Sudoku Tereduksi dan Grup Simetri Sudoku

(1)

SUDOKU TEREDUKSI DAN GRUP SIMETRI SUDOKU

PIPIN URIP KURNIASIH

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

(2)

ix

ABSTRAK

PIPIN URIP KURNIASIH. Sudoku Tereduksi dan Grup Simetri Sudoku. Dibimbing oleh TEDUH WULANDARI MAS’OED dan MUHAMMAD ILYAS.

Sudoku merupakan suatu permainan logika dalam bentuk kotak, yang terdiri dari baris, kolom dan mini grid. Dalam permainan ini, kotak-kotak yang tersedia harus diisi dengan angka dari sampai . Pada permainan ini, pemain bermain dengan cermat karena pada setiap kolom maupun baris, tidak boleh ada angka yang sama, begitu pula dengan mini grid, tidak boleh ada angka yang berulang.

Karya ilmiah ini membuktikan bahwa untuk mengetahui banyaknya kemungkinan Sudoku yang isomorfik terhadap Sudoku yang dimiliki dapat dihitung menggunakan Sudoku tereduksi.

Grup simetri Sudoku merupakan kumpulan solusi Sudoku yang mengalami operasi grup simetri. Operasi grup simetri merupakan operasi permutasi yang terdiri dari permutasi nilai, permutasi stack, permutasi band, permutasi kolom pada stack, ataupun permutasi baris pada band. Sudoku yang isomorfik terhadap Sudoku tereduksi dapat diperoleh dari hasil operasi grup simetri yang dikenakan pada Sudoku tereduksi. Total kemungkinan solusi Sudoku yang diperoleh dapat dihitung dari banyaknya Sudoku tereduksi yang dimiliki.

(3)

ABSTRACT

PIPIN URIP KURNIASIH. Reduced Sudoku and Sudoku Symmetry Group. Supervised by TEDUH WULANDARI MAS’OED and MUHAMMAD ILYAS.

Sudoku is a logic game in form of square games consisting rows, columns and mini grids. In this game, the square is filled by numbers from 1 to . At this game, the player plays the game precisely because each cell in a row or column should have a unique number. The mini grid should have no repeated numbers.

This research proves that to determine the number of the isomorphic Sudoku solutions from given Sudoku solutions can be calculated using reduced Sudoku.

Sudoku symmetry group is a collection of Sudoku solutions that is experienced symmetry group operations. Symmetry group operation is an operation permutation consisting permutation values, stack permutations, permutations band, column permutations on the stack, or row permutations of the band. The isomorphic Sudoku solutions from reduced Sudoku can be obtained from symmetry group operation imposed on Sudoku reduced. The total possible Sudoku solutions calculated from the number of given reduced Sudoku.

(4)

ix

SUDOKU TEREDUKSI DAN GRUP SIMETRI SUDOKU

PIPIN URIP KURNIASIH

Skripsi

Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar

Sarjana Sains pada

Departemen Matematika

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

(5)

Menyetujui

Pembimbing I Pembimbing IT

Teduh Wulandari Mas'oed, M.Si.

MUhaLlvas, S.si, M.Sc

NIP. 19740915 1999032001

Mengetahui

Ketua Departemen Matematika

0,

Dr.'B,erlian Setiawaty, MS .

NIP':

19650505 '1989032004

r23

OCT 2013

(6)

ix

Judul Skripsi : Sudoku Tereduksi dan Grup Simetri Sudoku

Nama

: Pipin Urip Kurniasih

NIM

: G54080018

Menyetujui

Pembimbing I

Teduh Wulandari Mas’oed

, M.Si.

NIP. 19740915 199903 2 001

Pembimbing II

Muhammad Ilyas, S.Si, M.Sc

Tanggal Lulus

: ...

Mengetahui

Ketua Departemen Matematika

(7)

PRAKATA

Puji syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT yang telah melimpahkan rahmat dan hidayah-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan karya ilmiah ini. Shalawat dan salam tetap tercurah kepada Nabi Muhammad SAW yang telah menjadi rahmat bagi seluruh alam.

Selama menyelesaikan karya ilmiah ini, penulis banyak mendapatkan bantuan, dukungan, motivasi, dan doa dari berbagai pihak. Oleh karena itu, pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih kepada:

1. Allah SWT atas segala nikmat dan karunia-Nya.

2. Bapak dan Ibu serta keluarga tercinta yang telah memberikan kasih sayang, semangat, motivasi dan doa.

3. Teduh Wulandari Mas'oed, M.Si. selaku dosen pembimbing I yang telah sabar membimbing penulis serta memberikan ilmu, semangat, motivasi dan doa.

4. Muhammad Ilyas, S.Si, M.Sc. selaku dosen pembimbing II yang memberikan ilmu, semangat, motivasi dan doa.

5. Drs. Siswandi, M.Si. selaku dosen penguji yang telah memberikan ilmu, saran, semangat dan doa.

6. semua dosen Departemen Matematika, terima kasih atas ilmu yang telah diberikan. 7. semua staf Departemen Matematika, terima kasih atas bantuan, dukungan dan doa. 8. Nur Apriandini, Novaria Yusri, Maya Widyastiti dan Aisyah Noor Rafi’ah yang telah

memberikan semangat, dukungan, motivasi dan doa.

9. Rahmalia Yuliarni dan Dimas Enggar Satria, teman-teman seperjuangan yang telah memberikan semangat, motivasi dan doa.

10. teman-teman Matematika 45 dan adik-adik Matematika 46.

11. keluarga besar Racana Surya Tirta Kencana - Inggita Puspa Kirana, UKM Pramuka IPB. 12. keluarga besar School of Universe

13. teman-teman kosan Wisma Shinta, kosan Abunawas dan kosan Ibu Sri. 14. semua pihak yang telah membantu dalam penyusunan karya ilmiah ini.

Penulis menyadari bahwa tulisan ini masih jauh dari sempurna. Penulis sangat menghargai segala kritik dan saran yang membangun. Semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi dunia ilmu pendidikan khususnya bidang matematika dan menjadi inspirasi bagi penelitian-penelitian selanjutnya.

Bogor, Agustus 2013

(8)

ix

RIWAYAT HIDUP

Pipin Urip Kurniasih dilahirkan di Banyumas pada tanggal 9 April 1990. Penulis merupakan anak kedua dari pasangan Bapak Sunarji dan Ibu Sutinah.

Pada tahun 2002 penulis bersekolah di SMP Negeri 1 Wangon. Kemudian, pada tahun 2005 penulis melanjutkan pendidikan di SMA Negeri Jatilawang. Pada tahun 2008 penulis diterima di Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Pertanian Bogor melalui jalur USMI (Undangna Seleksi Masuk IPB).

