Syarat perlu dan cukup keterbatasan perumuman operator integral fraksional pada ruang Morrey klasik

SYARAT PERLU DAN CUKUP KETERBATASAN PERUMUMAN OPERATOR INTEGRAL FRAKSIONAL PADA RUANG MORREY KLASIK. SKRIPSI. OLEH KURNIA SHINTA LATUSINDAH NIM. 15610060. JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI MAULANA MALIK IBRAHIM MALANG 2019.

SYARAT PERLU DAN CUKUP KETERBATASAN PERUMUMAN OPERATOR INTEGRAL FRAKSIONAL PADA RUANG MORREY KLASIK. SKRIPSI. Diajukan Kepada Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang untuk Memenuhi Salah Satu Persyaratan dalam Memperoleh Gelar Sarjana Matematika (S.Mat). Oleh Kurnia Shinta Latusindah NIM. 15610060. JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI MAULANA MALIK IBRAHIM MALANG 2019.







MOTO. “Never let world to change your smile”.

PERSEMBAHAN Skripsi ini penulis persembahkan untuk: Imam Sutikno dan Reno Wati selaku orang tua sebagai hadiah ulang tahun yang mereka inginkan, serta yang telah memberikan do’a, semangat, dan motivasi. Terimakasih juga untuk Lalisa Manoban dan Kim Taehyung yang memberikan semangat. Dan teman-teman yang mendukung dalam perjalanan pengerjaan skripsi ini..

KATA PENGANTAR. Assalamu’alaikum Warahmatullahi Wabarokatuh Alhamdulillah, segala puji bagi Allah SWT atas rahmat, taufik serta hidayah-Nya, sehingga penulis mampu menyelesaikan penyusunan skripsi dengan judul “Syarat Perlu dan Cukup Keterbatasan Perumuman Operator Integral Fraksional pada Ruang Morrey Klasik” ini dengan baik. Shalawat serta salam selalu terlimpahkan kepada junjungan kita Nabi Muhammad Saw, yang telah menuntun umat Islam ke jalan keselamatan. Skripsi ini penulis susun untuk memenuhi salah satu syarat memperoleh gelar sarjana matematika di Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang. Dengan ini, penulis mengucapkan terima kasih sebesar-besarnya dan penghargaan setinggi-tingginya terutama kepada: 1.. Prof. Dr. Abd. Haris, M.Ag, selaku rektor Universitas Islam Negeri Maulana Malik IbrahimMalang.. 2.. Dr. Sri Harini, M.Si, selaku dekan Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang.. 3.. Dr. Usman Pagalay, M.Si, selaku Ketua Jurusan Matematika Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang.. 4.. Dr. Hairur Rahman, M.Si selaku dosen pembimbing I yang telah membimbing penulis dengan segala ilmu yang dimiliki serta doa, arahan, nasihat, dan motivasi dalam penyusunan skripsi ini.. vii.

5.. Muhammad Khudzaifah, M.Si, selaku dosen pembimbing II yang telah memberikan bimbingan, arahan, dan berbagai ilmunya kepada penulis dalam penyusunan skripsi ini.. 6.. Moh. Nafie Jauhari, M.Si, selaku dosen wali dan segenap dosen jurusan matematika Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang yang telah memberikan bantuan dan semangat selama menjalankan kuliah, serta memberikan ilmunya.. 7.. Kedua orang tua penulis dan seluruh keluarga penulis yang selalu memberikan perhatian, dukungan, materi, doa, semangat, kasih sayang, serta motivasi kepada penulis sehingga dapat menyelesaikan skripsi ini.. 8.. Semua pihak yang secara langsung dan tidak langsung telah ikut memberikan bantuan dalam menyelesaikan skripsi ini. Dalam penulisan laporan hasil penelitian atau skripsi ini, penulis. menyadari terdapat banyak kekurangan. Oleh karena itu, penulis berharap pembaca memakhlumi. Semoga skripsi ini bermanfaat bagi penulis dan pembaca. Wassalamu’alaikum Warahmatullahi Wabarakatuh. Malang, 01 November 2019. Penulis. viii.

DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL HALAMAN PENGAJUAN HALAMAN PERSETUJUAN HALAMAN PENGESAHAN HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN TULISAN HALAMAN MOTO HALAMAN PERSEMBAHAN KATA PENGANTAR..........................................................................................vii DAFTAR ISI..........................................................................................................ix ABSTRAK.............................................................................................................xi ABSTRACT..........................................................................................................xii ‫ملخص‬......................................................................................................................xiii BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang..........................................................................................1 1.2 Rumusan Masalah.....................................................................................4 1.3 Tujuan Penelitian......................................................................................4 1.4 Manfaat Penelitian....................................................................................4 1.5 Batasan Masalah.......................................................................................4 1.6 Metode Penelitian.....................................................................................4 1.7 Sistematika Penulisan...............................................................................5 BAB II KAJIAN PUSTAKA 2.1 Ruang Terukur..........................................................................................7 2.2 Supremum Fungsi.....................................................................................8 2.3 Keterbatasan Operator Integral Fraksional.............................................10 2.3.1 Integral Fraksional..........................................................................10 2.3.2 Ruang Morrey.................................................................................12 2.3.3 Ruang Lebesgue..............................................................................12 2.3.4 Fungsi Maksimal Hardy-Littlewood...............................................13 2.3.5 Keterbatasan Operator.....................................................................14. ix.

2.4 Perumuman Operator Integral Fraksional.............................................19 2.5 Syarat Cukup dan Perlu.........................................................................19 2.6 Perintah Allah untuk Mengembangkan Ilmu........................................ 20 BAB III PEMBAHASAN 3.1 Syarat Perlu Keterbatasan Perumuman Operator Integral Fraksional Pada Ruang Lebesgue...........................................................................22 3.2 Syarat Cukup Keterbatasan Perumuman Operator Integral Fraksional Pada Ruang Lebesgue...........................................................................24 BAB IV PENUTUP 4.1 Kesimpulan............................................................................................34 4.2 Saran.....................................................................................................34 DAFTAR PUSTAKA..........................................................................................35 RIWAYAT HIDUP. x.

ABSTRAK Latusindah, Kurnia Shinta. 2019. Syarat Perlu dan Cukup Keterbatasan Perumuman Operator Integral Fraksional pada Ruang Morrey Klasik. Skripsi. Jurusan Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang. Pembimbing: (I) Dr. Hairur Rahman, M.Si. (II) Muhammad Khudzaifah, M.Si. Kata kunci: Keterbatasan perumuman operator integral fraksional, ruang Morrey klasik, syarat perlu, syarat cukup Operator integral fraksional I𝛼 banyak dibahas mengenai keterbatasannya dari suatu ruang kelas ekuivalen fungsi yang dilengkapi dengan suatu norma ke suatu ruang kelas ekuivalen fungsi yang dilengkapi suatu norma lainnya. Hardy, Littlewood dan Sobolev membahasnya dalam ruang Lebesgue yang dikenal sebagai ketaksamaan Hardy-Littlewood-Sobolev, kemudian dikembangkan oleh Imam Utoyo yang menyatakan bahwa operator ini terbatas pada ruang morrey klasik non- homogen. Tujuan penelitian ini adalah menentukan syarat perlu dan syarat cukup untuk keterbatasan operator integral fraksional pada ruang Lebesgue dan ruang Morrey klasik dimana pembuktian hasilnya serupa dengan teorema Hardy-Littlewood-Sobolev dan teorema Imam Utoyo tetapi untuk kasus 𝑛 = 1. Berdasarkan penggunaan fungsi karakteristik dan ketaksamaan Hardy-LittlewoodSobolev diperoleh hasil bahwa syarat perlu dan syarat cukup untuk keterbatasan operator integral fraksional pada ruang Morrey klasik adalah 𝜇(𝐵(𝑥, 𝑟)) ≤ 𝐶𝑟𝑠 𝑝𝑞(1−𝛼) dimana 𝑠 = 𝑝𝑞+𝑝−𝑞 , dengan 𝜇 memenuhi kondisi growth. Pada penelitian selanjutnya, diharapkan dapat melakukan pembuktian syarat cukup dan syarat perlu untuk keterbatasan perumuman operator integral fraksional pada ruang lain.. xi.

ABSTRACT Latusindah, Kurnia S. 2019. The Necessary Condition and Sufficient Condition for The Boundedness of Fractional Integral Generalized Operator on Classic Morrey Spaces. Thesis. Department of Mathematics, Faculty of Science and Technology, Islamic State University of Maulana Malik Ibrahim Malang. Advisors: (I) Dr. Hairur Rahman, M.Si. (II) Muhammad Khudzaifah, M.Si. Keywords: Fractional integral generalized operator, classic Morrey spaces, the boundedness, necessary conditin, sufficient condition Fractional integral operator 𝐼𝛼 was discussed on its boundedness from a equivalent function class space that completed with norm to another equivalent function class space that completed with norm. Hardy, Littlewood and Sobolev had discuss it on Lebesgue spaces known as Hardy-Littlewood-Sobolev inequality, afterthat it is developed by Imam Utoyo, who declare this operator is bounded on non- homogeneous classic Morrey space. The purpose of this research is to determine the necessary condition of the boundedness of fractional integral operator on Lebesgue spaces and classic Morrey spaces which a similar result with Hardy-Littlewood-Sobolev inequality and Imam Utoyo’s theorem only for 𝑛 = 1. Using characteristic function and Hardy-Littlewood-Sobolev inequality produce the necessary condition and sufficient condition for the boundedness of fractional integral operator on classic Morrey space to get thecondition, 𝑝𝑞(1−𝛼) where the necessary is 𝜇(𝐵(𝑥, 𝑟)) ≤ 𝐶𝑟𝑠 for 𝑠 = with 𝜇 satisfy growth 𝑝𝑞+𝑝−𝑞. condition. For the next research, we expected to prove the necessary condition and sufficient condition of the boundedness of fractional integral generalized operator on another spaces.. xii.

‫ملخص‬ ‫التوسانداه‪ ،‬سا كورنيا‪ .٩١٠٢ .‬الشرط الضروري والشرط الكافي لحدوث المشغل‬ ‫المعمم المتكامل الكسري على مسافات ‪ yerroM‬الكالسيكية‪ .‬أطروحة‪.‬‬ ‫قسم الرياضيات ‪ ،‬كلية العلوم والتكنولوجيا ‪ ،‬جامعة الدولة اإلسالمية في موالنا‬ ‫مالك إبراهيم ماالنج‪ .‬المستشارون‪ )٠( :‬حور الرحمن ‪ ،‬م‪ )٩( .‬محمد خديفة ‪،‬‬ ‫م‪.‬‬ ‫الكلمات المفتاحية‪ :‬عامل تعميم متكامل كسري ‪ ،‬مساحات ‪ yerroM‬كالسيكية ‪ ،‬الحدود ‪،‬‬ ‫الشروطالالزمة ‪ ،‬حالة كافية‬ ‫تمت مناقشة عامل التشغيل التكاملي الكسري ‪ bound‬حول حدوده من مساحة فئة دالة‬ ‫مكافئة أكملت بالمعايير إلى مساحة فئة دالة مكافئة أخرى أكملت بالمعايير‪ .‬كان هاردي‬ ‫وليتلوود وسوبوليف قد ناقشوه في مساحات ‪ eogoebeo‬المعروفة باسم عدم مساواة هاردي ليتل‬ ‫وود سوبوليف ‪ ،‬بعد أن تم تطويره من قبل اإلمام أوتويو ‪ ،‬الذي أعلن أن هذا المشغل مرتبط‬ ‫بمساحة ‪ yerroM‬الكالسيكية غير المتجانسة‪ .‬الغرض من هذا البحث هو تحديد الشرط‬ ‫الضروري لحدود المشغل المتكامل الكسري على مسافات ‪ eogoebeo‬ومساحات‬ ‫الكالسيكية التي تنتج عنها نتيجة عدم مساواة ‪ vegeeoS-eowweoteer-HyrrM‬ونظرية ‪mym‬‬ ‫‪ oweMe‬فقط من أجل ‪ .𝑛 = 1‬استخدام الوظيفة المميزة و ينتج عن عدم انتظام هاردي‪-‬ليتل‬ ‫وود‪-‬سوبوليف الشرط الضروري والشرط الكافي لحدود المشغل المتكامل الكسري على مساحة‬ ‫‪yerroM‬‬. ‫‪ yerroM‬الكالسيكية للحصول على الشرط ‪ ،‬حيث تكون الضرورة هي 𝑠𝑟𝐶 ≤ ))𝑟 ‪ 𝜇(𝐵(𝑥,‬لـ‬ ‫)𝛼‪𝑝𝑞(1−‬‬ ‫𝑞‪ 𝑠 = 𝑝𝑞+𝑝−‬مع 𝜇 إرضاء حالة النمو‪ .‬بالنسبة إلى البحث التالي ‪ ،‬توقعنا أن نثبت الشرط‬ ‫الضروري والشرط الكافي لحدود المشغل المعمم المتكامل الكسري في المساحات األخرى‪.‬‬. ‫‪xiii‬‬.

xiv.

