Penggunaan Metode Maksimum Likelihood Dalam Menaksir Parameter Distribusi Gamma

9. Seluruh teman-teman seperjuangan di Ekstensi Matematika Statistika, dan semua pihak yang turut membantu menyelesaikan skripsi ini.

Sepenuhnya penulis menyadari bahwa dalam penulisan skripsi ini masih terdapat banyak kekurangan dan kelemahan dengan demikian penulis mengharapkan saran dan kritik yang bersifat membangun demi kesempurnaan skripsi ini.

Akhirnya penulis berharap semoga penulisan skripsi ini dapat memberikan manfaat kepada semua pihak yang memerlukannya.

Medan, Juli 2012

ABSTRAK

ABSTRACT

DAFTAR ISI

Halaman

Persetujuan ii

Pernyataan iii

Penghargaan iv

Abstrak vi

Abstract vii

Daftar Isi viii

Daftar Tabel x

BAB 1 PENDAHULUAN 1

1.1 LatarBelakang 1

1.2PerumusanMasalah 2

1.3 BatasanMasalah 2

1.4 Tinjauan Pustaka 3

1.5 TujuanPenelitian 4

1.6 Manfaat Penelitian 4

1.7 Metode Penelitian 5

BAB 2 LANDASAN TEORI 6

2.1 Peubah Acak dan Distribusinya 6

2.1.1 Peubah Acak 6

2.1.2. Distribusi Peubah Acak 7

2.1.2.1 Distribusi Peubah Acak Diskrit 7 2.1.2.2 Distribusi Peubah Acak Kontinu 7

2.2 Ekspektasi dan Variansi 8

2.2.1 Ekspektasi 8

2.2.2 Variansi 9

2.3 Estimasi Parameter 10

2.4 Maksimum Likelihood 12

2.4.1 Fungsi Likelihood 12

2.4.2 Estimasi Maksimum Likelihood 12

2.5 Fungsi Gamma dan Distribusi Gamma 13

2.5.1 Fungsi Gamma 13

2.5.2 Distribusi Gamma 13

BAB 3 PEMBAHASAN 15

3.1 Estimasi Parameter Distribusi Gamma dengan Metode

Maksimum Likelihood 15

3.2 Contoh Kasus 26

BAB 4 PENUTUP 31

4.1 Kesimpulan 31

4.2 Saran 31

DAFTAR TABEL

Tabel 3.1 Data Umur Baterai Mobil (Dalam Satuan Tahun) 26

ABSTRAK

ABSTRACT

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Salah satu peran dan fungsi statistik dalam ilmu pengetahuan adalah sebagai. alat analisis dan interpretasi data kuantitatif ilmu pengetahuan, sehingga didapatkan suatu kesimpulan dari data tersebut. Dalam statistik, estimasi adalah suatu metode untuk mengetahui sekitar berapa nilai-nilai suatu populasi dengan menggunakan nilai-nilai sampel. Nilai populasi sering disebut dengan parameter populasi, sedangkan nilai-nilai sampel sering disebut dengan statistik sampel.

Dalam metode estimasi, parameter populasi yang ingin ditaksir itu adalah berupa nilai rata-rata yang diberi notasi  dan nilai simpangan baku dengan notasi . Teori estimasi sendiri digolongkan menjadi estimasi titik (Point Estimate) dan pendugaan selang (Interval Estimation). Istilah statistik yang sering didengar adalah estimasi yang merupakan terjemahan dari kata estimation. Pada dasarnya, estimasi adalah suatu metode untuk mengetahui sekitar beberapa nilai-nilai suatu populasi dengan menggunakan nilai-nilai sampel. Estimasi titik yang cukup penting adalah metode maksimum likelihood. Estimasi ini pertama kali dikembangkan oleh R.A Fisher tahun 1920. Estimasi yang digunakan disini merupakan contoh dari estimasi titik. Salah satu metode estimasi adalah Estimasi maksimum likelihood. Metode ini mempunyai beberapa kriteria seperti ketidakbiasan, efisiensi dan konsistensi. Suatu metode yang bersifat umum dari estimasi titik (Point Estimate) dengan beberapa sifat teoritis yang lebih kuat dibandingkan dengan metode OLS (Ordinary Least Square Estimator) adalah kemungkinan terbesar (MaximumLikelihood, ML).

bulat, maka ruang sampel disebut ruang sampel diskrit. Dan bila ruang sampel mengandung titik sampel yang tak berhingga banyaknya dan banyaknya sebanyak titk pada sepotong garis, maka ruang sampel disebut ruang sampel kontinu. Suatu peubah acak kontinu mempunyai peluang nol pada setiap titik x. Jika menyangkut peubah kontinu, f(x) dinamakan fungsi padat peluang atau disingkat dengan fungsi padat. Beberapa distribusi peluang kontinu khusus itu diantaranya adalah: Distribusi Normal, Distribusi Normal Baku, Distribusi Seragam, Distribusi Eksponensial, Distribusi Gamma, Distribusi Beta, Distribusi Khi Kuadrat, dan Distribusi Weibull, (Walpole & Myers, 1995: 51-60).

Berdasarkan latar belakang yang telah diuaraikan, penulis tertarik untuk mengambil judul : ”Penggunaan Metode Maksimum Likelihood _{Dalam Menaksir}

Parameter Distribusi Gamma”.

