Matematika racunalom 1.zadaca 2007

(1)

KONRAD BURNIK

1.

zadatak

Zadatak 1.

Odredite sve proste brojeve manje od

10

7

koji imaju simetriˇcan

prikaz u bazi 10. Koji od njih imaju i simetriˇcan prikaz i u bazi 2? Koji od

tih brojeva su Fibonaccijevi, a koji su Lucasovi?

Rjesenje

1

.

Simetriˇcne brojeve do 10

7

generiramo redom po broju znamenki.

Dakle, najprije raˇcunamo skupove

Sim

k

=

{

k-znamenkasti simetriˇcni brojevi u bazi 10

}

za

k

∈ {

1, . . . ,

7

}

. Unija tih skupova daje sve simetriˇcne brojeve do 10

7

.

Sim1:=Table[a,{a,1,9}] Sim2:=Table[a*10+a,{a,1,9}]

Sim3:=Table[a*100+b*10+a,{a,1,9},{b,0,9}]

Sim4:=Table[a*1000+b*100+b*10+a,{a,1,9},{b,0,9}]

Sim5:=Table[a*10000+b*1000+c*100+b*10+a,{a,1,9},{b,0,9},{c,0,9}]

Sim6:=Table[a*100000+b*10000+c*1000+c*100+b*10+a,{a,1,9},{b,0,9},{c,0,9}] Sim7:=Table[a*1000000+b*100000+c*10000+d*1000+c*100+b*10+a,

{a,1,9},{b,0,9},{c,0,9},{d,0,9}]

Simetricni = Flatten[Union[Sim1,Sim2,Sim3,Sim4,Sim5,Sim6, Sim7]]

Length[Simetricni]

10998

Za odabir prostih medu njima radimo selekciju:

A = Select[Simetricni, PrimeQ[#] &]

Length[A]

781

Brojeve izAkoji imaju i simetriˇcan prikaz u bazi 2 dobivam selekcijom uz pomoćnu funkcijuBaseDigits[broj,baza]koja za dani broj i danu bazu vraća reprezentaciju tog broja u danoj bazi kao niz znakova. Za pretvorbu broja u njegov zapis u danoj bazi koristim ugradenu funkcijuBaseForm. String koji vraća ova funkcija potrebno je formatirati tako da sadrˇzi samo podatke o znamenkama (do znaka \n), a ne i o

(2)

kojoj bazi se radi (nakon znaka\n). Ako se radi o bazi 10 tada formatiranje rezul-tata nije potrebno. Uvodim joˇs i funkcijubinSimQ[x]koja testira dali se znakovna reprezentacija binarnog zapisa ˇcitana s lijeva nadesno isto ˇcita i sdesna nalijevo.

BaseDigits[broj_, baza_] :=

Module[{s = ToString[BaseForm[broj, baza]]}, If[baza != 10,

StringDrop[s, {Part[StringPosition[s, "\n"], 1, 1], -1}],s]]

binsimQ[x_]:= ( BaseDigits[x, 2] ==StringReverse[BaseDigits[x,2]])

Dakle, selekcija daje

Select[A, binsimQ[#] &]

{3, 5, 7, 313}

Izdvajanje Fibonaccijevih iz liste A radimo takoder selekcijom za koju posebno uvodimo funkcijufiboQ[x,n]koja za dani prirodni brojxvra´caTrueako jex=Fk za 0≤k≤n. ˇClanstvo u listi se ispituje ugradenom funkcijomMemberQ.

fiboQ[x_, n_] := MemberQ[Table[ Fibonacci[i], {i, 0, n}], x] fiboQ[13, 100]

True

fiboQ[14, 100]

False

Select[A, fiboQ[#, 36] &]

{2, 3, 5}

Za Lucasove brojeve uvodim funkcijuLucas[n]koja vra´can-ti Lucasov broj. Ko-ristim vezu Ln=Fn₋1+Fn+1.