BAB I PENDAHULUAN. Latar Belakang Operator riez atau operator integral fraksional, salah satu bagian yang sudah dipelajari oleh S.H Hardi, J.E. Little Wood dan Sergei Sobolev pertama kali pada tahun 1930. Operator integral fraksional banyak digunakan sebagai bahan utama dalam permasalahan ketaksamaan HLS (Hardi-Little-Sobolev). Operator riez atau operator integral fraksional, 0 < 𝛼 < 𝑛, didefinisikan dengan bentuk: 𝑓(𝑦) 𝑑𝑦, |𝑥 − 𝑦|𝑛−𝛼. I𝛼 𝑓(𝑥) = ∫ ℝ. operator integral fraksional terbatas apabila terbukti terbatas di 𝐿𝑝 (ℝ) ke 𝐿𝑞 (ℝ), 𝑛. jika dan hanya jika ‖𝐼𝛼 𝑓: 𝐿𝑞 (𝜇)‖ ≤ 𝐶‖𝑓: 𝐿𝑝 (𝜇)‖, dengan 1 < 𝑞 < 𝑝 < 𝛼, 𝐶 > 0 dan. 1 𝑝. 1. 𝛼. − 𝑞 = 𝑛 untuk setiap 𝜇(𝐵(𝑥, 𝑟)) ≤ 𝐶𝑟 𝑛 . Pernyataan ini merupakan bentuk. biimpilikasi, dikatakan terbatas apabila memenuhi: (i) Syarat cukup, yaitu dimisalkan. 1 𝑝. 1. 𝛼. 𝑛. − 𝑞 = 𝑛 , dan 1 < 𝑞 < 𝑝 < 𝛼. Terdapat. konstansta 𝐶 > 0, memenuhi 𝜇(𝐵(𝑥, 𝑟)) ≤ 𝐶𝑟 𝑛 maka ‖𝐼𝛼 𝑓: 𝐿𝑞 (𝜇)‖ ≤ 𝐶‖𝑓: 𝐿𝑝 (𝜇)‖. (ii) Syarat Perlu, yaitu dianggap bahwa operator tersebut terbatas sehingga ‖𝐼𝛼 𝑓: 𝐿𝑞 (𝜇)‖ ≤ 𝐶‖𝑓: 𝐿𝑝 (𝜇)‖, maka memenuhi 𝜇(𝐵(𝑥, 𝑟)) ≤ 𝐶𝑟 𝑛 dengan 1 𝑝. 1. 𝛼. 𝑛. − 𝑞 = 𝑛 , 1 < 𝑞 < 𝑝 < 𝛼, dan 𝐶 > 0.. Pada ruang lebesgue, misalkan 𝑓 adalah ruang terukur 𝜇 pada ℝ di ruang lebesgue 𝐿𝑝 = 𝐿𝑝 (𝜇), 1 < 𝑝 < 𝑞 < ∞ yang merupakan ruang kelas-kelas 1.

2 ekuivalen 𝑓 untuk setiap 𝑦 ∈ ℝ sedemikian sehingga 𝐿𝑝 (𝜇) ≔ {𝑓: ‖𝑓 ‖𝐿𝑝 (𝜇) < ∞}, dimana ‖𝑓 ‖𝐿𝑝 (𝜇) = ‖𝑓 ∶ 𝐿𝑝 (𝜇)‖ yang didefinisikan, 1/𝑝 𝑝. ‖𝑓 ∶ 𝐿 (𝜇)‖ = (∫. |𝑓(𝑦)|𝑝. 𝑑𝜇(𝑦)). < ∞,. ℝ. dan 1/𝑞 𝑞 (𝜇)‖. ‖𝐼𝛼 𝑓: 𝐿. 𝑞. = (∫ |𝐼𝛼 𝑓(𝑦)| 𝑑𝜇(𝑦)). .. ℝ. Bentuk ruang lebesgue ‖𝑓 ∶ 𝐿𝑝 (𝜇)‖ memiliki kesamaan dengan bentuk ruang morrey saat 𝜆 = 0 atau disebut ruang morrey klasik. Ruang morrey 𝑝,𝜆. ‖𝑓: 𝐿. 1. (ℝ)‖ ≔ sup (𝑟 𝜆 ∫𝐵. |𝑓(𝑦)|𝑝. 1 𝑝. 𝑑𝑦) < ∞, dengan 0 ≤ 𝜆 < 𝑛 − 𝛼𝑝 , 1 ≤. 𝐵(𝑎,𝑟). 𝑝 ≤ 𝑞 < ∞, 𝐵(𝑎, 𝑟) merupakan bola buka berdimensi 1 dengan pusat 𝑎 ∈ ℝ, dan berjari-jari 𝑟 > 0 sedemikian sehingga bentuk ruang morrey klasik dengan dengan 1/𝑝. 𝜆 = 0 yaitu ‖𝑓 ∶ 𝐿𝑝,0 (𝜇)‖ = (∫ℝ |𝑓(𝑦)|𝑝 𝑑𝜇(𝑦)). < ∞.. Pada tahun 2001 nakai dalam jurnalnya menggunakan perumuman dari integral fraksiomal, dimana suatu fungsi 𝜌: (0, ∞) → (0, ∞) dan sebarang 𝑓 pada operator integral fraksional, didefinisikan pemetaan 𝑓 → 𝑇𝜌 𝑓, dengan. 𝑇𝜌 𝑓(𝑥): = ∫ 𝑓(𝑦) ℝ. 𝜌(𝛿(𝑥, 𝑦)) 𝑑𝜇(𝑦), 𝛿(𝑥, 𝑦)𝑛. sehingga 𝑇𝜌 𝑓 = 𝐼𝛼 𝑓 untuk 𝜌(𝑡) = 𝑡 𝛼 , 0 < 𝛼 < 𝑛, maka dapat disebut sebagai perumuman operator integral fraksional. Kajian tentang perkembangan dalam ilmu matematika terus dilakukan untuk dapat membuktikan suatu kebenaran dari penemuan-penemuan baru, salah.

3 satunya pada keterbatasan perumuman operator integral fraksional. Hal ini berdasarkan dari al-Qur’an surat al-Imron ayat 189-191, yang berbunyi:. ِ ِ ِ ٍ ِ ِ ‫السماو‬ ِ ‫السماو‬ ِ ِ ‫ات َو ْاأل َْر‬ ‫ات‬ ُ ‫و ََللَّ ِه ُم ْل‬ َ َ َّ ‫﴾ إ َّن في َخ ْلق‬٠٨٢ ﴿ ‫ض ۗ َواللَّهُ َعلَ ٰى ُك ِل َش ْيء قَد ٌير‬ َ َ َّ ‫ك‬ ِ ِ ٍ ِ ‫ف اللَّي ِل والنـ‬ ِ ِ َّ ِ ‫ض واختِ َال‬ ِ ‫ودا‬ ً ُ‫ين يَ ْذ ُك ُرو َن اللَّ َه قيَ ًاما َوقـُع‬ ْ َ ِ ‫َو ْاأل َْر‬ َ َ ْ َ ‫﴾ الذ‬٠٢١ ﴿ ‫َّهار ََليَات ألُولي ْاألَلْبَاب‬ ِ َّ ‫وعلَى جنُوبِ ِهم ويـتـ َف َّكرو َن فِي خ ْل ِق‬ ِ ‫ض ربـَّنَا ما خلَ ْقت ٰه َذا ب‬ ‫ك فَِقنَا‬ َ َ‫اط ًال ُسْب َحان‬ َ َ َ َ َ َ َ ِ ‫الس َم َاوات َو ْاأل َْر‬ ُ ََ َ ْ ُ ٰ َ َ ﴾٠٢٠ ﴿ ‫اب النَّا ِر‬ َ ‫َع َذ‬. “Kepunyaan Allah-lah kerajaan langit dan bumi, dan Allah Maha Perkasa atas segala sesuatu. Sesungguhnya dalam penciptaan langit dan bumi, dan silih bergantinya malam dan siang terdapat tanda-tanda bagi orang-orang yang berakal. (yaitu) orang-orang yang mengingat Allah sambil berdiri atau duduk atau dalam keadan berbaring dan mereka memikirkan tentang penciptaan langit dan bumi (seraya berkata): "YaTuhan kami, tiadalah Engkau menciptakan ini dengan sia-sia, Maha Suci Engkau, maka peliharalah kami dari siksa neraka.”. Hikmah dari ayat. diatas, bahwa manusia memiliki kewajiban. memperdalam ilmu untuk berfikir serta mencari atau membuktikan suatu kebenaran karena manusia memiliki akal-akal yang sempurna dan memiliki kecerdasan, kemudian pada akhirnya sampai kepada hakikat dari apa yang dicari, tak lupa membagikannya kepada sesama, sehingga ilmu pun akan terus mengalami perkembangan. Perkembangan keterbatasan operator integral fraksional salah satunya pada sifat ukurannya. Hal tersebut telah dilakukan oleh banyak matematikawan, salah satunya adalah Eiichi Nakai yang telah membuktikan perumuman 𝐼𝛼 𝑓 terbatas di ruang Morrey pada tahun 2001. Imam Utoyo, Toto Nusantara, Basuki Widodo dan Suhariningsih pada tahun 2012 telah membuktikan syarat perlu dari keterbatasan perumuman operator integral fraksional pada ruang Morrey dan ruang Lebesgue dan klasik tak-homogen dengan syarat kondisi growth 𝜇(𝐵(𝑥, 𝑟)) ≤ 𝐶𝑟 𝑛 ..

4 Sebagai pengembangan dari hasil tersebut, maka dalam penelitian ini akan dibuktikan bahwa syarat perlu dan syarat cukup keterbatasan dari perumaman operator integral fraksional 𝐼𝛼 𝑓 dari ruang Morrey klasik tak-homogen 𝐿𝑝,𝜆 (ℝ) keruang Morrey klasik tak-homogen 𝐿𝑞,μ (ℝ) adalah 𝜇(𝐵(𝑥, 𝑟)) ≤ 𝐶𝑟𝑠, dimana 𝑠=. 𝑝𝑞(1−𝛼) 𝑝𝑞+𝑝−𝑞. .. 1.2 Rumusan Masalah Bagaimana syarat perlu dan syarat cukup untuk keterbatasan dari perumuman operator integral fraksional dari ruang Morrey Klasik 𝐿𝑝,𝜆 (𝜇) ke 𝐿𝑞,𝜇 (𝜇)? 1.3 Tujuan Penelitian Mengetahui syarat perlu dan syarat cukup untuk keterbatasan dari perumuman operator integral fraksional dari ruang Morrey Klasik 𝐿𝑝,𝜆 (𝜇) ke 𝐿𝑞,𝜇 (𝜇). 1.4 Manfaat Penelitian Memberikan informasi tentang syarat perlu dan syarat cukup pada keterbatasan dari perumuman operator integral fraksional dari ruang morrey klasik 𝐿𝑝,𝜆 (𝜇) ke 𝐿𝑞,𝜇 (𝜇). Serta, keterkaitan dari beberapa topic dalam matematika, khususnya keterbatasan operator, keterbatasan fungsi dan integral fraksional. 1.5 Batasan Masalah Dalam penelitian ini menggunakan dimensi satu, n=1. 1.6 Metode Penelitian Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah penelitian kepustakaan (library research). Metode ini dilakukan dengan mengumpulkan informasi atau rujukan yang berasal dari buku, jurnal dan sumber lainnya yang berkaitan dengan.

5 integral fraksional sebagai landasan teori. Adapun langkah-langkah yang digunakan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut: 1. Membuktikan syarat perlu dan syarat cukup keterbatasan dari perumuman operator integral fraksional di ruang Lebesgue melalui teorema HardyLittlewood-Sobolev, dengan memanfaatkan fungsi karakteristik. 2. Membuktikan syarat perlu dan syarat cukup keterbatasan dari perumuman operator integral fraksional di ruang Morrey klasik melalui teorema Hardy-Littlewood-Sobolev, dengan memanfaatkan fungsi karakteristik. 3. Kesimpulan. 1.7 Sistematika Penulisan Sistematika penulisan yang digunakan dalam penelitian ini terdiri dari empat bagian, yaitu: Bab I. Pendahuluan Pendahuluan meliputi: latar belakang, rumusan masalah, tujuan penelitian, manfaat penelitian, batasan masalah, metode penelitian, dan sistematika penulisan.. Bab II. Kajian Pustaka Bab ini terdiri dari teori-teori yang digunakan untuk mendukung pembahasan dan menjawab rumusan masalah. Kajian Pustaka dalam penelitian ini meliputi: ukuran dan integral lebesgue, ruang Metrik, teorema Hardy-Little-Sobolev, fungsi maksimal HardyLittlewood, operator integral fraksional, perumuman operator integral fraksional, serta ruang Morrey Klasik dan perintah Allah untuk mengembangkan imu..

