ANALISIS
EMPIRICAL ORTHOGONAL FUNCTION
(EOF)
BERBASIS
SINGULAR VALUE DECOMPOSITION
(SVD)
PADA DATA CURAH HUJAN INDONESIA
ISNAWATI LUJENG LESTARI
SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR
PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA*
Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis berjudul Analisis Empirical Orthogonal Function (EOF) Berbasis Singular Value Decomposition (SVD) pada Data Curah Hujan Indonesia adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apapun kepada perguruan tinggi manapun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka dibagian akhir tesis ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor.
RINGKASAN
ISNAWATI LUJENG LESTARI. Analisis Empirical Orthogonal Function (EOF) berbasis Singular Value Decomposition (SVD) pada Data Curah Hujan Indonesia. Dibimbing oleh SRI NURDIATI dan ARDHASENA SOPAHELUWAKAN.
Curah hujan merupakan salah satu parameter atmosfer yang sulit diprediksi karena mempunyai keragaman tinggi baik secara spasial maupun temporal. Sebagai negara kepulauan, Indonesia mempunyai garis pantai yang panjang dan berpegunungan, sehingga memengaruhi arus udara, perubahan cuaca, iklim, dan hujan. Selain itu, Indonesia mempunyai variasi suhu kecil, sementara variasi curah hujan yang cukup tinggi. Data curah hujan merupakan data yang memiliki dimensi matriks yang cukup besar dan sulit untuk dianalisis. Oleh karena itu, dibutuhkan cara yang tepat untuk menganalisis data tersebut agar diperoleh informasi yang bermanfaat. Salah satu cara yang dapat digunakan untuk menganalisis data tersebut adalah menggunakan teknik pereduksian dimensi yang dikenal dengan Analisis Komponen Utama (AKU) atau disebut analisis Empirical Orthogonal Function(EOF).
Analisis EOF merupakan suatu metode untuk menentukan pola-pola dominan pada data yang berevolusi dalam ruang dan waktu. EOF atau AKU dikatakan sebagai transformasi Hotelling yang merupakan suatu teknik untuk menyederhanakan suatu himpunan data dengan mereduksi dimensi menjadi lebih kecil dengan mempertahankan sebanyak mungkin variasi dalam himpunan data asal. Peubah baru yang merepresentasikan data dengan dimensi yang lebih kecil disebut dengan Komponen Utama, dalam penelitian ini disebut dengan mode EOF. Secara aljabar, mode EOF yang diperoleh merupakan kombinasi linear dari semua peubah asli yang memiliki varian terbesar secara berurutan dan tidak berkorelasi dengan EOF sebelumnya.
Analisis EOF berbasis Singular Value Decomposition (SVD) pada penelitian ini digunakan untuk mendapatkan pola-pola dominan pada data yang berevolusi dalam ruang dan waktu. Tujuan dari penelitian ini adalah mengkaji metode EOF berbasis SVD untuk mereduksi data curah hujan Tropical Rainfall Measuring Mission (TRMM) 3B43. Selanjutnya akan dianalisis pola dominan dari data baik secara temporal maupun spasial, dan dihitung error norm matriks untuk melihat nilai kesalahan dari mode EOF yang diperoleh.
Analisis EOF dilakukan terhadap data curah hujan TRMM 3B43 di wilayah cakupan Indonesia dalam rentang waktu bulanan selama 204 bulan. Hasil analisis menunjukkan bahwa lima nilai singular terbesar memiliki total varian sebesar 90.03%. Hal ini menunjukkan bahwa seluruh data dapat diwakili dengan lima mode EOF. Mode EOF pertama menjelaskan 30.68% dari total varian. Mode EOF kedua sampai kelima masing-masing menjelaskan 19.89%, 16.82%, 11.43% dan 11.19% dari total varian. Setiap mode EOF yang diperoleh menggambarkan pola spasial, sedangkan vektor singular menggambarkan pola temporal. Efektifitas dari lima mode EOF yang dihasilkan tersebut diuji untuk dapat menghampiri data asli. Hampiran data asli diperoleh dengan menentukan nilai kesalahan dari hasil reduksi menggunakan teknik error norm matriks.
Kata kunci: curah hujan TRMM 3B43, analisis empirical orthogonal function
SUMMARY
ISNAWATI LUJENG LESTARI. An Empirical Orthogonal Function (EOF) Analysis of Indonesian Rainfall Data based on Singular Value Decomposition (SVD) Analysis. Supervised by SRI NURDIATI and ARDHASENA SOPAHELUWAKAN.
Rainfall is one of atmospheric parameters that are difficult to predict because it has a high diversity both spatially and temporally. Indonesia has a long coastline and mountainous that affecting air currents, weather changes, climate, and rain. Rainfall's data is data that has a dimensions matrix is large and difficult to analysis. Therefore, it takes a correct way to analyze the data in order to obtain useful information. One of it is using dimension reduction technique known as Principal Component Analysis (PCA) also called Empirical Orthogonal Function (EOF) Analysis.
Empirical Orthogonal Function (EOF) Analysis was used to reduce large dimensional rainfall data. This method was used to obtain several dominant patterns which varies in time and space. PCA or EOF said as Hotelling transformation which is a technique to simplify a set of data, by reducing the dimensions become smaller for analysis by retaining as much variation in the original data set. The new variable that represents the data with smaller dimensions called Principal Component in this study is called mode EOF. In algebra, mode EOF or PC obtained is a linear combination of all the original variables that have the greatest variance in sequence and did not correlate with previous major components.
In this study, the EOF decomposition was calculated using Singular Value Decomposition (SVD) approach to get the singular value and singular vectors from the matrix data. Dimensionality reduction was applied on the original matrix data by reconstructing the data matrix by using a series on increasing number of modes, where the error matrix norm was used as the norm to measure its accuracy. The EOF analysis was applied to the monthly Tropical Rainfall Measuring Mission (TRMM 3B43) Indonesian rainfall data.
Analysis carried out on data Rainfall TRMM 3B43 in Indonesian produced some mode EOF seen of the cumulative percentage of the total variance of bigger than 80 percent. Analysis was produced 5 modes of EOF which could describe 90.03 percent of the total variance. This shows that most of the data can be represented with five modes EOF. The first mode EOF contribute 30.68 percent of the total variance. Mode EOF of the second to fifth respectively explaining 19.89 percent, 16.82 percent, 11.43 percent and 11.19 percent of the total variance. Each mode EOF obtained describe the spatial pattern, while the singular vectors describe temporal patterns. Effectiveness of the five EOF modes obtained was maintained to be able to approach the original data. This approximation was obtained by determining the error norm value of the reduction results using error matrix norm technique.
© Hak Cipta Milik IPB, Tahun 2016
Hak Cipta Dilindungi Undang-Undang
Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan atau menyebutkan sumbernya. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan, penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik, atau tinjauan suatu masalah; dan pengutipan tersebut tidak merugikan kepentingan IPB
Tesis
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains
pada
Program Studi Matematika Terapan
ANALISIS
EMPIRICAL ORTHOGONAL FUNCTION
(EOF)
BERBASIS
SINGULAR VALUE DECOMPOSITION
(SVD)
PADA DATA CURAH HUJAN INDONESIA
SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR 2016
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah Subhanahu wa ta’ala atas segala nikmat dan karunia-Nya. Sebesar apapun kesyukuran kita, tidak akan pernah bisa menyamai kenikmatan yang telah Allah berikan. Maha Suci Engkau dengan segala Kuasa-Mu. Atas Kuasa-Nya pula, tesis yang berjudul Analisis Empirical Orthogonal Function (EOF) berbasis Singular Value Decomposition (SVD) pada Data Curah Hujan Indonesia dapat penulis selesaikan. Penulisan tesis ini merupakan salah satu syarat memperoleh gelar Magister Sains pada Program Studi Magister Matematika Terapan Sekolah Pascasarjana Institut Pertanian Bogor.
