5 integral numerik1

METODE NUMERIK

Definisi

 mengintegrasikan = memadukan bersama = menjumlahkan total

 Mengapa ada integrasi numerik?

Karena integrasi numerik digunakan untuk menyelesaikan integral yang sulit diselesaikan secara analitik

x

f(x)

f(x)

b a



b

a

dx x

Definisi

 Contoh :

 sulit diselesaikan secara analitis (dengan

teori kalkulus yang ada)









 2

0

1 2 2

1 dx

Cara Penyelesaian

 Melalui pendekatan kurva

x f(x) 0 . . . . . 0,25 . . . . . 0,5 . . . . . 0,75 . . . . . . . . . . . . . . . 2 . . . . .

Cara Penyelesaian

 Alternatif pemecahan (jika tidak dengan

penyelesaian analitis)

 Memplot grafik tersebut pada kertas berpetak

segi empat (dijumlah luas setiap kotak)

 Membuat segmen-segmen vertikal (mirip diagram

batang), menjumlah (luas setiap segmen vertikal).

Integrasi Newton Cotes

 Perhitungan integrasi numerik yang paling

umum adalah formula Newton Cotes.

 Strategi dari formula ini adalah mengganti

Integrasi Newton Cotes

 Jika diketahui suatu f(x) pada interval [a,b],

nilai integral

bisa didekati dengan Newton Cotes orde n.

 Bentuk umum Newton Cotes orde n _





b

a

dx x

f

s ( )

n n n

n x a x

a x

a x

a a

n

Integrasi Newton Cotes

b a

b a

x a a

n

f ( )  ₀  ₁

 

_{x a a x a x}2 _{a x}3

f    

 

2

2 1

0

2 x a a x a x

Integrasi Newton Cotes

 Semakin tinggi orde Newton yang digunakan

sebagai pendekatan perhitungan, akan semakin kecil kesalahan yang dihasilkan.

 Pendekatan Newton Cotes orde ke-n

 perlu (n+1) titik.

 Dalam formula Newton Cotes

 Metode tertutup _ batas awal dan batas akhir

diketahui

 Metode terbuka _ batas integrasi diperluas di luar

Metode Trapesium

 Metode ini adalah bagian dari metode

integrasi Newton tertutup dengan

menggunakan aproksimasi polinomial orde 1, sehingga dengan aturan trapesium.

 





b

a

dx x

f

I ₁  Newton Cotes orde 1



  

 

2

b f a

f a b

I   

 Rumus ini berpadanan dengan

rumus geometri dari trapesium, dengan lebar sebesar (b–a) dan tinggi rata-rata

 

 

2

b f a

Metode Trapesium

 Besarnya kesalahan untuk aturan trapesium

tunggal adalah :

adalah nilai rata-rata dari turunan ke-2 yang dirumuskan sebagai





3

12 1

a

b

f

a    



f





 

x

f

f

b

a

  

Metode Trapesium (Ex.)

 Diketahui suatu fungsi

 Hitung nilai analitis dari

 Hitung nilai integral di atas dengan aturan

trapesium tunggal pada batas x = 0 sampai dengan x = 2

 Hitung nilai _t dan _a

  

_{x x}



_ex

f   1

 



2

0

dx x

Metode Trapesium (Ex.)

 u = x + 1 dv = ex.dx

 du = dx v =





_

 x 1 exdx u.v  v.du

2

0

x x_{dx e}

e 





















2 2









0 0



2 0 2 0 2 0 . 1 0 . 1 2 ] 1 ] . 1 1 e e e e e e x dx e e x dx e x x x x x x              _  0 e e .

3 2  2 



Metode Trapesium (Ex.)

 Dengan aturan trapesium tunggal



  

 

2 b f a f a b

I    ; b = 2; a = 0

 

  



 

  





   



23,167

Metode Trapesium (Ex.)

 Kesalahan

% 767 ,

56 %

100 778

, 14

167 ,

23 778

, 14

 

 

t



_t (tidak dalam persen)

Metode Trapesium (Ex.)

Metode Trapesium (Ex.)

u = x + 3 dv = ex.dx

du = dx v ex.dx ex









2

0 2 0 ] . . 3 . . 3 _

x  ex dx  x  ex  ex dx











2 3.







0 3



.



] . 3 0 0 2 2 2 0          e e e e e e

Metode Trapesium (Ex.)









3

. 12 1 778 , 13 0 2 556 , 27 a b f f

a    