APLIKASI NILAI EIGEN UNTUK
PERSAMAAN RESULTAN GAYA PADA PEGAS
Oleh
Tiyas Trianafuri
Ilmu matematika adalah ilmu yang dapat diaplikasikan di banyak bidang, misalnya di bidang ilmu fisika yaitu pada persamaan suatu resultan gaya sebuah benda yang bergerak dan dihubungkan dengan pegas. Berdasarkan masalah tersebut maka akan dibuat model matematika dari persamaan resultan gaya menjadi persamaan percepatan benda dengan mengaplikasikan konsep nilai eigen matriks dan vektor eigen matriks.
Berdasarkan hasil pembahasan untuk kasus satu massa persamaan percepatannya
yaitux,,(t) = x denganx,,(t)adalah percepatan benda, xjarak antara posisi massa m terhadap posisi setimbang dan posisi setelah ditarik pada saat t dan k adalah kostanta pegas. Untuk kasus dua massa persamaan percepatannya yaitu y ,,(t) = y dan y ,,(t) = 3 y dan untuk kasus tiga massa persamaan percepatannya yaituy ,,(t) = 3 y dany ,,(t) = 4 y .
(Skripsi)
Oleh
TIYAS TRIANAFURI
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG
I. PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang dan Masalah
Ilmu matematika adalah ilmu yang dapat diaplikasikan dalam kehidupan
sehari-hari di banyak bidang, baik di bidang ilmu matematika itu sendiri
maupun di bidang ilmu-ilmu lainnya. Misalnya, di bidang ilmu fisika yaitu
pada persamaan suatu resultan gaya benda yang bergerak dan dihubungkan
dengan pegas.
Getaran dan gerak merupakan subjek yang berhubungan erat. Banyak benda
yang dapat bergetar atau berosilasi. Ketika sebuah getaran atau osilasi
terulang sendiri, ke depan dan belakang pada lintasan yang sama, gerakan ini
disebut periodik. Bentuk paling sederhana dari gerak periodik dipresentasikan
oleh sebuah benda yang berosilasi di ujung pegas. Pegas mempunyai energi
potensial ketika ditekan atau direntangkan karena ketika dilepaskan ia dapat
melakukan kerja. Bentuk matematis dari energi potensial bergantung pada
gaya yang bersangkutan. Energi potensial adalah energi yang dihubungkan
dengan gaya yang bergantung pada posisi atau konfigurasi benda. Energi
potensial merupakan bagian dari suatu sistem dan bukan dari satu benda itu
saja. Perubahan energi potensial ketika benda berubah posisi sama dengan
posisi ke posisi lain. Energi potensial dihubungkan dengan gaya, dan gaya
suatu benda selalu diberikan oleh benda lain.
Gaya digambarkan sebagai dorongan atau tarikan terhadap sebuah benda.
Kecepatan benda akan berubah apabila ditambahkan suatu gaya kepada benda
yang sedang bergerak. Suatu gaya total yang diberikan pada sebuah benda
mungkin menyebabkan lajunya bertambah, atau jika gaya total itu
mempunyai arah yang berlawanan dengan gerak, gaya tersebut akan
memperkecil laju benda itu. Jika arah gaya total yang bekerja berbeda dengan
arah sebuah benda yang bergerak, maka arah kecepatannya akan berubah.
Karena perubahan kecepatan merupakan percepatan dapat dikatakan bahwa
gaya total menyebabkan percepatan.
Tarikan yang diberikan pada sebuah benda yang berada di ujung pegas
sedemikian mengakibatkan pegas melakukan gaya pemulih, gaya pemulih
yaitu gaya kembalinya benda menuju posisi semula. Besar gaya pemulih
dapat dihitung dengan adanya konstanta pegas tersebut dan besar massa
benda. Tetapi apabila pegas dan benda yang berada di ujung pegas tidak
hanya satu, maka akan menimbulkan resultan gaya atau gaya total. Resultan
gaya tersebut akan membentuk suatu bentuk persamaan.
