Analisa Respon Spektrum Pada Bangunan Bertingkat Banyak Dengan Menggunakan Multi Friction Pendulum System (MFPS)

ANALISA RESPON SPEKTRUM PADA BANGUNAN

BERTINGKAT BANYAK DENGAN MENGGUNAKAN

MULTI FRICTION PENDULUM SYSTEM

(MFPS)

TUGAS AKHIR

Diajukan untuk melengkapi tugas-tugas dan memenuhi syarat untuk menempuh Ujian Sarjana Teknik Sipil

Disusun oleh : ANDI RIZKI

04 0404 014

SUB JURUSAN STRUKTUR DEPARTEMEN TEKNIK SIPIL

FAKULTAS TEKNIK

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN

ANALISA RESPON SPEKTRUM PADA BANGUNAN

BERTINGKAT BANYAK DENGAN MENGGUNAKAN

MULTI FRICTION PENDULUM SYSTEM

(MFPS)

TUGAS AKHIR

Diajukan Untuk Melengkapi Tugas-Tugas dan Memenuhi Syarat Untuk Menempuh Ujian Sarjana Teknik Sipil

Disusun oleh :

04 0404 014 ANDI RIZKI

Pengesahan untuk disidangkankan :

`

SUB JURUSAN STRUKTUR DEPARTEMEN TEKNIK SIPIL

FAKULTAS TEKNIK

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN

2009 Pembimbing

Ir. Daniel Rumbi Teruna, MT. NIP. 131 754 529

Co Pembimbing

ABSTRAK

Sejalan dengan perkembangan teknologi bahan / system untuk anti

gempa, telah ditemukan suatu perangkat anti seismic yang disebut base isolator. Base isolator adalah teknik pengontrolan terhadap respon gempa pada struktur selama getaran gempa yang terjadi. Penggunaan base isolator pada bangunan akan memisahkan bangunan atau struktur dari pergerakan horizontal tanah dengan cara nenyisipkan suatu elemen yang mempunyai kekakuan geser yang relative kecil antara pondasi dengan struktur utama yang berada di atasnya. Kerusakan bangunan akibat gempa secara konvensional dapat dicegah dengan memperkuat struktur bangunan terhadap gaya gempa yang bekerja padanya. Namun, hasil ini sering tidak memuaskan karena kerusakan elemen baik struktural maupun nonstruktural umumnya disebabkan adanya interstory drift (perbedaan simpangan antar tingkat). Untuk memperkecil interstory drift dapat dilakukan dengan memperkaku bangunan dalam arah lateral. tetapi , hal ini akan memperbesar gaya gempa yang bekerja pada bangunan. Metode yang lebih baik adalah dengan meredam energi gempa sampai pada tingkat yang tidak membahayakan bangunan.

Pada tugas akhir ini digunakan base isolator dengan jenis Multi Friction Pendulum System (MFPS). Bangunan yang direncanakan adalah bangunan lima lantai dan sepuluh lantai yang berada pada wilayah gempa Indonesia zona 5. Kedua banguan direncanakan dengan denah yang simetris dengan ukuran dimensi bangunan yang telah ditentukan. Sehingga nantinya struktur-struktur tersebut akan dibandingkan antara struktur dengan MFPS dan struktur tanpa MFPS. Pada tugas akhir ini juga akan dibandingkan antara metode Respon Spektrum dengan metode Time History dengan bantuan perhitungan komputer ETABS v9.2.0. Sehingga pada analisa perhitungannya diperoleh gaya – gaya yang bekerja pada struktur (momen ,lintang dan normal) serta displacement dan periode getar struktur.

DAFTAR ISI

Halaman

KATA PENGANTAR ...i

ABSTRAK ...iv

DAFTAR ISI ...v

DAFTAR GAMBAR ...ix

DAFTAR TABEL ...xi

DAFTAR LAMPIRAN ...xv

DAFTAR NOTASI ...xvi

BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang ...1

1.2 Permasalahan...5

1.3 Tujuan Penulisan ...6

1.4 Pembatasan Masalah ...6

1.5 Metodologi Pembahasan ...8

BAB 2 TEORI DASAR 2.1 Umum ... ...9

2.2 Karakteristik Struktur Bangunan...15

2.2.1 Massa……… …...16

2.2.1.1 Model Lumped Mass………...16

2.2.1.2 Consistent Mass Matrix………...17

2.2.2 Kekakuan ...18

2.2.3 Redaman ... ...19

2.3 Simpangan Drift Akibat Gaya Gempa...19

2.4 Derajat Kebebasan (Degree Of Freedom, DOF) ...21

2.4.1 Persamaan Difrensial pada Struktur SDOF ...21

2.4.2 Persamaan Difrensial SDOF akibat Base Motion...23

2.4.3.1 Matriks Massa, Matriks Kekakuan dan Matriks Redaman..25

2.4.3.2 Matriks Redaman...28

2.4.3.3 Non Klasikal / Non Proporsional Damping...29

2.4.3.4 Klasikal / Proporsional Damping...31

2.4.4 Getaran Bebas Pada Struktur MDOF...32

2.4.4.1 Nilai Karakteristik ( Eigenproblem)...32

2.4.4.2 Frekuensi Sudut (ω) dan Normal Modes...34

2.4.5 Model Analisis ( Mode Superposition Methods)...37

2.4.5.1 Persamaan Difrensial Independen (Uncoupling) ...37

2.4.5.2 Getaran Bebas Tanpa Redaman ...42

2.4.5.3 Getaran Bebas Dengan Redaman ...45

2.4.5.4 Persamaan Difrensial Dependen (Coupling) ...48

2.4.5.5 Penyelesaian Persamaan Difrensial Gerakan ...49

2.4.5.6 Metode β-Newmark ...49

2.4.5.7 Persamaan Difrensial MDOF akibat Base Motion...52

2.5 Respon Spektrum……….. ...56

2.5.1 Model Amplitude Zj dan Model Displacement Yj ...59

2.5.2 Model Seismic Force Fj ...62

2.5.3 Model Storey Shear Vij ...65

2.5.4 Model Storey Drift δi ...65

2.5.5 Model Lateral Displacemant ...66

2.5.6 Model Overturning Moment ...67

2.5.7 Model Base Shear Vi...67

2.5.8 Model Effective Weight ...68

BAB III ANALISA MULTI FRICTION PENDULUM SYSTEM (MFPS) PADA BANGUNAN 3.1 Umum ... ...70

3.2 Multi Friction Pendulum System ... ...71

3.2.2 Tes Meja Getar Struktur Baja Dengan Peredam MFPS………77

3.3 Respon Gempa Linear Pada Struktur Elastik ...82

3.3.1 Persamaan Gerakan………....82

3.3.2 Analisa Sistem………...83

3.3.3 Desain Spektrum Elastis………...87

3.3.4 Jumlah Respon………...90

3.3.5 Perencanaan Bangunan Simetris…………...92

3.3.5.1 Gerakan Translasi Pada Tanah………...92

3.3.5.2 Gerakan Rotasi Pada Tanah ……...…...93

3.3.6 Perencanaan Bangunan Tidak Simetris…...95

3.4 Analisa Linear Untuk Struktur Dengan Banyak Tingkat ...99

3.4.1 Prosedur Analisa ...100

3.4.2 Persamaan Gerakan Pada Struktur Atas ...102

3.5 Aplikasi Multi Friction Pendulum System ...99

BAB 4 APLIKASI DAN PEMBAHASAN 4.1 Pendahuluan ... ...116

4.2 Data Struktur ...116

4.3 Perhitungan Beban Struktur ...120

4.3.1 Perhitungan Beban Untuk Struktur 10 Lantai...120

4.3.2 Perhitungan Beban Untuk Struktur 5 Lantai...123

4.4 Data-data Multi Friction Pendulu System (MFPS) ...126

4.4.1 Perhitungan Kekakuan Linear MFPS Untuk Arah X dan Y ...128

4.4.1.1 Bangunan 10 Lantai………. ...128

4.4.1.2 Bangunan 5 Lantai………..…………. ...129

4.5 Prosedur Perencanaan Bangunan Tahan Gempa Dengan Multi Friction Pendulum System (MFPS) ...130

4.6 Prosedur Analisa ETABS v9.2.0 Input dan Output ...131

4.6.1 Data Input Pada Analisa ETABS v9.2.0 ...131

4.7 Hasil Perhitungan ...141

4.7.1 Momen, Lintang dan Normal Tanpa MFPS Pada Balok dan Kolom...141

4.7.1.1 Pada Struktur 10 Lantai ...141

4.7.1.2 Pada Struktur 5 Lantai ...145

4.7.2 Momen, Lintang dan Normal Dengan MFPS Pada Balok dan Kolom...147

4.7.2.1 Pada Struktur 10 Lantai...147

4.7.2.2 Pada Struktur 5 Lantai...151

4.8 Kontrol Drift Maksimum Berdasarkan SNI 1726-2003 Tanpa Multi Friction Pendulum System (MFPS)...161

4.8.1 Pada Struktur 10 Lantai...162

4.8.2 Pada Struktur 5 Lantai...164

4.9 Perhitungan Rasio Simpangan Antar Tingkat Pada Arah X dan Y Tanpa Multi Friction Pendulum System Struktur 10 Lantai……….165

