Penjadwalan dokter kamar darurat di RSCM menggunakan pemrograman linear integer

(1)

ABSTRACT

RATNA RATU ALIT. Scheduling of Emergency Room’s Physicians at RSCM Using Integer Linear Programming. Supervised by PRAPTO TRI SUPRIYO and TONI BAKHTIAR.

At an emergency unit of a hospital are generally posted several physicians for 24 hours for each and every day. The management unit of an emergency room usually has to deal with schedulling problem of physicians with time constraint of availability. This scheduling problem can be modeled as an integer linear programming (ILP) problem. ILP is an optimization problem with linear objective function, linear constraints, and integer variables.

Scheduling problem is formulated in an optimization model, where the objective function is to minimize the operational cost of emergency room with the following constraints: (i) the time availability of physicians, (ii) the balanced work load for every physicians, (iii) holiday and day-off determination of each physician.

(2)

ABSTRAK

RATNA RATU ALIT. Penjadwalan Dokter Kamar Darurat di RSCM Menggunakan Pemrograman Linear Integer. Dibimbing oleh PRAPTO TRI SUPRIYO dan TONI BAKHTIAR.

Unit Gawat Darurat dari suatu rumah sakit pada umumnya dijaga oleh beberapa dokter selama 24 jam setiap hari. Pengelola kamar darurat biasanya menghadapi permasalahan penjadwalan dokter dengan kendala ketersediaan waktu yang dimiliki oleh para dokter. Permasalahan penjadwalan dokter kamar darurat ini dapat dimodelkan sebagai masalah pemrograman linear integer (PLI). PLI adalah masalah optimisasi dengan fungsi objektif dan kendala yang linear serta variabel yang integer.

Pemodelan masalah penjadwalan ini dirumuskan dengan fungsi objektif yang meminimumkan biaya yang dikeluarkan pengelola kamar darurat dengan kendala: (i) tersedianya dokter jaga pada setiap harinya, (ii) beban kerja setiap dokter diharapkan seimbang, (iii) dapat menerima aspirasi setiap dokter dalam menetapkan hari libur.

(3)

1

I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Kamar darurat (Emergency Room/ER) adalah tempat yang sangat penting peranannya pada rumah sakit. Aktivitas yang cukup padat mengharuskan kamar darurat selalu dijaga oleh dokter setiap hari. Pada awalnya para dokter di kamar darurat bertugas selama 24 jam penuh setiap hari, sehingga mereka selalu merasa jenuh dan sangat letih. Oleh karena itu, pengelola kamar darurat menyarankan supaya dokter bertugas hanya beberapa jam saja dalam satu hari supaya mereka dapat beristirahat setelah bertugas.

Kamar darurat yang harus selalu dijaga selama 24 jam dan dokter yang bertugas beberapa jam dalam satu hari, mengakibatkan perlunya suatu sistem penjadwalan untuk para dokter. Dewasa ini, sistem penjadwalan dokter kamar darurat adalah sistem penjadwalan per-shift, di mana dokter yang bertugas beberapa jam dalam satu hari kemudian akan digantikan dengan dokter lainnya untuk melengkapi jam yang tersisa di hari yang sama dan akan berlanjut sampai hari berikutnya.

Kamar darurat biasanya dijaga oleh beberapa dokter. Dokter-dokter tersebut bertugas sesuai dengan tugasnya masing-masing, tetapi kebanyakan kamar darurat dijaga hanya oleh satu dokter dengan maksud untuk meminimumkan pengeluaran dan

mengoptimalkan dokter yang ada. Biasanya dokter yang telah dijadwalkan sering menukar hari kerja dengan dokter lain, sehingga kamar darurat kesulitan dalam menetapkan jadwal untuk setiap dokter. Oleh karena itu, keterbatasan dokter yang menjaga dan keinginan dokter yang berbeda-beda untuk

bertugas merupakan masalah bagi

penjadwalan kamar darurat, sedangkan pengelola kamar darurat menginginkan kenyamanan dan keteraturan dokter dalam bertugas.

Permasalahan penjadwalan dokter kamar darurat ini akan dimodelkan sebagai masalah Pemrograman Linear Integer (PLI). PLI adalah masalah optimisasi dengan fungsi objektif dan kendala yang linear serta variabel yang integer. Model penjadwalan dokter kamar darurat diperoleh dengan beberapa modifikasi berdasarkan pada jurnal yang berjudul Schedulling Emergency Room Physicians ditulis oleh Michael W. Carter dan Sophie D. Lapierre tahun 2001.

1.2 Tujuan

Tujuan dari karya ilmiah ini adalah memodelkan masalah penjadwalan dokter kamar darurat dalam bentuk PLI, serta menentukan penjadwalan dokter kamar darurat yang memberikan kenyamanan dokter.

II LANDASAN TEORI

Untuk membuat model penjadwalan

dokter kamar darurat diperlukan pemahaman teori Pemrograman Linear (PL) atau Linear Programming (LP), Pemrograman Linear Integer (PLI) atau Integer Linear Programming (ILP), dan metode branch-and-bound.

2.1 Pemrograman Linear

Fungsi linear dan pertidaksamaan linear merupakan salah satu konsep dasar yang harus dipahami terkait dengan konsep pemrograman linear.

Definisi 1 (Fungsi Linear)

Suatu fungsi f dalam variabel-variabel

, , … , adalah suatu fungsi linear jika dan hanya jika untuk suatu himpunan konstanta , , … , , f dapat ditulis sebagai f( , , … , ) = + + ⋯ + .

(Winston 2004)

Sebagai contoh, f( , ) = 5 + 7 merupakan fungsi linear, sementara f( , ) = bukan fungsi linear.

Definisi 2 (Pertidaksamaan dan Persamaan Linear)

Untuk sembarang fungsi linear f dan sembarang bilangan c, pertidaksamaan f( , , … , ) ≤ dan f( , , … , ) ≥ adalah pertidaksamaan linear, sedangkan

suatu persamaan f( , , … , ) =

merupakan persamaan linear.

(Winston 2004) Pemrograman linear (PL) adalah suatu masalah optimisasi yang memenuhi hal-hal berikut:

a. Tujuan masalah tersebut adalah

memaksimumkan atau meminimumkan suatu fungsi linear dari sejumlah variabel

keputusan. Fungsi yang akan

(4)

1

I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

1.2 Tujuan

II LANDASAN TEORI

2.1 Pemrograman Linear

(Winston 2004)

Definisi 2 (Pertidaksamaan dan Persamaan Linear)

(5)

2

b. Nilai variabel-variabel keputusannya harus memenuhi suatu himpunan kendala. Setiap kendala harus berupa persamaan linear atau pertidaksamaan linear.

c. Ada pembatasan tanda untuk setiap variabel dalam masalah ini. Untuk sembarang variabel , pembatasan tanda menentukan harus tak-negatif ( ≥ 0) atau tidak dibatasi tandanya (unrestricted in sign).

(Winston 2004)

Suatu PL mempunyai bentuk standar seperti yang didefinisikan sebagai berikut.

Definisi 3 (Bentuk Standar PL)

Misalkan diberikan suatu PL dengan m kendala dan n variabel (dilambangkan dengan

, , … , ). Bentuk standar dari PL tersebut adalah:

max z = + + ⋯ + (atau min)

s. t.

+ + ⋯ + = (1)

+ + ⋯ + = (2) …

+ + ⋯ + = (3)

≥ 0, ( = 1, 2, . . . , )

Jika didefinisikan:

A =

⋯ ⋮ ⋱ ⋮

⋯ , ! = " ⋮ #,

$ = " ⋮ #,

maka kendala pada (1), (2), dan (3) dapat ditulis dengan sistem persamaan Ax = b. (4)

(Winston 2004)

Solusi Pemrograman Linear

Suatu masalah PL dapat diselesaikan dalam berbagai teknik, salah satunya adalah metode simpleks. Metode ini dapat menghasilkan suatu solusi optimum bagi masalah PL dan telah dikembangkan oleh Dantzig sejak tahun 1947 (Winston 2004), dan dalam perkembangannya merupakan metode

yang paling umum digunakan untuk

menyelesaikan PL. Metode ini berupa metode iteratif untuk menyelesaikan PL berbentuk standar.

