Studi Tentang Syarat Perlu Dan Syarat Cukup Dalam Optimisasi Berpembatas Persamaan

STUDI TENTANG SYARAT PERLU DAN SYARAT CUKUP

DALAM OPTIMISASI BERPEMBATAS PERSAMAAN

SKRIPSI

Oleh

AGNES MAYASARI MANURUNG

030803004

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

STUDI TENTANG SYARAT PERLU DAN SYARAT CUKUP

DALAM OPTIMISASI BERPEMBATAS PERSAMAAN

SKRIPSI

Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat gelar Sarjana Sains

AGNES MAYASARI MANURUNG

030803004

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

Judul : Studi Tentang Syarat Perlu Dan Syarat Cukup Dalam

Optimisasi Berpembatas Persamaan

Kategori : SKRIPSI

Nama : AGNES MAYASARI MANURUNG

NIM : 030803004

Program Studi : MATEMATIKA

Fakultas : MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN

ALAM (FMIPA)

Disetujui di

Medan, April 2010

Komisi Pembimbing

Pembimbing II, Pembimbing I,

Drs. Henry Rani Sitepu, M.Si Drs. Pangeran Sianipar, M.Si NIP. 195303031983031002 NIP. 194702081974031001

Diketahui,

Departemen Matematika FMIPA USU

Ketua,

Dr. Saib Suwilo, M.Sc

PERNYATAAN

STUDI TENTANG SYARAT PERLU DAN SYARAT CUKUP DALAM OPTIMISASI BERPEMBATAS PERSAMAAN

SKRIPSI

Saya mengakui bahwa Tugas Akhir II ini adalah hasil kerja sendiri, kecuali beberapa kutipan yang masing-masing disebutkan sumbernya.

Medan, April 2010

AGNES MAYASARI MANURUNG

PENGHARGAAN

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa, dengan limpah karunia-Nya skripsi ini berhasil diselesaikan dalam waktu yang telah ditetapkan.

Ucapan terima kasih saya sampaikan kepada bapak Drs. Pangeran Sianipar, M.Si dan Drs. Henry Rani Sitepu, M.Si selaku pembimbing dan Prof. DR. Herman Mawengkang rsitas Sumateradan Drs. H. Haluddin Panjaitan selaku penguji pada penyelesaian skripsi ini yang telah memberikan panduan dan kepercayaan kepada saya untuk menyempurnakan skripsi ini. Panduan ringkas, padat dan profesional telah diberikan kepada saya agar dapat menyelesaikan tudapat menyelesaikan tugas ini. Ucapan terimakasih juga saya ditujukan kepada Ketua dan Sekretaris Departemen Matematika Dr. Saib Suwilo, M.Sc dan Drs. Henry Rani Sitepu, M.Si, Dekan dan Pembantu Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara, semua dosen pada departemen Matemetika FMIPA USU, serta seluruh pegawai di FMIPA USU.

Ucapan terimakasih yang tak ternilai penulis ucapkan kepada orangtua tercinta S. Manurung dan N br. Tarigan buat tiap doa, tetes keringat, airmata, harapan dan dukungan sehingga penulis bisa menyelesaikan penulisan skripsi ini. Kepada kakak dan adik-adikku tersayang: k’ika, Fitri ‘oko’, Meilisa, Tetty, Edo serta bow tercinta yang selalu setia mendukung dan berdoa buat penulis selama ini. Penulis juga berterima kasih kepada Samuel Nainggolan, Rosita Lingga, Beni Aquino, Sandra, Dewi, Yanti, DJ-DJ’03, Aulia n mom, Mami uda, teman-teman di NHKBP Gd. JOHOR, Sonya n Tari serta semua pihak yang telah membantu dan memberi dukungan serta doa untuk penulis.

Penulis menyadari masih banyak kekurangan dalam penyusunan skripsi ini, untuk itu penulis mengharapkan kritik dan saran yang membangun dari semua pihak demi kesempurnaan skripsi ini. Terima kasih.

Medan, April 2010

ABSTRAK

Masalah optimisasi adalah suatu masalah untuk membuat nilai fungsi tujuan menjadi maksimum atau minimum dengan memperhatikan pembatasan-pembatasan yang ada. Dalam hal ini masalah optimisasi yang diteliti adalah masalah minimisasi. Salah satu metode yang dapat digunakan untuk mengubah masalah optimisasi berpembatas menjadi masalah optimisasi tanpa pembatas adalah metode lagrange.

DAFTAR ISI

Halaman

Persetujuan ii

Pernyataan iii

Penghargaan iv

Abstrak v

Daftar Isi vi

BAB 1. PENDAHULUAN 1 1.1 Rumusan Masalah 2 1.2 Tujuan Penelitian 3

1.3 Manfaat Penelitian 3 1.4 Tinjauan Pustaka 3

1.5 Metode Penelitian 4 BAB 2. URAIAN TEORITIS 6

2.1 Titik Ekstrim dari Suatu Fungsi 6

2.2 Masalah Optimisasi Berpembatas Persamaan 8 2.3 Bidang Singgung 9

2.4 Syarat Orde Satu dan Dua 11

2.5 Metode Pengali Lagrange 17

BAB 3. PEMBAHASAN 18

3.1 Syarat Perlu 19

3.2 Syarat Cukup 25

3.3 Contoh 27

BAB 4. KESIMPULAN DAN SARAN 35

4.1 Kesimpulan 35

4.2 Saran 35

ABSTRAK

Masalah optimisasi adalah suatu masalah untuk membuat nilai fungsi tujuan menjadi maksimum atau minimum dengan memperhatikan pembatasan-pembatasan yang ada. Dalam hal ini masalah optimisasi yang diteliti adalah masalah minimisasi. Salah satu metode yang dapat digunakan untuk mengubah masalah optimisasi berpembatas menjadi masalah optimisasi tanpa pembatas adalah metode lagrange.