4.10 Perhitungan Rasio Simpangan Antar Tingkat Pada Arah X dan Y Tanpa Multi Friction Pendulum System Struktur 5 Lantai……..….168

4.11 Kontrol Drift Maksimum Berdasarkan SNI 1726-2003 Dengan Multi Friction Pendulum System (MFPS)………...170

4.11.1 Pada Struktur 10 Lantai...171

4.11.2 Pada Struktur 5 Lantai...173

4.12 Perhitungan Rasio Simpangan Antar Tingkat Pada Arah X dan Y Dengan Multi Friction Pendulum System Struktur 10 Lantai……..174

4.13 Perhitungan Rasio Simpangan Antar Tingkat Pada Arah X dan Y Dengan Multi Friction Pendulum System Struktur 5 Lantai…...….177

4.14 Perbandingan Antara Reaksi Perletakkan Dengan Base Shear Pada Struktur 10 Lantai………..….179

4.14.1 Pada Arah X Tanpa MFPS...179

4.14.2 Pada Arah Y Tanpa MFPS...182

4.14.3 Pada Arah X Dengan MFPS...185

4.15 Perbandingan Antara Reaksi Perletakkan Dengan Base Shear

Pada Struktur 5 Lantai………..……..….191

4.15.1 Pada Arah X Tanpa MFPS...191

4.15.2 Pada Arah Y Tanpa MFPS...194

4.15.3 Pada Arah X Dengan MFPS...197

- 4.16 Perbandingan Nilai Periode Untuk Struktur Tanpa Menggunakan MFPS dan Dengan MFPS………203

4.16.1 Untuk Struktur 10 Lantai...203

4.16.2 Untuk Struktur 5 Lantai...203

BAB V KESIMPULAN DAN SARAN 5.1 Kesimpulan ... ...208

5.2 Saran...209

ABSTRAK

Sejalan dengan perkembangan teknologi bahan / system untuk anti gempa, telah ditemukan suatu perangkat anti seismic yang disebut base isolator. Base isolator adalah teknik pengontrolan terhadap respon gempa pada struktur selama getaran gempa yang terjadi. Penggunaan base isolator pada bangunan akan memisahkan bangunan atau struktur dari pergerakan horizontal tanah dengan cara nenyisipkan suatu elemen yang mempunyai kekakuan geser yang relative kecil antara pondasi dengan struktur utama yang berada di atasnya. Kerusakan bangunan akibat gempa secara konvensional dapat dicegah dengan memperkuat struktur bangunan terhadap gaya gempa yang bekerja padanya. Namun, hasil ini sering tidak memuaskan karena kerusakan elemen baik struktural maupun nonstruktural umumnya disebabkan adanya interstory drift (perbedaan simpangan antar tingkat). Untuk memperkecil interstory drift dapat dilakukan dengan memperkaku bangunan dalam arah lateral. tetapi , hal ini akan memperbesar gaya gempa yang bekerja pada bangunan. Metode yang lebih baik adalah dengan meredam energi gempa sampai pada tingkat yang tidak membahayakan bangunan.

Pada tugas akhir ini digunakan base isolator dengan jenis Multi Friction Pendulum System (MFPS). Bangunan yang direncanakan adalah bangunan lima lantai dan sepuluh lantai yang berada pada wilayah gempa Indonesia zona 5. Kedua banguan direncanakan dengan denah yang simetris dengan ukuran dimensi bangunan yang telah ditentukan. Sehingga nantinya struktur-struktur tersebut akan dibandingkan antara struktur dengan MFPS dan struktur tanpa MFPS. Pada tugas akhir ini juga akan dibandingkan antara metode Respon Spektrum dengan metode Time History dengan bantuan perhitungan komputer ETABS v9.2.0. Sehingga pada analisa perhitungannya diperoleh gaya – gaya yang bekerja pada struktur (momen ,lintang dan normal) serta displacement dan periode getar struktur.

BAB 1 PENDAHULUAN

1.1 LATAR BELAKANG

Wilayah Indonesia dibagi dalam 6 (enam) wilayah gempa dengan

masing-masing tingkat kerawanan terjadinya gempa dan wilayah Indonesia merupakan

wilayah yang sering dilanda gempa karena terletak pada 4 (empat) lempeng

tektonik yaitu lempeng Australia-India, lempeng Euro-Asia, lempeng Pasifik dan

Philipine. Gempa bumi tidak mungkin dicegah dan sulit sekali diramalkan kapan

terjadi, dimana lokasinya dan berapa magnitudenya. Jadi yang harus dilakukan

adalah bagaimana mengatasi atau memperkecil pengaruh kerusakan yang

ditimbulkan oleh gempa bumi.

Pada negara yang merupakan daerah rawan gempa seperti Indonesia

diperlukan perencanaan struktur bangunan yang memperhatikan pengaruh dari

beban-beban luar sehingga bangunan tersebut dapat mampu bertahan dari beban

gempa yang terjadi terhadap bangunan tersebut. Bangunan yang dapat menahan

beban-beban dari luar dapat berasal dari bangunan itu sendiri ataupun beban

akibat kejadian alam. Salah satu dari beban tersebut adalah beban gempa yang

terjadi pada bangunan yang tidak dapat diprediksi secara pasti.

Struktur bangunan yang telah ada telah memperhitungkan berat dari

bangunan tersebut sehingga kekuatan akibat gempa pada bangunan akan sangat

bergantung pada ukuran dan ketinggian bangunan itu sendiri karena itu dalam

perhitungan beban gempa biasanya diambil dari data-data gempa yang telah

BAB 2

TEORI DASAR

2.1 UMUM

Getaran sering dirasakan oleh manusia pada kehidupan sehari-hari. Suatu

benda akan bergetar apabila terdapat sumber energi yang diteruskan sampai ke

benda yang bersangkutan. Gempa bumi misalnya, walaupun tidak termasuk

kejadian sehari-hari juga dapat menimbulkan getaran. Energi mekanik akibat

rusaknya struktur batuan pada peristiwa gempa bumi selanjutnya akan diubah

menjadi energi gelombang yang menggetarkan batuan sekelilingnya. Getaran

batuan akibat gempa bumi selanjutnya diteruskan oleh media tanah sampai pada

permukaan tanah. Tanah yang bergetar akibat gempa akan mengakibatkan

bangunan yang berada di atas tanah ikut bergetar. Kerusakan bangunan sering

terjadi akibat peristiwa gempa bumi seperti ini, khususnya pada daerah-daerah

tertentu.

Gempa bumi merupakan salah satu bagian daripada jenis beban yang dapat

membebani struktur selain beban mati, beban hidup dan beban angin. Beban

gempa memang tidak selalu diperhitungkan dalam perencanaan atau analisa

struktur. Namun bagi struktur yang dibuat pada suatu lokasi dimana gempa bumi

dapat terjadi maka analisa ini harus dibuat.

Kerusakan bangunan akibat gempa bumi dapat diantisipasi dengan

beberapa metode, baik secara konvensional maupun secara teknologi. Pada saat

struktur dari bahaya gempa, yang dikenal denganMulti Friction Pendulum System

(MFPS).

Multi Friction Pendulum System (MFPS) adalah salah satu dari system

isolasi dasar yang telah berkembang sejak penemuan bahan composite teflon

sebagai lapisan permukaan dengan tingkat durabilitas yang tinggi serta koefisien

gesekan yang kecil. Penggunaan base isolator baik secara teoritis maupun

experimental telah terbukti efektif untuk mereduksi gaya gempa yang bekerja

pada struktur bangunan. Hasil percobaan yang pernah dilakukan beberapa ahli

sebelumnya, menunjukkan energi gempa dapat diisolasi oleh kekakuan geser yang

kecil dari isolator. Dengan adanya redaman gesekan yang dihasilkan oleh

mekanisme gesekan dari pergeseran antar muka dapat mereduksi perpindahan

isolator secara efektif. Berhubung kekakuan strukur bangunan atas jauh lebih

besar dari isolator dasar, maka bangunan atas dapat dimodelkan sebagai rigid

body akibat gaya gempa. Jadi ragam pertama hanya menimbulkan deformasi

lateral pada system isolasi dasar.

Friction Pendulum System (FPS) merupakan salah satu sistem base

isolator jenis geser yang telah terbukti secara efisien untuk mereduksi gaya gempa

yang bekerja pada struktur. Sistem ini akan memisahkan bangunan atau struktur

dari komponen horizontal pergerakan tanah dengan menyisipkan bahan isolator

dengan kekakuan geser yang relative kecil antara bangunana atas dengan

pondasinya. Bangunan dengan sistem ini akan mempunyai waktu getar yang lebih

besar dibandingkan dari bangunan konvensional. Akibatnya percepatan gempa

Sistem Friction Pendulum System (FPS) pertama kali dikembangkan

dengan hanya satu permukaan cekung oleh A. Zayas pada tahun 1987 ( Taylor,

W.A dan Igusha, T. 2004 ). Namun, penelitian yang terus menerus dilakukan oleh

para ahli ( Tsai C.S et.al 2003, 2004, Constantinou C.M 2004 ) untuk

meningkatkan efektif dan kinerja isolasi dasar, maka telah melahirkan penemuan

yang disebut Multi Friction Pendulum System (MFPS) yang mempunyai dua

permukaan cekung dan dilengkapi dengan articulted slider. Sistem ini mempunyai

kapasitas tahanan terhadap perpindahan dua kali lebih besar dari FPS.

