STUDI KESTABILAN MODEL SISTEM MANGSA-PEMANGSA PADA KASUS PEMANGSA BERGANTUNG SEPENUHNYA PADA MANGSA

(1)

ABSTRAK

STUDI KESTABILAN MODEL SISTEM MANGSA-PEMANGSA PADA KASUS PEMANGSA BERGANTUNG SEPENUHNYA

PADA MANGSA

Oleh

FEBRY LEDYANI

(2)

I. PENDAHULUAN

1.1Latar Belakang dan Masalah

Dalam kehidupan, suatu mahluk hidup dituntut untuk senantiasa berinteraksi dengan mahluk hidup lainnya. Pada kenyataannya interaksi yang terjadi baik antar individu dari spesies yang sama maupun interaksi antar individu dari spesies yang berbeda dapat berdampak positif bagi keduanya, berdampak negatif bagi keduanya, atau berdampak negatif bagi salah satu spesies dan positif bagi spesies lainnya, maupun tidak berdampak bagi keduanya. Jika dampak positif bagi keduanya, interaksi keduanya disebut simbiosis, jika dampak bagi keduanya negatif disebut persaingan, dan jika dampaknya positif bagi spesies yang satu sedangkan bagi spesies yang lainnya negatif maka interaksi tersebut disebut dengan mangsa-pemangsa (prey-predator).

(3)

predasi yang berlebihan, lingkungan, populasi, tidak adanya pengelolaan habitat, dan lain-lain. Dalam rangka untuk melindungi spesies-spesies ini dilakukan usaha seperti pembatasan pemburuan, menciptakan daerah perlindungan, dan sebagainya harus dilakukan untuk mengurangi interaksi antara spesies-spesies dengan beberapa pengaruh dari luar.

Peran daerah perlindungan telah diteliti oleh beberapa peneliti, seperti Dubbey dan kawan-kawan menganalisis model matematika untuk mempelajari dinamika suatu sistem sumber daya perikanan dalam suatu lingkungan perairan yang terdiri dari dua daerah yaitu daerah perikanan yang bebas dan daerah perikanan yang dilindungi. Itu menunjukkan bahwa bahkan jika dimanfaatkan terus-menerus perikanan pada daerah bebas, populasi ikan tidak dapat dipertahankan pada tingkat kestabilan yang sesuai dengan habitatnya.

Model yang disajikan dalam penelitian ini akan sangat berguna dalam Taman Nasional dimana mangsa-pemangsa hidup berdampingan. Spesies mangsa yang harus dilestarikan dapat dilindungi dari pemangsa dengan menciptakan batas buatan atau penampungan yang akan membagi habitat menjadi dua daerah yaitu daerah bebas dan perlindungan. Masuknya pemangsa ke daerah perlindungan dapat dibatasi oleh batas buatan yang mungkin dalam bentuk pagar sesuai dengan ukuran spesies mangsa-pemangsa tersebut.

(4)

3

dimana mangsa dapat hidup tetapi pemangsa tidak diperbolehkan masuk ke dalamnya. Model ini dianalisis dalam dua kasus yaitu ketika pemangsa bergantung sepenuhnya pada mangsa, dan ketika pemangsa bergantung sebagian pada mangsa di daerah bebas. Pada penelitian ini akan membahas mengenai keberadaaan kesetimbangan dan analisis kestabilan perilaku sistem dinamik spesies mangsa-pemangsa.

1.2Batasan Masalah

Pada penelitian ini akan membahas mengenai keberadaaan kesetimbangan dan analisis kestabilan perilaku sistem dinamik spesies mangsa-pemangsa tetapi masalah hanya dibatasi pada kasus I yaitu ketika spesies pemangsa bergantung sepenuhnya pada spesies mangsa.

