Bab XX Vektor (1)

www.purwantowahyudi.com - 1

BAB XX. VEKTOR

A Definisi Vektor :

Vektor adalah besaran yang mempunyai besar dan arah. Vektor PQ mempunyai titik pangkal P dan titik ujung Q.

Q

a

P

B. Beberapa pengertian vektor :

1. Vektor posisi adalah suatu vektor yang titik awalnya di 0.

Jika A(x,y,z) maka OA = a =   

 

  

 

z y x

dan

|a| = x2  y2 z2

2. Vektor satuan adalah suatu vektor panjangnya satu. Vektor arah sumbu x, sumbu y dan sumbu z

berturut-turut adalah :

i =   

 

  

 

0 0 1

; j =   

 

  

 

0 1 0

dan k =   

 

  

 

1 0 0

3. Vektor posisi adalah suatu vektor yang titik awalnya di 0.

Dua buah vektor dikatakan sama jika kedua vektor itu mempunyai besar dan arah yang sama.

  

 

  

 

1 1 1

z y x

=   

 

  

 

2 2 2

z y x



1 1 1

z y x

  

2 2 2

z y x

C. Operasi Vektor

1. Penjumlahan dan pengurangan vektor

a  b =   

 

  

 

3 2 1

a a a



  

 

  

 

3 2 1

b b b

=

  

 

  

 

  

3 3

2 2

1 1

b a

b a

b a

untuk penjumlahan :

R a  b

b P Q a

a + b = PQ + QR = PR

2. Perkalian skalar dengan vektor

k a = k   

 

  

 

3 2 1

a a a

=   

 

  

 

3 2 1

ka ka ka

3. Besar atau panjang vektor a. |a| = 32

2 2 2

1 a a

a  

b. Jika P (a₁,a₂,a₃) dan Q (b₁,b₂,b₃) maka

|PQ| = (b₁ a₁) (b₂ a₂) (b₃a₃)

4. Perbandingan

m P n

A Q

p =

n m

b m a n

 

a p b

www.purwantowahyudi.com - 2 D. Perkalian Skalar dua Vektor

. a. b = |a| |b| cos

a



b

 menyatakan sudut yang dibentuk oleh vektor a dan b

Jika a =   

 

  

 

3 2 1

a a a

dan b =   

 

  

 

3 2 1

b b b

maka

a. b = a₁b₁a₂b₂ a₃b₃

E. Besar sudut antara dua Vektor

cos =

| | . | |

. b a

b a

=

2 3 2 2 2 1 2 3 2 2 2 1

3 3 2 2 1 1

. b b b

a a a

b a b a b a

  



 

; 0   180 0

F. Proyeksi Ortogonal suatu vektor pada vektor : Salah satu kegunaan dari perkalian scalar adalah untuk menentukan proyeksi ortogonal dari suatu vektor pada vector lain

1. Proyeksi skalar ortogonal

A a

 b

0 c C B

|OC| = |c| = | |

. b b a

 Proyeksi skalar ortogonal a

pada b

Proyeksi skalar juga disebut panjang proyeksi

2. Proyeksi vektor ortogonal

Proyeksi vektor ortogonal a pada b adalah :

|c| = _

     

2 | |

. b b a

. b

Proyeksi vektor juga disebut vector poyeksi

G. Rumus-rumus tambahan :

1. |a+ b| = 2(a2 b2)|ab|2

bukti :

|ab|2a2 b2 2|a||b|cos

|ab| 2 2 2| || |cos b a b

a   ….(1)

|ab|2a2 b2 2|a||b|cos  2|a||b|cos = _a2 _b2  2

|

|ab …(2)

Substitusi (2) ke (1)

|ab| 2 2 2 2 2 | |a b b

a b

a     

= 2 2 2 | | ) (

2 a b  ab

2. |a- b| = 2(a2 b2)|ab|2

bukti :

| |2 2 2 2| || |cos

b a b

a b

a   

|ab| a2 b2 2|a||b|cos ….(1)

|ab|2a2 b2 2|a||b|cos

 2|a||b|cos = a2 b2  |ab|2 …(2)

Substitusi (2) ke (1)

|ab| a2 b2 a2 b2|ab|2

= 2(a2 b2)|ab|2