Pada masalah PL (4), vektor x yang memenuhi kendala %! = $disebut solusi PL (4). Misalkan matriks A dinyatakan sebagai A

= (B N), dengan B adalah matriks taksingular berukuran m × m yang elemennya berupa

koefisien variabel basis dan N merupakan matriks berukuran m × (n – m) yang elemen-elemennya berupa koefisien variabel nonbasis pada matriks kendala. Dalam hal ini matriks B

disebut matriks basis untuk PL (4).

Misalkan x dinyatakan sebagai vektor x =

&!_!('), dengan !' adalah vektor variabel basis dan !( adalah vektor variabel nonbasis, maka

%! = $dapat dinyatakan sebagai :

%! = (' () &!_!(') = B!' + N!( = b. (5) Karena matriks B adalah matriks taksingular, maka B memiliki invers, sehingga dari (5) !' dapat dinyatakan sebagai:

!' = '*+$ − '*+N!( (6) Kemudian, fungsi objektifnya berubah menjadi:

min z = -'.!'+ -(.!(

(Winston 2004)

Definisi 4 (Daerah Fisibel)

Daerah fisibel suatu PL adalah himpunan semua titik yang memenuhi semua kendala dan pembatasan tanda pada PL tersebut.

(Winston 2004)

Definisi 5 (Solusi Basis)

Solusi basis adalah solusi pada PL yang didapatkan dengan mengatur variabel n–m

sama dengan nol dan nilai untuk

penyelesaiannya adalah dari sisa variabel m. Hal ini dengan mengasumsikan bahwa mengatur variabel n–m sama dengan nol akan membuat nilai yang unik untuk sisa variabel m atau sejenisnya, dan kolom-kolom untuk sisa dari variabel m merupakan bebas linear.

(Winston 2004)

Definisi 6 (Solusi Fisibel Basis)

Solusi fisibel basis adalah solusi basis pada PL yang semua variabel-variabelnya tak-negatif.

(Winston 2004)

Definisi 7 (Solusi Optimum)

Untuk masalah maksimisasi, solusi optimum suatu PL adalah suatu titik dalam daerah fisibel dengan nilai fungsi objektif terbesar. Untuk masalah minimisasi, solusi optimum suatu PL adalah suatu titik dalam daerah fisibel dengan nilai fungsi objektif terkecil.

(6)

3

Contoh 1

Misalkan diberikan PL berikut: min z = −2 − 3

dengan kendala − + 2 + = 10 −2 + + ₀= 2

2 + ₁= 3 , , , 0, ₁≥ 0 . (7) Dari PL tersebut diperoleh:

A = 2−1 2 1−2 1 0

2 0 0 0 1 0

0 0 13, b =2

10 2 33.

Misalkan dipilih:

!'= ( ). _dan_!(_{= (} ₀ ₁₎._.

Sehingga diperoleh:

B = 2−+ 4 +−4 + 5

4 5 53,

'* _{= 6}0 0_{0 1} ₁ 1 −2 *7

,

N = 20 01 0

0 13,

-'. _{= (−4 −8 5),} -(. _{= (5 5)}_,

!(= (0 0)._,

!'= '*+_{$ = & 5 )}._{. (8)} 9 = -'._'*+_{$ = −21}_.

Solusi (8) merupakan solusi basis, karena memenuhi kendala pada PL (7) dan kolom-kolom pada matriks kendala yang berpadanan dengan komponen taknol dari (8), yaitu B

bebas linear (kolom yang satu bukan merupakan kelipatan dari kolom yang lain). Solusi (8) juga merupakan solusi fisibel basis, karena nilai-nilai variabelnya lebih dari atau sama dengan nol.

2.2 Pemrograman Linear Integer

Pemrograman linear integer adalah suatu model pemrograman linear dengan variabel yang digunakan berupa bilangan bulat (integer). Jika semua variabel harus berupa integer, maka masalah tersebut dinamakan pure integer programming. Jika hanya sebagian yang harus berupa integer, maka disebut mixed integer programming (MIP). PLI dengan semua variabelnya harus bernilai 0 atau 1 disebut 0-1 PLI.

(Garfinkel & Nemhauser 1972)

Definisi 8 (Relaksasi Pemrograman Linear)

Relaksasi pemrograman linear atau sering disebut relaksasi-PL merupakan suatu pemprograman linear yang diperoleh dari suatu PLI dengan menghilangkan kendala

integer atau kendala 0-1 pada setiap variabelnya.

Untuk masalah maksimisasi, nilai optimum fungsi objektif relaksasi-PL lebih besar atau sama dengan nilai optimum fungsi objektif PLI, sedangkan untuk masalah minimisasi, nilai optimum fungsi objektif relaksasi-PL lebih kecil atau sama dengan nilai optimum fungsi objektif PLI.

(Winston 2004)

2.3 Metode Branch-and-Bound

Dalam penulisan karya ilmiah ini, untuk memperoleh solusi optimum dari masalah PLI digunakan software LINGO 8.0, yaitu sebuah program yang dirancang untuk menentukan solusi model linear, nonlinear, dan optimisasi integer. Software LINGO 8.0 ini menggunakan metode branch-and-bound untuk menyelesaikan masalah PLI.

Prinsip dasar metode branch-and-bound adalah memecah daerah fisibel dari masalah relaksasi-PL dengan membuat subproblem -subproblem. Terdapat dua konsep dasar dalam algoritma branch-and-bound.

1. Branch

Branching (pencabangan) adalah proses membagi permasalahan menjadi subproblem -subproblem yang mungkin mengarah ke solusi.

2. Bound

Bounding (pembatasan) adalah suatu proses untuk mencari atau menghitung batas atas (dalam masalah minimisasi) dan batas bawah (dalam masalah maksimisasi) untuk solusi optimum pada subproblem yang mengarah ke solusi.

Metode branch-and-bound diawali dari menyelesaikan relaksasi-PL dari suatu pemrograman linear integer. Jika semua nilai variabel keputusan solusi optimum sudah berupa integer, maka solusi tersebut merupakan solusi optimum PLI. Jika tidak, dilakukan pencabangan dan penambahan batasan pada relaksasi-PLnya kemudian diselesaikan.

(7)

4

merupakan batas bawah nilai fungsi objektif optimum untuk masalah PLI asalnya. Suatu kandidat solusi diperoleh jika solusi dari suatu subproblem sudah memenuhi kendala integer pada masalah PLI, artinya fungsi objektif dan semua variabelnya sudah bernilai integer.

Sebelummya akan dibahas terlebih dulu pengertian subproblem yang terukur. Menurut Winston (2004), suatu subproblem dikatakan terukur (fathomed) jika terdapat situasi sebagai berikut:

a. Subproblem tersebut takfisibel, sehingga tidak dapat menghasilkan solusi optimum untuk PLI.

b. Subproblem tersebut menghasilkan suatu solusi optimum dengan semua variabelnya bernilai integer. Jika solusi optimum ini mempunyai nilai fungsi objektif yang lebih baik daripada solusi fisibel yang diperoleh sebelumnya, maka solusi ini menjadi kandidat solusi optimum dan nilai fungsi objektifnya menjadi batas bawah (dalam masalah maksimisasi) dan batas atas (dalam masalah minimisasi) nilai fungsi objektif optimum bagi masalah PLI pada saat itu. Bisa jadi subproblem ini menghasilkan solusi optimum untuk masalah PLI.

c. Nilai fungsi objektif optimum untuk subproblem tersebut tidak melebihi batas

bawah saat itu (untuk masalah

maksimisasi), maka subproblem ini dapat dieliminasi.

Berikut ini adalah langkah-langkah penyelesaian suatu masalah maksimisasi dengan metode branch-and-bound.

• Langkah 0

Didefinisikan z sebagai batas bawah dari nilai fungsi objektif (solusi) PLI yang optimum. Pada awalnya ditetapkan z = – dan i = 0. • Langkah 1

Subproblem PL(i) dipilih sebagai bagian

masalah berikutnya untuk diperiksa. Subproblem PL(i) diselesaikan dan diukur

dengan kondisi yang sesuai.

a) Jika PL(i) terukur, batas bawah z diperbarui

jika solusi PLI yang lebih baik ditemukan. Jika tidak, bagian masalah (subproblem) baru i dipilih dan langkah 1 diulangi. Jika semua subproblem telah diperiksa, maka proses dihentikan.

b) Jika PL(i) tidak terukur, proses dilanjutkan

ke langkah 2 untuk melakukan

pencabangan PL(i).

