Solusi Analitik dan Numerik Konduksi Panas pada Arah Radial dari Pembangkit Energi

SOLUSI ANALITIK DAN SOLUSI NUMERIK KO NDUKSI

PANAS PADA ARAH RADIAL DARI PEMBANGKIT

ENERGI BERBENTUK SILINDER

SKRIPSI

NURZANNAH

090801014

DEPARTEMEN FISIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

▸ Baca selengkapnya: menentukan solusi adalah

SOLUSI ANALITIK DAN SOLUSI NUMERIK KONDUKSI PANAS PADA ARAH RADIAL DARI PEMBANGKIT

ENERGI BERBENTUK SILINDER

SKRIPSI

Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains

NURZANNAH 090801014

DEPARTEMEN FISIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

PERSETUJUAN

Fakultas : Matematika Dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara

PERNYATAAN

SOLUSI ANALITIK DAN SOLUSI NUMERIK KONDUKSI

PANAS PADA ARAH RADIAL DARI PEMBANGKIT ENERGI

BERBENTUK SILINDER

SKRIPSI

Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.

Medan, 12 April 2014

PENGHARGAAN

Alhamdulillahirabbil’alamin, segala puji dan syukur penulis ucapkan kepada Allah SWT karena atas limpahan rahmat dan karuniaNya penulis dapat menyelesaikan study selama perkuliahan dan dapat menyelesaikan penyusunan skripsi ini dengan judul Solusi Analitik dan Numerik Konduksi Panas pada Arah Radial dari Pembangkit Energi. Saya menyadari bahwa tidak akan pernah ada keberhasilan tanpa adanya dukungan, oleh karena itu dalam kesempatan ini, penulis ingin mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada mereka yang telah mendukung penulis bahkan sampai pada penyelesaian skiripsi ini.

1. Kepada kedua orang tua yang tercinta dan tersayang Bapak Karman dan Ibu Wagiyem, serta saudara-saudara yang tersayang Nurmahani, Musriadi, AmdKep, Miswadani, AmdKep, Wagianti, Sri Hariana, AmdKeb, Yuswiono, S.Pd, dan Suruandi, S.Pd yang telah memberikan doa dan dukungannya baik moril maupun materil selama penulis kuliah sampai penyelesaian skripsi ini. 2. Kepada Bapak Alm Drs. Tenang Ginting, M.S dan Bapak Tua Raja Simbolon,

S.Si, M.Si selaku pembimbing penulis dalam menyelesaikan skiripsi ini yang selalu terbuka dalam memberikan bimbingan maupun motivasi dalam penulisan skripsi ini.

3. Kepada Bapak ibu dosen Departemen FISIKA USU, mulai dari Bapak Dr.Marhaposan Situmorang sebagai ketua departemen FISIKA USU dan kepada Bapak Drs. Syahrul Humaidi, M.Sc selaku sekretaris jurusan beserta staff pegawai di kantor Departemen FISIKA USU yang senantiasa membantu penulis dalam melengkapi administrasi.

4. Kepada Bapak Dr. Anwar Dharma Sembiring, M.S selaku dosen wali penulis, terima kasih untuk arahan dan bimbinganya.

5. Keluarga kepala laboratorium Fisika Inti USU Ibu Dra. Sudiati, M.Si, terima kasih untuk kesempatan mengembangkan diri sebagai seorang asisten dan menimba Ilmu Fisika secara praktek.

9. Untuk seluruh adik adik di FISIKA USU terkhusus untuk adik 2012 M. Fauzy, Sri Hani, adik 2011 Prahmadyana, Heni Setia Ningsih Rusell, adik 2010 Rumianto, untuk Okto, Bernike, percetakan kak Ana, kak Reni dan masih banyak lagi yang telah memberi dukungan dalam menyelesaiakan skripsi ini. 10.Dan kepada mereka yang tidak sebutkan namanya yang telah mendukung

penulis , saya ucapkan terima kasih.

Penulis menyadari dalam penulisan skiripsi ini masih jauh dari kesempurnaan, oleh karena itu kritik dan saran yang sifatnya membangun sangat diharapkan untuk penyempurnaan karya-karya penulis selanjutnya.

Akhir kata semoga skripsi ini dapat bermanfaat terutama bagi penulis dan pembaca, terutama juga kepada mereka yang ingin melanjutkan penelitian ini. Assalamu’alaikum wr. Wb.