(9)

DAFTAR ISI

Halaman

DAFTAR GAMBAR ... viii

DAFTAR TABEL ... ix

DAFTAR LAMPIRAN ... ix

I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang ... 1

1.2 Tujuan Penelitian ... 1

II TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Definisi 1 (Sudoku) ... 1

2.2 Definisi 2 (Permutasi) ... 5

2.3 Definisi 3 (Operasi Permutasi) ... 9

III PEMBAHASAN 3.1 Sudoku Tereduksi ... 12

3.2 Grup Simetri Sudoku ... 15

3.3 Isomorfik... 16

IV SIMPULAN DAN SARAN 4.1 Simpulan ... 19

4.2 Saran ... 19

DAFTAR PUSTAKA ... 19

(10)

ix

DAFTAR GAMBAR

Halaman

1 Bagian-bagian Sudoku... 1

2 . ... 2

3 Contoh Pengisian Sudoku berukuran ... 2

4 ... 2

5 ... 2

6 ... 3

7 . ... 3

8 . ... 3

9 . ... 3

10 ... 3

11 . ... 3

12 . ... 3

13 ... 4

14 ... 4

15 ... 4

16 . ... 4

17 . ... 4

18 . ... 4

19 ... 4

20 . ... 5

21 . ... 5

22 ... 5

23 ... 5

24 ... 5

25 . ... 5

26 Sudoku berukuran ... 6

27 Banyak permutasi nilai. ... 6

28 Banyak permutasi band. ... 7

29 Banyak permutasi stack ... 7

30 Banyak permutasi kolom pada stack 1 ... 7

31 Banyak permutasi kolom pada stack ... 8

32 Banyak permutasi baris pada band 1. ... 9

33 Banyak permutasi baris pada band . ... 9

34 Sudoku tereduksi berukuran 9 ... 10

35 Sudoku hasil permutasi nilai (2,4,6,8) (1,3,5,7,9) pada Sudoku tereduksi ... 10

36 Sudoku hasil permutasi stack (stack 2 ditukar dengan stack 3) . ... 10

37 Sudoku hasil permutasi kolom pada stack. ... 11

38 hasil permutasi band (band 2 ditukar dengan band 3) ... 11

39 Sudoku hasil permutasi baris pada band ... 11

40 Sudoku isomorfik dari Sudoku tereduksi (gambar 34) ... 11

41 Nilai-nilai di dalam . ... 12

42 Nilai-nilai di dalam meningkat. ... 13

43 Nilai-nilai di dalam meningkat. ... 14

44 ... 14

45 . ... 15

46 Sudoku tereduksi. ... 15

47 Sudoku berukuran ... 15

(11)

49 Sudoku yang isomorfik terhadap Sudoku tereduksi (Gambar 48 (i)) ... 18

DAFTAR TABEL

Halaman

1 Operasi permutasi grup simetri Sudoku ... 16 2 Operasi permutasi pada Sudoku tereduksi ... 17

DAFTAR LAMPIRAN

Halaman

(12)

1

I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Sudoku merupakan suatu permainan logika dalam bentuk kotak, yang terdiri dari baris, kolom dan mini grid. Dalam permainan ini, kotak-kotak yang tersedia harus diisi dengan angka dari sampai . Permainan sudoku umumnya dimainkan dalam ukuran . Sudoku tersebut memiliki 9 baris, 9 kolom dan 9 mini grid yang berukuran

. Dalam memainkan Sudoku ini, kotak-kotak yang tersedia harus diisi dengan angka dari 1 sampai 9. Meskipun hanya memasukkan angka-angka ke dalam kotak, namun permainan ini membutuhkan kecermatan dan ketelitian yang lebih tinggi. Hal itu dikarenakan pada setiap kolom maupun baris, tidak boleh ada angka yang sama, begitu pula dengan mini grid, tidak boleh ada angka yang berulang.

Untuk mengetahui banyaknya Sudoku yang isomorfik terhadap Sudoku yang

dimiliki, dapat dilakukan dengan cara mencari satu per satu dari semua kemungkinan yang ada. Cara tersebut efektif dilakukan jika Sudoku yang dimiliki berukuran kecil. Namun, jika Sudoku yang dimiliki berukuran besar, maka cara tersebut tidak efektif lagi untuk digunakan sehingga harus ada cara lain untuk menyelesaikan permasalahan tersebut.

Pada karya ilmiah ini, akan digunakan Sudoku tereduksi untuk mengetahui banyaknya Sudoku yang isomorfik terhadap Sudoku yang dimiliki. Sumber utama karya ilmiah ini ialah artikel yang ditulis Jones, Perkins & Roach pada tahun 2012.

1.2 Tujuan

Karya ilmiah ini bertujuan untuk mengetahui bahwa banyaknya kemungkinan Sudoku yang isomorfik terhadap Sudoku yang dimiliki dapat dihitung menggunakan Sudoku tereduksi.

II TINJAUAN PUSTAKA

Pada bab ini akan dijelaskan beberapa

definisi yang digunakan untuk membahas penelitian ini.

Definisi 1 (Sudoku)

Gambar 1 Bagian-bagian Sudoku Sudoku merupakan suatu permainan dalam bentuk kotak, yang terdiri dari

mini grid yang berukuran , di mana

. Sudoku yang seperti itu dilambangkan dengan . Band merupakan mini grid baris pada Sudoku dan

stack merupakan mini grid kolom pada

Sudoku. Sudoku terdiri dari band yang masing-masing tersusun atas mini grid horizontal dan terdiri dari stack yang masing-masing tersusun atas mini grid vertikal. Dalam permainan Sudoku, kotak-kotak yang tersedia harus diisi dengan angka dari sampai dengan ketentuan sebagai berikut: pada setiap kolom maupun baris, tidak boleh ada angka yang sama, begitu pula dengan mini grid, tidak boleh ada angka yang berulang.

Keterangan:

menyatakan banyaknya baris pada mini grid

menyatakan banyaknya kolom pada mini grid

_{menyatakan Sudoku berukuran}

yang memiliki mini grid berukuran baris dan kolom.

menyatakan banyaknya baris atau banyaknya kolom pada Sudoku, dimana merupakan hasil perkalian baris dengan kolom pada mini grid.

Contoh Sudoku berukuran

_{menyatakan Sudoku berukuran}

terdiri dari 4 mini grid yang berukuran . grid

stack

band

(13)

Sudoku ini memiliki 2 band yang masing-masing tersusun atas 2 mini grid horizontal dan terdiri dari 2 stack, yang masing-masing tersusun atas 2 mini grid vertikal.