Dalam proses penulisan tesis ini, penulis menyadari bahwa telah memperoleh dorongan dan bantuan dari banyak pihak. Mulai dari material, moral, spiritual, dan juga psikologis. Untuk itu, melalui kesempatan ini penulis ingin mengucapkan terima kasih dan rasa hormat yang sebesar-besarnya kepada:
1. Bapak A. Somad dan Ibu Syaf Rosidah selaku orang tua penulis. 2. Ibu Dr Ir Sri Nurdiati, MSc selaku ketua komisi pembimbing.
3. Bapak Dr Ardhasena Sopaheluwakan, BSc MSc selaku anggota komisi pembimbing.
4. Bapak Dr Jaharuddin, MS selaku Ketua Program Studi Matematika Terapan. 5. Bapak Dr Ir Fahren Bukhari MSc selaku penguji luar komisi pembimbing. 6. Seluruh dosen dan staf pegawai tata usaha Departemen Matematika.
7. Direktorat Jenderal Pendidikan Tinggi (DIKTI) sebagai sponsor Beasiswa Pascasarjana Dalam Negeri (BPP-DN).
8. Seluruh keluarga yang selalu memberikan dorongan dan mendoakan untuk keberhasilan penulis.
9. Seluruh mahasiswa Departemen Matematika khususnya teman-teman angkatan tahun 2013 di program studi S2 Matematika Terapan.
10.Seluruh rekan–rekan Gugusan Mahasiswa Pascasarjana Matematika IPB (GUMAPASTIKA).
11.Sahabat-sahabat yang tak dapat disebutkan satu persatu yang telah banyak membantu penulis dalam penyelesaian tesis ini.
Semoga segala bantuan, bimbingan, dan motivasi yang telah diberikan kepada penulis senantiasa mendapat balasan dari Allah Subhanahu wa ta’ala.
Akhirnya, semoga penulisan tesis ini dapat memperkaya pengalaman belajar serta wawasan kita semua.
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL ii
DAFTAR GAMBAR ii
DAFTAR LAMPIRAN iii
1 PENDAHULUAN 1
Latar Belakang 1
Perumusan Masalah 2
Tujuan Penelitian 2
Manfaat Penelitian 2
2 TINJAUAN PUSTAKA 3 Ruang Vektor 3 Matriks 4
Matriks Data 5
Nilai Singular 5
Ortogonalitas 5
Norm dan Error 6
Singular Value Decomposition (SVD) 7 Analisis Empirical Orthogonal Function (EOF) 7 Aproksimasi matriks Rank rendah 8
3 METODE 8 3.1 Metode Penelitian 8 3.2 Data Penelitian 9 3.3 Langkah Penelitian 9 3.3.1 Alat Uji 9
3.3.2 Ekstraksi data TRMM 3B43 10
3.3.3 Reduksi data TRMM 3B43 menggunakan EOF berbasis SVD 10
4 HASIL DAN PEMBAHASAN 12 Eksplorasi Data TRMM 3B43 12 Analisis Empirical Orthogonal Function (EOF) 13 Rekonstruksi data hasil reduksi 20
5 SIMPULAN DAN SARAN 21
Simpulan 21
Saran 21
DAFTAR PUSTAKA 21
LAMPIRAN 23
DAFTAR TABEL
1 Nilai singular dan persentase kumulatif analisis EOF 14
2 Nilai komponen utama hasil analisis EOF 14
3 Nilai Error Norm untuk masing-masing mode EOF 19
DAFTAR GAMBAR
1 Skema ekstraksi data curah hujan TRMM 3B43 10
2 Skema analisis EOF menggunakan SVD 10
3 Skema langkah-langkah penelitian 11
4 Peta penyebaran data curah hujan Januari 2014 secara seluruh dunia atau global 500LU – 500LS dan 1800BB – 1800BT 12 5 Peta penyebaran data curah hujan Januari 2014 pembesaran dari kotak
kecil untuk wilayah Indonesia 600LU – 110 LS dan 950 BT – 1410 BT 13
6 Pola spasial mode EOF1 15
7 Pola spasial mode EOF2 16
8 Pola spasial mode EOF3 16
9 Pola spasial mode EOF4 17
10 Pola spasial mode EOF5 17
11 Deret waktu atau pola temporal koefisien vektor singular mode EOF1
sampai mode EOF5 18
12 Grafik respon perubahan mode EOF terhadap nilai kesalahan 20 13 Hasil rekonstruksi data curah hujan TRMM 3B43 Januari 2013 20
DAFTAR LAMPIRAN
1 Algoritme ekstraksi data curah hujan TRMM 3B43 23 2 Algoritme reduksi data menggunakan EOF berbasis SVD 23
3 Plot pola spasial 24
4 Plot pola temporal 26
5 Algoritme error norm matrix 27
1
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Curah hujan merupakan salah satu parameter atmosfer yang sulit diprediksi karena mempunyai keragaman tinggi baik secara spasial maupun temporal. Demikian halnya dengan curah hujan di wilayah maritim tropis seperti Indonesia. Sebagai negara kepulauan, Indonesia mempunyai garis pantai yang panjang dan berpegunungan, sehingga memengaruhi arus udara, perubahan cuaca, iklim, dan hujan. Selain itu, Indonesia mempunyai variasi suhu kecil, sementara variasi curah hujan yang tinggi. Oleh karena itu, diperlukan suatu metode analisis untuk menentukan pola–pola yang dominan dan memprediksi curah hujan di Indonesia dengan menggunakan data yang tersedia.
Data curah hujan merupakan data yang memiliki dimensi matriks yang cukup besar dan sulit untuk dianalisis. Oleh karena itu, dibutuhkan cara yang tepat untuk menganalisis data tersebut agar diperoleh informasi yang bermanfaat. Ada beberapa cara untuk menyelesaikan suatu permasalahan yang berkaitan dengan dimensi data matriks yang cukup besar. Salah satunya adalah dengan mereduksi dimensi matriks data tersebut. Teknik pereduksian dimensi itu dikenal dengan Analisis Komponen Utama (AKU) atau disebut analisis Empirical Orthogonal Function(EOF).
Analisis EOF merupakan suatu metode untuk menentukan pola-pola dominan pada data yang berevolusi dalam ruang dan waktu. AKU atau EOF dikatakan sebagai transformasi Hotelling yang merupakan sebuah teknik untuk menyederhanakan suatu himpunan data. Himpunan data tersebut direduksi menjadi lebih kecil dengan mempertahankan sebanyak mungkin variasi dalam himpunan data asal. Peubah baru yang merepresentasikan data dengan dimensi yang lebih kecil disebut dengan Komponen Utama dalam penelitian ini disebut sebagai mode EOF. Secara aljabar, mode EOF yang diperoleh merupakan kombinasi linear dari semua peubah asli yang memiliki varian terbesar secara berurutan dan tidak berkorelasi dengan komponen utama sebelumnya.
