FAKTORIAL RANCANGAN ACAK LENGKAP

FAKTORIAL RANCANGAN ACAK

LENGKAP

Percobaan faktorial dicirikan oleh perlakuan yang merupakan komposisi dari semua kemungkinan kombinasi dari taraf-taraf dua faktor atau lebih.

Istilah faktorial lebih mengacu pada bagaimana perlakuan- perlakuan yang akan diteliti dan disusun, tetapi tidak menyatakan bagaimana perlakuan-perlakuan tersebut ditempatkan pada unit-unit percobaan.

Keuntungan percobaan faktorial mampu mendeteksi respon dari taraf masing-masing faktor (pengaruh utama) serta interaksi antar dua faktor (pengaruh sederhana).

Gambar yang menunjukkan tidak ada interaksi antara faktor A dengan faktor B

Jika faktor A dengan faktor B tidak berinteraksi , maka garis a₁, a₂ dan a₃ tampak sejajar, sedangkan jika terjadi interaksi, maka a₁, a₂ dan a₃ tampak tidak sejajar.

Saling berinteraksi dimasudkan bahwa pengaruh suatu faktor tergantung dari taraf faktor yang lain, dan sebaliknya jika tidak terjadi interaksi berarti berarti pengaruh suatu faktor tetap pada setiap taraf faktor yang lain. Jadi bila tidak terjadi interaksi antar taraf-taraf suatu faktor saling sejajar satu sama lainnya, sebaliknya bila ada interaksi tidak saling sejajar.

Percobaan Dua Faktor dalam Rancangan Acak Lengkap

Percobaan dua faktor dapat diaplikasikan secara langsung terhadap seluruh unit- unit percobaan jika unit percobaan yang dilakukan relatif seragam.

Rancangan Acak Lengkap Pola Faktorial AxB adalah rancangan acak lengkap yang terdiri dari dua peubah bebas (Faktor) dalam klasfikasi silang yaitu faktor A yang terdiri dari a taraf dan faktor B yang terdiri dari b taraf dan kedua faktor tersebut diduga saling berinteraksi.

Model Matematisnya :

i = 1,2,3,...,a j = 1,2,3,...,b dan k =1,2,3,...,u

: Pengamatan Faktor A taraf ke-i , Faktor B taraf kej dan Ulangan ke-k.

µ : Rataan Umum.

: Pengaruh Faktor A pada taraf ke-i.

: Pengaruh Faktor B pada taraf ke-j.

: Interaksi antara Faktor A dengan Faktor B.

: Pengaruh galat pada Faktor A taraf ke-i, Faktor B taraf ke-j dan ulangan ke-k.

Model diatas diduga berdasarkan datanya sebagai berikut :

abu

__ 2 y...) yijk2

)2 _ y...

- (yijk Total

JK

a (

1 1

1 1 1







     

  

   i

u

j b

j a

i

u

k b

j



  



  



 ^k

1

i abu

____2 (y...) 2 -

yi..

2 1/bu ) _ y...

- _ (yi..

A JK

a

i

u

k b

j

1 1 1

abu ___2 (y...) y.j.2

2 1/au _ )

y...

_ -

(y.j.

B JK

a

1







   



   j

a

i

u

k b

j

1 1 1

)2 y..._ y.j._

_ - yi..

- _

(yij.

AB

JK 

  



  

a

i

u

k b

j

1 1 1

y...)]2 - _ (y.j.

_ ) y...

- _ (yi..

a 1 i j 1

) _ y..

- [(yij.

1/u ^b 

 

 



abu ___2 (y...) 2 -

[(yij.

1u/

a b



 



1 1

i j

- JK A – JK B

= JK Kombinasi Perlakuan – JK A – JK B JKGalat = JKTotal - JKA - JKB - JKAB

Faktor A (i)

Faktor B (j)

Ulangan (k) Total

(yij.)

1 2 3 4

1 1 y₁₁₁ y₁₁₂ y₁₁₃ y₁₁₄ y_11.

1 2 y₁₂₁ y₁₂₂ y₁₂₃ y₁₂₄ y_12.

1 3 y₁₃₁ y₁₃₂ y₁₃₃ y₁₃₄ y_13.