Gambar 2

Dalam permainan Sudoku berukuran

, kotak-kotak yang tersedia harus diisi dengan angka 1 sampai 4. Pada setiap kolom, baris, maupun mini grid, tidak boleh ada angka yang berulang. Beberapa contoh pengisian Sudoku berukuran dapat dilihat pada gambar 3.

1 2 3 4

3 4 1 2

2 1 4 3

4 3 2 1

1 2 3 4

3 4 1 2

2 1 4 3

3 4 2 1

2 1 4 3

1 2 3 4

4 3 1 2

Gambar 3 Contoh Pengisian Sudoku berukuran

Setelah mengetahui definisi sudoku, stack dan band, selanjutnya akan dijelaskan tentang definisi mini grid dan grid. Mini grid dilambangkan dengan dan grid dilambangkan dengan

. Berikut akan

diberikan contoh dan

.

Keterangan:

menyatakan mini grid berukuran

baris dan kolom, terletak pada band stack .

menyatakan grid yang terletak pada

baris kolom pada mini grid berukuran baris dan kolom yang terletak pada band stack . menyatakan banyaknya baris pada mini grid

menyatakan banyaknya kolom pada mini grid

menyatakan banyaknya baris atau banyaknya kolom pada Sudoku , di mana merupakan hasil perkalian baris dengan kolom pada mini grid.

menyatakan band menyatakan stack

menyatakan baris pada mini grid menyatakan kolom pada mini grid

Seluruh mini grid pada Sudoku berukuran

,

menyatakan mini grid berukuran ,

terletak pada band stack .

Gambar 4

merupakan mini grid yang terletak pada

band stack .

Gambar 5

band stack . 4

4

2

Mini grid

band stack

2

(14)

3

Gambar 6

band stack .

Gambar 7

band stack .

Gambar 8

Seluruh grid pada Sudoku berukuran

,

baris kolom pada mini grid berukuran

yang terletak pada band stack .

Gambar 9

baris kolom pada mini grid yang terletak pada band stack .

Gambar 10

Gambar 11

Gambar 12

2

(15)

Gambar 13

Gambar 14

Gambar 15

Gambar 16

Gambar 17

Gambar 18

Gambar 19

4

2

4

2

(16)

5

Gambar 20

Gambar 21

Gambar 22

Gambar 23

Gambar 24

Gambar 25

Untuk Sudoku berukuran , sampai pelabelannya sama seperti pelabelan pada Sudoku .

(Majumder et al 2006)

Definisi 2 (Permutasi)

Permutasi adalah susunan yang dibentuk dari sekumpulan objek yang dipilih sebagian atau seluruhnya.

Contoh operasi permutasi

Berikut diilustrasikan operasi permutasi pada Sudoku berukuran .

(17)

Gambar 26 Sudoku berukuran

Permutasi nilai

Banyaknya permutasi nilai pada Sudoku berukuran , dapat dituliskan sebagai berikut.

Misal:

A menyatakan banyaknya kemungkinan nilai pada kotak 1.

B menyatakan banyaknya kemungkinan nilai pada kotak 2.

C menyatakan banyaknya kemungkinan nilai pada kotak 3.

D menyatakan banyaknya kemungkinan nilai pada kotak 4.

E menyatakan banyaknya kemungkinan nilai pada kotak 5.

F menyatakan banyaknya kemungkinan nilai pada kotak 6.

G menyatakan banyaknya kemungkinan nilai pada kotak 7.

H menyatakan banyaknya kemungkinan nilai pada kotak 8.

I menyatakan banyaknya kemungkinan nilai pada kotak 9.

adalah

Gambar 27 Banyak permutasi nilai

Permutasi band

Banyaknya permutasi band pada Sudoku berukuran , dapat dituliskan sebagai berikut.

Misal:

J menyatakan banyaknya kemungkinan kelompok nilai pada band 1.

K menyatakan banyaknya kemungkinan kelompok nilai pada band 2

L menyatakan banyaknya kemungkinan kelompok nilai pada band 3

adalah

Kotak 1

Kotak 2

Kotak 3

Kotak 4 Kotak 5 Kotak 6

Kotak 7 Kotak 8

(18)

8

Gambar 28 Banyak permutasi band

Permutasi stack

Gambar 29 Banyak permutasi stack Banyaknya permutasi stack pada Sudoku berukuran , dapat dituliskan sebagai berikut.

Misal:

M menyatakan banyaknya kemungkinan kelompok nilai pada stack 1.

N menyatakan banyaknya kemungkinan kelompok nilai pada stack 2

O menyatakan banyaknya kemungkinan kelompok nilai pada stack 3

adalah

Permutasi kolom pada stack

Banyaknya permutasi stack 1 pada Sudoku berukuran , dapat dituliskan sebagai berikut.

Misal:

M1 menyatakan banyaknya kemungkinan kelompok nilai pada kolom 1 stack 1. M2 menyatakan banyaknya kemungkinan

kelompok nilai padakolom 2 stack 1 M3 menyatakan banyaknya kemungkinan

kelompok nilai padakolom 3 stack 1

adalah

Gambar 30 Banyak permutasi kolom pada stack 1

_{stack 1}

Kolom 1 Kolom 2 Kolom 3

3 kemungkinan

2 kemungkinan

1 kemungkinan

1 kemungkinan 3 kemungkinan 2 kemungkinan

(19)

Gambar 31 Banyak permutasi kolom pada stack

Banyaknya permutasi kolom pada stack 1 telah diketahui. Untuk menghitung banyaknya permutasi kolom pada stack 2 dan stack 3, dapat dilakukan langkah yang sama seperti langkah pada stack 1. Dengan melakukan langkah yang sama, banyaknya permutasi kolom pada stack 2 diperoleh dan permutasi kolom pada stack 3 diperoleh

.

Karena permutasi semua kolom pada setiap stack telah diketahui, berarti dapat dihitung banyaknya permutasi kolom pada seluruh stack di dalam Sudoku berukuran

. Banyaknya permutasi kolom pada seluruh stack di dalam Sudoku tersebut dapat diperoleh dari hasil perkalian banyaknya permutasi kolom pada setiap stack.

Banyaknya permutasi kolom pada seluruh stack di dalam Sudoku tersebut dapat dituliskan sebagai berikut.

Misal:

S menyatakan banyaknya permutasi kolom pada stack 1.

T menyatakan banyaknya permutasi kolom pada stack 2.

U menyatakan banyaknya permutasi kolom pada stack 3.

Permutasi baris pada band

Pada Sudoku berukuran , terdapat 3 band. Pemain dapat menghitung banyaknya permutasi band tersebut.