Analisis EOF diperkenalkan pertama kalinya dalam artikel Lorenz tahun 1956. Lorenz menganalisis Suhu Permukaan Laut (SPL) di wilayah Amerika Serikat dan Kanada bagian Utara. Hasil dari penelitiannya adalah sebanyak 91% keragaman SPL mampu dijelaskan oleh 8 komponen utama. Perkembangan metode EOF dilanjutkan oleh Kutzbach (1967) menggunakan tiga peubah iklim dalam analisis EOF, yaitu SPL, suhu permukaan, dan curah hujan di wilayah Amerika Utara. Selanjutnya penelitian yang dilakukan oleh Lyons (1982) dengan menggunakan EOF untuk analisis curah hujan di Hawai dan diperoleh mode EOF1 hingga mode EOF3 yang dipengaruhi oleh angin pasat, angin tenggara, dan hujan konvektif pada pola tahunannya.
2
Nayagam, et al (2009) menganalisis curah hujan Northeast Monsoon (NEM) dengan menggunakan analisis Wavelet.
Oleh karena itu, pada penelitian ini diberikan data curah hujan bulanan Tropical Rainfall Measuring Mission (TRMM) 3B43 untuk wilayah cakupan Indonesia. Analisis dilakukan menggunakan metode EOF berbasis Singular Value Decomposition (SVD) untuk mereduksi data tersebut. Selanjutnya akan dianalisis pola spasial dan pola temporal dari hasil reduksi data, dan dihitung error norm matriks untuk melihat efektifitas dari mode EOF yang diperoleh.
Perumusan Masalah
Untuk memudahkan langkah-langkah penelitian dan metode penelitian, maka dibuat rumusan penelitian sebagai berikut:
1. Bagaimana metode EOF berbasis SVD digunakan untuk mereduksi data curah hujan TRMM 3B43 sehingga diperoleh beberapa mode EOF atau KU. 2. Bagaimana analisis pola dominan dari data curah hujan TRMM secara
temporal dan spasial.
3. Bagaimana efektivitas data hasil reduksi mampu menghampiri data asli dengan melihat nilai kesalahan dari hasil reduksi data.
Tujuan Penelitian
Berdasarkan permasalahan di atas maka tujuan yang ingin dicapai dalam penelitian ini adalah:
1. Mengkaji metode EOF berbasis SVD untuk mereduksi data curah hujan TRMM 3B43.
2. Menganalisis pola dominan dari data curah hujan TRMM secara temporal dan spasial.
3. Menghitung error norm matriks untuk melihat nilai kesalahan hasil reduksi menghampiri data asli.
Manfaat Penelitian
3
2
TINJAUAN PUSTAKA
Ruang Vektor
Definisi 2.1 (Ruang Vektor)
Misalkan V adalah himpunan dengan pendefinisian operasi penjumlahan dan operasi perkalian dengan skalar. Setiap pasangan elemen dan di dalam V terdapat suatu elemen yang tunggal juga berada di dalam V serta setiap elemen di dalam V dan setiap skalar terdapat yang tunggal juga berada di dalam V. Himpunan V dengan operasi penjumlahan dan operasi perkalian dengan skalar ini dinamakan ruang vektor jika memenuhi aksioma berikut.
1. .
2. .
3. sehingga . 4. terdapat sehingga . 5. dan skalar .
6. dengan skalar dan skalar . 7. dengan skalar dan skalar .
8. .
Elemen dalam V adalah vektor sedangkan symbol 0 menyatakan vektor nol. (Leon 2014) Definisi 2.2 (Kombinasi Linear)
Misalkan adalah vektor-vektor dalam suatu ruang vektor dan adalah skalar. Jumlah vektor-vektor yang berbentuk
disebut kombinasi linear dari .
(Leon 2014) Definisi 2.3 (Bebas Linear)
Vektor-vektor dalam ruang vektor V disebut bebas linear jika mengakibatkan semua skalar-skalar
harus sama dengan nol.
(Leon 2014) Definisi 2.4 (Bergantung Linear)
Vektor-vektor dalam ruang vektor V disebut bergantung linear jika terdapat skalar-skalar yang tidak semuanya nol sehingga .
(Leon 2014) Definisi 2.5 (Basis)
Vektor-vektor membentuk basis untuk ruang vektor V jika dan hanya jika
(i) bebas linear (ii) Merentang V .
4
Definisi 2.6 (Dimensi)
Misalkan V adalah ruang vektor. Jika V memiliki basis yang terdiri atas n vektor, maka V dikatakan memiliki dimensi n .
(Leon 2014) Matriks
Definisi 2.7 (Matriks)
Matriks adalah himpunan skalar yang disusun menurut baris dan kolom. Di notasikan ( ).
Definisi 2.8 (Matriks Identitas)
Matriks identitas adalah matriks yang berukuran , dengan
{ .
(Leon 2014) Definisi 2.9 (Rank Matriks)
Rank dari matriks dinotasikan adalah dimensi dari ruang baris matriks .
(Leon 2014) Definisi 2.10 (Transpos dari Suatu Matriks)
Transpos dari suatu matriks yang berukuran matriks yang berukuran yang didefinisikan oleh untuk setiap dan . Transpos dari dinotasikan oleh .
(Leon 2014) Definisi 2.11 (Invers dari Suatu Matriks)
Suatu matriks yang berukuran dikatakan taksingular jika terdapat matriks Y sehingga . Matriks B dikatakan invers multiplikatif dari matriks . Invers multiplikatif dari matriks taksingular secara sederhana disebut juga sebagai invers dari matriks dan dinotasikan dengan .
(Leon 2014) Definisi 2.12 (Determinan Matriks)
Matriks A
aij berordenn. Determinan dari A didefinisikan sebagai skalar:
p p npnp a a a p A ....
det
11 2 2 , (1) dengan penjumlahan diambil dari n! permutasi p p1, p2,..., pn. Setiap notasin
np p pa a
a11 2 2.... di persamaan (1) berisi tepat satu entri dari setiap baris dan setiap
kolom dari A. Determinan dari A dapat dinotasikan sebagai det
A atau A.Determinan dari matriks nonpersegi tidak dapat didefinisikan.
(Meyer 2000) Definisi 2.13 (Matriks Singular dan Nonsingular)
5 (Meyer 2000) Definisi 2.14 (Matriks Diagonal)
Matriks diagonal adalah matriks berukuran yang semua unsur selain diagonal utama ialah nol. Matriks diagonal berukuran dapat ditulis sebagai
[ ]
dengan disebut unsur diagonal utama.
(Anton & Rorres 2005) Matriks Data
Data Iklim biasanya berupa data grid dalam bentuk matriks yang memiliki level tiga dimensi dengan dua dimensi spasial dan satu dimensi waktu dalam bidang F. Koordinat horizontal tersusun dari dua dimensi spasial yaitu untuk garis lintang dan garis bujur menghasilkan jumlah dari titik grid koordinat vertikal disusun berdasarkan waktu
dan untuk bidang F dapat dituliskan:
( )
dengan dan Secara umum untuk dimensi tiga membutuhkan penyimpanan yang cukup banyak dan sulit untuk dianalisis. Oleh karena itu, dapat ditransformasikan menjadi dimensi dua misalnya matriks data berukuran nXp.
Grid data set yang terdiri atas ruang dan waktu X(n,p) mewakili nilai dari bidang X pada ruang n dan waktu p. Nilai dari bidang pada titik grid nj dan waktu
diskret pi dinotasikan xij untuk dan sehinggabidang yang
diamati direpresentasikan dalam data matriks sebagai berikut : [
]
(A.Hannachi 2009) Nilai Singular
Misalkan matriks dengan. Nilai–nilai singular dari adalah akar dari nilai eigen positif dati matriks atau .
