CAMPURAN
TESIS
Oleh
ERWIN
117021018/MT
PARAMETRIK PROGRAM 0-1 INTEGER
CAMPURAN
T E S I S
Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat
Untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam Program Studi Magister Matematika pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Utara
Oleh ERWIN 117021018/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
CAMPURAN Nama Mahasiswa : Erwin
Nomor Pokok : 117021018 Program Studi : Matematika
Menyetujui, Komisi Pembimbing
(Prof. Dr. Tulus, M.Si) (Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc.)
Ketua Anggota
Ketua Program Studi Dekan
Telah diuji pada
Tanggal 4 Juni 2013
PANITIA PENGUJI TESIS
Ketua : Prof. Dr. Tulus, M.Si
PARAMETRIK PROGRAM 0-1 INTEGER CAMPURAN
TESIS
Dengan ini saya menyatakan bahwa dalam tesis ini tidak terdapat karya yang pernah diajukan untuk memperoleh gelar Magister di suatu perguruan tinggi dan sepanjang pengetahuan juga tidak terdapat karya atau pendapat yang pernah ditulis atau diterbitkan oleh orang lain, kecuali secara tertulis diacu dalam naskah ini dan disebutkan dalam daftar pustaka.
Medan, Juni 2013 Penulis,
ABSTRAK
Dua algoritma untuk kasus umum parametrik Mixed Integer Linear Program-ming ( MILP ) yang diusulkan. Parametrik MILP di mana satu parameter secara bersamaan dapat mempengaruhi fungsi tujuan, sisi kanan dan matriks. Algorit-ma pertaAlgorit-ma didasarkan pada perluasan algoritAlgorit-ma Branch and Bound (BnB) pada variabel integer, memecahkan parametrik program linear (LP) di setiap node. Al-goritma kedua didasarkan pada kisaran optimalitas solusi kualitatif yang invarian, merujuk masalah optimisasi parametrik menjadi serangkaian MILPs reguler, pa-rametrik LP dan algoritma Mixed Integer Non-Linear Programming (MINLP). Jumlah submasalah yang diperlukan untuk contoh tertentu adalah sama dengan jumlah daerah kritis. Perbaikan dari algoritma simpleks yang terkenal rasional disajikan, yang memerlukan operasi yang lebih sedikit berturut-turut pada fungsi rasional.
Two algorithms that are suggested for general case MILP . MILP parametric where one parameter can affect the goal function altogether, the right-hand-side, and ma-trix. The first algorithm is based on branch and bound algorithm at integer vari-able, to solve parametric linear programming at every node. Second algorithm is based on invariant solution qualitative optimality, pointing parametric optimiza-tion problems to be a bunch of MILP regular, parametric, linear program and MINLP. Number of sub problems required for a particular instance is equal to the number of critical areas. Improvement of the well-known simplex algorithm ratio-nally presented, which requires less operating successively on rational functions.
KATA PENGANTAR
Puji syukur kepada Tuhan Yang Maha Esa yang selalu memberikan rah-mat dan hidayat yang luar biasa sehingga penulis dapat menyelesaikan tesis de-ngan judul: PARAMETRIK PROGRAM 0-1 INTEGER CAMPURAN. Penulis menyampaikan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada :
Bapak Prof. Dr. dr. Syahril Pasaribu, DTM&H, M.Sc(CTM), Sp.A(K) selaku Rektor Universitas Sumatera Utara.
Bapak Dr. Sutarman, M.Sc, Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Penge-tahuan Alam Universitas Sumatera Utara, yang telah memberikan kesempatan kepada penulis untuk mengikuti Program Magister Matematika di FMIPA Uni-versitas Sumatera Utara, dan juga selaku pembanding yang telah memberikan saran dan kritik dalam penyempurnaan tesis ini.
Bapak Prof. Dr. Herman Mawengkang, Ketua Program Studi Magister Ma-tematika FMIPA Universitas Sumatera Utara yang telah memberikan bimbingan, arahan dan ilmu pengetahuan dalam menyelesaikan tesis ini.
Bapak Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc, selaku Sekretaris Program Studi Ma-gister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara.
Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si, Pembimbing-I yang telah memberikan bim-bingan, arahan dan ilmu pengetahuan dalam menyelesaikan tesis ini.
Bapak Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc, Pembimbing-II yang telah mem-berikan bimbingan, arahan dan ilmu pengetahuan dalam menyelesaikan tesis ini.
Bapak Prof. Dr. Muhammad Zarlis, Pembanding yang memberikan saran dan kritik dalam penyempurnaan tesis ini.
Bapak / Ibu Dosen Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara yang telah memberikan ilmunya selama masa perkuliahan.
cinta, Ng Thi Ang Seng / Eddy Winarmin dan Gek Tjeng serta Abang-abang, Erwan dan Endrodan kakak Erniyang telah memberikan kasih sayang dan dukungan baik moril maupun materiil selama penulis dalam pendidikan dan penyelesaian tesis ini.
Rekan-rekan mahasiswa Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara khususnya angkatan reguler tahun 2011 ganjil, dan semua pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu pada tesis ini. Semoga Tuhan Yang Maha Kuasa membalas segala kebaikan dan bantuan yang telah diberikan.
Medan, Juni 2013 Penulis,
RIWAYAT HIDUP
Erwin, dilahirkan di Pangkalan Brandan pada tanggal 24 Desember 1987, merupakan anak keempat dari empat bersaudara dari ayah Ng Thi Ang Seng / Eddy Winarmin dan ibunda Gek Tjeng. Penulis menyelesaikan pendidikan Sekolah Dasar (SD) di SD YPK Tri Murni Medan pada tahun 2000, Sekolah Lanjutan Tingkat Pertama (SLTP) di SLTP Sutomo 2 Medan pada tahun 2003, dan Sekolah Menengah Atas (SMA) di SMA Sutomo 2 Medan pada tahun 2006.
Halaman
PERNYATAAN i
ABSTRAK ii
ABSTRACT iii
KATA PENGANTAR iv
RIWAYAT HIDUP vi
DAFTAR ISI vii
BAB 1 PENDAHULUAN 1
1.1 Latar Belakang 1
1.2 Perumusan Masalah 4
1.3 Tujuan Penelitian 4
1.4 Manfaat Penelitian 4
1.5 Metodologi Penelitian 4
BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA 6
2.1 Asumsi dan Sifat-Sifat Teoritis 6
2.2 Parametrik Program Linear 7
2.3 Menentukan Solusi Kualitatif 10
2.3.1 Solusi kualitatif dengan operasi rasional 15
2.3.2 Solusi kualitatif dengan continuation 16
2.4 Mencari Daerah Hasil 18
2.4.1 Solusi dengan operasi rasional 18
2.5.1 Solusi dengan operasi rasional 21
2.5.2 Solusi dengan continuation 22
2.6 Daerah Hasil Tidak Layak 22
2.7 Terminasi Algoritma 25
BAB 3 OPTIMALITAS DAERAH HASIL MIXED INTEGER LINEAR
PROGRAMMING 28
3.1 Optimalitas dari Pasangan 28
3.2 Rentang Ketidaklayakan 29
3.3 Klasifikasi Formulasi Daerah Optimalitas 30
BAB 4 PARAMETRIK MIXED INTEGER LINEAR PROGRAMMING 31
4.1 Optimalitas Daerah Algoritma untuk Parameterik MILP 31
4.2 Algoritma Branch and Bound untuk Parametrik MILP 33
BAB 5 KESIMPULAN DAN RISET LANJUTAN 40
5.1 Kesimpulan 40
5.2 Riset Lanjutan 40
Dua algoritma untuk kasus umum parametrik Mixed Integer Linear Program-ming ( MILP ) yang diusulkan. Parametrik MILP di mana satu parameter secara bersamaan dapat mempengaruhi fungsi tujuan, sisi kanan dan matriks. Algorit-ma pertaAlgorit-ma didasarkan pada perluasan algoritAlgorit-ma Branch and Bound (BnB) pada variabel integer, memecahkan parametrik program linear (LP) di setiap node. Al-goritma kedua didasarkan pada kisaran optimalitas solusi kualitatif yang invarian, merujuk masalah optimisasi parametrik menjadi serangkaian MILPs reguler, pa-rametrik LP dan algoritma Mixed Integer Non-Linear Programming (MINLP). Jumlah submasalah yang diperlukan untuk contoh tertentu adalah sama dengan jumlah daerah kritis. Perbaikan dari algoritma simpleks yang terkenal rasional disajikan, yang memerlukan operasi yang lebih sedikit berturut-turut pada fungsi rasional.
ABSTRACT
Two algorithms that are suggested for general case MILP . MILP parametric where one parameter can affect the goal function altogether, the right-hand-side, and ma-trix. The first algorithm is based on branch and bound algorithm at integer vari-able, to solve parametric linear programming at every node. Second algorithm is based on invariant solution qualitative optimality, pointing parametric optimiza-tion problems to be a bunch of MILP regular, parametric, linear program and MINLP. Number of sub problems required for a particular instance is equal to the number of critical areas. Improvement of the well-known simplex algorithm ratio-nally presented, which requires less operating successively on rational functions.
