LABORATORIUM MANAJEMEN DASAR MATEMATIKA EKONOMI 2 NAMA : KELAS : NPM : PJ : KP : TUTOR : ASBAR :

(1)

(2)

NAMA : KELAS : NPM : PJ : KP : TUTOR : ASBAR :

ATA 2017/2018

(3)

LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 ii

SUSUNAN TIM LITBANG

MATEMATIKA EKONOMI 2 ATA 2017/2018

STAF PENANGGUNG JAWAB

 LISTA KUSPRIATNI, SE., MM

 DESTI DIRNAENI, SE., MM

PENANGGUNG JAWAB ASISTEN

PENANGGUNG JAWAB PROGRAMMER

 Laras Manjari

 Afra Mikyal Z

 Dionesia Sesilia

 Mutiara Cindy W

 Rizma Cania W

 Anggita Azizah A DERIVATIF

 Rana Atiqah M

 Khansa Shabirah Z

 M Geri Setiawan

 Rosdiana

 Ika Nurfitriana INTEGRAL TAK

TENTU

 Rolan Pradana

 Mickael Clinton S

 Mustika Rahmi

 Nurul Fauziah

 Rita Darniati

 M Rizky Anindisa INTEGRAL TERTENTU

 Lusi Setiani

 Ersa Bita D

 Gita Fitri K

 Jodie Immanuel N

 Sarah Amanda TRANSENDENTAL

 YUNUS PATTY  BAGAS ARDIAN

(4)

LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 iii

KATA PENGANTAR

Puji syukur penyusun panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa atas berkat, dan karunia yang diberikan-Nya, sehingga penyusun dapat menyelesaikan modul ini tepat pada waktunya. Dalam rangka meningkatkan mutu pembelajaran dalam perkuliahan, modul dapat menjadi salah satu penunjang yang efektif. Modul ini disusun sebagai panduan kegiatan praktikum Laboratorium Manajemen Dasar Universitas Gunadarma.

Modul praktikum ini merupakan penyempurnaan dari modul praktikum sebelumnya dan diharapkan dengan adanya modul praktikum ini dapat meningkatkan pemahaman dasar materi praktikum khususya Matematika Ekonomi 2, serta sebagai pedoman bagi mahasiswa dalam melakukan penelitian-penelitian ekonomi. Selain itu modul ini juga dapat digunakan sebagai dasar suatu pandangan mahasiswa melihat keadaan perekonomian dan disesuaikan dengan teori-teori ekonomi yang ada.

Penyusun sangat menyadari bahwa modul praktikum ini masih perlu disempurnakan lagi, maka saran dan kritik untuk penyajian modul ini kedepan sangat diperlukan.

Akhir kata, penyusun mengucapkan terimakasih kepada semua pihak yang telah membantu dalam peyusunan modul ini.

Jakarta, 20 Januari 2018

Tim Litbang Matek 2 (ATA 2017/2018)

(5)

LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 iv

DAFTAR ISI

SUSUNAN TIM LITBANG ... ii

KATA PENGANTAR ... iii

DAFTAR GAMBAR ... vi

DERIVATIF ... 1

1. KONSEP DASAR TURUNAN ... 1

2. KAIDAH DIFERENSIASI ... 2

3. HUBUNGAN ANTARA FUNGSI DAN DERIVATIFNYA ... 7

3.1 Menentukan Keadaan Fungsi Menaik dan Fungsi Menurun ... 7

3.2 Titik Ekstrim Fungsi Parabolik ... 7

4. PENERAPAN EKONOMI ... 9

4.1 Elastisitas ... 9

4.2 BIAYA ... 22

4.3 PENERIMAAN ... 27

4.4 LABA MAKSIMUM ... 32

INTEGRAL TAK TENTU ... 36

1. KONSEP DASAR INTEGRAL TAK TENTU ... 36

2. KAIDAH-KAIDAH DALAM INTEGRASI TAK TENTU ... 37

3.1 FUNGSI BIAYA ... 39

3.2 FUNGSI PENERIMAAN ... 44

(6)

LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 v

3.3 FUNGSI PRODUKSI ... 49

3.4 FUNGSI UTILITAS ... 54

3.5 FUNGSI KONSUMSI DAN FUNGSI TABUNGAN ... 55

INTEGRAL TERTENTU ... 63

1. KONSEP DASAR INTEGRAL TERTENTU ... 63

2.1 SURPLUS KONSUMEN ... 64

2.2 SURPLUS PRODUSEN ... 77

TRANSENDENTAL ... 84

1. KONSEP DASAR TRANSENDENTAL ... 84

1.1 Fungsi Eksponensial ... 85

1.2 Fungsi Logaritmik... 88

2.1 MODEL BUNGA MAJEMUK ... 91

2.2 MODEL PERTUMBUHAN ... 95

2.3 KURVA GOMPERTZ ... 99

2.4 KURVA BELAJAR ... 101

DAFTAR PUSTAKA ... 105

(7)

LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 vi

DAFTAR GAMBAR

Gambar 1.1 Tampilan Menu Derivatif ... 13

Gambar 1.2 Tampilan Pangkat Terbesar ... 13

Gambar 1.3 Tampilan Menu Input Data ... 14

Gambar 1.4 Output Data Elastisitas Permintaan ... 14

Gambar 1.8 Output Data Elastisitas Penawaran ... 18

Gambar 1.12 Output Data Elastisitas Produksi ... 21

Gambar 1.16 Output Data Fungsi Biaya ... 26

Gambar 1.20 Output Data Fungsi Penerimaan ... 31

(8)

LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 vii

Gambar 1.22 Output Data Fungsi Laba ... 35

Gambar 2.1 Tampilan Menu Awal Software EC-Math ... 41

Gambar 2.2 Tampilan Menu Awal Integral Tak Tentu... 42

Gambar 2.3 Tampilan Menu Operasi Fungsi Biaya... 42

Gambar 2.4 Tampilan Menu Input Data Fungsi Biaya ... 43

Gambar 2.5 Tampilan Menu Output Data Fungsi Biaya ... 44

Gambar 2.7 Tampilan Menu Awal Integral Tak Tentu... 47

Gambar 2.8 Tampilan Menu Operasi Fungsi Penerimaan ... 47

Gambar 2.9 Tampilan Menu Input Data Fungsi Penerimaan ... 48

Gambar 2.10 Tampilan Menu Output Data Fungsi Penerimaan ... 49

Gambar 2.12 Tampilan Menu Awal Integral Tak Tentu ... 52

Gambar 2.13 Tampilan Menu Operasi Fungsi Produksi ... 52

Gambar 2.14 Tampilan Menu Input Data Fungsi Produksi ... 53

Gambar 2.15 Tampilan Menu Output Data Fungsi Produksi ... 54

Gambar 2.17 Tampilan Menu Awal Integral Tak Tentu ... 60

Gambar 2.18 Tampilan Menu Operasi Fungsi Konsumsi ... 60

Gambar 2.19 Tampilan Menu Input Data Fungsi Konsumsi ... 61

Gambar 2.20 Tampilan Menu Output Data Fungsi konsumsi ... 62

Gambar 2.21 Tampilan Menu Output Data Fungsi Tabungan ... 62

(9)

LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 viii

Gambar 3.1 Kurva Surplus Konsumen ... 64

Gambar 3.2 Kurva Surplus Konsumen Contoh Kasus 1 ... 68

Gambar 3.3 Tampilan Awal Integral Tertentu ... 68

Gambar 3.4 Tampilan Surplus Konsumen 1 ... 69

Gambar 3.5 Hasil Perhitungan Surplus Konsumen 1... 69

Gambar 3.9 Kurva Surplus Konsumen Contoh Kasus 2 ... 73

Gambar 3.16 Kurva Surplus Produsen ... 77

Gambar 3.17 Kurva Surplus Produsen Contoh Kasus 3 ... 80

Gambar 3.19 Tampilan Surplus Produsen 1 ... 81

Gambar 3.20 Hasil Perhitungan Surplus Produsen 1 ... 82

Gambar 3.22 Tampilan Surplus Produsen 2 ... 83

Gambar 3.23 Hasil Perhitungan Surplus Produsen 2 ... 83

(10)

LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 ix

Gambar 4.1 Hasil Perhitungan Model Bunga Majemuk ... 95

Gambar 4.2 Hasil Perhitungan Model Pertumbuhan ... 98

Gambar 4.3 Hasil Perhitungan Kurva Gompertz ... 101

Gambar 4.4 Hasil Perhitungan Kurva Belajar... 104

(11)

LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 1

DERIVATIF

1. KONSEP DASAR TURUNAN

Diferensial membahas tingkat perubahan suatu fungsi sehubungan dengan perubahan kecil dalam variabel bebas fungsi yang bersangkutan (Dumairy, 2012).

Bentuk ∆y/∆x disebut sebagai hasil bagi perbedaan atau kuosien diferensi (difference quotient), mencerminkan tingkat perubahan rata-rata variabel terikat y terhadap variabel bebas x. Proses penurunan sebuah fungsi, disebut juga proses pendiferensian atau diferensiasi. Hasil yang diperoleh dari proses diferensiasi tersebut dinamakan turunan atau derivatif. Turunan diperoleh dengan menentukan limit dari hasil bagi diferensi, dimana: ∆x → 0.

Dengan demikian,

Jika y = f(x), maka fungsi turunannya adalah lim∆x → 0 ∆𝑦

∆𝑥=lim∆x → 0 𝑓(𝑥+∆𝑥)−𝑓(𝑥)

∆𝑥

∆𝒚

∆𝒙 =𝒇(𝒙 + ∆𝒙) − 𝒇( 𝒙 )

∆𝒙 Jika y = f (x), maka

(12)

LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 2 2. KAIDAH DIFERENSIASI

Berikut ini kaidah diferensiasi dalam berbagai bentuk fungsi : 1. Diferensiasi fungsi konstanta

Jika y = k, dimana k adalah konstanta, maka y^I = 0 Contoh : y = 7 maka y^I = 0

2. Diferensiasi fungsi linier

Jika y = a + bx, dimana a adalah konstanta, maka y^I = b Contoh : y = 15 + 8x maka y^I = 8

3. Diferensiasi fungsi pangkat

Jika y = axⁿ , dimana a adalah konstanta, maka y^I = n.ax^n-1 Contoh : 8x² maka y’ = 2.8x^2-1 = 16x

4. Diferensiasi penjumlahan (pengurangan) fungsi

Jika y = u ± v, dimana u = g(x) dan v = n(x), maka yÎ = uÎ ± vÎ Contoh : y = 7x⁴

±

7x³

u = 7x⁴ maka uÎ = 4.7x^4-1 = 28x³ v = 7x³ maka vÎ = 3.7x^3-1= 21x² karena yÎ = uÎ ± vÎ, maka yÎ = 28x³

±

21x² 5. Diferensiasi perkalian

a. Perkalian fungsi dan konstanta

(13)

LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 3 Jika y = k . u, dimana u = g(x), maka y^I = k . u^I

Contoh : y = 5. x²

u = x² maka uÎ = 2.1x^2-1= 2x karena yÎ = k . uÎ, maka yÎ = 5 . 2x = 10x b. Perkalian fungsi

Jika y = u . v dimana u = g(x) dan v = h(x) , maka yÎ = uÎ.v + u.vÎ Contoh : y = (x⁵ – 2)(5x² – 7)

u = (x⁵ – 2) u’ = 5.1x^5-1 = 5x⁴ v = (5x² – 7) v’ = 2.5x^2-1 = 10x karena yÎ = uÎ.v + u.vÎ

y^I = (5x⁴)(5x² – 7) + (x⁵ – 2)(10x)

= 25x⁶ – 35x⁴ + 10x⁶ – 20x

= 35x⁶ – 35x⁴ – 20x 6. Diferensiasi hasil bagi fungsi

Jika y = ^𝑢

𝑣 dimana u = g(x) dan v = h(x) , maka y^I = ^𝒖

′.𝒗−𝒖.𝒗^′ 𝒗^𝟐

Contoh : ^(7𝑥

2 − 5) ( 5𝑥³ − 6)

u = (7x² – 5) u^I = 2.7x^2-1 = 14x v = (5x³ – 6) v^I = 3.5x^3-1 = 15x²

(14)

LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 4 karena y^I = ^𝒖

′.𝒗−𝒖.𝒗^′ 𝒗^𝟐

y^I = ^{(14𝑥)(5𝑥}

3−6)−(7𝑥²−5)(15𝑥²) (5𝑥³−6)²

= ^70𝑥

4−84𝑥−105𝑥⁴+75𝑥² (5𝑥³−6)²

= ^−35𝑥

4+75𝑥²−84𝑥 25𝑥⁶−60𝑥³+36

7. Diferensiasi fungsi komposisi (dalil rantai)

Jika y = f (u) sedangkan u = g (x), dengan kata lain y = f [ g(x) ] , maka

𝒅𝒚 𝒅𝒙=^𝒅𝒚

𝒅𝒖𝒙^𝒅𝒖

𝒅𝒙

Contoh 1:

y = (6x² + 4)²

Misalkan : u = 6x² + 4 sehingga y = u²

𝑑𝑢

𝑑𝑥 = 12x ^𝑑𝑦

𝑑𝑢 = 2u Maka ^𝒅𝒚

𝒅𝒙= ^𝒅𝒚

𝒅𝒙

= 2u . 12x

= 2(6x² + 4)(12x) = 144x³ + 96x Contoh 2:

y = √3𝑥²+ 4𝑥 − 5 y = (3𝑥²+ 4𝑥 − 5)^1/2

(15)

LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 5 misalkan : u = 3x² + 4x – 5 , sehingga y = u^1/2

𝑑𝑢

𝑑𝑥 = 6x + 4 ^𝑑𝑦

𝑑𝑢 = ½ u^-1/2 Maka ^𝒅𝒚

𝒅𝒙=^𝒅𝒚

𝒅𝒙

= ½ u^-1/2 . (6x + 4)

= ½ (3x² + 4x – 5)^-1/2 . (6x + 4)

= ¹

2 𝑥 ¹

√3𝑥²+4𝑥−5 x (6x + 4)

= ^6𝑥+4

2√3𝑥²+4𝑥−5

8. Diferensiasi tingkat tinggi (derivatif dari derivatif)

Derivatif ke-n dari fungsi y = f(x) diperoleh dengan mendiferensiasikan sebanyak n kali

Derivatif ke n dilambangkan dengan ^𝒅

𝒏𝒚

𝒅𝒙^𝒏 atau fⁿ(x) atau yⁿ Contoh : y = 6𝑥⁵+ 5𝑥⁴+ 4𝑥³ + 3𝑥²+ 𝑥 maka

y^I atau ^𝑑𝑦

𝑑𝑥 = 30𝑥⁴+ 20𝑥³+ 6𝑥 + 1 y^II atau ^𝑑

2𝑦

𝑑𝑥² = 120𝑥³+ 60𝑥²+ 6 9. Diferensiasi implisit

Adalah suatu kaidah diferensiasi dengan mendiferensiasikan f (x,y) = 0 suku demi suku dengan memandang y sebagai fungsi x, kemudian dari persamaan tersebut ditentukan nilai dy/dx.