(Leon 2014) Ortogonalitas
Definisi 2.15 (Hasil Kali Skalar)
Misalkan dengan dan maka hasil kali skalar dari adalah
6
Definisi 2.16 (Matriks Ortogonal)
Matriks persegi A dikatakan ortogonal jika transposnya sama dengan inversnya A1 AT atau ekuivalen jika AAT ATAI.
(Anton & Rorres 2005) Definisi 2.17 (Ortogonal)
Vektor–vektor dan disebut ortogonal jika .
(Leon 2014)
Norm dan Error
Definisi 2.18 (Vektor Norm ) Fungsi f Rn R
: disebut norm vektor (vector norm) di Rn jika memenuhi ketiga aksioma berikut:
1) f
x 0, xRn, ( f(x)0, jika x0). 2) f
xy
f x f y, x,yRn.3) f
x
f
x,
R,xRn.(Golub & Loan 1996) Definisi 2.19 (Norm Matriks)
Fungsi f :Rnp R disebut norm matriks (matrix norm) jika untuk setiap A,BRnpdan
R memenuhi ketiga aksioma berikut:4) f
A 0dan f
A 0A0.5) f
AB
f A f B .6) f
A
f
A .Dalam hal ini, untuk memudahkan penulisan, norm matriks A ditulis A
sehingga A f
A . (Golub & Loan 1996)Definisi 2.20 (Error Absolut dan Relatif)
Misalkan xˆRn merupakan aproksimasi untuk xRn. Diberikan norm
vektor maka dapat dibentuk formula error absolut di xˆ yaitu:
.
ˆ
x x eabs Jika x0, maka formula error relatif di xˆ yaitu:
. ˆ x
x x erel
(Golub & Loan 1996) Definisi 2.21 (Norm Frobenius)
Untuk sebarang matriks X berukuran n x p, norm Frobenius (Frobenius Norm) dari matriks X didefinisikan sebagai
‖ ‖ ∑| |
7
Singular Value Decomposition (SVD)
Misalkan X sebarang matriks berukuran n x p dengan Rank(X) = r. Singular Value Decomposition (SVD) atau dekomposisi nilai singular dari X adalah faktorisasi dalam bentuk:
dengan dan [ ] merupakan matriks ortogonal. Matriks U berukuran n x n, V berukuran p x p, dan [
] adalah matriks berukuran n x p dengan dan . Diman merupakan nilai singular dari matriks , dan masing–masing merupakan vektor singular kiri dan vektor singular kanan dari matriks . Oleh karena itu, dapat dituliskan
[ ]
(Nicholson 2001). Teorema 2.1
Diberikan X sebarang matriks berukuran dengan ciri dan nilai singular . Jika didefinisikan dan seperti uraian di atas, maka dan matriks ortogonal dan dapat didekomposisikan sebagai
Bukti dapat dilihat pada Leon (2014).
Analisis Empirical Orthogonal Function (EOF)
Analisis EOF bertujuan untuk mentransformasikan p peubah asal yang saling berkorelasi menjadi k buah komponen ortogonal (tidak berkorelasi). Misalkan matriks berukuran n x p yang mengandung dataset dengan n banyaknya peubah atau variabel dan p waktu. SVD dari X dengan Rank(X) = r adalah faktorisasi seperti pada persamaan (2) sehingga diperoleh
∑
Matriks V dari persamaan (3) adalah matriks EOF atau koefisien vektor dan adalah matriks skor EOF atau komponen utama. Skor komponen utama dapat dituliskan
Varian dari i komponen utama adalah
∑
8
EOF digunakan untuk mencari (n x k) matriks skor komponen dari n objek pengamatan dan p waktu.
(A.Hannachi 2009) Aproksimasi Matriks Rank Rendah
Misalkan X matriks berukuran dengan rank(X) = r dan SVD dari X dinyatakan sebagai persamaan (4). Jika nilai singular lebih kecil dibandingkan dengan maka dengan ‘membuang’ sebanyak term pada (4) akan memberikan aproksimasi untuk X dan memiliki rank yang lebih kecil daripada r. Teorema aproksimasi dengan rank rendah (low rank approximation) pertama kali dinyatakan dan dibuktikan oleh Eckart C, Young G (1936). Pada beberapa jurnal teorema ini disebut dengan Eckart-Young Theorem.
Teorema tersebut menyebutkan bahwa jika matriks dengan . dapat dibagi menjadi beberapa bagian
∑
Persamaan (6) berkorespondensi dengan r pertama mode EOF atau KU. Jika hanya m pertama mode EOF yang dipertahankan, maka :
̃ ∑
Yang memberikan aproksimasi ke . ̃ memberikan m rank terbaik pada aproksimasi yang meminimumkan
‖ ̃‖ ∑ ∑( ̂)
3
METODE
Langkah–langkah yang digunakan untuk membahas permasalahan yang diambil dalam penelitian ini akan dibahas pada bab ini. Di bagian ini disebutkan metode yang digunakan untuk melakukan pereduksian data.
3.1Metode Penelitian
9 3.2Data Penelitian
Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data curah hujan Tropical Rainfall Measuring Mission (TRMM) 3B43. Data ini merupakan data global bulanan selama memiliki resolusi spasial dan resolusi temporal bulanan. Data TRMM 3B43 ini disponsori oleh NASA (National Aeronautics and Space Administration) dan JAXA (Japan Aerospace Exploration Agency) dan telah menumpulkan data dari November 1997 sampai saat ini. Data ini berupa data digital compressed dengan format Hierarchical Data Format (HDF) dan dapat diunduh dari website ftp://disc2.nascom.nasa.gov/data/s4pa/TRMM_L3/.
Reduksi data TRMM 3B43 dalam penelitian ini dilakukan sesuai dengan domain wilayah Indonesia 60LU–110LS dan 950BT–1410 BT sehingga setiap satu bulan terdapat matriks data berukuran dengan jumlah pixel sebanyak
13505. Adapun rentang waktu yang akan diteliti yaitu selama 204 bulan berawal
dari bulan Januari 1998 sampai Desember 2014. 3.3Langkah Penelitian
Langkah–langkah dalam penelitian ini terdiri atas tiga tahap, tahap pertama adalah menyiapkan alat uji coba berupa program yang disusun menggunakan bahasa pemrograman Matlab. Tahap kedua adalah ekstraksi data curah hujan TRMM 3B43 yang dibentuk dalam suatu matriks data. Adapun tahap ketiga dilakukan analisis data curah hujan menggunakan metode EOF berbasis SVD. Pada tahap ini akan dihitung nilai error norm matriks dari hasil reduksi data.
3.3.1 Alat Uji
Pada tahap ini, dilakukan langkah–langkah sebagai berikut: 1. Identifikasi masalah
Masalah pada penelitian ini adalah bagaimana metode EOF berbasis SVD dapat digunakan untuk menganalisis variabilitas curah hujan wilayah Indonesia secara spasial dan temporal, serta untuk mengetahui error norm matriks dari mode EOF yang diperoleh.
2. Penentuan tujuan
Tujuan dari penelitian ini adalah menganalisis variabilitas curah hujan wilayah Indonesia secara spasial dan temporal menggunakan analisis EOF dan mengetahui error norm matriks dari mode EOF.
3. Studi literatur
Studi literatur dilakukan dengan mengkaji karakteristik data TRMM 3B43 dan mengkaji metode Empirical Orthogonal Function (EOF) dengan menggunakan metode Singular Value Decomposition (SVD). Pada bagian ini juga dikaji tentang error norm matriks.