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Program matematika sering melibatkan parameter yang tidak diketahui dan tu-gas optimisasi parametrik pada prinsipnya, untuk memecahkan program mate-matika demikian, untuk setiap nilai yang mungkin dari parameter yang tidak diketahui. Algoritma untuk optimisasi parametrik biasanya membagi rentang pa-rameter ke daerah optimalitas, yang disebut luasan (Hanavald, 1979) atau daerah kritis (T.Gal, 1995). Untuk satu parameter batas antara daerah kritis disebut titik potong. Untuk setiap daerah kritis bisa saja persoalannya tidak layak atau solusi yang secara kualitatif invarian. Secara umum, jika fungsi parameter mulus terhadap penyelesaian optimal. Pengertian dari solusi secara kualitatif invarian bergantung pada kasus tertentu. Dalam program linear integer campuran (MILP), ini berarti realisasi optimal integer bersama-sama dengan basis optimnal untuk program linear (LP) yang dihasilkan dengan realisasi integer ini.
Beberapa aplikasi yang dapat diterapkan menggunakan optimisasi parame-trik adalah sebagai berikut pengelolaan sampah, perencanaan armada, model-prediktif kontrol dan proses sintesis di bawah ketidakpastian. Balas dan Saxe-na (2007) mengguSaxe-nakan solusi layak dari parametrik MILP untuk membentuk potongan (Cut) terhadap MILP. Eppstein (2003) memperkenalkan gagasan op-timisasi inverse parametrik di mana nilai-nilai parameter dihasilkan oleh solusi yang diberikan. Wallace (2000) berpendapat bahwa optimisasi parametrik sangat berharga untuk pengambilan keputusan hanya bila nilai dari parameter tidak dike-tahui selama fase optimisasi tetapi dikenal selama fase pengambilan keputusan.
2
Hal ini pada dasarnya ekuivalen dengan asumsi himpunan kompak, tidak termasuk rentang parameter tak terbatas. Parametrik MILP dapat ditulis sebagai
fx(p) =minx,y(cx((p))Tx+ (cy(p))Ty dengan kendala A1x(p)x+A1y(p)y =b1(p)
A2x(p)x+A2y(p)y ≤b2(p)
xL≤x≤xU
x∈Rnx,y ∈(0,1)nx
(1.1)
Dimana cx(p)∈
Rnx,cy(p)∈Rny,A1x(p)∈Rm1xnx,A1y(p)∈Rm1xny, A2x(p) ∈
Rm2xnx,A2y(p) ∈ Rm2xny,b1(p)∈ Rm1,b2(p) ∈ Rm2. Penyimpangan dari batas atas berhingga dan batas bawah yang tidak nol pada variabel serta ken-dala diperbolehkan, hal ini untuk menunjukkan bagaimana persamaan tersebut bisa diselesaikan secara efisien. Perhatikan bahwa dalam beberapa kasus kajian hanya dibatasi hingga xL,xU ∈
Rnx, sedangkan dalam kasus lain batas yang tak berhingga diperbolehkan. Seperti yang dilakukan dalam sebagian besar algoritma,
Dua kasus khusus menarik (1.1), yang sering diangkat dalam literatur, adalah kasus koefisien vektor dan kasus yang membahas basis program linear. Dalam ke-dua kasus matriksA1x,A2x,A1y,A2y tidak tergantung pada parameterp, dalam
kasus yang pertama yang juga basis vektorb1, b2 adalah parameter bebas,
sedang-kan pada kasus kedua besar vektorcx, cy adalah parameter bebas. Kasus koefisien vektor memenuhi sifat bahwa wilayah kelayakan tidak tergantung pada parame-ter. Akibatnya daerah optimalitas dari basis yang diketahui adalah Polyhedra (cembung) polyhedra dan fungsi solusi layak optimal dan cekung telah dibahas oleh Mitsos pada tahun 2006. Dalam kasus basis, daerah optimalitas dari dasar yang diberikan dapat dihitung relatif mudah juga telah dibahas oleh Crema pada tahun 1998, dan Pertsinidis pada tahun 1991.
Sebagian besar sifat teoritis dari optimisasi parametrik dimulai pada tahun 1980-an dan dalam beberapa tahun terakhir ini, fokusnya ke arah kontribusi al-goritmik, yang juga merupakan fokus dari penelitian ini. Algoritma untuk kasus ruas kanan program linear dengan ketergantungan pada satu atau banyak pa-rameter ada untuk MILP(Dua, et.al.,2002) dan juga untuk MINLP(Dua, et.al, 2004). Untuk kasus koefisien vektor MILP dengan ketergantungan terbatas nilai pada satu parameter, algoritma terkenal didasarkan pada irisan dari fungsi-fungsi tujuan yang layak (Jenkins, 1990). Yang juga penting adalah pada prinsipnya (1.1) dapat dirumuskan untuk masalah basis dengan memperkenalkan tambahan variabel z dan kendala z=p, namun secara umum ini mengarah pada nonconvex parametrik MINLP.
Berdasarkan jumlah kemungkinan daerah optimalitas, Murty(1980) menun-jukkan bahwa kompleksitas optimisasi parametrik tidak dapat terbatas keatas oleh polinomial walaupun dalam kasus basis program linear dari parametrik LP dengan parameter tunggal. Oleh karena itu, daripada mendasarkan kompleksitas komputasi, mungkin lebih tepat untuk membandingkan persyaratan komputasi dari algoritma dengan persyaratan komputasi untuk memecahkan masalah opti-misasi (pada nilai parameter tetap) karena ada daerah optimalitas.
Sejauh ini, sepanjang pengetahuan penulis belum ada algoritma yang co-cok untuk menghasilkan solusi dari kasus umum parametrik MILP dan algoritma yang tersedia untuk kasus ruas kanan dan kasus koefisien vektor adalah tidak trivial karena pada kasus umum yang tidak memiliki sifat seperti kasus khusus. Kontribusi yang paling relevan adalah pada parametrik LP. Analisis sensitivitas pasca optimal untuk koefisien matriks kolom nonbasis dapat diperoleh dalam buku pemrograman linear (Bertsimas, 1997).
4
Gal(1995) mengkaji kasus dimana satu kolom atau satu baris dari matriks tergantung pada parametrik, dalam kasus ini invers matriks dimungkinkan yang didasarkan pada formula Bodewig(1959). Dinkelbach mengusulkan sebuah al-goritma berdasarkan perpanjangan metode simpleks dari koefisien bernilai real untuk fungsi rasional parameter.
1.2 Perumusan Masalah
Kebanyakan pendekatan yang diajukan untuk kasus MILP berdasarkan analisis sensitivitas post-optimal. Sedangkan pada persoalan parametrik programming tidak semata - mata melakukan analisis sensitivitas. Apalagi menyelesaikan kasus MILP 0-1 dengan analisis sensitivitas sangat sulit, dan penelitian untuk kasus demikian sangat sulit.
1.3 Tujuan Penelitian
Tujuan penelitian ini adalah mengajukan algoritma yang dapat dipakai dalam menentukan parameter pada persoalan program integer 0-1 campuran.
1.4 Manfaat Penelitian
Hasil dari penelitian ini sangat berguna dalam penentuan dan memaksimalkan hasil yang diperoleh dari LP biasanya, dengan menggunakan parametrik MILP maka pendekatan-pendekatan ke hasil yang lebih optimal dapat dicapai.
1.5 Metodologi Penelitian
Untuk menghadapi persoalan yang ada di atas, maka penulis mempunyai beberapa langkah untuk menyelesaikan permasalahan parametrik MILP. Adapun langkah langkah nya sebagai berikut :
b. Menentukan daerah layak yang diperoleh melalui penentuan solusi layak de-ngan operasi rasional dan solusi layak dede-ngan continuation
c. Mencari daerah hasil yang optimal melalui penentuan solusi dengan operasi rasional dan solusi dengan continuation
d. Mencari daerah yang tidak layak
e. Terminasi algoritma
f. Daerah hasil optimal dari sebuah MILP
g. Daerah yang tidak layak dari sebuah MILP
h. Mengklasifikasikan formula untuk daerah layak yang optimal
BAB 2
TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Asumsi dan Sifat-Sifat Teoritis
Masalah optimisasi tak terbatas dikaji menggunakan : Asumsi 2.1 (Masalah Terbatas).
Untuk setiap nilai parameterp∈[0,1] relaksasi dari LP (1.1) terbatas dari bawah, yaitu persoalan LP-nya tidak layak atau memiliki nilai objektif optimal terbatas.
Sebagai konsekuensi langsung dari asumsi 2.1 parametrik MILP (1.1) ter-batas dari bawah untuk semua p∈[0,1].
Asumsi 2.2 (Data fungsi rasional parameter).
Data (matriks, vektor biaya, vektor basis) adalah fungsi rasional kontinu dari pa-rameterp∈[0,1], yaitu kutipan polinom dengan penyebut tidak nol.
Berdasarkan asumsi 1 dan 2 himpunan parameter p dapat dibagi kedalam interval jumlah terbatas dan / atau beberapa segmen, sehingga untuk setiap in-terval atau segmen masalahnya adalah tidak layak meskipun solusi optimal juga merupakan fungsi rasional dalam parameterp yang merupakan variabel konstan. Proses ini merupakan akibat langsung dari jumlah terbatas realisasi integer dan pada dasarnya untuk setiap nilai parameter terdapat basis yang optimal. Be-berapa interval optimalitas yang merosot (menurun), tetapi ada juga penelitian dengan hasil tidak nol yang berurutan.