Penggunaan composite teflon sebagai bahan lapisan permukaan cekung yang

memiliki durabilitas yang sangat tinggi menyebabkan system ini mampu

menahan tegangan tekan yang tinggi dan pembebanan siklis sampai ribuan kali

tanpa mengalami perubahan / kerusakan secara visual. Percobaan beban siklis

yang dilakukan di National Centre for Research Earthquake Engineering (NCREE)

di Taiwan (Tsai C.S et.al 2003) dan di Universitas Buffalo New York

(Constantinou C.M 2004) menunjukkan kurva histeresis loop sangat stabil

walaupun dibebanin ratusan siklis.

Aplikasi penggunaan isolasi seismic pada bangunan penting seperti rumah

sakit, telekomunikasi, pusat komputer, apartement, bangunan kantor, gedung

perkuliahan, bangunan komersial, bangunan berbahaya seperti instalasi nuklir,

bahan kimia dan bangunan bersejarah terus meningkat sejak gempa Kobe dan

Northrigde. Untuk bangunan rumah sakit, pembangkit listrik, telekomunikasi

harus diberi perhatian lebih khusus, berhubung bangunan ini harus tetap berfungsi

Kegunaan base isolator yakni meningkatkan daya tahan struktur terhadap

gempa telah dibuktikan dari percobaan dan study teori sebagai suatu cara yang

efisien.

Beban dinamis adalah beban yang berubah-ubah menurut waktu, arah

maupun posoisinya. Beban dinamis dapat dikatagorikan dalam dua hal yaitu

beban periodik maupun beban non periodik. Dalam hal ini beban dinamis yang

dimaksud adalah beban atau gaya gempa.

Gaya gempa tidak dapat diprediksi kapan datangnya, sehinga ketika

gempa menimpa struktur bangunan maka ada hal yang dapat dilihat. Bangunan itu

tetap kokoh tanpa ada korban jiwa, bangunan rusak tanpa ada korban jiwa, dan

bisa juga bangunan rusak serta terdapat korban jiwa. Gaya gempa adalah

goncangan alamiah bersumber bumi. Goncangan alamiah yang mengguncang

bumi beserta apa saja yang ada di atasnya pada hakekatnya adalah perambatan

energi berwujud gelombang. Energi yang merambat di dalam bumi atau lapisan

tanah atau di dalam air laut menciptakan goncangan pada bumi yang di kenal

gempa bumi atau tsunami. Pada dasarnya telah diketahui bahwa bagian

permukaan bumi kita ini terdiri dari lempeng-lempeng bumi yang disebut

lempeng tektonik (tectonic plate). Oleh energi yang terdapat di dalam bumi

(hotspot, arus konveksi dll.), lempeng-lempeng itu digerakkan satu dengan

lainnya. Lempeng-lempeng tektonik tadi bergerak satu terhadap lainnya dengan

kecepatan antara 2 cm/tahun sampai 15 cm/tahun. Pergerakkan lempeng-lempeng

itu ada yang saling menjauh (berpisah), ada yang saling berpapasan berlawanan

arah. Ada pula yang saling bertemu atau bertubrukkan. Semua jenis pergerakkan

kekuatan gempa yang tersimpan di dalam bumi pada batas-batas pertemuan

lempeng bumi itu. Energi gempa yang paling besar terdapat pada batas pertemuan

atau perbenturan lempeng tektonik. Energi yang tersimpan pada jalur perbenturan

lempeng bumi itu telah menimbulkan gempa bumi besar. Proses tekan menekan

dan desak mendesak diantara massa bumi pada lempeng-lempeng tektonik telah

menciptakan pengumpulan dan penimbunan energi di dalam bumi. Jangka waktu

proses penimbunan dan pelepasan energi yang menimbulkan gempa bumi itu

berlangsung antara 30-600 tahun. Terdapat variasi siklus berulang gempa antara

satu kawasan dengan kawasan lain, ada siklus kejadian gempa bumi 30-50

tahunan, ada 100 tahun, 200 tahun dan 600 tahun. Energi yang terkumpul atau

tersimpan di dalam bumi / massa batuan pada suatu saat tidak mampu lagi ditahan

oleh massa bumi dan akhirnya bumi / batuan itu pecah / remuk / patah atau sobek

(rupture). Pada saat bumi itu remuk atau pecah disaat itulah energi dilepaskan dan

bergerak dalam wujud gelombang. Energi yang bergerak dalam wujud gelombang

yang merambat di dalam tanah di daratan disebut gempa bumi. Dan yang

merambat di dalam air laut disebut tsunami, sedangkan yang merambat di dalam

danau disebut ’seische’.

Permasalahan gaya gempa ini berbeda dengan pembebanan- pembebanan

statis, sehingga dalam perhitungannya gaya gempa tidak mempunyai solusi

tunggal seperti pada gaya statis karena respon dan beban berubah menurut waktu.

Besarnya tingkat pembebanan gempa berbeda-beda dari satu wilayah

kewilayah lain, yang tergantung pada keadaan seismetektonik, geografi dan

geologi setempat. Analisa gempa terutama pada bangunan tinggi perlu dilakukan

Beban gempa yang terutama dalam arah mendatar akan menimbulkan simpangan

(driff) yang perlu dikontrol.

Dalam perencanaan struktur atau bangunan yang mempunyai ketahanan

terhadap gempa dengan tingkat keamanan yang memadai, struktur yang harus

dirancang dapat memikul gaya horizontal atau gaya gempa. Yang harus

diperhatikan adalah bahwa struktur dapat memberikan layanan yang sesuai

dengan perencanaan. Menurut T. Paulay (1988), tingkat layanan dari struktur gaya

gempa terdiri dari tiga, yaitu:

1. Serviceability.

Jika gempa dengan intensitas percepatan tanah yang kecil dalam waktu

ulang yang besar mengenai struktur, disyaratkan tidak mengganggu fungsi

bangunan, seperti aktivitas normal didalam bangunan dan perlengkapan yang ada.

Artinya tidak dibenarkan ada terjadi kerusakan pada struktur baik pada komponen

struktur maupun dalam elemen non-struktur yang ada. Dalam perencanaan harus

diperhatikan kontrol dan batas simpangan (driff) yang dapat terjadi semasa gempa,

serta menjamin kekuatan yang cukup bagi komponen struktur untuk menahan

gaya gempa yang terjadi dan diharapkan struktur masih berprilaku elastis.

2. Kontrol kerusakan.

Jika struktur dikenai gempa dengan waktu ulang sesuai dengan umur atau,

masa rencana bangunan, maka struktur direncanakan untuk dapat menahan gempa

ringan atau gempa kecil tanpa terjadi kerusakan pada komponen struktur ataupun

maupun komponen non-struktur, dan diharapkan struktur dalam batas elastis.

3. Survival

direncanakan membebani struktur, maka struktur direncankan untuk dapat

bertahan dengan tingkat kerusakan yang besar tanpa mengalami kerusakan dan

keruntuhan (collapse). Tujuan utama dari keadaan batas ini adalah untuk

menyelamakan jiwa manusia.

Pengaruh gempa bumi yang sangat merusak struktur bangunan adalah load

pad dari komponen gaya atau getaran horizontal. Getaran horizontal tersebut

menimbulkan gaya reaksi yang besar, bahkan di lokasi puncak atau ujung

bangunan dapat mengalami pembesaran hingga dua kalinya. Bila aliran gaya pada

bangunan itu lebih besar daripada kekuatan struktur maka bangunan itu akan

rusak parah.

Untuk daerah yang rawan gempa bumi dibutuhkan ekstra kewaspadaan

dan solusi teknologi tepat guna yang mampu meminimalkan korban jiwa dan

harta benda. Untuk itu betapa pentingnya penerapan teknologi yang tepat guna.

Dalam hal ini penggunaan sistem Multi Friction Pendulum System (MFPS) sesuai

dengan hal di atas.

2.2 DINAMIK KARAKTERISTIK STRUKTUR BANGUNAN

Pada persamaan difrensial melibatkan tiga properti utama suatu struktur

yaitu massa, kekakuan dan redaman. Ketiga properti struktur itu umumnya disebut

dinamik karakteristik struktur. Properti-properti tersebut sangat spesifik yang

tidak semuanya digunakan pada problem statik. Kekakuan elemen / struktur

adalah salah satu-satunya karakteristik yang dipakai pada problem statik,

2.2.1 Massa

Suatu struktur yang kontinu kemungkinan mempunyai banyak derajat

kebebasan karena banyaknya massa yang mungkin dapat ditentukan. Banyaknya

derajat kebebasan umumnya berasosiasi dengan jumlah massa tersebut akan

menimbulkan kesulitan. Hal ini terjadi karena banyaknya persamaan differensial

yang ada.