Persamaan yang terbentuk dari resultan gaya benda berada di ujung pegas
tersebut dapat diubah menjadi persamaan baru yang membentuk persamaan
percepatan benda. Percepatan merupakan turunan kedua dari jarak terhadap
waktu sehingga persamaan percepatan membentuk persamaan differensial
menggunakan konsep persamaan differensial orde dua. Untuk mencari solusi
dari persamaan differensial orde dua diperlukan dua kali proses integrasi
sehingga pada keadaan khusus akan timbul suatu masalah yang tidak mudah
dipecahkan. Cara lain untuk merubah persamaan resultan gaya tersebut yaitu
dengan menggunakan konsep nilai eigen matriks dan vektor eigen matriks.
Persamaan dari suatu resultan gaya ini akan diubah menjadi persamaan baru
yang membentuk persamaan percepatan gaya benda dengan menggunakan
nilai eigen matriks dan vektor eigen matriks serta hukum-hukum matematika
lainnya.
1.2 Batasan Masalah
Penelitian ini membahas pemodelan matematika dengan mengaplikasikan
konsep nilai eigen matriks dan vektor eigen matriks untuk merubah
persamaan suatu resultan gaya atau gaya total yang ditimbulkan oleh tarikan
benda yang dihubungkan oleh pegas dalam kasus satu, dua dan tiga massa
benda menjadi persamaan percepatan gaya tersebut.
1.3 Tujuan Penelitian
Tujuan penelitian ini adalah merancang model matematika dengan
mengaplikasikan konsep nilai eigen matriks dan vektor eigen matriks untuk
merubah persamaan suatu resultan gaya atau gaya total yang ditimbulkan
oleh tarikan benda yang dihubungkan oleh pegas menjadi persamaan
1.4 Manfaat Penelitian
Penelitian ini diharapkan dapat mengetahui model matematika dengan
mengaplikasikan konsep nilai eigen matriks dan vektor eigen matriks untuk
merubah persamaan suatu resultan gaya atau gaya total yang ditimbulkan
oleh tarikan benda yang dihubungkan oleh pegas menjadi persamaan
III. METODE PENELITIAN
3.1 Tempat dan Waktu Penelitian
Penelitian ini dilakukan di Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan
Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung dan waktu penelitian
dilaksanakan pada semester genap tahun akademik 2011/2012.
3.2 Metode Penelitian
Langkah-langkah yang dilakukan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut:
1. Mempelajari definisi-definisi dan teorema-teorema yang terkait pada
masalah penelitian khususnya mengenai matriks dan gaya total tarikan
sebuah pegas yang dihubungkan dengan beberapa benda.
2. Membuat persamaan-persamaan dari resultan gaya atau gaya total yang
ditimbulkan oleh tarikan sebuah pegas yang dihubungkan dengan
beberapa benda.
3. Memodelkan secara matematika suatu resultan gaya yang ditimbulkan
oleh tarikan sebuah pegas yang dihubungkan dengan beberapa benda
4. Mencari nilai eigen serta vektor eigen dari matriks yang terdapat dalam
persamaan resultan gaya yang ditimbulkan oleh tarikan sebuah pegas
yang dihubungkan dengan beberapa benda.
5. Merubah persamaan resultan gaya yang ditimbulkan oleh tarikan sebuah
pegas yang dihubungkan dengan beberapa benda menjadi persamaan
II. TINJAUAN PUSTAKA
2.1. Pemodelan Matematika
Definisi pemodelan matematika :
Pemodelan matematika adalah suatu deskripsi dari beberapa perilaku dunia
nyata (fenomena-fenomena alam) ke dalam bagian-bagian matematika yang
disebut dunia matematika (mathematical world).
Ada dua tipe model matematika, yaitu model bertipe deterministik dan model
empirik. Model deterministik merupakan suatu model matematika yang
dibangun dengan berdasarkan hukum-hukum atau sifat-sifat yang berlaku
pada sistem, sedangkan model empirik lebih cenderung kepada fakta yang
diberikan oleh sistem atau data (Giordano dan Weir, 2002).
2.2. Energi Potensial
Energi potensial merupakan energi yang dihubungkan dengan gaya-gaya
yang bergantung pada posisi atau konfigurasi benda dan lingkungannya.
Definisi Energi Potensial :
Energi potensial adalah energi yang dihubungkan dengan gaya yang
bergantung pada posisi atau konfigurasi benda.
