1
ABSTRAKSI DAN ALAT PERAGA MAYA DALAM PEMBELAJARAN MATEMATIKA
Farida Nurhasanah
Program Pendidikan Matematika Universitas Sebelas Maret
F4121da_n@yahoo.com www.Hasanahworld.wordpress.com
Abstrak: Sesuai dengan karakteristik matematika, yang memiliki objek kajian bersifat abstrak maka abstraksi menjadi bagian penting yang tidak mungkin terpisahkan dari matematika. Berbagai kajian tentang topik abstraksi dalam matematika memunculkan beragam teori, yang bahkan beberapa masih menjadi perdebatan hingga saat ini. Beberapa pakar matematika dan pendidikan matematika yang mengkaji tentang abstraksi menghasilkan istilah-istilah seperti; empirical abstraction, quasi-empirical abstraction, reflective abstraction, theoretical abstraction, mathematical abstraction yang masing-masing memiliki pengertian tersendiri bahkan mungkin saling terkait satu dengan lainnya. Berkembangnya teori-teori abstraksi baik langsung ataupun tidak akan bertalian erat dengan proses pembelajaran matematika di kelas. Selain itu, perkembangan alat peraga maya yang pesat dalam dunia pendidikan matematika dapat membawa pengaruh yang baik pada proses pembelajaran yang berlangsung di kelas. Berkaitan dengan hal tersebut, tulisan ini bertujuan untuk membahas
teori-teori tentang abstraksi dalam matematika serta kemungkinan
implementasinya dalam pendidikan matematika yang diintegrasikan dengan alat peraga maya dalam upaya memberikan alternatif pilihan untuk mengatasi berbagai masalah pembelajaran matematika. Dalam dunia pendidikan matematika, beberapa konsep asbtrak dalam matematika akan lebih mudah dipelajari melalui proses abstraksi empiris seperti mengenalkan konsep bilangan bulat positif pada siswa. Namun ketika konsep-konsep abstrak tidak memungkinkan dikenalkan secara empiris pada siswa maka peranan alat peraga maya dapat menjadi salah satu alternative yang dapat dipilih. Selain itu, alat peraga maya juga dapat dimanfaatkan untuk memfasilitasi proses abstraksi-refllektif dan abstraksi teoritis.
Kata kunci: Abstraksi, pembelajaran matematika, alat peraga maya.
2 Abstraksi adalah suatu proses yang fundamental baik dalam matematika maupun pendidikan matematika. abstraksi telah dikenal sebagai sesuatu yang berperan penting bagi keberhasilan pembelajaran matematika bila ditinjau dari sudut pandang kognitif. Namun demikian abstraksi juga menjadi salah satu alasan utama terhadap gagalnya proses pembelajaran matematika (Ferrari, 2003). Fenomena tersebut, bukan tanpa alasan. Jika ditinjau dari karakteristik matematika, yang memiliki objek kajian bersifat abstrak, maka dibutuhkan suatu proses yang dapat membawa siswa memahami hal-hal yang abstrak tersebut dalam suatu proses pembelajaran. Secara sederhana dalam konteks pendidikan matematika, abstraksi dapat diartikan sebagai suatu proses mempelajari ide-ide, objek-objek atau konsep-konsep yang bersifat abstrak.
Konsep-konsep yang abstrak dalam matematika tersebut dapat dipelajari melalui proses abstraksi empiris maupun melalui abstraksi matematis (beberapa ahli ada yang menyebutnya sebagai abstraksi reflektif atau abstraksi teoretis). Proses abstraksi tersebut berlangsung melalui serangkaian aktivitas pembelajaran yang melibatkan berbagai aspek pembelajaran. Salah satu aspek yang cukup penting dalam proses pembelajaran matematika adalah alat peraga.
Menurut Comenius dalam Kusumah (2008) penggunaan alat peraga yang lebih banyak dapat lebih mengaktifkan siswa dalam belajar. Selain itu, penggunaan alat peraga selain dapat meningkatkan pemahaman siswa dan kemampuan pemecahan masalah juga dapat meningkatkan sikap positif siswa terhadap matematika (Durmus & Karakirik, 2006). Suatu aktivitas pembelajaran yang bermakna serta perangkat-perangkat kognitif dapat meningkatkan keterlibatan siswa secara aktif dalam proses belajar mengajar dan membangkitkan kemampuan refleksinya terhadap konsep-konsep dan hubungan-hubungan yang sedang dikaji.