(16)

LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 6 Contoh : xy² – x² + y = 0 didiferensiasikan terhadap x, maka :

y² – 2x dx + 2xy + 1 dy = 0 (2xy + 1) dy = (-y² + 2x) dx

𝑑𝑦

𝑑𝑥= ^−𝑦²^+2𝑥

2𝑥𝑦+1

10. Diferensiasi fungsi logaritmik y = ^alog x → ^𝒅𝒚

𝒅𝒙= ^𝟏

𝐱 𝐥𝐧 𝒂

Contoh : jika y = ⁵log 2 maka tentukan dy/dx

𝑑𝑦 𝑑𝑥 = ¹

2 ln 5

11. Diferensiasi fungsi eksponensial

▪ y = e^x → ^𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑒^𝑥

▪ y = a^x → ^𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑎^𝑥ln 𝑎 12. Diferensiasi fungsi trigonometric

Beberapa turunan fungsi trigonometric yang penting adalah : y = sin x → ^𝑑𝑦

𝑑𝑥 = cos x y = cos x → ^𝑑𝑦

𝑑𝑥 = - sin x y = tan x → ^𝑑𝑦

𝑑𝑥 = sec² x y = cot x → ^𝑑𝑦

𝑑𝑥 = -cosec² x

(17)

LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 7 y = sec x → ^𝑑𝑦

𝑑𝑥 = sec x . tan x y = cosec x → ^𝑑𝑦

𝑑𝑥 = cosec x . cot x Catatan :

sec x = ^𝟏

𝐜𝐨𝐬 𝒙

cosec x = ^𝟏

𝐬𝐢𝐧 𝒙

cot x = ^𝟏

𝒕𝒂𝒏 𝒙

3. HUBUNGAN ANTARA FUNGSI DAN DERIVATIFNYA

3.1 MENENTUKAN KEADAAN FUNGSI MENAIK DAN FUNGSI MENURUN

Derivatif pertama dari sebuah fungsi non-linier dapat digunakan untuk menentukan apakah kurva dari fungsi yang bersangkutan menaik ataukah menurun pada kedudukan tertentu.

1. Fungsi y = f (x) menaik jika f ^I(x) > 0 2. Fungsi y = f (x) menurun jika f ^I(x) < 0

3. Jika derivatif pertama f ^I(x) = 0, berarti fungsi berada pada titik ekstrim

3.2 TITIK EKSTRIM FUNGSI PARABOLIK

Dalam sebuah fungsi parabolik, derivatif pertama berguna untuk menentukan letak titik ekstrimnya, sedangkan derivatif kedua digunakan untuk mengetahui jenis titik ekstrim yang bersangkutan.

Jenis-jenis Titik Ekstrim Fungsi Parabolik adalah:

(18)

• Jika f^II(x) > 0, maka (x , y) merupakan titik ekstrim minimum

• Jika f^II(x) < 0, maka (x , y) merupakan titik ekstrim maksimum

Contoh Soal:

Diketahui y = 50x – 5x², tentukanlah titik ekstrim maksimum atau minimum dari fungsi tersebut!

Jawab:

y^I = 50 – 10x

y^II = -10 < 0 (Titik ekstrim maksimum) Letak titik ekstrim

y^I = 0 50 – 10x = 0 50 = 10x

(19)

LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 9 5 = x

y = 50(5) – 5(5)² y = 125

Jadi letak titik ekstrim maksimum adalah pada koordinat (5,125).

4. PENERAPAN EKONOMI 4.1 ELASTISITAS

Elastisitas adalah perubahan persentase suatu variabel terikat (dependent variable) sebagai akibat adanya perubahan persentase suatu variabel bebas (independent variable) (Kalangi, 2015).

4.1.1 ELASTISITAS HARGA

Adalah perubahan persentase jumlah yang diminta oleh konsumen atau ditawarkan oleh produsen akibat adanya perubahan persentase dari harga barang itu sendiri. Untuk fungsi permintaan dan penawaran yang berbentuk Q

= f(P) maka rumus elastisitas harga titik permintaan adalah

Jika fungsi permintaan dan penawaran yang berbentuk P = f(Q) maka rumus elastisitas harga titik permintaan adalah

Ƞh = ^𝟏

𝒅𝑷/𝒅𝑸 .^𝑷

𝑸

Ƞ_h

=

^{𝐝𝐐/𝐐}

𝐝𝐏/𝐏

=

^𝐝𝐐

𝐐

.

^𝐏

𝐝𝐏

=

^𝐝𝐐

𝐝𝐏

.

^𝐏

𝐐

(20)

LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 10 CONTOH KASUS 1

Jika fungsi permintaan suatu barang di tunjukkan oleh Q = 150 – 5P, berapakah elastisitas harga pada tingkat harga P = 10?

Penyelesaian:

Diketahui : Q = 150 – 5P P = 10

Ditanya : Ƞ_h? Jawab :

Jika P = 10 , maka Q = 100 dan ^𝑑𝑄

𝑑𝑃 = -5 Ƞh = ^𝑑𝑄

𝑑𝑃 . ^𝑃

𝑄= −5 (¹⁰

100) = |-0,5| = 0,5 < 1 → inelastis Analisis :

Jadi elastisitas harga permintaan pada tingkat harga sebesar 10 adalah sebesar - 0,5 yang mempunyai arti apabila harga barang naik 1%, maka jumlah permintaan terhadap barang itu turun 0,5%.

Umumnya elastisitas harga dari permintaan di setiap titik pada kurva permintaan yang menurun akan bernilai negatif, tetapi dalam mengukur koefisien elastis harga biasanya diambil dari nilai mutlaknya (absolut) sehingga nilai koefisien elastis harga paling kecil adalah 0 dan paling besar adalah ∞ (0 ≤ Ƞh ≤ ∞). Dari nilai absolut ini dapat dikategorikan menjadi lima macam elastisitas yaitu :

(21)

LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 11 a. |Ƞ| > 1 elastis

Contoh : Barang mewah b. |Ƞ| < 1 inelastis

Contoh : Kebutuhan pokok c. |Ƞ| = 1 unitary elastis

Contoh : Barang – barang elektronik d. |Ƞ| = 0 inelastis sempurna

Contoh : Bahan bakar minyak e. |Ƞ| = ∞ elastis tak hingga

Contoh : Bumbu dapur

4.1.2 ELASTISITAS PERMINTAAN

Adalah suatu koefisien yang menjelaskan besarnya persentase perubahan jumlah barang yang diminta akibat adanya persentase perubahan harga. Istilah yang lengkap adalah elastisitas harga-per-permintaan. Jika fungsi permintaan dinyatakan dengan Qd = f(P), maka elastisitas permintaannya adalah

Ƞ_d

= Qd

^I

.