Medan, 12 April 2014

SOLUSI ANALITIK DAN SOLUSI NUMERIK KONDUKSI

PANAS PADA ARAH RADIAL DARI PEMBANGKIT ENERGI

BERBENTUK SILINDER

ABSTRAK

Telah dilakukan perhitungan secara analitik dan numerik dengan pendekatan finite difference pada persamaan konduksi kalor dengan sistem fisis pembangkit energi berbentuk silinder pada arah radial. Dalam tulisan ini diterangkan teknik solusi analitik dan solusi numerik untuk menentukan distribusi temperatur dan aliran kalor pada konduksi kalor dalam keadaan tunak berdimensi satu akibat pembangkit energi. Dalam suatu benda yang memiliki gradien temperatur maka akan terjadi perpindahan energi atau perambatan panas dari bagian yang bertemperatur tinggi ke bagian yang bertemperatur rendah. Perhitungan distribusi temperatur melibatkan persamaan diferensial parsial. Solusi analitik dan solusi numerik untuk menentukan distribusi temperatur dan aliran kalor pada konduksi panas dalam keadaan tunak berdimensi satu akibat pembangkit energi berbentuk silinder pada arah radial adalah dengan menggunakan metode beda hingga. Dari hasil perhitungan tersebut diperoleh galat antara solusi analitik dan solusi numerik, yaitu pada saat r = 0 galatnya 0.7 % dan pada saat r = b ralatnya 0.9 %.

ANALYTIC AND NUMERICAL SOLUTIONS ON THE HEAT

CONDUCTION OF RADIAL DIRECTION FORM

THE ENERGY GENERATING CYLINDER

ABSTRACT

Calculation has been done analytically and numerically by finite difference approach to the heat conduction equation with physical systems cylindrical energy generation in the radial direction. This paper presents analytic and numerical solution techniques for determining temperature distribution and heat flow in one dimensional steady state heat conduction with energy generation. A plate having temperature gradient will conduct energy transfer or heat transfer from high temperature side to low temperature side. Temperature distribution calculation involves partial differential equation. Analytical and numerical solutions to determine the temperature distribution and heat flow in steady-state heat conduction in a one-dimensional energy generation due to the particular object has a cylindrical shape is to use a finite difference method. The calculation of the results obtained by the error between the analytical solution and numerical solution, namely when r = 0 and the error 0.7% when r = b error 0.9%.

DAFTAR ISI

Bab 2 Tinjauan Pustaka

2.1 Umum 5

Bab 3 Metodologi penelitian

3.1 Diagram Alir Penelitian 13

Bab 4 Hasil dan Pembahasan

4.1 Solusi Analitik 14

4.1.1 Benda Berbentuk Silinder dengan Pembangkit

Energi dan Temperatur Konstan 14

4.1.2 Fluks Panas 16

4.1.3 Benda Berbentuk Silinder dengan Pembangkit

Energi dan Konveksi 17

4.2 Solusi Numerik 19

4.2.1 Persamaan Konduksi Panas pada Koordinat Silinder 20 4.2.1 Metode Beda Hingga pada Koordinat Silinder 20

4.1.3 Menentukan Syarat Batas 23

4.1 Kesimpulan 30

4.2 Saran 30

DAFTAR PUSTAKA 31

LAMPIRAN A : Alfabet Yunani 33

DAFTAR SIMBOL

Simbol-simbol yang digunakan dalam skripsi ini dan fungsinya:

r = Jari-jari

k = Konduktivitas termal h = Koefisien pindah panas g = Energi panas elektrik T = Temperatur

Tw = Temperatur permukaan

T = Temperatur fluida = Laju perpindahan panas

q'' = Laju aliran panas melalui satuan luas q''' = Laju produksi panas persatuan volume A = Luas penampang