BAB 1

PENDAHULUAN

1.1Latar Belakang

Pada dasarnya masalah optimisasi adalah suatu masalah untuk membuat nilai

fungsi tujuan menjadi maksimum atau minimum dengan memperhatikan pembatas

– pembatas yang ada. Dalam aplikasi sering dijumpai masalah minimisasi dengan

pembatas persamaan yang secara umum ditulis dalam bentuk:

Minimumkan f(x)

Terhadap pembatas h(x) = 0………..(1.1)

n m R R h R R f R

x∈ n, : n → , : n → m, <

dimana f(x) adalah fungsi tujuan dan h(x) adalah fungsi pembatas.

Pada masalah ini dapat diasumsikan bahwa fungsi f dan h adalah fungsi yang

mempunyai turunan kedua yang kontinu. Salah satu metode yang dapat digunakan

untuk menyelesaikan masalah optimisasi berpembatas persamaan adalah metode

pengali Lagrange. Prinsip metode pengali Lagrange adalah mengubah masalah

optimisasi berpembatas persamaan menjadi masalah optimisasi tanpa pembatas

dengan menggunakan fungsi Lagrange, yaitu:

( ) ( )

x f x h

( )

x

L ,λ = +λ ………(1.2)

Dimana λT

(

λ λ λ_m

)

,..., , 2 1

= dan vektor riil tak nol λ disebut pengali Lagrange.

Solusi optimum dari masalah (1.1) ditentukan dengan mencari titik optimum dari

Dalam teori optimisasi klasik (Luenberger,1984) telah dikemukakan bahwa:

1. Syarat perlu

Misalkan *

x adalah titik ekstrim dari f(x) terhadap h(x)=0. Syarat perlu agar

minimum lokal adalah:

( )

x y y M L

yT * ≥0,∀ ∈ ………...(1.3)

dimana : L

( )

x* =∇2f

( )

x* +λT∇2h

( )

x*

M =

{

y:∇h

( )

x* y=0

}

L

( )

x* = matriks dari turunan parsial kedua f dan h terhadap x *

M = bidang singgung

2. Syarat cukup

Misalkan *

x adalah titik ekstrim dari f(x) terhadap h(x)=0. Syarat cukup agar

minimum lokal adalah:

( )

x y y M L

yT * >0,∀ ∈ ………(1.4)

Berdasarkan syarat cukup dan syarat perlu tersebut di atas, penulis tertarik untuk

mengkaji yarat cukupdan syarat perlu orde dua yang ekivalen dengan syarat (1.3)

dan (1.4). Atas dasar itulah penelitian ini diberi judul: “Studi Tentang Syarat Perlu

dan Syarat Cukup Dalam Optimisasi Berpembatas Persamaan”.

1.2Rumusan Masalah

Berdasarkan uraian dari latar belakang tersebut, maka yang menjadi rumusan

masalah dari penelitian ini adalah bagaimana syarat orde dua ekivalen dengan

1.3Tujuan Penelitian

Berdasarkan masalah yang telah dirumuskan di atas, maka tujuan dari penelitian ini

adalah untuk menunjukkan syarat perlu dan syatrat cukup yang ekivalen dengan

syarat yTL

( )

x* y≥0,∀y∈M dan yTL

( )

x* y>0,∀y∈M dalam menyelesaikan masalah optimisasi berpembatas persamaan.

1.4 Manfaat Penelitian

Manfaat dari penelitian ini adalah memperoleh gambaran mengenai ide dasar dan

langkah-langkah teoritis dalam optimisasi berpembatas persamaan dengan syarat

perlu dan syarat cukup.

1.5Tinjauan Pustaka

Titik ekstrim dari suatu fungsi adalah titik maksimum atau titik minimum

peranan penting dalam optimisasi.

Misalkan f adalah fungsi riil dengan domain D⊂Rn.

a. Fungsi f dikatakan mempunyai nilai maksimum lokal, jika ada selang buka

(

x1, x2

)

yang memuat

*

x sehingga memenuhi f(x)≤ f(x*),∀x pada selang

buka tersebut.

b. Fungsi f dikatakan mempunyai nilai maksimum global pada titik x jika *

D x x f x

f( )≤ ( *),∀ ∈ .

c. Fungsi f dikatakan mempunyai nilai minimum lokal, jika ada selang buka

(

x1, x2

)

yang memuat

*

x sehingga memenuhi f(x)≥ f(x*),∀x pada selang

buka tersebut.

d. Fungsi f dikatakan mempunyai nilai minimum global pada titik x jika *

D x x f x

Selanjutnya, misalkan f terdiferensial di _x∈_D⊂_Rn_{. Jika turunan parsial}

dari f kontinu di x maka f disebut diferensial secara kontinu di x, dan jika turunan

parsial kedua dari f kontinu maka x maka f disebut mempunyai turunan parsial

kedua yang kontinu di x.

Gradien dari f pada x dinotasikan dengan ∇f(x)dan didefenisikan dengan:

    = ∇ n x x f x x f x x f x f δ δ δ δ δ δ ( ) ,..., ) ( , ) ( ) ( 2 1

dan matriks Hessian (H) dari f pada x adalah matriks yang diperoleh dari turunan

parsial kedua yang dinotasikan dengan ∇2f(x).

Pada masalah optimisasi berpembatas persamaan diasumsikan bahwa m ≤ n

dan fungsi-fungsi f dan hI, (i=1,2,…,m) adalah kontinu dan mempunyai turunan

parsial kedua yang kontinu.

Dengan mengambil h = (h1,h2,…,hm) maka masalah optimisasi yang terdapat

pada persamaan (2.3) tersebut dapat ditulis menjadi:

Minimumkan f

( )

x

Dengan pembatas:

( )

   ⊂ ∈ = n R D x x h 0

Suatu titik x∈D yang memenuhi seluruh pembatas fungsi f

( )

x disebut titik fisibel.

1.5 Metoda Penelitian

Metoda penelitian yang digunakan adalah penelitian literature atau studi

kepustakaan, yaitu:

Pertama, memperkenalkan beberapa pengertian dasar tentang masalah optimisasi

Kedua, mengkaji teorema mengenai syarat perlu dan syarat cukup yang ekivalen

dengan syarat yang sudah diketahui sebelumnya dan pembuktiannya.