• Langkah 2

Dipilih salah satu variabel xj di mana nilai

optimumnya adalah xj* yang tidak memenuhi

batasan integer dalam solusi PL(i). Bidang : ;∗= ≤ ;≥ : ;∗= + 1 dipecah menjadi dua

subproblem, yaitu

;≤ : ;∗= dan ;≥ : ;∗= + 1,

Dengan [ _;∗] didefinisikan sebagai integer terbesar yang kurang dari atau sama dengan xj*. Jika PL(i) masih tidak terukur, maka

kembali ke Langkah 1.

(Taha 1996) Untuk memudahkan pemahaman metode branch-and-bound diberikan contoh sebagai berikut.

Contoh 2

Misalkan diberikan PLI berikut: maksimumkan z = 4 + 6

dengan kendala 3 + 5 ≤ 25

2 ≤ 8

3 ≤ 12 , ≥ 0

dan integer (9) Solusi optimum relaksasi-PL dari masalah PLI (9) adalah = 4, = 2.6, dan z = 31.6 (lihat pada Lampiran 1). Batas atas nilai optimum fungsi objektif masalah ini adalah z = 31.6. Daerah fisibel masalah (9) ditunjukkan pada Gambar 1. Solusi optimum berada pada titik perpotongan dua garis yang berasal dari kendala pertidaksamaan masalah (9).

Gambar 1 Daerah fisibel (daerah yang diarsir) untuk relaksasi-PL dari PLI (9). Langkah berikutnya adalah memartisi daerah fisibel relaksasi-PL menjadi dua bagian berdasarkan variabel yang berbentuk pecahan (tak-integer). Dipilih sebagai dasar pencabangan. Jika masalah relaksasi-PL

diberi nama Subproblem 1, maka

pencabangan tersebut menghasilkan 2 subproblem, yaitu:

• Subproblem 2: Subproblem 1 ditambah kendala ≤ 2,

• Subproblem 3: Subproblem 1 ditambah kendala ≥ 3,

(8)

5

Gambar 2 Daerah fisibel untuk Subproblem 2 dan Subproblem 3.

Setiap titik (solusi) fisibel dari PLI (9) termuat dalam daerah fisibel Subproblem 2 atau Subproblem 3. Setiap subproblem ini saling lepas. Subproblem 2 dan Subproblem 3 dikatakan dicabangkan oleh .

Kemudian dipilih subproblem yang belum diselesaikan. Misalkan dipilih Subproblem 2, kemudian diselesaikan. Solusi optimum untuk Subproblem 2 ini adalah = 4, = 2, dan z = 28 (lihat Lampiran 1). Semua variabel bernilai integer maka tidak perlu dilakukan pencabangan di Subproblem 2. Solusi dari Subproblem 2 menjadi batas bawah dari solusi PLI.

Saat ini subproblem yang belum

diselesaikan adalah Subproblem 3. Solusi optimum untuk Subproblem 3 adalah = 3,3, = 3, dan z = 31,3 (lihat Lampiran 1). Karena nilai z pada Subproblem 3 lebih besar dibandingkan dengan Subproblem 2, maka ada kemungkinan nilai z pada Subproblem 3 lebih optimum. Oleh karena itu, dipilih pencabangan pada Subproblem 3 atas , sehingga diperoleh dua subproblem lagi, yakni:

Selanjutnya diselesaikan masalah

Subproblem 4 dan Subproblem 5 satu per satu. Subproblem 5 takfisibel (lihat Lampiran 1 pada Subproblem 5), maka subproblem ini tidak dapat menghasilkan solusi optimum.

Solusi optimum untuk Subproblem 4 adalah = 3, = 3.2, dan z = 31.2 (lihat Lampiran 1 bagian Subproblem 4). Karena nilai z pada Subproblem 4 lebih besar dibandingkan dengan Subproblem 2, maka dipilih pencabangan Subproblem 4 pada , sehingga diperoleh dua subproblem lagi, yaitu:

Penyelesaian Subproblem 6 menghasilkan solusi optimum = 3, = 3, dan z = 30 (lihat Lampiran 1 bagian Subproblem 6). Semua variabel bernilai integer maka tidak perlu dilakukan pencabangan di Subproblem 6. Solusi dari Subproblem 6 menjadi batas bawah yang baru dari solusi PLI.

Solusi optimum dari Subproblem 7 adalah = 1,6, = 4, dan z = 30.6 (Lihat Lampiran 1 bagian Subproblem 7). Karena solusi optimum Subproblem 7 lebih kecil atau sama dengan solusi optimum Subproblem 6 yaitu 30, maka tidak perlu lagi dilakukan pencabangan. Dengan demikian, solusi optimum pada PLI (9) adalah solusi optimum dari Subproblem 6. Pohon pencabangan yang menunjukkan penyelesaian masalah PLI (9) secara keseluruhan ditunjukkan pada Gambar 3.

Subproblem 3

(9)

6

Subproblem 1

≤ 2 ≥ 3 Subproblem 2 Subproblem 3

Gambar 3 Seluruh pencabangan metode Branch-and-Bound pada penyelesaian masalah PLI Contoh 2.

III PEMODELAN

3.1 Deskripsi Masalah

Untuk mendeskripsikan masalah

penjadwalan dokter kamar darurat di rumah sakit, pertama kalinya adalah harus diketahui berapa banyak dokter yang bertugas pada kamar darurat tersebut. Kemudian berapa banyak shift yang mereka tetapkan setiap harinya, dan bagaimana waktu liburan panjang dan hari libur diatur untuk para dokter.

Banyaknya dokter kamar darurat

bergantung pada keperluan kamar darurat itu sendiri. Rumah sakit yang cukup sibuk aktivitasnya biasanya memerlukan dokter yang banyak. Dalam bertugas dokter dibantu oleh beberapa calon dokter atau disebut dengan asisten dokter untuk meringankan tugas dokter.

Dokter secara normal bertugas selama 48 jam per minggu. Dokter boleh menambah atau mengurangi jumlah jam tersebut sesuai dengan kesepakatan dokter dan pengelola kamar darurat. Dokter kamar darurat pada umumnya merupakan dokter yang bertugas sebagai dokter keluarga atau dokter spesialis di rumah sakit yang mereka tempati dan beberapa dari mereka secara pribadi membuka

klinik. Oleh karena itu, selama mereka tidak bertugas, mereka dapat mengisi waktu dengan beristirahat atau melakukan aktivitas lain di rumah sakit dan klinik yang mereka punya.

Pada kondisi tertentu suatu rumah sakit memiliki aturan di mana secara individu, dokter boleh memilih jadwal yang mereka inginkan. Sebagai contoh, permintaan libur pada hari atau jam tertentu dikarenakan kepentingan pribadi, hari raya, atau karena hal yang lainnya. Pada umumnya rumah sakit membolehkan dokter yang menginginkan hari libur dapat menukar hari kerjanya dengan hari kerja dokter yang lain, sesuai dengan kesepakatan mereka. Oleh karena itu, penjadwalan pada kamar darurat tidak mudah dilakukan karena bergantung pada kondisi keinginan dari para dokter dan keterbatasan yang dimiliki oleh kamar darurat.

Berikut ini adalah gambaran dari suatu penjadwalan dokter kamar darurat, dengan empat orang dokter (D1, D2, D3, dan D4) yang bertugas di kamar darurat tersebut dan setiap dokter secara normal bertugas selama 48 jam per minggu. Dengan jumlah hari sebesar tujuh hari, pengelola kamar darurat menginginkan terdapat dua shift dalam satu hari yaitu shift 1 pada jam 08.00-19.00, shift 2 = 3, = 3.2 , dan 9 = 31.2

= 4, = 2.6 , dan 9 = 31.6

= 4, = 2 , dan 9 = 28 = 3.3, = 3 , dan 9 = 31.3

Solusi takfisibel

(10)

6

Subproblem 1

Gambar 3 Seluruh pencabangan metode Branch-and-Bound pada penyelesaian masalah PLI Contoh 2.

