MATEMATIKA 1 NEW

MATEMATIKA 1

Ronny Susetyoko,

S.Si., M.Si.

Materi

 _{Fungsi-fungsi di bidang teknik:}

bilangan dan interval, konsep dasar fungsi, beberapa fungsi di bidang teknik.

 _{Fungsi Trigonometri: derajat dan}

radian, perbandingan trigonometri, fungsi sinus, cosinus dan tangent, identitas trigonometri, pemodelan gelombang menggunakan sin t dan cos t, persamaan trigonometri.

 _{Diferensial: pendekatan grafik}

untuk diferensial, limit fungsi, kekontinyuan, diferensial fungsi

aljabar, diferensial beberapa fungsil perkalian dan pembagian, diferensial fungsi implisit, titik optimum

(maksimum dan minimum) dari fungsi dengan satu atau lebih peubah bebas, diferensial parsial.

 _{Integral: integral tak tentu, integral}

parsial, integral fungsi-fungsi trigonometri, integral pecahan parsial, integral rangkap dua atau lebih, integral tutup (teorema

Green).

_{Aljabar Matriks : definisi determinan,}

notasi determinan, minor dan kofaktor, nilai determinan, aturan Sarrus, Ekspansi Laplace, penggunaan determinan untuk menyelesaikan sistem persamaan linier, sifat-sifat determinan, operasi matriks, jenis-jenis matriks, matriks transpose, invers matriks, penyelesaian sistem

persamaan linier, metode Eliminasi Gauss, nilai eigen dan vector eigen, beberapa aplikasi matriks untuk teknik elektronika.

_{Vektor: definisi, notasi, aljabar vector,}

hokum-hukum vector, vector satuan,

komponen-komponen vector, translasi dan rotasi vektor, dot product, cross product, triple product.

_{Bilangan kompleks: bentuk-bentuk}

bilangan kompleks, Teorema D'Moivre theorem, operasi bilangan kompleks, sifat-sifat bilangan kompleks, hokum-hukum bilangan kompleks, aljabar phasor.

_{Aljabar Matriks : definisi determinan,}

notasi determinan, minor dan kofaktor, nilai determinan, aturan Sarrus, Ekspansi Laplace, penggunaan determinan untuk menyelesaikan sistem persamaan linier, sifat-sifat determinan, operasi matriks, jenis-jenis matriks, matriks transpose, invers matriks, penyelesaian sistem

persamaan linier, metode Eliminasi Gauss, nilai eigen dan vector eigen, beberapa aplikasi matriks untuk teknik elektronika.

Vektor: definisi, notasi, aljabar vector, hokum-hukum vector, vector satuan,

komponen-komponen vector, translasi dan rotasi vektor, dot product, cross product, triple product.

_{Bilangan kompleks: bentuk-bentuk}

bilangan kompleks, Teorema D'Moivre theorem, operasi bilangan kompleks, sifat-sifat bilangan kompleks, hokum-hukum bilangan kompleks, aljabar phasor.

Referensi & Pembobotan Nilai

1) Croft A., Robert D.& Martin H., 2001, Engineering Mathematics : A Foundation for Electronic,

Electrical, Communications and Systems Engineers, Prentice Hall.

2) Kreyszig E., 1988, Advanced Engineering Mathemetics, Sixth Edition, John Willey & Sons

3) Purcell EI., 1984, Calculus with Analytic Geometry, Forth Edition, Prentice-Hall Inc.

4) Spiegel MR & Wospakrik HJ,1991,

Analisis Vektor, Erlangga, Jakarta.

5) Anton HA., 2000, Elementary Linear Algebra, 8th Edition, John

Wiley & Sons.

6) Stroud, KA, Engineering Mathematics, Fifth Edition,

UTS; 40.00% Tugas; 20.00% UAS; 40.00%

Pembobotan Nilai Akhir

FUNGSI-FUNGSI

DI BIDANG TEKNIK

Pendahuluan

_{Suatu fungsi f dari X ke Y adalah suatu aturan di mana setiap}

anggota dari X menentukan dengan tunggal satu anggota dari Y.

_{X dibawa ke f(x), maka y = f(x) didalam Y dinamakan peta}

(image) dari x atau dinamakan harga fungsi f di x.

_{Sebaliknya himpunan x di dalam X yang petanya adalah y elemen}

Y dinamakan peta invers (invers image) dari y, simbol f-1(y).