1.2 Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang yang telah dikemukakan di atas, maka permasalahan dalam penelitian adalah Bagaimana penggunaan metode Maksimum Likelihood dalam menaksir parameter distribusi gamma.

1.3 Batasan Masalah

Untuk membatasi permasalahan, maka peneliti memberikan batasan asumsi X~G(x|α,β,0) dimana estimasi parameter α dan β akan dicari dengan metode Maksimum Likelihood. Dalam menentukan estimasi parameter dari distribusi gamma ini digunakan sifat-sifat pendugaan yaitu unbias, efisien, dan konsisten.

Distribusi gamma merupakan distribusi yang digunakan dalam menggambarkan waktu hidup, distribusi gamma dapat dianggap sama dengan distribusi eksponensial atau poison, dimana pada distribusi poison dipakai waktu sebagai variabel. Sedang pada distribusi gamma dipakai pertambahan jumlah sebagai variabel tetapi keduanya mempunyai karakteristik populasi yang sama.

Misalkan X suatu peubah acak kontinu berdistribusi gamma dengan parameter  dan, bila bentuk fungsi padatnya

f(x) =

    

    



 

0

) (

1  1   _



x

e x

dengan  > 0 dan > 0, (Walpole & Myers, 1995: 190).

Bila X berdistribusi gamma X~ G(x|,,0) maka rataan dan variansi distribusi gamma adalah:

 = E(X) =  dan 2 =  2

Jika X adalah peubah acak dengan distribusi peluang f(x) dan rataan , maka: Var (X) =  2

 2 _{= E [(x-)}2_]=



x

(x-)2 f(x) bila x diskrit, dan

 2 _{= E [(x-)}2_{] =}





 

(x-)2 f(x) dx (2.9) bila x kontinu

Metode maximum likelihood pertama dibahas oleh R.A Fisher pada tahun 1920, misalkan x₁,x₂,...,x_n , menyatakan peubah acak yang saling bebas dengan fungsi padat peluangnya dinyatakan dengan f(x,) dengan parameter yang akan ditaksir dengan metode maximum likelihood, maka fungsi padat peluangnya adalah:

 

 f



x₁;

 

f x₂;

 

...f x_n;



=









n

i i

x f

1

,

= L



 |x₁,x₂,...,x_n



= L

 



Dengan



x1,x2,...,xn



= variabel random

 _{= parameter yang ditaksir}

 



L _{= fungsi likelihood}

Misalkan



x₁,x₂,...,x_n



peubah acak dengan fungsi distribusi F(x₁,x₂,...,x_n|) dengan  yang tidak diketahui, maka fungsi likelihood ialah:

L () =

  

  | ,..., , (

| ,..., , (

2 1

2 1

n n

x x x p

x x x f

Untuk Setiap ˆ= ˆ_n(x₁,x₂,…,xn)

1.4 Tujuan Penelitian

Dapat mengetahui penggunaan metode maksimum likelihood dalam menaksir parameter dari distribusi gamma.

1.5 Manfaat Penelitian

1. Mengetahui cara menaksir parameter distribusi Gamma dengan metode maksimum likelihood

1.6 Metode Penelitian

BAB II

LANDASAN TEORI

2.1 Peubah Acak dan Distribusinya

2.1.1 Peubah Acak

Definisi 2.1:

Peubah acak adalah suatu fungsi yang menghubungkan sebuah bilangan real dengan setiap unsur di dalam ruang contoh, (Walpole & Dkk, 2003 : 74)

Peubah acak dilambangkan dengan huruf kapital X dan huruf kecilnya dalam hal ini x, untuk menyatakan salah satu diantara nilai-nilainya. Dengan demikian suatu bilangan X merupakan ukuran dari karakteristik yang diletakkan pada setiap kejadian dasar dari ruang contohnya. Peubah acak diklasifikasikan menjadi 2 macam, yaitu peubah acak diskret dan peubah acak kontinu, (Wibisono, 2005 : 222)

Definisi 2.2 :

X disebut peubah acak diskret bila X peubah acak yang hanya mendapat nilai berhingga atau banyaknya terbilang, (Dudewicz & Mishra, 1995: 83)

Contoh 2.1:

2.1.2 Distribusi Peubah Acak

2.1.2.1 Distribusi Peubah Acak Diskrit

Seringkali untuk memudahkan suatu perhitungan semua probabilitas peubah acak dinyatakan dalam suatu fungsi nilai-nilai X seperti f(x) yaitu f(x)=P(X=x). Pada peubah acak diskrit, setiap nilainya dikaitkan dengan probabilitas. Himpunan pasangan berurutan [x,f(x)] disebut distribusi probabilitas peubah acak X. Sebuah distribusi yang mencantumkan semua kemungkinan nilai peubah acak diskrit berikut probabilitasnya disebut probabilitas diskrit, (Wibisono, 2005: 224).