III PEMODELAN

3.1 Deskripsi Masalah

Untuk mendeskripsikan masalah

penjadwalan dokter kamar darurat di rumah sakit, pertama kalinya adalah harus diketahui berapa banyak dokter yang bertugas pada kamar darurat tersebut. Kemudian berapa banyak shift yang mereka tetapkan setiap harinya, dan bagaimana waktu liburan panjang dan hari libur diatur untuk para dokter.

Banyaknya dokter kamar darurat

bergantung pada keperluan kamar darurat itu sendiri. Rumah sakit yang cukup sibuk aktivitasnya biasanya memerlukan dokter yang banyak. Dalam bertugas dokter dibantu oleh beberapa calon dokter atau disebut dengan asisten dokter untuk meringankan tugas dokter.

Dokter secara normal bertugas selama 48 jam per minggu. Dokter boleh menambah atau mengurangi jumlah jam tersebut sesuai dengan kesepakatan dokter dan pengelola kamar darurat. Dokter kamar darurat pada umumnya merupakan dokter yang bertugas sebagai dokter keluarga atau dokter spesialis di rumah sakit yang mereka tempati dan beberapa dari mereka secara pribadi membuka

klinik. Oleh karena itu, selama mereka tidak bertugas, mereka dapat mengisi waktu dengan beristirahat atau melakukan aktivitas lain di rumah sakit dan klinik yang mereka punya.

Pada kondisi tertentu suatu rumah sakit memiliki aturan di mana secara individu, dokter boleh memilih jadwal yang mereka inginkan. Sebagai contoh, permintaan libur pada hari atau jam tertentu dikarenakan kepentingan pribadi, hari raya, atau karena hal yang lainnya. Pada umumnya rumah sakit membolehkan dokter yang menginginkan hari libur dapat menukar hari kerjanya dengan hari kerja dokter yang lain, sesuai dengan kesepakatan mereka. Oleh karena itu, penjadwalan pada kamar darurat tidak mudah dilakukan karena bergantung pada kondisi keinginan dari para dokter dan keterbatasan yang dimiliki oleh kamar darurat.

Berikut ini adalah gambaran dari suatu penjadwalan dokter kamar darurat, dengan empat orang dokter (D1, D2, D3, dan D4) yang bertugas di kamar darurat tersebut dan setiap dokter secara normal bertugas selama 48 jam per minggu. Dengan jumlah hari sebesar tujuh hari, pengelola kamar darurat menginginkan terdapat dua shift dalam satu hari yaitu shift 1 pada jam 08.00-19.00, shift 2 = 3, = 3.2 , dan 9 = 31.2

= 4, = 2.6 , dan 9 = 31.6

= 4, = 2 , dan 9 = 28 = 3.3, = 3 , dan 9 = 31.3

Solusi takfisibel

(11)

7

pada jam 19.00-08.00, dan tiap shift dalam satu hari maksimal hanya satu orang dokter saja yang bertugas kecuali pada hari minggu dalam satu shift terdapat dua orang dokter. Supaya terjadi pemerataan untuk semua

dokter, pengelola kamar darurat

menginginkan dokternya bertugas maksimal selama empat hari berturut-turut. Dokter yang tidak bertugas dapat beristirahat atau melakukan aktivitas lain. Kemudian supaya tidak terjadi kecemburuan di antara sesama

dokter, pengelola kamar darurat

mengharuskan semua dokter untuk bertugas di kedua shift tersebut minimal pernah mengerjakan dua shift 1 dan dua shift 2.

Penjadwalan dokter kamar darurat dari permasalahan di atas adalah sebagai berikut:

Tabel 1 Penjadwalan dokter kamar darurat pada deskripsi masalah.

Hari

SN SL RB KM JM SB MG

D1 1 1 2 2

D2 2 2 1 1

D3 1 2 1 2

D4 2 1 2 1

3.2Formulasi Masalah

Model penjadwalan kamar darurat bergantung pada apa yang diinginkan pengelola kamar darurat dan dokter. Selanjutnya, penjadwalan kamar darurat dapat diformulasikan dalam bentuk PLI.

Model penjadwalan pada karya ilmiah ini menggunakan empat parameter utama sebagai penyusun jadwal, yaitu:

1. Periode, yaitu banyaknya hari yang digunakan pengelola kamar darurat dalam menjadwalkan dokternya.

2. Hari, yaitu hari yang diinginkan pengelola kamar darurat untuk menjadwalkan dokter. Misalkan dokter bekerja pada hari ke-j (j = 1, 2, … , J).

3. Shift, yaitu jumlah shift yang diinginkan rumah sakit dalam satu hari. Misalkan dokter bekerja pada shift ke-i (i = 1, 2, … , I).

4. Dokter, yaitu orang yang bertugas di dalam kamar darurat. Misalkan dokter ke-k (k = 1, 2, … , K).

Variabel-variabel yang digunakan dalam model penjadwalan kamar darurat ini adalah:

F;G : biaya yang diberikan pengelola

kamar darurat untuk dokter ke-k yang bertugas pada hari ke-j di shift ke-i.

H; : banyaknya dokter yang harus

tersedia pada hari ke-j di shift ke-i.

IJKL _{: maksimal hari dokter bertugas}

secara berturut-turut dalam satu periode.

IJMN : minimal hari dokter bertugas secara berturut-turut dalam satu periode.

OG : banyaknya shift yang harus dipenuhi oleh setiap dokter ke-k dalam satu periode.

OG : banyaknya shift yang dipenuhi oleh dokter ke-k pada shift ke-i. Selain itu, diperlukan pula pendefinisian suatu variabel keputusan:

;G = ; jika dokter-k bertugas pada hari ke-j di shift ke-i

; selainnya

Fungsi objektif dari permasalahan ini

adalah meminimumkan biaya yang

dikeluarkan oleh pengelola kamar darurat sehingga dimodelkan sebagai berikut:

minimumkan P P PT_R S_;R Q_GR F;G _;G dengan kendala-kendala sebagai berikut : 1. Sebanyak H_; dokter harus selalu tersedia

pada hari ke-j di shift ke-i.

PQGR ;G = H;, ∀ , V.

2. Setiap dokter bertugas banyaknya satu shift dalam satu hari.

PTR ;G≤ 1, ∀V, W.

Jika seorang dokter bertugas pada shift terakhir (shift I), maka dokter tersebut tidak boleh bertugas pada shift awal (shift 1) di hari berikutnya.

T,;,G+ ,;X ,G≤ 1, ∀V, W.

3. Setiap dokter maksimal bertugas selama

I YZ_{hari berturut-turut dalam satu}

periode jadwal.

P;RX[\]^PTR ;G≤ I YZ , untuk = 1, … , b − I YZ_∀W_.

4. Setiap dokter minimal bertugas selama

I hari berturut-turut dalam satu periode jadwal.

P;RX[\cdPTR ;G ≥ I , untuk = 1, … , b − I ∀W.

5. Setiap dokter paling sedikit bertugas sebanyak Nk shift dalam satu periode

jadwal.

P PTR S;R ;G≥ OG, ∀W.

6. Setiap dokter ke-k yang bertugas pada shift ke-i minimal telah mengerjakan sebanyak

OGshift dalam satu periode jadwal. Hal ini dimaksudkan supaya tidak terjadi kecemburuan antar-dokter.

(12)

8

PS;R ;G≥ OG, ∀ , W.

7. Setiap dokter dapat meminta hari libur yang mereka inginkan sesuai dengan kesepakatan pengelola kamar darurat,

yaitu ingin _;G= 0, untuk dokter k yang tidak bertugas pada hari ke j di shift ke i. 8. Semua variabel keputusan bernilai nol atau

satu,

;G ∈ h0,1i ; ∀ , V, W.

IV STUDI KASUS DAN PENYELESAIANNYA

Studi kasus yang diambil dalam penelitian ini adalah menentukan penjadwalan dokter kamar darurat di Rumah Sakit Cipto Mangunkusumo (RSCM), Jakarta. Di rumah sakit tersebut kamar darurat selalu terbuka untuk umum selama 24 jam setiap hari.

Penjadwalan di RSCM masih dilakukan secara manual yaitu sesuai dengan kebutuhan dan kemampuan tenaga dokternya, namun dengan demikian dokter sudah cukup puas karena dokter dibebaskan untuk menukar hari kerja dengan dokter lain. Bagi pengelola kamar darurat RSCM ini merupakan suatu masalah karena adanya ketidakpastian dokter yang menjaga setiap hari. Oleh karena itu, penjadwalan di RSCM dilakukan setiap sebulan sekali, sehingga setiap bulan pengelola kamar darurat RSCM dapat mengatasi keinginan-keinginan dokter yang tidak bisa hadir pada saat yang diinginkan dan mengurangi terjadinya pertukaran di antara dokter.

