ANALISIS DINAMIKA KORUPSI DAN TRANSPARANSI
DALAM MODEL PERTUMBUHAN EKONOMI NEOKLASIK
IRKA SARI JUHANA
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA*
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Analisis Dinamika Korupsi dan Transparansi dalam Model Pertumbuhan Ekonomi Neoklasik adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir disertasi ini.Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor.
ABSTRAK
IRKA SARI JUHANA. Analisis Dinamika Korupsi dan Transparansi dalam Model Pertumbuhan Ekonomi Neoklasik. Dibimbing oleh NGAKAN KOMANG KUTHA ARDANA dan RETNO BUDIARTI.
Korupsi merupakan salah satu permasalahan besar yang sedang dihadapi banyak negara di dunia. Tujuan penelitian ini ialah menganalisis dampak korupsi terhadap faktor-faktor pertumbuhan ekonomi serta hubungan korupsi dengan transparansi dalam institusi ekonomi dengan menggunakan model Ramsey dan Cobb Douglas. Ada tiga sumber utama korupsi yaitu pajak, output dan konsumsi. Sektor pajak adalah sumber yang paling banyak dikorupsi. Korupsi mengakibatkan biaya ekonomi tinggi yang memacu kenaikan suku bunga dan tingkat depresiasi. Oleh karena itu, investasi, akumulasi modal publik serta output dalam jangka panjang akan berkurang. Sebagai sistem konvergen, sistem tersebut mempunyai hubungan negatif antara tingkat korupsi sebagai variabel endogenous dengan laju pertumbuhan output. Prediksi dari model ini sesuai dengan fakta-fakta empirik yang ada dalam hubungannya antara laju pertumbuhan output, korupsi, investasi publik dan transparansi fiskal.
Kata kunci: korupsi, transparansi, pertumbuhan, steady state, modal publik
ABSTRACT
IRKA SARI JUHANA. Analysis of Dynamical Corruption and Transparency in Growth Economy Neoclassic Model. Supervised by NGAKAN KOMANG KUTHA ARDANA and RETNO BUDIARTI.
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika
ANALISIS DINAMIKA KORUPSI DAN TRANSPARANSI
DALAM MODEL PERTUMBUHAN EKONOMI NEOKLASIK
IRKA SARI JUHANA
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR
Judul Skripsi : Analisis Dinamika Korupsi dan Transparansi dalam Model Pertumbuhan Ekonomi Neoklasik
Nama : Irka Sari Juhana NIM : G54090043
Disetujui oleh
Ir. N. K. Kutha Ardana, M.Sc Pembimbing I
Ir Retno Budiarti, MS Pembimbing II
Diketahui oleh
Dr. Berlian Setiawaty, MS Ketua Departemen
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Tema yang dipilih dalam penelitian ini ialah Pemodelan Matematika, dengan judul Analisis Dinamika Korupsi dan Transparansi dalam Model Pertumbuhan Ekonomi Neoklasik. Terima kasih penulis ucapkan kepada:
1. Bapak Ir. N. K. Kutha Ardana, M.Sc dan Ibu Ir. Retno Budiarti, M.S selaku dosen pembimbing serta Bapak Dr. Ir. Hadi Sumarno, MS atas kesabaran dan masukannya selama membimbing penulis.
2. Ayahanda Ujang Juhana dan Ibunda Wiwin Winengsih yang banyak
memberi nasihat, dukungan, perhatian dan do’a yang tak terkira. Kakakku
Santi Dewi Juhana dan Pujo Ariyanto beserta adik-adikku Sandi Putra Juhana, Dera putri Juhana dan Sania Fany yang selalu memberi dukungan
dan do’anya selama menulis karya ilmiah ini. Tak lupa keponakanku Safa
Aulia Azzahra, Anindita Putri Zahirah dan Radito Fadhlan A.
3. Keluarga besar dan staf Departemen Matematika FMIPA IPB yang tidak bisa disebutkan satu per satu yang telah membantu dalam penyusunan skripsi.
4. Teman-teman mahasiswa matematika angkatan 46, kakak-kakak mahasiswa 44 dan 45 dan adik-adik mahasiswa matemtika 47-49.
5. Keluarga besar SMART : Kak Lugi, Kak Yanti, Kak Indin, Kak Ririh, Kak Wahyu, Kak Lazuardi, Kak Lili, Nur, Lina, Sonia, dan Meda yang telah memberi dukungan dan motivasinya serta ilmunya.
6. Teman-teman dekat: Nur Lasmini, Lina Dwi Oktafiani, Meda, Sonia, Asri Nur Fitriyani, Ulfah Fayumi, Putri Juwita Simarmata, Dea, Mia dan Elin. 7. Keluarga besar kosan RZ: Mirna, Teti, Nurul, Evi, Rani, Karin, Nita, Vivi
dan Ayu.
8. Keluarga besar BEM Fakultas Sahabat Scientist periode 2010-2011 dan Keluarga Serum khususnya Divisi Keputrian 2011-2012.
9. Pihak-pihak lain yang telah membantu penyusunan skripsi ini, yang tidak dapat disebutkan satu per satu.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.
DAFTAR ISI
DAFTAR GAMBAR viii
DAFTAR LAMPIRAN viii
PENDAHULUAN 1
Latar Belakang 1
Tujuan Penelitian 2
LANDASAN TEORI 2
Persamaan Diferensial Simultan 2
Masalah Kontrol Optimum 3
Current-Value Hamiltonian 3
Ekspansi Taylor Dua Variabel dan Linearisasi 4
Analisis Stabilitas Lokal 6
Istilah Ekonomi 7
HASIL DAN PEMBAHASAN 8
Pertumbuhan Ekonomi 8
Konsepsi Korupsi 9
Perumusan Model Korupsi 9
Kondisi Optimal 11
Korupsi dalam Jangka Waktu Panjang 14
Analisis Dinamika Korupsi 17
Studi Kasus pada Proyek Hambalang 21
SIMPULAN 23
DAFTAR PUSTAKA 24
LAMPIRAN 26
DAFTAR GAMBAR
1 Diagram fase 13
2 Rasio korupsi-output dan panjang kelambanan 18
3 Rasio korupsi-pajak dan panjang kelambanan 19
4 Rasio korupsi-konsumsi dan panjang kelambanan 20
5 Hubungan laju pertumbuhan output dengan waktu 21
6 Hubungan ketiga rasio korupsi dengan panjang proyek 22 7 Hubungan ketiga rasio korupsi dengan tingkat diskonto 22 8 Hubungan ketiga rasio korupsi dengan tingkat depresiasi 23
DAFTAR LAMPIRAN
1 Persamaan masalah optimasi dengan kendala akumulasi modal publik
yang memuaskan koruptor 26
2 Sistem dinamika dan 26
3 Menentukan ekuilibrium (steady state) 27
4 Menggambar bidang fase 28
5 Sistem linearisasi dan pendekatan linear untuk jalur sadel 29 6 Menentukan ̅
̅ ̅
̅ ̅
̅ pada keadaan steady state 32
7 Menentukan total korupsi 33
8 Pajak yang diambil untuk korupsi 34
PENDAHULUAN
Latar BelakangKorupsi merupakan salah satu tindak kejahatan yang dapat menimbulkan dampak negatif terhadap suatu negara, sehingga korupsi menjadi permasalahan utama banyak negara di dunia. Dampak korupsi ini sangat luas karena mencakup semua aspek kehidupan. Kini, tindakan korupsi menjadi suatu polemik dan menjadi hal yang lazim bagi sebagian negara. Negara-negara di dunia sangat khawatir dengan adanya tindakan korupsi tersebut karena dapat mengganggu stabilitas perekonomian dan meningkatkan ketidakstabilan politik, terutama di negara-negara sedang berkembang.