^𝑷

𝑸𝒅

(22)

Fungsi permintaan akan suatu barang ditunjukan oleh persamaan Qd = 70 – 8P². Tentukan elastisitas permintaannya pada tingkat harga P = 10!

Analisislah!

Penyelesaian:

Diketahui : Qd = 70 – 8P² Qd^I = -16P P = 10 Ditanya : Ƞ_d?

Jawab : Ƞd = Qd^I. ^P

Qd

Ƞd = -16P . ^P

70−8P²

Ƞd = -16(10) . ¹⁰

70−8(10)²

Ƞd = 2,19 > 1  Elastis

Analisis :

Jadi besarnya elastisitas permintaan adalah 2,19 pada saat tingkat harga sebesar Rp.10. Jika harga tersebut mengalami perubahan sebesar 1% maka barang yang diminta akan mengalami perubahan sebanyak 2,19%.

(23)

LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 13 Langkah-Langkah Pengerjaan Menggunakan Software Ec-Math

1. Buka aplikasi EC-Math, Pilih Derivatif, kemudian pilih Mencari Elastisitas Permintaan.

Gambar 1.1 Tampilan Menu Derivatif

2. Masukkan Pangkat Terbesar sama dengan 2 kemudian tekan Enter

Gambar 1.2 Tampilan Pangkat Terbesar

(24)

LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 14 3. Maka akan muncul tampilan di bawah ini. Masukkan angka yang diketahui

di soal.

Gambar 1.3 Tampilan Menu Input Data

4. Kemudian tekan Enter,maka hasilnya adalah sebagai berikut.

Gambar 1.4 Output Data Elastisitas Permintaan

(25)

LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 15 4.1.3 ELASTISITAS PENAWARAN

Adalah suatu koefisien yang menjelaskan besarnya persentase perubahan jumlah barang yang ditawarkan berkenaan adanya persentase perubahan harga. Istilahnya yang lengkap adalah elastisitas harga-per- penawaran. Jika fungsi penawaran dinyatakan dengan Qs = f(P), maka elastisitas penawarannya adalah

CONTOH KASUS 3

Fungsi penawaran suatu barang ditunjukkan oleh persamaan Qs = 60 + 5P².

Tentukanlah elastisitas penawaran pada saat P = Rp5 per unit. Bagaimana sifat elastisitasnya? Analisislah!

Penyelesaian:

Diketahui : Qs = 60 + 5P²  Qs^I = 10P P = 5

Ditanya : Ƞs ? Jawab : Ƞs = 𝑄𝑠′ . ^𝑃

𝑄𝑠

= 10𝑃 . ^𝑃

60+5𝑃²

Ƞ

s = 𝑸𝒔

^′

.

^𝑷

𝑸𝒔

(26)

LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 16 = 10(5) . ⁵

60+5(5)² Ƞs = 1,35 > 1  Elastis Analisis :

Jadi, besarnya elastisitas penawaran adalah 1,35 pada saat harga produk sebesar Rp5. Jika harga tersebut mengalami perubahan 1% maka barang yang diminta akan mengalami perubahan sebesar 1,35%.

Langkah – Langkah Pengerjaan Menggunakan Software Ec-Math

1. Buka aplikasi EC-Math. Pilih Derivatif, kemudian pilih mencari Elastisitas Penawaran

(27)

LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 17 2. Masukkan Pangkat Terbesar sama dengan 2 kemudian tekan Enter

3. Maka akan muncul tampilan dibawah ini. Masukkan angka yang diketahui di soal

Gambar 1.7 Tampilan Menu Input Data

(28)

LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 18 4. Kemudian tekan Enter, maka hasilnya adalah berikut

Gambar 1.8 Output Data Elastisitas Penawaran

4.1.4 ELASTISITAS PRODUKSI

Adalah suatu koefisien yang menjelaskan besarnya perubahan jumlah keluaran (output) yang dihasilkan akibat adanya perubahan jumlah masukan (input) yang digunakan. Jika P melambangkan jumlah produk yang dihasilkan sedangkan X melambangkan jumlah input yang digunakan, dan fungsi produksi dinyatakan dengan P = f(X), maka elastisitas produksinya adalah

CONTOH KASUS 4

Diketahui fungsi produksi suatu barang ditunjukkan oleh P = 5x³ - 8x².

Hitunglah elastisitas pada X = 7 unit dan analisislah!

Ƞ

p = 𝑷

^′

.

^𝑿

𝑷

(29)

LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 19 Penyelesaian:

Diketahui : P = 5x³ – 8x²  P^I = 15x² - 16x X = 7

Ditanya : Ƞp ? Jawab : Ƞp = 𝑃^′ . ^𝑋

𝑃

= (15𝑥²− 16𝑥) . ^𝑋

5𝑥³−8𝑥²

= ^15𝑥

3−16𝑥² 5𝑥³−8𝑥²

= ¹⁵⁽⁷⁾

3−16(7)² 5(7)³−8(7)²

= ⁴³⁶¹

1323

Ƞp = 3,30 > 1  Elastis Analisis :

Jadi besarnya elastisitas produksi adalah 3,30 pada saat jumlah masukkan (input) produk sebanyak 7 unit. Jika terjadi perubahan masukkan sebesar 1%

maka barang yang diproduksi akan mengalami perubahan sebesar 3,30%.

(30)

LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 20 Langkah – Langkah Pengerjaan Menggunakan Software Ec-Math

1. Buka aplikasi EC-Math. Pilih Derivatif, kemudian pilih mencari Elastisitas Produksi

Gambar 1.10 Tampilan Pangkat Terbesar

(31)

LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 21 3. Maka akan muncul tampilan dibawah ini. Masukkan angka yang diketahui

di soal

Gambar 1.11 Tampilan Menu Input Data 4. Kemudian tekan Enter, maka hasilnya adalah berikut

Gambar 1.12 Output Data Elastisitas Produksi

(32)

LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 22 TC = F(Q) atau TC = FC + VC

4.2 BIAYA

4.2.1 BIAYA TOTAL (TC)

Adalah seluruh biaya yang dibutuhkan untuk memproduksi atau memasarkan sejumlah barang atau jasa, baik yang merupakan biaya tetap atau biaya variabel.

Dimana:

TC = Biaya Total (Total Cost) FC = Biaya Tetap (Fixed Cost) VC = Biaya Variabel (Variabel Cost) Q = Jumlah Barang (Quantity)

4.2.2 BIAYA RATA-RATA (AC)

Biaya untuk memproduksi satu unit barang disebut sebagai biaya rata- rata (average cost). Biaya rata-rata diperoleh dari biaya total dibagi dengan jumlah unit barang yang diproduksi.