Dalam konteks matematika sebuah pengalaman konkrit tidak didefinisikan berdasarkan bentuk fisiknya atau karakteristiknya pada dunia nyata melainkan melalui seberapa besar keterkaitannya dengan ide-ide atau situasi-situasi matematis lainnya. Sebagai contoh ketika seorang anak mulai belajar tentang bilangan pada dasarnya ia sedang belajar suatu proses membilang. Sebuah bola, dua buah bola, tiga bola dan seterusnya. Yang kemudian “keadaan-keadaan” tersebut direpresentasikan dalam simbol angka 1, 2, 3 dan seterusnya. Jelas angka 1, 2, 3 dan seterusnya bukan merupakan objek utama yang dipelajari dalam bilangan. Konsep utamanya adalah hubungan yang tidak terlihat nyata antara sebuah besaran dan unit yang digunakan untuk mengukur besaran tersebut (van Oers & Pollad, 2007).
3 dapat mengajukan ataupun menyelesaikan masalah-masalah matematika untuk membentuk keterkaitan-keterkaitan antara konsep-konsep matematika dan operasi-operasi matematika dan dengan cepat dapat memperoleh respon cepat dari aktivitas mereka. Selain itu alat peraga maya dapat digunakan pada proses abstraksi matematis, yang akan lebih efektif dan efisien bila menggunakan software-software yang banyak tersedia untuk belajar matematika, seperti konsep menggambar grafik, konsep bilangan irrasional yang tidak mudah lagi diajarkan secara empiris.
Abstraksi Dalam Pendidikan Matematika
Salah satu karakteristik matematika adalah memiliki objek kajian yang abstrak. Sehingga seringkali pelajaran matematika disebut sebagai pelajaran yang abstrak. Objek kajian yang abstrak tersebut dapat berupa ide-ide, gagasan-gagasan, konsep-konsep dan hubungan-hubungannya. Objek matematika tersebut disebut juga dengan istilah abstract-apart (Mithelmore &White, 2004).
Untuk dapat memahami berbagai ide, gagasan, konsep dan hubungan-hubungannya tersebut dibutuhkan suatu aktivitas atau proses tertentu, aktivitas atau proses tertentu tersebut disebut sebagai abstraksi. Secara garis besar, abstraksi dapat dibedakan menjadi abstraksi empiris dan abstraksi teoretis (Mithelmore & White, 2007).
Pada proses abstraksi empiris, pembentukan pengertian tentang suatu objek yang abstrak didasari pada pengalaman empiris. Salah satu contohnya adalah konsep abstraksi yang disampaikan oleh Skemp. Menurut Skemp, abstraksi terdiri dari proses pengenalan karakteristik yang sama kemudian diikuti dengan penjelmaan kesamaan menjadi suatu objek mental yang baru. Aktivitas abstraksi dimulai dengan kepekaan terhadap adanya karakteristik yang sama dari pengalaman-pengalaman yang dimilikinya, kemudian kesamaan-kesamaan yang diperolehnya dijadikan sebagai dasar untuk melakukan pengklasifikasian. Sehingga abstraksi merupakan suatu perubahan yang tahan lama, sebagai hasil aktivitas abstraksi yang memungkinkan kita mengenal pengalaman-pengalaman baru.
Masih sejalan dengan Skemp, Piaget juga mengemukakan konsep abstraksi empiris dan abstraksi empiris semu. Kedua proses abstraksi tersebut didasarkan pada pengalaman sosial dan fisik dari anak.
Karena abstraksi empiris memiliki fokus terhadap proses identifikasi tampilan-tampilan penting yang umum, maka konsep yang dihasilkan dari proses abstraksi empiris disebut juga sebagai abstract-general (Mitchelmore &white, 2007).