1.3Tujuan Penelitian

Adapun tujuan dari penelitian ini adalah :

1. Mengkaji model matematika untuk sistem dinamik spesies mangsa-pemangsa 2. Mengkaji keberadaan titik kesetimbangan dan analisis kestabilan perilaku

sistem dinamik model tersebut di sekitar titik kesetimbangan

1.4Manfaat Penelitian

Manfaat yang diharapkan dalam penelitian ini adalah :

(5)

(6)

II. TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Sistem Dinamik

Sistem dinamik adalah sistem yang berubah dari waktu ke waktu (Farlow,et al., 2002). Salah satu tujuan utama dari sistem dinamik adalah mempelajari perilaku dari penyelesaian sistem di sekitar titik setimbang (equilibrium). Untuk mempelajari perilaku dari penyelesaian sistem tersebut digunakan suatu pendekatan yang disebut analisis kestabilan. Analisis kestabilan adalah kajian atas proses perkembangan suatu sistem yaitu seberapa jauh perkembangan sistem yang dimodelkan menyimpang dari titik keseimbangan yang dicapainya. Analisis ini dapat dilakukan dengan beberapa cara seperti melakukan penyelidikan terhadap perilaku titik kesetimbangan dari persamaan diferensial. Titik kesetimbangan dan kestabilannya dapat memberikan informasi mengenai perilaku penyelesaian dari persamaan diferensial tak linear.

2.2 Sistem Autonomous

Suatu sistem persamaan diferensial yang berbentuk

(7)

dengan

⃑

) ⃑

⃑ ⃑

⃑ )

dimana fungsi-fungsi tidak bergantung secara eksplisit pada waktu, disebut sistem autonomous (Finizio dan Ladas, 1988).

2.3 Kesetimbangan dan Kestabilan

Titik kesetimbangan dari sistem merupakan titik dimana sistem tersebut tidak mengalami perubahan sepanjang waktu (Panfilov, 2004). Secara matematis definisi titik kesetimbangan dapat dituliskan pada definisi berikut.

Definisi 2.1.1

Titik ⃑ disebut titik kesetimbangan pada sistem (2.1) jika

⃑̇ ⃑ ⃑

(8)

7

Definisi 2.1.2

Titik kesetimbangan ⃑ disebut stabil jika untuk setiap bilangan terdapat sedemikian hingga setiap penyelesaian ⃑ pada memenuhi

‖ ⃑ ⃑ ‖

berlaku

‖ ⃑ ⃑ ‖

untuk setiap .

Semua titik kesetimbangan ⃑ dikatakan tak stabil jika titik tersebut tak stabil.

Definisi 2.1.3

Titik kesetimbangan ⃑ disebut stabil asimtotis jika titik tersebut stabil dan

terdapat sedemikian hingga setiap penyelesaian ⃑ yang pada

memenuhi

‖ ⃑ ⃑ ‖

berlaku untuk semua dan memenuhi

⃑ ⃑

(9)

2.4 Linearisasi Sistem

Definisi stabil dan tidak stabil terlalu sulit digunakan untuk menentukan kestabilan suatu sistem yang tak linar. Salah satu metode yang dapat digunakan adalah melalui pendekatan analisis bentuk linearisasinya.

Fungsi pada persamaan (2.1) dihampiri dengan menggunakan ekspansi deret Taylor di sekitar titik kesetimbangan

⃑( ⃑̇ ⃑ ⃑ ⃑ ⃑_⃑ ⃑ ⃑

Karena ⃑ adalah titik kesetimbangan maka

⃑ ⃑

Sistem linear (2.2) dapat diberikan dalam bentuk matriks

(10)

9

sehingga persamaan (2.2) menjadi

̇

dengan

Matriks di atas disebut dengan matriks Jacobian (Khamsi, 2004).

Misalkan nilai eigen matriks Jacobian adalah , dengan vektor

Dalam hal memiliki invers dan mendiagonal maka persamaan (2.4) menjadi

(11)

sehingga penyelesaian umum dari persamaan adalah

⃑⃑

[ ⃑⃑⃑⃑⃑ ⃑⃑⃑⃑⃑ ⃑⃑⃑⃑⃑] [

]

_{⃑⃑⃑⃑⃑} _{⃑⃑⃑⃑⃑} _{⃑⃑⃑⃑⃑}

dengan adalah nilai eigen, adalah konstanta, dan ⃑⃑⃑⃑ adalah vektor eigen yang bersesuaian dengan untuk setiap .

(12)

11

2.5 Nilai Eigen

Definisi :

Jika adalah sebuah matriks , maka sebuah vektor taknol pada disebut vektor eigen (eigenvector) dari jika ⃑ adalah sebuah kelipatan skalar dari ⃑ ; jelasnya,

⃑ ⃑

untuk skalar sebarang . Skalar disebut nilai eigen (eigenvalue) dari , dan ⃑ disebut sebagai vektor eigen dari yang bersesuaian dengan .