Misalkan kita membahas penjadwalan pada bulan September 2010. Data awal penjadwalan pada bulan September 2010 di RSCM dicantumkan pada Lampiran 2.

Pada bulan September 2010 terdapat 30 hari masa kerja di kamar darurat. Saat ini jumlah dokter yang ditugaskan di kamar darurat RSCM adalah 24 orang, yaitu D1, D2, D3, …, D24.

Pengelola kamar darurat RSCM

menetapkan tiap shift adalah 8 jam, sehingga dalam satu hari terdapat tiga shift :

Tabel 2 Daftar shift dalam satu hari di RSCM

Shift Waktu (WIB)

1 00.00 – 08.00

2 08.00 – 16.00

3 16.00 – 00.00

Kebanyakan dokter yang bertugas di RSCM adalah dokter keluarga dan sudah mempunyai klinik tersendiri di luar RSCM. Pengelola kamar darurat RSCM membatasi tugas mereka, di mana setiap dokter bertugas

selama 72 jam atau sebanyak 9 shift tiap bulannya.

Keadaan kamar darurat bergantung pada jumlah pasien yang masuk, semakin banyak pasien maka semakin sibuk pula keadaannya dan sebaliknya. Berdasarkan pengamatan yang dilakukan oleh RSCM, pada hari Jumat, Sabtu dan Minggu kamar darurat selalu sibuk, hal ini mungkin saja disebabkan karena setiap akhir pekan pasti orang-orang lebih banyak beraktivitas diluar dari kebiasaannya sehari-hari. Oleh karena itu, kamar darurat yang biasanya di tempatkan dua orang dokter untuk menjaga, tetapi khusus untuk hari Jumat, Sabtu dan Minggu ditempatkan tiga orang dokter yang menjaga. Setiap dokter ditempatkan secara merata di semua shift.

Masalah sebenarnya dari penjadwalan di RSCM adalah ingin mengurangi adanya pertukaran yang dilakukan para dokter pada jadwal yang telah ditetapkan. Namun, pengelola kamar darurat RSCM membatasi keinginan mereka supaya tidak terjadi kecemburuan di antara para dokter. Dokter dapat memilih hari libur yang diinginkan karena alasan tertentu sebanyak 4 shift dalam satu bulan. Pada bulan September 2010 terdapat hari Raya Idul Fitri, maka dikhususkan bagi yang muslim diliburkan pada hari Jum’at tanggal 10 September di shift 1 dan shift 2 dan bagi muslim laki-laki diliburkan pada semua hari Jumat di shift 2. Berikut ini adalah daftar hari dan shift yang tidak diinginkan dokter di RSCM, selain dari hari Jumat tanggal 10 September 2010 di shift 1 dan shift 2.

Tabel 3 Daftar hari dan shift yang tidak diinginkan dokter di RSCM

No. Kode

Dokter Tanggal shift

1 D1*)**) 9 3

12 1,2,3

2 D2*)**) 9,10 3

(13)

9

3 D3*)**) 10,11 3

11 1,2

4 D4*)**) 10,11 3

19 2,3

5 D5*)**) 9,10 3

26,27 2

6 D6*) 11,12 1

11 2,3

7 D7 5, 19 2

12, 26 3

8 D8*)**) 11,25 2

11,30 3

9 D9*)**) 10 3

11 1,2,3

10 D10 3, 10 1

17, 24 2

11 D11*)**) 10 3

27,29,30 2

12 D12

11 3

22, 23 1

30 2

13 D13

5, 10 1

7 3

26 2

14 D14*)**)

11,24 1

25,30 2

15 D15*)**) 19,12 1

21,29 2

16 D16*)**) 11,16 2

25,27 3

17 D17 12,19,26 2

30 3

18 D18

15, 22 3

27 1

29 2

19 D19*) 21,27 1

21,27 2

20 D20*)**) 11,18 1

11,18 2

21 D21 25

1, 2,3

26 1

22 D22 26 3

27 1, 2

30 2

23 D23*)**) 9,18 2

10,12 3

24 D24*)**) 9,27 1

10,30 3

*) Diliburkan pada hari Jumat tanggal 10 September 2010 pada shift 1 dan 2

**) Diliburkan setiap hari Jumat pada shift 2

Dari studi kasus di atas, formulasi model PLI-nya adalah sebagai berikut:

minimumkan P P P_R _;Rk _GR0 F_;G _;G Terhadap fungsi kendala sebagai berikut: 1. Sebanyak H_; dokter harus selalu tersedia

pada hari ke-j di shift ke-i.

PGR0 ;G = H;, ∀ , V.

Untuk H_; =

Pekan Shift Hari

SN SL RB KM JM SB MG

1

1 2 2 3 3 3

2 2 2 3 3 3

3 2 2 3 3 3

2

1 2 2 2 2 3 3 3

2 2 2 2 2 3 3 3

3 2 2 2 2 3 3 3

3

1 2 2 2 2 3 3 3

2 2 2 2 2 3 3 3

3 2 2 2 2 3 3 3

4

1 2 2 2 2 3 3 3

2 2 2 2 2 3 3 3

3 2 2 2 2 3 3 3

2. Setiap dokter bertugas banyaknya satu shift dalam satu hari.

PR ;G ≤ 1, ∀V, W.

Jika seorang dokter bertugas pada shift terakhir (shift 3), maka dokter tersebut tidak boleh bertugas pada shift awal (shift 1) di hari berikutnya.

,;,G+ ,;X ,G ≤ 1, ∀V, W.

3. Setiap dokter maksimal bertugas selama

I YZ_{hari berturut-turut dalam satu}

periode jadwal. Untuk kasus di RSCM digunakan I YZ= 9.

(14)

10

untuk = 1, … , b − 9 ∀W,

4. Setiap dokter minimal bertugas selama

I hari berturut-turut dalam satu periode jadwal. Untuk kasus di RSCM digunakan I = 1.

P;RX PR ;G ≥ 1 ,

untuk = 1, … , b − I ∀W,

5. Setiap dokter ke-k paling sedikit bertugas sebanyak Nk shift dalam satu periode

jadwal. Untuk kasus di RSCM digunakan

Ok= 9.

P P_R _;Rk _;G ≥ 9, ∀W.

6. Setiap dokter ke-k yang bertugas pada shift ke-i minimal telah mengerjakan sebanyak

OG shift dalam satu periode jadwal. Hal ini dimaksudkan supaya tidak terjadi kecemburuan antar-dokter.

P;Rk ;G ≥ 3, ∀ , W.

Untuk O_G = 3 ∀ , W

7. Setiap dokter dapat meminta hari libur yang mereka inginkan sesuai dengan kesepakatan pengelola kamar darurat. Kebijakan pada RSCM adalah pada hari Jumat tanggal 10 September 2010 shift 1 dan 2 semua dokter muslim diliburkan, dan pada setiap hari Jumat shift 2 dokter muslim laki-laki diliburkan. Selain itu semua dokter boleh memilih 4 shift untuk libur. Berikut ini adalah contoh formulasinya:

;G= 0 untuk semua shift ke-1 dan 2pada hari ke-10serta dokter ke-1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 11, 14, 15, 16, 19, 20, 23, dan 24 .

;G= 0 untuk semua shift ke-2 pada hari ke-3, 10, 17, dan 23 serta dokter ke-1, 2, 3, 5, 8, 9, 11, 14, 15, 16, 20, 23, dan 24.

8. Semua variabel keputusan bernilai nol atau satu.

;G ∈ h0,1i ; ∀ , V, W,

Penyelesaian masalah penjadwalan kamar darurat bagi para dokter di RSCM pada karya ilmiah ini dilakukan dengan bantuan software LINGO 8.0 menggunakan metode branch-and-bound. Syntax program dan hasil komputasi dicantumkan pada Lampiran 3. Solusi yang didapat adalah solusi optimal dengan nilai fungsi objektifnya adalah 216 yang didapatkan pada iterasi ke 3920 pada waktu ke 00.00.17 detik dengan menggunakan Notebook TravelMate 2420, Acer, 1.6 Ghz dengan RAM 1GB. Hasil komputasi tidak semua dicantumkan, dikarenakan terlalu banyak. Hasil yang dicantumkan hanya untuk x yang bernilai satu saja. Tabel penjadwalan yang terbentuk untuk RSCM dicantumkan pada Lampiran 2 dan tabel jadwal individu dokter kamar darurat RSCM dicantumkan di Lampiran 4.