4 konsep dalam konteks kehidupan sehari-hari dengan konsep dalam konteks bidang ilmiah. Menurut Vygotsky, konsep dalam konteks kehidupan sehari-hari dibentuk melalui proses abstraksi empiris. Sedangkan pembentukan konsep-konsep ilmiah terdiri dari tiga aspek yaitu; Penetapan sebuah sistem dari berbagai relasi diantara konsep-konsep, Sebuah kesadaran dari aktivitas mental seseorang, dan Penetrasi ke dalam suatu esensi dari objek justru akan memperkaya realitas yang dipresentasikan dalam konsep tersebut, bukan sebaliknya (Mithcelmore & White, 2007).
Contoh yang cukup jelas tentang perbedaan antara abstraksi empiris dan abstraksi teoritis dalam proses pembelajaran khususnya geometri dapat terlihat melalui contoh berikut;
Dalam mempelajari tentang konsep garis, berdasarkan teori abstraksi empiris maka prosesnya adalah, anak mengenal berbagai bentuk representasi dari garis terlebih dahulu seperti, gambar garis, lintasan bekas lipatan kertas dan lainnya. Pada proses ini anak mengenali karakteristik yang sama dari pengalaman-pengalaman dengan dari objek yang nyata. Meskipun karakteristik yang sama tersebut hanya secara kasar terlihat linear dan dihasilkan dari berbagai konteks, namun dari sanalah konsep akan dikenal.
Sedangkan pada proses abstraksi teoritis, maka siswa dikenalkan terlebih dahulu tentang konsep titik dan garis berdasarkan definisi. Hal tersebut dilakukan agar dapat memunculkan proses generalisasi dari investigasi spasial (contohnya seperti dua garis yang berpotongan pada satu titik). Lalu dilihat keterkaitan antar kedua konsep tersebut untuk mengenal konsep tentang garis.
Dari contoh tersebut terlihat jelas perbedaan antara abstraksi empiris dan abstraksi teoritis. Alur proses abstraksi empiris dan abstraksi teoritis berbeda. Pada abstraksi empiris individu membentuk konsep baru berdasar pada pengamatan dan pengalaman sedangkan pada abstraksi teoritis, konsep baru dibentuk dengan melakukan mencocokkan konsep jadi dengan pengalaman-pengalaman yang sudah terbentuk dan tersimpan lebih dulu dalam pemikiran individu.
Teori Piaget, tentang abstraksi reflektif, yang berfokus pada hubungan-hubungan antar tindakan dapat dikategorikan dalam bentuk abstraksi teoritis. Demikian pula teori model abstraksi RBC (Recognizing, Building-With, Construction) yang dikemukakan oleh Dreyfus et al (2001).
5 Bila pernyataan tersebut dicermati, maka terlihat bahwa walaupun terdapat perbedaan konsep antara abstraksi empiris dan abstraksi teoritis namun keduanya merupakan bagian penting dan tidak terpisahkan dari proses belajar matematika.
Dalam proses belajar matematika kedua proses abstraksi tetap harus terjadi. Beberapa konsep dalam matematika, memang dapat dengan mudah diajarkan melalui sebuah proses abstraksi empiris seperti konsep bilangan positif, sudut dan bangun datar. Namun beberapa konsep dalam matematika seperti bilangan Irasional , bilangan Kompleks atau ketika mengenalkan konsep x0 yang secara empiris sulit ditemukan padanannya secara empiris.
Berdasarkan hal tersebut pula, maka baik abstraksi empiris maupun teoritis, keduanya merupakan proses fundamental dalam proses belajar matematika. (Ferrari, 2003).
Alat Peraga Maya
Sebagai hasil dari inovasi dalam bidang teknologi, ternyata juga membawa perubahan baru dalam dunia alat peraga sebagai salah satu media pembelajaran matematika yang sangat membantu siswa dalam menjembati dunia real dan keabstrakan matematika. Alat paraga jenis baru ini berbasis teknologi komputer, disebut dengan konsep “Alat Peraga Maya”.