6 Bab III. Pembahasan Bab ini menguraikan secara keseluruhan langkah-langkah yang disebutkan dalam metode penelitian dan menjawab semua rumusan masalah. Pembahasan dalam penelitian ini meliputi: syarat perlu dan syarat cukup keterbatasan perumuman operator integral fraksional pada ruang Lebesgue, dan ruang Morrey klasik.. Bab IV Penutup Penutup berisi kesimpulan dari hasil pembahasan dan saran untuk penelitian selanjutnya..

BAB II KAJIAN PUSTAKA. 2.1 Ruang Terukur Definisi 2.1 Ukuran adalah suatu fungsi bernilai riil diperpanjang 𝜇 yang terdefinisi pada aljabar-𝜎 𝒳 dari subhimpunan 𝐴 sedemikian sehingga: (i) 𝜇(∅) = 0 (ii) 𝜇(𝐴) ≥ 0 untuk semua 𝐴 ∈ 𝒳, dan (iii) 𝜇 penjumlahan dapat dihitung jika (𝐴𝑛 ) sebarang barisan disjoin dari himpunan di 𝒳, maka ∞. ∞. 𝜇 (⋃ 𝐴𝑛 ) = ∑ 𝜇(𝐴𝑛 ). 𝑛=1. 𝑛=1. Dengan barisan disjoin yaitu 𝐴𝑛 ∩ 𝐴𝑚 = ∅ jika 𝑛 ≠ 𝑚, (Bartle, 1995: 19). Papadimitrakis, dalam bukunya Measure Theory mendefinisikan ruang terukur dan fungsi terukur. Definisi 2.2 Misalkan 𝑌 himpunan tak kosong, 𝐴 sebarang himpunan, dan 𝒳 merupakan suatu koleksi dari sub himpunan 𝑌. Dengan tiga syarat yaitu: (i). 𝐴 ⊆ 𝑌 sehingga memenuhi 𝐴, ∅ ∈ 𝒳,. (ii). Jika 𝐴 ∈ 𝒳, maka 𝐴𝑐 ∈ 𝒳, dimana 𝐴𝑐 = 𝑌 \ 𝐴, dan. (iii). Jika 𝐴𝑛 ∈ 𝒳 untuk setiap 𝑛 ∈ 𝑁 , maka ⋃ 𝐴𝑛 ∈ 𝒳,. Maka 𝒳 disebut sebuah 𝜎-aljabar (aljabar sigma) dari himpunan 𝑌, dan pasangan berurutan (Y, 𝒳) disebut ruang terukur, (Papadimitrakis M, 2004).. 7.

8 Definisi 2.3 Diberikan (Y, 𝒳) ruang terukur dan suatu fungsi real 𝑓: 𝑥 → ℝ, maka fungsi terukur jika untuk setiap 𝑎 ∈ ℝ, himpunan {𝑥 ∈ 𝑌|𝑓(𝑥) < 𝛼} ∈ 𝒳, (Papadimitrakis M, 2004). 2.2 Supremum Fungsi Notasi supremum digunakan dalam pendefisian di Ruang Morrey klasik dan norma. Sebelum membahas keterbatasan perumuman operator, diberikan definisi mengenai keterbatasan dari suatu fungsi yaitu, Definisi 2.4 Misalkan diberikan fungsi 𝑓: 𝐴 → ℝ yaitu 𝑓 (𝐴) = {𝑓 (𝑥 ): 𝑥 ∈ 𝐴} dipetakan ke bilangan riil sehingga 𝑓(𝐴) ∈ ℝ maka dikatakan bahwa 𝑓 terbatas di atas apabila himpunan 𝑓 (𝐴) = {𝑓(𝑥): 𝑥 ∈ 𝐴}terbatas di atas, yaitu terdapat 𝐶 ∈ 𝑅 sedemikian sehingga 𝑓(𝑥) ≤ 𝐶 , ∀𝑥 ∈ 𝐶, C disebut sebagai batas atas dari fungsi 𝑓. Menggunakan cara yang sama, 𝑓 terbatas di bawah jika himpunan 𝑓(𝐴) = {𝑓(𝑥 ): 𝑥 ∈ 𝐴} terbatas di bawah, yaitu terdapat 𝐷 ∈ 𝑅 sedemikian sehingga 𝐷 ≤ 𝑓(𝑥) , ∀𝑥 ∈ 𝐷, D disebut sebagai batas bawah dari fungsi 𝑓. Apabila fungsi 𝑓 terbatas di atas dan juga terbatas di bawah maka dapat katakan bahwa fungsi 𝑓 terbatas, (Bartle, 2000). Definisi 2.5 Misalkan 𝑓: 𝐴 → ℝ , 𝑓(𝐴) = {𝑓(𝑥): 𝑥 ∈ 𝐴}, adalah fungsi yang terbatas dan 𝐴 ≠ ∅ , maka supremum dari 𝑓 dinotasikan dengan sup 𝑓 yang didefinisikan sebagai, Sup𝑓 = sup{𝑓(𝑥): 𝑥∈A} = sup 𝑅(𝑓), (Bartle, 2000)..

9 Contoh 2.5 ℎ: ℝ → ℝ. Fungsi memiliki. daerah. yang hasil. didefinisikan. olehℎ(𝑥) = 1 − 𝑥, 0 ≤ 𝑥 ≤ 1, 𝑥 ∈ ℝ. 𝑅 (𝑓) = {𝑦: 0 ≤ 𝑦 ≤ 1}.. supremum suatu himpunan, jika 𝑣 < 1, ambil 𝑠’ =. Berdasarkan. 𝑣+1 2. definisi. ∈ ℝ(𝑓), maka 𝑣 < 𝑠′,. Sehingga 𝑠𝑢𝑝 ℎ(𝑥) = 𝑠𝑢𝑝 𝑅 (𝑓) = 1, (Trench, 2013). Pembuktian keterbatasan operator integral fraksional menggunakan lemma tentang supremmum. Lemma 2.1 Misalkan 𝑓, ℎ: 𝐵 → ℝ, 𝑓(𝐵) = {𝑓(𝑥): 𝑥 ∈ 𝐵}, dan ℎ(𝐵) = {ℎ(𝑥): 𝑥 ∈ 𝐵} adalah fungsi-fungsi yang terdefinisi pada himpunan 𝐵 yang dipetakan ke bilang riil positif, dengan 𝑖𝑛𝑓 ℎ(𝑥) > 0, dan terdapat konstanta 𝐶 > 0 untuk ∀𝑥 ∈ 𝐵. Maka, 𝑠𝑢𝑝 𝑠𝑢𝑝 𝑓 (𝑥 ) ≤ ℎ(𝑥), 𝑥∈𝐵 𝑥∈𝐵 𝑓(𝑥) ≤ 𝐶ℎ(𝑥) Bukti: Misalkan 𝑓, ℎ: 𝐵 → ℝ, 𝑓 (𝐵) = {𝑓(𝑥): 𝑥 ∈ 𝐵}, ℎ(𝐵) = {ℎ(𝑥): 𝑥 ∈ 𝐵}, dan. 𝑠𝑢𝑝 𝑠𝑢𝑝 𝐼𝑛𝑓 ℎ (𝑥) > 0, ∀x ∈ B. Sehingga, 𝑓 (𝑥 ) ≤ ℎ(𝑥). Maka, 𝑥 ∈ 𝐵 𝑥 ∈𝐵 𝑥 ∈𝐵. berdasarkan definisi supremum,. 𝑠𝑢𝑝 ℎ(𝑥) merupakan batas atas dari 𝑓(𝑥), yaitu 𝑥∈𝐵. 𝑓 (𝑥 ) ≤. 𝑠𝑢𝑝 ℎ(𝑥) 𝑥∈𝐵. maka dengan demikian lemma 2.1 terbukti.. (2.1).

10 2.3 Keterbatasan Operator Integral Fraksional Kajian terhadap keterbatasan operator integral fraksional telah dilakukan sejak tahun 1932 hingga saat ini.Keterbatasan operator ini telah dikaji pada ruang Lebesgue, ruang Morrey Klasik dan ruang Morrey diperumum baik homogeny mau pun tak homogen. 2.3.1 Integral Fraksional Definisi 2.6 Misalkan 𝑓 merupakan fungsi terukur bernilai riil pada ℝ, dan 0 < 𝛼 < 1. Maka bentuk integral fraksional pada dimensi satu yaitu: 𝐼𝛼 𝑓(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑦) ℝ. 1 𝑑𝑦, |𝑥 − 𝑦|1−𝛼. dengan 𝑥 ∈ ℝ, (Wheeden, 2015:415). Contoh 2.6 Bola 𝐵 = {𝑥 ∈ ℝ: ‖𝑥‖ < 1} dan fungsi 𝑓𝒳𝐵 (𝑥) merupakan fungsi karakteristik pada bola 𝐵. Operator integral fraksional dari 𝑓 adalah 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 1−𝛼 𝐵 |𝑥 − 𝑦|. 𝐼𝛼 𝑓(𝑦) = ∫. 𝑓(𝑥) 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 + ∫ 𝑑𝑥 1−𝛼 1−𝛼 𝐵 |𝑥 − 𝑦| 𝐵𝑐 |𝑥 − 𝑦|. =∫. 1 0 𝑑𝑥 + ∫ 𝑑𝑥 1−𝛼 1−𝛼 𝐵 |𝑥 − 𝑦| 𝐵𝑐 |𝑥 − 𝑦|. =∫. 1 𝑑𝑥 1−𝛼 𝐵 |𝑥 − 𝑦|. =∫. 1 𝑑𝑥 1−𝛼 ‖𝑥‖<1 |𝑥 − 𝑦|. =∫.

11 Untuk 𝑦 = 0 maka, 1 𝑑𝑥 1−𝛼 ‖𝑥‖<1 |𝑥|. 𝐼𝛼 𝑓(0) = ∫. |𝑥|𝛼−1 𝑑𝑥. =∫. ‖𝑥‖<1. Misalkan |𝑥| = 𝑟, maka 𝑑𝑥 = 𝑑𝑟. Sedemikian sehingga, 1. 𝐼𝛼 𝑓(0) = 𝐶 ∫ 𝑟 1−1 𝑟 𝛼−1 𝑑𝑟 0 1. = 𝐶 ∫ 𝑟 𝛼−1 𝑑𝑟 0. =𝐶 Untuk 𝑦 ∈ ℝ maka, 1 𝑑𝑥 1−𝛼 ‖𝑥‖<1 |𝑥 − 𝑦|. 𝐼𝛼 𝑓(𝑦) = ∫. =∫. |𝑥 − 𝑦|𝛼−1 𝑑𝑥. ‖𝑥‖<1. ≤∫. |𝑥|𝛼−1 𝑑𝑥 − ∫. ‖𝑥‖<1. |𝑦|𝛼−1 𝑑𝑥. ‖𝑥‖<1. = 𝐶 − |𝑦|𝛼−1 |𝑄| = 𝐶 − 𝐶1 |𝑦|𝛼−1 Karena ‖𝑦‖ > 0 dan 𝛼 − 1 < 0 maka, 𝐼𝛼 𝑓(𝑦) = 𝐶 − 𝐶1 |𝑦|𝛼−1 𝐶. 1 = 𝐶 − |𝑦|1−𝛼 ,. (Nurjannah, 2018:21-22)..