Setelah semua band telah terisi, pemain dapat menghitung banyaknya permutasi band pada Sudoku berukuran tersebut. Banyaknya permutasi band 1 dapat dihitung dari hasil perkalian banyaknya kemungkinan yang dimiliki setiap baris band 1.

Banyaknya permutasi band 1 tersebut, dapat dituliskan sebagai berikut.

Misal:

J1 menyatakan banyaknya kemungkinan kelompok nilai pada baris 1 band 1. J2 menyatakan banyaknya kemungkinan

kelompok nilai pada baris 2 band 1 J3 menyatakan banyaknya kemungkinan

kelompok nilai pada baris 3 band 1

adalah

Banyaknya permutasi baris pada band 1 telah diketahui. Untuk menghitung banyaknya permutasi baris pada band 2 dan band 3, dapat dilakukan langkah sama seperti langkah pada band 1. Dengan melakukan langkah yang sama, banyaknya permutasi baris pada band 2 diperoleh dan permutasi baris pada band 3 diperoleh

.

(20)

10

Gambar 32 Banyak permutasi baris pada band 1

Gambar 33 Banyak permutasi baris pada band Karena permutasi semua baris pada

setiap band telah diketahui, berarti dapat dihitung banyaknya permutasi baris pada seluruh band di dalam Sudoku berukuran

. Banyaknya permutasi baris pada seluruh band di dalam Sudoku tersebut dapat diperoleh dari hasil perkalian banyaknya permutasi baris pada setiap band. Banyaknya permutasi baris pada seluruh band di dalam Sudoku tersebut dapat dituliskan sebagai berikut.

Misal:

V menyatakan banyaknya permutasi baris pada band 1.

W menyatakan banyaknya permutasi baris pada band 2.

X menyatakan banyaknya permutasi baris pada band 3.

(Itaketo 2010)

Definisi 3 (Operasi Grup Simetri)

Operasi grup simetri merupakan operasi permutasi yang terdiri dari permutasi nilai, permutasi stack, permutasi band, permutasi

kolom pada stack, ataupun permutasi baris pada band.

Di bawah ini diberikan contoh Sudoku yang dibentuk oleh operasi permutasi nilai (2,4,6,8) (1,3,5,7,9), permutasi band, permutasi stack, permutasi kolom pada stack dan permutasi baris pada band yang dikenakan pada Sudoku tereduksi. Beberapa langkah yang digunakan dalam contoh tersebut adalah sebagai berikut.

Diketahui Sudoku tereduksi berukuran

pada gambar 34.

1 2 3 4 5 6 7 8 9

4 5 6 7 8 9 1 2 3

7 8 9 1 2 3 4 5 6

2 3 1 5 6 4 8 9 7

5 6 4 8 9 7 2 3 1

8 9 7 2 3 1 5 6 4

3 1 2 6 4 5 9 7 8

6 4 5 9 7 8 3 1 2

9 7 8 3 1 2 6 4 5

Gambar 34 Sudoku tereduksi berukuran

9

band 1

2 3

1

2

1 3 1 2 3

2

band 1

band 2

band 3

1 3

(21)

Permutasi nilai

Dari Sudoku tereduksi di atas, lakukan permutasi nilai (2,4,6,8) (1,3,5,7,9) pada Sudoku tereduksi. Nilai 2 pada Sudoku tereduksi diganti menjadi nilai 4. Nilai 4 pada Sudoku tereduksi diganti menjadi nilai 6. Nilai 6 pada Sudoku tereduksi diganti menjadi nilai 8. Nilai 8 pada Sudoku tereduksi diganti menjadi nilai 2. Nilai 1 pada Sudoku tereduksi diganti menjadi nilai 3. Nilai 3 pada Sudoku tereduksi diganti menjadi nilai 5. Nilai 5 pada Sudoku tereduksi diganti menjadi nilai 7. Nilai 7 pada Sudoku tereduksi diganti menjadi nilai 9. Nilai 9 pada Sudoku tereduksi diganti menjadi nilai 1.

3 4 5 6 7 8 9 2 1

6 7 8 9 2 1 3 4 5

9 2 1 3 4 5 6 7 8

4 5 3 7 8 6 2 1 9

7 8 6 2 1 9 4 5 3

2 1 9 4 5 3 7 8 6

5 3 4 8 6 7 1 9 2

8 6 7 1 9 2 5 3 4

1 9 2 5 3 4 7 8 6

Gambar 35 Sudoku hasil permutasi nilai

(2,4,6,8) (1,3,5,7,9) pada Sudoku tereduksi

Permutasi stack

Setelah melakukan permutasi nilai, selanjutnya lakukan permutasi stack. Tukar stack 2 dengan stack 3.

3 4 5 6 7 8 9 2 1

6 7 8 9 2 1 3 4 5

9 2 1 3 4 5 6 7 8

4 5 3 7 8 6 2 1 9

7 8 6 2 1 9 4 5 3

2 1 9 4 5 3 7 8 6

5 3 4 8 6 7 1 9 2

8 6 7 1 9 2 5 3 4

1 9 2 5 3 4 7 8 6

3 4 5 9 2 1 6 7 8

6 7 8 3 4 5 9 2 1

9 2 1 6 7 8 3 4 5

4 5 3 2 1 9 7 8 6

7 8 6 4 5 3 2 1 9

2 1 9 7 8 6 4 5 3

5 3 4 1 9 2 8 6 7

8 6 7 5 3 4 1 9 2

1 9 2 7 8 6 5 3 4

Gambar 36 Sudoku hasil permutasi stack

(stack 2 ditukar dengan stack 3)

Permutasi kolom pada stack

Setelah melakukan permutasi stack, kemudian, lakukan permutasi kolom pada stack.

Pindahkan nilai-nilai kolom pada stack 2 (kolom 1 ke kolom 2, kolom 2 ke kolom 3, kolom 3 ke kolom 1). Kemudian, tukar kolom pada stack 3 (tukar kolom 1 dengan kolom 2).

3 4 5 9 2 1 6 7 8

6 7 8 3 4 5 9 2 1

9 2 1 6 7 8 3 4 5

4 5 3 2 1 9 7 8 6

7 8 6 4 5 3 2 1 9

2 1 9 7 8 6 4 5 3

5 3 4 1 9 2 8 6 7

8 6 7 5 3 4 1 9 2

1 9 2 7 8 6 5 3 4

3 4 5 1 9 2 7 6 8

6 7 8 5 3 4 2 9 1

9 2 1 8 6 7 4 3 5

4 5 3 9 2 1 8 7 6

7 8 6 3 4 5 1 2 9

2 1 9 6 7 8 5 4 3

(22)

12

Permutasi band

Selanjutnya, lakukan permutasi pada band (tukar band 2 dengan band 3).