Fungsi dapat digunakan untuk mendeskripsikan perubahan kuantitas, sebagai contoh:

_{Variasi/karakteristik tegangan yang melaluisebuah komponen}

elektronik terhadap waktu

_{Variasi/karakteristik posisi motor listrik terhadap waktu}

_{Variasi/karakteristik kekuatan sinyal terhadap posisi atau waktu}

Pandang Hukum Ohm : V = I R

Bilangan & Interval

_{Bilangan dapat dikelompokkan dalam beragam kelas atau}

himpunan.

Bilangan bulat (integer), Z : { …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …} Bilangan natural, N: {0, 1, 2, 3, …}

Bilangan bulat positif, N+ : {1, 2, 3, …}

Bilangan rasional (p/q), Q : 5/2, 45/1234,-1/7, dll.

Bilangan irrasional (tidak dpt diekspresikan dalam p/q) : p, √2,

dll.

Bilangan riil, R : 1.53, 0.00012876, dll.

Bilangan kompleks, Z : 3 + 2j, 3 + j2, 3 + 2i, dll.

_{Kadang-kadang kita hanya mengamati pada bagian kecil saja}

atau interval tertentu dari suatu garis bilangan riil. Contoh:

interval [1, 3]  1 ≤ x ≤ 3 Interval (1, 3)  1 < x < 3 Interval [1, 3)  1 ≤ x < 3

Ilustrasi Interval

Konsep Dasar Fungsi

_{Contoh :}

Diberikan f(x) = 2x +1

Tentukan f(3), f(0), f(-1), f(a), f(t), f(t+3), f(3t/2-t)

Diberikan f(x) = (3-x)/(x2+1)

Tentukan f(3), f(0), f(-1), f(a), f(t), f(t+3), f(3t/2-t)

_{Argument adalah input suatu fungsi} Contoh : y(t) = t2 + t

Tentukan y(t + 2), y(t/2), y(2-t2)

Variabel Bebas dan Tak

Bebas

_{Variabel x dalam pasangan berurutan (x,y)}

disebut variabel bebas (independent variable) atau argumen dari f, sedangkan y dinamakan variabel tak bebas (dependent variable).

_{Dalam pemakaian, domain dari variabel}

disajikan dengan interval ( himpunan bagian dari himpunan real).

_{Interval : buka, tutup-buka, buka-tutup, tutup.}

Grafik Fungsi

Contoh

Contoh

Soal-soal

Definisi parametrik sebuah fungsi

_{Kadang-kadang penting untuk}

mengekspresikan koordinat x dan y dari variabel ketiga yang disebut sebagai

parameter.

 _{Umumnya kita menggunakan t atau q} sebagai notasi parameter

_{Contoh : x = t}2 _{y = 2t , 0 ≤ t ≤ 5}

Plot titik-titik (x,y)

15

Penggabungan operasi dua fungsi

secara berututan akan menghasilkan

sebuah fungsi baru. Penggabungan

tersebut disebut

komposisi fungsi

dan

hasilnya disebut fungsi komposisi.

Jika h(x) = 2x dan g(x) = x

2

maka

y(x) = 2x

2

= 2(g(x)) = h(g(x))

Jika f(t) = 2t + 3 dan g(t) = (t + 1)/2

Tentukan f(g(t)) dan g(f(t))

16

x



A dipetakan oleh f ke y



B

ditulis f : x → y atau y = f(x)

y



B dipetakan oleh g ke z



C

ditulis g : y → z atau z = g(y)

atau z = g(f(x))

17

maka fungsi yang memetakan

x



A ke z



C

adalah komposisi fungsi f dan

g

ditulis (g o f)(x) = g(f(x))

A

B

C

x

f

y

g

z

18

contoh 1

f : A → B dan g: B → C

didefinisikan seperti pada

gambar

Tentukan (g o f)(a) dan (g o f)

(b)

A

B

C

19

Jawab:

A

B

C

a

b

p

q

1

2

3

f

g

f(a) = 1 dan g(1) = q

Jadi (g o f)(a) = g(f(a)) =

g(1) q

20

A

B

C

a

b

p

q

1

2

3

f

g

f(b) = 3 dan g(3) = p

Jadi (g o f) = g(f(b)) = g(3)

= p

21

contoh 2

Ditentukan g(f(x)) = f(g(x)).