Untuk memperoleh nilai eigen dari sebuah matriks , , dituliskan kembali ⃑ ⃑ sebagai

⃑ ⃑

atau secara ekuivalen

⃑

Agar dapat menjadi nilai eigen, harus terdapat satu penyelesaian taknol dari persamaan ini. Persamaan (2.4) memiliki penyelesaian taknol jika hanya jika

(13)

yang disebut sebagai polinomial karakteristik (characteristic polynomial) matriks (Howard, 2004).

Matriks A dengan dapat ditulis dalam bentuk

[

]

Sehingga

|

(14)

III. METODOLOGI PENELITIAN

3.1Tempat dan Waktu Penelitian

Penelitian ini dilakukan di Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung. Waktu penelitian dilaksanakan pada semester genap tahun ajaran 2009/2010.

3.2Metode Penelitian

Metode yang dilakukan dalam penelitian ini adalah studi pustaka, yaitu dengan mempelajari buku-buku penunjang dan jurnal yang berhubungan dengan penelitian ini.

Adapun langkah-langkah yang dilakukan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut:

1. Menentukan asumsi yang digunakan

2. Menentukan parameter-parameter yang digunakan dan mendeskripsikannya 3. Menentukan model matematika dari sistem dinamika spesies

(15)

4. Menentukan keberadaan titik kesetimbangan dan analisis kestabilan perilaku spesies mangsa-pemangsa

(16)

IV. HASIL DAN PEMBAHASAN

4.1 Asumsi yang digunakan dalam sistem mangsa-pemangsa

Dimisalkan suatu habitat dimana spesies mangsa dan pemangsa hidup berdampingan. Diasumsikan habitat ini dibagi menjadi dua daerah, yaitu daerah bebas dimana spesies mangsa dan pemangsa dapat bergerak bebas dan daerah perlindungan dimana mangsa dapat hidup tetapi pemangsa tidak diperbolehkan masuk ke dalam daerah tersebut. Dinamika mangsa-pemangsa ini di analisis dalam kasus, yaitu ketika pemangsa bergantung sepenuhnya pada mangsa.

4.2 Parameter-parameter dan deskripsinya

Parameter-parameter yang digunakan dalam model sistem mangsa-pemangsa adalah sebagai berikut :

(17)

Koefisien laju pertumbuhan intrinsik (intrinsic growth rate yaitu nilai yang menggambarkan daya tumbuh suatu populasi) spesies mangsa di daerah perlindungan

Carrying Capacity (kapasitas tampung yaitu ukuran maksimum dari suatu populasi yang dapat disokong oleh suatu lingkungan) pada daerah bebas

Carrying Capacity (kapasitas tampung yaitu ukuran maksimum dari suatu

populasi yang dapat disokong oleh suatu lingkungan) pada daerah

perlindungan

Koefisien tingkat kematian alami spesies pemangsa

Koefisien tingkat penipisan spesies mangsa yang disebabkan oleh pemangsa

Koefisien laju petumbuhan spesies pemangsa karena interaksinya dengan mangsanya

Koefisien tingkat migrasi spesies mangsa dari daerah bebas ke daerah perlindungan

Koefisien tingkat migrasi spesies mangsa dari daerah perlindungan ke daerah bebas

4.3 Formulasi model matematika dari sistem mangsa-pemangsa

(18)

17

(dari daerah bebas ke daerah perlindungan), interaksi antara mangsa dan pemangsa, serta interaksi antara spesies mangsa itu sendiri. Selanjutnya, kepadatan spesies mangsa di daerah perlindungan dipengaruhi oleh faktor kelahiran, migrasi masuk (dari daerah bebas ke daerah perlindungan) dan migrasi keluar (dari daerah perlindungan ke daerah bebas), serta interaksi antara spesies mangsa itu sendiri. Kemudian, kepadatan spesies pemangsa untuk setiap waktu dipengaruhi oleh faktor laju pertumbuhan spesies pemangsa dan kematian alami spesies pemangsa.