2.2 Parametrik Program Linear
Seperti yang telah disebutkan dibagian pendahuluan, yang menjadi permasalahan utama dari paramtrik MILP ini adalah parametrik LP.
min x (c(p))
T
x
dengan kendala A1x(p)x =b1(p) A2x(p)x ≤b2(p) x∈Rnx, xL≤x≤xU
(2.1)
Sama halnya dengan persamaan (1.1) data daric(p)∈Rnx, A1(p)∈Rm1xnx,
A2(p) ∈ Rm2xnx, b1(p) ∈ Rm1 dan b2(p) ∈ Rm2 diasumsikan adalah fungsi
rasio-nal yang kontinu dimana parameterp ∈[pt, pu]. Dan jika diturunkan persamaan tersebut dari persamaan yang standar untuk menunjukkan keberadaan kendala pertidaksamaan dan batas-batas dari variabel yang ada. Sehingga dapat disele-saikan dengan efisien.
Algoritma 0 memberikan garis besar penelitian yang sangat teliti di per-masalahan batas-batasnya, yang dapat menjadi solusi dari persamaan (2.1) dan kemudian dua alternatif untuk permasalahan yang mendukung disajikan secara terperinci. Di langkah pertama dalam operasi penyelesaian dengan fungsi yang rasional. Dibagian ini juga terdapat masalah yang masih dapat dikembangkan, yaitu permasalahan atau kendala yang cukup banyak dengan ketidakpastian atau error yang cukup tinggi didalam operasi yang bersifat rasional dan juga permasa-lahan dalam peningkatan jumlah variabel dan kendala. Untuk mendukung solusi yang akan dibahas dibagian kontinu, pada akhirnya yang kita butuhkan adalah pernyataan terminasi algoritma.
8
Seperti halnya, algoritma Dinkelbach dapat dilanjutkan atau diteruskan un-tuk diimplementasikan, dengan tidak menghilangkan sifat-sifat yang ada didalam penyelesaian LP tersebut dan membutuhkan operasional yang cukup banyak de-ngan fungsi-fungsi rasional. Di algoritma 0 LP (2.1) diharapkan selesai pada titik Break Point (untuk nilai parameter yang statis) dengan menggunakan LP solver yang biasa digunakan.
Kemudian diasumsikan permasalahan baru yang didapat dari diagram atau hasil tersebut, algoritma tersebut bergerak untuk menyelesaikan break point terse-but dengan menggunakan semua matriks yang menjadi basis program linear, di-mana matriks-matriks tersebut memiliki daerah layak dan kondisi-kondisi opti-mal. Jika di kasus yang LP-nya infeasible ini menandakan ada daerah parameter yang parametrik LP-nya juga infeasible, dan daerah ini dapat diidentifikasi de-ngan menggunakan auxiliary problem, berdasarkan fasa pertama dede-ngan metode simplex.
Diberikan juga LP Solver yang dapat mengurangi nilai error daripada Al-goritma Dinkelbach, karena banyaknya kasus yang tidak terselesaikan dalam per-masalahan fungsi rasional jauh, lebih kecil dari pada yang lainnya. Penelitian ini dibuat hanya untuk memfaktorisasi matriks dengan ukuran m1+m2 dan paling banyak (m1+m2)3 operasi dengan fungsi yang rasional. Dibagian lainnya, tidak
ada cabang ilmu dari heuristik yang dapat menggaransi sebuah angka iterasi untuk metode simplex, dan itu menjadi konsekuensi dari algoritma Dinkelbach. Untuk permasalahan yang besar, diharapkan algoritma Dinkelbach yang dilakukan dapat mengurangi banyaknya iterasi yang akan terjadi. Sejak operasi-operasi yang di-lakukan akan mendapati kesimpulan matriks-matriks ((A1(p) dan A2(p)) dan nilai
Algoritma 0 (Parametrik Program Linear)
Input semua data dari permasalahan ke algoritma, dengan toleransi dari pertidak-samaan primal εinf dan batas - batas dari pertidaksamaan εopt dan sebuah nilai yang diperkirakan untuk parameter variabel stepδp >0. Algoritma menggunakan sebuah himpunanRuntuk menyimpan nilai-nilai dari solusi optimal. Elemen dari
R adalah kembar empat, dibentuk dari nilai parameter pRl, sebuah nilai Boolean
gRl, dapat menjelaskan semua permasalahan yang feasible untuk elemen (gRl=
Benar) atau bukan (gRl= Salah), sebuah nilaixRl(p), dan harus berkorespondensi
dengan fungsi objektif fRl(p).
1. Inisialkan dengan ps =pl.
2. Ulangi
a. Selesaikan LP (2.1) untukp=ps+δpdan tetapkan menjadi solusi basis.
b. IF Daerah Layak Then
i. Menetapkan g= Benar
ELSE
i. Menetapkan g= Benar ii. Menetapkan f(p) = +∞
iii. Selesaikan fasa 1 untuk problem (3.2) untuk p = ¯p = ps +δp dan tetapkan menjadi solusi basis.
c. Susunlah sistem parametrik tersebut menjadi persamaan dan pertidak-samaan.
d. Tentukan variabel yang tergantung dari solusix(p), f(p) untukp∈[ps, pu].
e. Setelah itu ditentukan daerah layak di p∈[ps, pu].
10
f. Tentukan nilai - nilai dari range yang optimal di p∈[ps, pt]
Misalkan pt adalah nilai terendah dari parameter untuk semua kendala primal yang dilarang.
IFpt≤ps+δp THEN misalkan δp= δp2. GOTO langkah 2a. Mengambilpt= min{pt, pu}.
g. Simpan (ps, x(p), f(p), g) diR.
h. Mengambilps= min{pt, pu}. Untilps ≤pu
Pada saat pemberhentian iterasi R didalamnya terdapat solusi untuk pa-rametrik LP. Untuk semua elemen Rl dimana gRl = Salah, program tersebut menghasilkan daerah tidak layak untuk p ∈ [pRl, pRl+1] dan ketika gRl = Benar,
titikxRl(p) memenuhi kendala primal dimanaε
inf bertoleransi dan nilai dari ken-dala marginal tanpa εopt bertoleransi, menggunakan sifat konveksitas pRl+1 = pu untuk l=|R|.
Menyelesaikan nilai dari parameter yang lebih tinggi dari p = ps + δp memenuhi perubahan yang terjadi dibasis program linear dan juga mengecek kem-bali nilai-nilai dari daerah layak dan nilai optimal di p∈ {ps, pu} memenuhi nilai basis yang juga harus optimal di [ps, ps+δp]. Parameter δp harus diperkenalkan dan diatur sehingga menjadi sangat kecil, hal ini bertujuan untuk mencegah per-hitungan kembali. Diasumsikan kesederhanaan telah dijelaskan. Yang menjadi catatan penting adalah adalah penyelesaian LP, itu lebih bertipe memberikan ke-untungan untuk menyimpan nilai informasi dari basis program linear dan mem-berikan nilai awal basis program linear untuk langkah selanjutnya.
2.3 Menentukan Solusi Kualitatif
sebuah titik dengan daerah layak yang telah optimal. Sebagai konsekuensinya adalah plausible untuk mendefinisikan solusi kualitatif sebagai nilai pencarian awal ataupun basis program linear. Hasil tersebut menuntun kita menuju sebuah sistem persamaan yang mendukung sistem persamaan parametrik dan mema-sukkan fungsi yang tergantung pada nilai variabel basis program linear untuk parameter tersebut. Variabel Non Basis juga ada untuk ditentukan batasannya.
Berdasarkan ketergantungan fungsional tersebut didapat analisis sensitif post-optimal. Ini adalah permasalahan utama dan sangat penting untuk subpro-blem didalam algoritma. Dikasus vektor biaya, adalah kasus trivial untuk matriks basis dan matriks ruas sisi kanan tergantung dari parameter. Sebagai konsekuensi dari solusi kualitatif invarian, parameternya adalah bebas. Dikasus basis program linear, elemen matriks adalah parameter bebas dan matriks basis program linear dapat dikonversi dan kemudian dikalikan dengan matriks basis program linear. Meskipun di vektor basis program linear sangat berdampak di parameter terse-but, solusi kualitatif invarian juga memberikan efek terhadap parameter di fungsi tersebut.
12
Sebuah permasalahan kompleks dapat diselesaikan menggunakan solver se-perti CPLEX adalah harus diperkenalkan variabel tambahan, sese-perti surplus dan slack untuk persamaan dan pertidaksamaan. Salah satu alasan untuk itu adalah jarang ditemukan LP yang memiliki kendala bebas linear (redundant atau in-feasible). Di terminasi program, solver tersebut memiliki m1 +m2 variabel ba-sis program linear, beberapa diantaranya adalah original dan beberapa adalah variabel slack ataupun surplus. Variabel non basis adalah berada pada batas bawah (xj = xLj) ataupun batas atas (xj = xuj). Yang menjadi catatan penting adalah perbandingan secara langsung ke LP dalam bentuk standar dimana vari-abel nonbasisnya memiliki nilai nol. Sebuah persamaan infeasible untuk semua variabel surplus yang berhubungan adalah basis dan bukan nol, dibagian lainnya persamaan tersebut menjadi redundant jika variabel surplus yang berhubungan adalah basis tetapi terletak pada level nol.