Ketiga, membuat suatu contoh kasus dengan menggunakan syarat perlu dan syarat

BAB 2

URAIAN TEORITIS

Pada bab ini akan dibahas tentang masalah optimisasi berpembatas

persamaan. Sebelum membahas masalah optimisasi berpembatas persamaan maka

terlebih dahulu diberikan pengertian dan sifat-sifat ekstrim dari suatu fungsi.

2.1Titik Ekstrim dari Suatu Fungsi

Titik ekstrim dari suatu fungsi adalah titik maksimum atau titik minimum

dari fungsi tersebut. Masalah penentuan titik ekstrim dari suatu fungsi mempunyai

peranan penting dalam optimisasi. Berikut ini diberikan defenisi titik maksimum

dan titik minimum dari suatu fungsi.

Defenisi 2.1.1

Misalkan f adalah fungsi riil dengan domain D⊂Rn .

a. Fungsi f dikatakan mempunyai nilai maksimum lokal, jika ada selang

buka

(

x₁, x₂

)

yang memuat x sehingga memenuhi * f(x)≤ f(x*),∀x

pada selang buka tersebut.

b. Fungsi f dikatakan mempunyai nilai maksimum global pada titik x jika *

D x x f x

f( )≤ ( *),∀ ∈ .

c. Fungsi f dikatakan mempunyai nilai minimum lokal, jika ada selang

buka

(

x₁, x₂

)

yang memuat x sehingga memenuhi * f(x)≥ f(x*),∀x

pada selang buka tersebut.

Fungsi f dikatakan mempunyai nilai minimum global pada titik * x jika

D x x f x

Selanjutnya, misalkan f terdiferensial di _x∈_D⊂ _Rn_{. Jika turunan parsial dari f}

kontinu di x maka f disebut diferensial secara kontinu di x, dan jika turunan parsial

kedua dari f kontinu di x maka f disebut mempunyai turunan parsial kedua yang

kontinu di x.

Gradien dari f pada x dinotasikan dengan ∇f(x)dan didefenisikan dengan:

    = ∇ n x x f x x f x x f x f δ δ δ δ δ δ ( ) ,..., ) ( , ) ( ) ( 2 1 ………...(2.1)

dan matriks Hessian(H) dari f pada x adalah matriks yang diperoleh dari turunan

parsial kedua yang dinotasikan dengan ∇2f(x).

Teorema 2.1.2 (Rao, 1984)

Jika f terdefenisi pada selang buka yang memuat x dan mempunyai minimum *

lokal di x dan jika f terdiferensial di * x , maka: *

0 ) ( * =

∇f x ………(2.2)

Bukti:

Andaikan *

x adalah titik minimum lokal maka f' x

( )

* ada, ini berarti bahwa limit

kiri dan limit kanan ada dan sama dengan f' x

( )

* .

(

)

h x f h x f h ) ( lim * * 0 − + − → =

(

)

h x f h x f h ) ( lim * * 0 − + + → =

( )

* ' x f

Jika h>0maka

(

( )

)

0 * * ≥ − + h x f h x f

karena f

( )

x* ≤ f(x* +h)untuk semua

bilangan-bilangan kecil positif dari h.

Untuk h→0, maka diperoleh:

( )

lim

(

( )

)

lim0 0

Dan jika h>0 maka

(

( )

)

0 * * ≤ − + h x f h x f

Untuk h→0, maka diperoleh:

( )

lim

(

( )

)

lim0 0

0 * * 0 * ' = + − ≤ = − − _→ → h h h x f h x f x f

Limit kiri = limit kanan = 0, maka f '

( )

x* ada. Karena f '

( )

x* ≥0dan f '

( )

x* ≤0,

maka dapt disimpulkan bahwa f'

( )

x* =0 atau ∇f

( )

x* =0. ■

2.2Masalah Optimisasi Berpembatas Persamaan

Pada masalah optimisasi berikut:

Minimumkan f

( )

x

Terhadap pembatas:

( )

( )

( )

_    = = = 0 0 0 2 1 x h x h x h m  ………(2.3)

dimana x∈D⊂Rn

Pada masalah (2.3) diasumsikan bahwa m ≤ n dan fungsi-fungsi f dan hi,

(i=1,2,…,m) adalah kontinu dan mempunyai turunan parsial kedua yang kontinu.

Dengan mengambil h = (h1,h2,…,hm) maka masalah optimisasi yang terdapat

pada persamaan (2.3) tersebut dapat ditulis menjadi:

Minimumkan f

( )

x

Dengan pembatas:

( )

( )

x =0

h pada persamaan (2.4) tersebut adalah pembatas fungsi f

( )

x dan

D

x∈ disebut pembatas himpunan. Suatu titik x∈D yang memenuhi seluruh

pembatas fungsi f

( )

x disebut titik fisibel.

2.3Bidang Singgung

Untuk menyelidiki apa syarat agar M menjadi bidang singgung di x , maka *

diperlukan konsep titik tetap. Berikut ini diberikan defenisi bidang singgung pada

suatu permukaan S.

Defenisi 2.3.1 (Leithold, 1991)

Jika persamaan suatu permukaan S adalah h

(

x*,y*,z*

)

= 0, maka bidang singgung

dari S pada titik h

(

x*,y*,z*

)

adalah sebuah bidang melalui titik h dan mempunyai

vektor normal ∇h

(

x*,y*,z*

)

.

Defenisi 2.3.2 (Luenberger, 1984)

Suatu kurva pada permukaan S adalah keluarga titik-titik x

( )

t ∈Sdengan parameterisasi kontinu t untuk a ≤ t ≤ b. Suatu kurva terdiferensial jika

( )

dt t dx

x'= ada dan terdiferensial dua kali jika

( )

₂

( )

2 "

dt t x d t

x = ada. Suatu kurva x(t)

disebut melalui titik x

( )

t disebut melalui titik *

x jika x* =

( )

t untuk suatu

.