Jika f(x) = 2x + p dan

22

Jawab:

f(x) = 2x + p dan g(x) = 3x + 120

g(f(x)) = f(g(x))

g(2x+ p) = f(3x + 120)

3(2x + p) + 120 = 2(3x +

120) + p

6x + 3p + 120 = 6x + 360 +

p

23

Sifat Komposisi Fungsi

1.Tidak komutatif:

f o g ≠ g o f

2. Bersifat assosiatif:

f o (g o h) = (f o g) o h = f

o g o h

3. Memiliki fungsi identitas:

I(x) = x

Invers Fungsi

_f(f-1(x)) = f-1(f(x)) = x

_{Contoh :}

f(x) = 5x maka f-1(x) = x/5 f(x) = 2x + 1, tentukan f-1(x) g(x) = (x-1)/2, tentukan g-1(x)

Fungsi Kontinyu & Kontinyu sebagian-sebagian

Fungsi Periodik

Soal-soal

FUNGSI-FUNGSI

TRIGONOMETRI

Derajat dan Radian

LIMIT & KEKONTINUAN

Pemanasan

Matematika 1 - bangrs 31

Jika

Tentukan :

2

x

3

x

1

x

2

x

3

)

x

(

f

₂ 2











)

x

(

f

lim

)

A

(

3 x  

)

x

(

f

lim

)

B

(

1 x  

Definisi

_{f(x) dikatakan mempunyai limit L untuk}

x  x₀, bila setiap bilangan positif h yang diberikan, dapat ditunjukkan bilangan positif  sedemikian hingga untuk semua harga x yang memenuhi 0 < |x – x₀| <  berlaku

|f(x) – L| < h.

Pernyataan 0 < |x – x₀| <  berarti untuk semua x yang memenuhi x₀ –  < x < x₀ + 

Ilustrasi

Contoh

Kontinuitas

Kontinuitas

Fungsi f(x) adalah kontinu di titik x = x₀ jika limit kiri dan limit kanan dari f(x) adalah sama. Fungsi f(x) adalah kontinu di titik x = x₀, bila

untuk setiap h > 0 dapat dicari bilangan

positif  sedemikian hingga |f(x) – f(x₀)| < h untuk |x – x₀| <  atau x₀ –  < x < x₀ + .

Soal-soal

DIFERENSIAL

(Turunan)

Turunan Fungsi Aljabar

Secara Geometri

Turunan Baku

Fungsi dari Suatu Fungsi

Perkalian & Pembagian

Contoh

Soal-soal

_{Bagaimana jika fungsinya lebih dari dua?} _{Contoh :}

y = uvw y = uv/w y = u/vw y = tu/vw Dll.

di mana t, u, v, w adalah fungsi dalam x.

_{Solusi : memakai turunan logaritmik (natural)}

Contoh

Soal-soal Terapan

Fungsi Implisit

_{Jika y terdefinisi sepenuhnya oleh x maka y} disebut fungsi eksplisit dari x.

Contoh :

 y = x4 – 3x2 + 1  Y = 3x2 + cos x

_{Kadang tidak dapat/tidak perlu y dipisah}

sendiri, maka y disebut fungsi implisit dari x. Contoh :

 y = xy + sin y – 2  x2 + 2xy + 3y2 = 4

Contoh :

Soal-soal Campuran

Titik Balik (maks/Min)

_{Macam-macam :} Titik maksimum Titik minimum Titik belok

_{Titik balik : turunan pertama = nol} _{Turunan kedua :}

Negatif  titik maksimum Positif  titik minimum Nol  titik belok

Ilustrasi

Soal-soal

Soal cerita

Turunan Parsial

_{Misal z = f(x,y) = x}2-4xy+y3

Variabel x dan y merupakan fungsi dari variabel

z

Variabel z bergantung pada variabel x dan y Variabel z dipengaruhi oleh variabel x dan y

_{Bagaimana perubahan z terhadap x jika y}

konstan?

_{Bagaimana perubahan z terhadap y jika x}

konstan?

_{Bagaimana perubahan z thd y, kemudian thd x}

Matematika 1 - bangrs 60

y x x z 4 2     2 3

4x y

y z     



4 3 2



4

Soal-soal

_Tentukan

_{Tentukan nilai a dan b berdasarkan}

informasi data sampel berpasangan (x,y).

Matematika 1 - bangrs 61

3

2 _{4 )}

(

z

xy x

w  

3

3 2 2 _{4 )}

(

z xy x

w  

3 3 2

2 4 _{) (3 2 )}

( yz yz x z xy x w    2 1 )

( _{i i}

n

i

bx a

y

E 



 

 z y x w d x y w y x w d z w y w x w             

 2 2 3

, ,

, ,

INTEGRAL

Apa beda sigma & integral?