12. 2.3.2 Ruang Morrey C.B. Morrey merupakan orang pertama yang memperkenalkan ruang morrey pada suatu penelitian tentang suatu solusi persamaan diferensial parsial ekliptik. Definisi 2.7 Suatu himpunan untuk setiap 𝑓 ∈ 𝐿𝑝𝑙𝑜𝑐 (ℝ𝑛 ), dengan 1 ≤ 𝑝 ≤ 𝑞 < ∞, 𝑎 ∈ ℝ𝑛 sedemikian hingga bentuk ruang morrey yaitu, ‖𝑓‖𝐿𝑝,𝜆(ℝ𝑛) ≔. sup |𝐵(𝑎, 𝑟)|. 𝑎∈ℝ𝑛 ,𝑟>0. 1 𝑞. 1. 1 𝑝 (|𝐵(𝑎,𝑟)| ∫𝐵(𝑥,𝑟)|𝑓(𝑦)|𝑝 𝑑𝑦). < ∞,. (Hendra Gunawan, 2018). Ruang morrey diatas, apabila 𝜆 = 0, 𝐵(𝑎, 𝑟) merupakan bola buka, berdimensi 1 atau 𝑛 = 1 dengan pusat 𝑎 ∈ ℝ, dan berjari-jari 𝑟 > 0, maka 1 𝑝 1 ‖𝑓: 𝐿𝑝,𝜆 (𝜇)‖ ≔ sup ( 𝜆 ∫ |𝑓(𝑦)|𝑝 𝑑𝑦) < ∞. 𝐵(𝑎,𝑟) 𝑟 𝐵. Bentuk ruang morrey ini dikenal dengan ruang morrey klasik, (Imam Utoyo,dkk: 2012). 2.3.3 Ruang Lebesgue Ruang lebesgue merupakan bentuk khusus dari ruang morrey. Ruang morrey klasik merupakan bentuk dari ruang morrey yang 𝜆 = 0. Setiap anggota ruang morrey klasik merupakan anggota dari ruang lebesgue lokal. Ruang lebesgue 𝐿𝑝 = 𝐿𝑝 (ℝ), 1 ≤ 𝑞 ≤ 𝑝 < ∞ didefinisikan sebagai ruang kelas-kelas ekuivalen 𝑓. Sehingga bentuk ruang lebesgue : 1 𝑝 1 ‖𝑓: 𝐿𝑝,𝜆 (ℝ)‖ ≔ sup ( 𝜆 ∫ |𝑓(𝑦)|𝑝 𝑑𝑦) < ∞ 𝐵(𝑎,𝑟) 𝑟 𝐵.

13. 1 𝑝 1 ‖𝑓: 𝐿𝑝,0 (𝜇)‖ ≔ sup ( 0 ∫ |𝑓(𝑦)|𝑝 𝑑𝑦) < ∞ 𝐵(𝑎,𝑟) 𝑟 𝐵 1 𝑝. ‖𝑓: 𝐿𝑝,0 (𝜇)‖ ≔ sup (1 ∫ |𝑓(𝑦)|𝑝 𝑑𝑦) < ∞, 𝐵(𝑎,𝑟). 𝐵. (Imam Utoyo, dkk, 2012:227-229). Pada ruang lebesgue, hendra gunawan pada tahun 2006 dalam jurnalnya, memisalkan 𝑓 adalah ruang terukur 𝜇 pada ℝ di ruang lebesgue 𝐿𝑝 = 𝐿𝑝 (𝜇), 1 < 𝑝 < 𝑞 < ∞ yang merupakan ruang kelas-kelas ekuivalen 𝑓 untuk setiap 𝑦 ∈ ℝ sedemikian sehingga 𝐿𝑝 (𝜇) ≔ {𝑓: ‖𝑓 ‖𝐿𝑝 (𝜇) < ∞}, dimana (∫ℝ. ‖𝑓 ‖𝐿𝑝 (𝜇) = ‖𝑓 ∶ 𝐿𝑝 (𝜇)‖ yang. |𝑓(𝑦)|𝑝. didefinisikan. ‖𝑓: 𝐿𝑝 ‖ ≔. 1 𝑝. 𝑑𝑦) < ∞. Sehingga ‖𝑓: 𝐿𝑝,0 (𝜇)‖ = ‖𝑓: 𝐿𝑝 ‖, dikarenakan 𝐼𝛼 𝑓. juga merupakan ruang terukur 𝜇 pada ℝ di ruang lebesgue 𝐿𝑝 = 𝐿𝑝 (𝜇) maka, 1 𝑞. 1 ‖𝐼𝛼 𝑓: 𝐿𝑞 (𝜇)‖ ≔ sup ( 𝜆 ∫ |𝐼𝛼 𝑓(𝑦)|𝑞 𝑑𝑦) < ∞. 𝐵(𝑎,𝑟) 𝑟 𝐵 2.3.4 Fungsi Maksimal Hardy-Littlewood Fungsi maksimal diperlukan dalam membuktikan keterbatasan operator integral dalam ruang Lebesgue maupun ruang lainnya. Definisi 2.8 Definisikan fungsi maksimal fraksional untuk 0 < 𝛼 < 𝑛 dengan, 𝑀𝛼 𝑓(𝑥) = sup 𝑟>0. 1 𝛼. |𝐵(𝑥, 𝑟)|1−𝑛. ∫. |𝑓(𝑦)|𝑑𝑦,. 𝐵(𝑥,𝑟).

14 Selain itu, digunakan juga fungsi maksimal Hardy-Littlewood pada fungsi terintegral lokal 𝑓 yaitu, 1. 𝑀0 𝑓(𝑥) = 𝑀𝑓(𝑥) = sup |𝐵(𝑥,𝑟)| ∫𝐵(𝑥,𝑟)|𝑓(𝑦)|𝑑𝑦, 𝑟>0. (Adams, 1996: 3). 2.3.5 Keterbatasan Operator Di ruang Lebesgue, diketahui 𝐼𝛼 𝑓 bersifat terbatas apabila ruang lebesgue tersebut tak homogen. Berikut teorema-teorema yang membahas keterbatasan operator. Teorema 2.1 (Hardy-Littlewood-Sobolev) 1. 1. 1. Misalkan bahwa 0 < 𝛼 < 1, 1 ≤ 𝑝 < 𝛼 dan 𝑞 = 𝑝 − 𝛼. 1. (i) Jika 𝑓 ∈ 𝐿𝑝 (ℝ) (1 < 𝑝 < 𝛼), maka ‖𝐼𝛼 𝑓‖𝑞 ≤ 𝐶‖𝑓‖𝑝 (ii) Jika 𝑓 ∈ 𝐿1 (ℝ), maka untuk setiap 𝜆 > 0, |{𝑥 ∈ ℝ ∶ |𝐼𝛼 𝑓| > 𝜆}| ≤ 𝐶. 1 1−𝛼. (𝜆 ‖𝑓‖1 ). , di mana 𝐶 = 𝐶(𝛼, 𝑛, 𝑝), (Lu, Shanzen, dkk, 2007:136).. Bukti: (i) Ingat bahwa (1 −. 𝛼𝑝 𝑛. ) 𝑞 = 𝑝 dengan keterbatasan-𝐿𝑝 dari operator. maksimal Hardy-Littlewood 𝑀 untuk 1 < 𝑝 < ∞,. 𝐼𝛼 𝑓(𝑥) ≤. ∫ |𝑥−𝑦|≤𝑟. 𝑓(𝑦) 𝑑𝑦 + |𝑥 − 𝑦|𝑛−𝛼. ∫ |𝑥−𝑦|>𝑟. 𝑓(𝑦) 𝑑𝑦 |𝑥 − 𝑦|𝑛−𝛼. |𝐼(𝑥)| ≤ 𝐶𝑟 𝛼 𝑀𝑓 |𝐼𝐼(𝑥)| ≤ 𝐶𝑟. 𝛼−. 𝑛 𝑝. ‖𝑓‖𝑝. |𝐼𝛼 𝑓(𝑥)| ≤ 𝐶 (𝑟 𝛼 𝑀𝑓(𝑥) + 𝑟. 𝛼−. 𝑛 𝑝. ‖𝑓‖𝑝 ).

15 𝑝. ‖𝑓‖𝑝 𝑛 𝑟=( ) 𝑀𝑓(𝑥) 𝛼. 𝑟 𝑀𝑓(𝑥) = 𝑟. 𝛼−. 𝑛 𝑝. 𝛼𝑝 𝑛. 𝛼𝑝. ‖𝑓‖𝑝 = ‖𝑓‖𝑝 𝑀𝑓(𝑥)1− 𝑛. Didapatkan, 𝛼𝑝. 1−. ‖𝐼𝛼 𝑓‖𝑞 ≤ 𝐶‖𝑓‖𝑝𝑛 ‖𝑀𝑓‖𝑝. 𝛼𝑝 𝑛. ≤ 𝐶‖𝑓‖𝑝 .. (ii) Menggunakan keterbatasan-(1,1) lemah dari operator 𝑀, dengan 𝛼. 𝑝 = 1 dan 𝑟 𝑀𝑓(𝑥) = 𝑟. 𝛼−. 𝑛 𝑝. 𝛼𝑝 𝑛. 𝛼𝑝. ‖𝑓‖𝑝 = ‖𝑓‖𝑝 𝑀𝑓(𝑥)1− 𝑛 didapatkan, 𝛼. 𝛼. |{𝑥 ∈ ℝ𝑛 : |𝐼𝛼 𝑓(𝑥)| > 𝜆}| = |{𝑥 ∈ ℝ𝑛 : ‖𝑓‖1𝑛 𝑀𝑓(𝑥)1−𝑛 > 𝜆}| 𝑛 𝑛−𝛼. 𝜆 = |{𝑥 ∈ ℝ𝑛 : 𝑀𝑓(𝑥) > ( 𝛼) 𝐶‖𝑓‖1𝑛 𝛼 𝑛. }|. 𝑛 −𝛼 𝑛. 𝐶‖𝑓‖1 ≤ 𝐶1 ( ) 𝜆. ‖𝑓‖1. 𝑛. 𝑛−𝛼 𝐶 ≤ ( ‖𝑓‖1 ) . 𝜆. Teorema terbukti. ∎ Teorema 2.2 (Adam) 1. Jika 1 < 𝑝 < α dan. 1 𝑞. 1. = 𝑝 − 𝛼, diberikan 0 < 𝛼 < 1 maka 𝐼α 𝑓. terbatas dari 𝐿𝑝 (𝜇) ke 𝐿𝑞 (𝜇). Bukti: 1. 1. 1. Misalkan 1 < 𝑝 < α , 𝑞 = 𝑝 − 𝛼, dan 0 < 𝛼 < 1 maka 𝐼α 𝑓.

16. 𝐼𝛼 𝑓(𝑥) ≤. 𝑓(𝑦) 𝑑𝜇(𝑦) + |𝑥 − 𝑦|1−𝛼. ∫ |𝑥−𝑦|≤𝑟. |𝐼(𝑥)| ≤. ∫ |𝑥−𝑦|≤𝑟. ∫ |𝑥−𝑦|>𝑟. 𝑓(𝑦) 𝑑𝜇(𝑦) |𝑥 − 𝑦|1−𝛼. 𝑓(𝑦) 𝑑𝜇(𝑦) |𝑥 − 𝑦|1−𝛼. Kemudian dipartisi sehingga, −1. |𝐼(𝑥)| ≤ 𝐶𝑟. 𝛼. ∑ 𝑘=−∞. 1 𝜇(𝐵(𝑥, 𝑟)). ∫ |𝑓(𝑦)|𝑑𝜇(𝑦) 𝜇(𝐵(𝑥,𝑟)). |𝐼(𝑥)| ≤ 𝐶𝑟 𝛼 𝑀𝑓 Selanjutnya,. |𝐼𝐼(𝑥)| ≤. ∫ |𝑥−𝑦|>𝑟. 𝑓(𝑦) 𝑑𝜇(𝑦) |𝑥 − 𝑦|𝑛−𝛼 1 𝑝. ∞. ≤ 𝐶𝑟 𝛼−1 ∑ ( 𝑘=0. |𝐼𝐼(𝑥)| ≤ 𝐶𝑟. 𝛼−. 1 𝑝. 1 𝑞. ∫ |𝑓(𝑦)|𝑝 𝑑𝜇(𝑦)) ( |𝑥−𝑦|<𝑟. |𝑥−𝑦|<𝑟. ‖𝑓: 𝐿𝑝 ‖. |𝐼𝛼 𝑓(𝑥)| ≤ 𝐶 (𝑟 𝛼 𝑀𝑓(𝑥) + 𝑟 Misalkan 𝑟 𝛼 𝑀𝑓(𝑥) = 𝑟. 𝛼−. 1 𝑝. 𝛼−. ∫ 1𝑞 𝜇(𝑦)). 1 𝑝. ‖𝑓: 𝐿𝑝 ‖). ‖𝑓: 𝐿𝑝 ‖,. 𝑝. ‖𝑓: 𝐿𝑝 ‖ 𝑟 =𝐶( ) 𝑀𝑓(𝑥). 𝑝. ‖𝑓: 𝐿𝑝 ‖ |𝐼𝛼 𝑓(𝑥)| ≤ 𝐶 ( ) 𝑀𝑓(𝑥) 𝑀𝑓(𝑥) |𝐼𝛼 𝑓(𝑥)| ≤ 𝐶(‖𝑓: 𝐿𝑝 ‖)𝑝 (𝑀𝑓(𝑥))1−𝑝 𝑝. |𝐼𝛼 𝑓(𝑥)| ≤ 𝐶(‖𝑓: 𝐿𝑝 ‖)𝑝 (𝑀𝑓(𝑥))𝑞.