Dimana :

AC = Biaya rata-rata (Average Cost) 𝑨𝑪 =𝑻𝑪

𝑸 =𝑭(𝑸) 𝑸

(33)

LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 23 TC = Biaya Total (Total Cost)

Q = Jumlah Barang (Quantity)

4.2.3 BIAYA MARGINAL (MC)

Adalah tingkat perubahan biaya total sebagai akibat adanya perubahan satu unit produk yang diproduksi.

Dimana :

MC = Biaya Marginal (Marginal Cost)

∆TC = Perubahan Biaya Total

∆Q = Perubahan Satu Unit Produk

CONTOH KASUS 5

Biaya total yang dikeluarkan oleh perusahaan sabun mandi PT UNILOVER di tunjukkan oleh persamaan TC = 50Q³ + 70Q² – 10Q + 15. Tentukan besarnya biaya total, biaya rata-rata, dan biaya marginal pada saat kuantitas 5 unit?

Berikan Analisisnya!

Penyelesaian:

Diketahui : TC = 50Q³ + 70Q² – 10Q + 15 Q = 5

𝑴𝑪 = 𝑻𝑪^′ =∆𝑻𝑪

∆𝑸

(34)

LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 24 Ditanya : TC, AC, MC pada saat Q = 5?

Jawab : TC = F(Q)

= 50Q³ + 70Q² – 10Q + 15 = 50(5)³ + 70(5)² – 10(5) + 15 = 6250 + 1750 – 50 + 15 = 7965

AC = ^𝑇𝐶

𝑄

= ⁷⁹⁶⁵

5

= 1593 MC = TC^I

= 150Q² + 140Q – 10 = 150(5)² + 140(5) – 10 = 3750 + 700 – 10 = 4440

Analisis :

Jadi pada saat perusahaan memproduksi sebesar 5 unit maka biaya total yang dikeluarkan sebesar Rp 7.695 dengan biaya rata-rata sebesar Rp 1.593 dan biaya marginal Rp 4.440.

(35)

LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 25 Langkah – Langkah Pengerjaan Menggunakan Software Ec-Math

1. Buka aplikasi EC-Math. Pilih Derivatif, kemudian pilih mencari Fungsi Biaya

(36)

LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 26 3. Maka akan muncul tampilan dibawah ini. Masukkan angka yang diketahui di

soal

Gambar 1.15 Tampilan Menu Input Data 4. Kemudian tekan Enter, maka hasilnya adalah berikut

Gambar 1.16 Output Data Fungsi Biaya

(37)

LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 27 4.3 PENERIMAAN

4.3.1 PENERIMAAN TOTAL (TR)

Adalah hasil kali antara jumlah produk yang diminta atau yang terjual dengan harga produk per unit.

4.3.2 PENERIMAAN RATA-RATA (AR)

Adalah hasil dari penerimaan per unit yang diperoleh dari penjualan suatu barang/jasa pada kuantitas tertentu. Fungsi Average revenue sama dengan fungsi permintaan dari harga barang tersebut.

4.3.3 PENERIMAAN MARGINAL (MR)

Adalah tambahan penerimaan total yang diakibatkan oleh adanya tambahan satu unit produk yang terjual.

𝐀𝐑 =𝐓𝐑

𝐐 = 𝐏𝐱𝐐 𝐐 = 𝐏 TR = F(Q) = P . Q

𝐌𝐑 = 𝐓𝐑^′= ∆𝐓𝐑

∆𝐐

(38)

Fungsi permintaan perusahaan batik ditunjukkan oleh P = -7Q + 85.

Bagaimanakah persamaan penerimaan totalnya? Lalu berapakah besarnya penerimaan total, penerimaan rata-rata, dan penerimaan marginal jika penjualannya sebesar 10 unit? Analisislah!

Penyelesaian:

Diketahui : P = -7Q + 85

Q = 10

Ditanya : Persamaan TR?

Besarnya TR, AR, MR pada saat Q = 10?

Jawab : TR = P x Q

= (-7Q + 85) x Q = -7Q² + 85Q Jika Q = 10, maka : TR = F(Q) = -7Q² + 85Q = -7(10)² + 85(10) = -700 + 850

= 150

(39)

LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 29 AR = TR/Q

= 150 / 10 = 15 MR = TR^I

= -14Q + 85 = -14(10) + 85 = -55

Analisis :

Jadi penerimaan total yang diterima perusahaan batik saat penjualan 10 unit sebesar Rp 150 dengan penerimaan rata-rata sebesar Rp 15 dan penerimaan marginal sebesar –Rp 55.

1. Buka aplikasi EC-Math. Pilih Derivatif, kemudian pilih mencari Fungsi Penerimaan

(40)

LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 30 Gambar 1.17 Tampilan Menu Derivatif

(41)

LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 31 3. Maka akan muncul tampilan dibawah ini. Masukkan angka yang diketahui di

soal

Gambar 1.19 Tampilan Menu Input data 4. Kemudian tekan Enter, maka hasilnya adalah berikut

Gambar 1.20 Output Data Fungsi Penerimaan

(42)

LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 32 4.4 LABA MAKSIMUM

Laba adalah selisih antara penerimaan total dengan biaya total, atau dapat dinyatakan dengan rumus :

Dimana : 𝜋 = Laba

TR = Penerimaan Total TC = Biaya Total

Terdapat tiga pendekatan perhitungan laba maksimum yaitu : 1. Pendekatan Totalitas (Totality Approach)

2. Pendekatan Rata-Rata (Average Approach) 3. Pendekatan Marginal (Marginal Approach)

Pada bab ini kita hanya akan membahas perhitungan laba maksimum dengan pendekatan marginal (Marginal Approach). Perhitungan laba dilakukan dengan membandingkan Biaya Marginal (MC) dan Pendapatan Marginal (MR). laba maksimum akan tercapai pada saat MR = MC.

Laba (π dibaca: phi) = TR – TC. Laba maksimum tercapai bila turunan pertama fungsi (dπ/dQ) sama dengan nol dan nilainya sama dengan nilai turunan pertama TC (dTC/dQ atau MC ) sehingga MR – MC = 0. Dengan demikian, perusahaan akan memperoleh laba maksimum (atau kerugian minimum), bila ia berproduksi pada tingkat output di mana MR = MC.

𝝅 = TR – TC atau 𝝅 = (P . Q) – (FC + VC)

(43)

Fungsi permintaan suatu barang ditunjukkan oleh persamaan P = -18Q + 5.000 dengan biaya variabel VC = 10Q² – 100Q. Biaya tetap yang dikeluarkan perusahaan sebesar 70.000. Tentukanlah pada tingkat penjualan berapa perusahaan bisa mendapatkan laba maksimum dan berapakah besarnya laba tersebut? Berikan Analisisnya!

Penyelesaian:

Diketahui : TC = VC + FC = 10Q² – 100Q + 70.000 TR = P x Q = (-18Q + 5.000)Q

= -18Q² + 5.000Q

Ditanya : Q pada saat laba maksimum, dan besar laba (

π

^)?