3 4 5 1 9 2 7 6 8

6 7 8 5 3 4 2 9 1

9 2 1 8 6 7 4 3 5

4 5 3 9 2 1 8 7 6

7 8 6 3 4 5 1 2 9

2 1 9 6 7 8 5 4 3

5 3 4 2 1 9 6 8 7

8 6 7 4 5 3 9 1 2

1 9 2 7 8 6 3 5 4

3 4 5 1 9 2 7 6 8

6 7 8 5 3 4 2 9 1

9 2 1 8 6 7 4 3 5

5 3 4 2 1 9 6 8 7

8 6 7 4 5 3 9 1 2

1 9 2 7 8 6 3 5 4

4 5 3 9 2 1 8 7 6

7 8 6 3 4 5 1 2 9

2 1 9 6 7 8 5 4 3

Gambar 38 Sudoku hasil permutasi band

(band 2 ditukar dengan band 3).

Permutasi baris pada band

Setelah dilakukan permutasi band, kemudian lakukan permutasi baris pada band. Pindahkan nilai-nilai baris pada band 2 (baris 1 ke baris 2, baris 2 ke baris 3, baris 3 ke baris 1). Kemudian, tukar baris pada band 3 (tukar baris 2 dengan baris 3).

3 4 5 1 9 2 7 6 8

6 7 8 5 3 4 2 9 1

9 2 1 8 6 7 4 3 5

5 3 4 2 1 9 6 8 7

8 6 7 4 5 3 9 1 2

1 9 2 7 8 6 3 5 4

4 5 3 9 2 1 8 7 6

7 8 6 3 4 5 1 2 9

2 1 9 6 7 8 5 4 3

3 4 5 1 9 2 7 6 8

6 7 8 5 3 4 2 9 1

9 2 1 8 6 7 4 3 5

1 9 2 7 8 6 3 5 4

5 3 4 2 1 9 6 8 7

8 6 7 4 5 3 9 1 2

4 5 3 9 2 1 8 7 6

2 1 9 6 7 8 5 4 3

7 8 6 3 4 5 1 2 9

Gambar 39 Sudoku hasil permutasi baris

pada band.

Setelah dilakukan permutasi nilai, permutasi band, permutasi stack, permutasi kolom pada stack dan permutasi baris pada band yang dikenakan pada Sudoku tereduksi di atas, akhirnya diperoleh Sudoku yang isomorfik terhadap Sudoku tereduksi. Sudoku tersebut ditunjukkan pada gambar 40.

3 4 5 1 9 2 7 6 8

6 7 8 5 3 4 2 9 1

9 2 1 8 6 7 4 3 5

1 9 2 7 8 6 3 5 4

5 3 4 2 1 9 6 8 7

8 6 7 4 5 3 9 1 2

4 5 3 9 2 1 8 7 6

2 1 9 6 7 8 5 4 3

7 8 6 3 4 5 1 2 9

Gambar 40 Sudoku isomorfik dari

Sudoku tereduksi (gambar 34) (Jones & Perkins 2012)

(23)

III PEMBAHASAN

Karya ilmiah ini akan membahas

tentang Sudoku tereduksi dan Grup Simetri Sudoku dengan beberapa ilustrasinya.

3.1 Sudoku tereduksi

Sudoku tereduksi, adalah Sudoku yang mengikuti sifat-sifat berikut : 1. Nilai-nilai di dalam adalah

bentuk dari hasil perhitungan

.

2. Untuk setiap mini grid , untuk

nilai-nilai dari , untuk meningkat.

3. Untuk setiap mini grid , untuk

nilai-nilai dari , untuk meningkat.

4. Nilai dari nilai dari

untuk .

5. Nilai dari nilai dari

untuk .

Keterangan:

_{menyatakan Sudoku tereduksi}

berukuran yang memiliki mini grid berukuran

baris dan kolom.

Contoh Sudoku tereduksi berukuran

ditunjukkan sebagai berikut.

1. Nilai-nilai di dalam , mini grid berukuran yang terletak pada band stack adalah bentuk dari hasil perhitungan .

Pada perhitungan

, grid yang terletak pada baris kolom pada mini grid yang terletak pada band stack bernilai 1. Pada perhitungan

, grid

yang terletak pada baris kolom pada mini grid yang terletak pada

band stack bernilai 2. Pada

perhitungan

, grid yang terletak pada baris kolom pada mini grid yang terletak pada band stack bernilai 3.

1 2 3

4 5 6

7 8 9

Gambar 41 Nilai-nilai di dalam Selanjutnya, pada perhitungan

, grid

perhitungan

Kemudian, pada perhitungan

, grid

perhitungan

Nilai-nilai di dalam , dapat dilihat pada gambar 41.

2. Untuk setiap , mini grid berukuran yang terletak pada band stack , untuk nilai-nilai di dalam , grid yang

(24)

14

terletak pada baris kolom pada mini grid berukuran yang terletak pada band stack , untuk

meningkat.

Karena nilai-nilai di dalam

meningkat, sehingga

mengakibatkan

. Grid yang

terletak pada baris kolom pada mini grid yang terletak pada band stack nilainya lebih kecil dari grid yang terletak pada baris kolom pada mini grid yang terletak pada band stack . Grid yang terletak pada baris kolom pada mini grid yang terletak pada band stack nilainya lebih kecil dari grid yang terletak pada baris kolom

pada mini grid yang terletak pada band stack .

Nilai-nilai di dalam

meningkat, juga akan

mengakibatkan

.

Grid yang terletak pada baris kolom pada mini grid yang terletak pada band stack nilainya lebih kecil dari grid yang terletak pada baris kolom pada mini grid yang terletak pada band stack . Grid yang terletak pada baris kolom pada mini grid yang terletak pada band stack nilainya lebih kecil dari grid yang terletak pada baris kolom pada mini grid yang terletak pada band stack .

4 5 6 7 8 9

Gambar 42 Nilai-nilai di dalam meningkat

3. Untuk setiap , mini grid berukuran yang terletak pada band stack untuk nilai-nilai di dalam , grid yang terletak pada baris kolom pada mini grid berukuran yang terletak pada band stack untuk

meningkat.

Karena nilai-nilai di dalam

meningkat, sehingga

mengakibatkan

. Grid yang

terletak pada baris kolom pada mini grid yang terletak pada band stack nilainya lebih kecil dari grid yang terletak pada baris kolom pada mini grid yang terletak pada band stack . Grid yang terletak pada baris kolom pada mini grid yang terletak pada band stack nilainya lebih kecil dari grid yang terletak pada baris kolom pada mini grid yang terletak pada band stack .

meningkat meningkat

(25)

2

5

8

3

6

9

Gambar 43 Nilai-nilai di dalam meningkat

Nilai-nilai di dalam

meningkat, juga akan

mengakibatkan

.

