Multivariat Analisis Varians Berdistribusi Normal Dengan Percobaan Faktorial

MULTIVARIAT ANALISIS VARIANS BERDISTRIBUSI NORMAL DENGAN PERCOBAAN FAKTORIAL

SKRIPSI

NOVRIDA ISNELIA 070803045

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MULTIVARIAT ANALISIS VARIANS BERDISTRIBUSI NORMAL DENGAN PERCOBAAN FAKTORIAL

SKRIPSI

Diajukan untuk memenuhi syarat mendapat gelar Sarjana Sains

NOVRIDA ISNELIA 070803045

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

PERSETUJUAN

Judul : MULTIVARIAT ANALISIS VARIANS

BERDISTRIBUSI NORMAL DENGAN PERCOBAAN FAKTORIAL

Kategori : SKRIPSI

Nama : NOVRIDA ISNELIA Nomor Induk Mahasiswa : 070803045

Program Studi : SARJANA (SI) MATEMATIKA Departemen : MATEMATIKA

Fakultas : MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM (FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

Diluluskan di

Medan, September 2010

Komisi Pembimbing :

Pembimbing 2 Pembimbing 1

Drs. Suwarno Ariswoyo, M.Si. Drs. Marwan Harahap, M.Eng NIP. 195003211980031001 NIP. 194612251974031001

Diketahui/Disetujui oleh

Departemen Matematika FMIPA USU Ketua,

PERNYATAAN

MULTIVARIAT ANALISIS VARIANS BERDISTRIBUSI NORMAL DENGAN PERCOBAAN FAKTORIAL

SKRIPSI

Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.

Medan, Juli 2011

PENGHARGAAN

Bismillahirrahmanirrahim

Syukur Alhamdulillah penulis panjatkan kehadirat Allah SWT yang telah memberikan limpahan petunjuk, rahmat, taufik dan hidayah-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. Shalawat bersampul salam senantiasa penulis sampaikan kepada Nabi Muhammad SAW.

Skripsi ini merupakan salah satu syarat yang harus dipenuhi dan diselesaikan oleh seluruh mahasiswa Fakultas FMIPA Departemen Matematika. Pada skripsi ini penulis mengambil judul skripsi tentang Multivariat Analisis Varians Berdistribusi Normal Dengan Percobaan Faktorial.

Dalam penyusunan skripsi ini banyak pihak yang membantu, sehingga dengan segala rasa hormat penulis mengucapkan terima kasih kepada:

1. Bapak Drs. Marwan Harahap, M.Eng selaku dosen dan pembimbing I yang berkenan dan rela mengorbankan waktu, tenaga dan pikiran guna memberikan petunjuk dan bimbingannya dalam penulisan skripsi ini.

2. Bapak Drs. Suwarno Ariswoyo, M.Si. selaku dosen dan pembimbing II yang juga berkenan dan rela mengorbankan waktu, tenaga dan pikiran guna memberikan petunjuk dan bimbingannya dalam penulisan skripsi ini.

3. Bapak Drs. Djakaria Sebayang, M.Si dan Drs. Henry Rani Sitepu, M.Si selaku komisi penguji atas masukan dan saran yang telah diberikan demi perbaikan skripsi ini.

4. Bapak Dr. Sutarman, M.Sc. selaku Dekan FMIPA USU.

5. Bapak Prof.Dr. Tulus. Vordipl.Math.,M.Si.,Ph.D dan Ibu Dra. Mardiningsih M.Si selaku ketua dan sekretaris Departemen Matematika FMIPA USU.

6. Bapak Drs. Djenda Djujur Ginting, MS., sebagi Dosen Pembimbing Akademik yang telah memberikan banyak bantuan dan arahan selama masa perkuliahan. 7. Ibunda tercinta Hj. Rufidah Nasution, ayahanda tercinta H. Senen, B.A

terimakasih atas segala cinta dan kasih sayang serta semangat dan kesabaran yang selalu diberikan. Dan saudara-saudaraku kak Ima, kak dedi, Dina Tika, Sely dan terkhusus untuk aa Taufiq atas segala kesabaran dan kasih sayang yang telah diberikan serta dukungan selama penulis masih dibangku perkuliahan hingga akhirnya menyelesaikan tugas ini.

8. Sahabatku Kessy, Rizqi, Ieam, Memel, Dian, Warsini, Mizwar, Lia, Siti, Isna, kak Tria, kak Linda, bang Tear, kak laila, kak laily, kak ade, kak agni dan masih banyak lagi yang tak tersebutkan namanya yang telah banyak membantu penulis dengan memberikan semangat dan doa dalam menyelesaikan tulisan ini.

9. Senior-seniorku yang telah banyak membantu penulis dengan memberikan semangat dan doa dalam menyelesaikan tulisan ini.

Penulis juga menyadari masih banyak kekurangan dalam skripsi ini, baik dalam teori maupun penulisannya. Oleh karena itu, penulis mengharapkan saran dari pembaca demi perbaikan bagi penulis, semoga segala kebaikan dalam bentuk bantuan yang telah diberikan mendapat balasan dari Allah SWT.

Akhirnya penulis berharap semoga skripsi ini memberikan banyak manfaat bagi penulis khususnya dan pembaca umumnya,