Patricia S. Moyer, Johnna J. Bolyard dan Mark A. Spikell (2002) mendifinisikan bahwa alat peraga maya adalah sebuah representasi visual obyek dinamis berbasis Web yang interaktif dan memungkinkan untuk digunakan mengkonstruk pengetahuan matematika. Sedangkan menurut situs Wikipedia online, alat peraga maya adalah alat peraga yang interaktif, berbasis web atau komputer sebagai media representasi visual dari objek dinamis yang memungkinkan untuk digunakan membangun pengetahuan matematika.
Selain kedua definisi eksplisit tersebut, Spicer (2000) mengemukakan bahwa terdapat dua jenis representasi dari World Wide Web yang disebut juga sebagai alat peraga maya yaitu, representasi statis dan dinamis dari alat peraga real.
6 ditambah dengan kemampuan dapat dimanipulasi seperti pada situasi yang sebenarnya. Siswa dapat memanipulasi seperti melipat, memutar, membalik dan lainnya menggunakan tangan dengan cara memanfaatkan mouse komputer yang diprogram untuk melakukan seluruh aktivitas manipulasi yang terjadi. Pada representasi manipulasi dimensi tiga maka seluruh aktivitas manipulasi konkrit dapat dilakukan.
Jika ditinjau lebih jauh dari difinisi alat peraga maya yang ada, pada dasarnya alat peraga maya adalah sebuah program interaktif yang berbasiskan teknologi komputer dengan memanfaatkan representasi visual objek dinamis yang dapat dimanipulasi sebagaimana objek real untuk membangun pengetahuan matematika. Program ini sendiri dapat terkoneksi langsung dengan internet ataupun digunakan pada komputer dengan fasilitas CD ROOM tanpa koneksi internet.
Sehingga saat ini terdapat dua pilihan untuk menggunakan alat peraga matematika, yaitu alat peraga maya atau alat peraga real. Demikian pula dalam pemilihan alat peraga maya terdapat dua alternatif yang dapat dipilih, alat peraga maya yang terhubung langsung dengan internet ataupun yang dapat digunakan tanpa koneksi ke internet. Sedangkan alat peraga real masih tetap terdapat dua alternatif pilihan yaitu alat peraga 2 dimensi yang memanfaatkan representasi visual saja ataupun objek 3 dimensi yang dapat dimanipulasi langsung.
Alat peraga maya online ini dapat diperoleh dengan bebas di situs-situs dalam internet baik yang dinamis maupun statis. Alat peraga represntasi visual dapat diperoleh di situs seperti (www.visualfractions.com) yang menampilkan
bentuk visual tentang pecahan dan
(www.netrover.com/~kingskid/MulTab/Applet.html) yang menampilkan program untuk belajar perkalian. Sedangkan untuk website alat peraga maya dinamis antara lain sebagai berikut; (www.ies.co.jp/math/java/index.html) adalah web interaktif untuk mempelajari teorema Phtytagoras. Selain web ini (www.keypress.com/sketchpad/java_gsp/PIT.HTM) juga adalah web site interaktif untuk belajar teorema Phtytagoras. Untuk mempelajari geometri 3 dimensi situs (www.frontiernet.net/~imaging/java/Geometry/geometry.html)
dapat dicoba. Sedangkan
(www.coe.tamu.edu/~strader/mathematics/Algebra/AlgebraTiles/AlgebraTiles1.ht ml and/Algebratiles2.html) disediakan sebagai web untuk belajar Aljabar. Untuk mendapatkan alat peraga yang lebih bervariasi dapat mencoba mengakses (www.galaxy.gmu.edu/~drsuper/) atau National Library of Virtual Manipulatives
for Interactive Mathematics – Utah State Univ. (http://nlvm.usu.edu) ,NLVM CD
(www.mattimath.com), Interactive math lessons (http://enlvm.usu.edu).