, *

*

b t a t ≤ ≤

Defenisi 2.3.3 (Leon, 1999)

Jika X =

{

x₁,x₂,...,x_n

}

adalah himpunan vektor, maka X disebut bebas linear jika k1

Defenisi 2.3.4 (Luenberger, 1984)

Suatu titik x yang memenuhi pembatas * h

( )

x* =0 disebut titik regular dari

pembatas jika vektor gradien

( ) ( )

2 *

( )

* *

1 x , h x ,..., h x

h ∇ ∇ m

∇ adalah bebas linier.

Defenisi 2.3.5 (Anton, 1997)

Misalkan matriks A = Anxn maka A dikatakan non singular jika ada matriks A-1

disebut invers matriks sedemikian sehingga AA-1 = A-1 A = I.

Defenisi 2.3.6 (Luenberger, 1984)

Misalkan A adalah suatu matriks nxn, maka Rank matriks A didefenisikan sebagai

banyaknya baris-baris atau kolom-kolom yang bebas linier pada matriks A.

misalkan A adalah suatu matriks mxn, jika rank A adalah minimum dari (m,n),

maka A dikatakan mempunyai rank penuh.

Teorema 2.3.7 (Luenberger, 1984)

Misalkan S adalah permukaan yang didefenisikan oleh h(x) = 0. Persamaan bidang

singgung pada titik regular x dari permukaan S tersebut adalah: *

( )

{

:∇ * =0

}

= y h x y

M I ………..(2.5)

Bukti:

Misalkan T adalah bidang singgung x maka * T ⊂M , apakah x titik reguler atau *

tidak. Untuk suatu kurva x

( )

t yang melalui _{x pada} * _t =_t* _{yang mempunyai turunan}

( )

* ' t

x sehingga ∇h

( ) ( )

x* xt* ≠0tidak akan terletak pada S. Untuk membuktikan

T

yang melalui _{x dengan turunan y. Untuk membangun kurva yang demikian} *

ditinjau persamaan berikut:

( )

( )

(

x* +ty+∇h x* u t

)

=0

h T ………...(2.6)

Pada persamaan (2.6) untuk t tetap, dianggap u

( )

t ∈Rmtidak diketahui dengan parameterisasi kontinu dari t. Pada t = 0 terdapat solusi u(0) = 0. Matriks Jacobian

dari sistem tersebut terhadap u pada t = 0 adalah matriks m x m, yaitu:

( ) ( )

T x h x

h * ∇ *

∇ ……….(2.7)

Matriks pada (2.7) adalah non singuler karena ∇h

( )

x* adalah rank penuh jika *

x adalah suatu titik tetap, maka untuk suatu solusi terdiferensial secara kontinu

u(t) di daerah −a≤t≤akurva x

( )

t =x* +ty+∇h

( )

x* Tu

( )

t ada pada S. Dengan pendiferensialan (2.12) pada t = 0 diperoleh:

)) ( ) ( ( )) ( (

0 * *

0 t u x h ty x h dt d t x h dt d t ∇ + + =   = = ) 0 ( ' ) ( ) ( ) (

0=∇h x* y+∇h x* ∇h x* Tu

Karena y terdefenisi maka diperoleh ∇h(x*)y=0dan karena ∇h(x*)∇h(x*)T

adalah non singular maka dapat disimpulkan bahwa u'(0)=0, sehingga diperoleh:

y u

x h y

x'(0)= +∇ ( *)T '(0)=

Hal ini menunjukkan bahwa kurva yang dibangun mempunyai turunan x pada *

yaitu y. ■

2.4 Syarat Orde Satu dan Dua

Penurunan syarat perlu agar suatu titik menjadi titik minimum terhadap

pembatas persamaan dapat dinyatakan dalam bidang singgung. Untuk itu akan

Lemma 2.4.1 (Luenberger,1984)

Misalkan *

x adalah titik regular dari pembatas h

( )

x =0 dan titik ekstrim lokal

terhadap pembatas tersebut, maka ∀y∈Rn memenuhi:

( )

* =0

∇h x y ……….(2.8)

( )

* =0

∇f x y ………..…..……….(2.9)

Bukti:

Misalkan y adalah suatu vektor dalam bidang singgung di x dan * x

( )

t adalah

kurva pada permukaan terbatas yang melalui _{x dengan turunan y pada} * _{x yaitu} *

( )

*

0 x

x = , x

( )

0 = ydan h

( )

x

( )

t =0 untuk ˗ ɑ ≤ t ≤ɑ untuk suatu ɑ > 0.

Karena x adalah titik regular, bidang singgung identik dengan himpunan y *

yang memenuhi ∇h

( )

x* y =0 dan karena x adalah titik ekstrim lokal berpembatas *

dari ƒ maka diperoleh:

dt d

f

( )

x

( )

t

]

_t=0= 0

dx

df

]

dt dx

0 = t = 0

atau ekivalen dengan ∇f

( )

x* y=0.■

Lemma di atas mengatakan bahwa ∇f

( )

x* adalah ortogonal terhadap bidang singgung.

Defenisi 2.4.2 (Anton, 1997)

Bentuk kuadrat x Ax disebut definit positif jika T x Ax > 0 untuk semua x T ≠ 0 dan

Teorema berikut menjelaskan syarat perlu orde dua. Untuk selanjutnya

diasumsi ƒ dan h adalah fungsi yang kontinu hingga turunannya yang kedua jelas.