Dari uraian di atas, maka diperoleh model matematika sebagai berikut :

Kepadatan spesies mangsa di daerah bebas

Kepadatan spesies mangsa di daerah perlindungan

(19)

4.4 Kasus : Ketika spesies pemangsa bergantung sepenuhnya pada spesies mangsa

Kepadatan spesies pemangsa dipengaruhi oleh faktor laju pertumbuhan spesies pemangsa dan kematian, maka pada

(4.2)

Sehingga

Ini dapat diperiksa dengan model persamaan (4.1) ketika memenuhi persamaan (4.2) memiliki tiga kesetimbangan yaitu ̂ ̂ dan ̅ ̅ ̅ ̅ .

4.4.1 Keberadaan kesetimbangan

Untuk kesetimbangan , maka persamaan pada model (1) berbentuk :

(20)

19

Dari persamaan (4.4) diperoleh persamaan ̂ sebagai berikut :

(21)

Kemudian substitusi nilai ke persamaan (4.4)

(22)

(23)

4.4.3 Keberadaan kesetimbangan ̅ ̅ ̅ ̅

Untuk kesetimbangan ̅ ̅ ̅ ̅ , maka persamaan pada model persamaan (4.1) berbentuk :

Dari persamaan (7.3) diperoleh persamaan ̅ sebagai berikut :

̅

(24)

23

Rumus untuk persamaan kuadrat, sehingga diperoleh

̅ √

Selanjutnya, dari persamaan (4.8) diperoleh persamaan ̅ sebagai berikut :

(25)

Sistem persamaan awal merupakan sistem persamaan nonlinier, sehingga untuk mengetahui kestabilan masing-masing titik kesetimbangan pada sistem persamaan tersebut, maka digunakan hampiran pada bentuk pelinearannya.

Untuk persamaan pada kasus ketika spesies pemangsa bergantung sepenuhnya pada spesies mangsa, matriks Jacobian yang terbentuk adalah

(26)

25

Kemudian nilai eigen dapat diperoleh dengan cara berikut :

(27)

Sehingga diperoleh nilai eigen sebagai berikut :

√

Dari nilai-nilai parameter yang digunakan pada simulasi numerik, dapat terlihat bahwa

Hal ini berarti bahwa titik kesetimbangan merupakan titik saddle (saddle point).

4.5.2 Kesetimbangan ̂ ̂

Di titik kesetimbangan ̂ ̂ , matriks Jacobian menjadi

[

̂ ̂

̂

̂ ]

Kemudian, nilai dapat diperoleh dengan cara berikut :

(28)

(29)

( ̂ ̂ )

( ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ₎ ̂

Sehingga didapat persamaan

dengan akar-akarnya

√

Sehingga diperoleh nilai eigen sebagai berikut : ̂

( √ )

(30)

29

Kemudian, nilai dapat diperoleh dengan cara berikut :

(31)

( ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ )

̅ [ ( ̂ ̂ ̅)

( ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂

̅ ̅ ̅ ̅)]

Persamaan

[ ( ̂ ̂ ̅)

( ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂

̅ ̅ ̅ ̅)]

dengan memisalkan

( ̂ ̂ ̅)

( ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̅

̅ ̅

̅)

Sehingga didapat persamaan

(32)

31

( ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ )

̅

( ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ )

[ ̅ ̅

̅ ]

̅ ̅ ̅ ̅

( ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅)

Diperoleh persamaan karakteristik polinomial yang berbentuk

dengan

̅

̅ ̅ ̅

( ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅)

(33)

4.6 Simulasi Numerik

Pada bagian ini akan diberikan simulasi numerik untuk menggambarkan model mangsa pemangsa yang dimodelkan pada persamaan (4.1). Adapun nilai-nilai parameter yang digunakan sebagai berikut :

Sumber : Nonlinear Analysis (12) : 479-494, 2007

(34)

33

2. Ketika pemangsa sangat bergantung pada mangsanya, maka kepadatan pemangsa adalah 3,2602 sedangkan total kepadatan mangsa telah menurun yaitu 76,3621 yang diperoleh dari 90,0027 – 13,6406

Dengan menggunakan software Matlab 6.1 diperoleh gambar-gambar yang memperlihatkan perliaku-perilaku spesies mangsa pada daerah bebas, mangsa pada daerah perlindungan, dan pemangsa sebagai berikut

Gambar 4.1 Perilaku sistem untuk titik kesetimbangan ̂ ̂ untuk syarat awal ̂ ̂

(35)

pemangsa nol, dalam jangka waktu tertentu mangsa pada daerah bebas dan daerah perlindungan berkurang karena faktor kematian (karena jumlah awal mangsa melebihi carrying capacity) kemudian bergerak stabil menuju carrying capacity populasi mangsa tersebut.