7 alat peraga maya antara lain; Cabri, Wingeom, Geometer, dan Geometer Sketchpad yang khusus dirancang untuk pembelajaran geometri. Dengan software tersebut siswa dapat melakukan berbagai manipulasi terhadap objek geometri sebagaimana alat peraga real bahkan jauh lebih efektif karena untuk melakukan manipulasi cukup menggunakan mouse tanpa harus melibatkan perlengkapan seperti mistar, jangka, gunting, busur dan kegiatan melipat, menggambar sehingga waktu yang digunakan jauh lebih efisien. sedangkan untuk topic-topik seperti Aljabar dan Kalkulus, saat ini beberapa software seperti Maple, Matlab dan Mathematica juga dapat dimanfaatkan ataupun program ringan seperti Winplot atau Mathgv untukmembuat gambar grafik sederhana dapat dididownload dari internet dan digunakan dalam pembelajaran dikelas.
Peran Alat Peraga Maya dalam Proses Abstraksi
Pendekatan konstruktivisme yang yang sudah mendominasi paradigma pendidikan matematika selama dua decade (Fizpatrick, 1987). Menurut paham ini belajar seharusnya merupakan suatu proses kontruksi pengetahuan (termasuk pengetahuan matematika) melalui pengalaman langsung oleh seorang individu bukan merupakan transfer pengetahuan semata dari orang lain. Dengan demikian, abstraksi empiris menjadi hal yang penting sesuai dengan paradigma konstruktivisme. Berdasarkan hal tersebut, maka banyak elemen pengajaran konstruktivisme yang diharapkan dapat memicu proses abstraksi. Salah satunya adalah, metode-metode yang melibatkan banyak aktivitas yang menggiatkan eksplorasi melalui hands-on activity dengan menggunakan material-material konkrit, atau alat peraga konkrit.
Beberapa artikel dan literature terdahulu yang membahas tentang abstraksi, hanya membahasa tentang interpretasi dari definisi asbtraksi seperti yang dilakukan Ferrari, 2003 dan Mitchelmore & White, 2007. Sedangkan Mitchelmore & White, 2004a, 2004b, Gusev, 2004; Gray & Tall, 2007; mengkaji abstraksi dalam proses pembelajaran matematika, hanya saja tidak secara spesifik mengungkapkan keterkaitan pemanfaatan alat peraga dalam upaya menciptakan kondisi potensial agar abstraksi berlangsung dalam proses pembelajaran. Dilain pihak, William, 2007 yang mengkaji tentang proses berpikir absrak secara spontan secara tidak langsung telah memanfaatkan alat peraga maya dalam bentuk game komputer dengan nama “Green Globs” untuk mempelajari topik persamaan linear. Demikian pula Dreyfus et al yang meneliti proses abstraksi siswa dalam belajar aljabar dengan memanfaatkan program komputer spreadsheet.
Ketika alat peraga konkrit dapat memberikan manfaat yang cukup besar dalam proses abstraksi empiris, dikarenakan karakteristiknya yang dapat menyediakan pengalaman langsung bagi siswa, maka keberadaan alat peraga maya dapat digunakan untuk membantu siswa dalam melakukan abstraksi teoritis. Ataupun menggatikan peran alat peraga konkrit yang terkadang kurang efisien dalam pemanfaatanya. Hal ini dikarenakan karakteristik alat peraga maya yang merupakan pengganti pengalaman nyata, dapat mengeliminasi kesulitan penggunaan alat peraga konkrit.
8 sebelumnya menjadi suatu stuktur yang baru, maka pengorganisasian kembali pengetahuan-pengetahuan tersebut dapat dicapai melalui serangkaian tindakan berkenaan dengan objek baik secara mental maupun material.
Pada model abstraksi RBC (Recognizing, Buliding-With, and
Constructing) yang dikemukakan oleh Dreyfus et al (2001) fase Recognizing atau
pengenalan terhadap sturktur-stuktur matematika yang familiar terjadi ketika seorang siswa menyadari bahwa struktur tersebut melekat pada suatu situasi matematis yang diberikan. Sedangkan fase Building-With terdiri atas penggabungan artefak-artefak untuk mencapai suatu tujuan seperti menyelesaikan suatu masalah atau menjustifikasi suatu pernyataan. Fase Constructing yang merupakan fase utama dari proses abstraksi terdiri dari penggabungan berbagai artefak pengetahuan untuk menghasilkan suatu struktur yang baru, yang kemudian menjadi dikenal sebagai konsep.