Perbandingan hasil penjadwalan bulan September 2010 antara metode konvensional (yang dilakukan selama ini) dengan metode PLI diberikan pada tabel 4 berikut.

Tabel 4 Perbandingan hasil penjadwalan antara metode konvensional dengan metode PLI. Kode

Dokter

Metode Konvensional Metode PLI

Shift 1 Shift 2 shift 3 Nk Shift 1 Shift 2 shift 3 Nk

D1 3 4 2 9 3 3 3 9

D2 3 4 4 11 3 3 3 9

D3 6 3 1 10 3 3 3 9

D4 2 4 4 10 3 3 3 9

D5 3 3 4 10 3 3 3 9

D6 2 5 5 12 3 3 3 9

D7 6 1 2 9 3 3 3 9

D8 6 2 3 11 3 3 3 9

D9 9 2 1 12 3 3 3 9

D10 1 5 4 10 3 3 3 9

D11 1 1 1 3 3 3 3 9

D12 5 4 3 12 3 3 3 9

D13 1 3 2 6 3 3 3 9

D14 2 4 2 8 3 3 3 9

D15 3 4 2 9 3 3 3 9

D16 2 3 4 9 3 3 3 9

D17 2 1 4 7 3 3 3 9

(15)

11

D19 2 1 4 7 3 3 3 9

D20 2 3 4 9 3 3 3 9

D21 2 2 4 8 3 3 3 9

D22 3 4 2 9 3 3 3 9

D23 2 4 3 9 3 3 3 9

D24 2 4 3 9 3 3 3 9

Total 216 Total 216

Dari hasil yang didapatkan bisa dilihat penjadwalan Konvenional tidak terlalu baik karena banyaknya jumlah shift yang dikerjakan oleh dokter dalam satu periodenya

tidak seimbang, sedangkan dengan

menggunakan PLI lebih terlihat seimbang karena banyaknya shift yang dikerjakan oleh setiap dokter seimbang.

Berdasarkan pada cara untuk

menyelesaikan masalah penjadwalan dokter kamar darurat, berikut ini adalah perbandingan antara menyelesaikan jadwal dengan metode konvensional dengan metode PLI.

Tabel 5 Perbandingan metode penjadwalan antara metode konvensional dengan metode PLI

Metode Konvensional Metode Pemrograman

Penjadwalan dilakukan secara manual Penjadwalan dilakukan dengan meng-input data

Proses mendapatkan solusinya lebih lama Proses mendapatkan solusinya relatif cepat

Solusi kurang konsisten Solusi pasti konsisten jika syarat dipenuhi

Perubahan kendala mengakibatkan kesulitan Perubahan kendala, tidak menimbulkan kesulitan yang berarti

V SIMPULAN DAN SARAN

5.1 Simpulan

Dalam penulisan karya ilmiah ini telah diperlihatkan penyelesaian dari masalah penjadwalam kamar darurat bagi para dokter

yang bertujuan untuk menentukan

penjadwalan yang dengan mengurangi ketidaknyamanan dokter di dalam kamar darurat serta mengurangi terjadinya pertukaran hari kerja yang dilakukan oleh para dokter. Masalah ini dipandang sebagai masalah 0-1 PLI. Penyelesaian masalah ini menggunakan bantuan software LINGO 8.0. dengan metode branch-and-bound.

Penjadwalan yang diinginkan sangat bergantung pada permintaan hari libur dari tiap dokter. Penentuan penjadwalan dengan menggunakan PLI sangat fleksibel, di mana

pengguna dapat dengan mudah menambahkan data maupun kendala-kendala baru supaya tercipta penjadwalan yang lebih baik lagi.

5.2 Saran

Pada penulisan karya ilmiah ini dilakukan

penelitian secara langsung dengan

(16)

11

D19 2 1 4 7 3 3 3 9

D20 2 3 4 9 3 3 3 9

D21 2 2 4 8 3 3 3 9

D22 3 4 2 9 3 3 3 9

D23 2 4 3 9 3 3 3 9

D24 2 4 3 9 3 3 3 9

Total 216 Total 216

Dari hasil yang didapatkan bisa dilihat penjadwalan Konvenional tidak terlalu baik karena banyaknya jumlah shift yang dikerjakan oleh dokter dalam satu periodenya

tidak seimbang, sedangkan dengan

menggunakan PLI lebih terlihat seimbang karena banyaknya shift yang dikerjakan oleh setiap dokter seimbang.

Berdasarkan pada cara untuk

menyelesaikan masalah penjadwalan dokter kamar darurat, berikut ini adalah perbandingan antara menyelesaikan jadwal dengan metode konvensional dengan metode PLI.

Tabel 5 Perbandingan metode penjadwalan antara metode konvensional dengan metode PLI

Metode Konvensional Metode Pemrograman

Penjadwalan dilakukan secara manual Penjadwalan dilakukan dengan meng-input data

Proses mendapatkan solusinya lebih lama Proses mendapatkan solusinya relatif cepat

Solusi kurang konsisten Solusi pasti konsisten jika syarat dipenuhi

Perubahan kendala mengakibatkan kesulitan Perubahan kendala, tidak menimbulkan kesulitan yang berarti

V SIMPULAN DAN SARAN

5.1 Simpulan

Dalam penulisan karya ilmiah ini telah diperlihatkan penyelesaian dari masalah penjadwalam kamar darurat bagi para dokter

yang bertujuan untuk menentukan

penjadwalan yang dengan mengurangi ketidaknyamanan dokter di dalam kamar darurat serta mengurangi terjadinya pertukaran hari kerja yang dilakukan oleh para dokter. Masalah ini dipandang sebagai masalah 0-1 PLI. Penyelesaian masalah ini menggunakan bantuan software LINGO 8.0. dengan metode branch-and-bound.

Penjadwalan yang diinginkan sangat bergantung pada permintaan hari libur dari tiap dokter. Penentuan penjadwalan dengan menggunakan PLI sangat fleksibel, di mana

pengguna dapat dengan mudah menambahkan data maupun kendala-kendala baru supaya tercipta penjadwalan yang lebih baik lagi.

5.2 Saran

Pada penulisan karya ilmiah ini dilakukan

penelitian secara langsung dengan

(17)

PENJADWALAN DOKTER KAMAR DARURAT DI RSCM

MENGGUNAKAN PEMROGRAMAN LINEAR

INTEGER

RATNA RATU ALIT

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

(18)

12

DAFTAR PUSTAKA

Carter MW, Lapierre SD. 2001. Scheduling Emergency Room Physicians. Health Care Management Science 4:347-360.

Garfinkel, R. S. & G. L. Nemhauser. 1972. Integer Programming. John Willey & Sons, New York.

.

Taha, H. A. 1996. Pengantar Riset Operasi. Alih Bahasa: Drs. Daniel Wirajaya. Binarupa Aksara, Jakarta. Terjemahan dari: Operations Research.

(19)

PENJADWALAN DOKTER KAMAR DARURAT DI RSCM

MENGGUNAKAN PEMROGRAMAN LINEAR

INTEGER

RATNA RATU ALIT

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

(20)

ABSTRACT

RATNA RATU ALIT. Scheduling of Emergency Room’s Physicians at RSCM Using Integer Linear Programming. Supervised by PRAPTO TRI SUPRIYO and TONI BAKHTIAR.

At an emergency unit of a hospital are generally posted several physicians for 24 hours for each and every day. The management unit of an emergency room usually has to deal with schedulling problem of physicians with time constraint of availability. This scheduling problem can be modeled as an integer linear programming (ILP) problem. ILP is an optimization problem with linear objective function, linear constraints, and integer variables.

Scheduling problem is formulated in an optimization model, where the objective function is to minimize the operational cost of emergency room with the following constraints: (i) the time availability of physicians, (ii) the balanced work load for every physicians, (iii) holiday and day-off determination of each physician.