Grid yang terletak pada baris kolom pada mini grid yang terletak pada band stack nilainya lebih kecil dari grid yang terletak pada baris kolom pada mini grid yang terletak pada band stack . Grid yang terletak pada baris kolom pada mini grid yang terletak pada band stack nilainya lebih kecil dari grid yang terletak pada baris kolom pada mini grid yang terletak pada band stack .

4. Berlaku , grid yang terletak pada baris kolom pada mini grid berukuran yang terletak pada band stack nilainya lebih kecil dari grid yang terletak pada baris kolom pada mini grid berukuran yang terletak pada

band stack , untuk

.

Pada Sudoku berukuran , berlaku . Grid yang terletak pada baris kolom pada mini grid yang terletak pada band stack nilainya lebih kecil dari grid yang terletak pada baris kolom

pada mini grid berukuran yang terletak pada band stack .

4

7

Gambar 44

5. Berlaku , grid yang terletak pada baris kolom pada mini grid berukuran yang terletak pada band stack nilainya lebih kecil dari grid yang terletak pada baris kolom pada mini grid berukuran yang terletak pada band stack , untuk

.

Pada Sudoku berukuran , berlaku . Grid

(26)

16

yang terletak pada baris kolom pada mini grid yang terletak pada band stack nilainya lebih kecil dari grid yang terletak pada baris kolom pada mini grid yang terletak pada band stack .

2

3

Gambar 45

Contoh Sudoku tereduksi ditunjukkan pada gambar 46.

1 2 3 4 5 6 7 8 9

4 5 6 7 8 9 1 2 3

7 8 9 1 2 3 4 5 6

2 3 1 5 6 4 8 9 7

5 6 4 8 9 7 2 3 1

8 9 7 2 3 1 5 6 4

3 1 2 6 4 5 9 7 8

6 4 5 9 7 8 3 1 2

9 7 8 3 1 2 6 4 5

Gambar 46 Sudoku tereduksi

3.2 Grup Simetri Sudoku

Grup simetri Sudoku merupakan kumpulan solusi Sudoku yang mengalami operasi grup simetri. Banyaknya grup simetri Sudoku dapat diperoleh dari hasil perkalian banyaknya permutasi nilai, permutasi band, permutasi stack, permutasi kolom pada stack dan permutasi baris pada band.

Berikut diberikan contoh Sudoku berukuran .

Gambar 47 Sudoku berukuran Untuk mengetahui banyaknya grup simetri Sudoku berukuran dapat diperoleh dari hasil perkalian order masing-masing permutasi berikut.

Permutasi nilai

Permutasi band

Permutasi baris pada band

Dari pembahasan di atas, jika terdapat nilai, band, stack, kolom pada

stack, dan baris pada band maka

masing-masing permutasi yang dikenakan pada Sudoku tersebut dapat dilihat pada Tabel 1.

(27)

Tabel 1 Operasi permutasi grup simetri Sudoku

Operasi Permutasi Banyaknya

Permutasi nilai

Permutasi band

Permutasi stack

Permutasi kolom pada stack Permutasi baris pada band

Dari tabel di atas dapat diperoleh lema berikut.

Lema 1

Misal diberikan Sudoku berukuran

dengan nilai, band, stack, kolom pada stack dan baris pada band maka banyaknya grup simetri Sudoku dapat dihitung dari

_.

3.3 Isomorfik

Isomorfik merupakan hubungan antara Sudoku yang belum dikenai operasi grup simetri dengan Sudoku yang telah dikenai operasi grup simetri. Sudoku yang isomorfik terhadap Sudoku tereduksi dapat diperoleh dari hasil operasi grup simetri yang dikenakan pada Sudoku tereduksi. Permutasi pada Sudoku tereduksi diasumsikan bahwa mini grid yang terletak pada band 1 stack 1 hanya dikenai permutasi nilai.

Banyaknya masing-masing permutasi pada Sudoku tereduksi dapat dituliskan sebagai berikut.

Permutasi nilai

Banyaknya permutasi nilai pada Sudoku tereduksi berukuran , dapat dituliskan sebagai berikut.

Misal:

Aa menyatakan banyaknya kemungkinan perubahan nilai pada kotak 1.

Bb menyatakan banyaknya kemungkinan perubahan nilai pada kotak 2.

Cc menyatakan banyaknya kemungkinan perubahan nilai pada kotak 3.

Dd menyatakan banyaknya kemungkinan perubahan nilai pada kotak 4.

Ee menyatakan banyaknya kemungkinan perubahan nilai pada kotak 5.

Ff menyatakan banyaknya kemungkinan perubahan nilai pada kotak 6.

Gg menyatakan banyaknya kemungkinan perubahan nilai pada kotak 7.

Hh menyatakan banyaknya kemungkinan perubahan nilai pada kotak 8.

Ii menyatakan banyaknya kemungkinan perubahan nilai pada kotak 9.

Permutasi band

Karena band 1 stack 1 tidak dikenai permutasi band maka banyaknya permutasi band diperoleh sebagai berikut.

Karena band 1 stack 1 tidak dikenai permutasi stack maka banyaknya permutasi stack diperoleh sebagai berikut.

Karena band 1 stack 1 tidak dikenai permutasi kolom pada stack, maka banyaknya permutasi stack diperoleh dari perkalian permutasi kolom pada stack 2 dan permutasi kolom pada stack 3. Banyaknya permutasi kolom pada stack diperoleh

sebagai berikut.

Permutasi kolom pada band

Karena band 1 stack 1 tidak dikenai permutasi kolom padaband, maka banyaknya permutasi band diperoleh dari perkalian permutasi baris pada band 2 dan permutasi baris pada band 3. Banyaknya permutasi baris pada band diperoleh sebagai berikut.

(28)

18

Tabel 2 Operasi permutasi pada Sudoku tereduksi

Operasi Permutasi Banyaknya Permutasi nilai

Permutasi band

Permutasi stack

Permutasi baris pada band

2

Permutasi kolom pada stack

Dari tabel di atas dapat diperoleh lema berikut.

Lema 2

Misal diberikan Sudoku berukuran

dengan nilai, band, stack, kolom pada stack dan baris pada band maka banyaknya grup simetri Sudoku tereduksi dapat dihitung dari

_.

Dengan menggunakan Lema 2, total Sudoku yang diperoleh dapat dihitung dari banyaknya Sudoku tereduksi yang dimiliki. Total perhitungan tersebut dapat dituliskan sebagai berikut.