Alat peraga maya dapat berperan dalam menciptakan situasi matematis pada fase Recognizing dan fase Building-With. Sebagai contoh, penggunaan DGS (Dynamic Geometric Software) dalam proses pembelajaran geometri, berbagai representasi visual bangun datar yang dapat disajikan dilayar komputer serta dapat dimanipulasi oleh siswa memberikan suatu situasi yang potensial dalam menemukan berbagai sifat-sifat dari bangun-bangun tersebut, yang merupakan bagian dari proses abstraksi empiris sekaligus merupakan fase Recognizing. Kemudian, dengan melakukan manipulasi-manipulasi yang menghasilkan respon dengan cepat dari hasil kerja komputer, siswa dapat melihat keterkaitan antara manipulasi yang dilakukan dengan respon yang diperoleh sehingga potensial untuk memuncul konjektur. Bahkan sekaligus dapat menguji konjekturnya dengan bimbingan guru dalam melakukan eksplorasi. Aktivitas tersebut dapat dikategorikan termasuk dalam fase Building-With. Bahkan dalam menyelesaikan masalah, DGS juga dapat dimanfaatkan baik sebagai tools untuk membantu menyelesaikan masalah ataupun mengkonfirmasi jawaban dengan cepat. Sehingga diharapkan fase Consruction dapat tercapai dengan lebih efektif dan efisien.
Untuk menciptakan suatu situasi yang potensial dan efektif agar proses abstraksi berlangsung dalam proses pembelajaran matematika dengan memanfaatkan alat peraga maya perlu diperhatikan beberapa aspek berkaitan dengan beragamnya jenis alat peraga maya yang tersedia serta perbedaan karakteristik konsep-konsep dalam matematika.
Beberapa pertimbangan yang perlu diperhatikan dalam memilih jenis alat peraga maya yang dapat digunakan untuk menciptakan situasi yang potensial dalam proses pembelajaran matematika antara lain; alat peraga maya tersebut dapat digunakan untuk assessment sebagai cerminan proses berpikir siswa, alat peraga maya tersebut memberikan peluang bagi siswa untuk merubah-ubah atau merefleksikan tindakan mereka sehingga potensial untuk membuat siswa melakukan prediksi atau memberikan penjelasan, alat peraga tersebut memberikan kemungkinan terciptanya gap dalam proses berpikir, alat peraga maya tersebut menyediakan hubungan antara gambar dan simbol-simbol matematika, alat peraga maya tersebut mudah dioperasikan.
9 bahkan tidak efektif sama sekali. Perlu dicermati pula kesesuaian antara jenis alat peraga maya dan konsep matematika yang akan diajarkan, tidak lupa perhatikan pula alokasi waktu yang tersedia serta ketersediaandan kondisi media yang ada. Untuk alat peraga online, perlu diperhatikan pula konektivitas jaringan serta kemudahan mengakses situs yang tersedia.
Kesimpulan
Abstraksi merupakan proses yang fundamental dalam proses pembelajaran matematika berkaitan dengan pembentukan konsep. Oleh karena itu, dalam setiap proses pembelajaran matematika diharapkan selalu memunculkan proses abstraski. Untuk mencipatakan suatu situasi yang memungkinkan siswa untuk melakukan abstraksi, perlu dirancang suatu strategi pembelajaran yang memadai. Salah satu, komponen yang penting dalam proses pembelajaran matematika adalah keberadaan alat peraga untuk menjembatani keabstraksan konsep-konsep matematika. Seiring kemajuan teknologi, konsep alat peraga berkembang menjadi alat peraga maya yang memiliki karakteristik lebih abstrak dari sekadar alat peraga konkrit. Kemunculan alat peraga ini, potensial untuk membantu menciptakan suatu situasi yang potensial bagi berlangsungnya proses abstraksi dalam pembelajaran matematika. Namun demikian, pemanfaatan alat peraga maya dalam memicu munculnya abstraksi perlu memperhatikan beberapa aspek agar prosesnya lebih efektif dan efisien. Kajian teoritis ini memicu pertanyaan-pertanyaan lebih lanjut mengenai, jenis-jenis alat paraga maya yang tepat untuk mengajarkan konsep-konsep tertentu berkaitan dengan proses abstraksinya. Penelitian-penelitian lebih lanjut dibutuhkan untuk melihat lebih jauh bagaimana peran alat peraga maya dalam proses pembelajaran matematika.
