TUGAS MANDIRI PDM

(1)

TUGAS MANDIRI PDM

1. Pernyataan Berkuantor

 Suatu fungsi pernyataan dengan notasi p(x) adalah suatu kalimat terbuka di dalam semesta pembicaraannya. P(x) bersifat p(a) bernilai benar atau salah tapi tidak keduanya untuk setiap a, dimana a adalah anggota dari semesta pembicaraan. Contoh :

1. Diketahui p(x) = x+1 5 didefenisikan pada himpunan bilangan asli A. - P(x) akan bernilai benar untuk x= 3,4,5,6,...

- Jadi, tidak semua x ϵ A memenuhi p(x), hal ini bermakna bahwa “sebagian x ≤ A yang memenuhi pernyataan p(x)”.

1.1. Kuantor Eksistensial

 Kuantor sbagian( beberapa, ada) merupakan suatu peryataan yang

menggambarkan bahwa beberapa dan tidak seharusnya setiap objek atau masalah memenuhi syarat tertentu.

Kuantor eksistensial dilambangkan dengan ∃x dibaca “ada suatu x sehingga berlaku .... “. Jika P(x) adalah suatu kalimat terbuka , maka

( ∃x ) P(x) Menjadi pernyataan (benar atau salah ).

Mempunyai arti ‘ada x sedemikian sehingga berlaku P(x)’. Dengan demikian, penambahan kunator di depan kalimat terbuka akan mengubahnya ( ∃x ) P(x) disebut pernyataan berkuantor eksistensial .

Contoh :

1. Benar atau salahkah pernyataan berkuantor ( ∃x∈R¿(2x=1>5) Jawab :

( ∃x )(2x+1 > 5 ) mempunyai arti ‘ada suatu x sehingga berlaku 2x+1 > 5. Jelas ini merupakan pernyataan yang benar , karena kita dapat menemukan x yang memenuhi pertidaksamaan 2x+1 > 5, misalnay x= 3.

2. Lengkapi setiap pernyataan berikut dengan kuantor agar menjadi pernyataan yang benar :

a. . . . .anggota dalam kumpulan H= {a, b, c, d, e } adalah huruf vokal. b. . . bilangan bulat bernilai positif.

Jawab : a. Ada

b. Sebahagian/ beberapa

(2)

 Kuantor “ semua” merupakan suatu pernyataan yang menggambarkan bahwa setiap objek atau masalah memenuhi syarat tertentu.

Kuantor universal dilambangkan dengan ∀x dibaca “untuk semua x atau untuk setiap x berlaku....”. Jika P(x) adalah satu kalimat terbuka, maka

( ∀x¿ P(x)

Mempunyai arti ‘untuk semua x berlaku P(x)’. Penambahan kuantor didepan kalimat terbuka juga akan mengubahnya menjadi pernyataan (benar atau salah). ( ∀x¿ P(x) disebut pernyataan berkuantor universal.

Contoh :

1. Benar atau salahkah pernyataan berkuantor ( ∀x¿ (2x+1) > 5. Jawab :

( ∀x¿ (2x+1) > 5 mempnyai arti ‘untuk semua x berlaku 2x+1> 5’. Jelas ini merupakan pernyataan yang salah, karena kita dapat menemukan x yang tidak memenuhi persamaan 2x+1 > 5, misalnya x=1.

2. Lengkapi tiap pernyataan berikut dengan kuantor agar menjadi pernyataan benar.

a. . . . kelipatan 4 adalah bilangan genap. b. . . . segitiga jumlah sudutnya 180 ° Jawab :

a. Semua kelipatan 4 adalah bilangan genap. b. Setiap segitiga jumlah sudutnay 180 °

1.3. Ingkaran suatu Pernyataan Berkuantor

 Ingkaran Kuantor Universal

Misalkan ada pernyataan :

p : semua bilangan prima adalah ganjil.

Jika kita dapat menemukan paling sedikit 1 bilangan prima yang tidak ganjil, maka pernyataan p di atas salah.

Dengan demikian, ingkaran dari semua x bersifat A adalah ‘ada (paling sedikit satu) x tidak bersifat A’.

Jadi, ingkaran dari kuantor universal adalah kunator eksistensial. Secara simbolik dapat ditulis :

(∀)P(x)=(∃x)[ P(x)] ¿

Contoh :

1. Semua bilangan positif lebih dari 0.

(3)

Jawab :

1. Jika p(x) = bilangan positif, maka pernyataan ‘semua bilangan positif lebih dari nol’ dapat dinyatakan dalam lambang :

2. Jika p(x)= bilangan ganjil, maka pernyataan ‘semua bilangan ganjil bukan prima’ dapat dinyatakan dengan lambang :

Dibaca ‘ada/beberapa bilangan ganjil adalah bilangan prima’. Tentang nilai kebenaran :

 ∀x

¿ ) . p(x) ≠ bilangan prima ...bernilai benar  ( ∃x ) . p(x) = bilangan prima ...bernilai salah  Ingkaran Kuantor Eksistensial

Karena ingkaran kuantor universal adalah kuantor eksistensial, maka ingkaran kuantor eksistensial adalah kuantor universal.