2 1 y₂₁₁ y₂₁₂ y₂₁₃ y₂₁₄ y_21.

2 2 y₂₂₁ y₂₂₂ y₂₂₃ y₂₂₄ y_22.

2 3 y₂₃₁ y₂₃₃ y₂₃₃ y₂₃₄ y_23.

3 1 y₃₁₁ y₃₁₂ y₃₁₃ y₃₁₄ y_31.

3 2 y₃₂₁ y₃₂₂ y₃₂₃ y₃₂₄ y_32.

3 3 y₃₃₁ y₃₃₃ y₃₃₃ y₃₃₄ y_33.

Total (y..k) y_..1 y_..2 y_..3 y_..4 y_...

Tabel Data (Umpama : a=3, b = 3 dan u = 4)

Tabel Dua Arah antara Faktor A dan Faktor B

Faktor A (i)

Faktor B (j) Total

(yi..)

1 2 3

1 y_11. y_12. y_13. y_1..

2 y_21. y_22. y_23. y_2..

3 y_231. y_32. y_33. y_3..

Total (y.j.) y_.1. y_.1. y_.1. y_...

Tabel Daftar Sidik Ragam.

S K D B J K K T F H F Tabel

0.05 0.01

A (a-1) JK A JK A/(a-1)=A A/G

B (b-1) JK B JK B/(b-1)=B B/G

AB (a-1)(b-1) JK AB JKAB/(a-1)(b-1)=AB AB/G Galat ab(u-1) JK G JK G/kp(u-1)=G

Total (abu – 1) JK T

Contoh :

Seorang peneliti ingin melihat efek tiga metode mengajar (yaitu I, II, dan III) dan sekaligus ingin melihat apakah ada beda prestasi antara laki-laki dan perempuan. Dengan mengambil sampel secara random dari populasinya, datanya sebagai berikut :

JK/Metode Metode I Metode II Metode III

Laki-laki 8, 8, 7 6, 7, 6 3, 2, 4

Perempuan 3, 4, 2 5, 6, 8 9, 8, 9

Pengaruh Faktor A (Faktor Metode Mengajar):

Pengaruh (faktor Jenis Kelamin):

Pengaruh interaksi faktor A dengan faktor B:

5 , 18 612

11025 3

3 2

105²





 x x FK

5 , 94 5

, 612 707

) 9 ...

7 8

8

(

²



²



²

 

²

   

 FK

JKT

83 , 83 5 , 612 33

, 696 5

, 3 612

2089 3

26 9

19 19

9

23²  ²  ²  ²  ²  ²      

 FK

JKP

5 , 0 5 , 612 9 613

5517 3

3 54 min) 51

(

2

2      

 FK

JenisKela x JK

3 5 , 612 5

, 615 5

, 6 612

3693 2

3

35 38

) 32 (

2 2

2        

 FK

Metode x JK

33 , 80 3

5 , 0 83 , 83 )

(interaction  JKP  JKD JKL     JK

17 , 11 83

, 83 5

,

94  





 JKT JKP JKG

Penyelesaian :

Sumber Keragam

an

db JK KT F.Hit

JK 1 0,5 0,5 0,538

Metode 2 3 1,5 1,613

Interaction 2 80,33 40,165 43,188

Error 12 11,17 0,93

Total 17 94,5

Tabel Anova

Faktorial Rancangan Acak Kelompok Lengkap

(RAKL)

Lingkungan

heterogen Perlakuan

Bukan hanya Dianggap

Kesalahan tipe I JKG BESAR

F HIT KECIL

Uji tdk sensitif

Percobaan dua faktor dapat diaplikasikan terhadap seluruh unit-unit percobaan secara berkelompok. Hal ini dilakukan apabila unit perobaan yang digunakan tidak seragam. Rancangan ini sering disebut rancangan dua faktor dalam rancangan acak kelompok lengkap (faktorial RAKL).