Medan, Mei 2011

Penulis

ABSTRAK

MULTIVARIATE ANALYSIS VARIANCE WITH NORMAL DISTRIBUTION AND FACTOIAL DESAIN

ABSTRACK

DAFTAR ISI

2.5 Eigenvalue, Eigenvektor dan Matriks Varians-Kovarian ...17

2.5.1 Eigenvalue dan Eigenvektor ...17

2.5.2 Matriks Varians-Kovarians ...17

2.6 Eror Tipe I dan Tipe II ...18

2.7 Asumsi-asumsi pada Data Multivariat Analisis Varians ...19

Bab 4 Kesimpulan dan Saran ...58

4.1 Kesimpulan ...58

4.2 Saran ...59

DAFTAR TABEL

Halaman

Tabel 2.1 Kemungkinan Hasil Pengujian Hipotesis ... 23

Tabel 3.1 Anova untuk perbandingan Rata-rat Populasi ... 30

Tabel 3.2 Anova untuk Perbandingan Pengaruh Dua Faktor dan Interaksinya ... 33

Tabel 3.3 Manova untuk membandingkan rata-rata vektor populasi ... 36

Tabel 3.4 Distribusi Wilk’s Lambda ... 37

Tabel 3.5 Manova untuk Perbandingan Faktor dan Interaksinya ... 40

Tabel 3.6 Rancangan Penelitian ... 36

Tabel 3.7 Data Hasil Penelitian ... 45

Tabel 3.8 Statistik Deskriptive ... 45

Tabel 3.9 Data Hasil Standarisasi ... 46

Tabel 3.10 Uji Normalitas ... 50

Tabel 3.11 Box’s Test Kesamaan Matriks Kovarians ... 54

Tabel 3.12 Levene’s Test of Equality of Error Variances ... 55

DAFTAR GAMBAR

Halaman

Gambar 3.1 Box’s Plot Outlier variabel KPM ... 47

Gambar 3.2 Box’s Plot Outlier variabel PKM ... 48

Gambar 3.3 Box’s Plot Outlier variabel PKY ... 49

Gambar 3.4 Plot untuk variabel KPM ... 51

Gambar 3.5 Plot untuk variabel PKM ... 52

ABSTRAK

MULTIVARIATE ANALYSIS VARIANCE WITH NORMAL DISTRIBUTION AND FACTOIAL DESAIN

ABSTRACK

BAB 1 PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Analisis multivariat merupakan salah satu teknik statistik yang digunakan untuk memahami struktur data dalam dimensi tinggi. Variabel-variabel itu saling terkait satu sama lain. Disinilah letak perbedaan antara multivariabel dan multivariat. Multivariat pasti melibatkan multivariabel tetapi tidak sebaliknya. Multivariabel yang saling berkorelasilah yang dikatakan multivariat.

Analisis multivariat merupakan analisis lanjutan dari analisis univariat maupun bivariat. Secara ilmiah, untuk menjelaskan penomena sosial perlu dilakukan percobaan dengan pengumpulan dan analisis data. Analisis data yang dikumpulkan dari pengamatan atau percobaan akan menghasilkan modifikasi penjelasan dari penomena tersebut. Selama dalam masa percobaan tersebut, sering kali akan terjadi penambahan dan pengurangan variabel. Dengan demikian, maka akan timbullah masalah yang semakin komplek sehingga dibutuhkan lebih banyak variabel yang berbeda. Karena dalam data akan terdapat pengaruh beberapa variabel terhadap variabel lainnya dalam waktu yang bersamaan.

Analisis statistika multivariat merupakan metode statistik yang memungkinkan untuk melakukan penelitian terhadap lebih dari dua variabel secara bersamaan. Analisis statistika multivariat digunakan dalam menganalisis lebih dari satu variabel dependen untuk mengetahui apakah rata-rata kelompok berbeda secara signifikan, dimana variabel dependennya bertipe metrik dan variabel independennya bertipe nonmetrik adalah Multivariat Analysis Varia ns (MANOVA). Pada umumnya multivariat analisis varians memiliki variabel dependen yang lebih dari satu maka diasumsikan bahwa variabel dependen seharusnya berdistribusi normal. Karena memiliki lebih dari satu variabel dependen maka pengukuran normalitas adalah untuk multivariat.

Perbedaan antara ANOVA (analysis varians) dan MANOVA terletak pada jumlah variabel dependennya. ANOVA digunakan untuk mengetahui apakah terdapat perbedaan pengaruh perlakuan terhadap satu variabel dependen, sedangkan MANOVA digunakan untuk mengetahui apakah terdapat perbedaan pengaruh terhadap lebih dari satu variabel dependen. Perbedaan MANOVA dan ANOVA diformulasikan sebagai :

MANOVA

(metric) (nonmetric) ANOVA

(metric) (nonmetrik)

ANOVA

Paling sedikit terdapat dua rataan yang tidak sama Dimana µ adalah rata-rata.

Secara umum hipotesis nol dan hipotesis alternative untuk sejumlah k variabel independen dan sejumlah n variabel dependen dapat dinyatakan sebagai berikut : MANOVA

Paling sedikit terdapat dua rataan yang tidak sama

Rancangan percobaan merupakan salah satu alat statistika yang memegang peranan penting dalam kehidupan sehari-hari yang berhubungan dengan proses pemilihan atau penyaringan bahan dasar dalam proses produksi. Peranan statistika dalam penelitian, terutama penelitian yang menggunakan metode percobaan, meliputi perancangan, pengumpulan data, analisis, hasil analisis, dan penarikan hasil kesimpulan berdasarkan hasil analisis (Widiharih, T, 2007).

tersebut. Maka dipergunakanlah percobaan faktorial. Percobaan faktorial adalah suatu percobaan yang perlakuannya terdiri atas semua kemungkinan kombinasi taraf dari beberapa faktor.

Hal yang biasanya menjadi permasalahan dalam suatu rancangan percobaan adalah efek dari masing-masing faktor yang dicobakan dalam penelitian. Semakin banyak faktor yang dicobakan, semakin komplek rancangan percobaan yang digunakan. Ketika faktor yang digunakan semakin banyak maka semakin banyak pula jumlah perlakuan yang merupakan kombinasi taraf faktor-faktor tersebut.

Dalam suatu penelitian akan timbul berbagai faktor yang akan menjadi sebab akibat dari suatu kejadian. Dan tak jarang pula untuk mengkaji penomena kehidupan akan muncul lebih dai satu faktor yang memiliki saling ketergantungan dengan faktor lainnya. Maka untuk mengoptimalkan suatu tujuan dibutuhkanlah suatu perbandingan dari berbagai perlakuan. Dan untuk melakukan suatu percobaan, agar ditemukan hasil yang lebih memuaskan dibuatlah suatu rancangan percobaan. Dari uraian diatas maka pada kesempatan kali ini penulis tertarik untuk melakukan penelitian dengan judul

“Multivariat Analisis Varians Berdistribusi Normal Dengan Percobaan Faktorial”.