Integral Baku

Contoh



2

sinh

xdx



2

cosh

x



c

Matematika 1 - bangrs 65



e5xdx  e5x  c

5 1



x6dx  x7  c

7 4 4 c x dx x dx

x 



 



2 3 2 1 3 2



dx  x  c

x 5ln

5 c dx x x  

Fungsi Suatu Fungsi Linier

Integral dalam bentuk

f’(x)/f(x) dan f(x)f’(x)

Soal-soal

Integral Parsial

Contoh

Soal-soal

Integral Dengan Pecahan Parsial

Contoh

Contoh

Soal-soal

Integral Lipat Dua

DETERMINAN

Ronny Susetyoko

Definisi

_{Asumsikan A adalah suatu matriks bujur} sangkar, fungsi determinan, det(A) adalah jumlah semua hasil kali dasar bertanda dari A.

atau

_{Determinan ordo n ialah suatu skalar} yang terkait dengan sebuah matriks bujur sangkar A yang berordo n.

_{Notasi :}

det(A) atau |A| atau |a_ij|

Contoh

Minor & Kofaktor Determinan

_{Jika A adalah suatu matriks bujur} sangkar, maka Minor elemen a_ij (M_ij) didefinisikan sebagai determinan sub-matriks yang masih tersisa setelah baris ke-i dan kolom ke-j dihilangkan

_{Kofaktor elemen aij dinyatakan sebagai} k_ij = (-1)i+j M_ij

Menghitung Minor dan Kofaktor

Beda Kofaktor & Minor

Matematika 1 - bangrs 82

Kofaktor dan minor suatu elemen a_ij hanya

Nilai Determinan

Matematika 1 - bangrs 83

Nilai Determinan

Matematika 1 - bangrs 84

b). Ekspansi Laplace (n >= 3)

Nilai determinan adalah jumlah

perkalian elemen-elemen dari

Contoh :

Matematika 1 - bangrs 85

_{Dari soal sebelumnya,}

Ekspansi Laplace baris ke – 1 :

Coba gunakan ekspansi Laplace pada baris-baris atau kolom-kolom yang lain, kemudian bandingkan hasilnya!

_{Tips :} Pilih baris atau kolom yang banyak

Sifat-Sifat Determinan

Matematika 1 - bangrs 86

1. det(A) = 0 jika dalam suatu baris/kolom

semua elemennya nol

Sifat-Sifat Determinan

Matematika 1 - bangrs 87

3). Nilai determinan menjadi k kali bila dalam satu baris/kolom dikalikan dengan k (suatu skalar).

Sifat-Sifat Determinan

Matematika 1 - bangrs 88

4. det(A) = 0 jika 2 baris/kolom sebanding.

Sifat-Sifat Determinan

Matematika 1 - bangrs 89

6). Nilai determinan tidak berubah jika baris/kolom ke – i ditambah k kali baris/kolom ke – j.

Dari soal sifat 6), baris 1 ditambah 3 kali baris 2 :

7). Elemen sebuah baris/kolom memuat 2 buah suku maka determinan tersebut

Teorema

_{Jika A adalah matriks segitiga n x n} (segitiga atas, segitiga bawah, atau diagonal), maka det(A) adalah hasil kali elemen-elemen diagonal utamanya, yaitu det(A) = a₁₁a₂₂...a_nn .

Catatan

Untuk mempermudah perhitungan nilai determinan, dapat menggunakan sifat-sifat tersebut.

Contoh

Sifat-Sifat Lain

Matematika 1 - bangrs 92

 _{Jika A dan B adalah matriks bujur} sangkar dengan ukuran yang sama, maka det(AB) = det(A) det(B).

 _{Suatu matriks bujur sangkar ada} inversnya jika det(A) 0.

Manfaat

_{penyelesaian sistem persamaan linier} _{menghitung matriks invers}

_{menentukan karakteristik suatu sistem} linier

Penyelesaian Sistem Persamaan Linier

Sistem Persamaan Linier Berbentuk Ax = x

Banyak aplikasi aljabar linier yang membahas masalah sistem n persamaan linier dalam n peubah yang dinyatakan dalam bentuk :

Ax = x

{A matriks bujur sangkar, x vektor, dan  suatu skalar}

Sistem ini merupakan sistem linier homogen tersamar, karena dapat ditulis ulang sebagai :

Ax = x  Ax – x = 0 atau dengan menyelipkan matriks identitas dan memfaktor-kannya :

(A - I )x = 0 *)

Contoh

Yang Menarik?