17 1 𝑞. {∫ |𝐼𝛼 𝑓(𝑥)|𝑞 𝑑𝜇(𝑥)} ≤ 𝐶(‖𝑓: 𝐿𝑝 ‖)𝑝𝑞 ∫ (𝑀𝑓(𝑥))𝑝 𝑑𝜇(𝑥) 𝐵. 𝐵 1 𝑞. {∫ |𝐼𝛼 𝑓(𝑥)|𝑞 𝑑𝑥} ≤ 𝐶(‖𝑓: 𝐿𝑝 ‖)𝑝 𝐵. ‖𝐼𝛼 𝑓: 𝐿𝑞 ‖ ≤ 𝐶‖𝑓: 𝐿𝑝 (𝜇)‖. Teorema terbukti. ∎ Fungsi 𝑓 di ℝ disebut fungsi radial, jika nilai 𝑓(𝑥) hanya bergantung pada |𝑥| untuk 𝑥 ∈ ℝ. Selain itu, digunakan juga fungsi maksimal Hardy-Littlewood pada fungsi terintegral lokal 𝑓, fungsi ini oleh adam di peroleh dengan 𝛼 = 0. Sehingga bentuk fungsinya menjadi : 1. 𝑀0 𝑓(𝑥) = 𝑀𝑓(𝑥) = sup |𝐵(𝑥,𝑟)| ∫𝐵(𝑥,𝑟)|𝑓(𝑦)|𝑑𝑦, 𝑟>0. (Adams, 1996: 3). Teorema 2.3 (Chiarenza & Frasca) 1. 1. 1. 𝜶. Misalkan 0 < 𝜆 < 1 − 𝛼 𝑝dan 1 < 𝑝 < 𝜶 . Jika 𝑞 = 𝑝 − 1−𝝀, maka terdapat konstanta 𝐶𝑝,𝑞 > 0 sehingga untuk semua, 𝑓 ∈ 𝐿𝑝,𝜆 berlaku ‖𝐼𝛼 𝑓: 𝐿𝑞,𝜆 ‖ ≤ 𝐶‖𝑓: 𝐿𝑝,𝜆 ‖ , (Chiarenza & Frasca: 1987).. Bukti: 1. 1. 1. 𝜶. Misalkan 0 < 𝜆 < 1 − 𝛼 𝑝, 1 < 𝑝 < 𝜶 , dan 𝑞 = 𝑝 − 1−𝝀 maka 𝐼α 𝑓. 𝐼𝛼 𝑓(𝑥) ≤. ∫ |𝑥−𝑦|≤𝑟. 𝑓(𝑦) 𝑑𝜇(𝑦) + |𝑥 − 𝑦|1−𝛼. ∫ |𝑥−𝑦|>𝑟. 𝑓(𝑦) 𝑑𝜇(𝑦) |𝑥 − 𝑦|1−𝛼.

18. |𝐼(𝑥)| ≤. ∫ |𝑥−𝑦|≤𝑟. 𝑓(𝑦) 𝑑𝜇(𝑦) |𝑥 − 𝑦|1−𝛼. −1. |𝐼(𝑥)| ≤ 𝐶𝑟 𝛼 ∑ 𝑘=−∞. 1 𝜇(𝐵(𝑥, 𝑟)). ∫ |𝑓(𝑦)|𝑑𝜇(𝑦) 𝜇(𝐵(𝑥,𝑟)). |𝐼(𝑥)| ≤ 𝐶𝑟 𝛼 𝑀𝑓 Selanjutnya,. |𝐼𝐼(𝑥)| ≤. ∫ |𝑥−𝑦|>𝑟. 𝑓(𝑦) 𝑑𝜇(𝑦) |𝑥 − 𝑦|𝑛−𝛼 1 𝑝. ∞. 𝜆. ≤ 𝐶𝑟 𝛼−1 𝜇(𝐵)𝑝 ∑ ( 𝑘=0. |𝐼𝐼(𝑥)| ≤ 𝐶𝑟. 𝛼−. 1 𝑝. ∫ |𝑓(𝑦)|𝑝 𝑑𝜇(𝑦)) (. |𝑥−𝑦|<𝑟. 𝜆. Misalkan 𝑟 𝛼 𝑀𝑓(𝑥) = 𝑟. 𝛼−. 1 𝑝. 𝛼−. 1 𝑝. 𝜆 𝑝. 𝜇(𝐵) ‖𝑓: 𝐿𝑝,𝜆 ‖). 𝜆. 𝜇(𝐵)𝑝 ‖𝑓: 𝐿𝑝,𝜆 ‖,. 𝑝. 𝜆. 𝜇(𝐵)𝑝 ‖𝑓: 𝐿𝑝,𝜆 ‖ 𝑟 =𝐶( ) 𝑀𝑓(𝑥) 𝑝. 𝜆 𝑝. 𝑝,𝜆. 𝜇(𝐵) ‖𝑓: 𝐿 |𝐼𝛼 𝑓(𝑥)| ≤ 𝐶 ( 𝑀𝑓(𝑥) 𝜆 𝑝. ) 𝑀𝑓(𝑥) 𝑝. 𝑝,𝜆. |𝐼𝛼 𝑓(𝑥)| ≤ 𝐶 (𝜇(𝐵) ‖𝑓: 𝐿 𝜆. ‖. ‖) (𝑀𝑓(𝑥))1−𝑝 𝑝. ∫ 1𝑞 𝜇(𝑦)). |𝑥−𝑦|<𝑟. 𝜇(𝐵)𝑝 ‖𝑓: 𝐿𝑝,𝜆 ‖. |𝐼𝛼 𝑓(𝑥)| ≤ 𝐶 (𝑟 𝛼 𝑀𝑓(𝑥) + 𝑟. 1 𝑞. 𝑝. |𝐼𝛼 𝑓(𝑥)| ≤ 𝐶 (𝜇(𝐵)𝑝 ‖𝑓: 𝐿𝑝,𝜆 ‖) (𝑀𝑓(𝑥))𝑞.

19 1 𝑞. 𝜆 𝑝. 𝑞. 𝑝𝑞 𝑝 ‖). {∫ |𝐼𝛼 𝑓(𝑥)| 𝑑𝜇(𝑥)} ≤ 𝐶 (𝜇(𝐵) ‖𝑓: 𝐿 𝐵. ∫ (𝑀𝑓(𝑥))𝑝 𝑑𝜇(𝑥) 𝐵. 1 𝑞 1 𝑝 𝑞 { ∫ |𝐼𝛼 𝑓(𝑥)| 𝑑𝑥} ≤ 𝐶(‖𝑓: 𝐿𝑝,𝜆 ‖) 𝜆 𝜇(𝐵) 𝐵. ‖𝐼𝛼 𝑓: 𝐿𝑞,𝜆 (𝜇)‖ ≤ 𝐶‖𝑓: 𝐿𝑝,𝜆 (𝜇)‖. Teorema terbukti. ∎ 2.4 Perumuman Operator Integral Fraksional Perumuman. operator. integral. fraksional. yang. digunakan. untuk. membuktikan keterbatasannya diruang morrey diambil dari jurnal nakai tahun 2001, yaitu perumuman operator atau disimbolkan dengan 𝑇𝜌 𝑓 dengan suatu fungsi 𝜌: (0, ∞) → (0, ∞) dan sebarang 𝑓, didefinisikan operator 𝑇𝜌 𝑓 sebagai berikut:. 𝑇𝜌 𝑓(𝑥): = ∫ ℝ. 𝜌(𝛿(𝑥, 𝑦)) 𝑓(𝑦) 𝑑𝜇(𝑦), 𝛿(𝑥, 𝑦)𝑛. (Nakai, 2001). 𝑇𝜌 𝑓 merupakan operator integral fraksional 𝐼𝛼 𝑓, apabila 𝑇𝜌 𝑓 = 𝐼𝛼 𝑓 dan untuk 𝜌(𝑡) = 𝑡 𝛼 , 0 < 𝛼 < 𝑛. Untuk penilitian ini, diambil 𝑛 = 1 atau didimensi satu, sehingga bentuk perumuman yang digunakan,. 𝐼𝜌 𝑓(𝑥): = ∫ ℝ. 𝜌(𝛿(𝑥, 𝑦)) 𝑓(𝑦) 𝑑𝜇(𝑦), 𝛿(𝑥, 𝑦). dengan 𝑇𝜌 𝑓 = 𝐼𝛼 𝑓 untuk 𝜌(𝑡) = 𝑡 𝛼 , 0 < 𝛼 < 1, dan gunawan, 2000).. 1. 1. − 𝑞 = 𝛼, (Hendra 𝑝.

20 2.5 Syarat Cukup dan Perlu Untuk membuktikan keterbatasan operator integral fraksional, digunakan syarat perlu dan cukup. Terdapat teorema yang memuat syarat cukup dan perlu pada keterbatasan potensial Riesz di ruang Morrey klasik. Teoremanya yaitu,. Teorema 2.4 𝑛. Misalkan 0 < 𝜆 < 𝑛 − 𝛼 𝑝dan 1 < 𝑝 < 𝜶 . Syarat perlu dan cukup untuk keterbatasan 𝐼𝛼 𝑓 dari ruang 𝐿𝑝,𝝀 ke ruang 𝐿𝒒,𝝀 adalah. 1 𝑞. =. 1 𝑝. −. 𝜶 𝑛−𝝀. , (Utoyo,. dkk:2012 : 228-229). 2.6 Perintah Allah untuk Mengembangkan Ilmu Pada pembahasan sebelumnya telah dijelaskan tentang perintah berfikir di dalam al-Quran. Selanjutnya akan dibahas bahwa setiap manusia memiliki kewajiban untuk memperdalam ilmu dan kemudian membagikannya kepada sesama, sehingga ilmu pun akan terus mengalami perkembangan. Karena ilmu, seseorang dapat memahami berbagai macam dan mendapatkan kedudukan di kalangan manusia serta di sisi Allah. BerikutHadits yang menjelaskannya: ِ ِ ِ ِ ِ ِ ٍ ِ‫ِ ب ِن مال‬ ‫ك‬ َ ْ ِ َ‫ص بْ ُن ُسلـَيْ َما َن َح َّدثـَنَا كـَثْيـُر بْ ُن شنـْظيْ ٍر َع ْن ُم َح َّمد بْ ِن شيْ ِريْ َن َع ْن أن‬ ُ ْ‫َح َّدثـَنَا ه َش ُام بْ ُن َع َّما ٍر َحدََّثـَنَا َحفـ‬ ِ ِ ‫ب الـْعِلـِْم فـَِريْضـَةٌ َعلـَى كـُِل‬ َ َ‫ قـ‬: ‫ال‬ َ َ‫قـ‬ َ ‫ال َر ُس ْو ُل الله‬ ُ َ‫ص َّل اللهُ َعلـَْيه َو َسلـََّم طـَلـ‬ ِِ ِ ِِ ِ ِِ ِ ‫ب‬ َ ‫ُم ْسل ٍم َو َو‬ َ ‫اض ُع الـْعلـْم عنـْ َد غـَْي ِر ْأهله كـَ ُمقـَلـد الـْ َخنـَازيْ ِر الـْ َج ْوَهَر َواللـُّْؤلـَُؤ َوالذَّ َه‬ Artinya : Hisyam bin ‘Ammar menceritakan kepada kami, Hafs bin Sulaiman menceritakan kepada kami, Katsir bin Syindzir menceritakan kepada kami dari Muhammad bin Syirin, dari Anas bin Malik berkata, Rasulullah SAW. bersabda : “Mencari ilmu itu wajib bagi setiap muslim, dan orang yang meletakkan ilmu pada selain ahlinya bagaikan menggantungkan permata mutiara dan emas pada babi hutan”. (HR. Ibnu Majjah). ,(Software CD, al-kutub at-tis’ah)..

21 Dari hadits di atas, menuntut ilmu itu wajib, ilmu itu luas, ilmu itu banyak, tiada batasnya. Sehingga manusia yang memiliki akal diwajibkan untuk belajar tanpa henti dalam mengembangkan ilmu dan kemudian membagikan kepada sesama hingga Allah yang berkehendak menghentikan nafas hidupnya. Begitu pula dengan keterbatasanperumuman operator integral fraksional. yang terus. dilakukan perkembangan untuk mendapatkan penemuan-penemuan baru sehingga. dapat digunakan dalam kehidupan sehari-hari. Sehingga kajian keterbatasan perumuman. operator. integral. fraksional. merupakan. salah. implementasi dari hasil berfikir dalam mengembangkan ilmu.. satu. bentuk.