Fenomena korupsi tinggi merupakan permasalahan yang banyak dihadapi oleh negara sedang berkembang. Lemahnya birokrasi dan penegakan hukum dituding sebagai penyebab utama korupsi di banyak negara (Klitgaard 2001). Dampak korupsi sangat luas, antara lain: terhadap pertumbuhan ekonomi, investasi domestik/asing, penerimaan pajak, dan misalokasi anggaran pemerintah. Fakta empiris menunjukkan bahwa hubungan antara korupsi dengan pertumbuhan ekonomi dan investasi domestik/asing adalah negatif dan signifikan, sedangkan terhadap penerimaan pajak dan misalokasi anggaran pemerintah berdampak positif dan signifikan (Mauro 1995; Knack and Keefer 1996; Dewi 2002 dan Waluyo 2010).
Sistem birokrasi merupakan salah satu faktor yang sangat penting dalam memengaruhi terjadinya tindakan korupsi. Lemahnya sistem birokrasi diakibatkan oleh berbagai masalah politik, terutama kegagalan terciptanya konsolidasi elite politik. Akibatnya banyak pemimpin dan anggota partai yang tidak berkualitas sehingga menyebabkan politik profit-oriented. Politik profit-oriented dapat menyebabkan kegagalan birokrasi. Hal inilah yang menjadi salah satu penyebab terjadinya korupsi. Mengingat akan pentingnya birokrasi yang sehat maka harus dilakukan reformasi terhadap beberapa instansi pemerintahan terutama dalam hal transparansi dan akuntabilitas. Transparansi dan akuntabilitas dapat menjadi salah satu solusi untuk mengatasi tindak korupsi yang terjadi. Terutama transparansi dalam bidang keuangan.
Model ekonomi memberikan petunjuk bahwa korupsi akan berdampak langsung terhadap faktor-faktor yang memengaruhi pertumbuhan ekonomi. Sedangkan model pemerintah (government model) mengindikasikan bahwa keberadaan korupsi akan mengurangi anggaran negara, sehingga penyediaan barang publik menjadi berkurang pula. Melemahnya anggaran negara akan berdampak terhadap berkurangnya kemampuan negara untuk mereduksi korupsi (Chetwynd et al. 2003).
2
Tujuan Penelitian Tujuan utama penulisan karya ilmiah ini adalah:
1. Menganalisis hubungan antara korupsi dengan faktor-faktor yang mempengaruhi pertumbuhan ekonomi.
2. Menjelaskan korelasi antara korupsi dengan tingkat transparansi pada suatu sistem fiskal.
3. Menganalisis dinamika korupsi dengan melakukan simulasi pada kasus proyek Hambalang dengan parameter-parameter yang telah ditetapkan.
LANDASAN TEORI
Pada bab ini akan diuraikan beberapa definisi dan teori penunjang yang akan digunakan dalam karya ilmiah ini.
Persamaan Diferensial Simultan
Misalkan diberikan dua persamaan diferensial linear berikut:
persamaan di atas dapat ditulis kembali dalam bentuk notasi matriks sebagai:
dengan matriks-matriksnya adalah , [
], , [ ], dan
untuk mendapatkan integral khusus dilakukan penyelesaian konstanta ̅ dan ̅ yang menyiratkan bahwa . Dari penyelesaian tersebut diperoleh [ ̅ ̅] dan . Jadi penyelesaian untuk ̅ dan ̅ dapat ditulis sebagai:
[ ̅ ̅] ̅
Selanjutnya mencari fungsi-fungsi komplementer dengan cara mengubah penyelesaian menjadi:
3 akan dihasilkan
. Kalikan dengan skalar persamaan menjadi
Dari sini dapat dicari akar-akar karakteristiknya yaitu dengan mencari determinan dari | | . Dari akar karakteristik yang dihasilkan dapat ditentukan nilai dan yang berpadanan. Fungsi komplementer dapat ditulis sebagai kombinasi linear dari ekspresi komponensial.
∑
∑ ( akar riil yang berbeda) Penyelesaian umum akan muncul dalam bentuk [
] [ ̅ ̅]
(Chiang dan Wainwright 2005) Masalah Kontrol Optimum
Misalkan U menyatakan himpunan dari semua fungsi yang kontinu sepotong-sepotong (piecewise). Masalah kontrol optimum adalah masalah menentukan fungsi kontrol di antara fungsi admissible yang membawa sistem dari state awal kepada state akhir yang memenuhi kondisi akhir T, melalui sistem
sehingga fungsional J mencapai nilai maksimum. Dengan kata lain, masalah kontrol optimum adalah masalah memaksimumkan fungsional objektif
[ ] [ ] ∫
terhadap kendala:
dengan variabel state (state variable) dan [ ] yang didefinisikan sebagai fungsi scrap.
(Tu 1993)
Current-Value Hamiltonian
Dalam penggunaan teori kontrol optimum, pada masalah ekonomi fungsi integral sering memuat faktor diskon . Dengan demikian, fungsi integran
secara umum dapat dituliskan menjadi:
sehingga masalah kontrol optimum menjadi memaksimumkan fungsi nilai ∫
4
Akan tetapi, karena prinsip maksimum menggunakan turunan fungsi Hamilton terhadap x dan u, dengan hadirnya faktor diskon akan menambah kerumitan penentuan turunan tersebut. Untuk itu, dikenalkan fungsi Hamilton baru yang sering disebut current-value Hamiltonian. Untuk menerapkan konsep current-value Hamiltonian, diperlukan konsep current-value adjoin. Misalkan menyatakan current-value fungai adjoin, yang didefinisikan yang berimplikasi . Fungsi current-value Hamiltonian, yang dinotasikan dengan ̂, dapat dituliskan menjadi
̂
Perhatikan bahwa, ̂ sebagaimana yang telah diinginkan sudah tidak memuat faktor diskon. Juga, perhatikan bahwa ̂ . Kemudian penerapan prinsip maksimum pontryagin terhadap ̂ harus disesuaikan. Karena u yang memaksimumkan H juga akan memaksimumkan ̂, maka
̂ [ ]
Pertama-tama transformasikan masing-masing
suku dalam bentuk yang melibatkan peubah adjoin baru (t), kemudian hasilnya disamakan. Untuk suku kiri,
dengan memanfaatkan definisi H, suku kanan dapat dituliskan kembali dalam bentuk
̂
5
[ ]
Perhatikan bahwa koefisien ekspresi dan sekarang adalah turunan parsial dari yang seluruhnya dinilai pada titik ekspansi . Dari rangkaian fungsi Taylor, aproksimasi linearnya atau secara singkat linearisasi diperoleh melalui pengeluaran seluruh suku-suku dari orde yang lebih tinggi dari satu. Jadi, linearisasi dari dua variabel yaitu dari fungsi x dan y adalah
Disamping itu, dengan menyubsitusikan simbol fungsi g untuk f dalam hasil ini, juga dapat diperoleh linearisasi yang berpadanan dari . Selanjutnya, bila diketahui sistem nonlinear dan linearisasinya di sekitar titik ekspansi dapat ditulis sebagai
dan
untuk tujuan stabilitas lokal linearisasi di atas dapat dibuat dalam bentuk yang lebih sederhana. Pertama karena ekspansi menjadi ekuilibrium ̅ ̅ maka ( ) ditukar dengan ̅ ̅ . Pada titik ekuilibrium, berdasarkan definisi maka ini berarti bahwa ̅ ̅ ̅ ̅ , sehingga diperoleh versi linearisasi yang lain yaitu:
̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅
yang dapat ditulis dalam bentuk matriks sebagai: [ ] [ ]
̅ ̅ [ ̅ ̅ ]
Bentuk merupakan linearisasi yang disederhanakan. Hal ini juga diperlukan dalam analisis stabilitas lokal dengan matriks Jacobi yang dinilai pada ekuilibrium sebagai dan elemen-elemennya sebagai a,b,c dan d.