4. Penyusunan algoritme
Setelah melakukan studi literatur, langkah selanjutnya adalah penyusunan algoritme untuk reduksi data dan penentuan mode EOF yang digunakan untuk analisis pola spasial dan temporal.
5. Penyusunan program komputer
10
data curah hujan wilayah cakupan Indonesia, program memberikan output berupa plot data spasial dan pola temporal.
Selain program utama, disusun juga script Matlab lain yang digunakan untuk menentukan nilai norm matrix dari hasil reduksi data.
3.3.2 Ekstraksi data TRMM 3B43
Pada tahap ini akan dijelaskan cara mengekstraksi data curah hujan TRMM 3B43. Data curah hujan TRMM 3B43 merupakan data global, sehingga perlu dilakukan pemotongan data untuk menentukan variabel yang akan dianalisis. Selanjutnya data di-reshape untuk setiap bulannya dan dibentuk matriks data . Langkah ekstraksi data dapat dilihat pada flowchart di Gambar 1 berikut.
Data Global TRMM 3B43
Data TRMM 3B43 Indonesia
Reshape data urutan bulan Matriks data
(X)
Gambar 1 Skema ekstraksi data curah hujan TRMM 3B43 3.3.3 Reduksi data TRMM 3B43 Menggunakan EOF berbasis SVD Pada tahap ini akan diterapkan teknik EOF berbasis SVD terhadap matriks data curah hujan TRMM 3B43. Tahap reduksi dapat dilihat pada flowchart pada Gambar 2 berikut.
Data Curah Hujan (X)
Tentukan nilai singular dan vektor singular terbesar
T
p
nX USV
Spasial Pola U y r
1 2 PolaTemporal
p pv
p j T j j jmX u v
1 ~ r i i i i v k
u 1 X X X Errorrel ~
Gambar 2 Skema Analisis EOF menggunakan SVD
11 menentukan efektifitas hasil reduksi dari mode EOF yang dihasilkan, maka digunakan error norm matriks untuk menghitung nilai kesalahan.
Dari uraian di atas, digambarkan langkah–langkah secara umum yang dilakukan dalam penelitian ini seperti yang ditunjukkan oleh Gambar 3 berikut.
Gambar 3 Skema langkah-langkah penelitian
Mulai
- Identifikasi masalah - Penentuan tujuan
- Studi literatur dan pengumpulan data - Penyusunan algoritme
- Penyusunan program Matlab
Ekstraksi data curah hujan TRMM 3B43
Reduksi data menggunakan analisis EOF berbasis SVD, dihitung
persentase variansnya serta plot pola temporal dan pola spasial
Hitung hampiran hasil reduksi mode EOF terhadap data asli menggunakan analisis error norm matriks
Visualisasikan error norm relatif
12
4.
HASIL DAN PEMBAHASAN
Bab ini menjelaskan tentang hasil uji coba yang telah dilakukan untuk menjawab pertanyaan yang diberikan pada perumusan masalah. Selain itu, diberikan pula algoritme ekstraksi data dan pereduksian data menggunakan metode EOF berbasis SVD. Selanjutnya dihitung nilai kesalahan dengan menggunakan error norm matriks dari mode EOF hasil reduksi.
Eksplorasi data TRMM 3B43
Data yang diperoleh dari data TRMM 3B43 merupakan data global untuk seluruh dunia. Oleh karena itu, perlu dilakukan ekstrasi data atau pemotongan data pada wilayah cakupan Indonesia untuk menganalisis data yang akan digunakan dalam penelitian. Berikut ini algoritme ekstrasi data curah hujan TRMM 3B43:
Algoritme 1
1. Penentuan domain wilayah Indonesia yang akan dianalisis yaitu 60 LU–110 LS dan 950 BT–410 BT.
2. Pemotongan data curah hujan TRMM 3b43 yang memiliki format HDF ke dalam grid berukuran 185 x 73 sehingga jumlah pixel yang diperoleh 13505 untuk setiap bulannya selama 204 bulan atau selama 17 tahun.
3. Reshaping data yang sudah dipotong untuk setiap bulannya.
4. Pengurutan data yang sudah di-reshape berdasarkan urutan waktu (t). 5. Pembentukan matriks data (X).
Eksplorasi data diawali dengan menyajikan pola data yang tersedia dalam bentuk visual berdasarkan grid data global. Gambar 4 menunjukkan ilustrasi visual data TRMM 3B43 untuk seluruh dunia atau global dengan letak koordinat 500LU–500LS dan 1800B–1800BB pada bulan Januari tahun 2014. Ukuran grid data dengan koordinat tersebut yaitu 1440 x 400 pixel.
13
Proses pemotongan data sesuai dengan domain wilayah Indonesia yaitu 60 LU–110 LS dan 950 BT–1410 BT, sehingga untuk setiap satu bulan diperoleh matriks X berukuran 185 x 73 dengan jumlah pixel sebanyak 13505. Gambar 5 menunjukkan ilustrasi visual data curah hujan TRMM 3B43 untuk wilayah Indonesia pada bulan Januari 2014.
Setelah dilakukan pemotongan untuk setip bulannya kemudian masing– masing data di-reshape. Selanjutnya, diurutkan berdasarkan urutan waktu sehingga diperoleh matriks berukuran 13505 x 204.
Analisis Empirical Orthogonal Function (EOF)
Seperti yang telah dijelaskan dalam pendahuluan bahwa metode EOF merupakan suatu metode yang digunakan untuk menentukan pola-pola dominan pada data yang berevolusi pada pola spasial dan temporal. Data curah hujan yang diukur dalam suatu pengamatan biasanya memiliki dimensi matriks data yang sangat besar. Salah satu tujuan dari analisis EOF dalam penelitian ini adalah untuk mereduksi data sehingga memudahkan analisis data baik secara temporal maupun spasial. Oleh karena itu, dalam penelitian ini EOF berbasis SVD digunakan untuk memperoleh nilai singular dan vektor singular serta komponen utama atau mode EOF dari matriks data. Tahapan analisis metode EOF terhadap data curah hujan TRMM 3B43 secara khusus akan disajikan dalam algoritme di bawah ini.
Algoritme 2 analisis EOF 1. Diberikan matriks data .
2. Pereduksian matriks data dengan SVD .
3. Penentuan nilai singular dari yang terbesar . 4. Penentuan skor komponen utama atau mode EOF .
5. Penentuan proporsi varian dari i komponen utama berdasarkan persamaan (6). 6. Penentuan jumlah mode EOF yang digunakan berdasarkan ukuran persentase
kumulatif varian lebih dari 80%.
7. Analisis data secara spasial dan temporal.
14
8. Perhitung error norm matriks.
Pada bagian ini disajikan hasil perhitungan numerik yang diperoleh dari metode EOF. Sebelum dilakukan analisis dari hasil reduksi data, terlebih dahulu ditentukan berapa jumlah komponen utama yang akan digunakan sebagai analisis selanjutnya. Terdapat banyak kriteria dalam pemilihan jumlah komponen utama yang akan diikutsertakan ke dalam analisis EOF. Akan tetapi dalam penelitian ini banyaknya komponen utama yang digunakan dilihat dari persentase varian kumulatif. Menurut Jolliffe IT (2002) komponen utama hanya diikutsertakan jika mempunyai proporsi varian kumulatif lebih dari 80%.