Matematika 1 - bangrs 97

_{Masalah utama yang menarik dalam sistem linier}

*) adalah menentukan nilai-nilai di mana sistem tersebut mempunyai suatu penyelesaian tak-trivial. Nilai  disebut suatu nilai karakteristik atau nilai eigen dari A. Maka penyelesaian tak trivial dari *) disebut vektor eigen dari A yang berpadanan dengan.

_{Sistem (A -} _{I )x = 0 mempunyai penyelesaian}

tak trivial jika dan hanya jika :

 _{ disebut persamaan karakteristik}

_{Catatan :} eigen value_{, campuran bahasa Jerman &}

Soal Latihan

Soal Latihan

Soal Latihan

MATRIKS

Definisi

Matematika 1 - bangrs 102

Operasi Matriks



Penjumlahan (syarat : ordo sama)



Perkalian skalar dengan matriks



Perkalian matriks

(syarat : jumlah kolom matriks-1 = jumlah baris matriks-2)

Hukum-Hukum

1. A(B + C) = AB + AC H. Distributif I 2. (A + B)C = AC + AB H. Distributif II 3. A(BC) = (AB)C  H. Asosiatif

4. AB BA  general

5. AB = 0  tidak harus A = 0 atau B = 0 atau A & B nol.

6. Jika AB = AC  belum tentu AB = AC atau B = C

Jenis-Jenis Matriks

Matematika 1 - bangrs 105

1. Matriks Bujur sangkar (jumlah baris = jumlah kolom)

Jenis-Jenis Matriks

Jenis-Jenis Matriks

Jenis-Jenis Matriks

Jenis-Jenis Matriks

Jenis-Jenis Matriks

Jenis-Jenis Matriks Yang Lain

 _{Matriks Bidiagonal Atas}  _{Matriks Bidiagonal Bawah}  _{Matriks Tridiagonal}

 Matriks Hermitian  _{Matriks Singular}  _dll.

Penyelesaian Sistem Persamaan Linier

_{Metode grafis ( maksimum 3 variabel)} _Eliminasi

_Subtitusi

_Determinan

_{Eliminasi Gauss} _Gauss-Jordan _Gauss-Seidel _Dll.

Operasi Dasar

_{Operasi Dasar Persamaan}

Pertukaran tempat dua persamaan

Perkalian persamaan dengan konstanta bukan nol Penjumlahan kelipatan persamaan yang satu ke

persamaan lain

Operasi Dasar Baris

Pertukaran tempat dua baris

Perkalian baris dengan konstanta bukan nol

Penjumlahan kelipatan baris yang satu dengan yang

lain.

_{Juga disebut Operasi Baris Elementer (OBE)}

Rank (Pangkat) Matriks

Banyaknya vektor baris yang bebas linier dalam

suatu matriks

Banyaknya maksimum vektor-vektor kolom

yang bebas linier dalam suatu matriks

Jika matriks bujur sangkar : ordo minor terbesar

suatu matriks yang determinannya tidak nol.

Kebebasan dan ketidakbebasan linier

_{Bebas linier jika p baris mempunyai rank p.} Tidak bebas linier jika rank < p.

Solusi Sistem Persamaan Linier

_{Tidak mempunyai solusi jika matriks A dan} matriks augmented A mempunyai rank yang sama.

_{Solusi tunggal, jika rank-nya sama dengan} jumlah variabel ( r = n).

_{Jika r < n maka sistem mempunyai solusi tak} berhingga.

_{Jika solusi ada maka dapat diselesaikan} dengan Eliminasi Gauss.

Penerapan

_{Soal-soal terapan H. Kirrchoff I dan II ( T.} Elektronika)

_{Transformasi Linier}

Curve Fititing (Interpolasi & Regresi Linier) _{Markov Chains}

_{Programa Linier}

_{Assignment (Penugasan)} _Database

_{Analisis Komponen Utama (termasuk} Trans.Linier)

_Catt. Lebih detail akan dijelaskan di mata

kuliah Aljabar Matriks.

Eliminasi Gauss

_{Eliminasi Gauss merupakan pengembangan} dari dari cara eliminasi, yaitu menghilangkan atau mengurangi jumlah variabel sehingga dapat diperoleh nilai dari suatu variable

bebas. Cara eliminasi ini sudah banyak dikenal. Untuk menggunakan metode

eliminasi Gauss ini, terlebih dahulu bentuk matrik diubah menjadi augmented matrik .

Augmented Matrix

VEKTOR

BILANGAN KOMPLEKS