Jika persamaan (2.1) adalah ekivalen kepada
min
Dimana I1dan I2 adalah matriks identitas dengan ukuran m1 dan m2,
je-laslah bahwa solusi optimal (2.1) adalah juga optimal di persamaan (2.2) dan sebaliknya. Di algoritma 0, LP Solver digunakan untuk persamaan (2.1) dimana untuk subroutine 1, permasalahan yang di perbaharui tersebut digunakan untuk sistem parametrik.
Diharapkan pada saat terminasi, LP solver memberikan 2 vektor integer
dv ∈ {0,1,2}ndan dr ∈ {0,1}m1+m2
. Komponenjth dari dv menandakan variabel
j memiliki batas bawah (dv
j = 0), basis (dvj = 1), dan batas atas (dvj = 2). Komponen jth dari dvmenandakan variabel tambahan j adalah basis (dr
Subroutine 1 menjelaskan bagaimana sistem persamaan kuadrat disusun dan akan menyimpan sebuah parameter bergantung matriksB(p)∈R(m1+m2)x(m1+m2)
dan sebuah parameter bergantung nilai vektor basis program linearb(p) menyele-saikan sistemB(p)xB =b(p) sebagai fungsi dari parameter yang diberikan dapat memenuhi fungsi yang bergantung tersebut. Untuk selanjutnya batas batas vari-abel basis tersebut disimpan di xB,Ldan xB,U dan nilai basis program linear dari variabel basis disimpan dalam cB(p).
Subroutine 1(Penyusunan Parametrik Sistem Persamaan)
Subroutine ini menggunakan variabel penghitung i, j dan menyimpan se-jumlah varibel basis di nb.
14
END
5. Untuki= 1,· · · , m1+m2 Lakukan
a. IFdr
i = 1THEN i. nb =nb+ 1.
ii. Menetapkan bi,nb(p) = 1
iii. Menetapkan bj,nb(p) = 0 untuk j = 1,· · · , m1+m2;j 6= 1.
iv. xB,L nb = 0.
v. IF i≤m1THEN Menetapkan xB,U
nb = 0 ELSE x
B,U
nb = +∞.
vi. cB nb = 0.
END
Seperti yang telah ditunjukkan di contoh 2.2 ada banyak kemungkinan yang akan keluar ketika B(p) menjadi matriks singular dan memberikan hasil yang layak untuk beberapa nilai parameter, karena setelah menjadi basis program line-ar dan kendala primal serta mline-arginal tidak menjamin persamaan menjadi optimal. Untuk menyederhanakan kasus seperti ini kita harus membuat sebuah asumsi tam-bahan yaitu :
Asumsi 2.3
Yang menjadi perhatian yang utama adalah asumsi 2.3 hanya dibutuhkan untuk satu dari dua alternatif yang ditunjukkan disubproblem algoritma 0, yang dinamakan dengan continuation. Jika asumsi ini dibatalkan maka konsekuensinya adalah untuk nilai parameter dengan matriks singular, nilai solusi suboptimal akan diperhitungkan kembali dengan algoritma yang ada. Dan juga untuk variabel-variabel yang memiliki batasan yang jelas asumsi 2.3 dapat diturunkan menggu-nakan pernyataan yang sederhana yaitu JIka sebuah basis tambahanB(p) adalah optimal untuk beberapa p dan singular untuk semua nilai parameter ¯p∈P yang lain, kemudian sistemB(¯p)xB =b(¯p) tidak memiliki solusi.
2.3.1 Solusi kualitatif dengan operasi rasional
Algoritma yang dilakukan oleh Dinkelbach (1969) menyelesaikan parametrik LP secara langsung menggunakan operasi rasional. Sebagai akibatnya setiap iterasi (B(p))−1b(p)dapat digunakan. Makalah ini bertujuan untuk mengambil matriks
tersebut dan menunjukkan sebuah faktorisasi LU dengan menggunakan operasi rasional. Penulis mengasumsikan kehadiran sebuah algoritma faktorisasi LU dari matriks rasionalB(p) sebagai sebuah permutasi matriksM,dengan semua elemen bebas dari p, sebuah matriks segitiga bawahL(p) dengan semua elemen diagonal utama sama dengan satu dan sebuah matriks segitiga atas U(p) yang memenuhi persamaan berikut:
MB(p) =L(p)U(p)
Metode ini diizinkan, minimal untuk sifatnya, karena digunakan untuk meli-hat jika matriks tersebut menjadi singular untuk beberapa titik parameter, langkah pertama adalah menghitung besar dari nilai determinannya
|det(B(p))|= Πm1+m2
i=1 |UI,i(P)|
16
yang dapat diinverskan telah dikenal, sistem B(p)xB = b(p)dapat diselesaikan dengan dua langkah. Langkah pertama adalah elminasi L(p)v = MB(p), dapat dilakukan dengan memberikan vektor temporerv(p) sebagai sebuah fungsi untuk parameter. Dan kemudian kembali melakukan substitusi U(p)xB =v(p), dengan syarat kehadiran terikat.
Remark 2.1. (Dilakukan kepada matriks sebelum faktorisasi LU). Sejak variabel surplus dan slack hanya memiliki satu elemen tidak nol, adalah sangat efisien untuk menyusun kembali variabel dan matriks basis, dengan mele-takkan variabel artifisial disebelah kiri atas, basis untuk menunjukkan proses fak-torisasi. Untuk kesederhanaan penulis tidak menjelaskan ini di subroutine 1.
2.3.2 Solusi kualitatif dengan continuation
Sebuah permasalahan yang matriks inversnya mendapat perlakuan operasi rasio-nal, adalah sangat banyak penafsiran aritmatika yang dilakukan, dengan larangan perluasan atau kesalahan numerik yang menjadi besar sejalan dengan pembesaran ukuran sistem persamaan. Penulis bertujuan mencari sebuah jalur alternatif un-tuk melakukan pendekatan menggunakan metode Continuation. Metode ini tidak bisa digunakan untuk operasi dengan fungsi rasional dan juga sistem ukuran be-sar. Nilai basis di subroutine 1 dapat diselesaikan dengan metode continuation. Sebuah keuntungan tambahan adalah asumsi 2 tidak dibutuhkan. Sebuah keru-gian juga muncul disolusi dengan opersai rasional adalah asumsi 3 dibutuhkan. Nazareth (1991) menggunakan sebuah variasi dari metode simpleks berdasarkan continuation untuk parametrik LP, dimana efek parameter itu hanya untuk vektor biaya dan basis program linear.
Ide utama dari continuation adalah mengikuti definisi implisit dari kur-va F(x, λ) = 0, dimana f : Rn+1 →
meng-gunakan Newton Solver untuk solusi f(λi, zi) = 0 dengan ¯zi sebagai nilai yang diprediksi. Ukuran dari langkahnya adalah λi −λi−1 tergantung kepada kualitas
aproksimasi dari langkah langkah sebelumnya.
Penelitian ini tidak akan membahas hal yang berhubungan dengan homotopy continuation, dan titik akhir (untuk λ = 1) dikurva yang dibutuhkan. Penulis tertarik dengan yang telah dipaparkan dan mengestimasi solusi dari
B(p)xB=b(p) (2.3)
Untuk sebuah daerah hasil dari nilai parameter dan penulis menggunakan predictor polynomials sebagai sebuah aproksimasi untuk solusi. Meskipun es-timasi diperlukan untuk kualitas predictor disemua titik yang digeneralisasikan sebagaimana baiknya untuk titik yang berada diantaranya. Ketika itu mungkin memiliki sifat menguasai semua ||f(z, λ||, Seperti yang telah di kemukakan oleh Neubert (1997), kebanyakan metode memberikan nilai estimasi error (Rheinboldt, 1983). Kesamaan estimasi error dapat diaplikasikan atau dirujuk ke solusi dari sistem persamaan differensial aljabar (Asher et.al., 1998) yang memberikan hara-pan penelitian ini akan sukses menyelesaikan persoalan diatas dengan latihan perhitungan.
Di aplikasi yang dibahas, untuk sebuah nilai parameter yang ditetapkan dalam sistem persamaan linear akan dapat diselesaikan. Meskipun langkah dari corrector dapat ditunjukkan oleh beberapa linear solver yang lain secara langsung maupun iterasi. Dengan mengasumsikan bahwa predictor sangat bagus dalam memperkirakan, itu akan menjadi keuntungan jika menggunakan metode iterasi, khususnya untuk sistem persamaan yang besar.
18
Kemungkinan yang lain adalah untuk mendeteksi sifat singular adalah de-ngan metode continuation, tetapi karena alasan efisiensi maka untuk jenis fak-tor LU tidak dapat dilaksanakan. Ini harus mengandalkan asumsi 3, yang da-pat menggaransi kendala primal tidak rusak sebelum matriks tersebut menjadi singular.