_| _|

(1)

Teorema

Jika | | adalah banyaknya sudoku tereduksi berukuran yang memiliki mini grid berukuran , di mana

, maka | | diperoleh dari

| _| _| _|

Bukti:

Berdasarkan Lema 2 diperoleh

_Sudoku

yang isomorfik terhadap Sudoku awal. Dengan menggunakan perhitungan (1), di mana , total Sudoku yang diperoleh dapat dihitung dari banyaknya Sudoku tereduksi yang dimiliki. Total perhitungan tersebut, secara matematis dapat dituliskan sebagai berikut.

| _| _| _|

_| _|

| _|

Jadi, | | | |.

(29)

Sehingga terbukti bahwa untuk mengetahui banyaknya kemungkinan Sudoku yang isomorfik terhadap Sudoku yang dimiliki, dapat dihitung menggunakan Sudoku tereduksi.

Terbukti Untuk memahami teorema tersebut, diberikan ilustrasi berikut ini. Pada Sudoku tereduksi berukuran , terdapat beberapa kemungkinan sebagai berikut.

1 2 3 4

3 4 1 2

2 1 4 3

4 3 2 1

(i)

1 2 3 4

3 4 1 2

2 3 4 1

4 1 2 3

(ii)

1 2 3 4

3 4 2 1

2 1 4 3

4 3 1 2

(iii)

Gambar 48 Sudoku tereduksi berukuran

Jadi, banyaknya kemungkinan yang terjadi pada Sudoku tereduksi berukuran

adalah 3. Kemungkinan tersebut dapat dituliskan sebagai berikut.

| _|

Sebelum menghitung menggunakan Sudoku tereduksi, terlebih dahulu dihitung banyaknya grup simetri Sudoku. Banyaknya grup simetri Sudoku berukuran dapat dituliskan sebagai berikut.

Dari perhitungan di atas, diketahui bahwa terdapat 1536 sudoku yang isomorfik terhadap Sudoku yang dimiliki. Namun, setelah dicari satu per satu, ada Sudoku yang memiliki nilai-nilai dengan letak yang sama (gambar 49).

4 1 2 3

2 3 4 1

3 2 1 4

1 4 3 2

(i) Sudoku hasil operasi permutasi baris pada band 1

4 1 2 3

2 3 4 1

3 2 1 4

1 4 3 2

(ii) Sudoku hasil operasi permutasi baris pada band 2 dan permutasi stack

4 1 2 3

2 3 4 1

3 2 1 4

1 4 3 2

(iii) Sudoku hasil operasi permutasi kolom pada stack 1 dan stack 2, permutasi baris pada band 1, permutasi stack dan permutasi band

4 1 2 3

2 3 4 1

3 2 1 4

1 4 3 2

(iv) Sudoku hasil operasi permutasi kolom pada stack 1 dan stack 2, permutasi baris pada band 2, dan permutasi band

Gambar 49 Sudoku yang isomorfik

terhadap Sudoku

tereduksi (Gambar 48 (i))

Misal Sudoku pada gambar 48 (i) dikenai operasi permutasi. Dari gambar 49, diketahui ada Sudoku yang sama. Sehingga dari total 1536 Sudoku hasil operasi permutasi, hanya ada 96 Sudoku yang berbeda. Sudoku-sudoku tersebut ditunjukkan pada lampiran 1.

(30)

19

permutasi nilai. Dari semua operasi permutasi yang dilakukan, banyaknya grup simetri Sudoku tereduksi dapat dituliskan sebagai berikut.

Setelah melakukan perhitungan di atas, penulis dapat menghitung banyaknya Sudoku yang mungkin terjadi dari ketiga Sudoku tereduksi yang dimiliki. Jika setiap Sudoku yang tereduksi memiliki 96 Sudoku isomorfik, maka banyaknya Sudoku yang mungkin terjadi adalah . Dengan kata lain, Sudoku berukuran memiliki 288 Sudoku yang isomorfik terhadap Sudoku yang dimiliki.

IV SIMPULAN DAN SARAN

4.1 Simpulan

Karya ilmiah ini membuktikan bahwa untuk mengetahui banyaknya kemungkinan Sudoku yang isomorfik terhadap Sudoku yang dimiliki dapat dihitung menggunakan Sudoku tereduksi.

Grup simetri Sudoku merupakan kumpulan solusi Sudoku yang mengalami operasi grup simetri. Operasi grup simetri merupakan operasi permutasi yang terdiri dari permutasi nilai, permutasi stack, permutasi band, permutasi kolom pada stack, ataupun permutasi baris pada band. Sudoku yang isomorfik terhadap Sudoku tereduksi dapat diperoleh dari hasil operasi grup simetri yang

dikenakan pada Sudoku tereduksi. Total kemungkinan solusi Sudoku yang diperoleh dapat dihitung dari banyaknya Sudoku tereduksi yang dimiliki.

4.2 Saran

Karya ilmiah ini telah membahas perhitungan banyaknya kemungkinan Sudoku yang isomorfik terhadap Sudoku yang dimiliki menggunakan Sudoku tereduksi. Bagi yang berminat membuat karya ilmiah tentang Sudoku dapat mengangkat tentang algoritma, pewarnaan, maupun pengisian Sudoku menggunakan matematika diskret.

DAFTAR PUSTAKA

Itaketo UT. 2010. Application of the

Principles of Permutation and Combination (in Mathematics) in Telecommunications. International Journal of Engineering Science and Technology. 2(10):2963-2967.

Jones SK, Perkins S, Roach PA. 2012. The Structure of Reduced Sudoku Grid and the Sudoku Symmetry Group.

International Journal of

Combinatorics.doi:10.1155/2012/760310.

Majumder Abhishek et al. 2010. The Game of Sudoku-Advanced Backtrack Approach.

International Journal of Computer

Science and Network Security.

10(8):255-258.