Suatu peubah acak diskrit dapat dinyatakan sebagai:

F(x)=



px_x(x)

Definisi 2.2 :

Himpunan pasangan terurut (x,f(x)) merupakan suatu fungsi peluang, fungsimassa peluang, atau distribusi peluang peubah acak diskrit X bila, untuksetiap kemungkinan hasil x:

1. f(x) ≥0

2.





x f(x) 1

3. P(X = x) = f(x) (Walpole & Myers, 1995 :54)

Definisi 2.3 :

Jika peubah X dapat menerima suatu himpunan diskrit dari nilai-nilai X1, X2, . .

. ,Xn dengan probabilitas masing-masing P1,P2, . . . Pn, dimana P1+P2+ . . . + Pn = 1,

maka suatu fungsi f(X) yang mempunyai nilai masingmasing P1,P2, . . . Pi untuk X1,

X2, . . . ,Xi disebut fungsi probabilitas. Sehingga dapat dituliskan dengan f(X) = P(X =

Xi), yaitu probabilitas P nilai peubah X ke-i (yaitu Xi) sama dengan f(X).

2.1.2.2 Distribusi Peubah Acak Kontinu

Distribusi probabilitas bagi peubah acak kontinu tidak dapat disajikan dalam bentuk tabel, akan tetapi distribusinya dapat dinyatakan dalam persamaan yang merupakan fungsi nilai-nilai peubah acak kontinu dan digambarkan dalam bentuk kurva.

(Wibisono,2005:226).

Suatu peubah acak kontinu dapat dinyatakan sebagai: f(x) =



f_x(x)dx



 

Definisi 2. 4 :

Fungsi f(x) adalah fungsi padat peluang peubah acak kontinu X, yang didefinisikan atas himpunan semua bilangan real R, bila

1. f(x) ≥ 0 untuk semua xR 2.



f_x(x)dx



 

= 1

3. P(a < x < b) =



b

a

dx x

f( ) (Walpole & Myers, 1995 :60)

2.2 Ekspektasi dan Variansi

2.2.1 Ekspektasi

Ekspektasi peubah acak X, dinyatakan dengan E(X) sehingga definisi ekspektasi adalah:

Definisi 2. 5 :

Misalkanlah X suatu peubah acaka dengna distribusi peluang f(x), maka nilai harapannya atau rataan X ialah:

E(X) = µ =



x

x f(x)

Definisi 2. 6 :

Jika X adalah suatu peubah acak kontinu dan f(x) adalah fungsi padat peluang dari x, maka nilai ekspektasi dari peubah acak X adalah:

E(x) =





 

x fx (x) dx

(Dudewich & Mishra,1995: 246).

Definisi 2.7 :

Misalkan X suatu peubah acak dengan fungsi padat peluang f dan g suatu fungsi dari X. Nilai harapan dari X adalah:

E [ g(x)] =



g(x)f(x) untuk X diskrit dan (2.5)

E [g(x)] =





 

) (x

g f(x) dx untuk X kontinu (2.6) (Barnes, 1994 : 100)

Teorema 2. 1 :

Bila a dan b konstanta, maka

E(aX + b) = a E(X) + b (2.7)

Teorema 2. 2 :

Sifat-sifat harapan matematika (ekspektasi). Bila c suatu tetapan dan g(X),

1

g (X), g₂(X) suatu fungsi yang harapannya ada, maka: 1. E(c) = c

2. E(cg(X)) = cEg(X)

3. E(g1(X) + g2(X)) = Eg1(X) + E g2(X)

4. Eg1(X) ≤Eg2(X) jika g1(x) ≤g2(x) untuk semua x

2.2.2 Variansi

Variansi peubah acak X atau variansi distribusi peluang X dengan Var (X) atau 2 bila tidak ada keraguan mengenai peubah acak yang dimaksud.

Definisi 2.8 :

Misalkan X peubah acak dengan distribusi peluang f(x) dan rataan , makaVar (X) =  2 adalah:

 2 _{= E [(x-)}2_]=



x

(x-)2 f(x) (2.8) bila X diskrit, dan

 2 _{= E [(x-)}2_{] =}





 

(x-)2 f(x) dx (2.9) bila X kontinu

(Walpole & Myers, 1995 : 104)

Teorema 2. 3 :

(X) = E(X2) 2 (2.10)

Teorema 2. 4 :

Var (aX + b) = a2var (X) (2.11)

2.3 Estimasi Parameter

xdigunakan untuk menaksir rata-rata populasi  yang tidak diketahui dari pengambilan sampel suatu populasi. Dalam statistik non-parametrik, parameter yang cukup menarik untuk dikaji adalah median populasi. Parameter ini sering digunakan dalam analisis statistik nonparametric untuk menggantikan rata-rata populasi sebagai ukuran untuk lokasi atau tendensi sentral yang lebih disukai. Pendugaan (estimasi) adalah proses yang menggunakan sampel statistik untuk menduga atau menaksir hubungan parameter populasi yang tidak diketahui.

Pendugaan merupakan suatu pernyataan mengenai parameter populasi yang diketahui berdasarkan populasi dari sampel, dalam hal ini sampel random, yang diambil dari populasi yang bersangkutan. Jadi dengan pendugaan ini, keadaan parameter populasi dapat diketahui, (Hasan, 2002: 111).

Menurut Yitnosumarto (1990:211-212), penduga (estimator) adalah anggota peubah acak dari statistik yang mungkin untuk sebuah parameter (anggota peubah diturunkan). Besaran sebagai hasil penerapan penduga terhadap data dari semua contoh disebut nilai duga (estimate).