Sebagai contoh, pernyataan : ‘ada siswa kelas X yang tidak masuk sekolah’ dapat dipatahkan (diingkar) dengan pernyataan ‘semua siswa kelas X masuk sekolah ‘. Secara simbolik dapat ditulis :

¿_¿ ( ∃x ) . P(x) ] = ( ∀x¿[ P(x)]

1). Jika p(x) = bilangan ganjil maka pernyataan ada anggota dalam {2,4,6,8} ialah bilangan ganjil yang dapat dinyatakan dengan lambang kuantor :

(4)

[( ∃x∈ {2,4,6,8} ) . p(x)] ≡ ∀_¿x ∈{2,4,6,8}. p(x)

Jadi, semua anggota dalam {2,4,6,8} ialah bukan bilangan ganjil. 2). ( ∃x∈R¿x2+2x+1>0 . . . . bernilai benar untuk x

Ingkarannya :

[( ∃x∈R¿x2+2x+1>0 ] ∀_≡x_¿ ∈R¿. (x2+2x+1>0)

↔ ∀x

¿ ∈R¿. x 2

+2x+1≤0

2. Penarikan Kesimpulan

Pada umumnya penarikan suatu argumen dimulai dari ditentukannya himpunan pernyataan tunggal atau pernyataan majemuk yang saling berelasi dan telah diketahui kebenarannya, kemudian dapat diturunkan suatu pernyataan tunggal atau pernyataan majemuk.

Himpunan pernyataan tunggal atau pernyataan majemuk yang ditentukan (diketahui)disebut

premis. Pernyataan tunggal atau pernyataan majemuk yang diturunkan dari premis- premis disebut kesimpulan (konklusi). Kumpulan satu atau lebih premis yang sudah dibuktikan kebenarannya dan satu konklusi yang diturunkan dari premis- premisnya disebut argumen.

Suatu argumen dikatakan sah (valid) jika dapat dibuktikan bahwa argumen itu merupakan suatu tautologi untuk semua nilai kebenaran premis- premisnya. Metode yang sederhana untuk membuktikan suatu argumen sah (valid) adalah dengan bantuan tabel kebenaran.

Pola penarikan kesimpylan disajikan dengan bentuk .

Premis (1) p1

Premis (2) p2

Premis (3) p3

... ....

Premis (n) pn

∴ Konklusi ∴ k

(5)

(

p

1 ∧

p

2

∧

p

3

...

∧

p

n) => k merupakan tautologi

Tautologi adalah suatu pernyataan yang bernilai benar. Untuk jelasnya perhatikan contoh

berikut ini.

I. Jika suatu bilangan adalah kelipatan 6, maka bilangan itu adalah kelipatan 3.

18 adalah bilangan kelipatan 6

Jadi, 18 adalah bilangan kelipatan 3

II. Jika suatu bilanagn adalah kelipatan 6, maka bilangan itu adalah kel. 3

15 bukan kelipatan 6

Jadi, 15 bukan kelipatan 3

Jika ditulis dengan lambang p dan q, kedua argumen di atas menjadi :

Argumen I : p => q Argumen II : p => q

p p

∴ q ∴ q

Tiga penarikan kesimpulan yang sah akan disajikan di bawah ini.

1 . Modus Ponens

Bentuk argumen modus ponens :

Premis 1 : p => q ( suatu pernaytaan yang benar )

Premis 2 : p ( suatu pernaytaan yang benar )

Konklusi : q ( suatu pernaytaan yang benar )

Contoh :

1). Premis 1 : Jika Dian rajin belajar, maka ia lulus ujian

Premis 2 : Dian rajin belajar

Konklusi : Dian lulus uijan

2). Premis 1 :

Premis 2 :

(6)

2. Modus Tollens

Bentuk argumen modus tollens : Premsi 1 : p => q

Premsi 2 : q

Konklusi : p

Contoh :

1). Premis 1 : Jika Fenti rajin berolahraga, maka ia akan sehat

Premis 2 : fenti tidak sehat

Konklusi : fenti tidak berolahraga teratur

2). Premis 1 :

Premis 2 :

Konklusi :

3. Modus Silogisme

Bentuk argumen modus silogisme :

Premis 1 : p => q

Premsi 2 : q => r

Konklusi : p => r

Contoh :

1). Premis 1 : Jika x bilangan ganjil, maka 2x bilangan genap

Premis 2 : Jika 2x bilangan genap, maka 2x+1 bilangan ganjil

(7)