Teorema 2.4.3 (Luenberger, 1984)

Misalkan bahwa x’adalah titik minimum lokal dari ƒ terhadap pembatas

( )

x =0

h dan x adalah titik reguler dari pembatas tersebut, maka terdapat * λ∈Rm

sehingga:

( )

T x f +λ

∇ *

( )

0 *

=

∇h x ……….………(2.10)

Jika M =

{

y:∇h

( )

x* y=0

}

maka matriks:

( )

x h

( )

x f

x

L( *)=∇2 * +λT∇2 ……….………...(2.11)

adalah semidefinit positif pada M, yaitu : y LT

( )

x* y≥0,∀y∈M

Bukti :

Karena

( )

*

0 x

x = adalah minimum lokal dari ƒ, maka berlaku:

]

0 2

2

)) ( (x t _t= f

dt d

≥ 0………(2.12)

dt d

f

( )

( )

( )

( )

dt dx t x f dx d t

x = =∇f

( ) ( )

x

( )

t x' t

( )

( )

[

f

( ) ( )

x

( )

t x t

]

dt d t x f dt d ' 2 2 ∇ =

=

[

( )

( )

]

( )

( )

( )

x

( )

t dt d t x f t x t x f dt d ' ' +∇ ∇

=

[

∇2f

( ) ( )

x

( )

t x' t

]

x'

( )

t +∇f

( ) ( )

x

( )

t x" t

=x'

( )

t T∇2f

( ) ( )

x

( )

t x t +∇f

( ) ( )

x

( )

t x" t

sehingga:

( )

( )

0 2 2 =    t t x f dt d

≥ x'

( )

0 T∇2f

( ) ( )

x

( )

0 x' 0 +∇f

( ) ( )

x

( )

0 x" 0

≥ x'

( )

0 T∇2f

( )

x* x'

( )

0 +∇f

( ) ( )

x

( )

0 x" 0 ………(2.13)

[

( )

( )

]

0 0 2 2 ≥    = t T t x h dt d

λ ,akan diperoleh dengan cara di atas, yaitu:

[

( )

( )

]

_ ≥   =0 2 2 t T t x h dt d

λ x'

( )

t TλT∇2h

( ) ( )

x

( )

t x' t +λT∇h

( ) ( )

x

( )

t x t

maka diperoleh:

[

( )

( )

]

_ ≥   =0 2 2 t T t x h dt d

λ x'

( )

0 TλT∇2h

( ) ( )

x

( )

0 x' 0 +λT∇h

( ) ( )

x

( )

0 x 0

≥ x'

( )

0TλT∇2h

( )

x* x'

( )

0 +λT∇h

( )

x* x

( )

0 ………..(2.14)

'

( )

0 2

( )

* '

( )

0

( )

* '

( )

0 x x h x x h

x T T T

∇ +

∇ λ

λ ≥ 0

Dengan menambahkan persamaan (2.14) ke persamaan (2.13) maka diperoleh:

( )

0

[

( )

'

( )

0

( )

]

'

( )

0

' 2 * *

x x h x x h

x T T

∇ +

∇ λ +

[

∇f

( )

x* +λT∇h

( )

x*

]

x'

( )

0 ≥ 0

( )

0 ( ) '

( )

0 0 0

' L x* x + ≥

x T

atau

0 ) (x* y≥ L

Teorema berikut menjelaskan syarat cukup. Untuk selanjutnya diasumsi f

dan h adalah fungsi yang kontinu hingga turunannya yang kedua.

Teorema 2.4.3 (Luenberger, 1984)

Misalkan terdapat suatu titik *

x yang memenuhi h

( )

x =0dan m R

∈

λ sehingga:

( )

* + ∇

( )

* =0

∇f x λT h x ………..(2.15)

Misalkan juga bahwa matriks L

( )

x* =∇2f

( )

x* +λT∇2h

( )

x* adalah definit positif

pada M =

{

y:∇h

( )

x* y=0

}

∀y∈M;y ≠0sehingga memenuhi yTL

( )

x* y>0, dan *

x adalah minimum lokal dari y terhadap pembatas h

( )

x =0.

Bukti:

Karena

( )

*

0 x

x = adalah minimum lokal dari f dan x’

( )

0 = ydengan y ≠ 0 maka berlaku:

( )

( )

]

₀ 0 2 2 > = t t x f dt d ………..(2.16)

( )

( )

( )

( )

f

( ) ( )

x

( )

t x t dt dx t x f dx d t x f dt d ' 2 2 ∇ = =

( )

( )

[

f

( ) ( )

x

( )

t x t

]

dt d t x f dt d ' 2 2 ∇ =

=

[

( )

( )

]

( )

( )

( )

x

( )

t dt d t x f t x t x f dt d ' ∇ + ∇

=

( ) ( ) ( )

( )

x t x t f

( ) ( )

x

( )

t x t dt d t x f dx d " ' +∇     ∇

=

[

∇2 f

( ) ( )

x

( )

t x' t

]

x'

( )

t +∇f

( ) ( )

x

( )

t x" t

sehingga diperoleh:

( )

( )

'

( )

0 2

( ) ( )

( )

0 ' 0

( ) ( )

( )

0 " 0 0 2 2 x x f x x f x t x f dt d T t ∇ + ∇ >    =

'

( )

0 2

( ) ( )

" ' 0

( ) ( )

( )

0 " 0 x x f x x f

x T∇ +∇

>

Untuk 2

[

( )

( )

]

0 0 2 > = t T t x h dt d

λ , akan diperoleh dengan cara di atas, yaitu:

( )

( )

[

h xt

]

x

( )

t h

( ) ( )

x

( )

t x t h

( ) ( )

x

( )

t x t dt

d T T T

t T ' ' ' 2 0 2 2 ∇ + ∇ >    = λ λ λ Maka diperoleh:

> x'

( )

0 TλT∇2h

( )

x* x'

( )

0 +λT∇h

( )

x* x'

( )

0

( )

0

( )

'

( )

0

( )

'

( )

0 0

' ∇2h x* x + ∇h x* x >

x TλT λT

Dengan menambahkan persamaan (2.18) ke persamaan (2.17) maka diperoleh:

( )

0

[

( )

"

( )

]

'

( )

0

[

( )

( )

]

( )

0 0

' ∇2f x + ∇2h x* x + ∇f x* + ∇h x* x ≥

x T λT λT

Karena L

( )

x* =∇2f

( )

x* +λT∇2h

( )

x* dan dari (2.15) yaitu ∇f

( )

x* +λT∇h

( )

x* =0

Maka diperoleh:

( )

0

( )

'

( )

0 0 0

' L x* x + >

x T

Atau

( )

x* y>0

L

2.5 Metode Pengali Lagrange

Salah satu metode yang sering digunakan untuk menyelesaikan masalah

optimisasi berpembatas persamaan adalah metode pengali Lagrange. Untuk

menyelesaikan masalah optimisasi pada persamaan (2.4) didefenisikan suatu

fungsi Lagrange sebagai berikut:

...(2.19)

dan vektor riil tak nol pada persamaan (2.19) disebut pengali

Lagrange.