Perubahan energi potensial ketika benda berubah posisi sama dengan kerja
eksternal yang dibutuhkan untuk memindahkan benda itu dari satu posisi ke
posisi lain.
(Giancoli, 2001).
2.3. Kerja
Kerja dilakukan pada benda oleh gaya ketika benda tersebut bergerak melalui
jarak, d. Jika arah gaya konstan F membuat sudut dengan arah gerak, kerja
yang dilakukan gaya ini adalah :
cos
(Giancoli, 2001).
2.4. Hukum Gerak Newton Pertama
Hukum gerak Newton pertama (hukum inersia) menyatakan bahwa jika gaya
total pada sebuah benda adalah nol, benda yang tadinya berada dalam
keadaan diam akan tetap diam, dan benda yang bergerak akan tetap bergerak
2.5. Hukum Gerak Newton Kedua
Hukum gerak Newton kedua menyatakan bahwa percepatan sebuah benda
berbanding lurus dengan gaya total yang bekerja padanya, dan berbanding
terbalik dengan massanya. Arah percepatan sama dengan arah gaya total yang
bekerja padanya. Bentuk persamaannya dapat ditulis :
✁
dimana a adalah percepatan, m adalah massa dan merupakan gaya total .
Newton adalah satuan SI turunan dengan lambang N. Satu Newton adalah
besarnya gaya yang diperlukan untuk membuat benda bermassa satu
kilogram mengalami percepatan sebesar satu meter per detik per detik.
Definisi :
1 = 1 . .
(Giancoli, 2001).
2.6. Hukum Gerak Newton Ketiga
Hukum gerak Newton ketiga menyatakan bahwa ketika suatu benda
memberikan gaya pada benda kedua, benda kedua tersebut memberikan gaya
yang sama besar tetapi berlawanan arah terhadap benda pertama. Hukum ini
dinyatakan juga sebagai untuk setiap aksi ada reaksi yang sama dan
2.7. Gaya
Gaya adalah tarikan atau dorongan pada benda. Ia merupakan besaran vektor
yang mempunyai besaran dan arah. Gaya resultan pada suatu benda
menyebabkan benda tersebut mendapatkan percepatan dalam arah gaya itu.
Percepatan yang timbul berbanding lurus dengan gaya tetapi berbanding
terbalik dengan massa benda (Bueche, 1989).
2.8. Hukum Hooke
Suatu sistem dikatakan memenuhi hukum Hooke jika gaya pemulih
sebanding dengan besar simpangan (simpangan sering juga disebut distorsi).
Gerak harmonis sederhana atau gerak sinus adalah gerak getar suatu sistem
yang memenuhi Hukum Hooke.
Pegas (spring) Hooke adalah pegas yang memenuhi Hukum Hooke. Apabila
pegas sedemikian ditarik (diperpanjang) sebanyak x, gaya pemulih yang
dilakukan pegas (gaya pegas) adalah :
✂
disini k adalah suatu konstanta positif disebut tetapan pegas (spring
constant). k menggambarkan kakunya suatu pegas. Jika pegas ditekan maka x
2.9. Massa Benda
Massa benda adalah ukuran atau kelembamannya, sedangkan kelembaman
(inertia) adalah kecenderungan benda yang mula-mula diam untuk tetap diam
dan benda yang mula-mulabergerak tetap melanjutkan gerakannya tanpa
mengalamiperubahan vektor kecepatan (Bueche, 1989).
2.10. Aljabar Linier
Definisi Aljabar Linier :
Sebuah persamaan aljabar dikatakan linier untuk variabel-variabel
✄ ✄ , jika mempunyai bentuk berikut :
+ + + =
dengan catatan bahwa , , , dan adalah konstanta. Jika
persamaan aljabar linier tersebut jumlahnya lebih dari satu dan
dikumpulkan, maka himpunan dari persamaan-persamaan tersebut disebut
sistem persamaan linier (SPL). Di dalam matematika bentuk SPL
didefinisikan sebagai berikut :
+ + + =
+ + + =
+ + + =
dengan adalah koefisien konstan, adalah konstan dan
, , , adalah bilangan tak diketahui (variabel), serta adalah
2.11. Koefisien
Definisi Koefisien :
Koefisien adalah bilangan konstan yang terletak di depan variabel
independen dan menjadi satu kesatuan (Dumairy, 1991).