Jawab : MR = TR^I

MR = -36Q + 5.000 MC = TC^I

MC = 20Q – 100

Perhitungan Laba Maksimum (

π

max)

MR = MC

-36Q + 5.000 = 20Q – 100 5.000 + 100 = 20Q + 36Q

(44)

LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 34 5.100 = 56Q

Q = 91,07 ≈ 91

TR = -18(91)² + 5.000(91) = 305.942 TC = 10(91)² – 100(91) + 70.000 = 143.710

π

max = 305.942 – 143.710 = 162.232

Analisis :

Jadi untuk mendapatkan laba maksimum, perusahaan harus menjual produknya sebanyak 91 unit sehingga keuntungan maksimum yang didapat sebesar Rp162.232.

1. Buka aplikasi EC-Math. Pilih Derivatif, kemudian pilih mencari Fungsi Laba

(45)

LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 35 2. Kemudian masukkan data-data yang ada di soal, maka akan muncul output

seperti ini

Gambar 1.22 Output Data Fungsi Laba

(46)

INTEGRAL TAK TENTU

1. KONSEP DASAR INTEGRAL TAK TENTU

Dalam kalkulus integral dikenal dua macam pengertian integral, yaitu Integral Tak Tentu (Indefinite Integral) dan Integral Tertentu (Definite Integral). Integral tak tentu adalah kebalikan dari diferensial, yakni suatu konsep yang berhubungan dengan proses penemuan suatu fungsi asal apabila turunan atau derevatif dari fungsinya diketahui, sedangkan Integral tertentu adalah suatu konsep yang berhubungan dengan proses pencarian luas suatu area yang batas- batas limit dari area tersebut sudah tertentu (Dumairy, 2012).

Mengintegralkan suatu fungsi turunan f(x) berarti adalah mencari integral atau turunan-antinya, yaitu F(x).

Bentuk umum integral dari f(x) adalah:

∫ f(x)dx = F(x) + k

Keterangan :

∫ = Tanda integral f(x)dx = Diferensial dari F(x) F(x) = Integral particular

k = Konstanta pengintegralan

(47)

LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 37 Dalam diferensial kita menemukan bahwa jika suatu fungsi asal dilambangkan dengan F(x) dan fungsi turunannya dilambangkan dengan f(x) maka:

Untuk fungsi asal : F(x) = x² + 5 Fungsi turunannya : f(x)dx = ^{𝑑 𝐹(𝑥)}

𝑑𝑥 = 2x

Jika prosesnya dibalik, yakni fungsi turunan f(x) diintegralkan, maka :

∫ f(x)dx = F(x) + k = x

²

+ k

Karena derivatif dari setiap konstanta adalah nol. Jadi setiap kita mengintegralkan fungsi turunan konstanta k tetap dalam bentuk k. Nilai k tidak dapat diisi dengan sembarang bilangan tertentu kecuali nilai k tersebut sudah ditentukan. Karena ketidaktentuan nilai konstanta itulah maka bentuk integral yang merupakan kebalikan dari diferensial dinamakan integral tak tentu.

2. KAIDAH-KAIDAH DALAM INTEGRASI TAK TENTU

Karena integrasi tak tentu pada dasarnya merupakan kebalikan dari diferensial, maka kaidah-kaidah integrasi tak tentu akan dapat dipahami berdasarkan pengetahuan tentang kaidah-kaidah diferensiasi.

Kaidah 1. Formula Pangkat

∫ xⁿ dx = ^𝑥

𝑛+1 𝑛+1 + 𝑘 Contoh :

(48)

∫ x⁴ dx = ^𝑥

𝑛+1

𝑛+1 + k = ^𝑥

5

5 + k = 0,2 x⁵ + k Kaidah 2. Formula Logaritmis

∫ ¹

𝑥 dx = ln x + k Contoh :

∫ ³

𝑥 dx = 3 ln x + k

Kaidah 3. Formula Eksponensial

∫ e^x dx = e^x + k

∫ e^u du = e^u + k u = f(x) Contoh :

∫ e^{x + 2} dx = e^{x + 2} d(x + 2 ) = e^{x + 2} + k Kaidah 4. Formula Penjumlahan

∫ {f(x) + g(x)} = ∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx = F(x) + G(x) + k Contoh :

∫ (x⁴ + 3x²) dx = ∫ x⁴ dx + ∫ 3x² dx = 0,2x⁵ + x³ + k Kaidah 5. Formula Perkalian

∫ nf(x)dx = n ∫ f(x)dx Contoh :

∫ 3x² dx = 3 ∫ x² dx = 3 (^𝑥

2+1

2+1 + 𝑘) = x³ + k

(49)

LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 39 Kaidah 6. Formula Substitusi

∫ f(u) ^𝑑𝑢

𝑑𝑥 dx = ^𝑥

𝑛+1

𝑛+1 f(u) du = F(u) + k Contoh :

Selesaikanlah ∫ ^𝑥+3

𝑥²+6𝑥 dx

Misalkan u = x² + 6x, maka du = 2x + 6 dx Karena pembilang (x + 3) = ¹

2 (du/dx). Sehingga :

∫ ^𝑥+3

𝑥²+6𝑥 dx = ∫ 1/2(𝑑𝑢/𝑑𝑥)

𝑢 dx

= ∫ ^1/2𝑑𝑢

𝑢 = ¹

2 ∫ ^𝑑𝑢

𝑢

= ¹

2 ∫ ¹

𝑢 du = ¹

2 ln u + k 3. PENERAPAN EKONOMI

Pendekatan integral tak tentu dapat diterapkan untuk mencari persamaan fungsi total dari suatu variable ekonomi apabila persamaan fungsi marginalnya diketahui. Karena fungsi marginal pada dasarnya merupakan turunan dari fungsi total, maka dengan proses sebaliknya, yaitu integrasi, dapat dicari fungsi asal dari fungsi turunan tersebut atau fungsi totalnya.

3.1 FUNGSI BIAYA

BIAYA TOTAL (TC) = ∫ MC dQ = ∫ f (Q) dQ BIAYA RATA-RATA (AC) = ^𝑻𝑪

𝑸

(50)

Diketahui fungsi biaya marginal pada suatu perusahaan sebesar MC = 15Q² + 18Q + 5. Bentuklah persamaan biaya total dan biaya rata-rata apabila diketahui konstanta sebesar 5. Berapakah besarnya biaya total dan biaya rata-rata jika kuantitasnya sebesar 11? Analisislah!

Penyelesaian:

Diketahui : MC = 15Q² + 18Q + 5

k = 5

Q = 11

Ditanya : Persamaan TC dan AC?

Besarnya TC dan AC jika Q = 11 ?