BAB III PEMBAHASAN. 3.1 Syarat Perlu Keterbatasan Perumuman Operator Integral Fraksional Pada Ruang Morrey Klasik Untuk membuktikan keterbatasan operator integral fraksional, digunakan syarat perlu dan cukup. Operator dikatakan terbatas apabila dibuktikan secara biimplikasi yaitu “jika dan hanya jika”. Syarat perlu pada keterbatasan apabila memenuhi, Teorema 3.1 1. 1. Misalkan 𝑎, 𝑟 ∈ ℝ, 1 < 𝑝 < 𝑞 < ∞ , 𝑝 − 𝑞 = 𝛼, dan. 𝜆 𝑝. 𝜇. = 𝑞 . Terdapat. konstanta C > 0 sehingga 𝐼𝜌 𝑓 terbatas di 𝐿𝑝,𝜆 (𝜇) 𝑘𝑒 𝐿𝑞,𝜇 (𝜇). Dengan Dengan 𝜌(𝑟) ≤ 𝐶 ∫𝐵. 𝜌(𝑟) 𝑟. 𝑑𝑟 ≤ 𝐶 𝜌(𝑟). Jika ‖𝐼𝜌 𝑓: 𝐿𝑞,𝜇 ‖ ≤ 𝐶 ‖𝑓: 𝐿𝑝,𝜆 ‖ maka 𝜇(𝐵) ≤. 𝐶𝑟 𝑠 . Bukti : Dengan memanfatkan ketaksamaan Hardy-Littlewood-Sobolev pada ruang morrey klasik, maka ‖𝐼𝜌 𝑓: 𝐿𝑞,𝜇 ‖ ≤ 𝐶 ‖𝑓: 𝐿𝑝,𝜆 ‖ 1 𝑞. 1 𝑝. 𝑠𝑢𝑝 𝑠𝑢𝑝 𝑞 (𝑟 −𝜇 ∫ | 𝐼𝜌 𝑓(𝑥)| 𝑑𝜇(𝑥)) ≤ 𝐶 (𝑟 −𝜆 ∫ |𝑓(𝑥)|𝑝 𝑑𝜇(𝑥)) 𝐵(𝑎, 𝑟) 𝐵(𝑎, 𝑟) 𝐵 𝐵 Ambil f sebagai fungsi karakteristik pada bola B (a,r), maka. 22.

23 1 𝑞. 1 𝑝. 𝑠𝑢𝑝 𝑠𝑢𝑝 𝑞 −𝜇 (𝑟 ∫ | 𝐼 𝒳 (𝑥)| 𝑑𝜇(𝑥)) ≤ 𝐶 (𝑟 −𝜆 ∫ |𝒳𝐵 (𝑥)|𝑝 𝑑𝜇(𝑥)) 𝜌 𝐵 𝐵(𝑎, 𝑟) 𝐵(𝑎, 𝑟) 𝐵 𝐵 1 𝑞. 1 𝑝. 𝑠𝑢𝑝 𝑠𝑢𝑝 𝑞 −𝜇 −𝜆 (𝑥)| 𝑑𝜇(𝑥)) ≤ 𝐶 𝐵(𝑎, 𝑟) (𝑟 ∫𝐵 | 𝐼𝜌 𝒳𝐵 𝐵(𝑎, 𝑟) (𝑟 ∫𝐵 𝑑𝜇(𝑥)) 1 𝑞. 1. 𝑠𝑢𝑝 𝑠𝑢𝑝 𝑞 𝑝 −𝜇 (𝑥)| 𝑑𝜇(𝑥)) ≤ 𝐶 (𝑟 ∫ | 𝐼 𝒳 (𝑟 −𝜆 𝜇(𝐵(𝑎, 𝑟))) 𝜌 𝐵 𝐵(𝑎, 𝑟) 𝐵(𝑎, 𝑟) 𝐵 Dengan menggunkan lemma 2.1 maka, 1 𝑞. (𝑟. −𝜇. 𝑞. ∫ | 𝐼𝜌 𝒳𝐵 (𝑥)| 𝑑𝜇(𝑥)) ≤ 𝐶 (𝑟. −𝜆. 1 𝑝. 𝜇(𝐵(𝑎, 𝑟))). 𝐵 1 𝑞. 𝑞. (𝑟. −𝜇. 1. 𝜌(𝛿(𝑥, 𝑦))𝒳𝐵 (𝑦) 𝑝 ∫ |∫ 𝑑𝜇(𝑦)| 𝑑𝜇(𝑥)) ≤ 𝐶 (𝑟 −𝜆 𝜇(𝐵)) 𝛿(𝑥, 𝑦) 𝐵 𝐵 1. 𝑞. 1. 𝑞 𝜌(𝑟)𝒳𝐵 (𝑦) 𝑝 −𝜇 (𝑟 ∫ |∫ 𝑑𝜇(𝑦)| 𝑑𝜇(𝑥)) ≤ 𝐶 (𝑟 −𝜆 𝜇(𝐵)) 𝑟 𝐵 𝐵 1 𝑞. 𝑞. (𝑟. −𝜇. ∫ |𝑟. 𝛼−1. ∫ 𝒳𝐵 (𝑦) 𝑑𝜇(𝑦)| 𝑑𝜇(𝑥)) ≤ 𝐶 (𝑟. 𝐵. −𝜆. 𝜇(𝐵)). 𝐵 1 𝑞. 1. 𝑝 (𝑟 −𝜇 ∫ |𝑟 𝛼−1 𝜇(𝐵)|𝑞 𝑑𝜇(𝑥)) ≤ 𝐶 (𝑟 −𝜆 𝜇(𝐵)). 𝐵 1 𝑞. (𝑟. −𝜇 𝑞(𝛼−1). 𝑟. ∫. |𝜇(𝐵)|𝑞. 𝑑𝜇(𝑥)) ≤ 𝐶 (𝑟. −𝜆. 1 𝑝. 𝜇(𝐵)). 𝐵. 𝑟. 𝜇 𝛼−1− 𝑞. 1 𝑞. (∫. |𝜇(𝐵)|𝑞. 𝑑𝜇(𝑥)) ≤ 𝐶 (𝑟. −𝜆. 𝜇(𝐵)). 𝐵. 𝑟. 𝛼−1−. 𝜇 𝑞. 𝑞. 1 𝑞. (𝜇(𝐵) 𝜇(𝐵)) ≤ 𝐶. (𝑟. −𝜆. 𝜇(𝐵)). 1 𝑝. 1 𝑝. 1 𝑝.

24. 𝑟. 𝛼−1−. 𝜇 𝑞. 1+. 𝜇(𝐵). 1 𝑞. ≤𝐶. (𝑟. −𝜆. 1. Dengan mengalikan kedua ruas dengan. 1. 𝜇(𝐵)). 1 𝑝. maka,. 𝜇(𝐵)𝑝. 𝑟. 𝛼−1−. 𝜇 𝑞. 1 1 𝑞 𝑝. 1+ −. 𝜇(𝐵) 𝜆. ≤ 𝐶𝑟. 𝜆 𝑝. −. 𝜇. Menggunakan kondisi dimana 𝑝 = 𝑞 maka, 𝑟. 𝛼−1−. 𝜆 𝑝. 1 1 𝑞 𝑝. 1+ −. 𝜇(𝐵). 1 1 𝑞 𝑝. 1+ −. 𝑟 𝛼−1 𝜇(𝐵). ≤ 𝐶𝑟. 𝜆 𝑝. −. ≤𝐶. Dengan mengalihkan kedua ruas dengan 𝑟 1−𝛼 maka diperoleh, 1 1 𝑞 𝑝. 1+ −. 𝜇(𝐵) 𝜇(𝐵). 𝑝𝑞+𝑝−𝑞 𝑝𝑞. ≤ 𝐶𝑟 1−𝛼 ≤ 𝐶𝑟 1−𝛼 𝑝𝑞. Dengan memangkatkan kedua ruas dengan 𝑝𝑞+𝑝−𝑞 maka diperoleh hasil, 𝑝𝑞(1−𝑎). 𝜇(𝐵) ≤ 𝐶𝑟 𝑝𝑞+𝑝−𝑞 𝜇(𝐵) ≤ 𝐶𝑟 𝑠 Dimana s =. 𝑝𝑞(1−𝑎) 𝑝𝑞+𝑝−𝑞. , dengan demikian terbukti bahwa terdapat C > 0. sedemikian sehingga berlaku ‖𝐼𝑎 𝑓: 𝐿𝑞,𝜇 ‖ ≤ 𝐶 ‖𝑓: 𝐿𝑝,𝜆 ‖ maka 𝜇(𝐵) ≤ 𝐶𝑟 𝑠 . 3.2 Syarat Cukup Keterbatasan Perumuman Operator Integral Fraksional Pada Ruang Morrey Klasik Untuk membuktikan keterbatasan operator integral fraksional, digunakan syarat perlu dan cukup. Operator dikatakan terbatas apabila dibuktikan secara biimplikasi yaitu “jika dan hanya jika”. Syarat cukup pada keterbatasan apabila memenuhi,.

25 Teorema 3.2 𝑎, 𝑟 ∈ ℝ, 1 < 𝑝 < 𝑞 < ∞,. Misalkan. 1 𝑝. 1. 𝜆. 𝜇. − 𝑞 = 𝛼, dan 𝑝 = 𝑞 .. Terdapat. konstanta C > 0 sehingga 𝐼𝜌 𝑓 terbatas di 𝐿𝑝,𝜆 (𝜇) 𝑘𝑒 𝐿𝑞,𝜇 (𝜇). Dengan 𝜌(𝑟) ≤ 𝐶 ∫𝐵. 𝜌(𝑟) 𝑟. 𝑑𝑟 ≤ 𝐶 𝜌(𝑟). Jika 𝜇(𝐵) ≤ 𝐶𝑟 𝑠 maka ‖𝐼𝜌 𝑓: 𝐿𝑞,𝜇 ‖ ≤ 𝐶 ‖𝑓: 𝐿𝑝,𝜆 ‖.. Bukti :. 𝐼𝜌 𝑓(𝑥) =. ∫. 𝜌(𝛿(𝑥, 𝑦)) 𝑑𝜇(𝑦) + 𝛿(𝑥, 𝑦). 𝑓(𝑦). 𝛿(𝑥,𝑦)<𝑟. ∫. 𝑓(𝑦). 𝛿(𝑥,𝑦)≥𝑟. 𝜌(𝛿(𝑥, 𝑦)) 𝑑𝜇(𝑦) 𝛿(𝑥, 𝑦). = 𝐼(𝑥) + 𝐼𝐼(𝑥). |𝐼(𝑥)| = |. ∫. 𝑓(𝑦). 𝛿(𝑥,𝑦)<𝑟. ≤. ∫ |𝑓(𝑦)| 𝛿(𝑥,𝑦)<𝑟. ≤. 𝜌(𝛿(𝑥, 𝑦)) 𝑑𝜇(𝑦)| 𝛿(𝑥, 𝑦). 𝜌(𝛿(𝑥, 𝑦)) dμ(y) 𝛿(𝑥, 𝑦). |𝑓(𝑦)|. ∫ 1 2. 𝜌(𝛿(𝑥, 𝑦)) 𝑑𝜇(𝑦) + 𝛿(𝑥, 𝑦). 𝛿(𝑥,𝑦)< 𝑟. ≤. |𝑓(𝑦)|. ∫ 1 4. 𝜌(𝛿(𝑥, 𝑦)) 𝑑𝜇(𝑦) + 𝛿(𝑥, 𝑦). 𝛿(𝑥,𝑦)< 𝑟. +. ∫ 1 𝑟≤𝛿(𝑥,𝑦)<𝑟 2. |𝑓(𝑦)|. ∫. |𝑓(𝑦)|. 1 𝑟≤𝛿(𝑥,𝑦)<𝑟 2. ∫. 𝜌(𝛿(𝑥, 𝑦)) 𝑑𝜇(𝑦) 𝛿(𝑥, 𝑦). |𝑓(𝑦)|. 1 1 𝑟≤𝛿(𝑥,𝑦)< 𝑟 4 2. 𝜌(𝛿(𝑥, 𝑦)) 𝑑𝜇(𝑦) 𝛿(𝑥, 𝑦). 𝜌(𝛿(𝑥, 𝑦)) 𝑑𝜇(𝑦) 𝛿(𝑥, 𝑦).