(31)

2 3 4 1

4 1 2 3

3 2 1 4

1 4 3 2

2 3 4 1

4 1 2 3

1 4 3 2

3 2 1 4

2 3 1 4

4 1 3 2

3 2 4 1

1 4 2 3

2 3 1 4

4 1 3 2

1 4 2 3

3 2 4 1

1 3 4 2

4 2 1 3

3 1 2 4

2 4 3 1

1 3 4 2

4 2 1 3

2 4 3 1

3 1 2 4

1 3 2 4

4 2 3 1

3 1 4 2

2 4 1 3

1 3 2 4

4 2 3 1

2 4 1 3

3 1 4 2

2 4 1 3

1 3 2 4

4 2 3 1

3 1 4 2

2 4 1 3

1 3 2 4

3 1 4 2

4 2 3 1

2 4 3 1

1 3 4 2

4 2 1 3

3 1 2 4

2 4 3 1

1 3 4 2

3 1 2 4

4 2 1 3

1 3 4 2

2 4 3 1

3 1 2 4

4 2 1 3

1 3 4 2

3 1 2 4

2 4 3 1

4 2 3 1

1 3 2 4

2 4 1 3

3 1 4 2

4 2 3 1

1 3 2 4

3 1 4 2

2 4 3 1

3 4 2 1

2 1 3 4

4 3 1 2

1 2 4 3

3 4 2 1

2 1 3 4

4 3 1 2

1 2 4 3

3 4 1 2

2 1 4 3

1 2 4 3

4 3 1 2

3 4 1 2

2 1 4 3

1 2 3 4

4 3 2 1

2 4 3 1

3 1 2 4

4 2 1 3

1 3 4 2

2 4 3 1

3 1 2 4

1 3 4 2

4 2 1 3

2 4 1 3

3 1 4 2

4 2 3 1

1 3 2 4

2 4 1 3

3 1 4 2

1 3 2 4

4 2 3 1

3 1 4 2

4 2 3 1

1 3 2 4

2 4 1 3

3 1 4 2

4 2 3 1

2 4 1 3

1 3 2 4

3 1 2 4

4 2 1 3

1 3 4 2

2 4 3 1

3 1 2 4

4 2 1 3

2 4 3 1

1 3 4 2

3 1 2 4

2 4 3 1

1 3 4 2

4 2 1 3

3 1 2 4

2 4 3 1

4 2 1 3

1 3 4 2

3 1 4 2

2 4 1 3

1 3 2 4

4 2 3 1

3 1 4 2

2 4 1 3

4 2 3 1

1 3 2 4

4 3 1 2

1 2 4 3

3 4 2 1

2 1 3 4

4 3 1 2

1 2 4 3

2 1 3 4

3 4 2 1

4 3 2 1

1 2 3 4

3 4 1 2

2 1 4 3

4 3 2 1

1 2 3 4

2 1 4 3

3 4 1 2

1 4 2 3

2 3 1 4

4 1 3 2

3 2 4 1

1 4 2 3

2 3 1 4

3 2 4 1

4 1 3 2

1 4 3 2

4 1 2 3

3 2 1 4

(32)

21

4 1 2 3

2 3 4 1

1 4 3 2

3 2 1 4

4 1 2 3

2 3 4 1

3 2 1 4

1 4 3 2

4 1 3 2

2 3 1 4

1 4 2 3

3 2 4 1

4 1 3 2

2 3 1 4

3 2 4 1

1 4 2 3

3 2 4 1

4 1 3 2

2 3 1 4

1 4 2 3

3 2 4 1

4 1 3 2

1 4 2 3

2 3 1 4

3 2 1 4

4 1 2 3

2 3 4 1

1 4 3 2

3 2 1 4

4 1 2 3

1 4 3 2

2 3 4 1

1 2 4 3

4 3 1 2

2 1 3 4

3 4 2 1

1 2 4 3

4 3 1 2

3 4 2 1

2 1 3 4

1 2 3 4

4 3 2 1

2 1 4 3

3 4 1 2

1 2 3 4

4 3 2 1

3 4 1 2

2 1 4 3

4 1 3 2

3 2 4 1

1 4 2 3

2 3 1 4

4 1 3 2

3 2 4 1

2 3 1 4

1 4 2 3

4 1 2 3

3 2 1 4

1 4 3 2

2 3 4 1

4 1 2 3

3 2 1 4

2 3 4 1

1 4 3 2

2 1 3 4

3 4 2 1

1 2 4 3

4 3 1 2

2 1 3 4

3 4 2 1

4 3 1 2

1 2 4 3

2 1 4 3

3 4 1 2

1 2 3 4

4 3 2 1

2 1 4 3

3 4 1 2

4 3 2 1

1 2 3 4

2 3 1 4

1 4 2 3

3 2 4 1

4 1 3 2

2 3 1 4

1 4 2 3

4 1 3 2

3 2 4 1

2 3 4 1

1 4 3 2

3 2 1 4

4 1 2 3

2 3 4 1

1 4 3 2

4 1 2 3

3 2 1 4

1 4 3 2

3 2 1 4

4 1 2 3

2 3 4 1

1 4 3 2

3 2 1 4

2 3 4 1

4 1 2 3

1 4 2 3

3 2 4 1

4 1 3 2

2 3 1 4

1 4 2 3

3 2 4 1

2 3 1 4

4 1 3 2

2 1 4 3

4 3 2 1

1 2 3 4

3 4 1 2

2 1 4 3

4 3 2 1

3 4 1 2

1 2 3 4

2 1 3 4

4 3 1 2

1 2 4 3

3 4 2 1

2 1 3 4

4 3 1 2

3 4 2 1

1 2 4 3

3 2 1 4

1 4 3 2

2 3 4 1

4 1 2 3

3 2 1 4

1 4 3 2

4 1 2 3

2 3 4 1

3 2 4 1

1 4 2 3

2 3 1 4

4 1 3 2

3 2 4 1

1 4 2 3

4 1 3 2

2 3 1 4

3 4 1 2

1 2 3 4

4 3 2 1

2 1 4 3

3 4 1 2

1 2 3 4

2 1 4 3

4 3 2 1

3 4 2 1

1 2 4 3

4 3 1 2

2 1 3 4

(33)

1 3 2 4

2 4 1 3

3 1 4 2

4 2 3 1

1 3 2 4

2 4 1 3

4 2 3 1

3 1 4 2

1 3 4 2

2 4 3 1

3 1 2 4

4 2 1 3

1 3 4 2

2 4 3 1

4 2 1 3

3 1 2 4

4 2 3 1

3 1 4 2

2 4 1 3

1 3 2 4

4 2 3 1

3 1 4 2

1 3 2 4

2 4 1 3

4 2 1 3

3 1 2 4

2 4 3 1

1 3 4 2

4 2 1 3

3 1 2 4

1 3 4 2

2 4 1 3

4 3 2 1

2 1 4 3

3 4 1 2

1 2 3 4

4 3 2 1

2 1 4 3

1 2 3 4

3 4 1 2

4 3 1 2

2 1 3 4

3 4 2 1

1 2 4 3

4 3 1 2

2 1 3 4

1 2 4 3

3 4 2 1

1 2 3 4

3 4 1 2

2 1 4 3

4 3 2 1

1 2 3 4

3 4 1 2

4 3 2 1

2 1 4 3

1 2 4 3

3 4 2 1

2 1 3 4

4 3 1 2

1 2 4 3

3 4 2 1