Terdapat dua permodelan pokok yang umumnya dilakukan untuk

mendeskripsikan massa struktur.

2.2.1.1 Model Lumped Mass

Model pertama adalah model diskretisasi massa yaitu massa diangggap

menggumpal pada tempat-tempat (lumped mass) join atau tempat-tempat tertentu.

Dalam hal ini gerakan / degree of freedom suatu join sudah ditentukan. Untuk titik

nodal yang hanya mempunyai satu derajat kebebasan / satu translasi maka

nantinya elemen atau struktur yang bersangkutan akan mempunyai matriks yang

isinya hanya bagian diagonal saja. Clough dan Penzien (1993) mengatakan bahwa

bagian off-diagonal akan sama dengan nol karena gaya inersia hanya bekerja pada

tiap-tiap massa. Selanjutnya juga dikatakan bahwa apabila terdapat gerakan rotasi

massa ( rotation degree of freedom ), maka pada model lumped mass ini juga

tidak akan ada rotation moment of inertia. Hal ini terjadi karena pada model ini

massa dianggap menggumpal pada suatu titik yang tidak berdimensi (mass

moment of inertia dapat dihitung apabila titik tersebut mempunyai dimensi fisik).

Dalam kondisi tersebut terdapat matriks massa dengan diagonal mass of moment

Pada bangunan gedung bertingkat banyak, konsentrasi beban akan terpusat

pada tiap-tiap lantai tingkat bangunan. Dengan demikian untuk setiap tingkat

hanya ada satu tingkat massa yang mewakili tingkat yang bersangkutan. Karena

hanya terdapat satu derajat kebebasan yang terjadi pada setiap massa / tingkat,

maka jumlah derajat kebebasan pada suatu bangunan bertingkat banyak akan

ditunjukkan oleh banyaknya tingkat bangunan yang bersangkutan. Pada kondisi

tersebut matriks massa hanya akan berisi pada bagian diagonal saja.

2.2.1.2Model Consistent Mass Matrix

Model ini adalah model yang kedua dari kemungkinan permodelan massa

struktur. Pada prinsip consistent mass matrix ini, elemen struktur akan

berdeformasi menurut bentuk fungsi (shape function) tertentu. Permodelan massa

seperti ini akan sangat bermanfaat pada struktur yang distribusi massanya kontinu.

Apabila tiga derajat kebebasan (horizontal, vertikal dan rotasi)

diperhitungkan pada setiap node maka standar consistent mass matrix akan

menghasilkan full-populated consistent matrix artinya suatu matriks yang

off-diagonal matriksnya tidak sama dengan nol. Pada lumped mass model tidak akan

terjadi ketergantungan antar massa (mass coupling) karena matriks massa adalah

diagonal. Apabila tidak demikian maka mass moment of inertia akibat translasi

dan rotasi harus diperhitungkan.

Pada bangunan bertingkat banyak yang massanya terkonsentrasi pada tiap-tiap

tingkat bangunan, maka penggunaan model lumped mass masih cukup akurat.

Untuk pembahasan struktur MDOF seterusnya maka model inilah (lumped mass)

2.2.2 Kekakuan

kekakuan adalah salah satu dinamik karakteristik struktur bangunan yang

sangat penting disamping massa bangunan. Antara massa dan kekakuan struktur

akan mempunyai hubungan yang unik yang umumnya disebut karakteristik diri

atau Eigenproblem. Hubungan tersebut akan menetukan nilai frekuensi sudut ω, dan periode getar struktur T. Kedua nilai ini merupakan parameter yang sangat

penting dan akan sangat mempengaruhi respon dinamik struktur.

Pada prinsip bangunan geser ( shear building ) balok pada lantai tingkat

dianggap tetap horizontal baik sebelum maupun sesudah terjadi pergoyangan.

Adanya plat lantai yang menyatu secara kaku dengan balok diharapkan dapat

membantu kekakuan balok sehingga anggapan tersebut tidak terlalu kasar. Pada

prinsip desain bangunan tahan gempa dikehendaki agar kolom lebih kuat

dibandingkan dengan balok, namun demikian rasio tersebut tidak selalu linear

dengan kekakuannya. Dengan prinsif shear building maka dimungkinkan

pemakaian lumped mass model. Pada prinsip ini, kekakuan setiap kolom dapat

dihitung berdasarkan rumus yang telah ada.

Pada prinsipnya, semakin kaku balok maka semakin besar kemampuannya

dalam mengekang rotasi ujung kolom, sehingga akan menambah kekuatan kolom.

Perhitungan kekakuan kolom akan lebih teliti apabila pengaruh plat lantai

2.2.3 Redaman

Redaman merupakan peristiwa pelepasan energi ( energi dissipation) oleh

struktur akibat adanya berbagai macam sebab. Beberapa penyebab itu antara lain

adalah pelepasan energi oleh adanya gerakan antar molekul didalam material,

pelepasan energi oleh gesekan alat penyambung maupun system dukungan,

pelepasan energi oleh adanya gesekan dengan udara dan pada respon inelastic

pelepasan energi juga terjadi akibat adanya sendi plastis. Karena redaman

berfungsi melepaskan energi maka hal ini akan mengurangi respon struktur.

2.3 SIMPANGAN (DRIFF) AKIBAT GAYA GEMPA

Simpangan (driff) adalah sebagai perpindahan lateral relative antara dua

tingkat bangunan yang berdekatan atau dapat dikatakan simpangan mendatar

tiap-tiap tingkat bangunan (horizontal story to story deflection).

Simpangan lateral dari suatu system struktur akibat beban gempa adalah

sangat penting yang dilihat dari tiga pandangan yang berbeda, menurut Farzat

Naeim (1989):

1. Kestabilan struktur (structural stability)

2. Kesempurnaan arsitektural (architectural integrity) dan potensi kerusakan

bermacam-macam komponen bukan struktur

3. Kenyaman manusia (human comfort), sewaktu terjadi gempa bumi dan

Dalam pada itu juga, Richard N. White (1987) berpendapat bahwa dalam

perencanaan bangunan tinggi selalu dipengaruhi oleh pertimbangan lenturan

(deflection), bukannya oleh kekuatan (strength).

Simpangan antar tingkat dari suatu titik pada suatu lantai harus ditentukan

sebagai simpangan horizontal titik itu, relative terhadap titik yang sesuai pada

lantai yang berada dibawahnya. Perbandingan antar simpangan antar tingkat dan

tinggi tingkat yang bersangkutan tidak boleh melebihi 0.005 dengan ketentuan

dalam segala hal simpangan tersebut tidak boleh lebih dari 2 cm. Terhadap

simpangan antar tingkat telah diadakan pembatasan-pembatasan untuk menjamin

agar kenyamanan bagi para penghuni gedung tidak terganggu dan juga untuk

mengurangi momen-momen sekunder yang terjadi akibat penyimpangan garis

kerja gaya aksial didalam kolom-kolom (yang lebih dikenal dengan P-delta).

Berdasarkan UBC 1997 bahwa batasan story driff atau simpangan antar

tingkat adalah sebagai berikut:

Untuk periode bangunan yang pendek T< 0.7 detik, maka simpangan antar tingkat

Δm ≤ 0.0025Ih atau 2.5% dari tinggi bangunan.

Untuk periode bangunan yang pendek T> 0.7 detik, maka simpangan antar tingkat

2.4 DERAJAT KEBEBASAN (DEGREE OF FREEDOM, DOF)

Derajat kebebasan (degree of freedom) adalah derajat independensi yang

diperlukan untuk menyatakan posisi suatu system pada setiap saat. Pada masalah

dinamika, setiap titik atau massa pada umumnya hanya diperhitungkan berpindah

tempat dalam satu arah saja yaitu arah horizontal. Karena simpangan yang terjadi

hanya terjadi dalam satu bidang atau dua dimensi, maka simpangan suatu massa

pada setiap saat hanya mempunyai posisi atau ordinat tertentu baik bertanda

negative ataupun bertanda positif. Pada kondisi dua dimensi tersebut, simpangan

suatu massa pada saat t dapat dinyatakan dalam koordinat tunggal yaitu Y(t).

Struktur seperti itu dinamakan struktur dengan derajat kebebasan tunggal (SDOF

system).

Dalam model system SDOF atau berderajat kebebasan tunggal, setiap

massa m, kekakuan k, mekanisme kehilangan atau redaman c, dan gaya luar yang

dianggap tertumpu pada elemen fisik tunggal.

Struktur yang mempunyai n-derjat kebebasan atau struktur dengan derajat

kebebasan banyak disebut multi degree of freedom (MDOF). Akhirnya dapat

disimpulkan bahwa jumlah derajat kebebasan adalah jumlah koordinat yang

diperlukan untuk menyatakan posisi suatu massa pada saat tertentu.