(21)

ABSTRAK

RATNA RATU ALIT. Penjadwalan Dokter Kamar Darurat di RSCM Menggunakan Pemrograman Linear Integer. Dibimbing oleh PRAPTO TRI SUPRIYO dan TONI BAKHTIAR.

Unit Gawat Darurat dari suatu rumah sakit pada umumnya dijaga oleh beberapa dokter selama 24 jam setiap hari. Pengelola kamar darurat biasanya menghadapi permasalahan penjadwalan dokter dengan kendala ketersediaan waktu yang dimiliki oleh para dokter. Permasalahan penjadwalan dokter kamar darurat ini dapat dimodelkan sebagai masalah pemrograman linear integer (PLI). PLI adalah masalah optimisasi dengan fungsi objektif dan kendala yang linear serta variabel yang integer.

Pemodelan masalah penjadwalan ini dirumuskan dengan fungsi objektif yang meminimumkan biaya yang dikeluarkan pengelola kamar darurat dengan kendala: (i) tersedianya dokter jaga pada setiap harinya, (ii) beban kerja setiap dokter diharapkan seimbang, (iii) dapat menerima aspirasi setiap dokter dalam menetapkan hari libur.

(22)

PENJADWALAN DOKTER KAMAR DARURAT DI RSCM

MENGGUNAKAN PEMROGRAMAN LINEAR

INTEGER

RATNA RATU ALIT

Skripsi

Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains

pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Institut Pertanian Bogor

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

(23)

Judul

:

Penjadwalan Dokter Kamar Darurat di RSCM Menggunakan

Pemrograman Linear Integer

Nama :

Ratna Ratu Alit

NRP

:

G54061535

Menyetujui,

Mengetahui:

Ketua Departemen,

Dr. Berlian Setiawaty, M.S.

NIP. 19650505 198903 2 004

Tanggal Lulus :

Pembimbing I

Drs. Prapto Tri Supriyo, M.Kom.

NIP. 19630715 199002 1 002

Pembimbing II

(24)

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala rahmat dan karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Penyusunan karya ilmiah ini juga tidak lepas dari bantuan berbagai pihak. Untuk itu penulis mengucapkan terima kasih kepada :

1. Allah SWT atas Kuasa dan Karunia-Nya terhadap ciptaan-Nya.

2. Keluargaku tercinta : Ayah dan Mamah yang selalu memberikan doa, motivasi dan kasih sayang, Mbak Widi, Mbak Intan dan Kukuh atas dukungan dan nasehat-nasehatnya.

3. Drs. Prapto Tri Supriyo, M.Kom. selaku dosen pembimbing I, terima kasih atas semua ilmu, kesabaran, motivasi, dan bantuannya selama penulisan skripsi ini.

4. Dr. Toni Bakhtiar, M.Sc. selaku dosen pembimbing II, terima kasih atas semua ilmu, saran, dan motivasinya.

5. Dr. Ir. I Gusti Putu Purnaba, DEA selaku dosen penguji, terima kasih atas semua ilmu dan sarannya.

6. Semua dosen Departemen Matematika, terima kasih atas semua ilmu yang telah diberikan.

7. Staf Departemen Matematika: Bu Susi, Bu Ade, Mas Bono, Mas Deni, Pak Yono, dan Mas Heri, terima kasih atas doa dan semangatnya.

8. Agung Surya Permadi dan keluarga, terima kasih atas ilmu, saran, doa, dukungan, waktu, dan segala dukungannya.

9. Teman-teman Math 43 : Sunarsih, Emta, Ace, Resti, Margie, Wina, Kris, Neni, Ibel, SR, Dwi S., Nanu, Nurul, Ega, Vera, Putri, Aini, Supri, Sofyan, Tami, Wira, Adi, Dandi, Ucok, Andrew, Nobo, nidya, Gandi, Apri, Nene, Nia, Suci, Arum, Irsyad, dan teman-teman 43 lainnya, terima kasih atas kenangannya bersama kalian dan dukungannya. 10. Teman-teman Math 41 dan 42 : kak Bima, kak Niken, kak Obi, kak Riyu, kak Bange,

kak Ayeb, kak Moko, kak Fachri dan teman-teman lainnya terima kasih atas ilmu dan dukungannya.

11. Teman-teman Math 44 dan 45 : Ayung, Melon, Fani, Rofi, Aze, Ndep, Rachma, Denda, Dora,Ima, Yuyun, Eka, Pepi, Nurul, dan teman-teman lainnya, terima kasih atas dukungannya.

12. Teman-teman UKM KSR PMI Unit I IPB : Pak Bintoro, Via, Imah, Rahmah, Ika, Ani, Nia, Mbak Ayu, Mbak Ningrum dan Mbak Ningsih, kak Alwan, kak Iqbal, kak Burhan, kak Dalung, kak Aswad, kak Ahmad, kak Indah, Yuda, Rocky, Ardi, dan teman-teman lainnya, terima kasih atas pengalamannya yang berharga.

13. Teman-teman Bimbel Real Education Center : kak Jali, kak Moko, Pupil, kak Eyi, Umam, Finata, Ali, Ade, Irfan, Gonggo, Hardono, Nia, Ria, Elisabet, Resty, Maya, Maryam, dan teman-teman yang lainnya, terima kasih atas dukungannya.

Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi dunia ilmu pengetahuan khususnya Matematika dan menjadi inspirasi bagi penelitian-penelitian selanjutnya.

Bogor, Februari 2011

(25)

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Jakarta pada tanggal 16 November 1989 sebagai anak ketiga dari empat bersaudara, anak dari pasangan Ahmad Radi dan Siti Maryam.

Tahun 2000 penulis lulus dari SDN Pulo Gebang 07 Pagi. Tahun 2003 penulis lulus dari SLTPN 138 Jakarta. Tahun 2006 penulis lulus dari SMAN 44 Jakarta dan pada tahun yang sama lulus seleksi masuk IPB melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB (USMI). Penulis memilih Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.

(26)

DAFTAR ISI

Halaman

DAFTAR TABEL ... viii

DAFTAR GAMBAR ... viii

DAFTAR LAMPIRAN ... ix

I. PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang ... 1 1.2 Tujuan ... 1

II. LANDASAN TEORI

2.1 Pemrograman Linear ... 1 2.2 Pemrograman Linear Integer ... 3 2.3 Metode Branch and Bound ... 3

III. PEMODELAN

3.1 Deskripsi Masalah ... 6 3.2 Formulasi Masalah ... 7

IV. STUDI KASUS ... 8

V. SIMPULAN DAN SARAN

5.1 SIMPULAN ... 11 5.2 SARAN ... 11

DAFTAR PUSTAKA ... 12

LAMPIRAN ... 13

(27)

DAFTAR TABEL

Halaman

1 Penjadwalan dokter kamar darurat pada deskripsi masalah ... 7 2 Daftar shift dalam satu hari di RSCM ... 8 3 Daftar hari dan shift yang tidak diinginkan dokter di RSCM ... 8 4 Perbandingan hasil penjadwalan antara metode konvensional

dengan metode PLI ... 10 5 Perbandingan metode penjadwalan antara metode konvensional dengan

metode PLI ... 11 6 Jadwal jaga RSCM bulan September 2010 ... 15 7 Jadwal jaga RSCM bulan September 2010 setelah menggunakan PLI ... 15 8 Jadwal Jaga Individu Dokter Kamar Darurat Rumah Sakit Cipto Mangunkusumo

bulan September 2010 ... 21 9 Jadwal Jaga Individu Dokter Kamar Darurat Rumah Sakit Cipto

Mangunkusumo bulan September 2010 setelah Menggunakan PLI ... 22

DAFTAR GAMBAR

Halaman

1 Daerah fisibel (daerah yang diarsir) untuk relaksasi-PL dari PLI (9) ... 4 2 Daerah fisibel untuk Subproblem 2 dan Subproblem 3 ... 5 3 Seluruh pencabangan metode Branch-and-Bound pada penyelesaian

masalah PLI Contoh 2 ... 6

(28)

DAFTAR LAMPIRAN

Halaman

1 Solusi subproblem-subproblem untuk Contoh 2 ... 14 2 Jadwal jaga dokter kamar darurat di RSCM ... 15 3 Syntax dan hasil komputasi program Lingo 8.0 untuk masalah penjadwalan

dokter kamar darurat di RSCM ... 17 4 Jadwal jaga individu dokter kamar darurat di RSCM ... 21

(29)

1

I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

1.2 Tujuan

II LANDASAN TEORI

2.1 Pemrograman Linear

(Winston 2004)

Definisi 2 (Pertidaksamaan dan Persamaan Linear)

(30)

2

b. Nilai variabel-variabel keputusannya harus memenuhi suatu himpunan kendala. Setiap kendala harus berupa persamaan linear atau pertidaksamaan linear.

c. Ada pembatasan tanda untuk setiap variabel dalam masalah ini. Untuk sembarang variabel , pembatasan tanda menentukan harus tak-negatif ( ≥ 0) atau tidak dibatasi tandanya (unrestricted in sign).