1.2 Perumusan Masalah

1.3 Tinjauan Pustaka

Jika suatu data adalah multivariat, maka digunakan model multivariat normal. Distribusi multivariate normal adalah perluasan dari distribusi univariat normal dengan mencocokkan vector pengamatannya. Jika p-dimensi adalah vektor dari variabel acak

Jika adalah p - variat multivariat normal dengan rata-rata dan varians-kovarians matriks Σ, dimana (jurnal tentang The Multivariate Normal Distribution)

Dikatakan mempunyai distribusi multivariat normal jika fungsi kepadatan

Menurut Johnson R.A (1992) asumsi yang harus dipenuhi sebelum melakukan pengujian dengan MANOVA :

1. adalah sampel acak dari populari dengan rata-rata . Sampel acak dari populasi yang berbeda adalah independen

2. Dat a berasal dari populasi yang berdistribusi normal multivariat 3. Homogenitas matriks varians kovarians

adalah notasi untuk menyatakan nilai sebenarnya dari j variabel yang diamati

dalam l percobaan.Diperlihatkan dalam bentuk matriks X, dengan l baris dan j kolom :

Model manova untuk membandingkan rata-rata vektor populasi

estimasi perlakuan

sisa

Uji signifikansi multivariat untuk mengetahui adanya perbedaan sentroid dua variabel dependen atau lebih dapat dievaluasi dengan berbagai kriteria uji statistika. Uji statistika yang secara umum digunakan adalah :

1. Pillai’s Trace

2. Hotelling’s Trace

3. Wilks’s Lambda

4. Roy’s Larget root

Karena kemampuannya untuk menganalisis beberapa pengukuran dependen secara simultan, Manova memiliki keunggulan sebagai berikut :

1. Menyediakan kontrol tingkat kesalahan eksperimen ketika terjadi beberapa derajat inter-korelasi diantara variabel dependen.

2. Menyediakan statistik yang lebih kuat dari Anova ketika jumlah variabel dependen lebih banyak,

Percobaan faktorial digunakan ketika percobaan yang dilakukan memiliki lebih dari satu faktor. Percobaan dengan menggunakan f buah faktor dengant t taraf untuk setiap faktornya disimbolkan dengan percobaan faktorial . Tujuan dari percobaan faktorial adalah untuk melihat interaksi antara faktor yang akan dicobakan. Adakalanya kedua faktor saling sinergi terhadap respon (positif), namun adakalanya juga keberadaan salah satu faktor justru menghambat kinerja dari faktor lain (negatif). Adanya kedua mekanisme tersebut cenderung meningkatkan pengaruh interaksi antar kedua faktor.

1.4 Tujuan Penelitian

1.5 Kontribusi Penelitian

1. Penelitian ini bermanfaat bagi penulis sebagai penerapan materi perkuliahan yang didapat selama masa perkuliahan.

2. Memberikan informasi lebih lanjut terhadap pembaca tentang multivariate analysis

variance (MANOVA).

1.6 Metodologi Penelitian

BAB 2

LANDASAN TEORI

2.1 Populasi dan Sampel

Populasi adalah kelompok besar individu yang mempunyai karakteristik umum yang sama atau kumpulan dari individu dengan kualitas serta ciri-ciri yang telah ditetapkan.

Untuk mempermudah suatu penelitian sering kali peneliti tidak mengambil seluruh anggota dari populasi untuk diteliti, namun hanya sebagian subjek dari populasi yang diteliti. Sebagian dari anggota populasi yang diambil untuk diteliti itulah yang disebut sebagai sampel. Akan tetapi dalam pengambilannya, sampel tersebut harus bisa mewakili ciri dari suatu populasi, sehingga sampel tersebut dapat menggambarkan keadaan secara keseluruhan dan objektif.

Sampel adalah sebagian atau wakil dari populasi. Sampel terdiri dari sekelompok individu yang dipilih dari kelompok yang lebih besar di mana pemahaman dari hasil penelitian akan diberlakuakan.

2.2 Jenis Data dan Variabel

2.2.1 Data Kualitatif (nonmetric)

1. Skala Nominal

himpunan yang lain. Contoh skala nominal diantaranya yaitu: jenis kelamin (laki-laki dan perempuan), golongan darah (A, B, O, AB).

2. Skala Ordinal

Skala ordinal adalah juga data kualitatif namun dengan level yang lebih tinggi daripada skala nominal. Jika pada skala nominal, semua data kategori dianggap sama, maka pada data ordinal, ada tingkatan data. Misalnya pada data Jenis Kelamin di atas, Lelaki dianggap setara dengan Wanita, atau dalam data Tempat Kelahiran, data Jakarta dianggap sama dengan data Yogyakarta, Surabaya, Boyolali, dan seterusnya. Pada data ordinal, ada data dengan urutan lebih tinggi dan urutan lebih rendah.

2.2.2 Data Kuantitatif (metric)

1. Skala Rasio

Skala rasio adalah tingkatan data yang paling tinggi. Skala rasio memiliki jarak antara nilai yang pasti dan memiliki nilai nol mutlak yang tidak dimiliki oleh jenis-jenis data lainnya. Contoh dari data rasio diantaranya: berat badan, panjang benda, jumlah satuan benda.

2. Skala Interval

2.3 Variabel

Variabel adalah karakter dari unit observasi yang mempunyai variasi. Dengan mengetahui variabel penelitian, maka peneliti akan mudah mengumpulkan data yang diperlukan dalam rangka untuk mencapai tujuan.

Dalam penelitian ini terdapat dua variabel yaitu variabel independen dan variabel dependen :

a. Variabel independen atau variabel bebas yang juga sering disebut sebgai prediktor yaitu variabel bebas yang akan diukur pengaruhnya atau variabel yang mempengaruhi variabel lainnya.

b. Variabel dependen yaitu variabel terikat yang keberadaannya tergantung atau dipengaruhi variabel lainnya.

Hubungan kedua variabel tersebut dapat digambarkan sebagai berikut :

Variabel bebas variabel Terikat

2.4 Percobaan Faktorial

Pola atau tata cara penerapan perlakuan-perlakuan dalam suatu percobaan pada lingkungan tertentu yang kemudian menjadi dasar penataan dan metode analisis statistik terhadap data hasilnya disebut rancangan percobaan.