Contoh:

Penelitian tentang produksi tiga varietas (V1, V2, V3) yang diberikan 4 dosis pupuk N (N0, N1, N2, N3). Dengan banyaknya perlakuan yang dicobakan sebanyak 3 x 4 = 12 kombinasi perlakuan. Dimana setiap kombinasi varietas dan pupuk ditanam pada petak lahan berukuran 2m x 3m dengan 3 kali ulangan dan banyaknya petak percobaan yang digunakan adalah 12 x 3 = 36 unit percobaan. Dengan petak lahan yang digunakan tidak bisa dijamin kehomogenannya karena kondisi lahannya tidak rata tetapi miring dengan sudut kemiringan tertentu.

Dalam hal ini, unit percobaan dibagi ke dalam tiga kelompok yang berbeda sesuai dengan perbedaan petak lahan. Masing-masing petah lahan terdiri dari 12 unit percobaan sesuai dengan banyaknya perlakuan yang akan dicobakan.

Penempatan posisi perlakuan yang dicobakan dilakukan secara acak untuk

setiap kelompok secara terpisah. Hal ini berbeda dengan RAL (rancangan acak

lengkap) dimana pada RAL pengacakan diakukan secara menyeluruh,

sedangkan pada RAKL (rancangan acak kelompok lengkap) pengacakan

dilakukan pada masing-masing kelompok secara terpisah.

Langkah-langkah pengacakan untuk menentukan posisi perlakuan:

1. Beri nomor setiap kombionasi perlakuan (1-12) 1. V1N0 5. V2N0 9. V3N0

2. V1N1 6. V2N1 10. V3N1 3. V1N2 7. V2N2 11. V3N2 4. V1N3 8. V2N3 12. V3N3

2. Beri nomor petak lahan pada kelompok terpilih (1-12)

3. Pilihlah bilangan acak (3 digit) sebanyak 12 bilangan kemudian petakan nomor perlakuan (1-12). Peringkatkanlah bilangan-bilangan acak tersebut.

4. Petakanlah perlakuan-perlakuan pada unit-unit percobaan, dalam kelompok terpilih sesuai dengan peringkat bilangan acak.

1 _V2N0 2 _V2N3 3 _V2N1 4 _V1N2 5 _V3N1 6 _V3N2 12 _V3N3 11 _V1N0 10 _V3N0 9 _V1N1 8 _V1N3 7 _V2N2

1 _V3N3 2 _V2N3 3 _V1N2 4 _V3N1 5 _V3N0 6 _V1N3 12 _V1N0 11 _V1N1 10 _V2N2 9 _V2N1 8 _V2N0 7 _V3N2

1 _V2N3 2 _V1N1 3 _V1N2 4 _V2N0 5 _V1N0 6 _V2N2 12 _V1N3 11 _V3N1 10 _V3N0 9 _V3N2 8 _V2N1 7 _V3N3

Dengan demikian akan diperoleh bagan percobaan seperti di bawah ini:

BLOK 1

BLOK 2

BLOK 3

Faktor B Kelompo k (blok)

Faktor A

Total

A₁ A₂ A₃ A₄

B₁

1 Y₁₂₁ Y₁₂₁ Y₁₃₁

Y_1..

2 Y₁₁₂ Y₁₂₂ Y₁₂₂ Y₁₃₂

3 Y₁₁₃ Y₁₂₃ Y₁₂₃ Y₁₃₃

Total Y_11. Y_12. Y_12. Y_13.

B₂

1 Y₂₂₁ Y₂₂₁ Y₂₃₁

Y_2..

2 Y₂₁₂ Y₂₂₂ Y₂₂₂ Y₂₃₂

3 Y₂₁₃ Y₂₂₃ Y₂₂₃ Y₂₃₃

Total Y_21. Y_22. Y_22. Y_23.

B₃

1 Y₃₂₁ Y₃₂₁ Y₃₃₁

Y_3..

2 Y₃₁₂ Y₃₂₂ Y₃₂₂ Y₃₃₂

3 Y₃₁₃ Y₃₂₃ Y₃₂₃ Y₃₃₃

Total Y_31. Y_32. Y_32. Y_33.

Total (Y_.i.) Y_.1. Y_.2. Y_.3. Y_3.3 Y_...