Misalkan terdapat sebuah peubah acak X yang mengikuti sebaran tertentu dengan nilai yang diamati X1, X2, X3, . . . , Xn. jika nilai-nilai pengamatan mempunyai

peluang yang sama untuk diperoleh, maka nilai tengahnya:

X =

n 1





n

i 1

X_i

= n

Xi

n

i



1

2.3.1 Sifat-Sifat Penduga

1. Tak bias (unbiased)

Satu hal yang menjadi tujuan dalam pendugaan adalah penduga harus mendekati nilai sebenarnya dari parameter yang diduga tersebut. Misalkan terdapat parameter . Jika ˆmerupakan penduga tak bias (unbiased estimator) dari parameter , maka E(ˆ) =  , (Yitnosumarto,1990: 212).

2. Efisien

Suatu penduga (misalkan:ˆ) dikatakan efisien bagi parameter () apabila penduga tersebut mempunyai varians yang keci l. Apabila terdapat lebih dari satu penduga, penduga yang efisien adalah penduga yang mempunyai varian terkecil. Dua penduga dapat dibandingkan efisiensinya dengan menggunakan efisiensi relative (Relative efficiency). Efisiensi relatif ˆ2 terhadap ˆ1 dirumuskan:

R(ˆ2, ˆ1) = ₂

2 2 1

)

ˆ ˆ

( )

ˆ ˆ

(  

 

 

E E

=









2

2 2

2 1 1

)

ˆ

(

ˆ

)

ˆ

(

ˆ

 

 

E E

E E

 

=

2 1

ˆ

var

ˆ

var  

R =

2 1

ˆ ˆ

 

, jika R > 1 maka ˆ1 > ˆ2 artinya secara relatif ˆ2 lebih efisien daripada ˆ1 ,

dan jika R < 1 maka ˆ1 < ˆ2 artinya secara relatif ˆ1 lebih efisien daripada ˆ2.

3. Konsisten

Suatu penduga dikatakan konsisten jika memenuhi syarat di bawah ini:

parameternya. Jadi

 

ˆ merupakan penduga konsisten, jika dan hanya jika : E



ˆE(ˆ)



2 0jika n 

b) Jika ukuran sampel bertambah besar maka distribusi sampling penduga akan mengecil menjadi suatu garis tegak lurus diatas parameter yang sama dengan probabilitas sama dengan 1, (Hasan, 2002: 113-115)

2.4 Maksimum Likelihood

2.4.1 Fungsi Likelihood

Definisi 2.9 :

Fungsi likelihood dari n variabel acak x₁,x₂,...,x_n didefinisikan sebagai fungsi kepadatan bersama dari n variabel random. Fungsi kepadatan bersama f

1

x ,…,x_n(x1,...,xn;) yang mempertimbangkan fungsi dari  . Jika x1 ,...,xn adalah

sampel random dari fungsi kepadatan f (x; ),maka fungsi likelihoodnya adalah f (x₁;) f (x₂;)… f(x_n; ). (Mood, Graybill and Boes, 1986:278).

2.4.2 Estimasi Maksimum Likelihood

Suatu pendugaan bersifat unbias, efisien dan konsisten dapat diketahui dengan menggunakan suatu metode yaitu metode Maksimum Likelihood. Metode tersebut sering memberikan hasil (penaksir) yang baik.

Definisi 2.10 :

Misalkan X1,X2,...,Xn peubah acak dengan fungsi distribusi F(x1,x2,...,xn |)

dengan

 yang tidak diketahui, maka fungsi likelihood ialah:

L () =

  

  | ,..., , (

| ,..., , (

2 1

2 1

n n

x x x p

x x x f

Untuk Setiap ˆ= ˆ_n(x₁,x₂,…,xn)

L(ˆ)= sup{L(ˆ) : ˆ ÎQ} disebut maximum likelihood estimation. (Dudewicz dan Mishra, 1995: 412)

2.5 Fungsi Gamma dan Distribusi Gamma

2.5.1 Fungsi Gamma

Defnisi 2.11 :

Fungsi gamma didefinisikan : )

(

 =



 

0 1



x e1dx untuk α > 0 (2.12)

Teorema 2.5 :

Jika ()=



 

0 1



x e1dx maka:

1. (1) = 1

2. 

     

2 1

= 

2.5.2 Distribusi Gamma

Defnisi 2.12 :

Misalkan X suatu peubah acak kontinu berdistribusi gamma dengan parameter  dan , bila bentuk fungsi padatnya

f(x) =

    

    



 

0 ) (

1  1   _



x

e x

dengan  > 0 dan > 0, (Walpole & Myers, 1995: 190).

dan waktu menunggu. Peubah acak yang fungsi padatnya diberikan distribusi gamma adalah waktu atau ruang terjadinya sesuatu sampai sejumlah tertentu kejadian poisson terjadi, (Walpole & Myers, 1995: 193).

Teorema 2.6 :

Bila X berdistribusi gamma X~ G(x|a, b, 0) maka rataan dan variansidistribusi gamma adalah:

BAB III

PEMBAHASAN

3.1 Penggunaan Metode Maksimum Likelihood dalam Menaksir Parameter

Distribusi Gamma

Distribusi gamma didapat dari fungsi gamma yang sudah dikenal luas, dan dipelajari dalam banyak bidang matematika.