2.4 Mencari Daerah Hasil
Daerah hasil yang diberikan dengan basis adalah didefinisikan secara implisit de-ngan
B(p)xB=b(p) (2.4)
xB,L≤xB ≤xB,U
Dikasus umum, daerah hasil adalah himpunan Disjoint, di algoritma 0 dae-rah layak untuk titik parameter ps telah diberikan dan nilai terkecil dari nilai parameter pt untuk persamaan (2.4) adalah tidak layak dan memenuhi toleransi
εinf dibutuhkan.
Dikasus vektor biaya, langkah ini tidak diperlukan, sejak daerah hasil tidak tergantung pada parameter. Dikasus basis program linear dengan tergantung pa-da nilai yang diperbaharui di parameter,xB adalah fungsi affine di parameter dan hanya sebuah pertidaksamaan linear dibutuhkan untuk diperiksa kembali.
2.4.1 Solusi dengan operasi rasional
Subroutine 2(Menghasilkan daerah hasil yang layak)
1. Menetapkan pt =pu.
2. Untuki= 1,· · · , m1+m2 Lakukan
a. IF xB,Li > −∞ THEN menetapkan pt sama dengan hasil terkecil dari
xB
i (p) =x B,L
i (p)−εinf untuk p∈[ps, pt].
b. IF xB,Li > +∞ THEN menetapkan pt sama dengan hasil terkecil dari
xB
i (p) =x B,L
i (p) +εinf untukp ∈[ps, pt]. END
Langkah ini dapat menunjukkan bahwa operasi rasional tidak memiliki hasil atau akar akar di [ps, pt] dimana pt yang sisa tidak dapat tergantikan.
2.4.2 Solusi dengan continuation
20
2.5 Mencari Daerah Optimal
Di LP secara eksplisit, kondisi optimal adalah tersediaan [31] dan dapat digunakan untuk mengidentifikasi daerah optimal. Mengingat kembali arti dari matrix basis
B(p), vektor biaya dari solusicB(p) dan vektor integerdvdari subroutine 1. Sistem berikut secara implisit mendefinisikan daerah optimal dari sebuah basis
(B(p))Tz =cB(p)
Dimana z ∈Rm1+m2 adalah sebuah vektor dengan variabel tambahan.
Per-tidaksamaan pertama dan kedua menghitung variabel awal non basis yang terda-pat di dalam vektor marginal. Pertidaksamaan ketiga menghitung biaya marginal dari variabel slack untuk pertidaksamaan non basis, sejak nilai dari variabel slack sama dengan nol dan hanya ada satu buah input variabel slack di matriks tersebut. Yang menjadi perhatian, nilai marginal untuk variabel surplus (untuk persamaan non basis) tidak butuh untuk dihitung. Sejak variabel surplus dapat memasuki basis dari daerah tidak layak.
Remark 2.2 (mengeliminasi variabel tambahan).
Sejak nilai dari variabel surplus adalah sebuah himpunan yang sama dengan nol dan kolom dari matriks tersebut berkorespondensi dengan variabel surplus yang sama dengan vektor identitas, penulis dapat mengeliminasi variabelzyang berko-respondensi dengan variabel surplus yang menjadi basis dari persamaan (2.5). langkah ini bertujuan untuk penyederhanaan.
Di kasus basis program linear langkah ini tidak diperlukan, sejak nilai mar-ginal tidak tergantung pada parameter. Di kasus nilai vektor dengan ketergan-tungan affine di parameter, sebuah himpunan pertidaksamaan linear ditbutuhkan untuk diperiksa kembali.
2.5.1 Solusi dengan operasi rasional
Setelah penulis menurunkan faktorisasi LU dari matriks B(p). Penulis menggu-nakan faktorisasi ini untuk menghitung variabel tambahan z dan batas batas nilai marginal seperti yang ditunjukkan dalam subroutine 3.
Subroutine 3 ( Mendapatkan daerah hasil optimal )
1. SelesaikanUT(p)u =cB(P) untuk u dengan menggunakan eliminasi maju.
2. SelesaikanLT(p)v =u(P) untukv dengan menggunakan eliminasi mundur.
3. Hitungz(p) =MTy(p).
4. Untukj = 1,· · · , m1.
a. IFdr
j = 0 THEN menetapkanpt sama dengan hasil pertama darizj(p) =
−εopt di p∈[ps, pt].
END
5. Untukj = 1, , n, dv j 6= 1
a. Menetapkan t(p) =c(p)−Σm1
i=1zi(p)A1i,j(p)−Σ m2
i=1zi+m1(p)A 2
i+m1j(p).
b. IF dv
j = 0 THEN menetapkan pt sama dengan hasil pertama dari t(p) =
−εdi p∈[ps, pt]. ELSE menetapkan pt sama dengan hasil pertama dari
t(p) =ε dip∈[ps, pt]
END
22
2.5.2 Solusi dengan continuation
Penulis bertujuan untuk menunjukkan pembagian dan pengklasifikasian dari fungsi marginal nilai biaya dari pertidaksamaan seperti yang ditunjukkan oleh perlakuan pada pertidaksamaan primal.
Sebagai contoh selesaikan
(B(p))Tz =cB(P)
sebagai fungsi dari p, mengunakan metode continuation sampai salah satu per-samaan tersebut tidak digunakan.
Oleh sebuah nilai yang mendekati εopt.
2.6 Daerah Hasil Tidak Layak
Penting bahwa, tanda tanda dari variabel tambahan yang dihitung pada nilai tetap parameter ¯p digunakan untuk memenuhi persamaan dengan menggu-nakan percobaan bahwa persamaan (2.6) adalah sebuah daerah layak untuk nilai nilai dari parameter. Sebelum dijelaskan bagaimana fungsi kendala digunakan, kita harus menunjukkan beberapa sifat yang harus dipenuhi.
Proposisi 1 (permasalahan parametrik fase 1)
1. Parametrik lanjutan LP (2.6) adalah layak untukp= ¯p.
2. Untuk semua parameter ˆpparameterik LP (2.1) adalah layak jika dan hanya jika nilai solusi optimal dari parametrik lanjutan LP (2.6) adalah sama de-ngan nol.
3. Untuk semua parameter ˆpparameterik LP (2.1) adalah layak jika dan hanya jika nilai solusi optimal dari parametrik (2.6) adalah lebih besar dari nol.
Bukti
1. Batas atas dari persamaan menunjukkan kelayakan dari pasangan (¯x,s¯). Ambil ¯x= 0,s¯i =|b1i(¯p)−Σ harus memenuhi batas-batas variabel. Kendalai adalah ekivalen dengan
sign(b1i(¯p)−Σ
Dimana dapat memenuhi definisi dari lambangsigndan nilai absolut. Ken-dala pertidaksamaan i adalah ekivalen terhadap
−max{0,−b2i(¯p)−Σnx
Dimana perlakuan ini memenuhi definisi dari max.
24
Dengan sifat kelayakan dan berpatokan ke batasan variabel 0 ≤ xˆ ≤
xU−xL atau ekivalen dengan xL ≤ x˜ ≤ xU, dimana ˜x =xU −xˆ. sifat kelayakan ini berpatokan pada kendala dan memberikan
Σnx
Sejalan dengan persamaan tersebut, kelayakan dengan kendala pertidak-samaan memberikan
Σnx
j=1A2i,j(ˆp)(ˆxj+xjL) =b2i(ˆp), i= 1,· · · , m2.
Dengan menggunakan hubungan yang terjadi di atas, itu akan dihasilkan nilai ˜x yang layak di persamaan (2.1) untuk ˆp.
b. Nilai ˆpyang berasal dari parametrik LP (2.1) adalah layak. Penulis dapat sekaligus mencari nilai ˜x yang layak untuk ˆp. Dengan menggunakan pasangan (ˆx,sˆ) di persamaan (2.6) untuk ˆp. Sejak nilai solusi optimal di persamaan (2.6) adalah tidak negatif, pasangan (ˆx,sˆ) adalah optimal untuk ˆp, atau persamaan (2.6) memiliki solusi optimal nol untuk ˆp.
3. Sejak perumusan nilai solusi optimal dari parametrik tambahan LP tidak negatif, itu akan memenuhi hasil yang akan digunakan selanjutnya.
Note bahwa jika beberapa nilai parameter dari basis tersebut tidak layak atau suboptimal, ini tidak langsung menunjukkan kelayakan dari persamaan (2.1), tetapi lebih kepada menunjukkan algoritma 0, ketika nilai basis yang ada di dalam permasalahan tambahan menjadi tidak layak atau suboptimal permasalahan uta-manya perlu diselesaikan.
2.7 Terminasi Algoritma
Teorema 1. Berdasarkan asumsi 2.1,2.2, dan 2.3, algoritma 0 terhenti terbatas. Di terminasi Rmengandung sebuah perkiraan solusi untuk parameter LP. Untuk
gRl = benar, sebuah basis dari persamaan (2.1) dan sebuah point yang
ber-hubungan xRl(p) diberikan, untuk memenuhi kendala primal dan marginal tanpa
toleransiεinf−danεopt−berturut turut untukp∈[p
Rl, pRl+1]. UntukgRl =Salah,
ketidaklayakan (perkiraan) dapat terjadi dengan p∈[pRl, pRl+1] dengan
menggu-nakan persamaan dari basis persamaan (2.6) yang memenuhi kendala primal dan marginal dengan toleransi εinf− dan εopt− berturut-turut.