2.12. Variabel
Definisi Variabel :
Variabel adalah suatu besaran-besaran yang sifatnya tidak tetap dan antara
masing-masing variabel tersebut saling mempengaruhi.
Pada dasarnya variabel ini dapat dibedakan menjadi dua macam, yaitu :
a. Variabel kuantitatif, yaitu variabel yang sifatnya tetap dan nilainya
dapat diukur.
Contoh variabel kuantitatif yaitu dalam kilogran, meter, dan
sebagainya.
b. Variabel kualitatif, yaitu variabel yang sifatnya tidak tetap dan
nilainya tidak dapat diukur
Contoh variabel kualitatif yaitu selera, rasa, kesenangan, dan
2.13. Matriks
Definisi Matriks :
Matriks adalah himpunan skalar yang disusun secara empat persegi panjang
menurut baris dan kolom. Skalar-skalar tersebut disebut dengan elemen
matriks. Untuk batasnya biasanya digunakan :☎ ✆✝[ ], atau
(Sutojo, dkk, 2010).
Notasi Matriks :
Matriks diberi nama dengan huruf besar misalny A, B, C, P, Q dan
lain-lain. Sedangkan elemen-elemennya dengan huruf kecil misalnya
, , dan lain-lain. Secara lengkap ditulis A = artinya suatu
matriks A yang elemen-elemennya dimana indeks I menyatakan baris
ke-i dan indeks j menyatakan kolom ke-j dari elemen tersebut.
Pandang matriks A = , = 1, 2, 3, dan = 1, 2, 3, ; yang
berarti bahwa banyaknya baris = serta banyaknya kolom = .
=
Atau ditulis ( × )= , dimana ( × ) adalah ukuran (ordo)
Matriks baris atau vektor baris adalah matriks dengan dimensi baris m = 1,
seperti :
✞ [ ]
Matriks kolom atau vektor kolom adalah matriks dengan dimensi kolom
n=1, seperti : = (Sutojo, dkk, 2010).
2.14. Operasi-Operasi pada Matriks
Misalkan diketahui matriks berikut :
= × = =
dan
= × = =
2.14.1. Penjumlahan Matriks
Jumlah dua buah matriks A + B bisa dilakukan asalkan kedua
+ = + =
( + ) ( + )
( + ) ( + ) (( ++ ))
( + ) ( + ) ( + )
2.14.2. Pengurangan Matriks
Pengurangan dua buah matriks A - B bisa dilakukan asalkan kedua
matriks tersebut berukuran sama, yaitu :
= =
( ) ( )
( ) ( ) (( ))
( ) ( ) ( )
2.14.3. Perkalian Matriks dengan Skalar
Jika k suatu skalar, maka matriks = diperoleh dengan
mengalikan semua elemen matriks A dengan skalar k, yaitu :
= =
Jika , dan adalah matriks berukuran sama dan adalah
skalar, maka :
a. + = + (komutatif)
b. ( + ) + = + ( + ) (asosiatif)
2.14.4. Perkalian Matriks
Pada umumnya, matriks tidak komutatif terhadap operasi perkalian
. Pada perkalian matriks , matriks A disebut matriks
pertaman dan B matriks kedua.
Syarat perkalian matriks :
Banyaknya kolom matriks pertama = banyaknya baris matriks
kedua
Definisi :
Hasil perkalian antara matriks = berordo × , dengan
matriks = berordo × , adalah matriks =
berordo = berordo × , dengan nilai :
= + + + =
dimana untuk = 1, 2, 3, dan = 1, 2, 3, .
Hukum Perkalian Matriks :
Jika , dan adalah matriks yang memenuhi syarat-syarat
perkalian matriks yang diperlukan, maka :
a. (tidak komutatif)
b. ( ) = ( ) (asosiatif)
✟ + ) = + (distributif)
d. Jika = 0, yaitu matriks yang semua elemennya sama
dengan 0, kemungkinan :
d.1. = 0 dan = 0
d.2. = 0 atau = 0
d.3. 0 dan 0
e. Bila = belum tentu =
2.15. Jenis Matriks
2.15.1. Matriks Bujur Sangkar
Matriks bujur sangkar adalah suatu matriks yang banyak barisnya
sama dengan banyak kolomnya, berukuran n. Barisan elemen
, , , disebut diagonal utama dari matriks bujur sangkar
A tersebut.