Jika adalah titik ekstrim dari , maka menurut teorema 2.1.2

diperoleh:

...(2.20)

dan

...(2.21)

Dengan memperhatikan persamaan (2.10) dan (2.21) maka dapat disimpulkan

bahwa masalah optimisasi pada persamaan (2.4) dapat diselesaikan melalui titik

ekstrim dari fungsi Lagrange pada persamaan (2.19).

Dari persamaan (2.3) dimana , , dan karena

adalah suatu vektor maka i = 1 maka persamaan (2.19) dapat

BAB 3

PEMBAHASAN

Pada bab ini akan dikaji tentang syarat perlu dan syarat cukup dalam

masalah optimisasi berpembatas persamaan sebagai berikut:

Minimumkan : f(x)

Terhadap pembatas : h(x)=0...(3.1)

dimana: x∈Rn, f :Rn →R,h:Rn →Rm,m<n

dan f,

{ }

h(x) _im=1merupakan fungsi yang mempunyai turunan kedua yang kontinu.

Untuk kemudahan penulisan akan digunakan notasi-notasi berikut:

( ) ( )

x f x h

( )

x L ,λ = +λ

( )

x,λ λL

( )

x,λ

L_x =∇_x

( )

λ λ

( )

λ

λ x, L x,

L =∇x

( )

x f

( )

x fx =∇

( )

x h

( )

x h_x =∇

( )

x,λ 2 λL

( )

x.λ

L_xx =∇ x

( )

(

∇ * =0

)

= y x y

M T_x

3.1 Syarat Perlu

Untuk menurunkan syarat perlu diperlukan beberapa lemma berikut ini,

sebelumnya diberikan beberapa defenisi dalam memahami lemma tersebut.

Defenisi 3.1.1 (Leon, 1999)

Misalkan A adalah suatu matriks nxn, skalar µ disebut sebagai suatu nilai eigen

dari A jika terdapat suatu vektor tak nol x sehingga Ax=µx. Untuk menghitung

nilai eigen dirumuskan dengan

(

A−µI

)

=0.

Defenisi 3.1.2 (Anton, 1997)

Suatu vektor w disebut kombinasi linier dari vektor X =

(

x₁,x₂,,x_n

)

jika wdapat

dinyatakan dalam bentuk w=k1x1 +k2x2 ++knxn dimana k1,k2,,kn adalah

skalar.

Defenisi 3.1.3 (Anton, 1997)

Jika x₁,x₂,,x_nadalah vektor-vektor pada vektor X dan jika masing-masing

vektor pada X dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier x1,x2,,x_n maka

dikatakan bahwa vektor-vektor tersebut membangun X.

Defenisi 3.1.4 (Anton, 1997)

Jika baris dan kolom suatu matriks saling tukar sehingga baris pertama menjadi

kolom pertama dan sebaliknya, maka diperoleh transpos A yang dinyatakan oleh

T

A . Jika A adalah matriks nxn maka A dikatakan simetris jika AT = A, idempoten

jika A2 = A. A dikatakan matriks proyeksi Ortogonal jika A simetris dan

Lemma 3.1.5 (Arifin, 2001)

Misalkan y∈Rn, dengan y ≠ 0 sehingga memenuhi hxT(x*)y=0disebut ruang nol dari hxT(x*). Ruang nol yang dibangun oleh himpunan bebas linier disebut ruang

nol.

Lemma 3.1.6 (Rao, 1984)

Misalkan adalah minimum lokal dari f yang memenuhi h( ) = 0, ruang nol dari

dibangun oleh kolom-kolom bebas linier dari S yang didefenisikan dengan:

S = ...(3.2)

Bukti:

Akan ditunjukkan bahwa S adalah matriks proyeksi ortogonal. S adalah matriks proyeksi ortogonal jika = S (simetris) dan = S (idempoten).

=

=

=

=

=

=

= S

Maka

selanjutnya akan ditunjukkan bahwa

=

( )

= )

=

= S

Maka = S

Sehingga terbukti bahwa S adalah matriks proyeksi ortogonal.

Ruang nol dari

( )

* x

hxT adalah

{

( )

0

}

*

=

= yh x

M _xT untuk sembarang untuk y∈M ,

maka:

( ) ( )

{

}

( )

[

I h x h x h x h x

]

y

S_y = _n− _x( *) _xT * _x * −1 _xT *

= y−h_x(x*)

{

h_xT

( ) ( )

x* h_x x*

}

−1h_xT

( )

x* y

= y−h (x*)

{

h

( ) ( )

x* hx x*

}

−1.0 T

x x

=y−0

=y

Karena diperoleh Sy = y,∀y∈M maka S adalah matriks proyeksi terhadap M.

Karena S adalah matriks nxn maka S memproyeksikan n R

x∈ terhadap M sehingga

n x x R S

y= ,∀ ∈ . Karena y=S_x,∀y∈M sehingga dapat disimpulkan bahwa

M y∈

∀ dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari kolom-kolom bebas linnier dari S.

Jika X adalah sebarang ruang vektor dan merupakan himpunan vektor di S maka

{

x1,x2,,xn

}

disebut basis untuk X jika:

a)

{

x₁,x₂,,x_n

}

bebas linier.

b)

{

x1,x2,,xn

}

membangun X.

Himpunan vektor tak nol

{

x₁,x₂,,x_n

}

di R adalah ortogonal jika hasil kali n

0 . _j = i x

x dengan x_i ≠x_j. Vektor-vektor ini dikatakan orthonormal jika

panjangnyya satu satuan.

Defenisi 3.1.8 (Arifin, 2001)

Misalkan A adalah matriks nxn dan misalkan juga B adalah matriks nxn orogonal

dengan BTB=I. Sehingga AB=BA, dan A=BABT, untuk menentukan matriks B

dinamakan dekomposisi spektral. Jika A adalah suatu matriks mxn sehingga

T BB

A= dinamakan fakorisasi spektral.