2.4.1 Persamaan Differensial Pada Struktur SDOF

System derajat kebebasan tunggal (SDOF) hanya akan mempunyai satu

koordinat yang diperlukan untuk menyatakan posisi massa pada saat tertentu yang

ditinjau. Bangunan satu tingkat adalah salah satu contoh bangunan derajat

Pada gambar 2.1 tampak model matematik untuk SDOF system. Tampak

bahwa P(t) adalah beban dinamik yaitu beban yang intensitasnya merupakan

fungsi dari waktu. Struktur seperti pada gambar 2.1.a kemudian digambar secara

ideal seperti tampak pada gambar 2.1.b yaitu gambar yang telah dimodelkan.

Notasi m, k, dan c seperti yang tampak pada gambar berturut-turut adalah massa,

kekakuan kolom dan redaman.

Gambar 2.1 Permodelan Struktur SDOF

Apabila beban dinamik P(t) bekerja kearah kanan, maka akan terdapat

perlawanan pegas, damper dan gaya redaman seperti pada gambar 2.1.c.

Gambar 2.7.d. adalah gambar keseimbangan dinamik yang bekerja pada massa m.

Gambar-gambar tersebut umumnya disebut free body diagram. Berdasarkan

prinsip keseimbangan dinamik pada free body diagram tersebut, maka dapat

diperoleh hubungan,

dimana:

fD

f

= c.ý

S

Apabila persamaan (2.4.1) disubtitusikan ke persamaan (2.4.2), maka akan

diperoleh

= k.y (2.4.2)

mÿ+ cý+ ky = p(t) (2.4.3)

Persamaan (2.4.3) adalah persamaan differensial gerakan massa suatu

struktur SDOF yang memperoleh pembebanan dinamik p(t). pada problema

dinamik.

Yang penting untuk diketahui adalah simpangan horizontal tingkat atau dalam

persamaaan tersebut adalah y(t).

2.4.2 Persamaan Difrensial Struktur SDOF akibat Base Motion

Beban dinamik yang umum dipakai pada analisa struktur selain beban

angin adalah beban gempa. Gempa bumi akan mengakibatkan permukaan tanah

menjadi bergetar yang getarannya direkam dalam bentuk aselogram. Tanah yang

bergetar akan menyebabkan semua benda yang berada di atas tanah akan ikut

bergetar termasuk struktur bangunan. Di dalam hal ini masih ada anggapan

bahwa antara fondasi dan tanah pendukungnya bergerak secara bersama-sama

atau fondasi dianggap menyatu dengan tanah. Anggapan ini sebetulnya tidak

sepenuhnya benar karena tanah bukanlah material yang kaku yang mampu

menyatu dengan fondasi. Kejadian yang sesungguhnya adalah bahwa antara tanah

dan fondasi tidak akan bergerak secara bersamaan. Fondasi masih akan bergerak

rumit karena sudah memperhitungkan pengaruh tanah terhadap analisis struktur

yang umumnya disebut soil-structure interaction analysis.

Untuk menyusun persamaan difrensial gerakan massa akibat gerakan tanah

maka anggapan di atas tetap dipakai, yaitu tanah menyatu secara kaku dengan

kolom atau kolom dianggap dijepit pada ujung bawahnya. Pada kondisi tersebut

ujung bawah kolom dan tanah dasar bergerak secara bersamaan. Persamaan

difrensial gerakan massa struktur SDOF akibat gerakan tanah selanjutnya dapat

dirturunkan dengan mengambil model seperti pada gambar 2.2.

Gambar 2.2 Struktur SDOF Akibat Base Motion

Berdasarkan pada free body diagram seperti gambar di atas maka

deformasi total yang terjadi adalah

Dari free body diagram yang mengandung gaya inersia f1

f

tampak bahwa

persamaan kesetimbangannya menjadi

I + fD + fS

dimana inersia adalah,

= 0 (2.4.5)

fI = myt

Dengan mensubstisusikan persamaan (2.4.2) dan (2.4.6) ke (2.4.4) dan

(2.4.6),sehingga diproleh persmaaannya sebagai berikut,

(2.4.6)

my + cy + ky= - mÿg

Persamaan tersebut disebut persamaan difrensial relative karena gaya

inersia, gaya redam dan gaya pegas ketiga-tiganya timbul akibat adanya

simpangan relative. Ruas kanan pada persamaan (2.4.7) disebut sebagai beban

gempa efektif atau beban gerakan tanah efektif. Ruas kanan tersebut seolah

menjadi gaya dinamik efektif yang bekerja pada elevasi lantai tingkat. Kemudian

gaya luar ini akan disebut sebagai gaya efektif gempa:

(t) (2.4.7)

Peef (t) - mÿg (t). (2.4.8)

2.4.3 Persamaan Difrensial Struktur MDOF

2.4.3.1 Matriks Massa, Matriks Kekakuan dan Matriks Redaman

Untuk menyatakan persamaan diferensial gerakan pada struktur dengan

derajat kebebasan banyak maka dipakai anggapan dan pendekatan seperti pada

struktur dengan derajat kebebasan tunggal SDOF. Anggapan seperti prinsip shear

building masih berlaku pada struktur dengan derajat kebebasan banyak (MDOF).

keseimbangan dinamik (dynamic equilibrium) pada suatu massa yang ditinjau.

Untuk memperoleh persamaan tersebut maka diambil model struktur MDOF.

Struktur bangunan gedung bertingkat 3, akan mempunyai 3 derajat

kebebasan. Sering kali jumlah derajat kebebasan dihubungkan secara langsung

dengan jumlahnya tingkat. Persamaan diferensial gerakan tersebut umumnya

disusun berdasarkan atas goyangan struktur menurut first mode atau mode

pertama seperti yang tampak pada garis putus-putus. Masalah mode ini akan

dibicarakan lebih lanjut pada pembahasan mendatang. Berdasarkan pada

keseimbangan dinamik pada free body diagram. maka akan diperoleh :

0 ) ( ) ( )

( _{2 1 2 2 1 1}

2 1 1 1 1 1

1y +k y +c y −k y −y −c y −y −F t =

m     (2.4.9)

0 ) ( ) ( ) ( ) ( )

( _{2 1 2 2 1 3 2 1 2 3 2 2}

2 2

2y +k y −y +c y −y −k y −y −c y −y F t =

m      (2.4.10)

0 ) ( ) ( )

( _{2 1 3 3 2 1}

3 3

3y +k y −y + c y −y −F t =

m    (2.4.11)

Pada persamaan-persamaan tersebut diatas tampak bahwa keseimbangan

dinamik suatu massa yang ditinjau ternyata dipengaruhi oleh kekakuan, redaman

dan simpangan massa sebelum dan sesudahnya. Persamaan dengan sifat-sifat

seperti itu umumnya disebut coupled equation karena persamaan-persamaan

tersebut akan tergantung satu sama lain. Penyelesaian persamaan coupled harus

dilakukan secara simultan artinya dengan melibatkan semua persamaan yang ada.

Pada struktur dengan derajat kebebasan banyak, persamaan diferensial gerakannya

merupakan persamaan yang dependent atau coupled antara satu dengan yang lain.

Selanjutnya dengan menyusun persamaan-persamaan di atas menurut

parameter yang sama (percepatan, kecepatan dan simpangan) selanjutnya akan

) ( ) ) ( )

( _{1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1}

1

1y c c y c y k k y k y F t

m  + +  −  + + − = (2.4.12)

) ( )

( )

( 2 3 2 3 3 1 2 3 2 3 3 2

1 2 2

2y c y c c y c y y k k y k y F t

m  −  + +  −  + + − = (2.4.13)

) ( 3 3 3 2 3 3 3 2 3 3

3y c y c y k y k y F t

m  −  +  − + = (8.2) (2.4.14)

Persamaan-persamaan di atas dapat ditulis dalam bentuk matriks sebagai berikut :

        =                   − − + − − + +                   − − + − − + +                   ) ( ) ( ) ( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 2 1 3 2 1 3 3 3 3 2 2 2 2 1 3 2 1 3 3 3 3 2 2 2 2 1 3 2 1 3 2 1 t F t F t F y y y k k k k k k k k k y y y c c c c c c c c c y y y m m m            

(Pers. 2.4.14 dapat ditulis dalam matriks yang lebih kompleks,

[M]{Ÿ} + [C]{Ỳ} + [K]{Y} = {F(t)} (2.4.15)

Yang mana [M], [C] dan [K] berturut-turut adalah mass matriks, damping matriks

dan matriks kekakuan yang dapat ditulis menjadi,

[M] =           3 2 1 0 0 0 0 0 0 m m m

, [C] =

          − − + − − + 3 3 3 3 2 2 2 2 1 0 0 c c c c c c c c c , [K] =           − − + − − + 3 3 3 3 2 2 2 2 1 0 0 k k k k k k k k k (2.4.16)

Sedangkan {Ÿ}, {Ỳ} dan {Y} dan {F(t)} masing-masing adalah vektor percepatan, vektor kecepatan, vektor simpangan dan vektor beban, atau,

{Ϋ} =         3 2 1 y y y      

, {Y} =         3 2 1 y y y   

, {Y} =         3 2 1 y y y

dan {F(t)} =

Secara visual Chopra (1995) menyajikan keseimbangan antara gaya dinamik, gaya

pegas, gaya redam dan gaya inersia seperti pada gambar 2.3

Gambar 2.3 Keseimbangan Gaya Dinamik dengan fS, fD, dan f1

(Chopra, 1995)

2.4.3.2 Matriks Redaman

Pada persamaan diferensial di atas, maka tersusunlah berturut-turut

matriks massa, matriks redaman dan matriks kekakuan. Sebagaimana telah

dibahas sebelumnya bahwa kekakuan kolom sudah dapat dihitung secara lebih

pasti. Kekakuan kolom dapat dihitung berdasarkan model kekakuan balok yang

dipakai. Dengan demikian matriks kekakuan sudah dapat disusun dengan jelas.