Penelitian eksperimen merupakan kegiatan penelitian yang bertujuan untuk menilai pengaruh suatu perlakuan terhadap suatu gejala yang menjadi objek penelitian atau menguji hipotesis tentang ada-tidaknya pengaruh suatu perlakuan bila dibandingkan dengan perlakuan lain. Berdasarkan hal tersebut maka tujuan umum penelitian eksperimen adalah untuk meneliti pengaruh dari suatu perlakuan tertentu terhadap gejala suatu kelompok tertentu dibanding dengan kelompok lain yang menggunakan perlakuan yang berbeda.

Rancangan-rancangan percobaan disusun berdasarkan dua hal berikut :

1. Tingkat heterogenitas dan jumlah faktor yang menyebabkan keragaman lingkungan tempat percobaan dilaksanakan (galat), rancangan-rancangan hasilnya disebut Rancangan Lingkungan (Ecological Design)

.

2. Jumlah faktor dan metode pelaksanaan perlakuan pada unit percobaan, rancangan-rancangan hasilnya disebut Rancangan Perlakuan (Treatmental

Design).

Tiga prinsip penting yang harus dimiliki oleh semua rancangan percobaan agar hasil dari suatu percobaan objektif, yaitu :

1. Ulangan

Ulangan berarti bahwa suatu perlakuan dalam suatu percobaan terdapat lebih dari satu kali. Fungsi ulangan adalah menaksir galat percobaan dan mempertinggi kecepatan pengukuran pengaruh perlakuan. Banyaknya ulangan yang diperlukan bagi suatu percobaan tergantung dari besarnya perbedaan yang ingin dideteksi dan varibilitas data yang sedang dikerjakan. Makin homogen bahan percobaan ulangan makin sedikit, bahkan bila bahan percobaan 100% homogen tanpa ulangan pun pembandingan antar-perlakuan dapat dilakukan.

2. Pengacakan (Randomization)

Menempatkan perlakuan ke dalam unit percobaan (experimental unit) secara acak, sehingga semua unit percobaan mendapat kesempatan yang sama untuk menerima suatu perlakuan. Demikian juga memilih tanaman contoh untuk diamati sifat-sifatnya harus secara acak. Fungsi pengacakan ini untuk memperoleh penaksiran yang tidak berbias dari rata-rata perlakuan dan galat percobaan.

3. Pengawasan setempat (Local Control)

Nilai-nilai dalam suatu percobaan meliputi dua hal berikut :

1. Nilai-nilai tidak bebas yang terjadi secara rambang dengan besaran yang tergantung pada pengamatan disebut peubah terikat. Yang dalam hubungan kausatifnya disebut sebagai faktor sebab.

2. Nilai-nilai bebas yang terjadi secara rambang dengan besaran yang tergantung pada pengamatan disebut peubah bebas. Yang dalam hubungan kausatifnya disebut sebagai faktor akibat adanya.

Analisa digunakan untuk menyelidiki apakah terdapat perbedaan yang berarti mengenai rata-rata efek tiap taraf atau tidak. Akan tetapi sering terjadi bahwa akan diselidiki secara bersamaan efek dari beberapa faktor yang berlainan. Apabila faktor terdiri dari beberapa taraf, maka kombinasi tertentu dari taraf tiap faktor menentukan sebuah kombinasi perlakuan. Jika semua kombinasi antara taraf setiap faktor diperhatikan, maka eksperimen yang terjadi diantaranya disebut percobaan faktorial.

Percobaan faktorial bukan merupakan suatu rancangan, melainkan suatu pola melakukan percobaan untuk mencoba secara serentak dari beberapa faktor dalam suatu percobaan. Adapun rancangan yang dipergunakan dalam percobaan faktorial, tergantung kepada keadaan lingkungan percobaan dan tujuan percobaan faktorial mempelajari pengaruh dari dua faktor atau lebih. Masing-masing faktor terdiri dari dua taraf atau lebih, dimana semua taraf setiap faktor dikombinasikan menjadi kombinasi perlakuan. Kombinasi perlakuan ini merupakan satu kesatuan perlakuan yang dicoba dengan suatu rancangan tertentu. Penempatan kombinasi perlakuan pada unit percobaan diacak menurut aturan rancangan dasar yang digunakan.

adalah t = abc. Andaikan bahwa tiap perlakuan diulang dengan ulangan yang sama sebanyak n.

Pada percobaan yang demikian, data yang diperoleh akan beragam yang dapat dikaitkan dengan tingkatan masing-masing faktornya. Dengan demikian dapat ditulis sebagai berikut : sebaliknya, maka setiap tingkat faktor A atau B akan terulang pada semua tingkat faktor lainnya (A atau B) yang disebut dengan ulangan tersembunyi, sehingga dalam percobaan faktorial, semua tingkat faktor A atau B akan diulang sebanyak r ulangan dan n ulangan tersembunyi. Hal ini akan meningkatkan derajat ketelitian pengmatan terhadap pengaruh faktor perlakuan dalam percobaan.

Definisi Sebuah k-tupel bilangan real disusun dalam sebuah kolom disebut vektor. Dapat ditulis sebagai

atau

2.5 Eigenvalue, Eigenvektor dan Matriks Varias-Kovarians 2.5.1 Eigenvalue dan Eigenvektor

Definisi 2.5.1 Andaikan A merupakan matriks kuadrat k x k dan matriks identitas maka memenuhi persamaan polinomial disebut eigenvalue dari matriks A. Persamaan merupakan fungsi disebut persamaan karakteristik.

Definisi 2.5.2 Andaikan A merupakan matriks k x k dan merupakan eigenvalue A. Jika x merupakan vektor tak nol sedemikian hingga , maka x disebut eigenvektor dari A yang sesuai dengan eigenvalue .

Jika matriks merupakan matriks non singular, maka dapat dikalikan dengan inversnya dan satu-satunya penyelesaian ialah . Sehingga akan ada suatu penyelesaian dimana jika matriks adalah singular, yaitu . Biasanya eigenvektor dinormalkan dengan membuat jumlah kuadrat elemen-elemennya mempunyai nilai sedemikian hingga , dan untuk menunjukkan eigenvalue normal dinotasikan dengan e.

2.5.2 Matriks Varians-Kovarians

setiap variabel dan elemen-elemen diluar diagonal utama merupakan kovarians antara variabel yang berbeda.