2.15.2. Matriks Diagonal
Matriks diagonal adalah matriks bujur sangkar yang semua elemen
di luar diagonal utamanya adalah nol. Dengan kata lain,
=
2.15.3. Matriks Nol
Matriks nol adalah suatu matriks yang semua elemennya adalah
nol.
2.15.4. Matriks Identitas
Matriks identitas adalah matriks diagonal yang semua elemen
diagonal utamanya adalah 1, sedangkan elemen yang lainnya
adalah 0. Dengan kata lain,
✠
adalah matriks satuan atau identitas jika ✠ 1 untuk = dan
= 0untuk . Matriks identitas biasanya ditulis dimana
n menunjukan ukuran matriks tersebut.
2.15.5 Matriks Invers
Jika A dan B matriks-matriks bujur sangkar berordo n dan berlaku
AB = BA = I, maka B invers dari A ditulis = dan
2.16. Determinan Matriks
Determinan adalah nilai real yang dihitung berdasarkan nilai
elemen-elemennya, menurut rumus tertentu yang ditulis dengan simbol ✡ ☛
atau | |.
2.16.1. Determinan Matriks Ordo ×
Determinan matriks ordo × dihitung menggunakan teorema
Laplace.
Teorema Laplace :
Determinan dari suatu matriks sama dengan jumlah perkalian
elemen-elemen dari sembarang baris/kolom dengan
kofaktor-kofaktornya.
Secara matematis ditulis sebagai berikut :
( ) = . = . ( ) + . ( ) + + . ( )
dengan i sembarang disebut ekpansi baris ke-i,
atau :
( ) = . = . + . + + .
dengan j sembarang disebut ekpansi baris ke-j. adalah
2.17. Matriks Invers
Definisi Matriks Invers:
Sebuah matriks bujur sangkar A berordo n disebut mempunyai invers bila
ada suatu matriks B, sehingga AB = BA = I. Matriks B disebut invers
matriks A ditulis , merupakan matriks bujur sangkar berordo × .
Matriks yang mempunyai invers adalah matriks nonsingular. Invers dari
sebuah matriks adalah unik (tunggal atau hanya ada satu) dan berlaku sifat :
( ) =
(Sutojo, dkk, 2010).
2.18. Nilai Eigen dan Vektor Eigen
Definisi Nilai Eigen dan Vektor Eigen:
Jika A adalah matriks × , maka vektor tak nol dalam dinamakan
vektor eigen dari A jika A adalah kelipatan skalar dari , yaitu :
=
untuk suatu skalar . Skalar disebut nilai eigen dari A dan dikatakan
vektor eigen yang bersesuaian dengan . Masalah untuk mencari vektor
, 0 dan adalah bilangan real yang memenuhi persamaan
: = , disebut masalah nilai eigen (Sutojo, dkk, 2010).
Untuk mencari nilai eigen dari matriks A yang berukuran n x n, maka perlu
☞
Bentuk ini dapat ditulis sebgai berikut :
☞
( ) = 0
( ) = 0
Supaya menjadi nilai eigen, maka harus ada penyelesaian yang tidak nol
dari persamaan di atas. Persamaan di atas akan mempunyai penyelesaian
tak nol (mempunyai penyelesaian non trivial) jika dan hanya jika :
( ) = 0
(Anton dan Rorres, 2004).