[ ]
̅ ̅
6
Analisis Stabilitas Lokal
Dari linearisasi yang disederhanakan didapat matriks Jacobi sebagai berikut:
dengan persamaan karakteristik
dan adalah matriks identitas, persamaan karakteristiknya menjadi | | | |
dengan determinan Jacobi | | dan trace dari yang dilambangkan dengan tr Dengan demikian akar-akar karakteristik dapat diekspresikan sebagai berikut:
√ | |
Ada tiga kasus untuk nilai eigen yaitu:
Kasus 1: | |
i. | | , Jika kedua akarnya adalah riil dan berbeda tanda maka jenis ekuilibrium bersifat titik pelana atau sadel.
ii. | | dan , Kedua akarnya riil bernilai positif maka jenis ekuilibriumnya bersifat “ simpul tak stabil”.
iii. | | dan , Kedua akarnya riil bernilai negatif maka jenis ekuilibriumnya bersifat “simpul stabil”.
Kasus 2: | |
i. | | dan tr , Kedua akarnya imajiner ( )maka jenis ekuilibrium adalah “titik pusat yang tidak stabil”.
ii. | | dan tr , Kedua akarnya imajiner ( )maka jenis ekuilibrium bersifat “titik pusat yang stabil”.
iii.| | dan tr , Kedua akarnya imajiner murni ( ) maka jenis ekuilibriumnya bersifat “pusaran atau center”.
Kasus 3: | |
i. | | dan tr , Kedua akarnya bernilai positif dan sama (akar-akarnya berulang) maka jenis ekuilibrium adalah “simpul yang tidak stabil” ii. | | dan tr , Kedua akarnya bernilai negatif dan sama maka jenis
ekuilibrium adalah “simpul yang stabil”.
7 Istilah Ekonomi
Definisi 1 (Pertumbuhan Ekonomi)
Pertumbuhan ekonomi adalah perkembangan kegiatan dalam perekonomian yang menyebabkan barang dan jasa yang diproduksi dalam masyarakat bertambah. Tingkat pertumbuhan ekonomi ditunjukkan oleh persentase kenaikan pendapatan nasional riil pada suatu tahun tertentu dibandingkan dengan pendapatan nasional riil pada tahun sebelumnya.
(Mankiw 2003) Definisi 2 (Elastisitas)
Elastisitas adalah ukuran persentase perubahan suatu variabel yang disebabkan oleh satu persen perubahan variabel lainnya.
(Nicholson 2002) Definisi 3 (Fungsi Produksi)
Fungsi produksi untuk suatu barang tertentu adalah Y = f (P,L, ...) dengan P menyatakan input modal dan L menyatakan input tenaga kerja sedangkan tanda titik-titik pada fungsi di atas menunjukkan kemungkinan digunakan input lain. Fungsi produksi memperlihatkan jumlah output maksimum yang diperoleh dengan menggunakan berbagai alternatif input produksi.
(Mankiw 2003) Definisi 4 (Kondisi Mapan/ Steady State)
Ekonomi yang berada pada kondisi mapan adalah suatu keadaan dimana modal per kapita pada periode sekarang sama dengan modal per kapita pada periode sebelumnya.
(Zhang 2006) Definisi 5 (Titik Tetap/Titik Equilibrium)
Diberikan sistem persamaan diferensial sebagai berikut:
Titik disebut titik tetap jika memenuhi . Titik tetap disebut juga titik kritis atau titik keseimbangan.
(Kreyzig 1993)
Definisi 6 (Model Pertumbuhan Tanpa Perkembangan Teknologi) Dalam model ini, fungsi produksi secara umum ditulis sebagai berikut:
dimana dan masing-masing adalah elastisitas pendapatan terhadap modal dan efisiensi modal manusia.
8
HASIL DAN PEMBAHASAN
Model korupsi dalam pertumbuhan ekonomi yang digunakan adalah pengembangan dari model Ramsey terhadap household optimization. Dewasa ini, fungsi utilitas Ramsey digunakan sama luasnya dengan penggunaan fungsi Cobb-Douglas.
Pertumbuhan Ekonomi
Pertumbuhan ekonomi didefinisikan sebagai penjelasan mengenai faktor-faktor produksi yang menentukan kenaikan output per kapita dalam jangka panjang dan penjelasan mengenai bagaimana faktor-faktor tersebut berinteraksi satu sama lain sehingga terjadi proses pertumbuhan (Boediono 1999). Pertumbuhan ekonomi adalah salah satu indikator yang penting dalam melakukan analisis tentang pembangunan ekonomi yang terjadi pada suatu negara. Todaro (2000) menjelaskan ada tiga komponen utama dalam pertumbuhan ekonomi yaitu (1) Akumulasi modal yang meliputi semua bentuk investasi baru yang ditanamkan pada tanah, peralatan fisik dan sumberdaya manusia, (2) Pertumbuhan penduduk dan (3) Kemajuan teknologi.
Pertumbuhan ekonomi telah banyak diteliti oleh para ekonom, hal tersebut terbukti dengan banyaknya teori-teori mengenai pertumbuhan ekonomi yang bermunculan. Salah satu di antaranya adalah teori pertumbuhan ekonomi neoklasik. Teori Neoklasik berpendapat bahwa pertumbuhan ekonomi bersumber dari pertambahan dan perkembangan faktor-faktor yang mempengaruhi penawaran agregat. Dalam teori neoklasik ditunjukkan bagaimana tiga jenis input yaitu modal, tenaga kerja dan teknologi menentukan tingkat kegiatan ekonomi dan peranan dari modal dan perkembangan teknologi dalam menentukan pertumbuhan ekonomi. Dalam perekonomian tanpa ada pertumbuhan teknologi, pendapatan dapat ditentukan dari besarnya modal dan tenaga kerja. Fungsi produksi dari kasus tersebut secara umum dapat dituliskan sebagai berikut:
dengan pendapatan riil, stok modal, tenaga kerja (total banyaknya jam manusia yang dipekerjakan) dan subskrip untuk waktu. Bentuk spesifik dari hubungan ini dikenal sebagai fungsi Cobb-Douglas. Dengan mengambil dan masing-masing adalah elastisitas pendapatan terhadap modal dan tenaga kerja maka fungsi produksi dapat dituliskan sebagai:
(1) dengan dan .