Dari definisi 10, Fungsi gamma didefinisikan dengan : )

(

 =



 

0 1



x e1dx untuk α > 0

yang dipakai dalam mendefinisikan distribusi gamma dan akan diaplikasikan pada suatu data umur baterai mobil. Distribusi gamma mempunyai parameter α dan β yang belum diketahui dengan peubah acak bebas X yang berukuran n. Maka parameter tersebut akan diestimasi dengan menggunakan metode Maksimum Likelihood yang mempunyai beberapa langkah estimasi.

Adapun Langkah-langkah estimasi dengan metode Maksimum Likelihood adalah:

Langkah I: Menentukan fungsi padat peluang distribusi gamma

Fungsi distribusi gamma adalah:

f(x) =

  

  

 

 

 

0

0 ; )

(

1 1

x e

x

x

   _



,untuk x lainnya

Fungsi distribusi gamma tersebut digunakan untuk mencari fungsi padat peluang peubah acak X1, X2, X3, . . . , Xn, yaitu:

f(xi) = f





x1,x2,...,xn





=

 

 _

1

e x_i1 

i

x



 

 

 

1 2 1

1 2

1 1

2

1 ( , ,..., )

1 ... ) ,..., , ( 1 ) ,..., , (

1 1 2

                   _{    }  n x n x n x x x x e x x x e x x x e n =



 

  n i 1 1   e 

   n i i x 1





1

2 1, ,...,





n

x x

x (3.1)

Langkah II: Membentuk fungsi padat peluang (3.1) kedalam model L(x|α, β) yang dinamakan dengan fungsi likelihood. Sehingga fungsi likelihood dari fungsi padat peluang (3.1) adalah:

L



x_i |,



= L



f



x_i |,





=

 

 _ 1 e  1 x 





1

2 1, ,...,

  n x x x

 

 _ 1 e  2 x 





1

2 1, ,...,

  n x x x ….

 

 _ 1 e  n x 





1

2 1, ,...,

  n x x x =

 

n         1         _                           n x x x e ... 2 1









n

n

x x

x₁, ₂,..., 1

=

 

n         1 e    n i i x 1









n

n

x x

x₁, ₂,..., 1 (3.2)

L



x_i |,



= ln L



x_i |,



= ln

 









            _           n n x n x x x e n i i 1 2

1, ,...,

1 1

 

 _ 

= ln





 

 



ne 

  n i i x 1









n

n

x x

x1, 2,..., 1

 

= -n ln





 

 



e 

  n i i x 1









n

n

x x

x1, 2,..., 1

 

= -n ln





 

 



e 

  n i i x 1





n n

n

x x

x1, 2,..., 

= -n ln





 

 



- 



 n i i x

1 ₊



_nn





 

i

x ln

= -n ln





 





- n ln

 

 - 



 n i i x

1 ₊



_n_n





 

i

x ln

=-n ln





 





- nln

 

 - 



 n i i x

1 _{+ n}



 

i

x ln

 - n



ln

 

x_i (3.3)

Langkah IV: Memaksimumkan fungsi maksimum likelihood (3.3) dengan

menurunkan fungsi maksimum likelihood (3.3) terhadap parameter yang

mengikutinya yakni α dan β, dan menyamakan dengan 0.

Pada distribusi gamma ini mempunyai dua parameter yang tidak diketahui

yakni α dan β. Sehingga untuk nilai α dan β dapat dicari dengan mendiferensialkan persamaan (3.3) terhadap parameter yang mengikutinya yakni:

 



ln L



x_i |,



= 0 dan

 



ln L



x_i |,



1. Diturunkan terhadap  .

 



ln L



x_i |,



= 0

 





 





 

                         







i n i i x n n x n

nln ln 1 ln

= 0

 





 

 

 

                         









i i n i i x n x n x n

nln ln 1 ln ln

= 0

-n

 

ˆ

1

 

 

ˆ ln

 

ˆ 1ln

 

0 0

    



 n i i x n o n  

-n

 

ˆ 1 

 

 





 

   n i i x n n 1 ln ˆ ln ˆ 

 = 0

 

 

ˆ ln

 

ˆ ln

 

0 ˆ 1     



 n i i x n    (3.5)

2. Diturunkan terhadap 

 



ln L



x_i |,



 





 





 

                         







i n i i x n n x n

nln ln 1 ln

 





 

 

 

                         









i i n i i x n x n x n

nln ln 1 ln ln

= 0 0 0 ˆ ˆ 1 ˆ 0 2 1              _    



   n i i x n 0 ˆ ˆ 1 ˆ 2 1           



   n i i x n 0 ˆ1 ˆ 1 ˆ 2 1         



    n i i x

n (3.6)

Langkah V: Menentukan estimasi ˆˆ dari  pada fungsi padat peluang distribusi

gamma.