Daftar Pustaka
Alisah, E & Dharmawan, E. P. 2007. Filsafat Dunia Matematika Pengantar untuk Memahami Konsep-konsep Matematika. Prestasi Pustaka: Jakarta.
Donovan, J. (2008) Teaching Mathematics with Virtual Manipulatives. [Online]. Terdsedia di :
http://www.techlearning.com/shared/printableArticle.php?articleID=196605 450 di akses tanggal 23 Desember 2008.
Dreyfus, T., Hershkowitz, R., Schwarz, B. (2001). The Construction of Abstract Knowledge in Interaction. Proceeding of the 25th conference of International Group of the Psychology of Mathematics Education (2,
377-384). [Online]. Tersedia di :
http://210.240.187.40/resource/PME%2025/content/VOLUME2/Dreyfus&_ RR169.pdf. diakses tanggal 24 desember 2008.
Durmus, S dan Karakirik, E. (2006). Virtual Manipulatives in Mathematics
Education: A Theoritical framework. The Turkish Online Journal of
10 [Online]. Tersedia di : http://www.tojet.net/articles/5112.doc. di akses tanggal 25 Maret 2008.
Ferrari, Pier Luigi. (2003). Abstraction in Mathematics. Departimento di science e tecnologie Avanzate, universita delp Piemonte Orientale, corso T. borsalino 54, 15100 alessandria AL. Italy:The Royal Society.
Hudoyo, H. 1989. Pengembangan Kurikulum Matematika dan Pengembangannya di Depan Kelas. Usaha Nasional: Surabaya.
Keizer, R. 2003. Teaching Formal Mathematics in Primary Education: Fraction Learning as Mathematics Process. Amersfoort, The Netherlands: Wilco
Kusumah, YS. (2008). Media dan Alat Peraga Pendidikan Matematika. Modul Kuliah. Tidak diterbitkan.
Mitchelmore, M & White, P. (2004a). Teaching Mathematical Concept:
Instruction for Abstraction. [Online]. Tersedia::
www.crimse.mq.au/downloads/crimse/mitchelmore,white (2004).doc. diakses tanggal 25 Maret 2008.
Mithelmore, Michael and White, Paul. (2004b). Abstraction in Mathematics and
Mathematics Learning. Proceeding of the 28th Conference of the
International Group for the Psychology of Mathematics Education.Vol 3 hal. 329-336 .
Mithelmore, Michael and White, Paul. (2007). Abstraction in Mathematics Learning Mathematics Education Journal. Vol 19 No. 2 hal. 1-9. Deakin
University [Online]. Tersedia
:http://www.merga.net.au/documents/MERJ_19_2_editorial.pdf. Diakses 26 Maret 2008.
Nunes, T & Bryant, P. 1996. Children Doing Mathematics. Cambridge.
Nurhasanah, Farida. (2008). Alat Peraga Maya dalam Pembelajaran Matematika. [Online]. Tersedia: www.hasanahworld.wordpress.com. Diakses: 23 Desember 2008.
Patricia S. Moyer, Johnna J. Bolyard dan Mark A. Spikell. (2002) . What Are
Virtual Manipulatives? [Online]. Tersedia :
http://hal.archives-ouvertes.fr/docs/00/05/45/44/PDF/de58th1.pdf
Sfard, A. 1992. Operational Origin of Mathematical Object and the quandary of reification- The case of function. In G. Harel and Dubinsky (Eds),
ThecConcept of function: Aspect of Epistemology and pedagogy (pp.
11 Van Oers, B & Poland, M. 2007. Schematising Activities as a Means for
Encouraging Young Children to Think Abstractly. Mathematics Education Research Journal Vol 19, No. 2, Pages : 10-22.
Tn. (2008). Virtual Manipulatives for Mathematics. [Online]. Tersedia di : http://en.wikipedia.org/wiki/Virtual_manipulatives_for_mathematics di akses tanggal 23 Desember 2008.