Modal dan tenaga kerja merupakan dua faktor produksi yang paling penting dalam menghasilkan barang dan jasa perekonomian. Modal adalah seperangkat sarana yang dipergunakan oleh para pekerja. Sedangkan tenaga kerja adalah waktu yang dihabiskan orang untuk bekerja.
9
menolong” (helping hand) pada sistem pasar, perlindungan hak milik,
pelaksanaan perjanjian yang telah disetujui, promosi kompetisi, penindakan pelaku kejahatan dan sebagainya. Namun terkadang, pemerintah menyimpang dalam bentuk ideal ini dan berperilaku lebih sebagai “tangan yang menyerobot” dengan menggunakan wewenang yang dimiliki negara untuk memperkaya sekelompok kecil individu sementara masyarakat luas menderita. Studi empiris membuktikan bahwa tingkat korupsi yang cukup tinggi di suatu negara merupakan faktor penentu yang cukup penting bagi pertumbuhan ekonomi (Mankiw 2006).
Konsepsi Korupsi
Korupsi adalah penyelewengan dan penyalahgunaan uang negara untuk kepentingan pribadi atau orang lain. Korupsi ada jika seseorang secara legal meletakkan kepentingan pribadinya di atas kepentingan rakyat serta cita-cita yang menurut sumpah akan dilayaninya (Klitgaard 2001). Dalam perspektif ekonomi, ada beberapa dampak korupsi yang ditimbulkan antara lain yaitu terjadinya inefisiensi hingga memperbesar biaya produksi yang pada akhirnya dibebankan kepada konsumen (dalam bentuk pajak). Terjadinya inefektivitas dan inefisiensi pada birokrasi pemerintahan, serta terjadi penurunan investasi modal yang pada akhirnya mempengaruhi pertumbuhan ekonomi dan mengurangi pemasukan negara. Mauro (1995) menyatakan bahwa korupsi memperlemah investasi dan pertumbuhan ekonomi. Selain itu, korupsi dapat menghilangkan potensi ekonomi jangka panjang dan meningkatkan biaya produksi sehingga manfaat barang dan jasa yang dihasilkan akan menurun. Kurangnya tingkat transparansi menjadi salah satu penyebab terjadinya korupsi pada suatu negara.
Perumusan Model Korupsi
Dalam memodelkan masalah korupsi ada beberapa asumsi yang digunakan yaitu:
1. Pelaku ekonomi terdiri dari pemerintah dan dua orang konsumen/produsen. 2. Ada waktu kelambanan dalam memproduksi modal publik.
3. Waktu kelambanan menggambarkan transparansi suatu instansi ekonomi jika waktu kelambanannya panjang maka transparansinya kurang sedangkan untuk kelambanan yang pendek maka transparansinya tinggi.
4. Sejak pajak yang dibayarkan pada saat tidak menghasilkan modal publik sampai waktu .
5. Kedua konsumen atau produsen (rumah tangga) memiliki pilihan untuk bekerja dimana , (distandarisasikan).
6. Transparansi fiskal sebagai eksogenous sedangkan tingkat korupsi, investasi publik (modal) dan pertumbuhan sebagai endogenous.
10
(2)
dengan pajak yang dibayarkan pada panjang interval dimasa lalu, bagian dari pajak masa lalu yang dikorupsi oleh pemerintah, tingkat depresiasi modal publik. Panjang interval memiliki peranan penting dalam analisis ini. Secara umum dirancang untuk menangkap seberapa lama sektor swasta untuk menemukan secara tepat apa yang telah pemerintah lakukan dengan sumberdaya yang tersedia.
Tujuan dari konsumen/produsen adalah memaksimumkan present value dari utilitas yang merupakan fungsi dari konsumsi dan waktu luang – , misal diasumsikan konsumen/produsen memiliki batas waktu yang tak terbatas [ maka rumusan untuk memaksimumkan utilitas sebagai berikut:
∫ ∫
∫ [ ]
dengan adalah parameter subsitusi antarwaktu dan adalah tingkat preferensi waktu (tingkat diskonto) dengan . Asumsikan kendala anggaran sebagai:
∑ (4) jumlah konsumsi dari kedua konsumen adalah output dikurangi besarnya pajak. Untuk penyederhanaan asumsikan konsumen/produsen mempunyai pilihan untuk bekerja yaitu secara tidak langsung . Sedangkan tujuan pemerintah sendiri adalah memaksimumkan diskon present value dari korupsi dengan rumus:
∫ (5) Pemerintah dapat mencapai tujuan tersebut tergantung pada sifat proses politik.
Adapun kendala setiap saat memuaskan bagi koruptor adalah sebagai berikut:
11 Dalam karya ilmiah ini akan dikombinasikan dua konsumen/produsen ke dalam sektor rumah tangga dengan konsumsi , pekerja dan utilitas .
Kondisi Optimal
Perekonomian pada kondisi mapan akan tetap stabil. Selain itu, perekonomian yang tidak berada pada kondisi mapan akan berusaha menuju kondisi mapan tersebut. Tanpa memperhatikan tingkat modal yang digunakan pada awal perekonomian, perekonomian akan berakhir dengan tingkat modal kondisi mapan. Dalam hal ini, kondisi mapan (steady state) menunjukkan keseimbangan perekonomian jangka panjang (Mankiw 2006). Sebagian besar pertumbuhan ekonomi suatu negara bersifat steady state dalam jangka waktu yang panjang yaitu dengan laju pertumbuhan untuk setiap variabelnya bernilai konstan. Dalam mendapatkan tingkat utilitas yang maksimum maka kondisi steady state harus dalam keadaan optimal. Oleh karena itu, akan ditentukan alokasi optimal dari konsumsi dan akumulasi modal publik.
Rumusan model yang diperoleh dari persamaan (3) dan (4) yaitu mengurangi masalah optimasi pemerintah untuk memaksimumkan diskon present value dari arus utilitas yang dinikmati oleh sektor rumah tangga atau
max ∫ [ ] (7) dengan memilih jalur { } dan { } serta , kendala akumulasi modal publik dari persamaan (2) dan syarat bahwa persamaan di atas memuaskan bagi koruptor kendalanya diambil dari persamaan (6) yaitu:
∫ ∫ Masalah ini merupakan masalah kontrol optimum dengan tambahan kesulitan bahwa optimisasi perlu menggunakan “menunda kontrol”. Solusi dari karya ilmiah ini adalah mengambil kendala korupsi berkenaan dengan waktu kemudian menggunakan ekspresi ini untuk mentransformasikan masalah ke dalam suatu kontrol yang tidak terlambat. Setelah dilakukan penurunan kendala korupsi terhadap waktu maka diperoleh bentuk sebagai berikut:
(9)
(lihat Lampiran 1) dengan memisahkan persamaan (9) dengan kemudian ekspresi yang dihasilkan dikembalikan ke suatu panjang interval dihasilkan: (10)
Subsitusikan persamaan (10) ke persamaan (2) sehingga menjadi:
(11)
12
max ∫ [ ] dengan
(12)
Susun kembali dengan menggunakan fungsi produksi (1) dan aliran kendala anggaran (4) masalah tersebut dapat ditulis kembali dalam bentuk yang lebih dikenal yaitu:
max ∫ [ ]
kendala (13) Masalah kontrol optimum di atas terdapat dua variabel yaitu { } sebagai variabel kontrol dan { } sebagai variabel tetap terhadap batasan akumulasi kapital. Current-value Hamiltonian dari masalah ini dapat dituliskan dalam bentuk
[ ] [ ] (14)
Syarat perlu untuk solusi optimalitas adalah
1.