Dari persamaan (3.6), dapat diperoleh suatu estimasi : 0 ˆ1 ˆ 1 ˆ 2 1         



    n i i x n

 

ˆ 0

ˆ1 ˆ 1 ˆ 2 2 1         



     n i i x

n

 

ˆ2

0

ˆ ˆ ˆ

1

ˆ ₂2

1         



     n i i x n

ˆˆ 0

1         



 n i i x n

ˆˆ 1 n x n i i 





1 ˆˆ

Karena  = E(X) = n x n i i



1

Maka E(X) = ˆˆ

Sehingga estimasi dari dengan menggunakan metode Maksimum Likelihood adalah: ˆˆ

Untuk nilai ˆ adalah :

E(X) = ˆˆ

 

 

ˆ

ˆ E X

 (3.7)

Untuk mengetahui bahwa nilai dari suatu ˆ itu diharapkan sama atau sama dengan  , begitu juga nilai ˆ dengan , maka dapat dibuktikan dengan mensubtitusikan persamaan (3.7) ke dalam persamaan (3.5) yang penyelesaiannya dilakukan secara numerik.

 

 

ln

 

1ln

 

0

    



 n i i x n n   

 

 

   

n + n ln

 



     ˆ X

E

 

0 ln 1 



 n i i x       n

1

 

 

 

 

n + n 

     n 1

ln

 

      ˆ X E       n

1

 

0 ln 1 



 n i i x       n

n

 

 

    +       n n

ln

 

      ˆ X E       n

1

 

0 ln 1 



 n i i x

 

 

   

+ln

 

      ˆ X E       n

1

 

0 ln 1 



 n i i x

 

 

   

+ln

 

      ˆ X E n

1





0 ln

... ln

lnx₁ x₂  x_n 

 

 

   

+ln

 

      ˆ X E n

1









0 ,...,

,

ln x₁ x₂ x_n 

 

 

   

+ln



 

_ˆ1





X E

n

1









0 ,...,

,

 

 

   

+ lnE

 

X lnˆ

n

1









0 ,...,

,

ln x₁ x₂ x_n 

 

 

   

+ lnE

 

X lnˆ ln



, ,...,



0

1 2

1 

     n n x x x

 

 

    _ˆ ln

 +ln E

 

X  ln



, ,...,



0

1 2

1 

     n n x x x

 

 



 



            X E x x

x _n 40

1 2

1, ,..,

ln ˆ ln  

 

 

   

=lnˆ ln



 



        X E x x

x _n 40

1 2

1, ,..,

Karena

 

 

    =



           1 1 1 n n C 

Dimana C adalah konstanta Euler yang bernilai 0.5772156649 dan dimisalkan bahwa n = 40, maka dapat diketahui:





 

                    



 n n n

i E X

x x x n n C 1 2 1 1 ,... , ln ˆ ln 1 1 1 _  

0,55772156649



 



                  



 n n n

i E X

x x x n n 1 2 1 1 ,... , ln ˆ ln 1 1 1 _

 (3.8)

Dari persamaan (3.8) tersebut dapat diperoleh secara numerik suatu nilai ˆ

dan

 

 

ˆ

ˆ E X

 dengan menggunakan suatu aplikasi data umur baterai mobil yang telah ditentukan.

1. Unbias (takbias)

Suatu penaksir dikatakan unbias (takbias) dari a dan b, dimana X₁,X₂,...,X_n suatu peubah acak bebas mengikuti distribusi gamma dengan parameter  dan  tidak diketahui, jika E(X) = ˆˆ.

Jika peubah acak Xi berdistribusi gamma, maka fungsi f(x) adalah:

 

 

   _  x e x x f   

 1 1

 

X x f

 

x dx

E r



r _x



 



=

 

x e dx

x

x r  

 _



 





1 1

=

 

x e dx

x

x r

r  

 _     



1 1

Misalkan  1  x y , sehingga

 

r

X E =

  

      y r e

y   

  



 1 1 dy =

 

      y r r e y   

    



 1 1 1 dy =

 

    _   y r r e y   

  

 



_ 1 1 _dy

=

 

r y

r

e y   





 

 



_ 1

1 1        dy =

 

r y r

e y   

   

 



_ 1

1 1       dy

=

 

r y

r

e y   



  





_ 1

1 1        dy

=

 

r y

r

e y  

=

 

r y r

e y   

  



 1    =

 

r y

r

e y   

  



 1   

=

  

r



r      =



 



      r r

Ambil r =1, maka:

 

X 

E



 



      1 =



 



! 1 !     =









! 1 ! 1      =

= (3.9)

Dari pembuktian (3.9) diketahui bahwa ˆˆ 

Jadi, ˆˆ merupakan penduga tak bias bagi  Jika r =2, maka:

 

2

X

E =





 

      2 2 =









! 1 ! 1 2       =





 









! 1 ! 1 1 1 2         =



 







 













! 1 ! 1 1 1 1 1 1 2             =     

 1!