Gambar 4.2 Perilaku sistem untuk titik kesetimbangan ̂ ̂ untuk syarat awal ̂ ̂

(36)

35

Gambar 4.3 Perilaku sistem untuk titik kesetimbangan ̅ ̅ ̅ ̅ untuk syarat awal ̅ ̅ ̅

(37)

kematian, selanjutnya saat mangsa pada daerah bebas bertambah karena faktor kelahiran dan migrasi masuk, sehingga kepadatan pemangsa bertambah karena interaksi dengan mangsa, dan setelah beberapa waktu tertentu mangsa dan pemangsa bergerak stabil menuju carrying capacity.

(38)

37

dikarenakan pada gambar 4.4 jumlah syarat awal pemangsa lebih banyak daripada jumlah mangsa pada daerah bebas, sehingga pemangsa hanya mendapatkan sedikit makanan (mangsa).

(39)

(40)

V. KESIMPULAN DAN SARAN

5.1 Kesimpulan

Pada penelitian ini dianalisis model matematika untuk mempelajari perilaku hidup berdampingan dan kestabilan sistem mangsa-pemangsa. Model matematika yang diperoleh yaitu :

(41)

̂ ̂ merupakan saddle (dan tidak stabil), tetapi jika ̂ maka kesetimbangan ̂ ̂ stabil asimtotis. Kemudian nilai-nilai eigen pada titik kesetimbangan ̅ ̅ ̅ ̅ sulit diperoleh untuk mengetahui kestabilannya karena terlalu banyak parameter yang ada.

Dari simulasi numerik, terlihat pada titik kesetimbangan ̂ ̂ dengan syarat awal mangsa pada daerah bebas dan daerah perlindungan melebihi carrying capacity, dalam jangka waktu tertentu mangsa pada daerah bebas dan perlindungan berkurang karena faktor kematian kemudian bergerak stabil menuju carrying capacity, begitu juga sebaliknya dengan syarat awal mangsa pada daerah bebas dan daerah perlindungan kurang dari carrying capacity, dalam jangka waktu tertentu mangsa pada daerah bebas dan perlindungan bertambah karena faktor kelahiran dan migrasi masuk kemudian bergerak stabil menuju carrying capacity.

Pada titik kesetimbangan ̅ ̅ ̅ ̅ dengan syarat awal mangsa pada daerah bebas lebih banyak daripada pemangsa maka kenaikan kepadatan pemangsa lebih besar, ini terjadi karena ketersediaan makanan (mangsa) untuk pemangsa lebih banyak, kemudian jika pemangsa yang lebih banyak dari mangsa pada daerah bebas maka kenaikan kepadatan pemangsa lebih kecil, ini terjadi karena ketersediaan makanan (mangsa) untuk pemangsa lebih sedikit.

(42)

41

tanpa adanya gangguan dari pemangsa, sehingga spesies mangsa dapat dipertahankan pada tingkat kestabilan.

5.2 Saran

(43)

PADA MANGSA ( Skripsi )

Oleh Febry Ledyani

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG

(44)

PADA MANGSA

Oleh Febry Ledyani

Skripsi

Sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar SARJANA SAINS

Pada

Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Universitas Lampung

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG

(45)

DAFTAR GAMBAR

Gambar 4.1 Perilaku sistem untuk titik kesetimbangan ̂ ̂

untuk syarat awal ̂ ̂ ……….….……... 33 Gambar 4.2 Perilaku sistem untuk titik kesetimbangan ̂ ̂

untuk syarat awal ̂ ̂ ……… 34 Gambar 4.3 Perilaku sistem untuk titik kesetimbangan ̅ ̅ ̅ ̅

untuk syarat awal ̅ ̅ ̅ ………... 35 Gambar 4.4 Perilaku sistem untuk titik kesetimbangan ̅ ̅ ̅ ̅

untuk syarat awal ̅ ̅ ̅ ……….. 36 Gambar 4.5 Perilaku sistem untuk titik kesetimbangan ̅ ̅ ̅ ̅