[ ] (14.1)
2.
[ ]
(14.2)
3. (14.3) Dari persamaan (14.1) dan (14.2) diperoleh persamaan turunan untuk konsumsi:
[ ][ ]
(15)
(lihat Lampiran 2) serta dari persamaan (14.3) diperoleh persamaan turunan untuk akumulasi modal:
(16) Sekarang, dari sistem dinamik di atas dapat digambarkan diagram fasenya dengan mencari persamaan stasioner terlebih dahulu yaitu:
ketika maka (17) dan ketika maka ada 2 kemungkinan atau
13
Gambar 1 Diagram Fase
Gambar 1 menggambarkan persamaan (13) dengan pada sumbu horizontal dan c pada sumbu vertikal. Model mempunyai empat steady state, tiga berhubungan dengan taraf positif dari konsumsi dan persediaan modal publik. Pada gambar terlihat bahwa ekuilibrium A merupakan kondisi yang tidak mungkin karena pada titik tersebut terjadi kehabisan modal dan konsumsi menjadi 0 keduanya secara ekonomi tidak dapat diterima. Sedangkan di antara ketiga ekuilibrium konsumsi dan persediaan modal publik dapat dilihat pada Gambar 1 bahwa ekuilibrium B tidak stabil, ekuilibrium D merupakan sumber stabil memiliki persediaan modal publik paling tinggi sedangkan ekuilibrium C memiliki jenis keseimbangan sadel dengan tingkat konsumsi paling tinggi (lihat Lampiran 5). Titik C juga merupakan kondisi optimum dimana terdapat utilitas yang maksimum. Perhatikan bahwa untuk beberapa inisial dari persediaan modal publik jalur sadel menghasilkan tingkat konsumsi sepanjang keseluruhan jalur yang melebihi taraf konsumsi pada sumber stabil. Kompetisi pemerintah untuk korupsi akan memberikan jalur konsumsi yang dihubungkan dengan jalur sadel. Hal tersebut dapat tercapai dengan menyediakan jalur pilihan untuk pajak dan investasi.
Solusi sistem dinamik untuk steady state jalur sadel di titik C menghasilkan ̅ (18)
̅
(19)
14
positif. Pada titik sadel stabilitas hanya diteliti pada cabang stabil yang akan membawa ke keadaan yang stabil di C. Untuk memperoleh suatu perkiraan untuk stabilitas dilakukan linearisasi sistem dinamik di sekitar steady state cabang sadel yang stabil. Solusi sistem linear ini diberikan oleh
̅ ̅ ( ) ̅ (20)
adalah akar (nilai eigen) yang stabil dari persamaan karakteristik, serta ̅ dan ̅ adalah integral partikular (18) dan (19) seperti yang telah terdefinisi di atas. Oleh karena itu, dapat dipilih pelinearan untuk cabang yang stabil (lihat Lampiran 5) sebagai:
̅ ̅
(22)
dengan menggunakan persamaan solusi dan persamaan dari cabang stabil, sekarang dapat diselidiki hubungan antara korupsi dan laju pertumbuhan dari output, investasi publik serta tingkat transparansi.
Korupsi dalam Jangka Waktu Panjang
Dalam subbab ini akan dilakukan pengujian terhadap tiga ukuran korupsi pada kondisi steady state yaitu rasio korupsi terhadap total output ̅
̅, rasio korupsi
dan sumber penghasilan pemerintah (dalam pajak) ̅
̅ serta rasio korupsi dan
konsumsi ̅
̅. Hal tersebut dapat ditulis kembali dalam bentuk persamaan yaitu: ̅
15 pembayaran pajak. Pajak ini akan diubah kedalam modal publik hanya setelah kelambanan diproduksi dan setelah beberapa bagian telah dikorupsi oleh pemerintah.
Dalam analisis ini, tingkat transparansi digambarkan oleh panjang dari produksi kelambanan . Jika tingkat aliran keseimbangan pemerintah dari korupsi lebih besar maka pemerintah tidak dapat berinvestasi secara cukup dari penerimaan pajak akibatnya antara steady state persediaan modal ̅ dan steady state tingkat output ̅ harus turun. Oleh karena itu, rasio korupsi-output akan naik. Hal tersebut mengakibatkan pajak dan konsumsi dalam output menjadi turun.
Tabel 1 Steady State - perbandingan statis Rasio Korupsi-output Rasio Korupsi-rasio dari korupsi mengalami peningkatan. Tanzi dan Davoodi (1997) menunjukkan bahwa peningkatan korupsi mempunyai hubungan positif dengan kuantitas investasi publik dan mempunyai hubungan negatif dengan kualitasnya. Salah satu cara untuk menggambarkan pernyataan di atas adalah mengasumsikan bahwa kualitas investasi yang rendah akan memburuk lebih cepat dan dinyatakan oleh peningkatan dari depresiasi . Pada Tabel 1 ditemukan kekonsistenan dengan fakta-fakta tersebut. Suatu peningkatan depresiasi menyatakan bahwa jika sektor rumah tangga memberikan satu unit untuk konsumsi hari ini maka akumulasi modal publik akan menurun lebih cepat dan aliran konsumsi masa depan akan kecil. Oleh karena itu, tingkat steady state dari modal publik dan output akan turun.
16
Jika suatu kenaikan menggambarkan suatu kenaikan premi risiko sebagai jawaban atas suatu kenaikan korupsi yang beragam, kemudian hal tersebut mengurangi steady state tingkat output. Dapat dilihat bahwa kenaikan diskonto menyebabkan steady state output menurun akibatnya rasio korupsi-output akan naik. Penurunan tersebut terjadi karena produsen/konsumen lebih tidak sabar untuk konsumsi sekarang, pajak yang lebih rendah dan karena itu meningkatkan konsumsi sekarang atas biaya investasi dan konsumsi mendatang. Akibatnya, menurunkan steady state akumulasi modal publik dan pertumbuhan ekonomi lebih rendah. Korupsi mengakibatkan terjadinya high cost economy akibatnya mendorong kenaikan dari tingkat diskonto atau suku bunga yang pada akhirnya akan meningkatkan premi risiko sehingga dapat memperlemah pertumbuhan ekonomi.
Hal tersebut juga terjadi pada tingkat kelambanan produksi yaitu:
̅
Sesungguhnya diambil untuk menggambarkan kualitas dari institusi ekonomi. Suatu kenaikan di meningkatkan hasil pemerintah dari mengambil semua pajak. Jika tingkat aliran steady state dari korupsi ̅ lebih tinggi maka akan menurunkan investasi dan menurunkan steady state persediaan modal ̅ serta output ̅.
17 panjang tapi penerimaan untuk mencuri didapat dari instansi yang lemah. Suatu alternatif untuk merubah adalah dengan merubah kualitas dari institusi ekonomi. Hall dan Jones (1997) menunjukkan bahwa untuk menjelaskan tingkat relatif dari GDP per pekerja di lintas negara ditentukan oleh perbandingan dari kualitas institusi ekonominya.