=





 





! 1 ! 1 1 2        

=2



_1



 =2



2 



=_2 _2 _2 _(3.10)

Karena Var (X) = _2 _ˆˆ2 _{, maka :}

 

 

2

 

2 2 X E X E X

Var  

 

=_2  _2 _2 _

 

_ 2

=_2  _2 _2 _2_2

=_2  _2 _2 _2_2

= _2

Dari pembuktian tersebut, diketahui bahwa _ˆˆ2 _2

Jadi, _ˆˆ2 _{merupakan penduga takbias bagi }2

2. Efisien

Suatu penaksir dikatakan efisien apabila penduga tersebut mempunyai variansi yang kecil. Dengan menggunakan rumus efisiensi relatif, maka dapat diketahui:

R =



 



 





2

2 2 2 2 1 2 1 X E X E X E X E   =



 



 





2

2 2 2 1 1 X E X E X E X E   =

 

 

2 1 X Var X Var =

 

 

2 2 1 2 ˆ ˆ ˆ ˆ    

Jika R > 1, Maka :

   

1

2 2

2 _ˆˆ

ˆ

ˆ 

Sehingga Var(X2) =

 

2 2

ˆ ˆ

 secara relatif lebih efisien daripada Var(X1) =

 

1 2

ˆ ˆ 

3. Konsisten (selaras)

Suatu penduga dikatakan konsisten adalah jika

 



ˆE



2 0

E untuk n

Sehingga untuk peubah acak X₁,X₂,...,X_n dengan parameter dan  yang tidak diketahui dapat dituliskan :

 



ˆˆE 



2 0

E untuk n

Karena nilai ekspektasi E

 

ˆˆ merupakan ekspektasi sama dengan , maka dapat diperoleh :

 

ˆˆ 

E

Dimana nilai E



ˆˆE

 





2itu akan mendekati nol untuk n, sehingga dapat

dituliskan dengan :

 



_ˆ



2

ˆ

limE E

n  = 0 (3.12)

Karena limE



ˆˆ E

 





2

n  = 0, maka

2

ˆ ˆ

3.2 Contoh Kasus

Tabel 3.1 Data Umur Baterai Mobil (Dalam Satuan Tahun)

2.3 3.1 3.4 2.6 3.1 3.5 3.0 2.5 3.5 1.5 3.2 3.2 1.7 3.0 1.9 3.2 2.4 2.8 3.3 3.5 2.8 3.5 3.3 3.0 3.4 3.0 3.1 2.4 3.1 2.9 1.8 1.5 2.2 3.5 3.0 1.9 3.4 3.1 1.7 3.4

Data diatas merupakan himpunan data umur baterai mobil pertahun (dalam satuan tahun) yang telah dibulatkan sampai persepuluhan tahun yakni satu angka dibelakang koma (bilangan desimal). Dimana variabel acak bebas kontinu X adalah umur 40 baterai mobil yang dibulatkan sampai sepersepuluh tahun. Untuk mengetahui rata-rata dan variansi data diatas, maka peneliti menggunakan suatu teorema (2.6). Sehingga dapat diketahui, bahwa:

 

ˆˆ 

E , E

 

X2 22 2 dan Var

 

X 2 Karena E

 

X yang secara statistik di duga dengan X , maka

 

n x X

E

n

i i





 1

[image:35.595.142.441.167.277.2]

Untuk mengetahui nilai rata-rata dan variansi dari data diatas, maka dapat dilihat pada tabel 3.2 dibawah ini :

Tabel 3.2 : Nilai rata Rata Umur Baterai Mobil

No Xi



Xi X







2

X X_i 

1 2.3 -0.5175 0.26780625

2 3.5 0.6825 0.46580625

3 2.4 -0.4175 0.17430625

4 3.4 0.5825 0.33930625

5 2.2 -0.6175 0.38130625

6 3.1 0.2825 0.07980625

No Xi



Xi X







2

X X_i 

8 2.8 -0.0175 0.00030625

9 3 0.1825 0.03330625

10 3.5 0.6825 0.46580625

11 3.4 0.5825 0.33930625

12 3.2 0.3825 0.14630625

13 3.3 0.4825 0.23280625

14 3.1 0.2825 0.07980625

15 3 0.1825 0.03330625

16 2.6 -0.2175 0.04730625

17 3.2 0.3825 0.14630625

18 3.5 0.6825 0.46580625

19 2.4 -0.4175 0.17430625

20 1.9 -0.9175 0.84180625

21 3.1 0.2825 0.07980625

22 1.7 -1.1175 1.24880625

23 2.8 -0.0175 0.00030625

24 3.1 0.2825 0.07980625

25 3.4 0.5825 0.33930625

26 3.5 0.6825 0.46580625

27 3 0.1825 0.03330625

28 3.5 0.6825 0.46580625

29 2.9 0.0825 0.00680625

30 3.1 0.2825 0.07980625

31 3 0.1825 0.03330625

32 1.9 -0.9175 0.84180625

33 3.3 0.4825 0.23280625

34 1.8 -1.0175 1.03530625

35 1.7 -1.1175 1.24880625

36 2.5 -0.3175 0.10080625

37 3.2 0.3825 0.14630625

38 3 0.1825 0.03330625

39 1.5 -1.3175 1.73580625

40 3.4 0.5825 0.33930625

Jumlah 112.7

14.99775

Pada tabel 3.2 diatas, nilai rata-rata suatu data umur baterai mobil adalah :

 

n x X

E

n

i i





 1

= 40

7 . 112

= 2.8175

Jadi, nilai E

 

X  2.8175

Untuk mengetahui nilai Var (X) =2, maka harus dicari terlebih dahulu masing-masing dari nilai  dan  dengan menggunakan ekspektasi E

 

X  yang telah dicantumkan pada teorema 6, maka  dan β adalah:



  X dan





X X x

n



i 



2

1



Sehingga nilai adalah:





x x x

n



i 



2

1



=













8175 . 2

... 40

1 2

40 2

x x x

x_i    













8175 . 2

3393 . 0 ... ) 4658 . 0 ( 2678 . 0 40

1 _{  }



=





8175 . 2

99775 . 14 40

1

= 0.1331

Jadi nilai β = 0.1331 Sedangkan nilai α adalah:



  x

=

1331 . 0

α = 21.172

Maka nilai variansi dari data umur baterai mobil di atas adalah: Var(x) = 2 = 21.172 x (0,1331)2

= 21.172 x 0.01771 = 0.3749

Untuk mengerjakan perhitungan statistik ini diasumsikan dengan mensubtitusikan suatu variabel acak bebas kontinu Xi = X1, X2, X3, . . . , X40 kedalam

fungsi padat peluang distribusi gamma yang telah didefinisikan pada definisi 12, yakni:





 

    

 

 

0 1 ,

|

1    _

  

x

e x x

f

Dengan α > 0 dan β > 0

Dari persamaan tersebut, maka selanjutnya akan dapat dicari suatu penaksir (α,β)

dengan menggunakan metode Maksimum Likelihood (Penaksiran Kemungkinan Maksimum) dengan mengikuti langkah-langkah pada pembahasan (3.1) diatas,

sehingga didapatkan suatu hasilnya yakni:

 

X ˆˆ

E

= n

x

n

i i



1

40 7 . 112



= 2.8175

Karena nilai  ˆˆ yakni 2.8175 maka untuk nilai ˆ adalah :





x x x

n



i 



2

1

ˆ



=













8175 . 2

... 40

1 2

40 2

x x x













8175

. 2

3393 . 0 ... ) 4658 . 0 ( 2678 . 0 40

1 _{  }



=





8175 . 2

997775 ,

14 40

1

= 0.1331

Sehingga untuk nilai ˆ dapat diketahui yakni:

 

   E x

=

1331 . 0

8175 . 2

= 21.172

Dari nilai ˆ = 21.172 dan ˆ 0.1331 maka dapat diketahui variansi dari umur baterai tersebut :

Var(x) = 2

= 21.172 x (0,1331)2

= 21.172 x 0.0177 = 0.3749

Sehingga estimasi pada suatu data umur baterai mobil bernilai 2.8175 tahun. Dari estimasi tersebut didapati nilai dari ˆ dan ˆ _{Sehingga nilai variansi dari umur} baterai tersebut juga dapat diketahui yang bernilai 0.3749 Karena data umur baterai dibulatkan persepuluhan tahun yakni pembulatan angkanya adalah satu angka dibelakang koma, maka esimasi dari umur baterai tersebut adalah 2.8 tahun dan variansinya adalah 0.4 tahun. Karena ˆˆ merupakan estimasi  , sehingga dapat dituliskan ˆˆ= yang berarti bahwa ˆˆ merupakan estimasi takbias dari .

BAB 4

PENUTUP

4.1 Kesimpulan

Berdasarkan pembahasan diatas, dapat disimpulkan bahwa:

1. Estimasi parameter distribusi gamma dengan parameter dari distribusi gamma

tersebut yakni α dan β tidak diketahui, sehingga parameter tersebut diestimasi

dengan menggunakan metode Maksimum Likelihood yang mempunyai beberapa langkah-langkah estimasi, yakni: menentukan fungsi padat peluang, membentuk fungsi padat peluang tersebut kedalam bentuk fungsi likelihood, membentuk fungsi likelihood kedalam bentuk log likelihood, menurunkan fungsi log likelihood terhadap parameter yang mengikutinya yakni α dan β, dan menentukan estimasi dari parameter α dan β. Sehingga didapatkan E(X)

dari distribusi gamma adalah αβ dan var(X) dari distribusi gamma adalah αβ2 . Oleh karena itu, ˆˆ dan _ˆˆ2_{merupakan estimasi yang baik dari αβ dan αβ}2

karena telah memenuhi sifat-sifat estimasi yakni takbias, konsisiten dan efisien.

2. Dari contoh kasus umur baterai mobil didapat nilai α = 21.172 dan β = 0.1331 serta nilai variansi dari data umur baterai mobi adalah 0.3749 dan nilai

8175 . 2



 _{, Sehingga estimasi pada suatu data umur baterai mobil bernilai}

2.8175 tahun.

4.2 Saran

DAFTAR PUSTAKA

Barlow, E, Richard and Proschan, Frank. Mathematical Theory of Reliability. New York : John Wiley and Sons

Dudewicz, Edward J & Mishra, Satya N. 1995. Statistik Matematika Modern. Bandung: ITB

Herrhyanto Nar, Gantini Tuti, 2009. Pengantar Statistika Matematis. Bandung :Yrama Widya

Sudjana. 2002. Metode Statistika. Edisi 6. Bandung: Tarsito

Suparman L.A. 1989. Statistik Matematik. Jakarta: Rajawali Pers

Supranto, J. 1994. Statistik Teori dan Aplikasi. Edisi kelima. Jilid 2. Jakarta : Erlangga

Suryadi P.A. 1976. Pendahuluan Teori Kemungkinan dan Statistika. Bandung: ITB Bandung