Lemma 3.1.9 (Rao, 1984)

(n-m) vektor eigen dari S berkorespondensi dengan (n-m) nilai eigen satuan yang

membentuk basis untuk ruang nol dari h_xT(x*).

T YY

S= ...(3.3)

m n T

I Y

Y = ₋ ...(3.4)

(n-m) kolom-kolom dari Y adalah (n-m) vektor-vektor eigen yang berkorespondensi

dengan (n-m) nilai eigen satuan dari S.

T

=YI_nm

=Y

Karena hTx

( )

x* =0 maka Y dapat digunakan sebagai basis untuk M.

Lemma 3.1.10 (Rao,1984)

Matriks SL_xxS mempunyai nilai eigen yang identik dengan 0.

Bukti:

Matriks A∈Rmxn dan B∈Rnxmdengan m≤n, maka BA mempunyai nilai eigen

yang sama dengan AB dengan menghitung multiplisitas bersama-sama dengan

(n-m) nilai eigen 0. Berdasarkan hal-hal di atas maka nilai eigen-eigen yang tidak

identik dengan 0 dari matriks SL_xxSdapat ditentukan sebagai berikut:

xx T xxS SS L SL =

=SL_xxS

=S2L_xx

=SLxx

=YYTL_xx

=YTL_xxY

Karena dimensi matriks YTL_xxYadalah (n-m)x(n-m) maka matriks SL_xxS

Misalkan _{x adalah titik minimum lokal dari f(x) yang memenuhi h(}* _{x )=0.} *

Teorema berikut menjelaskan syarat perlu orde dua agar x merupakan titik *

minimum lokal.

Teorema 3.1.11 (Rao,1984)

Syarat perlu berikut adalah ekivalen satu dengan yang lainnya.

a. untuk ...(3.5)

Syarat ini dapat juga dirumuskan dengan:

...(3.6)

dimana kolom-kolom dari N membentuk basis untuk ruang nol dari .

b. dan rank ...(3.7)

dimana : S = ...(3.8)

c. ...(3.9)

dimana kolom-kolom dari Y adalah vektor eigen ortogonal dari

S yang berkaitan dengan nilai-nilai eigen satuan.

Bukti:

( )

⇒ Pada syarat , y∈M dimana M adalah ruang nol dari )

(x*

hT_x . Karena kolom-kolom dai N membentuk basis untuk M maka y dapat

diganti dengan N yang menghasilkan syarat NTL_xx(x*,λ)N ≥0. Menurut Lemma 3.1.6, setiap y∈M dapat ditulis sebagai kombinasi linier dari kolom-kolom bebas linier dari S. Oleh karena N dapat diganti dengan S. Dari Lemma 3.1.10 diperoleh

bahwa SLxxS mempunyai m nilai eigen bernilai nol. KarenaSLxx

( )

x ,λ S *

adalah

kolom bebas linier sehingga rank SL_xx

( )

x*,λ S≤n−m.

( )

⇐ pada syarat 3.7 dan rank karena

S

merupakan anggota ruang nol dari hT_x(x*) maka y dapat menggantikan S pada

syarat untuk

{

yh_xT(x*)y=0

}

.

Maka terbukti (a)⇔(b)

Selanjutnya akan ditunjukkan (b)⇔(c)

( )

⇒ Dari Lemma 3.1.9 diperoleh bahwa matriks Y adalah basis untuk M dan karena matriks N juga adalah basis untuk M maka Y dapat menggantikan N

sehingga menghasilkan _.

( )

⇐ Syarat dapat juga ditulis dalam bentuk dan rank

( )



YTL_xx x*,λY



≤n−m. Dari Lemma 3.1.10 diperoleh bahwa dimensi matriks

( )

x Y L

YT _xx *,λ sama dengan dimensi matriks SL_xx

( )

x*,λ S yaitu (n-m) x (n-m) dan matriks SL_xx

( )

x*,λ Smempunyai m nilai eigen yang identik dengan 0 sehingga S dapat menggantikan Y maka SLxx

( )

x*,λ S ≥0 dan rank



S Lxx

( )

x S



n m

T λ ≤ −

, *

dan

karena ST =S_{(simetris) sehingga menghasilkan}

( )

*_{, 0}

≥

S x

SL_xx λ dan rank

( )



STL_xx x*,λ S



≤n−m. Maka terbukti (a)⇔(b)

Dengan demikian terbukti bahwa (b)⇔(c) Karena (a)⇔(b)

(b)⇔(c)

∴(a)⇔(c)

3.2 Syarat Cukup

Pada teorema 3.1.11 telah dijelaskan syarat perlu orde dua. Teorema berikut

ini menjelaskan syarat cukup orde dua. Misalkan adalah titik ekstrim dari f yang

Teorema 3.2 (Rao, 1984)

Syarat cukup untuk minimum lokal berikut ini ekivalen satu dengan yang lainnya.

a. untuk ...(3.10)

atau ...(3.11)

dimana kolom-kolom dari N membentuk basis untuk ruang nol dari

b. dan rank ...(3.12)

dimana

S =

c. ...(3.13)

dimana kolom-kolom dari Y adalah vektor eigen ortonormal

dari S yang berkaitan dengan nilai-nilai eigen satuan.

Bukti:

Akan ditunjukkan (a)⇔(b)

( )

⇒ Pada syarat (3.10) dimana M adalah ruang nol dari . Karena kolom-kolom dari N membentuk basis untuk M maka y pada syarat (3.10) dapat

diganti dengan N sehingga menghasilkan syarat (4.11) yaitu .

Menurut Lemma 3.1.6, setiap dapat ditulis sebagai kombinasi linier dari

kolom-kolom bebas linier dari S. Oleh karena itu N pada (3.11) dapat diganti

dengan S sehingga menghasilkan dan , maka

. Dari lemma 3.1.10 diperoleh bahwa mempunyai m

nilai eigen bernilai 0, maka rank sehingga menghasilkan

syarat (3.12).

( )

⇐ Pada syarat (3.12) yaitu dan rank .