Pada Tabel 1 dan efek orde kedua mengindikasikan bahwa model ini dapat memprediksi peningkatan korupsi dengan jelas meningkatkan steady state dari rasio korupsi-output, korupsi-pajak dan rasio korupsi-konsumsi.
Analisis Dinamika Korupsi
Menurut Mauro (1995), Ehrlich dan Lui (1999) terdapat hubungan negatif antara tingkat pertumbuhan output dan korupsi.
Total Korupsi
Sepanjang cabang stabil untuk keseimbangan jalur sadel tingkat korupsi dapat dituliskan dalam persamaan sebagai berikut:
̅ ( ) ̅
(28)
(lihat Lampiran 7) dimana adalah akar karakteristik yang stabil. Untuk mendapatkan maka diasumsikan turunkan persamaan (28) terhadap maka total korupsi menjadi:
̅ ( ) (28.1)
ini berarti total korupsi naik pada waktu dan
̅ ( ) (28.2)
Sekarang dapat dilihat bahwa sepanjang cabang yang stabil korupsi mengalami peningkatan dengan laju yang semakin menurun. Kemudian turunkan persamaan (28.1) terhadap dihasilkan:
̅ ( )
Hal tersebut menunjukkan bahwa korupsi meningkat lebih cepat di setiap waktu dalam ekonomi dengan transparansi yang lemah.
Rasio korupsi terhadap output
Sepanjang cabang yang stabil dapat ditunjukkan evolusi dari rasio korupsi-output yang diberikan oleh:
̅ ( ) ̅
18
dengan fungsi dan adalah fungsi naik dengan laju yang semakin menurun. Secara analitik dapat diselidiki alur waktu dari rasio korupsi-output yaitu jika maka
̅ ̅
̅
̅ . Jadi, rasio korupsi-output akan
konvergen menuju steady state ̅
̅ .
Sedangkan analisis secara numerik diperoleh gambar sebagai berikut:
Gambar 2 Rasio korupsi-output dan panjang kelambanan
Gambar 2 menggambarkan alur waktu dari rasio korupsi-output dengan tingkat kelambanan modal publik. Sekarang dapat dilihat bahwa rasio korupsi-output semakin naik dengan laju yang semakin meningkat tanpa batas seiring meningkatnya . Semakin tinggi nilai kelambanan menunjukkan bahwa tingkat transparansi semakin lemah, akibatnya rasio korupsi-output meningkat dengan laju yang semakin meningkat sebagai sistem konvergen untuk steady state. Sebaliknya untuk suatu nilai kelambanan yang rendah menunjukkan tingkat transparansi yang tinggi, rasio korupsi-output akan menurun sebagai sistem konvergen untuk suatu steady state.
Hal tersebut menggambarkan bahwa suatu ekonomi dalam jangka waktu lama dengan institusi ekonomi yang baik tingkat korupsi akan menurun, berbeda jika institusi ekonominya buruk maka korupsi akan meningkat. Laju perubahan rasio korupsi-output semakin meningkat sebagai sistem konvergen untuk steady state.
Pajak yang diambil untuk korupsi
Adapun pajak yang dikorupsi pemerintah sepanjang alur konvergen dengan menggunakan persamaan (12) dan (20) diperoleh:
[ ̅ ̅]
̅ ̅ (30)
19
sebagai sistem konvergen untuk ekuilibrium sadel sepanjang cabang stabil, pajak yang dikorupsi meningkat dengan laju yang semakin menurun seiring meningkatnya . Hal tersebut berbeda dengan Gambar 2, rasio korupsi-output semakin meningkat dengan laju yang semakin naik. Secara numerik dengan menggunakan parameter yang sama dengan sebelumnya diperoleh gambar sebagai berikut:
Gambar 3 Rasio korupsi-pajak dengan panjang kelambanan
Gambar 3 menjelaskan bahwa laju pertambahan rasio korupsi-pajak akan semakin cepat sampai mencapai tingkat maksimum dan seraya mendatar mendekati kelajuan 0 seiring bertambahnya , karena pajak yang dikorupsi dalam waktu yang lama akan habis.
Korupsi publik dari sektor konsumsi
20
menggunakan parameter yang sama pada Gambar 2 diperoleh gambar sebagai berikut:
Gambar 4 Rasio korupsi-konsumsi dengan panjang kelambanan
Gambar 4 mengindikasikan bahwa rasio korupsi publik dari konsumsi rumah tangga semakin naik dengan laju yang meningkat seiring meningkatnya . Hal tersebut mengindikasikan bahwa rasio korupsi konsumsi semakin meningkat di tingkat transparansi yang menurun. Rasio korupsi-konsumsi akan meningkat sebagai suatu sistem konvergen untuk steady state.
Teori dan fakta-fakta empirik
Literatur empirik melaporkan suatu hubungan negatif antara laju pertumbuhan output dengan tingkat korupsi. Jika diberikan hubungan antara laju pertumbuhan output dengan tingkat korupsi sepanjang jalur sadel diperoleh
̅ ̅ [
[ ̅]
( )] (32)
(lihat Lampiran 9). Persamaan (33) adalah bentuk dari
dengan sebagaimana pada literatur empirik. Untuk beberapa model Ramsey banyak ekonomi mendekati steady state akan ceteris paribus, mempunyai lebih tinggi tingkat output dan lebih rendah laju pertumbuhan. Beberapa model dalam kelas tersebut juga menunjukkan sifat korupsi yang tidak menurun dalam output akan menghasilkan prediksi untuk persamaan (32). Persamaan (32) juga mendukung argumen bahwa model neoklasik cukup menjelaskan proses pertumbuhan.
21
Gambar 5 Hubungan laju pertumbuhan output dengan waktu Pada Gambar 5 dapat dilihat bahwa laju pertumbuhan akan semakin menurun jika tingkat korupsi semakin meningkat di sepanjang waktu .
Studi Kasus pada Proyek Hambalang
Banyak kasus korupsi yang terjadi di Indonesia salah satu yang sekarang menjadi pembicaraan adalah kasus proyek Hambalang yang merugikan negara sebesar 243.66 milyar rupiah sampai saat ini. Adapun parameter yang digunakan adalah dengan asumsi bahwa berdasarkan proyek Hambalang yang dimulai pada tahun 2004-2012 oleh Kemenpora dengan tingkat depresiasi = 0.4 dari dana yang sudah terpakai, elastisitas bahan baku yang digunakan untuk proyek berdasarkan pembangunan yang sudah terselesaikan, tingkat diskonto yang berlaku pada 2010 dimana 0.07. Selain itu, diasumsikan proyek Hambalang merupakan proyek tahun tunggal dimana semua dana berasal dari pembayaran pajak (Data kronologi amblasnya proyek Hambalang telah dipublikasikan di Republika).
Dengan menggunakan persamaan (23), (24) dan (25) diperoleh hasil sebagai berikut:
̅
̅
,
̅
̅
dan ̅
̅
22
Gambar 6 Hubungan ketiga rasio korupsi dengan panjang proyek Gambar 6 menggambarkan ketiga rasio korupsi semakin meningkat dengan laju yang semakin menurun. Laju pertambahan korupsi akan semakin cepat sampai mencapai maksimum dan akan menurun seraya jumlah rasio korupsi mulai mendatar. Jika kasus Hambalang tersebut dibiarkan maka korupsi akan semakin meningkat di tingkat kelambanan yang lebih besar dari 8 tahun. Laju pertambahan rasio korupsi-pajak lebih cepat dibandingkan rasio korupsi-output maupun konsumsi.