Tabulasi datanya dapat dibuat sebagai berikut:

Model linier aditif dari percobaan dua faktor RAKL adalah sebagai berikut:

Dimana :

merupakan pengamatan pada faktor A taraf ke-i , faktor B taraf ke-j dan kelompok ke-k merupakan nilai rata-rata atau kompenen aditif dari rataan

merupakan pengaruh utama dari taraf ke-i faktor A merupakan pengaruh utama dari taraf ke-j faktor B

merupakan komponen interaksi dari faktor A dan faktor B

merupakan pengaruh aditif dari kelompok dan diasumsikan tidak berinteraksi dengan perlakuan (bersifat aditif)

merupakan pengaruh galat pecobaan pada kelompok yang memperoleh faktor A taraf ke-i , faktor B taraf ke-j dan kelompok ke-k

Asumsi yang paling mendasar dan berlaku umum bagi model diatas adalah bahwa galat percobaan harus timbul secara acak yang menyebar secara bebas dan normal dengan nilai tengah sama dengan nol dan ragam atau dituliskan

.

•Langkah-langkah perhitungan:

•Hitung faktor koreksi (FK), jumlah kuadrat total (JKT), jumlah kuadrat faktor A (JKA), jumlah kuadrat faktor B (JKB), jumlah kuadrat interaksi faktor A dan B (JKAB), jumlah kuadrat kelompok (JKK), dan jumlah kuadrat galat (JKG).

•FK = Faktor koreksi

•JKT = Jumlah kuadrat total

•JKA = Jumlah kuadrat faktor A

•JKB = Jumlah kuadrat faktor B

•JKAB = Jumlah kuadrat interaksi faktor A dan B

Dimana :

•JKK = Jumlah kuadrat kelompok

•JKG = Jumlah kuadrat galat

•Tentukan derajat bebas masing-masing melalui :

•Tentukan derajat bebas untuk pengaruh utama dan interaksi dari faktor-faktor A dan B, sebagai berikut :

•Tentukan kuadrat tengah (KT) masing-masing melalui pembagian antara JK dengan derajat bebasnya, yaitu:

Bentuk hipotesis yang diuji dalam rancangan dua faktor rancangan acak lengkap adalah sebagai berikut:

• Pengaruh utama faktor A

H₀ : (faktor A tidak berpengaruh terhadap respon yang

diamati)

• Pengaruh utama faktor B

H₀ : (faktor B tidak berpengaruh terhadap respon yang diamati)

Pengaruh sederhana (interaksi) faktor A dengan faktor B

H₀ : ( interaksi faktor A dengan faktor B tidak

berpengaruh terhadap respon yang diamati)

• Pengaruh pengelompokan

H0: (blok tidak berpengaruh terhadap respon yang diamati)

H₁ : paling sedikit ada satu i dimana

H₁ : paling sedikit ada satuj dimana

H₁ : paling sedikit ada sepasang(i,j) dimana

H1: paling sedikit ada satu k dimana

Contoh:

Seorang peneliti bermaksud melakukan percobaan faktorial tentang pengaruh pupuk kandang dan pengapuran terhadap ketersediaan P (fosfor) menurut metode ekstraksi Bray II di tanah masam Podsolik Merah Kuning bekas padang alang-alang yang ditanami kedelai. Takaran pupuk kandang dan kapur karbonat untuk berbagai tanaman umumnya optimum pada takaran 10 ton dan setara 1 x Al-dd. Dengan kombinasi perlakuan nya, yaitu:

•Faktor pupuk kandang (A) A0 = tanpa pupuk kandang A1 = 5 ton/ha pupuk kandang A2 = 10 ton/ha pupuk kandang A3 = 15 ton/ha pupuk kandang

• Faktor kapur (B) B0 = tanpa kapur B1 = 0,5 x Al-dd B2 = 1 x Al-dd B3 = 1,5 x Al-dd

Derajat kepentingan tingkat-tingkat faktor disusun agar tingkat faktor yang diharapkan optimum terletak di tengah-tengah. Kemudian akan dilakukan pengambilan sampel tanah secara komposit dari masing-masing petak percobaan untuk di uji di laboratorium kimia/kesuburan tanah. Hasil analisis ketersediaan P(ppm P) adalah sebagai berikut:

Tabel . Data ketersediaan P dalam tanah menurut kelompok x kombinasi perlakuan

Komb. Perl.