SOLUSI ANALITIK DAN SOLUSI NUMERIK KONDUKSI

PANAS PADA ARAH RADIAL DARI PEMBANGKIT ENERGI

BERBENTUK SILINDER

ABSTRAK

Telah dilakukan perhitungan secara analitik dan numerik dengan pendekatan finite difference pada persamaan konduksi kalor dengan sistem fisis pembangkit energi berbentuk silinder pada arah radial. Dalam tulisan ini diterangkan teknik solusi analitik dan solusi numerik untuk menentukan distribusi temperatur dan aliran kalor pada konduksi kalor dalam keadaan tunak berdimensi satu akibat pembangkit energi. Dalam suatu benda yang memiliki gradien temperatur maka akan terjadi perpindahan energi atau perambatan panas dari bagian yang bertemperatur tinggi ke bagian yang bertemperatur rendah. Perhitungan distribusi temperatur melibatkan persamaan diferensial parsial. Solusi analitik dan solusi numerik untuk menentukan distribusi temperatur dan aliran kalor pada konduksi panas dalam keadaan tunak berdimensi satu akibat pembangkit energi berbentuk silinder pada arah radial adalah dengan menggunakan metode beda hingga. Dari hasil perhitungan tersebut diperoleh galat antara solusi analitik dan solusi numerik, yaitu pada saat r = 0 galatnya 0.7 % dan pada saat r = b ralatnya 0.9 %.

ANALYTIC AND NUMERICAL SOLUTIONS ON THE HEAT

CONDUCTION OF RADIAL DIRECTION FORM

THE ENERGY GENERATING CYLINDER

ABSTRACT

Calculation has been done analytically and numerically by finite difference approach to the heat conduction equation with physical systems cylindrical energy generation in the radial direction. This paper presents analytic and numerical solution techniques for determining temperature distribution and heat flow in one dimensional steady state heat conduction with energy generation. A plate having temperature gradient will conduct energy transfer or heat transfer from high temperature side to low temperature side. Temperature distribution calculation involves partial differential equation. Analytical and numerical solutions to determine the temperature distribution and heat flow in steady-state heat conduction in a one-dimensional energy generation due to the particular object has a cylindrical shape is to use a finite difference method. The calculation of the results obtained by the error between the analytical solution and numerical solution, namely when r = 0 and the error 0.7% when r = b error 0.9%.

BAB 1

PENDAHULUAN

1.1Latar Belakang

Solusi analitik untuk masalah konduksi panas seperti pada geometrik yang

komplek, problem nonlinear, sistem termal yang meliputi coupling antara

elemen-elemen sangat rumit. Untuk menyelesaikan masalah konduksi panas satu dimensi

pada keadaan tunak dengan pembangkit energi adalah menentukan distribusi

temperature dan aliran rata – rata panas pada medium dengan bentuk geometrinya

diambil contoh yaitu; bidang datar, silinder.

Perambatan panas konduksi pada katagori sistem dengan bentuk fisik

silinder adalah perambatan satu dimensi bilamana suhu benda hanya merupakan

fungsi jarak radial dan tidak bergantung dari sudut azimut. Perambatan panas

dipengaruhi sifat-sifat fisik medium yang dilalui diantaranya konduktivitas panas k,

panas spesifik c dan kepadatan massa m yang dibangun dengan menganggap

bahwa panas mengalir merambat secara kontinu. Penelitian ini bertujuan untuk

melakukan kajian tentang model perambatan panas pada benda-benda dengan

bentuk fisik silinder dengan memandang sebagai persoalan konduksi satu dimensi.

1.2Batasan Masalah

Adapun batasan masalahnya adalah sebagai berikut:

1. Banyaknya bahan bakar, proses dan energi yang dihasilkan diabaikan.

2. Temperatur permukaan pada benda berbentuk silinder dianggap konstan.

3. Fluks panas terjadi pada arah radial saja.

1.3Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang diatas, maka rumusan masalah yang akan digunakan

yaitu:

1. Bagaimana menentukan solusi analitik konduksi panas pada pembangkit

energi?

2. Bagaimana menentukan solusi numerik konduksi panas pada pembangkit

energi?

3. Bagimana perbandingan hasil penyelesaian dari solusi analitik dan solusi

numerik konduksi panas?

1.4Tujuan Penelitian

Berdasarkan rumusan masalah diatas, maka tujuan penulisan skripsi ini adalah

1. Mendeskripsikan solusi analitik konduksi panas pada pembangkit energi.

2. Mendeskripsikan solusi numerik konduksi panas pada pembangkit energi.

3. Mendeskripsikan perbandingan hasil penyelesaian dari solusi analitik dan

solusi numerik konduksi panas pada pembangkit energi.

1.5Manfaat Penelitian

Adapun manfaat dari penulisan skripsi ini adalah sebagai berikut :

1. Bagi penulis, sebagai tambahan informasi dan wawasan mengenai bagaimana

menentukan solusi analitik dan solusi numerik konduksi panas pada

pembangkit energi.