Bukti
26
Misalkan persamaan (2.1) dan (2.6) dapat diselesaikan untuk p = po dan sebuah basis optimal telah ditemukan. Dengan menggunakan definisi dari sebuah basis, untuk determinan p = po dari basis adalah tidak nol dan kendala primal dan marginal telah memenuhi. Sejak elemen matriks adalah kontinu, determi-nan dari basis juga merupakan fungsi kontinu dari p. Penulis dapat menentukan sebuah daerah hasil parameter p1 = [p1
l, p1u] dengan p1l ≤ po ≤ p1u untuk yang determinan matriksnya tidak nol, meskipun basis program linear dari matriks non singular dan dapat diinversekan.
Variabel basis program linear dan nilai basis program linear adalah fungsi rasional p dan kontinu tanpa p1. Sebagai konsekuensinya penulis dapat
menen-tukan sebuah daerah hasil dari parameter p2 = [p2
l, p2u] dengan p1l ≤ p2l ≤p0 ≤
p2u ≤p1u untuk semua basis program linear tidak berubah akibat kondisi variabel pertidaksamaan basis primal dan marginal dengan menggunakan toleransi yang lebih spesifik. Tetapi dengan nilai basis yang diberikan, penulis dapat menemukan
δmin
p >0 dimana jika nilai basis optimal untuk p0 itu juga menyebabkan εoptimal di [p0−δmin
p , p0+δpmin]. Himpunan yang menjadi host dari pjuga mengalami pe-rubahan dan meskipun kekontinuitasan menyebabkan keseragaman sifat kontinu dan memberikan δmin
p >0 dan dapat ditemukan sifat tidak tergantung terhadap
p0.
Selanjutnya, sejak ada sebuah basis yang terbatasδmin
p >0 dapat ditentukan tidak tergantung dengan basis yang diberikan. Setelah semua angka terbatas didapat dari iterasi δp memberikan efek yang sangat kecil dan tidak ada jalur kembali jika diperlukan. Lebih lanjut lagi, setiap iterasi bukan langkah 0, di ambil langkah yang maju. Sejak [pt, pu] di batasi, dan setiap iterasi bukan langkah nol diambil langkah tersebut diambil sampai semua [pt, pu] diselesaikan.
Remark 2.3.
BAB 3
OPTIMALITAS DAERAH HASIL MIXED INTEGER LINEAR PROGRAMMING
Dalam kasus umum parametrik MILP (1.1) secara analogi, gagasan solusi kua-litatif invarian terhadap parametrik persamaan (2.1), dengan memperbaiki vari-abel integer untuk nilai tambahan dan mempertimbangkan parametrik LP yang dihasilkan. Tidak seperti LP umumnya, secara eksplisit tidak ada kondisi opti-malitas tersedia untuk beberapa MILP karena itu harus menghitung nilai kisaran optimalitas pada solusi kualitatif invarian secara umum.
Pertsinidis et.al.(1998) menganggap nilai basis dengan ketergantungan khu-sus dari vektor basis program linear dan dibawah asumsi keunikan, dirumuskan masalah optimisasi baru dimana parameter ditambahkan ke dalam daftar vari-abel. Pertsinidis et.al.(1998) melihat ini sebagai Analisis Sensitivitas, namun untuk menghindari kebingungan dengan ketergantungan parametrik dari solusi optimal disebut sebagai optimalitas kisaran. Ada juga yang menggangap dan membahas generalisasi dari variasi formula ini, ada juga yang membandingkan alternatif yang ditetapkan melalui optimalitas solusi kualitatif invarian pada satu set parameter himpunan.
3.1 Optimalitas dari Pasangan
Misalkan kelayakan (¯x(p),y¯) telah dibentuk untuk semua p ∈ P′ ⊂ P dan
opti-malitas untuk p = ¯p dengan ¯p ∈ P′. Mulai dari parameter persamaan (1.1)
di-tambahkan ke daftar variabel dan masalah optimisasi dirumuskan seperti berikut
minx,y,pp
s.t.(cx(p))Tx+ (cy(p))Ty−f¯(p)≤ −ε A1x(p)x+A1y(p)y=B1(p)
A2x(p)x+A2y(p)y≤B2(p) x∈Rnx, xl ≤x≤xU
y∈ {0,1}ny
Dimana ¯f(p) ≡ (cx(p))Tx¯+ (cy(p))Ty¯ dan ε adalah toleransi optimalitas yang lebih akurat. Jika persamaan (3.1) adalah tidak layak (¯x(p),y¯) adalah optimal solusi ε untuk MILP (1.1) dengan semua p ∈ P′. jika (¯x(p),y¯) tidak optimal
dalam persamaan (1.1) untuk p =p∗ (nilai parameter yang dilengkapi oleh
per-samaan (3.1)). Fungsi objektif memastikan bahwa jika p∗ > p¯ maka (¯x(p),y¯)
adalah optimal ε didalam persamaan (1.1) untuk p ∈ [¯p, p∗) dan ini digunakan
dalam algoritma 1. Perhatikan bahwa toleransi ε memperkenalkan optimalitas kisaran yang terlalu rumit. Terdapat titik solusi (x∗, y∗) yang dilengkapi oleh
(3.1) tidak perlu optimal didalam persamaan (1.1) untuk p∗ dan ini dapat
mem-bantu pemecahan persamaan (1.1) di p∗ pada algoritma 1.
3.2 Rentang Ketidaklayakan
Sebuah pertanyaan yang serupa dengan kisaran optimal dipertimbangkan dalam bagian sebelumnya adalah Rentang Ketidaklayakan. Ingatlah bahwa dalam LP se-cara umum pengenalan variabel surplus memungkinkan ketidakyakan yang akan di perlukan untuk menjadi daerah layak. Hal ini tidak mungkin untuk persamaan MILP, karena variasi parametrik dapat membuat beberapa realisasi integer yang lain menjadi layak.
Misalkan ketidaklayakan yang telah ditunjukkan untukp= ¯p, satu kemungk-inan untuk mendapatkan kisaran ketidaklayakan yang telah ditunjukkan adalah untuk mempertimbangkan varian dari persamaan (3.1) terbatas pada nilai solusi optimal yang dimunculkan.
minx,y,pp
s.t.A1x(p)x+A1y(p)y =B1(p)
A2x(p)x+A2y(p)y ≤B2(p)
x ∈Rnx, xl≤x≤xU
y ∈ {0,1}ny
p∈P′,
30
Jika persamaan (3.2) layak untuk beberapa nilai parameter p∗ kemudian
persamaan (1.1) juga layak untukp=p∗. jika tidak layak, persamaan (1.1) tidak
layak dalam himpunanP′.
3.3 Klasifikasi Formulasi Daerah Optimalitas
Secara umum, baik formulasi (3.1) dan (3.2) berisi fungsi nonConvex dan di-tandai sebagai persamaan MINLP nonConvex yang berbeda. Solusi global pada persamaan MINLP nonConvex memerlukan komputasi yang sangat rumit un-tuk mendapatkannya tetapi ada algoritma yang dapat menyelesaikannya (Tawar-malani,et.al., 2004), dan setidaknya ada satu program komersial (Tawarmalani, 2005) yang dapat melakukan ini dengan jaminan optimalitas. Ketidaklinearan berasal dari ¯f(p) serta hasil kali antara data parameter terikat dan parameternya. Dalam hal ini, parameter p dapat dianggap sebagai variabel rumit. Perhatikan bahwa bahkan dalam kasus multi-parametrik biasanya ada parameter yang relatif kecil. Ada beberapa kasus dimana formulasi optimasi MILP atau dapat diru-muskan dengan sangat tepat untuk MILP. Kasis paling sederhana adalah kasus ba-sis dengan ketergantungan khusus dari vektor baba-sis program linear b1 :P′ →Rm pada parameter.
Biasanya MINLP diselesaikan secara terbatas hanya untuk toleransi
εM IN LP > 0, yaitu solver yang ada terbatas untuk memberikan titik yang layak dan memberikan batas atas (UBD) dengan nilai objektif optimalf∗(f∗ ≤ UBD)
bersama dengan batas bawah (LBD) untukf∗(sertifikat optimalitasLBD≤f∗),
PARAMETRIK MIXED INTEGER LINEAR PROGRAMMING
4.1 Optimalitas Daerah Algoritma untuk Parameterik MILP
Berdasarkan formulasi optimalitas wilayah, diusulkan sebuah algoritma untuk pa-rametrik MILP yang didasarkan pada penyusunan ulang formula menjadi serang-kaian MILP regular, parametrik LP dan parametrik MINLP. Oleh karena itu telah diasumsikan, adanya MILP dan solver MINLP yang baik dan dapat menunjukkan ketidaklayakan pada persoalan MILP atau memberikan titik solusi integer opti-mal. Struktur umum dari algoritma yang diusulkan adalah sama seperti algoritma 0 yang dijelaskan untuk parametrik LP. Diperlihatkan sifat sifat utama dari solver MINLP memerlukan variabel variabel yang dibatasi dan karena itu Algoritma 1 hanya berlaku untuk masalah dengan batas bawah xL dan batas atas xU.