Tabel 1 Nilai singular dan persentase kumulatif analisis EOF Mode EOF Nilai Singular Persentase Varian
Individual Kumulatif
1 903.17 30.68 30.68
2 585.47 19.89 50.57
3 495.16 16.82 67.4
4 336.38 11.43 78.83
5 329.49 11.19 90.03
6 293.39 3.12 93.15
7 221.19 1.78 94.93
8 214.66 1.01 95.94
… … … …
202 27.53 0.03 99.65
203 27.42 0.03 99.82
204 26.43 0.03 100
Berdasarkan Tabel 1 dapat dilihat bahwa lima nilai singular terbesar menunjukkan persentase varian kumulatif sebesar 90.03%. Hal ini berarti bahwa seluruh matriks data X dapat diwakili dengan lima mode EOF atau KU. Oleh karena itu, analisis selanjutnya menggunakan lima mode EOF dengan varian terbesar.
Tabel 2 Nilai komponen utama hasil analisis EOF
Grid EOF1 EOF2 EOF3 EOF4 EOF5 EOF6 ... EOF204 1 6.022 -0.715 -2.398 3.110 -3.229 5.087 ... 0.094 2 5.950 -1.016 -2.173 3.076 -3.258 5.165 ... 0.068 3 6.219 -1.447 -2.144 3.212 -3.362 4.843 ... 0.138 4 6.202 -1.304 -2.266 3.287 -3.557 4.535 ... 0.109 5 6.465 -0.940 -2.392 3.578 -3.649 4.559 ... 0.391 6 6.220 -0.903 -2.818 3.554 -4.085 4.279 ... 0.333 10 6.721 -1.041 -3.054 2.877 -4.666 4.316 ... -0.066
... ... ... ... ... ... ... ... ...
15 Skor komponen utama atau mode EOF yang diperoleh merupakan skor yang menunjukkan besar kecilnya nilai atau kontribusi dari setiap komponen utama terhadap masing-masing unit pengamatan. Nilai skor komponen utama dapat bernilai positif maupun negatif. Nilai positif berarti suatu komponen utama memberi kontribusi yang besar dan berpengaruh positif terhadap unit pengamatan demikian pula sebaliknya. Dalam penelitian ini skor komponen utama diperoleh dari hasil kali nilai singular vektor kiri dengan nilai singular. Tabel 2 menunjukkan nilai dari mode EOF atau skor komponen utama yang diperoleh dari hasil reduksi data dengan menggunakan metode EOF berbasis SVD.
Secara umum, vektor singular mendeskripsikan hubungan daerah-daerah yang memiliki variabilitas curah hujan yang besar. Daerah dengan curah hujan varian yang bernilai positif dapat dibedakan dengan daerah yang memiliki varian curah hujan yang bernilai negatif. Nilai positif menunjukkan curah hujan di atas rata-rata, sedangkan nilai negatif menunjukkan curah hujan di bawah rata-rata. Selanjutnya dari lima nilai singular terbesar yang diperoleh dari hasil reduksi dianalisis baik secara spasial maupun temporal. Pola spasial tersebut dapat dibentuk setelah mereshape kembali masing-masing dari mode EOF.
Pola spasial merupakan hasil visualisasi skor komponen utama dari masing–masing mode EOF. Mode EOF1 menjelaskan varian data sebesar 30.68% dari total varian. Gambar 6 menunjukkan keadaan curah hujan di wilayah Indonesia selama 204 bulan. Curah hujan pada mode ini memiliki skala yang berkisar di antara -30 sampai dengan 10. Mode EOF1 menjelaskan bahwa curah hujan yang tinggi terdapat di sebagian besar wilayah Indonesia, namun sebagian besar pulau Papua memiliki curah hujan yang cukup rendah.
16
Gambar 7 menunjukkan pola spasial untuk mode EOF2 dengan varian curah hujan sebesar 19.89%. Curah hujan yang tinggi terdapat pada bagian barat pulau Sumatra dan Jawa. Sebagian wilayah kalimantan dan Papua memiliki curah hujan yang bernilai positif. Curah hujan pada mode ini bernilai positif dan negatif dengan skala berkisar antara -15 sampai 15.
Mode EOF3 pada Gambar 8 menunjukkan curah hujan di wilayah barat Indonesia cukup tinggi atau sangat dominan, sebaliknya wilayah timur Indonesia memiliki curah hujan yang rendah. Pada mode ini nilai curah hujan berkisar di antara -15 sampai 10.
Gambar 9 menunjukkan mode EOF4 yang memiliki nilai curah hujan berkisar antara -8 sampai 6. Dapat di lihat dari Gambar 10 di sebagian besar pulau–pulau besar di Indonesia memilik curah hujan yang cukup tinggi.
Gambar 7 Pola spasial mode EOF2
17
Gambar 10 menunjukkan pola spasial untuk mode EOF5. Mode ini memiliki nilai curah hujan yang berkisar diantara -8 sampai 8 dan menjelaskan sebagian besar wilayah Indonesia memiliki curah hujan yang rendah.
Total varian yang dijelaskan oleh lima komponen utama atau mode EOF tersebut lebih dari setengah keseluruhan varian, karena pada analisis EOF ini diambil keseluruhan data set dari 204 bulan. Lima mode EOF menjelaskan 90.03% dari varian curah hujan total yang merupakan nilai capaian cukup tinggi.
Vektor singular menunjukkan plot data time series atau pola temporal dari analisis EOF. Gambar 11 menunjukkan variasi penampakan curah hujan tahunan selama 17 tahun dari mode EOF. Dilihat dari proporsi varian, mode EOF1 memiliki varian terbesar yaitu sebesar 30.07% dari total varian. Grafik temporal yang dihasilkan mode EOF1 pada Gambar 11a memperlihatkan siklus dengan periode tahunan yang dominan berada di setiap titik puncaknya. Hal ini diduga pengaruh fenomena musiman yang terjadi setiap tahunnya. Pada mode ini nilai
Gambar 9 Pola spasial mode EOF4
18
tertinggi berada pada tahun 2002, artinya pada tahun tersebut curah hujan di Indonesia banyak bervariasi dengan perubahan variannya cukup besar. Pola tahunan juga terdapat pada mode EOF2 yang terlihat pada Gambar 11b.
[image:30.595.40.471.64.622.2]Mode EOF3 yang terlihat pada Gambar 11c dengan proporsi varian masing–masing 19.89% dan 16.82%. Selain itu, dapat ditunjukkan pula semakin lemahnya variasi penampakan bulanan mode EOF4 pada Gambar 11d dan mode EOF 5 pada Gambar 11e. Mode-mode tersebut menggambarkan pola bulanan dengan proporsi varian 11.43% dan 11.19%.
19 Berdasarkan hasil dari analisis EOF, dapat diketahui seberapa besar analisis EOF mampu mewakili matriks data yang sebenarnya. Jika mode EOF dari hasil reduksi data menggunakan SVD maka reduksi dari matriks adalah
. Karena nilai singular
[image:31.595.149.453.270.542.2]atau varian Ʃ disusun dengan urutan terbesar ke yang terkecil maka suku-suku yang nilai singularnya sangat kecil tidak banyak berpengaruh pada pola spasial dari matriks data . Dari sini untuk menentukan nilai error norm matriks dari matriks data , misalkan ̃ , dan . Oleh karena itu, nilai error norm matriks diperoleh dengan meminimumkan ‖ ̃‖ ∑ ∑ ( ̂) Hasil perhitungan error norm matriks dapat di lihat pada Tabel 3.