2. Bagi pembaca, sebagai masukan dan sumbangan pemikiran untuk

memecahkan permasalahan dalam menentukan distribusi temperature dan

1.6Metode Penulisan

Metode kajian pustaka dipilih dalam penelitian ini dengan menggunakan

beberapa literatur dari berbagai sumber pustaka terkait. Kegiatan studi penelitian

ini diuraikan secara lebih rinci dibawah ini.

1. Studi Literatur

Merupakan tahap pengumpulan literatur mengenai : Perpindahan Panas,

Konduksi, Konveksi, Fluks Panas, Koordinat Silinder, dan Metode Beda

Hingga.

2. Pengkajian Literatur

Merupakan tahap penyelesaian dengan permasalahan yang akan dibahas

dalam penelitian sehingga didapat informasi yang diinginkan.

3. Pengolahan Informasi

Merupakan tahap untuk menganalisa informasi sehingga didapat informasi

yang dapat digunakan untuk menyelesaikan permasalahan dalam

penelitian.

4. Merangkum Kesimpulan

Merupakan jawaban dari setiap permasalahan yang akhirnya suatu fakta

ilmiah mengenai fenomena yang ditinjau.

5. Penulisan Laporan

Merupakan tahap penulisan laporan penelitian yang telah dilakukan dalam

bentuk skripsi.

1.7Sistemetika Penulisan

Sistematika penulisan masing-masing bab adalah sebagai berikut :

BAB I Pedahuluan

Bab ini merupakan Latar Belakang, Rumusan Masalah, Batasan

Masalah, Tujuan Penelitian, Manfaat Penelitian, Metode Penulisan, dan

Sistematika Penulisan dari Tugas Akhir ini.

BAB II Tinjauan Pustaka

BAB III Metodologi Penelitian

Bab ini membahas tentang metode yang digunakan dan diagram alir

dari penelitian.

BAB IV Hasil dan Pembahasan

Bab ini mencakup hasil penelitian berupa penejelasan metode beda

hingga yang digunakan untuk menentukan distribusi temperature pada

benda berbentuk silinder.

BAB V Kesimpulan dan Saran

Bab ini berisi kesimpulan yang diperoleh dari bab sebelumnya yaitu

hasil dan pembahasan terkait dari tujuan penelitian. Dan juga saran

BAB 2

TINJAUAN PUSTAKA

2.1Umum

Perpindahan panas adalah perpindahan energi yang terjadi pada benda atau material

yang bersuhu tinggi ke benda atau material yang bersuhu rendah, hingga tercapainya

kesetimbangan panas. Kesetimbangan panas terjadi jika panas dari sumber panas sama

dengan jumlah panas benda yang dipanaskan dengan panas yang disebarkan oleh

benda tersebut ke medium sekitarnya. Proses perpindahan panas ini berlangsung

dalam 3 mekanisme, yaitu:

1. Konduksi

2. Konveksi

3. Radiasi

Dalam prakteknya ketiga proses perpindahan panas tersebut sering terjadi secara

bersama-sama. Namun, dalam bab ini akan dijelaskan teori perpindahan panas secara

konduksi.

2.2Laju Perpindahan Panas

Konduksi adalah proses perpindahan panas dari suatu bagian benda padat atau

material ke bagian lainnya. Perpindahan panas secara konduksi dapat berlangsung

pada benda padat, umumnya logam.

Jika salah satu ujung sebuah batang logam diletakkan di atas nyala api,

sedangkan ujung yang satu lagi dipegang, bagian batang yang dipegang ini suhunya

akan naik, walaupun tidak kontak secara langsung dengan nyala api. Pada

perpindahan panas secara konduksi tidak ada bahan dari logam yang berpindah. Yang

terjadi adalah molekul-molekul logam yang diletakkan di atas nyala api membentur

molekul-molekul yang berada di dekatnya dan memberikan sebagian panasnya.

memberikan sebagian panasnya, dan begitu seterusnya di sepanjang bahan sehingga

suhu logam naik.

Jika pada suatu logam terdapat perbedaan suhu, maka pada pada logam

tersebut akan terjadi perpindahan panas dari bagian bersuhu tinggi ke bagian bersuhu

rendah.