Algoritma 1(Parametrik MILP melalui daerah optimalitas)
Input algoritma ini adalah toleransi untuk pelanggaran ketidaksamaan primal
εopt, toleransi ε untuk formulasi wilayah optimalitas dan memperkirakan langkah parameter minimalδp>0. Algoritma ini menggunakan sebuah himpunanR digu-nakan untuk menyimpan solusi optimal. Unsur - unsur Rl dari R adalah kembar empat, terdiri dari nilai parameterpRl, sebuah nilai Boolean gRl. Dijelaskan
bah-wa masalah tersebut layak untuk elemen (gRl =Benar) atau tidak (gRl =Salah),
titik (xRl(p), yRl), dan tujuan yang sesuai fungsi fRl(p).
1. Inisialisasi ps = 0.
2. Ulangi
a. Selesaikan MILP (1.1) untuk p=ps+δp. IF Daerah layak THEN
32
iii. Menyusun sistem parametrik persamaan dan pertidaksamaan. iv. Hitung parametrik bebas dari solusi x(p) untuk p∈[ps,1].
v. Didapati daerah kelayakan dari x(p) untuk p∈[ps,1].
Menetapkan pt sama dengan nilai parameter terendah untuk yang kendala primalnya terlarang.
IF pt ≤ ps+δp THEN menetapkan δP = δ2p. Maka dilanjutkan ke langkah 2(a)ii.
Menetapkan pt = min{pt,1}
vi. Langkah optional pengoptimalan LP
Ambil daerah optimal dari x(p) untuk [ps, pt]
Menetapkanptmenjadi niali parameter terendah untuk kendala yang nilai kendal marginalnya terlarang.
IF pt ≤ ps +δp THEN menetapkan δp = δp
2. Maka dilanjutkan ke
langkah 2(a)ii.
Menetapkan pt = min{pt,1}
vii. IF εM IN LP > δ2p THEN menetapkan εM IN LP = δ2p
Selesaikan MINLP (3.1) untukp∈[ps, pt] menjadi optimalitasεM IN LP dan bertujuan mendapatkan batas bawah terakhirp∗ untuk nilai
ob-jektif menjadi optimal.
IF daerah layak THEN pt=p∗.
viii. IF pt ≤ ps +δp THEN menetapkan δp = δp
2. Maka dilanjutkan ke
langkah 2(a).
ix. Simpan ps, g =Benar, (x(p), y),f(p) di R. ELSE
i. Selesaikan MINLP (3.2) untuk p∈ [ps, pt] dan bertujuan mem-buat nilai objektif optimalp∗.
Manfaat langkah 2(a)viadalah menjamin hasil daripadalah lebih kecil di MINLP, yang biasanya membuat solusi yang didapat mendekati solusi optimal.
Teorema 2.
Jika asumsi 2.1,2.2, dan 2.3 dapat digunakan setiap realisasi bilangan bulat maka algoritma 1 berakhir terbatas. Pada penghentian, Ryang mengandung perkiraan solusi untuk parametrik MILP. untuk (gRl = Benar), sebuah titik xRl(p) yang
diberikan terikat nilai pada basis dari persamaan (1.1) untuk nilai tetap y=yRl,
yang memenuhi kendala nilai basis primal dan marginal didalam toleransiεinf dan
εopt, masing - masing untukp∈[pRl, pRl+1]. Lebih lanjut lagi (xRl(p), yRl) adalah
εopt di persamaan (1.1) pada p∈[pRl, pRl+1]. UntukgRl =Salah, ketidaklayakan telah ditetapkan untuk p∈[pRl, pRl+1] oleh persamaan (3.2).
Bukti
Teorema 2 dapat dibuktikan dengan cara yang sama seperti teorema 1. Termi-nasi terbatas dari algoritma dapat dibuktikan karena penggunaan toleransi εinf ,εopt dan ε, dalam kondisi primal, dual dan formulasi optimalitas wilayah, yang pada dasarnya membesarkan batas sebenarnya dari kisaran optimalitas. Sebagai konsekuensi pada setiap iterasi ada peningkatan terbatas dalam nilai parameter. Konsekuensi lain adalah bahwa karena terlalu tinggi hasil panggilan berikutnya MILP tersebut dalam solusi yang terbaru.
4.2 Algoritma Branch and Bound untuk Parametrik MILP
Branch and Bound adalah sebuah solusi yang bermetode untuk MILP yang bi-asanya ditemui pada kasus umum, dengan tujuan untuk melarang atau membatasi perhitungan untuk semua realisasi bilangan bulat. Nilai solusi optimal dibatasi oleh batas atas dan batas bawah. Batas bawah biasanya berjenis relaksasi vari-abel bilangan bulaty∈ {0,1}ny key∈[0,1]ny dan menyelesaikan hasil LP. Batas
34
Konvergensi dari batas bawah dan batas atas dilakukan karena menggu-nakan teori pencabangan dari algoritma Branch and Bound sebagai contoh, de-ngan mengambil sebuah nilai bilade-ngan bulat yj, dan membuat dua titik (yj = 0 dan yj = 1). Di kasus yang paling sulit 2ny+1−1 buah LP harus diselesaikan.
Algoritma Branch and Bound untuk parametrik MILP sangat berhubungan dengan algoritma Branch and Bound untuk MILP yang umum, dengan teori pen-cabangan di variabel bilangan bulat dan menyelesaikan sebuah parametrik LP di setiap titik pada Tree dari Branch and Bound. Untuk kesederhanaan, Ohtake dan Nishida (1985) telah mengaplikasikan ide ini untuk kasus basis program linear.
Dengan menggunakan algoritma, dua titik (node) dibentuk setiap node berkorespondensi dengan sebuah parametrik MILP dengan beberapa variabel bi-ner yang dirumuskan :
minx,y(cx(p))Tx+ (cy(p))Ty dengan kendala A1x(p)x+A1y(p)y=b1(p)
A2x(p)x+A2y(p)y≤b2(p)
x∈Rnx, xl ≤x≤xU
yj = 0,∀j ∈Zi
yj = 1,∀j ∈Oi
y∈ {0,1},∀j ∈ {1,· · · , ny}, j /∈Zi∪Oi
p∈[0,1],
(4.1)
Algoritma 2(Algoritma Branch and Bound untuk kasus umum parame-trik MILP)
Batas atas disimpan di himpunan R0. Unsur unsur R0
l dari R0 adalah kembar empat, terdiri dari nilai parameter pR0
l, sebuah Boolean gR
0
l, dapat menjelaskan
terdapat batas untuk elemen (gR0
l = Benar) atau tidak (gR
l), dan tujuan yang sesuai fungsi fR
0
l. Unsur unsur yang dipakai
sesuai dengan pR0
l, dan oleh konvergensi pR
0
l) adalah layak secara εinf untuk
parametrik MILP dengan p ∈ [pRl, pRl+1] dan fR0l(p) adalah batas atas untuk
fungsi tujuan optimal dalam interval tersebut.
Misalkan himpunan indeks A berisi indeks i dari titik yang sedang aktif, masing-masing sesuai dengan persamaan parametrik MILP (4.1) dan masing-masing dikaitkan dengan indeks menetapkan Zi,Oi. Juga terkait dengan setiap node i adalah himpunan Ri, dengan jenis yang sama dari unsur-unsur di R0.
BooleangRi
l menjelaskan jika elemen aktif (gRil =Benar), maka
pencabang-an perlu dilakukpencabang-an, atau tidak aktif (gRi
l =Salah), yaitu tidak ada pencabangan
lebih lanjut yang diperlukan. Sebuah elemen dapat menjadi tidak aktif karena daerah infeasible pada batas bawah atau dengan nilai dominan. Titik (xRi
l(p), yRil)
36
3. (Seleksi node)
Pilih dan hilangkan sebuah titiki dari himpunan A.
4. (Bandingkan Batas Atas dan Batas Bawah) Panggil Subroutine 4.
5. (Relaksasi)
Untukl = 1,· · · ,|Ri| lakukan
a. IF gRi
l =Benar THEN selesaikan relaksasi LP pada node i dan
meng-ganti Ri
l dengan solusi dari parametrik LP. END
6. (Penyesuaian nilai batas atas dan pembentukan persamaan) Panggil Subroutine 5.
8. Lanjut ke langkah 2.
Pada terminasiR0 didapati solusi parametrik MIP. Untuk semua elemenR0
l seperti yang terdapat digR0
l =Salah, program tersebut menghasilkan hasil yang
tidak memasuki daerah layak untuk p ∈ [pR0
l, pR
l) adalah sebuah solusi optimal (tanpa melihat toleransi dari solusi
relaksasi LP) untuk p∈[pR0
l, pR
0
l+1] dengan fungsi objektif fR 0
l(p).
menjadi satu, sedangkan yang kedua mengambil satu elemen yang menghasilkan dua elemen yang berhubungan. Setelah tindakan tersebut dilakukan, penomoran elemen diulang kembali sesuai dengan urutan elemen.
Tujuan subroutine 4 adalah untuk memanggil beberapa unsurRi didasarkan pada dominasi nilai sebelum menyelesaikan parametrik LP. Elemen pertama Ri dan R0 dibagi sedemikian rupa sehingga |Ri| =|R0| danpRi
l = pR
0
l untuk semua
l = 1,· · · ,|Ri|. Kemudian interval parameter diidentifikasi untuk batas bawah
pada node i adalah lebih tinggi dari incumbent, dan oleh karena itu parametrik LP tersebut tidak harus diselesaikan. Akhirnya, elemen aktif Ri yang digabung bertujuan untuk meminimalkan jumlah panggilan LP yang diperlukan untuk so-lusi dari parametrik LP, langkah langkah tersebut disebut algoritma Heuristik, dan jika informasi tentang node induk digunakan untuk solusi dari node anak, ma-ka menggabungma-kan interval sebenarnya bisa memperlambat kecepatan komputasi.