Pada bagian lain yang sudah dibahas adalah massa struktur. Apabila model

distribusi massa struktur sudah dapat dikenali dengan baik, maka massa setiap

derajat kebebasan juga dapat dihitung dengan mudah. Akhirnya matriks massa

juga dapat disusun secara jelas. Maka sesuatu yang perlu dibahas lebih lanjut

adalah matriks redaman. Sebelum menginjak matriks redaman maka akan dibahas

2.4.3.3 Non Klasikal / Non Proporsional Damping

Apabila matriks massa dan matriks kekakuan telah dapat disusun, maka

selanjutnya tinggallah matriks redaman. Pada struktur SDOF, koefisien redaman

c dapat dihitung yaitu merupakan produk antara rasio antara redaman-redaman

kritik. Pada Bab III telah dibahas tentang sistem redaman yaitu redaman klasik

(clasiccal damping) dan redaman non-klasik (non clasiccal damping). Damping

non-klasik dapat tergantung pada frekuensi (frequency dependent). Clough dan

Penzien (1993) memberikan contoh damping non-klasik.

Pada gambar 2.4.a tampak kombinasi antara struktur beton di bagian

bawah misalnya dan struktur baja pada bagian atas. Jenis bahan akan

mempengaruhi rasio redaman. Antara struktur beton dan struktur baja akan

mempunyai perbedaan rasio redaman yang cukup signifikan. Oleh karena itu

sistem struktur mempunyai rasio redaman yang berbeda. Prinsip non-klasikal

damping akan berlaku pada struktur tersebut. Pada gambar 2.4.b adalah sistem

struktur yang memperhitungkan efek / pengaruh tanah dalam analisis struktur.

Analisis struktur seperti itu biasanya disebut analisis interaksi antara tanah dengan

bangunan (soil-structure interaction analysis). Struktur tanah umumnya

mempunyai kapasitas meredam energi atau mempunyai rasio redaman yang jauh

lebih besar daripada bangunan atas. Disamping itu interaksi antara tanah dan

fondasi sebenarnya adalah interaksi frequency dependent, artinya kualitas

Gambar 2.4 Struktur Dengan Damping Non-Klasik (Clough & Pensien, 1993)

Apabila interaksi antara tanah dengan struktur dipengaruhi frekuensi,

maka kekakuan dan redaman interaksi juga frequency dependent. Pada kondisi

tersebut sistem struktur tidak akan mempunyai standar mode shapes (akan dibahas

kemudian). Dengan memperhatikan kenyataan-kenyataan seperti itu maka ada

empat hal yang perlu diperhatikan. Pertama rasio redaman struktur atas yang

dipengaruhi oleh level respon, kedua rasio redaman pada stuktur atas dan bawah

sangat berbeda, ketiga rasio redaman struktur bawah tergantung pada frekuensi

beban dan keempat sistem struktur tidak akan mempunyai standar mode shapes.

Apabila analisis struktur akan memperhatikan hal itu semua, maka problemnya

tidak hanya terletak pada redaman tetapi penyelesaian yang komprehensif

terhadap sistem struktur. Penyelesaian soil-structure interaction pada bangunan

bertingkat banyak sungguhlah tidak sederhana. Oleh karena itu memperhitungkan

2.4.3.4 Klasikal / Proposional Damping

Damping dengan sistem ini relatif sederhana bila dibanding dengan

non-klasikal damping. Namun demikian penggunaan sistem damping seperti ini juga

terbatas, yaitu hanya dipakai pada analisis struktur yang tidak memperhatikan

interaksi antara tanah dengan bangunan. Ada juga yang memakainya, namun hal

itu disertai dengan anggapan-anggapan. Analisis struktur yang menggunakan

damping jenis ini adalah analisis struktur elastik maupun inelastik yang mana

struktur bangunan dianggap dijepit pada dasarnya.

Pada analisis dinamik yang menggunakan superposisi atas persamaan

independen (uncoupled modal superposition method) maka masih dapat dipakai

prinsip ekivalen damping rasio, yaitu yang dinyatakan dalam bentuk,

Cj = 2 ξj Mj ωj

yang mana C

(2.4.18)

j, Mj adalah suatu simbol yang berasosiasi dengan mode j, ξ dan ωj

Untuk menyederhanakan persoalan umumnya dipakai rasio redaman yang

konstan, artinya nilai rasio redaman diambil sama untuk semua mode. Apabila hal

ini telah disepakati maka analisis dinamik struktur dengan modal analis tidak

memerlukan matriks redaman. Cara ini mempunyai kelemahan, karena pada mode

yang lebih tinggi umumnya frekuensi sudut ω dan rasio redaman ξ akan lebih

besar.

berturut-turut adalah rasio redaman dan frekuensi sudut mode ke-j.

Pada analisis dinamik yang melakukan integrasi secara langsung dan

analisis dinamik inelastik, maka konsep ekivalen damping ratio sebagaimana

ini diperlukan suatu matriks redaman, dan oleh karenanya matriks redaman perlu

disusun. Didalam analisis tersebut damping matriks disusun berdasarkan satu dan

dua nilai proporsional damping. Terdapat beberapa sistem redaman proporsional

yang dapat disusun yang secara skematis ditunjukkan oleh gambar 2.5

Gambar 2.5 Jenis-Jenis Proporsional Damping

2.4.4 Getaran Bebas Pada Struktur MDOF 2.4.4.1 Nilai Karakteristik (Eigenproblem)

Sebagaimana disebut di atas bahwa walaupun getaran bebas (free vibration

system) pada kenyataannya jarang terjadi pada struktur MDOF, tetapi membahas

jenis getaran ini akan diperoleh suatu besaran/karakteristik dari struktur yang

bersangkutan yang selanjutnya akan sangat berguna untuk

pembahasan-pembahasan respon struktur berikutnya. Besaran-besaran tersebut terutama adalah

frekuensi sudut ω, periode getar T, frekuensi alam f dan normal modes.

Pada getaran bebas di struktur yang mempunyai derajat kebebasan banyak

(MDOF), maka matriks persamaan diferensial gerakannya adalah seperti pada

persamaan 8.8), dengan nilai ruas kanan sama dengan nol atau,

Telah dibahas sebelumnya bahwa frekuensi sudut pada struktur dengan

redaman (damped frequency) ωd

[M]{Ÿ} + [K]{Y} = 0 (2.4.20) nilainya hampir sama dengan frekuensi sudut

pada struktur yang dianggap tanpa redaman ω. Hal ini akan diperoleh apabila nilai

damping ratio ξ relatif kecil. Apabila hal ini diadopsi untuk struktur dengan

derajat kebebasan banyak, maka untuk nilai C = 0, pers. 2.4.19 akan menjadi,

Karena pers. 2.4.20 adalah persamaan diferensial pada struktur MDOF

yang dianggap tidak mempunyai redaman, maka sebagaimana penyelesaian

persamaan diferensial yang sejenis pada pembahasan-pembahasan di depan, maka

penyelesaian persamaan tersebut diharapkan dalam fungsi harmonik menurut

bentuk,

Y = {Ф}i

Ý = - ω{Ф}

sin (ωt)

i

Ÿ = - ω

cos (ωt) 2_{{Ф}isin (ωt)}

(2.4.21)

Yang mana {Ф}i

- ω

adalah suatu koordinat masa pada mode yang ke-i. Substitusi

pers. 2.4.21 ke dalam pers. 2.4.20 selanjutnya akan diperoleh,

2_{[M] {Ф}i}

{[K] - ω

sin (ωt) + [K] sin (ωt) = 0 2_[M]}{Ф}

i = 0 (2.4.22)

Pers.2.4.22 adalah suatu persamaan yang sangat penting dan biasa disebut

persamaan eigenproblem atau karakteristik problem atau ada juga yang menyebut

eigenvalue problem. Pers. 2.4.22 tersebut adalah persamaan simultan yang harus

dicari penyelesaiannya. Salah satu cara yang dapat dipakai untuk menyelesaikan

Gabriel Cramer adalah salah satu ahli matematika yang berasal dari Swiss. Dalil

tersebut menyatakan bahwa penyelesaian persamaan simultan yang homogen akan

ada nilainya apabila determinan dari matriks yang merupakan koefisien dari

vektor {Ф}i

|[K] - ω

adalah nol, sehingga,

2

Jumlah mode pada struktur dengan derajat kebebasan banyak biasanya dapat

dihubungkan dengan jumlah massa. Mode itu sendiri adalah jenis / pola / ragam

getaran/ goyangan suatu struktur bangunan. Mode ini hanya merupakan fungsi

dari properti dinamik dari struktur yang bersangkutan (dalam hal ini adalah hanya

massa dan kekakuan tingkat) dan bebas dari pengaruh waktu dan frekuensi

getaran. Dengan adanya hubungan antara jumlah mode dengan jumlah massa

struktur, maka bangunan yang mempunyai 5 tingkat misalnya, akan mempunyai 5

derajat kebebasan dan akan mempunyai 5 jenis ”mode” gerakan dan akan

mempunyai 5 nilai frekuensi sudut yang berhubungan langsung dengan jenis /

nomor mode nya. Apabila jumlah derajat kebebasan adalah n, maka persamaan

9.5) akan menghasilkan suatu polinomial pangkat n yang selanjutnya akan

menghasilkan ω

[M]| = 0 (2.4.23)

12 untuk i = 1, 2,3 ...n. Selanjutnya, substitusi masing-masing

frekuensi ω1 ke dalam persamaan 9.4 akan diperoleh nilai-nilai Ф1, Ф2,... Фn.