Pupuk

Kelompok

TOTAL AB Rataan

Kapur I II III

A0

B0 2,1 3,2 3,3 8,5 2,83

B1 2,3 2,9 3,7 8,9 2,97

B2 2,5 3,0 3,8 9,3 3,10

B3 2,0 1,5 1,7 5,2 1,73

A1

B0 3,1 3,2 3,4 9,7 3,23

B1 3,3 3,9 3,8 11,0 3,67

B2 3,7 3,8 3,8 11,1 3,70

B3 3,5 3,2 3,3 10,0 3,33

A2

B0 4,0 4,5 4,1 12,6 4,20

B1 4,7 5,1 5,2 15,0 5,00

B2 7,5 8,1 7,6 23,2 7,73

B3 7,6 7,9 7,9 23,4 7,80

A3

B0 4,2 4,1 4,2 12,5 4,17

B1 4,5 4,7 4,5 13,7 4,57

B2 6,2 6,3 6,0 18,5 6,17

B3 6,0 6,0 6,1 18,1 6,03

TOTAL KELOMPOK 67,2 71,3 72,2 210,7 4,39

Analisis jumlah kuadrat:

Tabel . Data ketersediaan P (ppm P) dalam tanah menurut kombinasi A x B

Faktor A

Faktor B A0 A1 A2 A3 TOTAL B Rataan

B0 8,5 9,7 12,6 12,5 43,3 3,61

B1 8,9 11,0 15,0 13,7 48,6 4,05

B2 9,3 11,1 23,2 18,5 62,1 5,17

B3 5,2 10,0 23,4 18,1 56,7 4,72

TOTAL A 32,9 41,8 74,2 62,8 210,7 -

2,66 3,48 6,18 5,23 - 4,39

Tabel . Hasil analisis sidik ragam pengaruh utama dan interaksi pupuk kandang dan kapur pertanian terhadap ketersediaan P dalam tanah.

ANALISIS SIDIK RAGAM :

SK DB JK KT F hitung

F tabel

5% 1%

Kelompok 2 0,888 0,444 4,601* 3,32 5,39

Kombinasi AB 15 137,331 9,155 94,875** 2,06 2,79

pupuk kandang 3 92,976 30,992 321,161** 2,92 4,51

-kapur pertanian

3 17,461 5,820 60,314** 2,92 4,51

-interaksi 9 26,891 2,988 30,966** 2,21 3,06

Galat 30 2,896 0,0965

Total 47 141,115

Keterangan : ** = sangat nyata dan * = nyata

Kesimpulan hasil uji F :

•Semua faktor dan interaksi pupuk kandang dan kapur berpengaruh sangat nyata terhadap ketersediaan P tanah, sehingga semua H₁ umum diterima pada taraf uji 5%

dan 1% . (dapat disarankan bahwa pupuk kandang dan kapur pertanian dapat diterapkan secara terpisah, salah satu atau secara bersama-sama.

•Pengaruh lokal kontrol menurut kelompok berpengaruh nyata terhadap peningkatan P, berarti pengelompokan satuan percobaan ini berhasil memisahkan pengaruh keragaman dalam areal percobaan dari galat, sehingga ketelitian, keandalan dan kebenaran percobaan meningkat.

Masukkan data:

MTB > set c2

DATA> 4(1) 4(2) 4(3) 4(4) DATA> 4(1) 4(2) 4(3) 4(4) DATA> 4(1) 4(2) 4(3) 4(4) DATA> end

MTB > set c3

DATA> 4(1 2 3 4) DATA> 4(1 2 3 4) DATA> 4(1 2 3 4) DATA> end

MTB > set c4

DATA> 16(1) 16(2) 16(3) DATA> end

Rancangan Petak Terpisah (Split Plot

Design)

Rancangan petak terpisah ialah bentuk khusus dari rancangan factorial, dimana kombinasi perlakuan diacak secara bertahap. Rancangan petak terpisah ( split plot design) diterapkan karena berbagai alasan diantaranya adalah sebagai berikut :

•Terdapat tingkatan kepentingan dari faktor-faktor yang dilibatkan dalan percobaan.