2.19. Diagonalisasi Matriks
Matriks bujur sangkar A berukuran × , dikatakan dapat didiagonalkan
menjadi matriks diagonal D, jika terdapat matriks P yang mempunyai
invers sedemikian hingga
=
Matriks P disebut sebagai matriks yang mendiagonalkan matriks A,
sedangkan D merupakan matriks diagonal yang elemen diagonalnya
merupakan semua nilai eigen dari A. dan ternyata matriks P merupakan
matriks × yang kolom-kolomnya merupakan vektor-vektor eigen dari
2.20. Persamaan Differensial Orde 2
Persamaan differensial orde 2 adalah persamaan yang dapat ditulis dalam
bentuk
" = ( , , )
Karena persamaan differensial orde 2 mengandung turunan kedua, maka
untuk menentukan solusinya diperlukan dua kali proses integrasi. Oleh
karena itu, solusi persamaan differensial orde 2 akan mempunyai dua buah
Suatu persembahan kecil untuk kedua orang tuaku tercinta, Bapak Syahril dan Ibu
Suyati. Kakak dan adikku tersayang, Algan Mutifuri, Gestin Nandasari, Aviv
Vidiananda dan Fakih Ashari, orang yang selalu mendukungku, Redi Febriansyah
serta Almamater Universitas Lampung. Semoga karya ini dapat memberikan
Segala puji syukur kehadirat Allah SWT, yang telah melimpahkan berkah, rahmat
dan hidayahNya, penulis dilahirkan di Bandar Lampung pada tanggal 19 Juli
1990. Penulis adalah anak kedua dari pasangan Bapak Syahril dan Ibu Suyati yang
telah mendidik dan membesarkan penulis dengan penuh kasih sayang.
Jenjang pendidikan yang pernah ditempuh penulis adalah Taman Kanak-kanak
Satria diselesaikan pada tahun 1996, Sekolah Dasar Negeri 2 Sukarame Bandar
Lampung yang lulus pada tahun 2002, Sekolah Lanjutan Tingkat Pertama Negeri
4 Bandar Lampung yang lulus pada tahun 2005 dan Sekolah Menengah Atas
Negeri 2 Bandar Lampung yang lulus pada tahun 2008.
Pada tahun 2008 penulis terdaftar sebagai mahasiswa Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung. Penulis
melaksanakan Kerja Praktik di Perusahaan Daerah Air Minum Way Rilau Bandar
V. KESIMPULAN
Berdasarkan hasil dan pembahasan pada bab sebelumnya, diperoleh kesimpulan
sebagai berikut :
1. Persamaan resultan gaya dapat dirubah menjadi persamaan percepatan gaya
benda dengan menggunakan konsep nilai eigen matriks dan vektor eigen
matriks.
2. Dari suatu persamaan resultan gaya dapat diketahui secara langsung
percepatan suatu benda dari gaya yang ditimbulkannya hanya dengan
Segala puji syukur kehadirat Allah SWT, yang telah melimpahkan berkah, rahmat
dan hidayahNya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. Shalawat dan
salam semoga selalu tercurahkan kepada suri tauladan umat Baginda Nabi
Muhammad SAW, yang telah memberikan petunjuk kepada kita semua melalui
peninggalan-Nya Al-Qur’an dan Al Hadist.
Alhamdulillah dalam menyelesaikan skripsi ini, penulis banyak mendapatkan
masukan dan bantuan serta bimbingan dari berbagai pihak yang tentunya sangat
bermanfaat dan berharga sehingga laporan ini dapat terselesaikan. Oleh karena itu,
penulis mengucapkan terimakasih kepada :
1) Bapak Prof. Suharso, Ph.D. selaku Dekan FMIPA Universitas Lampung.
2) Bapak Drs. Tiryono Ruby, M.Sc, Ph.D. Ketua Jurusan Matematika dan
selaku Pembimbing Utama atas kesediaannya untuk memberikan
bimbingan kepada saya dari awal hingga akhir penulisan skripsi ini.
3) Ibu Dra. Dorrah Azis, M.Si. selaku Pembimbing Kedua yang juga
membimbing dan memberi masukan penulisan dalam proses penyelesaian
skripsi ini.
4) Bapak Amanto, M.Si. selaku Pembahas pada ujian skripsi ini.
7) Ibunda dan Ayahanda tercinta serta adik-adikku dan kakakku tersayang
yang selalu memberikan doa serta dukungan moral untuk penulis.
8) Redi Febriansyah yang banyak memberikan bantuan, doa serta dukungan
untuk penulis.
9) Eflin, Lucky, Jihan, Recan dan seluruh teman-teman Angkatan 2008
Jurusan Matematika FMIPA Universitas Lampung.
10) Seluruh pihak yang telah membantu penulis yang tidak dapat disebutkan
satu persatu, atas peran dan dukungannya dalam menyusun laporan ini.
Semoga Allah SWT membalas atas segala bantuan yang diberikan kepada penulis
dan semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi kita semua.
Bandar Lampung, Agustus 2012