2.4.4.2 Frekuensi Sudut (ω) dan Normal Modes

Sebagaimana dijelaskan sebelumnya, didalam menghitung frekuensi sudut

untuk struktur yang mempunyai derajat kebebasan banyak (MDOF), diambil suatu

Untuk menghitung dan sekaligus menggambar normal modes maka diambil suatu

model struktur seperti pada gambar berikut.

Gambar 2.6 Bangunan 2-DOF dan Model Matematika

Setiap struktur yang dibebani dengan beban dinamik akan mengalami

goyangan. Untuk struktur derajat kebebasan banyak, maka struktur yang

bersangkutan akan mempunyai banyak ragam / pola goyangan. Normal modes

adalah suatu istilah yang sering dipakai pada problem dinamika struktur, dan kata

tersebut diterjemahkan sebagai ragam/pola goyangan.

Kembali pada persoalan inti, suatu persamaan diferensial gerakan dapat

diperoleh dengan memperhatikan free body diagram seperti pada gambar 9.1. c

dan diperoleh,

0 ) ( _{2 1}

2 1 1 1

1y +k y −k y −y =

m 

0 ) ( _{2 1}

2 2

2y +k y −y =

m  (2.4.24)

Pers 2.4.24 dapat ditulis dalam bentuk yang sederhana yaitu,

0 )

( _{1 2 2 2 2}

1

1y + k +k y −k y =

m 

0 2 2 1 2 2

2y − k y +k y =

Pers 2.4.25 dapat ditulis dalam bentuk matriks yaitu,       =             + − +             0 0 0 ) ( 0 0 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 y y k k k k y y m m     (2.4.26)

Selanjutnya persamaan Eigenproblem atas pers. 2.4.26 adalah,

      =               − − − − + 0 0 ) ( 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 1 θ θ ω ω m k k k m k k (2.4.27) Dengan Ф1 2 2 2 2 2 1 2 2 1 ) ( m k k k m k k ω ω − − − − +

adalah suatu nilai / ordinat yang berhubungan dengan massa ke-i pada

ragam / pola goyangan massa ke-i. Seperti dijelaskan sebelumnya bahwa pers.

2.4.27 akan ada penyelesaiannya apabila dipenuhi nilai determinan,

= 0 (2.4.28)

Apabila 2.4.28 tersebut diteruskan maka nilai determinannya adalah,

m1 m2 ω4 – {(k1 + k2) m2 – k2m1} ω2 + (k1 + k2) k2 – k22 = 0

(2.4.29)

Struktur dianggap tidak mempunyai redaman sehingga periode getar dicari

sebenarnya adalah merupakan undamped free vibration periods. Sebagaimana

disampaikan pada pembahasan struktur SDOF bahwa periode getar ini akan

sedikit lebih kecil dibanding dengan periode getar yang mana redaman struktur

diperhitungkan (ingat ωd < ω, sehingga T < Td

Selain daripada itu nilai-nilai mode shapes juga tidak dipengaruhi oleh

n n n n n n Z Z Z Z Y Z Z Z Z Y Z Z Z Z Y φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ + + + + = + + + + = + + + + = ... ... ... ... ... ... ... ... ... 2 3 33 2 23 1 31 3 2 3 32 2 22 1 21 2 1 3 13 2 12 1 11 1

maka mode shapes merupakan nilai untuk struktur yang bersifat elastik, atau

hanya struktur yang elastiklah yang mempunyai nilai mode shapes. Juga tampak

bahwa nilai mode shapes tidak dipengaruhi oleh frekuensi beban. Dengan

demikian apabila disimpulkan bahwa nilai-nilai mode shapes adalah :

a. bebas dari pengaruh redaman,

b. bebas dari pengaruh waktu

c. bebas dari pengaruh frekuensi beban dan

d. hanya untuk struktur yang elastik

2.4.5 Getaran Bebas Pada Struktur MDOF

2.4.5.1 Persamaan Difrensial Independen (Uncoupling)

Pada kondisi standar shear building, struktur yang mempunyai n-derajat

kebebasan akan mempunyai n-modes atau pola/ragam goyangan. Pada prinsip ini,

masing-masing modes akan memberikan kontribusi pada simpangan horizontal

tiap-tiap massa seperti ditunjukkan secara visual pada gambar 2.8 (Clough dan

Penzien, 1993). Pada prinsip ini, simpangan massa ke-i atau Yi dapat diperoleh

dengan menjumlahkan pengaruh atau kontribusi tiap-tiap modes. Kontribusi mode

ke-j terhadap simpangan horizontal massa ke-i tersebut dinyatakan dalam produk

antara φij dengan suatu modal aplitudo Zj atau seluruh kontribusi tersebut

[image:40.595.177.448.215.491.2]

[ ]

                                = nn nn n n n n n Z Z Z Z Y .. .. .. .. 3 2 1 ... 3 2 1 3 ... 33 32 31 11 ... 23 22 21 1 13 12 11 φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ (2.4.40)

Pers. 2.4.40 juga dapat ditulis menjadi,

(2.4.41)

Gambar 2.7 Prinsip Metode Superposisi

Suku pertama, kedua, ketiga dan seterusnya sampai suku ke-n pada ruas kanan

pers. 2.4.40 diatas adalah kontribusi mode pertama, kedua, ketiga dan seterusnya

sampai kontribusi mode ke-n. sebagai perjanjian, massa struktur MDOF diberi

indeks m, dengan i = 1,2,3,… m, sedangkan mode diberi indeks shape φij adalah

ordinat mode ke-j untuk massa ke-i.

Pers. 2.4.41 tersebut dapat ditulis dalam bentuk yang lebih kompak.

Derivative pertama dan kedua pers. 2.4.42 tersebut adalah,

[ ]

[ ]

_   =         =     .. .. . . Z Y Z Y φ φ (2.4.43)

Subtitusi pers. 2.4.42 dan pers. 2.4.43 kedalam pers. 2.4.40 maka akan diperoleh,

[ ][ ]

..

[ ]

{ }

.

[ ][ ]

{ }

[ ]

{}

..

1 y_t M Z K Z C Z

M + =

    +     _{φ φ}

φ (2.4.44)

Pers. 2.4.44 sebetulnya adalah 1- set persamaan simultan dependent

non-homogen.

Untuk dapat mentransfer persamaan dependent menjadi persamaan independen,

maka pers. 2.4.44 premultiply dengan transpose suatu mode {φ}T sehingga

diperoleh,

{ }

T

[ ][ ]

M Z

{ }

T

[ ][ ]

C Z

{ }

T

[ ][ ]

K

{ } { }

Z T

[ ]

M

{}

y_t

.. . .. 1 φ φ φ φ φ φ φ + =−     +   

 _(2.4.45)

Untuk pembahasan awal akan ditinjau pengaruh mode ke-1 saja. Misalnya

diambil struktur yang mempunyai 3-derajat kebebasan, maka perkalian suku

pertama pers. 2.4.45 sebenarnya adalah berbentuk,

{

}

                                  .. 3 .. 2 .. 1 33 32 31 23 22 21 13 12 11 2 2 1 31 12 11 0 0 0 0 0 0 Z Z Z m m m φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ

φ (2.4.46)

Menurut contoh sebelumnya telah terbukti bahwa hubungan orthogonal

akan terbukti apabila i tidak sama dengan j. dengan demikian untuk mode ke-1

{

}

.. 1 3 2 1 2 2 1 31 12 11 0 0 0 0 0 0 Z m m m                         φ φ φ φ φ

φ (2.4.47)

Untuk mode ke-j secara umum persamaan 2.4.47 juga dapat ditulis dengan,

{ }

T_j

[ ]

M

{ }

_jZj

.. φ

φ (2.4.48)

Cara seperti diatas juga berlaku untuk suku ke-2 dan ke-3 pada persamaan

2.4.43 Dengan demikian setelah diperhatikan hubungan orthogonal pers. 2.4.45

akan menjadi,

{ }

[ ]

{ }

..