(46)

DAFTAR ISI

2.3 Kesetimbangan dan Kestabilan ……..………... 6

2.4 Linearisasi Sistem ………. 8

4.1 Asumsi yang digunakan dalam sistem mangsa-pemangsa ……... 15

4.2 Parameter-parameter dan deskripsinya ……….…….... 15

(47)

DAFTAR PUSTAKA

Dubey, B. 2007. A Prey-Predator with a Reserved Area. Modeling and Control 12, 479-494.

Farlow, et al. 2002. Differential Equations and Linear Algebra. International Edition. Prentice-Hall, New Jersey.

Finizio, N. dan Ladas, G. 1988. Persamaan Diferensial Biasa Dengan Penerapan Modern. Edisi Ke-2. Alih Bahasa Dra. Widiarti Santoso. Erlangga, Jakarta.

Howard, A dan Rorres, C. 2004. Aljabar Linear Elementer versi Aplikasi. Jilid 1. Edisi kedua. Penerjemah Refin, Irzam, Harmein. Erlangga, Jakarta.

Hurewicz, W. 1961. Lecture on Ordinary Differential Equation, John Wiley and Sons, Inc., New York.

Khamsi, M. A. 2004. Equilibrium Point Analysis : Lenearization Technique. Utrecht University, Utrecht.

(48)

KATA PENGANTAR

Assalamualaikum Wr. Wb.

Puji syukur Alhamdulillah penulis ucapkan kepada Allah SWT atas limpahan rahmat dan hidayah-Nya sehingga penulis mampu menyelesaikan penulisan skripsi ini. Penulis menyadari bahwa karya ini bukanlah hasil jerih payah sendiri, melainkan dengan bimbingan dan dukungan orang-orang hebat yang membantu penulis. Pada kesempatan ini penulis menyampaikan rasa hormat dan ucapan terimakasih yang tulus kepada :

1. Dra. Dorrah Aziz, M.Si., selaku pembimbing I, Ketua Program Studi Matematika, dan selaku Pembimbing Akademik penulis yang telah bersedia meluangkan waktu, memberikan arahan, bimbingan, dan saran serta motivasi kepada penulis selama menyelesaikan skripsi ini.

2. Aang Nuryaman, M.Si., selaku pembimbing II yang telah memberikan bimbingan, serta senantiasa sabar dalam memberikan arahan dan pengalaman selama menyelesaikan skripsi ini.

3. Tiryono Rubby, Ph.D., selaku pembahas dan Ketua Jurusan Matematika yang telah memberikan saran, masukan dan arahan yang membangun demi sempurnanya skripsi ini.

(49)

wawasan dan cakrawala pengetahuan yang berguna selama penulis menyelesaikan studi.

6. Ayah dan mama, serta adik-adiku tercinta terimakasih atas do’a, perhatian dan kasih sayang serta dukungannya selama ini.

7. Sahabat-sahabatku Suci Nur Amalia, S.Si, Pipit Susilowati, Umi Sofiyani, Meilina, yang telah banyak membantu penulis, baik pada saat perkuliahan maupun saat penyelesaian skripsi ini, sukses selalu untuk masa depan kita. 8. Sahabat-sahabat “COSMIX” Gustini, Dwi Mardiana, Atma, Okta, Muha

Renzhika, Erna, , Yuli, Eka, Ita, Ike, Nurrahmah, Weni, Aida (Almarhumah), Dayat, , Anjas, Rohim, Ferdi, Gema, Isnan, Jhon, Joni, Septa, Anwar, Beni, Crismes, Haposan, Yudo, Yusuf, Markus, Rofi’i, (Dewi, Leni, Dian, Uli, Siti, Nova, Nenk, Emir, Wawan, Rudi) S.Si. Terimakasih atas kebersamaan, keceriaan, dan bantuannya selama ini.

9. Semua pihak yang tidak bisa penulis sebutkan satu-persatu yang telah memberikan bantuan dan motivasi dalam menyelesaikan skripsi ini.