Varians merupakan pengurangan kuadrat dari setiap variabel dengan rata-ratanya, sedangkan kovarians merupakan perkalian silang atau deviasi antara satu variabel dengan ratanya dikalikan dengan deviasi antara variabel kedua dengan rata-ratanya.Pandang vektor acak mempunyai rata-rata , maka matriks kovarians varians antara . Demikian matriks varians kovarians dapat ditulis sebagai

Tabel 2.1 Kemungkinan Hasil Pengujian Hipotesis

Dalam menguji suatu hipotesis, probabilitas maksimum bersedia menerima resiko terjadinya eror tipe I disebut sebagai tingkat signifikan dari pengujian tersebut, yang disimbolkan dengan . Dalam prakteknya, tingkat signifikan 0.05 dan 0.01 adalah tingkat signifikan yang umum, meskipun nilai yang lain dapat digunakan.

2.7 Asumsi-asumsi pada data Multivariat Analisis Varians

2.7.1 Adanya Independensi

Hal yang sangat penting adalah ketika terjadi suatu pelanggaran, yaitu tidak adanya kebebasan antar pengamatan. Dalam kebanyakan pengamatan atau perlakuan, mempunyai akibat yang akan mempengaruhi hasil observasi.

2.7.2 Uji Data Outlier

Data outlier adalah data yang secara nyata berbeda dengan data yang lain. Outlier adalah kasus dengan nilai ekstrem pada kombinasi variabel yang koefisien korelasinya terlalu berpengaruh, nilai rata-rata dari kelompok. Outlier dapat ditemukan antara situasi univariat dan multivariat, diantara dikotomus dan variabel kontinue, antara variabel dependen dan variabel independen, dan antara input dan output dari analisis.

Multivariat analisis cukup sensitif terhadap keberadaan data yang bernilai sangat ekstrem (outlier). Oleh karena itu, data terlebih dahulu perlu dideteksi pakah mengandung outluer atau tidak. Memasukkan outlier pada kasus multivariat analisis akan membuat uji statistik menjadi lebih sulit ditafsirkan. Terutama adalah suatu outlier dapat memperlihatkan kesalahan tipe I atau kesalahan tipe II.

Data outlier bisa terjadi karena beberapa faktor : 1. Kesalahan dalam pemasukan data. 2. Kesalahan pada pengambilan sampel.

3. Terdapat data-data ekstrem yang tidak bisa dihindarkan keberadaannya.

Langkah-langkah menemukan outlier :

1. Membuat titik pencar untuk setiap variabel

2. Membuat diagram pencar untuk setiap pasangan variabel 3. Hitung nilai standar

untuk j = 1,2,...,n dan setiap kolom k = 1,2,...,p. Periksa standarisasi ini untuk nilai besar atau nilai kecil. Sebuah data dikatakan outlier, jika nilai z lebih besar dari +2.5 atau lebih kecil sama

2.7.3 Uji Multivariat Normal

Tujuan dari uji normalitas adalah untuk mengetahui apakah distribusi sebuah data mengikuti atau mendekati distribusi normal, yakni distribusi data dengan bentuk lonceng. Data yang baik adalah data yang mempunyai pola seperti distribusi normal.

Pada dasarnya, distribusi utama dan permasalahan yang muncul dalam analisis multivariat adalah distribusi normal multivariat. Distribusi normal multivariat digunakan karena dua alasan, pertama, banyak kasus penelitian multivariat kurang lebih mendekati distribusi normal, karena rata-rata sampel dan matriks kovarian digunakan dalam prosedur inferensial, mewajibkan efek teorema central limit. Ini juga disebabkan, ketika penelitian dapat dianggap sebagai jumlah dari vektor acak independen, model yang layak dalam berbagai situasi. Kedua, distribusi multivariat normal dan distribuai sampling untuk memberi kemudahan.

Beberapa teknik analisis multivariat yang digunakan mengasumsikan bahwa data dihasilkan dari distribusi multivariat normal. Meski pun pada dasarnya data yang digunakan tidak selalu berdistribusi normal, distribusi normal digunakan sebagai pendekatan untuk mencapai distribusi populasi yang mendekati benar.

Multivariat normal adalah perluasan dari univariat normal. Sebuah variabel kontinu x dikatakan mengikuti distribusi normal dengan parameter lokasi pemusatan dan parameter penyebaran (variansi) jika mengikuti fungsi kemungkinan berikut :

Tepat untuk menentukan fungsi kepadatan normal dengan rata-rata dan varians oleh .

Dalam eksponen dari fungsi kepadatan normal univariat ukuran kuadrat jarak dari x ke adalah deviasi standard. Ini dapat diperluas untuk vektor xp x 1 dari penelitian pada beberapa variabel sebagai

Vektor p x 1 menunujukkan nilai ekspektasi dari vektor acak X, dan matriks Sp x p adalah matriks varians-covarians dari X.

Kepadatan multivariat normal diperoleh dari menukarkan jarak univariat pada persamaan (2.4) dengan persamaan (2.5) dalam fungsi kepadatan dari (2.3). ketika dilakukan pertukaran, nilai konstant univariat normal ditukar kebentuk konstanta yang lebih luas, yang memperlihatkan fungsi kepdatan multivariat untuk p. Ini diperlukan karena, dalam kasus multivariat, probabilitas digambarkan oleh volume yang berada dibawah daerah batas ketentuan yang didefinisikan oleh interval dari nilai . Ini dapat ditunjukkan probabilitas standard normal yang konstant adalah

Pernyataan dibawah ini benar untuk vektor acak berdistribusi normal multivariat :

1. Kombinasi linear dari komponen-komponen X adalah distribusi normal multivariat.

2. Semua himpunan bagian dari komponen-komponen dari X memiliki distribusi normal multivariat.

3. Kovarians nol menakibatkan komponen-komponen yang bersangkutan independen

4. Distribusi bersyarat dari komponen-komponen adalah multivariat normal

Untuk melakukan pemeriksaan data normal multivariat, dapat dilakukan dengan cara mengkonstruksikan plot chi-kuadrat dengan langkah-langkah sebagai berikut : multivariat. Kelengkungan menunjukkan penyimpangan dari normalitas.