Lucas[n_] := Fibonacci[n - 1] + Fibonacci[n + 1]

Kao i kod Fibonaccijevih brojeva uvodimo funkciju lucaQ[x,n] koja je analogna funkciji fiboQ[x,n].

lucaQ[x_, n_] :=

MemberQ[Table[Lucas[i], {i, 0, n}], x]

Sad izdvajamo Lucasove iz listeA.

Select[A, lucaQ[#, 36] &]

(3)

2.

zadatak

Zadatak 2.

Pravac

m

sijeˇce pravce

BC

,

CA

i

AB

stranica trokuta

ABC

u toˇckama

A

m

,

B

m

,

C

m

. Dokaˇzite da poloviˇsta duˇzina

A

m

A

,

B

m

B

,

C

m

C

leˇze na pravcu. Nadite joˇs neka svojstva te konfiguracije!

g

m

Cm

Am Bm

A

C

B

E D

(4)

Rjesenje

2

.

Za rjeˇsenje koristim slijede´ce pomo´cne funkcije:

(* FullSimplify i Factor

timredom *) FS[m_]:=Factor[FullSimplify[m]]

(* Vraca poloviste segmenta odredjenog njegovim krajnjim to\v{c}kama*)

poloviste[{a_,u_},{b_,v_}]:=FS[{(a+b)/2,(u+v)/2}]

(* Presjek 2 pravca zadanih u implicitnom obliku *) presjek2p[{a_,b_,c_},{u_,v_,w_}]:=

FS[{(w*b-v*c)/(a*v-b*u),(u*c-w*a)/(a*v-b*u)}]

(* Ispituje dali su tri tocke kolinearne *)

kolinearneQ[{a1_,a2_},{b1_,b2_},{c1_,c2_}]:= FS[a1*b2-a1*c2-b1*a2+b1*c2+c1*a2-c1*b2]

e2G[{a_, x_}, {b_, y_}, {c_, z_}] := FS[{(a + b + c)/3, (x + y + z)/3}]

(* Ortocentar *) e2H[{xa_, ya_}, {xb_, yb_}, {xc_, yc_}] := presjek2p[okomica[{xa, ya}, pravac2t[{xb, yb}, {xc, yc}]],

okomica[{xb, yb}, pravac2t[{xa, ya}, {xc, yc}]]]

okomitiQ[{a_, b_, c_}, {u_, v_, w_}] := FS[a*u + b*v]

tA = {a, u};

tB= {b, v}; tC = {c, w}; tE = {e, x}; tF = {f, y};

pAB = pravac2t[tA, tB]; pBC = pravac2t[tB, tC]; pAC = pravac2t[tC, tA];

(* pravac m odredjen je tockama E i F *) m = pravac2t[tE, tF];

(* Pronadji presjeke pravca m sa pravcima koji cine trokut ABC *)

tAm = presjek2p[pBC, m]; tBm = presjek2p[pAC, m]; tCm = presjek2p[pAB, m];

(5)

kolinearneQ[poloviste[tA, tAm], poloviste[tB, tBm], poloviste[tC, tCm]]

0 (*jesu!*)

Za ovu konfiguraciju pronaˇsao sam joˇs slijede´ca svojstva:

Svojstvo 1. Teˇziˇsta trokutaAAmB,AAmC,ABC leˇze na pravcu tc.

kolinearneQ[e2G[tA, tB,tAm], e2G[tA, tC, tAm], e2G[tA,tB,tC]]

0 (* tezista leze na pravcu *)

Svojstvo 2. Ortocentri trokutaABAm,ACAm,ABC leˇze na pravcu to.

kolinearneQ[e2H[tA, tB, tAm], e2H[tA, tC, tAm], e2H[tA,tB,tC]]

0 (* ortocentri leze na pravcu *)

Svojstvo 3. Pravcitc ito medusobno su okomiti.

okomitiQ[pravac2t[e2G[tA, tB, tAm], e2G[tA, tC, tAm]], pravac2t[e2H[tA, tB, tAm], e2H[tA, tC, tAm]]]

0 (* tc i to su medjusobno okomiti *)