26. ≤. 𝜌(𝛿(𝑥, 𝑦)) 𝑑𝜇(𝑦) + 𝛿(𝑥, 𝑦). |𝑓(𝑦)|. ∫ 1 8. 𝛿(𝑥,𝑦)< 𝑟. +. |𝑓(𝑦)|. ∫ 1 1 𝑟≤𝛿(𝑥,𝑦)< 𝑟 4 2. +. |𝑓(𝑦)|. ∫ 1 𝑟≤𝛿(𝑥,𝑦)<𝑟 2. ∞. ≤𝐶∑. |𝑓(𝑦)|. ∫. 𝑘=1 1 ≤𝛿(𝑥,𝑦)< 1 2𝑘 𝑟 2𝑘−1 𝑟. |𝑓(𝑦)|. ∫. 𝑘=−∞ 2𝑘 𝑟≤𝛿(𝑥,𝑦)<2𝑘+1 𝑟 1. ≤𝐶 ∑ 𝑘=−∞. 𝜌(2𝑘 𝑟) (2𝑘 𝑟). 2𝑘 𝑟. 1. ≤ 𝐶 ∑ 𝜌(𝑟) 𝑘=−∞ 1. ≤ 𝐶𝜌(𝑟) ∑ 𝑘=−∞. ≤ 𝐶𝑟 𝛼 𝑀𝑓 𝑞−𝑝. ≤ 𝐶𝑟 𝑝𝑞 𝑀𝑓. 𝜌(𝛿(𝑥, 𝑦)) 𝑑𝜇(𝑦) 𝛿(𝑥, 𝑦). 𝜌(𝛿(𝑥, 𝑦)) 𝑑𝜇(𝑦) 𝛿(𝑥, 𝑦). 𝛿(𝑥,𝑦)<2𝑘+1 𝑟. = 𝐶 ∑ (2𝑘+1 𝑟)−1 ∫ 𝑘=−∞. 𝜌(𝛿(𝑥, 𝑦)) 𝑑𝜇(𝑦) 𝛿(𝑥, 𝑦). |𝑓(𝑦)|𝑑𝜇(𝑦). ∫. 2𝑘+1 𝑟. 1. 1 1 𝑟≤𝛿(𝑥,𝑦)< 𝑟 8 4. 𝜌(𝛿(𝑥, 𝑦)) 𝑑𝜇(𝐵) 𝛿(𝑥, 𝑦). 𝜌(𝛿(𝑥, 𝑦)) 𝑑𝜇(𝑦) 𝛿(𝑥, 𝑦). 1. ≤𝐶 ∑. |𝑓(𝑦)|. ∫. 𝜌(𝑟) 𝑑𝑟 𝑟. 1 𝜇(𝐵(𝑥, 2𝑘+1 𝑟)). 1 𝜇(𝐵(𝑥, 2𝑘+1 𝑟)). ∫. |𝑓(𝑦)|𝑑𝜇(𝑦). 𝛿(𝑥,𝑦)<2𝑘+1 𝑟. |𝑓(𝑦)|𝑑𝜇(𝑦). ∫. 𝐵(𝑥,2𝑘+1 𝑟). ∫. |𝑓(𝑦)|𝑑𝜇(𝑦). 𝐵(𝑥,2𝑘+1 𝑟).

27 Sehingga, 𝑞−𝑝. |𝐼(𝑥)| ≤ 𝐶𝑟 𝑝𝑞 𝑀𝑓 Selanjutnya,. |𝐼𝐼(𝑥)| = |. ∫. 𝑓(𝑦). 𝛿(𝑥,𝑦)≥𝑟. 𝜌(𝛿(𝑥, 𝑦)) 𝑑𝜇(𝑦)| 𝛿(𝑥, 𝑦). ∫ |𝑓(𝑦)|. ≤. 𝛿(𝑥,𝑦)≥𝑟. ≤. 𝜌(𝛿(𝑥, 𝑦)) 𝑑𝜇(𝑦) 𝛿(𝑥, 𝑦). |𝑓(𝑦)|. ∫ 𝛿(𝑥,𝑦)≥2𝑟. +. 𝜌(𝛿(𝑥, 𝑦)) 𝑑𝜇(𝑦) 𝛿(𝑥, 𝑦). |𝑓(𝑦)|. ∫ 2𝑟≤𝛿(𝑥,𝑦)≤𝑟. ≤. |𝑓(𝑦)|. ∫ 𝛿(𝑥,𝑦)≥4𝑟. +. 𝜌(𝛿(𝑥, 𝑦)) 𝑑𝜇(𝑦) 𝛿(𝑥, 𝑦). |𝑓(𝑦)|. ∫ 4𝑟≤𝛿(𝑥,𝑦)≤2𝑟. +. 𝜌(𝛿(𝑥, 𝑦)) 𝑑𝜇(𝑦) 𝛿(𝑥, 𝑦). |𝑓(𝑦)|. ∫ 2𝑟≤𝛿(𝑥,𝑦)≤𝑟. 𝜌(𝛿(𝑥, 𝑦)) 𝑑𝜇(𝑦) 𝛿(𝑥, 𝑦). 𝜌(𝛿(𝑥, 𝑦)) 𝑑𝜇(𝑦) 𝛿(𝑥, 𝑦). ∞. ≤∑. |𝑓(𝑦)|. ∫. 𝑘=0 2𝑘 𝑟≤𝛿(𝑥,𝑦)≤2𝑘+1 𝑟. ∞. ≤∑ 𝐵=0. 𝜌(2𝑘 𝑟) (2𝑘 𝑟). 𝜌(𝛿(𝑥, 𝑦)) 𝑑𝜇(𝑦) 𝛿(𝑥, 𝑦). ∫ 𝛿(𝑥,})≤2𝑘+1 𝑟. |𝑓(𝑦)|𝑑𝜇(𝑦).

28 ∞. 2𝑘+1 𝑟. ≤ ∑(2𝑘 𝑟)−1 ∫ 2𝑘 𝑟. 𝑘=0. 𝜌(𝑟) 𝑑𝑟 𝑟. |𝑓(𝑦)|𝑑𝜇(𝑦). ∫ 𝛿(𝑥,𝑦)≤2𝑘+1 𝑟 1 𝑝. ∞. ≤ 𝐶𝜌(𝑟) ∑(2𝑘 𝑟)−1 ( 𝑘=0. 1 𝑞. |𝑓(𝑦)|𝑝 𝑑𝜇(𝑦)) (. ∫ 𝛿(𝑥,𝑦)<2𝑘+1 𝑟. 𝛿(𝑥,𝑦)<2𝑘+1 𝑟 1 𝑝. ∞. ≤ 𝐶∑( 𝑘=0. ∞. 1 𝑞. |𝑓(𝑦)|𝑝 𝑑𝜇(𝑦)) (. ∫. 1𝑞 𝑑𝜇(𝑦)). ∫. 𝛿(𝑥,𝑦)<2𝑘+1 𝑟. 1𝑞 𝑑𝜇(𝑦)) 𝜌(𝑟) (2𝑘 𝑟)−1. ∫ 𝛿(𝑥,𝑦)<2𝑘+1 𝑟. 1 𝑝. 𝜆. ≤ 𝐶 ∑ 𝜇(𝐵)𝑝 (𝜇(𝐵)−𝜆 𝑘=0. 1 𝑞. |𝑓(𝑦)|𝑝 𝑑𝜇(𝑦)) (. ∫ 𝛿(𝑥,𝑦)<2𝑘+1 𝑟. ∫. 1𝑞 𝑑𝜇(𝑦)). 𝛿(𝑥,𝑦)<2𝑘+1 𝑟. 𝜌(𝑟)(2𝑘 𝑟)−1 𝜆 𝑝. 𝑝,𝜆 (𝜇)‖𝜇(𝐵). ≤ 𝐶‖𝑓: 𝐿. ∞ 𝑘+1. ∑ 𝜇(𝐵(𝑥, 2. 1 𝑞. 𝑟)) 𝜌(𝑟). 𝑘=0 𝑠. 1 𝜇(𝐵(𝑥, 2𝑘+1 𝑟)). 𝜆. −𝑠. ≤ 𝐶𝑟 𝛼 𝑟 𝑞 𝜇(𝐵)𝑝 ‖𝑓: 𝐿𝑝,𝜆 ‖ ≤ 𝐶𝑟. −. 𝑝 𝑝𝑞. 𝜆. 𝜇(𝐵)𝑝 ‖𝑓: 𝐿𝑝,𝜆 ‖. Maka, |𝐼𝜌 𝑓| ≤ |𝐼(𝑥) + 𝐼𝐼(𝑥)| 𝑞−𝑝. |𝐼𝜌 𝑓| ≤ 𝐶𝑟 𝑝𝑞 𝑀(𝑓) + 𝐶𝑟 𝑞−𝑝. Jika dipilih 𝑟 > 0 ∋ 𝐶𝑟 𝑝𝑞 𝑀(𝑓) = 𝐶𝑟. −. 𝑞−𝑝. 𝐶𝑟 𝑝𝑞 𝑀(𝑓) = 𝐶𝑟 𝑞−𝑝. 𝑟 𝑝𝑞 𝑟. −. 𝑝 𝑝𝑞. 𝑝 𝑝𝑞. −. −. 𝑝 𝑝𝑞. 𝜆. 𝜇(𝐵)𝑝 ‖𝑓: 𝐿𝑝,𝜆 ‖. 𝜆. 𝜇(𝐵)𝑝 ‖𝑓: 𝐿𝑝,𝜆 ‖ maka,. 𝑝 𝑝𝑞. 𝜆. 𝜇(𝐵)𝑝 ‖𝑓: 𝐿𝑝,𝜆 ‖ 𝜆. 𝜇(𝐵)𝑝 ‖𝑓: 𝐿𝑝,𝜆 ‖ = 𝐶( ) 𝑀𝑓.

29 𝜆. 𝑟. 𝑞−𝑝 𝑝 −(− ) 𝑝𝑞 𝑝𝑞. 𝜇(𝐵)𝑝 ‖𝑓: 𝐿𝑝,𝜆 ‖ = 𝐶( ) 𝑀𝑓 𝜆. 𝜇(𝐵)𝑝 ‖𝑓: 𝐿𝑝,𝜆 ‖ 𝑟 =𝐶( ) 𝑀𝑓 1 𝑝. 𝑝. 𝜆. 𝜇(𝐵)𝑝 ‖𝑓: 𝐿𝑝,𝜆 ‖ 𝑟 =𝐶( ) 𝑀𝑓 𝑝. 𝜆 𝑝. |𝐼𝜌 𝑓| ≤ 𝐶 (. 𝑝,𝜆. 𝜇(𝐵) ‖𝑓: 𝐿 𝑀𝑓. ‖. ) 𝑀𝑓 𝑝. 𝜆 𝑝. 𝑝,𝜆. = 𝐶 (𝜇(𝐵) ‖𝑓: 𝐿. ‖) (𝑀𝑓)1−𝑝. 𝜆. 𝑝. 𝜆. 𝑝𝑞. 𝑝. = 𝐶 (𝜇(𝐵)𝑝 ‖𝑓: 𝐿𝑝,𝜆 ‖) (𝑀𝑓)𝑞 |𝐼𝜌 𝑓|𝑞 ≤ 𝐶 (𝜇(𝐵)𝑝 ‖𝑓: 𝐿𝑝,𝜆 ‖). (𝑀𝑓)𝑝. 𝑝𝑞. 𝜆. ∫ |𝐼𝜌 𝑓|𝑞 𝑑𝜇(𝑥) = 𝐶 (𝜇(𝐵)𝑝 ‖𝑓: 𝐿𝑝,𝜆 ‖) 𝜇. (𝑀𝑓)𝑝 𝑑𝜇(𝑥). ∫ 𝜇(𝐵). 𝑝𝑞. 𝜆. ≤ 𝐶 (𝜇(𝐵)𝑝 ‖𝑓: 𝐿𝑝,𝜆 ‖) 𝜆. = 𝐶𝐵𝜇(𝐵)𝑝 (‖𝑓: 𝐿𝑝,𝜆 ‖). (‖𝑓: 𝐿𝑝,𝜆 ‖) 𝑝(1+𝑞). 𝑞 𝑝. 𝜆. 𝑝( ). 𝜆. 𝑞. ≤ 𝐶𝜇(𝐵)𝑝 (‖𝑓: 𝐿𝑝,𝜆 ‖) = 𝐶𝜇(𝐵)𝑝 (‖𝑓: 𝐿𝑝,𝜆 ‖) 1 𝑞 1 𝑝 𝑞 { ∫ |𝐼𝛼 𝑓| 𝑑𝜇(𝑥)} ≤ 𝐶(‖𝑓: 𝐿𝑝,𝜆 ‖) 𝜇 𝜇(𝐵) 𝜇. ‖𝐼𝜌 𝑓: 𝐿𝑞,𝜇 ‖ ≤ 𝐶‖𝑓: 𝐿𝑝,𝜆 ‖. 𝑝.