Kriteria Pengujian :

 Angka signifikansi , maka data berdistribusi normal

Jika sebuah variabel mempunyai sebaran data yang tidak normal, maka perlakuan yang memungkinkan agar menjadi normal :

1. Menambah jumlah data

2. Menghilangkan data yang menjadi penyebab tidak normalnya data 3. Dilakukan transformasi data

2.7.4 Uji Homoskedastisitas data

Asumsi selanjutnya yang harus dipenuhi dalam Manova adalah kesamaan matriks kovariansi antar grup variabel dependen sehingga dapat dikatakan ada homoskedastisitas data. Namun jika variansi diantara anggota ditiap-tiap grup tidak sama, dapat dikatakan bahwa terjadi heteroskedastisitas.

Penyamarataan multivariat untuk homogeneitas varians untuk setiap variabel dependen adalah homogeneitas matriks varians-kovarians. Asumsinya adalah matriks varians-kovarians dalam setiap sel rancangannya adalah contoh dari populasi matriks varians-kovarians yang sama. Jika tidak homogen, kumpulan matriks adalah sesat atau tidak benar sebagai suatu estimasi dari varians error. Syarat ini akan jadi berbeda dari asumsi kesamaan kovarians yang dibutuhkan oleh pengulangan pada varians analisis univariat. Asumsi berikutnya, tidak dibutuhkan dalam multivariat analisis varians, karena semua kovarians dalam kumpulan matriks adalah equivalent. Pelanggaran dari homogeneitas dari kovarians adalah dasar kebenaran untuk pengambilan keputusan dalam multivariat analisis varians daripada pengulangan analisis varians.

Pengujian homoskedastisitas ini dapat menggunakan nilai Box,s M. a. Hipotesis

c. ditolak jika

p : banyaknya variabel respon yang diamati g : banyaknya matriks peragam yang diuji

Mendekati distribusi chi-square dengan derajat bebas

  

1 1



2 1

  p p

k bila M besar. Statistik penguji M merupakan generalisasi

uji Barlett untuk homogenitas variansi. Distribusi statistik M sangat tergantung pada anggapan multinormalitas.

BAB 3 PEMBAHASAN

Multivariat analisis varians adalah teknik statistik yang dapat digunakan secara simultan untuk mengeksplor hubungan antara beberapa variabel independen yang berjenis nonmetric (nominal dan ordinal) dengan beberapa variabel dependen yang berjenis mertic (interval dan rasio).

Manova (Multivariate Analysis of Variance) merupakan perluasan dari Anova

(Analysis of Variance). Perbedaan Manova dan Anova sebenarnya hanya terletak pada

jumlah variabel dependen. Jika pada Anova hanya ada satu variabel dependen yang dianalisis secara bersama-sama, sedangkan Manova ada beberapa variabel dependen yang dianalisis secara bersama-sama. Dimana tujuannya untuk mengetahui apakah terdapat perbedaan yang nyata terhadap variabel dependen.

Himpunan yang tepat untuk MANOVA terdiri dari satu atau lebih variabel indepnden dan dua atau lebih variabel depdenden dalam populasi disetiap kombinasi variabel independen.

Dengan menganggap suatu sampel acak dengan dari populasi 1 dan dari populasi 2. Penelitian pada p variabel dapat disusun sebagai berikut :

3.1 Multivariat Analisi Varians

Sebelum membahas penerapan analisis ragam multivariate, maka perlu dikemukakan secara sekilas tentang analisis Anova.

3.1.1 Analisis Varians Satu Arah

Dalam model Anova satu arah dapat dirumuskan sebagai berikut :

l = 1, 2, ..., g

j = 1, 2, ...,

dimana :

= nilai pengamatan (respons tunggal) dari ulangan ke-j yang

memperoleh perlakuan ke-l.

= nilai rata-rata umum (sesungguhnya). τi = pengaruh dari perlakuan ke-l.

= pengaruh galat (error) yang timbul pada ulangan ke-j yang memperoleh

Asumsi-asumsi yang diperlukan untuk model (3.1) adalah



_i 0, serta . Dalam ragam univariate (Anova), maka yang menjadi perhatian peneliti adalah meguji hipotesis tentang pengaruh perlakuan yang dirumuskan sebagai berikut:

Ho : ₁ ₂ ...._t 0; artinya tidak terdapat pengaruh dari semua perlakuan yang dicobakan terhadap respons yang diamati.

H1 _: Paling sedikit ada satu τl ≠ 0 (l = 1, 2, ..., t) artinya paling sedikit ada satu perlakuan yang mempengaruhi respons.

Tabel 3.1 Anova untuk Perbandingan Rata-rata Populasi

Sumber Penjumlahan Kuadrat Derajat Kebebasan Perlakua

Pengujian hipotesis dalam analisis ragam univariate satu arah menggunakan uji F dengan jalan membandingkan nilai F hitung dengan nilai dari tabel distribusi F pada taraf nyata α, derajat bebas perlakuan ( ) dan derajat bebas eror. Hipotesis nol akan ditolak pada taraf α apabila nilai F hitung lebih besar daripada F tabel, selain itu hipotesis nol diterima. Penolakan Ho berarti paling sedikit ada satu nilai rata-rata perlakuan yang berbeda dengan nilai rata-rata perlakuan lainnya.

3.1.2 Analisis Varians Dua arah

Anggap pengukuran dicatat dalam berbagai level dari dua faktor. Dalam beberapa kasus, percobaaan ini memperlihatkan level dari perlakuan tunggal yang disususn dengan beberapa blok.

penelitian ke-r pada level l dari faktor 1 dan level k dari faktor 2 dengan , dengan model univariat

Dimana dan adalah variabel acak independen . Dan memperlihatkan rata-rata level secara keseluruhan, memperlihatkan effek dari faktor 1, memperlihatkan efek dari faktor 2, dan adalah imteraksi anatara faktor 1 dan faktor 2. Ekspektasi respon pada l level dari faktor 1 dan k level dari faktor 2 adalah

Dimana :

: rata-rata reaksi

: rata-rata keseluruhan : pengaruh faktor 1

: pengaruh faktor 2

: pengaruh interaksi faktor 1 dan faktor 2

Dari persamaan (3.3) setiap pengamatan dapat dibentuk sebagai

faktor 1 dan level k faktor 2. Kuadrat dan penjumlahan dari deviasi standard adalah

Atau

Derajat kebebasan dan hubungannya dengan penjumlahan kuadrat dalam persamaan (3.5) adalah

Tabel 3.2 ANOVA untuk Perbandingan Pengaruh dari Dua Faktor dan Interaksinya Sumber variasi Penjumlahan kuadrat Derajat kebebasan Faktor 1

Seperti halnya pada Anova faktor penelitian terbagi menjadi satu arah (one wa y) dan dua arah (two way). Pada Manova juga terdapat Manova satu arah (one way) dan Manova dua arah (two way).