Tabel 3. Nilai Error Norm untuk masing-masing mode EOF Mode
EOF Error
Mode
EOF Error
Mode
EOF Error 1 0.6482 16 0.1112 18 0.1090 2 0.5482 17 0.1486 19 0.1077 3 0.3724 18 0.1446 20 0.1070 4 0.3648 19 0.1436 21 0.1055 5 0.3248 20 0.1387 22 0.1043 6 0.2449 21 0.1348 23 0.1031 7 0.2377 22 0.1323 24 0.1010 8 0.2082 23 0.1319 25 0.1003 9 0.2052 24 0.1273 26 0.0984 10 0.1877 25 0.1236 27 0.0967 11 0.1845 26 0.1215 28 0.0961 12 0.1765 27 0.1207 29 0.0948 13 0.1651 28 0.1162 30 0.0941 14 0.1598 29 0.1126 31 0.0931 15 0.1514 30 0.1121 32 0.0915
21 adalah matriks skor EOF atau komponen utama. Skor komponen utama dapat dituliskan
Oleh karena itu, untuk merekonstruksi kembali matriks data hasil reduksi menjadi matriks data asli dapat menggunakan persamaan ∑ . Sebagai contoh Gambar 13 menunjukkan rekonstruksi matriks data hasil reduksi menjadi matriks data asli untuk data curah hujan wilayah Indonesia pada bulan Januari 2013.
5.
SIMPULAN DAN SARAN
Simpulan
Analisis EOF terhadap data curah hujan TRMM 3B43 untuk cakupan wilayah Indonesia menghasilkan lima mode EOF. Mode EOF tersebut mampu menjelaskan 90.03% dari total varian. Mode EOF1 memiliki proporsi varian sebesar 30.68% dari total varian. Mode EOF selanjutnya secara berturut–turut 19.89%, 16.82%, 11.43% dan 11.19% dari total varian. Skor komponen utama menunjukkan pola spasial dari hasil analisis EOF sedangkan vektor singular menunjukkan plot data time series atau pola temporal dari analisis EOF. Hasil perhitungan error norm matriks menunjukkan bahwa jika hanya digunakan lima mode EOF maka nilai error norm matriks sebesar 32.48%. Oleh karena itu, semakin banyak mode EOF yang digunakan maka nilai kesalahannya akan semakin kecil.
Saran
Analisis Empirical Orthogonal Function (EOF) merupakan suatu metode untuk menentukan pola-pola dominan pada data yang berevolusi dalam ruang dan waktu serta data yang memiliki dimensi yang cukup besar. Pada penelitian selanjutnya analisis EOF dapat di lanjutkan dengan menambahkan data dari stasiun pengamatan curah hujan yang ada di Indonesia kemudian dapat di bandingkan dengan hasil data curah hujan TRMM 3B43. Selain itu dapat pula membandingkan metode EOF dengan metode matematika lainnya yang berhubungan dengan pereduksian data misalnya menggunakan Analisis komponen utama non linier atau analisis komponen utama kernel. Selanjutnya, dibandingkan nilai efektifitas atau nilai kesalahan dari masing–masing metode.
DAFTAR PUSTAKA
Aldrian E. and Susanto RD. 2003. Identification of three dominant rainfall regions within Indonesia and their relationship to sea surface temperature, Int. J. Climatology, 23: 1435-1452.
22
Hannachi A. 2009. A primer for EOF analysis of climate data: Department of Meteorology, University of Reading, Reading RG6 6BB, U.K.
Jolliffe IT.2002. Principal Ccomponent Analysis. 2nd ed. New York: Springer-Verlag.
Kutzbach JE. 1967. Empirical eigenvectors of sea-level pressure, suface temperature, and precipitation complexes over North America, Journal of Applied Meteorology 6:791-802.
Leon SJ. 2014. Linear Algebra with Applications. 8th ed. New Jersey (USA): Prentice Hall.
Lorenz EN. 1956. Empirical orthogonal function and statistical weather prediction. Scientific Report 1:1-49.
Lyons SW. 1982. Empirical orthogonal function analysis of hawaiian rainfall Journal Applied Meteorology 21: 1713 – 1729.
Meyer CD. 2000. Matrix Analysis & Applied Linear Algebra: Siam.
Navarra A, Simoncini V. 2010. A Guide to Empirical Orthogonal Function for Climate Data Analysis: Springer.
Nayagam LR, Rajesh J, H.S Ram M. 2009. Variability and teleconnectivity of northeast monsson ranifall over India. Global and Planetary Change 69:225-231
23 Lampiran 1 Algoritme ekstraksi data curah hujan TRMM 3B43
function [z] = hjn(a,b)
z=zeros(13505,12*(b-a+1)); i=1;
for iterTahun = a:b; tahun = iterTahun;
strTahun = num2str(tahun,'%04.f'); for iterBulan = 1:12
bulan = iterBulan;
strBulan = num2str(bulan,'%02.f'); kode = 01;
strKode = num2str(kode,'%02.f'); namaFile =
strcat('3b43.',strTahun,strBulan,strKode,'.7A.hdf'); %membaca file baca = hdfread(namaFile, '/Grid/precipitation',
'Index', {[1 1],[1 1],[1440 400]}); X = baca(1100:1284, 156:228); A = reshape(X,[],1);
z(:,i)=A; i=i+1; end
end
Lampiran 2 Algoritme reduksi data menggunakan EOF berbasis SVD
function [PC,V,l,U,S]=AKUL(z) data = zscore(z);
[U,S,V]=svds(data); r=6;
l=zeros(r,3); l(:,1)=diag(S); for i=1:r
l(i,2)=l(i,1)/sum(l(1:r,1))*100;
l(i,3)=sum(l(1:i,1))/sum(l(1:r,1))*100; end
PC=U*S; end
24
Lampiran 3 Plot pola spasial
%plot Spasial EOF Mode 1 t1 = reshape(PC(:,1),185,73); xlon = 95:0.25:141;
ylat = -11:0.25:7;
[XLON,YLAT] = meshgrid(xlon,ylat);
surf(XLON,YLAT,t1'); view([0 90]); shading flat
load coast
hold on
plot3(long,lat,3000*ones(size(long)),'k'); axis equal tight
axis([95 141 -15 10]);
title('EOF Mode 1','FontWeight','bold','FontSize',12) xlabel('Longitude');ylabel('Latitude')
title('Mode EOF1','FontWeight','bold','FontSize',12)
xlabel('Bujur','FontWeight','bold','FontSize',12);ylabel('Lintang' ,'FontWeight','bold','FontSize',12)
h = subplot(1,1,1);
set(h,'XGrid','on','YGrid','on','FontWeight','bold','FontSize',12, 'XTickLabel',{'100BT','110BT','120BT','130BT','140BT'},'Xtick',[10 0 110 120 130
140],'YTickLabel',{'10LS','5LS','0','5LU','10LU'},'Ytick',[-10 -5 0 5 10]);
hold on
%plot Spasial EOF Mode 2 t2 = reshape(PC(:,2),185,73);
xlon = 95:0.25:141; ylat = -11:0.25:7;
[XLON,YLAT] = meshgrid(xlon,ylat);
surf(XLON,YLAT,t2'); view([0 90]); shading flat
load coast
hold on
plot3(long,lat,1000*ones(size(long)),'k'); axis equal tight