Subroutine 4(Pengecekan batas bawah (Pembulatan))
1. Untukl = 1,· · · ,|Ri| Lakukan
a. IFpRi
l+1 < pR 0
l+1 THEN dipisahkan R0
l pada p
a. Menetapkan pt sama dengan hasil pertama dari fR
38
Dalam subroutine 5 incumbent yang ada diperbaharui berdasarkan pada so-lusi parametrik dari node i. Pertama, unsur Ri dan R0 dibagi sedemikian rupa
sehingga |Ri| = |R0| dan pRi l = pR
0
l untuk i = 1,· · · ,|Ri|. Kemudian, interval
parameter diidentifikasi yang batas bawahnya pada node i adalah lebih tinggi daripada incumbent, dan oleh karena itu parametrik LP tidak perlu diselesaikan pada node anak. Demikian pula, dengan interval solusi layak bilangan bulat tidak perlu diselesaikan di node anak. Batas atas diperbaharui untuk interval parame-ter yang batas pada node i lebih rendah dari incumbent dan solusi integer yang layak. Akhirnya, elemenR0 tanpa batas atas yang memiliki elemen dengan solusi
yang sama digabung.
Subroutine 5(Update Upper Bound(integer i))
1. Untukl = 1,· · · ,|Ri| Lakukan
a. Untukptsama dengan hasil pertama darifR
e. IF (yRi
Algoritma 2 berakhir secara terbatas dengan solusi optimal dari parametrik MILP (dalam toleransi yang dipenuhi dengan solusi untuk parametrik LP ).
Bukti.
Terminasi terbatas dijamin ada karena percabangan hanya dilakukan pada vari-able integer dan karena itu paling banyak 2ny+1 −1 pada node yang dikunjungi.
BAB 5
KESIMPULAN DAN RISET LANJUTAN
5.1 Kesimpulan
Dalam tesis ini terdapat dua algoritma yang digunakan untuk kasus paramatrik LP yang umum, algoritma ini didasarkan pada sebuah perluasan dari metode simpleks yang digunakan pada nilai koefisien menjadi fungsi yang rasional dari parameter. Dengan tujuan yang bersifat implementasi, maka kendala primal dan nilai marginalnya dapat memiliki nilai toleransi yang positif. Algoritma tersebut bertujuan dan mengacu pada kesederhanaan dan nilai optimal yang nyata dimana bukan hanya pada kasus MILP saja.
Untuk menyederhanakan sifat dari batas pembuktian, dapat dijelaskan dan didiskusikan pengeneralan dari formulasi yang dijelaskan oleh Pertsinidis, et.al. (1998) dan bertujuan menggunakan sebuah algoritma pada sebuah parametrik MILP yang berdasar pada dekomposisi dalam MILP yang regular, parametrik LPs dan MINLPs.
Didapati juga sebuah algoritma yang didasari pada Branch and Bound pa-da variabel integer pa-dalam menyelesaikan sebuah parametrik LP papa-da setiap node. Parametrik ini dapat di terapkan pada kasus basis program linear. Setelah itu dapat terlihat menggunakan Parametrik Program 0-1 Integer Campuran dengan Algoritma Branch and Bound dapat membuat penyelesaian didapat dalam tem-po yang singkat, karena ada beberapa langkah yang dapat menyisihkan beberapa nodeyang tidak dapat menjadi nomisasi hasil optimal.
5.2 Riset Lanjutan
DAFTAR PUSTAKA
Acevedo, J. and Pistikopoulos, E.N.(1999). An algorithm for multiparametric mixed integer linear programming problems. Operations Research Letters, 24(3):139–148.
Adjiman, C.S., Androulakis, I.P., and Floudas, C.A.(2000). Global optimization of mixed integer nonlinear problems. AIChE Journal, 46(9);1769–1797. Allgower, E.L. and Georg, K.(1980). Numerical Continuation Methods : An
Intro-duction. Springer-Verlag, New York.
Asher, U.M. and Petzold, L.R.(1998).Computer Methods for Ordinary Differential Equations and Differential-Algebraic Equations, SIAM, Philadelphia.
Balas, E. and Saxena, A.(2007). Optimizing over the split closure. Mathematical Programming, Series A, in press, DOI 10.1007/s10107–006–0049–5.
Bank B., Guddat, J., Klatte, D., Kummer, B., and Tammer, K.(1983).Non-Linear Parametric Optimization. Birkha¨user Verlag, Stuttgart.
Bertsimas, D. and Tsitsiklis, J. N.(1997). Introduction to Linear Optimization. Athena Scientific, Belmont, Massachusetts.
Bodewig, E.(1959). Matrix Calculus, North Holland Publ. Co, 2nd edition.
Cohen, J. S.(2003). Computer Algebra and Symbolic Computation : Mathematical Methods. A. K. Peters, Natick.
Cohen, J. S.(2003). Computer Algebra and Symbolic Computation : Elementary Algorithms. A. K. Peters, Natick.
Davenport, J.H., Siret, Y., and Tournier, E.(1993).Computer algebra: Systems and algoritms for algebraic computation. Academic Press, London second edition. Dinkelbach, W.(1969). Sensitivit¨atsanalysen und parametrische Programmierung.
Econometrics and Operations Research XII. Springer–Verlag, Heidelberg. Dua, V. and Pistikopoulos, E. N.(1999). Algorithms for the solution of
multi-parametric mixed–integer nonlinear optimization problems. Industrial and Engineering Chemistry Research, 38(10):3976–3987.
Dua, V. and Pistikopoulos, E.N.(2000). An algorithm for the solution of multipara-metric mixed integer linear programming problems. Annals of Operations Research. 99:123–139.
Eppstein, D.(2003). Setting parameters by example,SIAM Journal on Computing, 32(3):643–653.
Geoffrion, A. M. and Nauss, R.(1977). Parametric and postoptimality analysis in integer linear programming. Management Science, 23(5):453–466.
GNU multiple precision arithmetic library. http://swox.com/gmp/.
Greenberg, H. J.(1999). Matrix sensitivity analysis from an interior solution of a linera program. Informs Journal on Computing, 11(3):316–327.
Haneveld, W.K. Klein, Vandermeer,C.L.J., and Peters, R.J.(1979). Construction method in parametric programming. Mathematical Programming, 16(1):21– 36.
Kesavan, P., Allgor, R.J., Gatzke, E.P., and Barton, P.I.(2004). Outer approxima-tion algorithms for separavle nonconvex mixed-integer non linear programs. Mathematical Programming, 100(3):517–535.
Mignotte, M.(1992). Mathematics for Computer Algebra. Springer–Verlag. New York.
Mitsos, A. and Barton, P. I.(2005). The general case of parametric optimization with mixed-integer linear programs. Cairo, Egypt, 27th November 1st De-cember.Paraopt VIII : Parametric Optimization and Related Topics.
Mitsos, A., (2006).Man-Portable Power Generation Devices : Product Design and Supporting Algorithms, http://yoric.mit.edu/download/Reports/ MitsosThe-sis.pdf. PhD thesis, Massachusetts Institute of Technology.
Murty, K. G.(1980). Computational complexity of parametric linear programming. Mathematical Programming, 19(2):213-219.
Nazareth, J.L.(1991). The homotopy principle and algorithms for linear program-ming. SIAM Journal Optimization, 1(3):316–332.
Nemhauser, G.L. and Wolsey, L.A.(1999).Integer and Combinatorial Optimization. Wiley-Interscience, New York.
Neubert, R.(1997). Approximation of solution curves of underdetermined sustems of non linear equations. Computing, 59(4):285–305.
Ohtake, Y. and Nishida, N.(1985). A branch and bound algorithm for 0-1 parame-tric mixed integer programming. Operations Research Letters, 4(1):41–45. Park, T. and Barton, P.I.(1996). State event location in differential-algebraic
mod-els. ACM Transactions on Modelling and Computer Simulation, 6(2):137– 165.
Pertsinidis, A., Grossmann, I.E., and Rae, G.J. Mc.(1998). Parametric optimiza-tion of MILP programs and a framework for the parametric optimizaoptimiza-tion of MINLPs. Computers and Chemical Engineering, 22(Suppl):S205–S212. Rheinboldt, W.C. and Burkardt, J.V.(1983). A locally parameterized continuation
44
Tawarmalani, M. and Sahinidis, N.V.(2002).Convexification and Global Optimiza-tion in Continuous and Mixed-Integer Non linear Programming.Nonconvex Optimization and its Applications, Kluwer Academic Publishers, Boston. Tawarmalani, M. and Sahinidis, N.V.(2004). Global optimization of mixed-integer
nonlinear programs : A theoretical and computational study. Mathematical Programming, 99(3):563–591.
Tawarmalani, M. and Sahinidis, N.V.(2005). BARON. http://www.gams.com/ solvers/baron.pdf.
