :

Qiqi Butik memproduksi jaket trendy dengan harga jual Rp 60.000,- per jaket. Diketahui biay

tetap dan biaya varibelnya masing-masing adalah Rp 3.000.000,- dan Rp 40.000,- per jaket.

Hitunglah :

a) Berapa unit dan rupiahnya agar perusahaan tidak mengalami untung maupun rugi !

b) Kenaikan BBM mengakibatkan kenaikan untuk biaya variabel per jaket sebesar Rp

10.000,-. Berapa BEP unit dan BEP rupiah setelah kenaikan BBM !

c) Gambar grafik dan analisa !

Jawab :

Dik : P = Rp 60.000,- per jaket

FC = Rp 3.000.000,-

VC = Rp 40.000,- per jaket

Dit : a) BEP dalam Unit

b) BEP dalam Unit setelah adanya keaikan VC sebesar Rp. 10.000

Jawaban ;

a) BEP dalam Unit

3000.000

Q = = 150 60.000-40.000

b) BEP setelah ada kenaikan VC sebesar Rp 10.000

3000.000

(37)

MATEK 2 Hal.

37

Periode ATA

D. PENJUALAN MI NI MAL ( MI NI MAL SALES )

Dalam penjualan minimal ini perusahaan ingin mengetahui berapa unit yang harus dijual jika

perusahaa mentargetkan laba yang harus dicapai.

Bentuk umum untuk penjualan minimal :

FC + laba Q =

P – VC

Contoh :

Jika perusahaan “RABBANI ” mentargetkan laba sebesar 100.000 maka berapakah penjualan

minimal perusahaan tersebut ?

Diketahui : FC = 400.000

P = 800.000

VC = 40.000

Laba = 400.000

Ditanya : Berapa penjualan minimal . . . ?

Jawab : FC + Laba

Q =

P – VC

400.000 + 100.000

Q = = 25 unit

40.000 – 20.000