axis([95 141 -15 10]); title('Mode EOF2','FontWeight','bold','FontSize',12) xlabel('Bujur');ylabel('Lintang') title('Mode EOF2','FontWeight','bold','FontSize',12) xlabel('Bujur','FontWeight','bold','FontSize',12);ylabel('Lintang' ,'FontWeight','bold','FontSize',12)
25 set(h,'XGrid','on','YGrid','on','FontWeight','bold','FontSize',12, 'XTickLabel',{'100BT','110BT','120BT','130BT','140BT'},'Xtick',[10 0 110 120 130
140],'YTickLabel',{'10LS','5LS','0','5LU','10LU'},'Ytick',[-10 -5 0 5 10]);
hold on
%plot Spasial EOF Mode 3 t3 = reshape(PC(:,3),185,73); xlon = 95:0.25:141;
ylat = -11:0.25:7;
[XLON,YLAT] = meshgrid(xlon,ylat);
surf(XLON,YLAT,t3'); view([0 90]); shading flat
load coast
hold on
plot3(long,lat,1000*ones(size(long)),'k'); axis equal tight
axis([95 141 -15 10]);
title('Mode EOF3','FontWeight','bold','FontSize',12)
xlabel('Bujur','FontWeight','bold','FontSize',12);ylabel('Lintang' ,'FontWeight','bold','FontSize',12)
h = subplot(1,1,1);
set(h,'XGrid','on','YGrid','on','FontWeight','bold','FontSize',12, 'XTickLabel',{'100BT','110BT','120BT','130BT','140BT'},'Xtick',[10 0 110 120 130
140],'YTickLabel',{'10LS','5LS','0','5LU','10LU'},'Ytick',[-10 -5 0 5 10]);
26
Lampiran 4 Plot pola temporal
figure;subplot(5,1,1) l1=l(1,2);
plot(V(:,1));
title([num2str(l1,'%.1f'),'%Variance of TRMM 3B43'],'FontWeight','bold','FontSize',14) h = subplot(5,1,1);
set(h,'XGrid','on','YGrid','on','FontWeight','bold','FontSize',12, 'XTickLabel',{'1998','1999','2000','2001','2002','2003','2004','20 05','2006','2007','2008','2009','2010','2011','2012','2013','2014' },'Xtick',[6 18 30 42 54 66 78 90 102 114 126 138 150 162 174 186 198]); hold on subplot(5,1,2) l1=l(2,2); plot(V(:,2));
title([num2str(l1,'%.1f'),'%Variance of TRMM 3B43'],'FontWeight','bold','FontSize',14) k = subplot(5,1,2);
set(k,'XGrid','on','YGrid','on','FontWeight','bold','FontSize',12, 'XTickLabel',{'1998','1999','2000','2001','2002','2003','2004','20 05','2006','2007','2008','2009','2010','2011','2012','2013','2014' },'Xtick',[6 18 30 42 54 66 78 90 102 114 126 138 150 162 174 186 198]);
hold on
figure;subplot(5,1,3) l1=l(3,2);
plot(V(:,3));
title([num2str(l1,'%.1f'),'%Variance of TRMM 3B43'],'FontWeight','bold','FontSize',14) h = subplot(5,1,3);
set(h,'XGrid','on','YGrid','on','FontWeight','bold','FontSize',12, 'XTickLabel',{'1998','1999','2000','2001','2002','2003','2004','20 05','2006','2007','2008','2009','2010','2011','2012','2013','2014' },'Xtick',[6 18 30 42 54 66 78 90 102 114 126 138 150 162 174 186 198]); hold on subplot(5,1,4) l1=l(4,2); plot(V(:,4));
title([num2str(l1,'%.1f'),'%Variance of TRMM 3B43'],'FontWeight','bold','FontSize',14) k = subplot(3,1,2);
27 hold on subplot(5,1,5) l1=l(5,2); plot(V(:,5));
title([num2str(l1,'%.1f'),'%Variance of TRMM 3B43'],'FontWeight','bold','FontSize',14) d = subplot(5,1,5);
set(d,'XGrid','on','YGrid','on','FontWeight','bold','FontSize',12, 'XTickLabel',{'1998','1999','2000','2001','2002','2003','2004','20 05','2006','2007','2008','2009','2010','2011','2012','2013','2014' },'Xtick',[6 18 30 42 54 66 78 90 102 114 126 138 150 162 174 186 198]);
hold on
Lampiran 5 Algoritme error norm matriks function e = salah2(p, PC, V, data) for i = 1:p
U1 = PC(:,1:i); P1 = V(:,1:i); xp = U1*P1';
e(1,i) =norm(data-xp)/(norm(data)); end
a = 1:1:p; plot(a,e,'r-*') end
Lampiran 6 Nilai error norm relatif
Mode EOF Error relatif Mode EOF Error relatif Mode EOF Error relatif Mode EOF Error relatif
26 0.1207 91 0.0631 131 0.0492 171 0.0387
27 0.1162 92 0.0624 132 0.049 172 0.0384
28 0.1126 93 0.0618 133 0.0485 173 0.0381
29 0.1121 94 0.0616 134 0.0483 174 0.0377
30 0.1112 95 0.0615 135 0.0479 175 0.0372
31 0.109 96 0.0611 136 0.0477 176 0.0368
32 0.1077 97 0.0604 137 0.0474 177 0.0367
33 0.107 98 0.06 138 0.0472 178 0.0363
34 0.1055 99 0.0596 139 0.0466 179 0.0361
35 0.1043 100 0.0591 140 0.0465 180 0.0358
36 0.1031 101 0.0588 141 0.046 181 0.0357
37 0.101 102 0.0586 142 0.0459 182 0.0353
38 0.1003 103 0.0585 143 0.0455 183 0.035
39 0.0984 104 0.058 144 0.0454 184 0.0348
40 0.0967 105 0.0574 145 0.0454 185 0.0344
41 0.0961 106 0.0569 146 0.0451 186 0.034
28 Mode
EOF
Error relatif
Mode EOF
Error relatif
Mode EOF
Error relatif
Mode EOF
Error relatif
44 0.0931 109 0.0558 149 0.0445 189 0.0334
45 0.0915 110 0.0557 150 0.0444 190 0.0332
46 0.0911 111 0.055 151 0.0442 191 0.0327
47 0.0901 112 0.0547 152 0.0439 192 0.0323
48 0.0891 113 0.0543 153 0.0436 193 0.0321
49 0.088 114 0.054 154 0.0433 194 0.0317
50 0.0875 115 0.0536 155 0.0431 195 0.0312
76 0.0698 116 0.0535 156 0.0427 196 0.031
77 0.0692 117 0.053 157 0.0423 197 0.0305
78 0.0685 118 0.0527 158 0.0422 198 0.0304
79 0.0677 119 0.0523 159 0.0421 199 0.0293
80 0.0674 120 0.0522 160 0.0417 200 0
81 0.0668 121 0.0518 161 0.0414
82 0.0662 122 0.0514 162 0.0412
83 0.0658 123 0.0512 163 0.0409
84 0.0655 124 0.051 164 0.0407
85 0.0651 125 0.0507 165 0.0403
86 0.0645 126 0.0505 166 0.04
87 0.0642 127 0.0503 167 0.0398
88 0.0639 128 0.05 168 0.0397
89 0.0635 129 0.0497 169 0.0394
29
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Kecamatan Sumber Jaya Lampung Barat pada tanggal 18 Februari 1991, sebagai anak pertama dari 2 bersaudara, dari pasangan A.Somad dan Syaf Rosidah. Pendidikan sarjana ditempuh di Program Studi Pendidikan Matematika, Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan (FKIP) Universitas Jember, lulus pada tahun 2013. Kesempatan untuk melanjutkan ke program magister pada Program Studi Matematika Terapan IPB diperoleh pada tahun 2013 dengan sponsor beasiswa pascasarjana dari Direktorat Jenderal Pendidikan Tinggi (DIKTI) melalui program BPPDN.