23 atau tingkat bunga yang lebih besar dan premi risiko menjadi besar pula. Hal tersebut berdampak negatif terhadap investasi, sehingga investasi menjadi lebih kecil.
Gambar 8 Hubungan kedua rasio korupsi dengan tingkat depresiasi
Pada Gambar 8, ketika kualitas dari investasi itu buruk maka tingkat depresiasi akan semakin besar dan output terhadap barang dan jasa yang dihasilkan akan lebih sedikit. Akibatnya konsumsi akan semakin turun, sehingga rasio korupsi terhadap output dan konsumsi semakin meningkat dengan laju yang semakin menurun. Dalam kasus Hambalang, kualitas investasi yang rendah mengakibatkan output yang dihasilkan memiliki kualitasyang rendah pula ini. Hal ini ditunjang dengan fakta sebesar 10% dari bangunan Hambalang runtuh. Dalam proyek yang bernilai 2.5 triliun ini, banyak terjadi mark-up terhadap barang-barang investasi. Akibatnya, kualitasnya tidak sesuai dengan harga yang telah ditetapkan. Pada tingkat depresiasi lebih dari 0.4 dapat dilihat bahwa grafik rasio korupsi-output mendatar mendekati kelajuan 0.
SIMPULAN
Model Ramsey dalam memaksimumkan utilitas serta fungsi produksi Cobb-Douglas mampu menjelaskan dampak negatif dari korupsi. Adapun kendala yang digunakan adalah laju perubahan akumulasi modal publik diperoleh dari pajak yang dikurangi dengan korupsi dan tingkat depresiasi, dengan syarat bahwa semua pajak akan dikorupsi.
24
panjang kelambanan Ketika panjang kelambanan semakin bertambah maka tingkat korupsi semakin meningkat pada kualitas institusi ekonomi yang buruk. Sedangkan tingkat depresiasi dan tingkat diskonto atau suku bunga dapat menjelaskan bahwa korupsi berdampak negatif terhadap investasi dan pertumbuhan ekonomi. Sebagai fungsi yang konvergen untuk steady state sepanjang jalur sadel terdapat hubungan yang negatif antara laju pertumbuhan output dengan tingkat korupsi yaitu ketika korupsi semakin meningkat maka laju pertumbuhan output akan semakin kecil. Hal tersebut menjelaskan bahwa korupsi akan memperlemah pertumbuhan ekonomi.
Dalam kasus Hambalang diperoleh bahwa pajak yang dikorupsi lebih besar dibandingkan dengan rasio korupsi-output dan rasio korupsi-konsumsi. Terjadinya mark-up mengakibatkan tingkat depresiasi modal tinggi dan mengakibatkan kualitas investasi turun dan manfaat dari barang dan jasa yang dihasilkan akan menurun juga.
DAFTAR PUSTAKA
Boediono. 1999. Teori Pertumbuhan Ekonomi. Yogyakarta (ID): BPFE.
Chetwynd E, Chetwynd F, Spector B. 2003. Corruption and Poverty. A Review of Recent Literature: Management Systems International.
Chiang AC, Wainwright K. 2005. Dasar-dasar Matematika Ekonomi. Ed ke-4. Susatio S, Nartanto, penerjemah; Suryadi S, Wisnu CK, editor. Jakarta (ID): Erlangga. Terjemahan dari: Fundamental Methods of Mathematical Economics
Edition.
Ellis CJ, Fender J. 2006. Corruption and transparency in a growth model. International Tax and Public Finance. 13:115-149.
Dewi SNF. 2002. Analisis pengaruh korupsi terhadap pertumbuhan investasi domestik dan foreign direct investment (11 Negara Asia Tahun 1995-2000). [Tesis]. Depok : Universitas Indonesia.
Ehrlich I, Lui FT. 1999. Bureaucratic corruption and endogenous economic growth. The Journal of Political Economic. 107(2).
Hall RE, Jones CI. 1997. Levels of economic activity across countries. American Economic Review. 87 (2):173-177.
Klitgaard R. 2001. Mengendalikan Korupsi. Hermoyo, penerjemah. Jakarta (ID): Yayasan Obor Indonesia. Terjemahan dari: Controlling Corruption.
Knack S, Keefer P. 1996. Institution and economic performance. Economics and Politic. 7:207-227.
Kreyzig E. 1993. Matematika Teknik Lanjutan. Ed Ke-6. Sumantri B, penerjemah. Jakarta (ID): Gramedia Pustaka Utama. Terjemahan dari: Mathematical Techniques Edition.
Mankiw NG. 2003. Teori Makroekonomi. Ed Ke-5. Iman M, penerjemah; Kristiaji WC, editor. Jakarta (ID): Erlangga. Terjemahan dari: Macroeconomics
Edition.
25 Mauro P. 1995. Corruption and growth. The Quarterly Journal of Economics.
110(3):681-712.
Nicholson W. 2002. Mikroekonomi Intermediate dan Aplikasinya. Ed Ke-8. Mahendra IB, Abdul A, penerjemah; Kristiaji WC, Yati S, Nurcahyo M, editor. Jakarta (ID): Erlangga. Terjemahan dari: Intermediate Microeconomics and Its Application Edition.
Tanzi V, Davoodi H. 1997. Corruption, public investment and growth. IMF Working Paper No.97/139.
Todaro PM. 2000. Pembangunan Ekonomi Jilid 1. Jakarta (ID): Erlangga.
Tu PNV. 1993. Introductory Optimization Dynamics: Optimal Control with Economics and Management Applications. Second Revised and Enlarged Edition. Berlin (DE): Springer Verlag.
Waluyo J. 2010. Analisis hubungan kausalitas antara korupsi, pertumbuhan ekonomi, dan kemiskinan: suatu studi lintas negara. Buletin Ekonomi 8(2):70-170.
26
Lampiran 1 Persamaan masalah optimasi dengan kendala akumulasi modal publik yang memuaskan koruptor
Max ∫ [ ] (1) (2) dan syarat bahwa memuaskan bagi koruptor kendalanya
∫
∫
dilakukan penurunan kendala korupsi terhadap waktu maka dengan Teorema Dasar Kalkulus 1 (TDK 1) diperoleh :
Kemudian ekspresi yang dihasilkan dikembalikan pada panjang interval menjadi :
Kemudian subsitusikan persamaan di atas ke (2) sehingga kendala menjadi (3)
Sehingga dihasilkan
max ∫ [ ] dengan
(4)
Susun kembali dengan menggunakan fungsi Cobb-Douglas yaitu
( ) dan kendala anggaran ∑
atau bisa dituliskan (5)
27
1.
[ ]
[ ]
[ ] (7) 2.
[ ]
(8)
3. (9) Variabel dalam persamaan diferensial dan adalah dan karena melibatkan fungsi yang disebut [ ] dan bukan hanya c sendiri, maka akan lebih mudah menggambar diagram fase di ruang . Untuk melakukan hal ini, akan dihilangkan dengan melakukan penurunan terhadap .