{ }

[ ]

{ }

.

{ }

[ ]

{ }

{ }

[ ]

{}

.. 1 _t T j j j T j j j T j

jZ C Z K M y

M

Z

j φ φ φ φ

φ φ

φ + + =− (2.4.49)

Pers. 2.4.49 adalah persamaan deferensial yang bebas/independent antar

satu dengan yang lain. Persamaan tersebut diperoleh setelah diterapkannya

hubungan orthogonal, baik orthogonal untuk matriks massa, matriks redaman dan

matriks kekakuan. Sekali lagi bahwa apabila i tidak sama dengan j maka perkalian

suku-suku pada pers. 2.4.45 akan sama dengan nol, kecuali untuk i = j. Dengan

demikian untuk n-derajat kebebasan independent/ uncoupling. Dengan

sifat-sifat seperti itu maka penyelesaian persamaan diferensial dapat diselesaikan

untuk setiap pengaruh mode.

Berdasarkan pers. 2.4.49 maka dapat didefenisikan suatu generalisasi

massa (generalized mass), redaman dan kekakuan sebagai berikut,

{ }

[ ]

{ }

{ }

[ ]

{ }

{ }

T

[ ]

{ }

Misalnya bangunan bertingkat-3, maka orde perkalian matriks pada

pers. 2.4.40 adalah 1x3 x 3X3 3x1 = 1x1. artinya pers. 2.4.50 adalah satu

persamaan independent untuk mode ke-j. dengan demikian dengan memakai

pers. 2.4.50 maka persamaan 2.4.49 akan menjadi,

t j j j j j j

j Z

C

Z

K

Z

P

y

M

* .. * . * * ..

= +

+ (2.4.51)

dengan,

{ }

T_j

[ ]

M

j

P

* = φ

(2.4.52)

Pada pembahasan sebelumnya diperoleh suatu hubungan bahwa,

j j j cr j j M C C C ω ξ * * * 2 =

= maka _{j j}

cr j C C ω ξ 2 * = * * 2 j j j M K =

ω dan _*

* j j j M P =

Γ (2.4.53)

Dengan hubungan-hubungan seperti pada pers.2.4.53 tersebut, maka

pers. 2.4.51 akan menjadi,

t j t j j j

j Z y

Z.. +2ξ ω . +

ω

2

Z

=−Γ.. (2.4.54)

dan

{ }

[ ]

{ }

[ ]

{ }

∑

∑

= = = = = Γ m i i j m i i j j T j T j j j m m M M j

M

P

1 2 1 * * _φ φ φ

φφ (2.4.55)

Pers. 2.4.55 sering disebut dengan partisipasi setiap mode atau

participation factor, Selanjutnya pers. 2.4.54 juga dapat ditulis menjadi,

.. 2 . 2 .. t j j j j j j j j

j Z

Z

_y

Z

_{+ =}

Γ +

Apabila diambil suatu notasi bahwa,

Γ

Γ

Γ

= = = j j j j j j j j

j dan

g

Z

Z g Z

g , ,

. . ..

..

(2.4.57)

Maka pers. 2.4.57 akan menjadi,

.. . .. 2 2 _t j j j j j

j g y

g + ξ ω +ω

g

= (2.4.58)

Pers. 2.4.58 adalah persamaan diferensial yang independent karena

persamaan tersebut hanya berhubungan dengan tiap-tiap mode. Pers. 2.4.58

adalah mirip dengan persamaan diferensial SDOF seperti telah dibahas

sebelumnya.

Nilai partisipasi setiap mode akan dihitung dengan mudah setelah koordinat

setiap mode φ telah diperoleh. Nilai gi, .

gi dan ..

gi dapat dihitung dengan integrasi

secara numerik. Apabila nilai tersebut telah diperoleh maka nilaiZi dapat dihitung.

Dengan demikian simpangan horizontal setiap tingkat akan dapat dihitung.

2.4.5.2Getaran Bebas Tanpa Redaman

Untuk membahas pemakaian modal analis pada struktur getaran bebas

tanpa redaman, maka perlu dikemukakan prinsip-prinsip pokok yang akan

dilakukan. Seperti telah disampaikan pada pers. 10.1) bahwa simpangan struktur

dapat diperoleh dengan menjumlahkan produk antara koordinat normal modes

dengan faktor amplitudo Z untuk setiap mode yang ada. Untuk itu disamping

normal modes, faktor amplitudo tersebut harus dicari terlebih dahulu. Prinsip

{Y} = [φ]{Z}

Dengan demikian maka faktor amplitudo Z adalah,

{Z} = [φ]-1

dengan [φ]

{Y}

-1

Prinsip pemakaian getaran bebas pada modal analis ini dapat dilakukan

dengan memberikan nilai-nilai simpangan awal yang kemudian dinyatakan dalam

vektor simpangan {Y} pada persamaan 10.34) tersebut. Apabila faktor amplitudo

Z akibat adanya simpangan awal seperti pada persamaan 10.34) telah dihitung,

maka respon struktur / simpangan struktur dapat diperoleh dengan substitusi

kembali persamaan tersebut ke dalam pers 10.23).

adalah nilai inverse atas modal matriks dan {Y} adalah vektor

simpangan horisontal.

Secara manual, yang menjadi masalah adalah bagaimana memperoleh nilai

inverse atas modal matriks [φ]-1

[M*] = [Φ]

seperti pada persamaan 10.34). Nilai tersebut

salah satunya dapat diperoleh dengan memperhatikan generalized mass matrix

sebagai berikut,

T

dengan [Φ] adalah modal matriks. [M][Φ]

Dari persamaan 10.35) maka akan diperoleh,

[Φ]-1 = [M-]-1 [Φ]T[M]

Suatu alasan mengapa generalized mass matrix dipakai karena matriks massa

adalah matriks diagonal sehingga perkalian matriks dapat dilakukan secara lebih

mudah. Generalized mass matrix seperti tersebut pada persamaan 10.36) juga

dengan mudah. Apabila nilai inverse modal matrix seperti pada persamaan 10.36)

Gambar 2.8 Respon struktur MDOF akibat getaran bebas (tanpa redaman)

2.4.5.3Getaran Bebas Dengan Redaman (Damped Free Vibration Systems)

Apabila pembahasan di atas diperhatikan maka hitungan yang relatif

panjang adalah dalam rangka menghitung nilai inverse modal matriks [Φ]-1

Y = ∅1Z1 + ∅2Z2 + ∅3Z3 +... + ∅nZn

.

Untuk mencari nilai tersebut sebetulnya dapat dipakai cara yang lain yang relatif

lebih mudah. Untuk itu pembahasan akan dimulai dari persamaan,

Apabila pers. 10.40) dikalikan awal (premultiply) dengan ÖjT

n n T j T j T j T j T

j MY φ Mφ Z φ Mφ Z φ Mφ Z φ Mφ Z

φ = 1 1+ 2 2+ 3 3+...+

M maka,

Pada pembahasan hubungan orthogonal telah diketahui bahwa perkalian

pada suku-suku ruas kanan pers. 10.41) akan sama dengan nol kecuali untuk

koordinat φ yang subskribnya sama. Dengan demikian pers. 10.41) akan menjadi,

j j T j T

j MY φ Mφ Z

φ = , maka

Zj = Y

M M j T j j φ φ φ

Dengan logika yang sama juga akan diperoleh hubungan,

Żj = Y M M j T j j _ φ φ φ

Dengan memperhatikan persamaan 10.34) maka vektor modal amplitudo {Z}j

dapat diperoleh dengan,

Pers. 10.44) juga berarti bahwa melalui nilai inverse modal matriks maka akan

dapat diperoleh modal amplitudo , Zj yaitu modal amplitudo untuk tiap-tiap mode.

Selanjutnya dengan memperhatikan pers. 10.42) dan 10.44) maka diperoleh

hubungan, 1 ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ₋ = φ φ φφ M

M

T T

Senada dengan pers. 10.37), maka untuk struktur MDOF yang mempunyai

redaman, modal amplitudo Zj dapat dihitung berdasarkan,

Zj =

        + − ) ( sin ) 0 ( ) ( cos ) 0 ( , t Z t Z e _j j d j j j t j ω ω ω ξω 

Langkah yang pertama adalah menghitung modal amplitudo awal Zj(0) dan modal

Gambar 2.9 Respon struktur MDOF akibat getaran bebas (dengan redaman)

2.4.5.4 Persamaan Differensial Kouplling

Seperti telah dibahas sebelumnya, pada struktur bangunan derajat

kebebasan banyak (multi degree of freedom/ MDOF) umumnya akan mempunyai

persamaan diferensial gerakan banyak derajat kebebasan yang ada. Persamaan

diferensial gerakan pada struktur MDOF akibat beban dinamik dapat ditulis dalam

bentuk matriks yang kompak yaitu,

[M] {Ϋ} + [C] {Y<