(Winston 2004)

Suatu PL mempunyai bentuk standar seperti yang didefinisikan sebagai berikut.

Definisi 3 (Bentuk Standar PL)

Misalkan diberikan suatu PL dengan m kendala dan n variabel (dilambangkan dengan

, , … , ). Bentuk standar dari PL tersebut adalah:

max z = + + ⋯ + (atau min)

s. t.

+ + ⋯ + = (1)

+ + ⋯ + = (2) …

+ + ⋯ + = (3)

≥ 0, ( = 1, 2, . . . , )

Jika didefinisikan:

A =

⋯ ⋮ ⋱ ⋮

⋯ , ! = " ⋮ #,

$ = " ⋮ #,

maka kendala pada (1), (2), dan (3) dapat ditulis dengan sistem persamaan Ax = b. (4)

(Winston 2004)

Solusi Pemrograman Linear

Suatu masalah PL dapat diselesaikan dalam berbagai teknik, salah satunya adalah metode simpleks. Metode ini dapat menghasilkan suatu solusi optimum bagi masalah PL dan telah dikembangkan oleh Dantzig sejak tahun 1947 (Winston 2004), dan dalam perkembangannya merupakan metode

yang paling umum digunakan untuk

menyelesaikan PL. Metode ini berupa metode iteratif untuk menyelesaikan PL berbentuk standar.

Pada masalah PL (4), vektor x yang memenuhi kendala %! = $disebut solusi PL (4). Misalkan matriks A dinyatakan sebagai A

= (B N), dengan B adalah matriks taksingular berukuran m × m yang elemennya berupa

koefisien variabel basis dan N merupakan matriks berukuran m × (n – m) yang elemen-elemennya berupa koefisien variabel nonbasis pada matriks kendala. Dalam hal ini matriks B

disebut matriks basis untuk PL (4).

Misalkan x dinyatakan sebagai vektor x =

&!_!('), dengan !' adalah vektor variabel basis dan !( adalah vektor variabel nonbasis, maka

%! = $dapat dinyatakan sebagai :

%! = (' () &!_!(') = B!' + N!( = b. (5) Karena matriks B adalah matriks taksingular, maka B memiliki invers, sehingga dari (5) !' dapat dinyatakan sebagai:

!' = '*+$ − '*+N!( (6) Kemudian, fungsi objektifnya berubah menjadi:

min z = -'.!'+ -(.!(

(Winston 2004)

Definisi 4 (Daerah Fisibel)

Daerah fisibel suatu PL adalah himpunan semua titik yang memenuhi semua kendala dan pembatasan tanda pada PL tersebut.

(Winston 2004)

Definisi 5 (Solusi Basis)

Solusi basis adalah solusi pada PL yang didapatkan dengan mengatur variabel n–m

sama dengan nol dan nilai untuk

penyelesaiannya adalah dari sisa variabel m. Hal ini dengan mengasumsikan bahwa mengatur variabel n–m sama dengan nol akan membuat nilai yang unik untuk sisa variabel m atau sejenisnya, dan kolom-kolom untuk sisa dari variabel m merupakan bebas linear.

(Winston 2004)

Definisi 6 (Solusi Fisibel Basis)

Solusi fisibel basis adalah solusi basis pada PL yang semua variabel-variabelnya tak-negatif.

(Winston 2004)

Definisi 7 (Solusi Optimum)

Untuk masalah maksimisasi, solusi optimum suatu PL adalah suatu titik dalam daerah fisibel dengan nilai fungsi objektif terbesar. Untuk masalah minimisasi, solusi optimum suatu PL adalah suatu titik dalam daerah fisibel dengan nilai fungsi objektif terkecil.

(31)

3

Contoh 1

Misalkan diberikan PL berikut: min z = −2 − 3

dengan kendala − + 2 + = 10 −2 + + ₀= 2

2 + ₁= 3 , , , 0, ₁≥ 0 . (7) Dari PL tersebut diperoleh:

A = 2−1 2 1−2 1 0

2 0 0 0 1 0

0 0 13, b =2

10 2 33.

Misalkan dipilih:

!'= ( ). _dan_!(_{= (} ₀ ₁₎._.

Sehingga diperoleh:

B = 2−+ 4 +−4 + 5

4 5 53,

'* _{= 6}0 0_{0 1} ₁ 1 −2 *7

,

N = 20 01 0

0 13,

-'. _{= (−4 −8 5),} -(. _{= (5 5)}_,

!(= (0 0)._,

!'= '*+_{$ = & 5 )}._{. (8)} 9 = -'._'*+_{$ = −21}_.

Solusi (8) merupakan solusi basis, karena memenuhi kendala pada PL (7) dan kolom-kolom pada matriks kendala yang berpadanan dengan komponen taknol dari (8), yaitu B

bebas linear (kolom yang satu bukan merupakan kelipatan dari kolom yang lain). Solusi (8) juga merupakan solusi fisibel basis, karena nilai-nilai variabelnya lebih dari atau sama dengan nol.

2.2 Pemrograman Linear Integer

Pemrograman linear integer adalah suatu model pemrograman linear dengan variabel yang digunakan berupa bilangan bulat (integer). Jika semua variabel harus berupa integer, maka masalah tersebut dinamakan pure integer programming. Jika hanya sebagian yang harus berupa integer, maka disebut mixed integer programming (MIP). PLI dengan semua variabelnya harus bernilai 0 atau 1 disebut 0-1 PLI.

(Garfinkel & Nemhauser 1972)

Definisi 8 (Relaksasi Pemrograman Linear)

Relaksasi pemrograman linear atau sering disebut relaksasi-PL merupakan suatu pemprograman linear yang diperoleh dari suatu PLI dengan menghilangkan kendala

integer atau kendala 0-1 pada setiap variabelnya.

Untuk masalah maksimisasi, nilai optimum fungsi objektif relaksasi-PL lebih besar atau sama dengan nilai optimum fungsi objektif PLI, sedangkan untuk masalah minimisasi, nilai optimum fungsi objektif relaksasi-PL lebih kecil atau sama dengan nilai optimum fungsi objektif PLI.

(Winston 2004)

2.3 Metode Branch-and-Bound

Dalam penulisan karya ilmiah ini, untuk memperoleh solusi optimum dari masalah PLI digunakan software LINGO 8.0, yaitu sebuah program yang dirancang untuk menentukan solusi model linear, nonlinear, dan optimisasi integer. Software LINGO 8.0 ini menggunakan metode branch-and-bound untuk menyelesaikan masalah PLI.

Prinsip dasar metode branch-and-bound adalah memecah daerah fisibel dari masalah relaksasi-PL dengan membuat subproblem -subproblem. Terdapat dua konsep dasar dalam algoritma branch-and-bound.

1. Branch

Branching (pencabangan) adalah proses membagi permasalahan menjadi subproblem -subproblem yang mungkin mengarah ke solusi.

2. Bound

Bounding (pembatasan) adalah suatu proses untuk mencari atau menghitung batas atas (dalam masalah minimisasi) dan batas bawah (dalam masalah maksimisasi) untuk solusi optimum pada subproblem yang mengarah ke solusi.

Metode branch-and-bound diawali dari menyelesaikan relaksasi-PL dari suatu pemrograman linear integer. Jika semua nilai variabel keputusan solusi optimum sudah berupa integer, maka solusi tersebut merupakan solusi optimum PLI. Jika tidak, dilakukan pencabangan dan penambahan batasan pada relaksasi-PLnya kemudian diselesaikan.

(32)

4

merupaka