(50)

MENGESAHKAN

1. Tim Penguji

Ketua : Dra. Dorrah Aziz, M.Si. ……….

Sekretaris : Aang Nuryaman, M.Si. ……….

Penguji

Bukan Pembimbing : Tiryono Ruby, Ph.D. ……….

2. Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Dr. Sutyarso, M.S., M. Biomed. NIP 19570424 198703 1 001

(51)

MOTTO

Sesungguhnya hanyalah kepada Allah aku mengadukan kesusahan dan kesedihanku, dan aku mengetahui dari Allah apa yang kamu tiada mengetahuinya

(QS. Yusuf : 86)

Hai orang-orang yang beriman, bersabarlah kamu dan kuatkanlah

kesabaranmu dan tetaplah bersiap siaga, dan betaqwalah kepada Allah supaya kamu beruntung

(QS. Ali Imran : 200)

Sesungguhnya sesudah kesulitan itu ada kemudahan (QS. Al Insyirah : 6)

Musuh terbesar manusia adalah keraguan dan ketakutan dalam dirinya (William Wrigley, Jr.)

Siapapun yang belum pernah membuat kekeliruan tidak pernah mencoba sesuatu yang baru

(Albert Einstein)

Sebuah prestasi bukanlah tercipta karena faktor kebetulan atau keberuntungan semata tapi diraih dengan jerih payah dan pengorbanan

(52)

Judul Skripsi : STUDI KESTABILAN MODEL SISTEM MANGSA-PEMANGSA PADA KASUS

PEMANGSA BERGANTUNG SEPENUHNYA PADA MANGSA

Nama Mahasiswa : Febry Ledyani Nomor Pokok Mahasiswa : 0617031036 Program Studi : Matematika

Fakultas : Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

MENYETUJUI Komisi Pembimbing

Dra. Dorrah Aziz, M.Si. Aang Nuryaman, M.Si.

NIP 19610128 198811 2 001 NIP 19740316 200501 1 001

MENGETAHUI

Ketua Jurusan Matematika Ketua Program Studi

Matematika

Tiryono Ruby, Ph.D. Dra. Dorrah Aziz, M.Si.

(53)

PERSEMBAHAN

Bismillaahirrahmanirrahiim

Segala sesuatu yang kuraih merupakan kehendak ALLAH SWT dan bukti kasih sayang dari

orang-orang yang menyayangiku, dengan mengucap syukur Alhamdulillah kepada ALLAH

SWT atas segala limpahan nikmat-Nya kepadaku dengan segala kerendahan hati,

kupersembahkan karyaku ini untuk :

Keluargaku Tercinta :

Ayah (Wanda Rusli, S. Sos) dan mama (Laila Marya, A.Md) tercinta yang telah dengan tulus

ikhlas mencurahkan segenap cinta dan kasih sayangnya, serta senantiasa selalu memanjatkan

do’a dalam setiap malam di sujud panjangnya untuk keberhasilanku

Adik-adikku tercinta Robby Setiawan dan Fitry Ledyani serta Keluarga Besarku yang selalu

mendo’akan dan memberikan kegembiraan dan semangat untukku

Sahabat-sahabatku Tersayang dan Takkan Terlupakan :

Sahabat-sahabat di “Cosmix”, di kost, dan di rumah

insyaallah seumur hidup kita tetap bersahabat, sukses selalu untuk masa depan kita,

Semoga bahagia dunia dan akhirat,,,Amin

Yang Terkasih dan Takkan Terlupakan :

Seseorang yang sangat berarti dalam hidupku yang selalu mendo’akan dan memberikan

semangat serta dukungannya untuk keberhasilanku

(54)

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Kota Metro pada tanggal 22 Februari 1989, merupakan puteri pertama dari 3 (tiga) bersaudara dari pasangan berbahagia Wanda Rusli dan Laila Marya.

Pendidikan formal yang telah ditempuh penulis adalah sebagai berikut :

1. SD Negeri 2 PurwoAdi Lampung Tengah yang diselesaikan pada tahun 2000 2. SMP Negeri 1 Trimurjo Lampung Tengah yang diselesaikan pada tahun 2003 3. SMA Muhammadiyah 1 Metro yang diselesaikan pada tahun 2006

(55)