Jawab :

TC = ∫ MC dQ

TC = ∫ 15Q² + 18Q + 5 dQ

TC = ^15𝑄

3

3 + ^{18 𝑄}²

2 + 5𝑄 + 𝑘 TC = 5Q³ + 9Q² + 5Q + 5

AC = ^𝑇𝐶

𝑄

AC = ^5𝑄

3+ 9𝑄² + 5Q + 5 𝑄

AC = 5Q² + 9Q + 5 + ⁵

𝑄

Jika Q = 11, maka :

TC = 5Q³ + 9Q² + 5Q + 5

TC = 5(11)³ + 9(11)² + 5(11) + 5 TC = 5(1.331) + 9(121) + 55 + 5

(51)

LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 41 TC = 6.655 + 1.089 + 55 + 5

TC = 7.804

AC = ^𝑇𝐶

𝑄

AC = ^7.804

11

AC = 709,45

Analisis:

Apabila MC = 15Q² + 18Q + 5 dan konstanta sebesar 5, maka fungsi biaya total dan fungsi biaya rata-ratanya adalah TC = 5Q³ + 9Q² + 5Q + 5 dan AC = 5Q² + 9Q + 5 + ⁵

𝑄. Pada saat kuantitasnya sebesar 11 unit, maka biaya total sebesar Rp.

7.804 dan biaya rata-ratanya sebesar Rp. 709,45.

Langkah-Langkah Pengerjaan Menggunakan Software EC-Math 1. Buka aplikasi EC-Math

Gambar 2.1 Tampilan Menu Awal Software Ec-Math

(52)

LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 42 2. Pilih Integral Tak Tentu

Gambar 2.2 Tampilan Menu Awal Integral Tak Tentu 3. Pilih Fungsi Biaya

Gambar 2.3 Tampilan Menu Operasi Fungsi Biaya

(53)

LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 43 4. Masukkan data-data yang diketahui dari soal. Untuk menentukan Banyaknya Variabel hitung berapa banyak variabel pada data soal, yaitu 2. Masukkan FC sebesar k, yaitu: 5. Kemudian masukkan persamaan MC seperti yang diketahui di soal. Klik Calculate.

Gambar 2.4 Tampilan Menu Input Data Fungsi Biaya

5. Untuk mencari besarnya TC dan AC, masukkan nilai Q seperti yang ada di soal,yaitu 11. Kemudian klik Calculate.

(54)

LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 44 Gambar 2.5 Tampilan Menu Output Data Fungsi Biaya

3.2 FUNGSI PENERIMAAN

PENERIMAAN TOTAL (TR) = ∫MR dQ = ∫ f (Q) dQ PENERIMAAN RATA-RATA (AR) = ^𝑻𝑹

𝑸

CONTOH KASUS 2

Jika fungsi penerimaan marginal suatu perusahaan ditunjukkan oleh persamaan MR = 15Q² + 10Q + 5, maka bentuklah persamaan TR dan AR jika k = 0?

Berapakah besarnya penerimaan total dan penerimaan rata-rata jika kuantitas yang terjual sebesar 15 unit? Analisislah!

Penyelesaian:

Diketahui : MR = 15Q² + 10Q + 5

(55)

k = 0

Q = 15

Ditanya : Persamaan TR dan AR?

Besarnya TR dan AR jika Q = 15?

Jawab :

TR = ∫ MR dQ

TR = ∫15Q² + 10Q + 5 dQ

TR = ^15𝑄

3 3 + ^10𝑄

2

2 + 5Q + k TR = 5Q³ + 5Q² + 5Q

AR = ^𝑇𝑅

𝑄

AR = ^5𝑄

3+ 5𝑄²+5𝑄 𝑄

AR = 5Q² + 5Q + 5

Jika Q = 15, maka :

TR = 5Q³ + 5Q² + 5Q

TR = 5(15)³ + 5(15)² + 5(15) TR = 5(3.375) + 5(225) + 75 TR = 16.875 + 1.125 + 75 TR = 18.075

AR = ^𝑇𝑅

𝑄

AR = ^18.075

15

AR = 1.205

(56)

LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 46 Analisis:

Apabila MR = 15Q² + 10Q + 5 dan konstanta sebesar 0, maka fungsi penerimaan total dan fungsi penerimaan rata-ratanya adalah TR = 5Q³ + 5Q² + 5Q dan AR = 5Q² + 5Q + 5. Pada saat kuantitasnya sebesar 15 unit, maka penerimaan total sebesar Rp. 18.075 dan penerimaan rata-ratanya sebesar Rp. 1.205.

Gambar 2.6 Tampilan Menu Awal Software Ec-Math 2. Pilih Integral Tak Tentu

(57)

LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 47 Gambar 2.7 Tampilan Menu Awal Integral Tak Tentu

3. Pilih Fungsi Penerimaan

Gambar 2.8 Tampilan Menu Operasi Fungsi Penerimaan

(58)

LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 48 4. Masukkan data-data yang diketahui dari soal. Untuk menentukan Banyaknya

Variabel hitung berapa banyak variabel pada data soal, yaitu 2. Kemudian masukkan persamaan MR seperti yang diketahui di soal. Klik Calculate.

Gambar 2.9 Tampilan Menu Input Data Fungsi Penerimaan

5. Untuk mencari besarnya TR dan AR, masukkan nilai Q seperti yang ada di soal,yaitu 15. Kemudian klik Calculate.

(59)

LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 49 Gambar 2.10 Tampilan Menu Output Data Fungsi Penerimaan

3.3 FUNGSI PRODUKSI

TOTAL PRODUKSI (TP) = ∫ MP dX = ∫ f (X) dX PRODUKSI RATA-RATA (AP) = ^𝑻𝑷

𝑿

Keterangan :

X = Masukan atau Input

(60)

Produksi marginal PT. PakaBopa ditunjukkan oleh persamaan MP = 75X² + 50X + 10. Bentuklah persamaan produksi total dan produksi rata-ratanya jika k = 0?

Berapakah besarnya produksi total dan produksi rata-rata jika masukan yang digunakan sebesar 10 unit? Analisislah!

Penyelesaian:

Diketahui : MP = 75X² + 50X + 10 k = 0

X = 10

Ditanya : Persamaan TP dan AP?

Besarnya TP dan AP jika X = 10?

Jawab :

TP = ∫ MP dX

TP = ∫ 75X² + 50X + 10 dX TP = ^75𝑋

3 3 + ^50𝑋

2

2 + 10X + k TP = 25X³ + 25X² + 10X

AP = ^𝑇𝑃

𝑥

AP = ^25𝑋

3+ 25𝑋²+10𝑋 𝑥

AP = 25X² + 25X + 10

Jika X = 10, maka :

TP = 25X³ + 25X² + 10X

TP = 25(10)³ + 25(10)² + 10(10) TP = 25(1000) + 25(100) + 100 TP = 25.000 + 2.500 + 100 TP = 27.600

(61)

AP = ^𝑇𝑃

𝑋

AP = ^27.600

10

AP = 2.760

Analisis :

Apabila MP = 75X² + 50X + 10 dan konstanta sebesar 0, maka fungsi produksi total dan fungsi produksi rata-ratanya adalah TP = 25X³ + 25X² + 10X dan AP = 25X² + 25X + 10. Pada saat kuantitasnya sebesar 10 unit, maka produksi total sebesar 27.600 unit dan produksi rata-ratanya sebesar 2.760 unit.

(62)

3. Pilih Fungsi Produksi

Gambar 2.13 Tampilan Menu Operasi Fungsi Produksi

(63)

LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 53 4. Masukkan data-data yang diketahui dari soal. Untuk menentukan Banyaknya

Variabel hitung berapa banyak variabel pada data soal, yaitu 2. Kemudian masukkan persamaan MP seperti yang diketahui di soal. Klik Calculate.