30 Dengan demikian terbukti bahwa terdapat 𝐶 > 0 sedemikian sehingga berlaku ‖𝐼𝜌 𝑓: 𝐿𝑞,𝜇 ‖ ≤ 𝐶‖𝑓: 𝐿𝑝,𝜆 ‖ dengan syarat 𝜇(𝐵) ≤ 𝐶𝑟 𝑠 . Contoh 3.1 5. Himpunan 𝐻(𝑥) = {𝑥 ∈ ℝ: ‖𝑥‖ < 1}. Dimana 𝑓(𝑥) =. {𝑥 4. 0,. ,. 𝑥 ∈𝐻 , maka 𝑥∉𝐻. 𝐼𝑎 𝑓(𝑥) terbatas dari ruang 𝐿4,0.25 (𝜇) ke 𝐿8,0.25 (𝜇). Bukti : 𝑓 ∈ 𝐿4,0.25 (𝜇) maka ‖𝑓‖𝐿4,0.25 < ∞ sehingga, 1 4. ‖𝑓‖𝐿4,0.25 = sup (∫ |𝑓(𝑥)|4 𝑑𝜇(𝑥) + ∫ |𝑓(𝑥)|4 𝑑𝜇(𝑥)) 𝐵. 𝐵𝑐. 𝐵. 1 4. = sup (∫ |5𝑥 −4 |4 𝑑𝜇(𝑥)) 𝐵. 𝐵. 1 5 = sup − |𝑥|−4 | 5 𝐵 −∞. = sup −1 𝐵. = −1 ‖𝑓‖𝐿2,0.25 < ∞. Karena ‖𝑓‖𝐿4,0.25 < ∞, maka akan ditunjukan bahwa 𝐼𝑎 𝑓 ∈ 𝐿8,0.25 (𝜇) dengan 𝐼𝑎 𝑓(𝑦) < ∞. 𝐼𝑎 𝑓(𝑦) = ∫ ℝ. 𝜌(𝛿(𝑥, 𝑦))𝑓(𝑥) 𝑑𝜇(𝑥) 𝛿(𝑥, 𝑦). 𝜌(𝛿(𝑥, 𝑦)) 𝑓(𝑥) 𝜌(𝛿(𝑥, 𝑦)) 𝑓(𝑥) 𝑑𝜇(𝑥) + ∫ 𝑑𝜇(𝑥) =∫ 𝛿(𝑥, 𝑦) 𝛿(𝑥, 𝑦) 𝐵𝑐 𝐵.

31 𝜌(𝛿(𝑥, 𝑦)) 5𝑥 −4 𝜌(𝛿(𝑥, 𝑦))5𝑥 −4 𝑑𝜇(𝑥) + ∫ 𝑑𝜇(𝑥) =∫ 𝛿(𝑥, 𝑦) 𝛿(𝑥, 𝑦) 𝐵𝑐 𝐵. = ∫ 5𝑥 −4 𝜌(𝛿(𝑥, 𝑦))𝛿(𝑥, 𝑦)𝑎−1 𝑑𝜇(𝑥) 𝐵. = ∫‖𝑥‖<1 5𝑥 −4 𝜌(𝛿(𝑥, 𝑦))𝛿(𝑥, 𝑦)𝑎−1 𝑑𝜇(𝑥). (1). Jika 𝑦 = 0 maka persamaan (1) menjadi 5𝑥 −4 𝜌(𝛿(𝑥, 0))𝛿(𝑥, 0)−1 𝑑𝜇(𝑥). 𝐼𝑎 𝑓(0) = ∫. ‖𝑥‖<1. Misal 𝛿(𝑥, 0) = 𝑟 → 𝑑𝜇(𝑥) = 𝑑𝑟 sehingga, 1. 𝐼𝑎 𝑓(0) ≤ ∫ 5𝑟 𝑎−5 𝑑𝑟 0. ≤. 1 1 5𝑟 𝑎−5 | 0 𝑎−5. ≤. 5 𝑎−5. Berdasarkan teorema 3.2 maka, 5 1 8. = −. −5. 40 < ∞ 31. 40. Karena𝐼𝑎 𝑓(𝑦) ≤ − 31 < ∞ untuk 𝑦 = 0 maka, ‖𝐼𝑎 𝑓: 𝐿8,0.25 (𝜇)‖ = sup 𝑟. 0,25 − 8. 𝐵. 1 8. (∫ |𝐼𝑎 𝑓(𝑦)|8 𝑑𝜇(𝑦)) 𝐵 1. 8 40 8 = sup (∫ |− | 𝑑𝜇(𝑦)) 31 𝐵 𝐵. = sup − 𝐵. 40 𝜇(𝐵) 31. = 𝐶 sup − 𝐵. 40 𝜇 31.

32 Sedemikian sehingga, ‖𝐼𝑎 𝑓: 𝐿8,0.25 (𝜇)‖ = 𝐶 sup − 𝐵. 40 𝜇 < ∞, 31. Jadi 𝐼𝑎 𝑓(0) ∈ 𝐿8,0.25 (𝜇). Jika 𝑦 ∈ ℝ maka persamaan (1) menjadi, 5𝑥 −4 𝜌(𝛿(𝑥, 𝑦))𝛿(𝑥, 𝑦)−1 𝑑𝜇(𝑥). 𝐼𝑎 𝑓(𝑦) = ∫. ‖𝑥‖<1. 5𝑥 −4 𝜌(𝛿(𝑥, 0))𝛿(𝑥, 0)−1 𝑑𝜇(𝑥). ≤∫ ‖𝑥‖<1. 5𝑥 −4 𝜌(𝛿(0, 𝑦))𝛿(0, 𝑦)−1 𝑑𝜇(𝑥). + ∫. ‖𝑥‖<1. = −. 40 + 𝛿(0, 𝑦)𝑎−1 31 7. Karena 𝛿(0, 𝑦) = |𝑦|, dan 𝑎 − 1 = − 8, 7 4 𝐼𝑎 𝑓(𝑦) = − + |𝑦|−8 < ∞. 7. Karena 𝐼𝑎 𝑓(𝑦) < ∞ untuk 𝑦 ∈ ℝ maka, ‖𝐼𝑎 𝑓: 𝐿8,0.25 (𝜇)‖ = sup 𝑟. 0,25 − 8. 𝐵. 1 8. (∫ |𝐼𝑎 𝑓(𝑦)|8 𝑑𝜇(𝑦)) 𝐵 1 8. 8. = sup (∫ |− 𝐵. 𝐵. 40 + |𝑦|𝑎−1 | 𝑑𝜇(𝑦)) 31 1. 8 40 −7 = sup (𝜇(𝐵) + ∫ |𝑦| 𝑑𝜇(𝑦)) 𝐵 31 𝐵 1. 40 1 8 = sup (𝜇(𝐵) − ) < ∞ 6 𝐵 31 1. 40 1 8 ‖𝐼𝑎 𝑓: 𝐿𝑝 (𝑢)‖ ≤ sup (𝜇(𝐵) − ) < ∞, 6 𝐵 31.

33 Jadi 𝐼𝑎 𝑓(𝑦) ∈ 𝐿8,0.25 (𝜇). Berdasarkan hasil di atas bahwa 𝐼𝑎 𝑓 ∈ 𝐿8,0.25 (𝜇) dan 𝑓 ∈ 𝐿4,0.25 (𝜇) maka terbukti bahwa 𝐼𝑎 𝑓 terbatas dari ruang 𝐿4,0.25 (𝜇) ke 𝐿8,0.25 (𝜇)..

BAB IV PENUTUP. 4.1 Kesimpulan Berdasarkan pembahasan pada bab sebelumnya, diperoleh hasil bahwa untuk 𝜌(𝑡) = 𝑡 𝛼 , 0 < 𝛼 < 1. Perumuman operator integral fraksional 𝐼𝜌 𝑓 yang didefinisikan sebagai:. 𝐼𝜌 𝑓(𝑥): = ∫ ℝ. 𝜌(𝛿(𝑥, 𝑦)) 𝑓(𝑦) 𝑑𝜇(𝑦), 𝛿(𝑥, 𝑦). merupakan operator yang terbatas berdasarkan syarat perlu yaitu jika 𝐼𝜌 𝑓 terbatas di. 𝐿𝑝,𝜆 (𝜇) 𝑘𝑒 𝐿𝑞,𝜇 (𝜇).. memenuhi 𝜌(𝑟) ≤ 𝐶 ∫𝐵. Dengan 𝜌(𝑟) 𝑟. 𝜌(𝑟) = 𝑟 𝛼 ,. 1 𝑝. 1. − 𝑞 = 𝛼,. dan. 𝜆 𝑝. 𝜇. = 𝑞,. ≤ 𝐶 𝜌(𝑟), maka 𝜇(𝐵) ≤ 𝐶𝑟 𝑠 , dan berdasarkan. syarat cukup yaitu jika 𝜇(𝐵) ≤ 𝐶𝑟 𝑠 , maka 𝐼𝜌 𝑓 terbatas di 𝐿𝑝,𝜆 (𝜇) 𝑘𝑒 𝐿𝑞,𝜇 (𝜇). Dengan 𝜌(𝑟) = 𝑟 𝛼 ,. 1 𝑝. 1. − 𝑞 = 𝛼, dan. 𝜆 𝑝. 𝜇. = 𝑞 memenuhi 𝜌(𝑟) ≤ 𝐶 ∫𝐵. 𝜌(𝑟) 𝑟. ≤. 𝐶 𝜌(𝑟). Sehingga dari kedua syarat tersebut maka perumumn operator integral fraksional terbatas diruang morrey klasik jika dan hanya jika, 𝜇(𝐵) ≤ 𝐶𝑟 𝑠 . 4.2 Saran Berdasarkan pembahasan di atas, disarankan untuk penelitian selanjutnya dapatdilakukan pembuktian keterbatasan perumaman operator menggunakan syarat perlu dan cukup pada ruang companato.. 34.

DAFTAR PUSTAKA Adams, David R dan Hedberg L.I. 1996. Function Spaces and Potential Theory. Springer-Verlag Berlin Heidelberg. Bartle, Robert G. 1995. The Elements of Integration and Lebesgue Measure. John Willey & Sons, Inc. Chiarenza ,F & Fraca, M. 1987. Morrey Spaces and Hardy-littlewood Maximal Function. Rend Mat 7:273-279. Darmawijaya, Soeparna. 2007. Pengantar Analisis Abstrak. Yogyakarta: Universitas Gadjah Mada.. Nakai, E. 2001. Hardy-Littlewood maximal operator, singular integral operators and the Riesz potentials on generalized Morrey spaces.Math. Nachr 166: 95-103. Papadimitrakis, M. 2004. Measure Theory. New York: Crete University. Stein, E.M. 1993. Harmonic Analysis: real variable methods, orthogonality, and oscillatory integrals. New Jersey: Princenton University Press. Software CD, al-kutub at-tis’ah Utoyo M.I, dkk. 2012. Syarat Perlu dan Cukup untuk Ketrbatasan Potensial Riez di Ruang Morrey Klasik. Utoyo M.I. 2016. Ketrbatasan Perumuman Operator Integral Fraksional Di Ruang Lebesgue Pada Ruang Kuasi Metrik Tak Homogen, Seminar Nasional Matematika X Universitas Negeri Semarang. Wheeden, R.L., Zygmund, A. 2015. Measure and Integral: An Introduction to Real Analysis, Second Edition. Boca Raton: CRC Press/Chapman and Hall.. 35.

RIWAYAT HIDUP. Kurnia Shinta Latusindah, lahir di Sidoarjo pada 30Agustus 1997. Biasa dipanggil Nia ketika di lingkungan kampus, sedangkan di lingkungan rumah dipanggil Tutus. Merupakan anak terakhir dari tiga bersaudara pasangan Bapak Imam dan Ibu Reno.. Pendidikan dasarnya ditempuh di SDN Sumorame selama empat tahun, kemudian pindah ke SDN Sugihwaras ketika kelas 5, hingga pada kelas 5 semester 2, kemudian pindah ke SDN Durung Bedug selama satu semester, setelah itu pindah kembali ke SDN Sugihwaras ketika kelas 6 dan lulus pada tahun 2009. Setelah itu melanjutkan sekolah di SMPN 2 Sidoarjo dan lulus pada tahun 2012. Pendidikan selanjutnya ditempuh di SMAN 1 Sidoarjo jurusan IPA dan lulus pada tahun 2015. Selanjutnya pada tahun yang sama melanjutkan kuliah di Universitas Islam Maulana Malik Ibrahim Malang jurusan matematika murni..