Karena , syarat ini dapat juga ditulis dan rank

. S adalah matriks proyeksi pada M dan sehingga y

syarat (3.12) sehingga dan rank atau

.

Maka terbukti (a)⇔(b)

Selanjutnya akan ditunjukkan (b)⇔(c)

( )

⇒ Karena ST =S maka syarat 3.12 yaitu dan rank . Dari Lemma 3.19 diperoleh bahwa matriks Y adalah

basis untuk M dan karena N juga adalah matriks basis untuk M maka Y dapat

menggantikan S pada (3.12) sehingga menghasilkan dan rank

. Syarat ini dapat juga dituliskan dengan

.

( )

⇐ Syarat (3.13) dapat juga ditulis dalam bentuk dan rank . Dari Lemma 3.1.10 diperoleh bahwa dimensi matriks

sama dengan dimensi matriks mempunyai m nilai

eigen yang identik dengan 0 sehingga S dapat menggantikan Y yaitu

dan rank , dan karena

(simetris) sehingga menghasilkan dan rank

.

Dengan demikian terbukti (b)⇔(c)

Karena (a)⇔(b)

(b)⇔(c)

(a)⇔(c)

Untuk lebih memahami teorema mengenai syarat perlu dan syarat cukup orde dua

tersebut, berikut ini diberikan suatu contoh.

3.3 Contoh

Selesaikanlah masalah optimisasi berikut:

Minimumkan

Terhadap pembatas

Penyelesaian

Minimumkan :

Terhadap pembatas

pembatas dapat juga ditulis dengan

Misalkan x =

=

maka fungsi lagrange menjadi:

=

Selanjutnya akan dicari titik minimum lokal dari

dengan mengambil pada persamaan (3.17) maka diperoleh

maka diperoleh dan

Pada persamaan (3.14) untuk maka dan untuk maka

misalkan = adalah titik minimum lokal dari yang memenuhi

yaitu dan

maka

=

maka

Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa dapat merupakan titik minimum

lokal sehingga memenuhi syarat berikut.

1. Syarat (a)

=

=

= , untuk dan

maka

basis ruang nol dari adalah

=

-Det Det

Maka

2. Syarat (b)

Selanjutnya akan ditunjukkan solusi minimum lokal memenuhi syarat (b) yaitu

dan rank

dimana S = .

= =

S=

Selanjutnya akan dicari:

Nilai-nilai eigen

Det

(

Maka diperoleh =2+

=2-Karena ada nilai eigen yang bernilai nol dan nilai eigen yang lainnya positif maka

dapat disimpulkan bahwa dan rank (S)= 3 – 1 = 2

Sehingga minimum lokal memenuhi syarat (b) yaitu: dan rank

3. Syarat (c)

Selanjutnya akan ditunjukkan solusi minimum lokal memenuhi syarat (c) yaitu:

. Matriks dekomosisi spektral dari matriks proyeksi

adalah

dengan dan

maka

=

=

Nilai-nilai eigen dari adalah:

det

Maka

Sehingga minimum lokal memenuhi syarat (c) yaitu .

Akan ditunjukkan bahwa hasil yang diperoleh dengan menggunakan ketiga syarat

alternatif tersebut sama dengan menggunakan syarat sebelumnya, yaitu:

dimana dan

. Karena adalah matriks yang diperoleh dari turunan

parsial kedua f dan h di titik , maka dari diperoleh:

Untuk , maka diperoleh:

=

Dengan mengambil submatriks L terhadap M, yaitu:

, maka det

Dari masalah optimisasi berpembatas pada contoh tersebut diperoleh

, maka nilai minimum terhadap

BAB 4

KESIMPULAN DAN SARAN

4.1 Kesimpulan

Telah dikaji syarat perlu dan syarat cukup untuk masalah optimisasi

berpembatas persamaan, yang mana semua syarat berkaitan dengan fungsi

Lagrange dan menggunakan basis yang diturunkan dari matriks proyeksi pada

ruang nol dari . Diperoleh tiga syarat agar adalah minimum lokal dari

terhadap pembatas h , yaitu:

 Syarat (a) diperlukan ruang nol dan nilai eigen mariks

 Syarat (b) diperlukan invers matriks dan nilai eigen matriks

 Syarat (c) diperlukan invers matriks, dekomposisi spektral dan nilai eigen matriks

Maka dapat disimpulkan dari ketiga syarat tersebut, syarat (b) ternyata lebih mudah

digunakan dalam menentukan syarat minimum untuk masalah optimisasi dengan

pembatas persamaan, dan hasil yang diperoleh dengan menggunakan syarat

tersebut , ekivalen dengan menggunakan syarat yang sudah ada sebelumnya.

4.2 Saran

Pada penelitian ini masalah optimisasi yang dikaji dibatasi pada masalah

berpembatas persamaan. Teori yang dikaji dalam penelitian ini masih dapat

dikembangkan untuk masalah optimisasi berpembatas pertidaksamaan dalam

dengan cara menambahkan variabel slack atau variabel surplus sehingga diperoleh

DAFTAR PUSTAKA

Anton, Howard, Terjemahan Pantur Silaban.,(1997), Aljabar Linier Elementer,

Edisi kelima, Penerbit Erlangga, Jakarta.

Arifin, Achmad, (2001), Aljabar Linier, Edisi Kedua, Penerbit ITB, Bandung.

Hilier, F.S. dan Lieberman, G.J. Terjemahan Ellen Gunawan.,(1990),

Pengantar Riset Operasi, Penerbit Erlangga.

Leithold, Louis, Terjemahan Nababan, S.M.,(1991), Kalkulus dan Ilmu Ukur

Analitik, Jilid 3, Penerbit Erlangga, Jakarta.

Leon, Steven J.,(1999), Aljabar Linier dan Aplikasinya, edisi Kelima, Penerbit

Erlangga, Jakarta.

Luenberger, D.G., (1984), “Linear and Nonlinear Programming”,

Addison-Wesley Publishing Co., 2nded., Stanford University, California.

Rao, S.S.,(1984), Optimization Theory and Application, Second Edition, Wiley