Gambar 2.14 Tampilan Menu Input Data Fungsi Produksi

5. Untuk mencari besarnya TP dan AP, masukkan nilai X seperti yang ada di soal,yaitu 10. Kemudian klik Calculate.

(64)

LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 54 Gambar 2.15 Tampilan Menu Output Data Fungsi Produksi

3.4 FUNGSI UTILITAS

UTILITAS TOTAL (TU) = ∫ MU dQ = ∫ f (Q) dQ

CONTOH KASUS 4

Bentuklah persamaan utilitas total dari seorang konsumen jika utilitas marginalnya ditunjukkan oleh persamaan MU = 18Q² + 18Q + 18 dan konstantanya sebesar 0? Berapakah besarnya utilitas total jika Q = 18?

Analisislah!

Penyelesaian:

Diketahui : MU = 18Q² + 18Q + 18 k = 0

(65)

LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 55 Q = 18

Ditanya : Persamaan TU?

Besarnya TU jika Q = 18?

Jawab :

TU = ∫ MU dQ

TU = ∫18Q² + 18Q + 18 dQ

TU = ^18𝑄

3 3 + ^18𝑄

2

2 + 18 + k TU = 6Q³ + 9Q² + 18Q

Jika Q = 18, maka :

TU = 6Q³ + 9Q² + 18Q

TU = 6(18)³ + 9(18)² + 18(18) TU = 6(5.832) + 9(324) + 324 TU = 34.992 + 2.916 + 324 TU = 38.232

Analisis:

Apabila MU = 18Q² + 18Q + 18 dan konstanta sebesar 0, maka fungsi utilitas total TU = 6Q³ + 9Q² + 18Q. Pada saat kuantitasnya sebesar 18 unit, maka utilitas total sebesar 38.232.

3.5 FUNGSI KONSUMSI DAN FUNGSI TABUNGAN

Dalam ekonomi makro, konsumsi (C) dan tabungan (S) dinyatakan fungsional terhadap pendapatan nasional (Y).

C = f(Y) = a + bY

(66)

Karena, Y = C + S

Maka, S = -a + ( 1 – b )Y

Berdasarkan kaidah integrasi, konsumsi (C) adalah integral dari MPC dan tabungan (S) adalah integral dari MPS.

C = ∫ MPC dY = F(Y) + k k = +a

S = ∫ MPS dY = F(Y) + k k = -a

Keterangan :

 MPC (Marginal Propensity to Consume) = Perbandingan antara besarnya perubahan konsumsi (∆C) dengan perubahan Pendapatan Nasional (∆Y) yang mengakibatkan adanya perubahan konsumsi tersebut.

 k = a = Autonomous Consumption = Konsumsi otonom menunjukkan besarnya konsumsi nasional pada saat Pendapatan Nasional sebesar nol.

 k = -a = Autonomous Saving = Tabungan otonom menunjukkan besarnya tabungan nasional pada saat Pendapatan Nasional sebesar nol.

Dimana :

0,5 < MPC < 1

(67)

LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 57 MPC + MPS = 1

 MPC < 1 = Menunjukkan sebagian besar penggunaan tambahan pendapatan digunakan untuk menambah besarnya konsumsi, sedangkan sisanya yaitu sejumlah kecil merupakan tambahan tabungan.

 MPC > 0,5 = Menunjukkan lebih dari 50% pendapatan yang diperoleh digunakan untuk konsumsi.

CONTOH KASUS 5

Carilah persamaan konsumsi dan persamaan tabungan masyarakat sebuah Negara jika diketahui konsumsi otonomnya sebesar 50 milyar dan MPC = 0,70. Berapa besar konsumsi dan tabungan masyarakat jika pendapatan nasional Negara sebesar 555 milyar? Analisislah!

Penyelesaian:

Diketahui : MPC = 0,70 k = a = 50 milyar Y = 555 milyar

Ditanya : fungsi (C) dan fungsi (S) ? Besar C dan S ?

Jawab :

MPC + MPS = 1

MPS = 1 – 0,70

(68)

MPS = 0,30

Fungsi (C) f(Y) = ∫ MPC dY f(Y) = ∫ 0,70 dY f(Y) = 0,70Y + k f(Y) = 0,70Y + 50

Fungsi (S) f(Y) = ∫ MPS dY f(Y) = ∫ 0,30 dY f(Y) = 0,30Y – k f(Y) = 0,30Y – 50

Jika Y = 555, maka :

C = 0,70Y + k

= 0,70 (555) + 50

= 388,5 + 50

= 438,5 milyar

S = 0,30Y – k

= 0,30 (555) – 50

= 166,5 – 50

= 116,5 milyar Analisis :

Apabila MPC = 0,70 dan konsumsi otonomnya sebesar 50 milyar, maka persamaan konsumsi yang terbentuk adalah C = 0,70Y + 50 dan persamaan tabungannya adalah S = 0,30Y – 50. Jika pada saat Pendapatan Nasional sebesar

(69)

LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 59 555 maka konsumsi dan tabungan masyarakat Negara sebesar Rp. 438,5 dan Rp.

116,5 milyar.

Langkah-langkah Pengerjaan Menggunakan Software Ec-Math 1. Buka aplikasi EC-Math

(70)

3. Pilih Fungsi Konsumsi

Gambar 2.18 Tampilan Menu Operasi Fungsi Konsumsi

(71)

LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 61 4. Masukkan nilai k atau a sesuai dengan data yang diketahui di soal sebesar 50,

kemudian masukkan nilai MPC yaitu 0,70. Kemudian klik Calculate.

Gambar 2.19 Tampilan Menu Input Data Fungsi Konsumsi

5. Masuk nilai Y sesuai data soal sebesar 555 pada kolom Y untuk menghitung nilai konsumsinya, klik Calculate.

(72)

LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 62 Gambar 2.20 Tampilan Menu Output Data Fungsi Konsumsi

6. Masukkan nilai k atau a sebesar -50 dan MPS sebesar 0,30. Kemudian masukan nilai Y sesuai data soal sebesar 555 pada kolom Y untuk menghitung nilai tabungannya, klik Calculate.

Gambar 2.21 Tampilan Menu Output Data Fungsi Tabungan

(73)

INTEGRAL TERTENTU

1. KONSEP DASAR INTEGRAL TERTENTU

Integral tertentu adalah integral dari suatu fungsi yang nilai-nilai variabel bebasnya (memiliki batas-batas) tertentu (Dumairy, 2012). Integral tertentu juga memiliki penafsiran sebagai suatu metode untuk menentukan luas daerah di bawah suatu kurva dengan batasan-batasan yang sudah ditentukan.

Rumus integral tertentu :

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = [𝐹(𝑥)]_𝑎^𝑏 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎)

𝑏 𝑎

Keterangan : a = batas bawah b = batas atas dimana a < b Contoh :

∫ 8x₁⁵ ²+ 8x + 8 dx = … Penyelesaian

∫ 8x² + 8x + 8 dx = [8 3x³ + 8

2x² + 8x]

1 5 5

1