3.1.3 Multivariat Analisis Varians Satu Arah

Manova satu arah mengkaji pengaruh dari g perlakuan terhadap p buah respon secara serempak, dimana p>1.

Asumsi struktur data untuk MANOVA satu arah

1. adalah sampel acak dengan ukuran dari populasi dengan rata-rata , . Sampel acak dari populasi yang berbeda adalah independen.

2. Semua populasi memiliki covarians matriks S.

3. Semua populasi adalah multivariat normal, dengan menggunakan teorema

central limit ketika ukuran sampel besar.

Model MANOVA untuk membandingkan rata-rata vektor g populasi

: rata-rata keseluruhan

: pengaruh dari perlakuan ke-l dengan

: pengaruh (galat) error yang muncul pada pengukuran artinya yang timbul

pada respon ke-l dari ulangan ke-j (dianggap sebagai variabel independen dan berdistribusi ).

dimana :

: observasi

: rata-rata sampel keseluruhan : penduga perlakuan

: residual

atau

T = B + W Dimana :

T : jumlah kuadrat total terkorelasi dan hasil kali silang B : jumlah kuadrat antar perlakuan dan hasil kali silang W : jumlah kuadrat dalam perlakuan dan hasil kali silang

Dimana adalah sampel matriks kovarians untuk l sampel. Matriks ini adalah bentuk umum dari matriks terdapat pada kedua sampel.

Tabel 3.3 Manova untuk membandingkan rata-rata vektor populasi Sumber Variasi Matriks jumlah kuadrat dan Matriks

: determinan dari matriks total (T)

Tabel 3.4 Distribusi Wilk’s Lambda,

Banyak variabel

Banyak grup Distribusi sampling untuk data multivariat normal

Akan mendekati distribusi chi-kuadrat dengan derajat kebebasan p(g-1). Konsekuensinya jika benar dan besar, maka ditolak pada tingkatan signifikan jika

Dimana dari distribusi chi-squa re dengan derajat kebebasan .

3.1.4 Multivariat Analisis Varians Dua Arah

Andaikan terdapat g level pada faktor 1 dan terdapat sebanyak b level pada faktor 2, serta observasi yang independen n yang diamati pada setiap kombinasi level-level gb.

adalah notasi dari observasi ke-r di level l pada faktor 1 dan di level k pada

faktor 2.

Model Analisis Multivariat dua arah adalah

Dimana . Semua vektor , dan adalah variabel acak independen . Maka, perlakuan terdiri dari p pengukuran dengan ulangan n kali pada setiap kemungkinan kombinasi level dari faktor 1 dan faktor 2.

Dari persamaan (3.4) dapat dibentuk vektor pengamatan sebagai

Pengembangan univriat ke multivariat analisis terdiri dari penggantian skalar sebagai dengan matriks yang sesuai .

Tabel 3.5 MANOVA untuk Perbandingan Faktor dan Interaksinya Sumber

variasi

Prosedur uji likelihood

(tanpa interaksi)

paling tidak terdapat satu

Dengan menolak untuk nilai ratio yang kecil

maka tolak pada level jika

Atau

Uji efek faktor 1

paling sedikit terdapat satu .

Hipotesis ini menetapkan tidak terdapat efek faktor 1 dan beberapa efek faktor 1 berturut-turut.

Menolak (tidak terdapat efek faktor 1) pada level jika

Atau

Uji efek faktor 2

paling sedikit terdapat satu . Untuk nilai yang kecil

Menolak (tidak terdapat efek faktor 2) pada level jika

Atau

3.2 Contoh Kasus

Jenis penelitian ini adalah eksperimen, dengan satu faktor perlakuan yang dikenakan pada subyek penelitian, yaitu pemberian perkuliahan dengan strategi tertentu (konvensional kolaboratif berbasis masalah) dan faktor lingkungan yaitu jenis program yang dipilih mahasiswa (reguler atau non reguler). Dalam hal ini menyangkut pemilihan jenis strategi perkuliahan yang dibandingkan, yaitu konvensional dan kolaboratif berbasis masalah, ditetapkan oleh peneliti dengan pertimbangan tertentu, walaupun banyak strategi pembelajaran yang lain. Dengan demikian faktor perlakuan bersifat tetap. Namun, kelompok mana yang mendapatkan perlakuan tertentu dipilih secara acak.

Ada tiga variabel terikat atau respon yang diamati pada subyek penelitian, yaitu : (1) kemampuan pemecahan maslah matematis; (2) kemampuan komunikasi matematis dan (3) keyakinan terhadap pembelajaran matematika. Ada tiga jenis hipotesis utama yang akan di uji dalam penelitian ini, yaitu : (1) apakah terdapat pengaruh faktor strategi perkuliahan terhadap kemampuan pemecahan masalah, peningkatan kemampuan komunikasi matematis, dan peningkatan keyakinan terhadap pembelajaran matematika (2) apakah terdapat pengaruh faktor jenis program terhadap kemampuan pemecahan masalah, peningkatan kemampuan komunikasi matematis, dan peningkatan keyakinan terhadap pembelajaran matematika dan (3) apakah terdapat pengaruh gabungan (interaksi) antara strategi perkuliahan dan jenis program terhadap kemampuan pemecahan masalah, peningkatan kemampuan komunikasi matematis, dan peningkatan keyakinan terhadap pembelajaran matematika.