Svojstvo 4. Teˇziˇsta trokutaABmB,BBmC,ABC leˇze na pravcut′

c.

kolinearneQ[e2G[tA, tBm, tB], e2G[tB, tBm, tC], e2G[tA, tB, tC]]

0 (* tezista leze na pravcu *)

Svojstvo 5. Ortocentri trokutaABmB,BBmC,ABC leˇze na pravcut′

o.

kolinearneQ[e2H[tA, tBm, tB], e2H[tB, tBm, tC], e2H[tA, tB, tC]]

0 (* ortocentri leze na pravcu *)

Svojstvo 6. Pravcit′

c it′o su medusobno okomiti.

okomitiQ[pravac2t[e2G[tA, tBm, tB], e2G[tB, tBm, tC]],

pravac2t[e2H[tA, tBm, tB], e2H[tB, tBm, tC]]]

Svojstvo 7. Pravcitc it′c medusobno se sijeku u teˇziˇstu trokuta ABC i paralelni

(6)

paralelniQ[pravac2t[e2G[tB, tAm, tA], e2G[tA, tC, tAm]], pBC]

0 (* tc je paralelan sa BC *)

paralelniQ[pravac2t[e2G[tA, tBm, tB], e2G[tB, tBm, tC]], pAC]

0 (* tc’ je paralelan sa AC *)

presjek2p[

pravac2t[e2G[tB, tAm, tA], e2G[tA, tC, tAm]], pravac2t[ e2G[tA, tBm, tB], e2G[tB, tBm, tC]]] - e2G[tA, tB, tC]

{0,0} (* tc i tc’ se sijeku u tezistu trokuta ABC *)

3.

zadatak

Zadatak 3.

Dokaˇzite da su zbrojevi duljina stranica i duljina pripadnih

visina bilo kojeg trokuta (tj. duˇzine

a

+

h

a,

b

+

h

b,

c

+

h

c) uvijek stranice

nekog trokuta. Vrijedi li ista tvrdnja za

a

2

+

h

2a,

b

2

+

h

2b

,

c

2

+

h

2c?

Rjesenje

3

.

Tri duˇzine

a,

b,

c

ˇcine trokut ako i samo ako vrijede nejednakosti

trokuta:

a

+

b

≥

c

b

+

c

≥

a

c

+

a

≥

b

pa ´cemo ovaj uvjet iskoristiti za ispitivanje najprije dali duˇzine

a+h

a

,

b+h

b

,

c

+

h

c

a zatim i

a

2

+

h

2a

,b

2

+

h

2b

,c

2

+

h

2c

ˇcine trokut.

Duljine visina trokuta

ABC

mogu se izraˇcunati preko njegove povrˇsine.

Veza izmedu povrˇsine trokuta i njegovih visina glasi:

P

=

ah

a

2

=

bh

b

2

=

ch

c

2

S druge strane, Heronova formula daje izraz za povrˇsinu trokuta

ABC

di-rektno iz duljina njegovih stranica.

(7)

gdje je

s

= (a

+

b

+

c)/2. Dakle, kada izraˇcunamo povrˇsinu trokuta

P

,

duljine pripadnih visina

h

a

,

h

b

,

h

c

jednake su:

h

a

=

2P

a

h

b

=

2P

b

h

c

=

2P

c

Kako zadatak rjeˇsavamo pomo´cu raˇcunala, najprije moramo odabrati

prik-ladnu parametrizaciju. Jedna od ˇcesto koriˇstenih parametrizacija glasi:

A

:= (0,

0)

B

:= (r(f

+

g),

0)

C

:=

·

(f

2

−

1)gr

f g

−

1

,

2f gr

f g

−

1

¸

Gdje su

f

i

g

kotangensi polovica kuteva uz vrhove

A

i

B

respektivno, a

r

je radijus upisane kruˇznice trokuta

ABC

. Ova parametrizacija je pogodna

za rad na raˇcunalu jer su koordinate toˇcaka racionalni izrazi u

f

,g,r. Dakle,

koriste´ci ovu parametrizaciju za vrhove trokuta raˇcunamo najprije duljine

stranica

a, b, c:

A = {0,0}; B = {r*(f+g),0};

C = {(((f^2-1)*g*r)/(f*g-1)),2*f*g*r/(f*g-1)};

aa = PowerExpand[udaljenost2t[tB, tC]]; bb = PowerExpand[udaljenost2t[tA, tC]]; cc = PowerExpand[udaljenost2t[tA, tB]];

aa

(f*(1 + g^2)*r)/(-1 + f*g)

bb

((1 + f^2)*g*r)/(-1 + f*g)

cc

(f + g)*r

Povrˇsina ide preko Heronove formule:

Heron[a_, b_, c_] :=

(8)

P = PowerExpand[FullSimplify[Heron[aa, bb, cc]]];

P

(r^2*(1 + u)*(1 + v)*(2 + u + v))/(-1 + (1 + u)*(1 + v))

Raˇcunamo visine ha,hb,hc:

ha = 2*P/aa; hb = 2*P/bb; hc = 2*P/cc;

ha

(2*g*(f + g)*r)/(1 + g^2)

hb

(2*f*(f + g)*r)/(1 + f^2)

hc

(2*f*g*r)/(-1 + f*g)

Testiramo nejednakosti trokuta na duˇzinamaa+ha,b+hb,c+hc. Ako u sve tri nejednakosti dobijemo izraze sa pozitivnim ˇclanovima tada te duˇzine ˇcine trokut.

f = 1 + u; g = 1 + v;

Cancel[FullSimplify[aa + ha + bb + hb - cc - hc]]

(2*r*(4 + 12*u + 14*u^2 + 6*u^3 + u^4 + 12*v + 32*u*v + 32*u^2*v + 12*u^3*v + 2*u^4*v + 14*v^2 + 32*u*v^2 + 27*u^2*v^2 + 8*u^3*v^2 + u^4*v^2 + 6*v^3 + 12*u*v^3 + 8*u^2*v^3 + u^3*v^3 + v^4 + 2*u*v^4 + u^2*v^4))/((2 + 2*u + u^2)*(u + v + u*v)*(2 + 2*v + v^2))

Cancel[FullSimplify[aa + ha - bb - hb + cc + hc]]

(2*r*(4 + 12*u + 10*u^2 + 6*u^3 + u^4 + 12*v + 32*u*v + 28*u^2*v + 16*u^3*v + 2*u^4*v + 14*v^2 + 32*u*v^2 + 27*u^2*v^2 + 14*u^3*v^2 + u^4*v^2 + 6*v^3 + 12*u*v^3 + 10*u^2*v^3 + 5*u^3*v^3 + v^4 + 2*u*v^4 + 2*u^2*v^4 + u^3*v^4))/((2 + 2*u + u^2)*(u + v + u*v)*(2 + 2*v + v^2))

Cancel[FullSimplify[bb + hb + cc + hc - aa - ha]]

(9)

(2 + 2*v + v^2))

U sva tri sluˇcaja dobivamo izraze sa pozitivnim ˇclanovima pa zakljuˇcujemo da duˇzine a+ha,b+hb,c+hc zaista ˇcine trokut. Istu stvar provjeravamo za duˇzine

a2

+h2 a,b

2

+h2 b,c

2

+h2 c.

Cancel[FullSimplify[aa^2 + ha^2 + bb^2 + hb^2 - cc^2 - hc^2]]

(2*r^2*(32 + 128*u + 288*u^2 + 416*u^3 + 376*u^4 + 208*u^5 + 72*u^6 + 16*u^7 + 2*u^8 + 128*v + 576*u*v + 1376*u^2*v + 1952*u^3*v +

1664*u^4*v + 864*u^5*v + 288*u^6*v + 64*u^7*v + 8*u^8*v + 288*v^2 + 1376*u*v^2 + 3184*u^2*v^2 + 4176*u^3*v^2 + 3224*u^4*v^2 +