•Pengembangan dari penelitian yang telah berjalan

•Kendala pengacakan di lapangan, dimana salah satu faktor

dicobakan tidak bisa atau tidak efisien jika dilakukan

pengacakan secara sempurna karena level- level dari faktor

tersebut membutuhkan unit yang lebih besar dibandingkan

dengan level – level faktor lain.

Dalam rancangan petak terpisah akan ada istilah faktor petak utama (main plot) dan faktor anak petak (sub plot).

Faktor petak utama ialah faktor yang kurang penting atau

faktor yang pengaruhnya dominan dan lebih sangat mudah

diketahui/sangat jelas terlihat. Sedangkan faktor anak petak

yaitu faktor yang agak penting atau faktor yang pengaruhnya

mudah diketahui/jelas terlihat.

Adapun kelemahan dari rancangan petak terpisah, yaitu :

• Pengaruh utama dari petak utama diduga dengan tingkat

ketelitian yang lebih rendah dibandingkan pengaruh interaksi dan pengaruh utama dari anak petaknya.

• Analisi lebih kompleks dibandingkan rancangan factorial

serta interpretasi hasilnya tidak mudah.

Rancangan petak terpisah ini dapat diaplikasikan pada berbagai rancangan lingkungan salah satunya ialah

Rancangan Acak Lengkap (Complete Random Design).

Konsep Teori split plot design dalam Rancangan Acak

Lengkap (Complete Random Design).

•Pengacakan unit eksperimen

Misalkan pada percobaan dua faktor yaitu A yang level –

levelnya yaitu A1, A2, A3 dan faktor B yang level-levelnya

yaitu B1, B2, B3 . faktor A ditempatkan sebagai petak utama

dan faktor B ditempatkan sebagai anak petak. Tiap

perlakuan diulang sebanyak 3 kali.

Bila menggunakan Rancangan Acak Lengkap ( Complete Random Design) itu berarti kondisi tiap unit eksperimen diasumsikan homogen. Pada tahap awal untuk split plot rancangan acak lengkap ini, unit-unit percobaan dikelompokan menjadi 9 kelompok ( 3 level faktor A dan 3 ulangan) dimana setiap kelompok terdiri dari 3 taraf factor B.. Level- level dari faktor A diacak kedalam 9 kelompok unit eksperimen tersebut.

Kemudian level-level dari faktor B diacak pada setiap level faktor A.

Adapun bagan pengacakannya digambarkan sebagai

berikut:

Model linear dari rancangan petak terpisah ( split plot design) secara umum dapat dituliskan sebagai berikut :

dimana :

: Nilai pengamatan faktor A level ke-i faktor B taraf ke-j dan ulangan ke-k : Rataan umum respon

: Pengaruh utama faktor A : Pengaruh utama faktor B

: Pengaruh interaksi faktor A dan B

: Komponen acak dari petak utama yang menyebar normal : Pengaruh acak dari anak petak yang menyebar normal

Hipotesis

Bentuk hipotesis yang diuji dari rancangan petak terpisah ( split plot design) dalam rancangan acak lengkap yaitu :

Pengaruh Petak Utama ( faktor A):

Pengaruh Anak Petak (faktor B):

Pengaruh interaksi faktor A dengan faktor B:

•Tabel Sidik Ragam / ANOVA

(Db) (JK) (KT)

A a-1 JKA KTA

Galat (a) a(r-1) JKG_a KTG_a

B b-1 JKB KTB

AB (a-1)(b-1) JKAB KTAB

Galat (b) a(b-1)(r-1) JKG_b KTG_b

Sumber keragaman

Derajat bebas Jumlah kuadrat Kuadrat tengah

Untuk rancangan acak lengkap, langkah- langkah perhitungannya adalah sebagai beriku:

1. Data dari tabel pengamatan data asal, hitung : FK = Faktor Koreksi

2. Rekap data berdasarkan taraf faktor pada petak utama dengan ulangan kemudian dihitung:

3. Rekap data berdasarkan struktur perlakuan (AxB), kemudian hitunglah:

JKB= Jumlah Kuadrat Faktor B

JKAB= Jumlah Kuadrat Interaksi Faktor A dan Faktor B

JKGb = Jumlah Kuadrat Galat