Karena terdapat satu faktor perlakuan yang terdiri dari dua taraf (konvensional dan kolaboratif berbasis masalah) dan faktor lingkungan yang terdiri dari dua taraf (reguler dan non reguler) maka rancangan penelitiannya dengan variabel dependen dengan Multivariat Two-ways fixed .

s.d : kelompok mahasiswa program non reguler yang mendapatkan

perkuliahan dengan strategi Kolaboratif Berbasis Masalah

Tabel 3.7 Data Hasil Penelitian

Nilai standarisasi untuk strategi perkuliahan konvensional dengan jenis perkuliahan reguler dan nilai kemampuan pemecahan matematis 6.5, maka :

Box Plot :

Tidak terlihat satu pun data KPM, PKM dan PKY yang ada diluar Box Plot. Dengan demikian bisa dukatakan bahwa tidak terdapat data outlier ataupun ekstrem pada variabel ini.

2. Uji Normalitas Data

Kriteria Pengujian :

 Angka signifikansi , maka data berdistribusi normal

 Angka signifikansi , maka data tidak berdistribusi normal Tabel 3.10 Uji Normalitas

Kolmogorov-Smirnova Shapiro-Wilk Statistic Df Sig. Statistic df Sig.

KPM .097 20 .200* .979 20 .915 PKM .139 20 .200* .950 20 .367 PKY .117 20 .200* .968 20 .709 a. Lilliefors Significance Correction

Terlihat sebaran data dari variabel KPM, PKM, dan PKY terletak sisekitar garis uji yang mengarah kekanan atas, dan tidak ada data yang terletak jauh dari sebaran data, data tersebut bisa dikatakan normal

.

3. Homogeneitas matriks varians-kovarians

Ketiga variabel dependen (KPM, PKM, dan PKY) memiliki matriks varians dan

kovarians yang sama, baik pada strategi perkuliahan (Konvensional dan Kolaboratif) maupun pada jenis program (Reguler dan non Reguler).

Ketiga variabel dependen (KPM, PKM, dan PKY) memiliki matriks varians dan

kovarians yang berbeda, baik pada strategi perkuliahan (Konvensional dan Kolaboratif) maupun pada jenis program (Reguler dan non Reguler).

Dari tabel Box’s M adalah 36.305 dengan angka signifikan 0.183. karena angka tersebut besar dari 0.05 maka diterima. Hal ini berarti matrik varians-kovarians pada variabel KPM, PKM dan PKY adalah sama untuk strategi perkuliahan dan jenis program.

Pengujian individu

Tabel 3.12 Levene's Test of Equality of Error

Variancesa

F df1 df2 Sig.

KPM 1.919 3 16 .167

PKM 1.768 3 16 .194

PKY 1.676 3 16 .212

a. Design: Intercept + Faktor_1 + Faktor_2 + Faktor_1 *

Faktor_2

Dari tabel terlihat angka signifikan uji Levene untuk ketiga variabel dependen, yakni KPM (0.167), PKM (0.194) dan PKY (0.212). Ketiga angka signifikan maka diterima. Hal ini berarti pada variabel KPM, PKM dan PKY secara individu adalah sama, baik untuk strategi perkuliahan dan jenis program.

Tabel 3.13 MANOVA untuk Perbandingan Faktor dan Interaksinya

Uji interaksi :

Dan

Sebelumnya . Didapat dan oleh karena itu, menolak (tidak ada pengaruh faktor 1) pada level 5%. Sama dengan . menolak (tidak ada pengaruh faktor 2) pada level 5%.

Dapat disimpulkan bahwa :

1. Tidak terdapat pengaruh pengaruh yang signifikan antara faktor strategi perkuliahan dan Jenis Program dalam proses perkuliahan.

2. Terdapat pengaruh yang signifikan pada faktor 1 (strategi perkuliahan) dalam proses perkulihan.

BAB 4

KESIMPULAN DAN SARAN

4.1Kesimpulan

1. Percobaan Faktorial merupakan suatu rancangan percobaan yang terdiri dari beberepa beberapa faktor dan setiap faktor terdiri dari n taraf, maka kombinasi tertentu dari taraf tiap faktor menentukan sebuah kombinasi perlakuan.

2. Teknik analisis varian dikembangkan untuk situasi eksperimen, dengan replikasi sebagai pengertian utama terhadap validasi. Kemampuan untuk memvalidasi hasil dalam keadaan ini adalah berdasarkan kemampuan replikasi dari treatment.

3. Berdasarkan teknik multivariat yang mengasumsikan kenormalan pada datanya akan menjadi tidak kokoh (diragukan keberlakuannya) saat asumsi kenormalan multivariat pada data tidak terpenuhi. Maka pada data multivariat dilakukan uji asumsi, seperti adanya independensi antar anggota grup, kesamaan matriks antar-grup pada variabel dependen, uji multivariat normal dan uji outlier pada data.

4.2Saran

DAFTAR PUSTAKA

Golden, Cyril H. 1952. Methods of Statistical Analysis. Canada : International copyright.

Johnson, Richard A and Wichern, Dean W. 2007. Applied Multivariat Statistical

Analysis. United State of America : Pearson Education

International.

Nasrullah, A. Pollet. 1994. Penggunaan Metode Statistika Untuk Ilmu

Hayati.Yogyakarta : Gajah Mada University Press.

Santoso, Singgih. 2010. STATISTIKA MULTIVARIAT. Jakarta : PT. Gramedia. Walpole, Ronald E. dan Myers, Raymond H. 1995. IILMU PELUANG DAN

STATISTIKA UNTUK INSINYUR DAN ILMUAN. Bandung :

Penerbit ITB.

http://eprints.uny.ac.id/962/1/Analisis_Varians_Multivariat_dua_Arah_By_Rita. pdf. Diakses pada tanggal 16 Oktober, 2010(analisis varian multivarian dua arah)

http://yandipress.wordpress.com/2009/05/26/analisis-of-varians-multivariate/. Diakses pada tanggal 16 Oktober, 2010.(tugas analisis mnultivariat)

http://www.itl.nist.gov/div898/handbook/pmc/section5/pmc542.htm. Diakses tanggal 18 Februari 2011 (The Multivariate Normal Distribution)

http://www.slideshare.net/galih_aw/faktorial-design. Diakses pada tanggal 18 Februari 2011 (Faktorial)