1504*u^5*v^2 + 456*u^6*v^2 + 96*u^7*v^2 + 12*u^8*v^2 + 416*v^3 + 1952*u*v^3 + 4176*u^2*v^3 + 4912*u^3*v^3 + 3288*u^4*v^3 +

1264*u^5*v^3 + 304*u^6*v^3 + 56*u^7*v^3 + 8*u^8*v^3 + 376*v^4 + 1664*u*v^4 + 3224*u^2*v^4 + 3288*u^3*v^4 + 1734*u^4*v^4 + 396*u^5*v^4 + 10*u^6*v^4 - 4*u^7*v^4 + 2*u^8*v^4 + 208*v^5 +

864*u*v^5 + 1504*u^2*v^5 + 1264*u^3*v^5 + 396*u^4*v^5 92*u^5*v^5 -90*u^6*v^5 - 18*u^7*v^5 + 72*v^6 + 288*u*v^6 + 456*u^2*v^6 +

304*u^3*v^6 + 10*u^4*v^6 - 90*u^5*v^6 - 43*u^6*v^6 - 7*u^7*v^6 + 16*v^7 + 64*u*v^7 + 96*u^2*v^7 + 56*u^3*v^7 4*u^4*v^7 18*u^5*v^7 -7*u^6*v^7 - u^7*v^7 + 2*v^8 + 8*u*v^8 + 12*u^2*v^8 + 8*u^3*v^8 + 2*u^4*v^8))/((2 + 2*u + u^2)^2*(u + v + u*v)^2*(2 + 2*v + v^2)^2)

Cancel[FullSimplify[aa^2 + ha^2 - bb^2 - hb^2 + cc^2 + hc^2]]

1836*u^5*v^4 + 570*u^6*v^4 + 76*u^7*v^4 + 2*u^8*v^4 + 208*v^5 +

864*u*v^5 + 1632*u^2*v^5 + 2000*u^3*v^5 + 1692*u^4*v^5 + 892*u^5*v^5 + 250*u^6*v^5 + 26*u^7*v^5 + 72*v^6 + 288*u*v^6 + 552*u^2*v^6 +

704*u^3*v^6 + 602*u^4*v^6 + 306*u^5*v^6 + 79*u^6*v^6 + 7*u^7*v^6 + 16*v^7 + 64*u*v^7 + 128*u^2*v^7 + 168*u^3*v^7 + 140*u^4*v^7 + 66*u^5*v^7 + 15*u^6*v^7 + u^7*v^7 + 2*v^8 + 8*u*v^8 + 16*u^2*v^8 + 20*u^3*v^8 + 15*u^4*v^8 + 6*u^5*v^8 + u^6*v^8))/

((2 + 2*u + u^2)^2*(u + v + u*v)^2*(2 + 2*v + v^2)^2)

(10)

1692*u^5*v^4 + 602*u^6*v^4 + 140*u^7*v^4 + 15*u^8*v^4 + 112*v^5 + 768*u*v^5 + 1936*u^2*v^5 + 2464*u^3*v^5 + 1836*u^4*v^5 + 892*u^5*v^5 + 306*u^6*v^5 + 66*u^7*v^5 + 6*u^8*v^5 + 56*v^6 + 336*u*v^6 +

752*u^2*v^6 + 856*u^3*v^6 + 570*u^4*v^6 + 250*u^5*v^6 + 79*u^6*v^6 + 15*u^7*v^6 + u^8*v^6 + 16*v^7 + 80*u*v^7 + 152*u^2*v^7 + 144*u^3*v^7 + 76*u^4*v^7 + 26*u^5*v^7 + 7*u^6*v^7 + u^7*v^7 + 2*v^8 + 8*u*v^8 + 12*u^2*v^8 + 8*u^3*v^8 + 2*u^4*v^8))/((2 + 2*u + u^2)^2*

(u + v + u*v)^2*(2 + 2*v + v^2)^2)

Dakle, duˇzine a2₊_h2 a, b

2₊_h2 b, c

2₊_h2