Turunkan persamaan (7) yaitu [ ] terhadap waktu t sehingga persamaan menjadi:
[ ] [ ]
(10)
kemudian subsitusikan ke persamaan (8): [ ]
[ ] [ [ ] ]
[ ] [ ]
[ ] [ [ ] ]
setelah dilakukan eliminasi persamaan menjadi:
[ ][ ]
[ ][ ] [ ]
[ ][ ] Oleh sebab itu, sistem dinamiknya adalah
dan (11)
[ ][ ] (12)
Lampiran 3 Menentukan ekuilibrium (steady state)
Dari persamaan (11) dan (12) dapat ditentukan ekuilibriumnya yaitu: dimana
28
(13)
maka [ ][ ]
Jadi, ketika ada dua kemungkinan yaitu:
ata
(14)
Lampiran 4 Menggambar bidang fase
Slope dari persamaan (13)
|
|
dan diberikan oleh | dan |
Kembali ke sistem persamaan diferensial orde pertama pada persamaan (13) dan (14) kita dapat menyimpulkan bahwa:
( )
yang merupakan arus garis yang diikuti oleh diagram. Gambar 1
Karena
semua titik di bawah kurva ditandai oleh
29 . Demikian juga untuk
semua titik di sebelah kiri garis
ditandai oleh artinya arah panah menuju ke atas dan semua titik di sebelah kanan garis oleh . Jadi dan membagi ruang fase menjadi 8 daerah masing-masing dengan tanda berpasangan dan yang berbeda.
Perpotongan antara 2 kurva pada titik C menentukan nilai ekuilibrium intertemporal dan , karena pada titik C baik maupun tidak akan berubah nilainya sepanjang waktu, yang menghasilkan suatu keadaan yang stabil. Akan diberikan label nilai ini sebagai ̅ dan ̅ untuk nilai ekuilibrium intertemporal.
Keterangan gambar:
Jika akan berakhir dengan (Kehabisan modal) atau (konsumsi per kapita menurun menjadi 0) keduanya secara ekonomi tidak dapat diterima. Jadi alternatif satu-satunya adalah memilih pasangan agar dapat melokasikan ekonomi ke cabang yang stabil yang akan membawa kita ke keadaan yang stabil di C (Mankiw 2006).
Lampiran 5 Sistem linearisasi dan pendekatan linear untuk jalur sadel
Untuk mendapatkan kecepatan kekonvergenan, dilakukan ekspansi Taylor orde pertama dengan dua variabel di sekitar steady state. Linearisasi diperoleh dengan cara sebagai berikut:
̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ dimana,
[ ̅ ] [ ̅ ] ̅ ̅
[ ̅ ] [ ̅ ] ̅ ̅
dan ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ [ ̅ ]
( ̅
) ̅ [ ̅ ] ̅
( ̅ ) ̅
( ̅ )[ ̅ ]
( ̅
) ̅ [ ̅ ] ̅
( ̅ ) ̅
dengan solusi jalur ekuilibrium sadel adalah
̅ ( ) ̅ ( ) ( )
Dilakukan pemisalan terhadap persamaan di atas
30
2. .
3. [ ̅ ] ̅ ̅. 4.
( ̅ )[ ̅ ]
[ ̅ ]
. 5.
( ̅ ) karena ( ̅ ) .
6.
̅ [ ̅ ] ̅ ( ̅ ) ̅.
Sistem dinamikanya menjadi:
dengan cara diferensial simultan persamaan di atas dapat ditulis dengan notasi matriks sebagai berikut:
[ ] [ ]
Integral partikular untuk jalur sadel adalah { ̅ ̅}, fungsi komplemen dapat dicari dengan cara merubah penyelesaian menjadi:
dan yang menyatakan bahwa dan sehingga vektor dan menjadi:
dan Sistem dinamik adalah
, bagi persamaan dengan sehingga persamaan menjadi:
Persamaan karakteristik didapat dari:
| | | |
Akar-akar karakteristiknya:
31
√ √
Diasumsikan semua parameter adalah bilangan riil positif, sistem mempunyai 2 akar riil yang berbeda maka jenis ekuilibriumnya adalah sadel dan
merupakan akar yang stabil. Akar-akarnya diberikan kembali:
[ ]
sehingga dan untuk Fungsi komplemen dapat ditulis sebagai berikut:
[∑
∑ ]
( ) ( )
Jadi, sistem mempunyai solusi sebagai berikut: ̅ ̅
̅ ( ) ( ) ̅ Cabang stabil dihubungkan dengan akar
√
√
[ ̅ ]
√
[ ̅ ]
karena merupakan akar yang stabil, untuk kestabilan jalur pelana maka ( akar tak stabil) . Jadi, evaluasi solusi di t=0 adalah:
, sehingga ̅
̅ ̅
̅
sehingga diperoleh solusi partikular:
̅ ̅ ̅ (15) ̅ ̅
32
Cabang stabil dihubungkan dengan sehingga ̅ ̅
( ) ̅ ( ) ̅ ̅
( ) ̅ ̅ dan cabang stabil mempunyai slope
(
)
√
√
√ Slope mengikuti cabang yang stabil yaitu :
√ ̅ ̅
̅ √ ̅ √ yang dapat dituliskan kembali dalam bentuk dan sehingga: ̅ ( ) ̅ ( )
Sekarang dipilih beberapa poin dalam jalur sadel sebagai inisial kondisi dalam penelitian ini yaitu
̅ ( ) ̅ ( )
Korupsi dalam jangka waktu panjang: Lampiran 6 Menentukan ̅
̅ ̅ ̅
̅
̅ pada kondisis steady state
̅ ( ) ̅ ( ) ( )
Output pada tingkat steady state: dimana sehingga ̅ . Sedangkan untuk pajak dan korupsi pada kondisi steady state adalah dengan menggunakan persamaan (3)
̅ ̅
̅ ̅ ̅ ̅
sedangkan untuk korupsi diperoleh ̅ ̅
33
Gunakan persamaan kendala (3) dan subsitusikan kedalam
34 diketahui bahwa sehingga diperoleh persamaan sebagai berikut:
̅ ( )
̅ ( )
Lampiran 8 Pajak yang diambil untuk korupsi
35
[
̅ ̅ ]
̅ ̅
Lampiran 9 Teori dan fakta-fakta empirik
̅
̅ ̅ [ ̅ ̅] [ ̅ ]
Jika dihubungkan dengan korupsi persamaan di atas dapat ditulis dalam bentuk sebagai berikut: Dari persamaan (17) didapat persamaan: ̅ ( ) ̅
[ ̅]
̅
[ ̅ ̅]
[ ̅]
36
RIWAYAT HIDUP
Penulis lahir di Cianjur pada tanggal 19 Mei 1990 sebagai anak ke dua dari empat bersaudara, anak dari pasangan Ujang Juhana dan Wiwin Winengsih. Tahun 2003 penulis lulus dari SDN Ibu Dewi 3 Cianjur. Tahun 2006 penulis lulus dari SMPN 1Cianjur. Tahun 2009 penulis lulus dari SMAN 1 Cianjur dan pada tahun yang sama penulis lulus seleksi masuk IPB melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB (USMI) dengan mayor Matematika pada Departemen Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.