Besarnya laju perpindahan panas (q) berbanding lurus dengan luas bidang (A)

dan perbedaan suhu pada logam tersebut seperti ditunjukkan pada Gambar

2-1. Secara matematis dinyatakan sebagai:

Gambar 2.1 Laju Perpindahan Panas

Dengan memasukkan konstanta kesetaraan yang disebut konduktivitas thermal

didapatkan persamaan berikut yang disebut juga dengan hukum Fourier tentang

konduksi:

bersuhu tinggi ke bagian yang bersuhu rendah.

Nilai kondukitivitas thermal suatu bahan menunjukkan laju perpindahan panas

yang mengalir dalam suatu bahan. Konduktivitas thermal kebanyakan bahan

kecil dan sering kali diabaikan. Jika nilai konduktivitas thermal suatu bahan makin

besar, maka makin besar juga panas yang mengalir melalui benda tersebut. Karena itu,

bahan yang harga k-nya besar adalah penghantar panas yang baik, sedangkan bila

k-nya kecil bahan itu kurang menghantar atau merupakan isolator.

2.3Aliran Panas Lewat Konduksi

Dalam konduksi, panas ditransmisikan dari satu lokasi dalam badan ke lokasi lain juga

dalam badan sebagai akibat dari perbedaan temperatur yang ada di dalam badan -

tidak ada gerakan makroskopik dari setiap bagian badan. Dengan mekanisme seperti

inilah, akan ditunjukkan dalam pasal ini, panas yang dihasilkan dalam batang bahan

bakar dipindahkan ke permukaan batang. Konveksi panas, sebaliknya, melibatkan

perpindahan panas ke cairan atau gas, yang bergerak sebagai hasil dari perbedaan

temperatur dan penolakan panas di lokasi lain. Jadi, panas yang di pindahkan dengan

cara konduksi ke permukaan batang bahan bakar dibawa ke pendingin dan keluar dari

sistem dengan cara konveksi.

Hubungan dasar yang mengatur konduksi panas adalah hukum Fourier, yang untuk

media

isotropik ditulis sebagai

Laju produksi panas total di dalam V adalah sama dengan

Dimana :

q'' : Laju aliran panas melalui satu satuan luas.

T : Temperature.

k : Sejumlah zat penting diberikan

q''' : Laju produksi panas per satuan volume.

Hasil ini dapat diterapkan untuk beberapa masalah yang menarik dalam reaktor

nuklir. Salah satu masalah sentral, seperti yang terlihat, adalah perhitungan jumlah

panas yang dapat dipindahkan keluar dari batang bahan bakar dan akhirnya ke

bakar maksimal adalah suatu kondisi preset yang tidak boleh dilampaui untuk alasan

keamanan.

2.4Konduksi pada Silinder

Arah perpindahan panas pada benda berbentuk silinder seperti tabung atau pipa adalah

radial. Pada Gambar 2.4 ditunjukkan suatu pipa logam dengan jarijari dalam ri,

jari-jari luar ro, dan panjang L, perbedaan suhu permukaan dalam dengan permukaan luar

adalah

Gambar 2.2 Aliran radial panas di dalam silinder

Perpindahan panas pada elemen dr yang jaraknya r dari titik pusat adalah:

Luas bidang permukaan silinder berjari–jari r adalah

Sehingga

Bentuk umum persamaan konduksi panas silinder :

Konduksi panas pada arah radial :

2.5Metode Beda Hingga (Finite Difference Method)

Metode beda hingga adalah metode numerik yang umum digunakan untuk

menyelesaikan persoalan teknis dan problem matematis dari suatu gejala fisis. Secara

umum metode beda hingga adalah metode yang mudah digunakan dalam penyelesaian

problem fisis yang mempunyai bentuk geometri yang teratur, seperti interval dalam

1D (satu dimensi), domain kotak dalam dua dimensi, dan kubik dalam ruang tiga

dimensi.

Berbeda dengan metode elemen hingga (Finite Element Method) yang

memiliki banyak variasi bentuk elemennya, yaitu bentuk segi empat, segi tiga dan segi

yang lain. Sedangkan metode beda hingga bentuk diskritisasi elemennya hanya

berbentuk segi empat saja.

Aplikasi penting dari metode beda hingga adalah dalam analisis numerik,

khususnya pada persamaan diferensial biasa dan persamaan diferensial parsial.

Prinsipnya adalah mengganti turunan yang ada pada persamaan diferensial dengan

diskritisasi beda hingga berdasarkan deret Taylor. Secara fisis, deret Taylor dapat

diartikan sebagai besaran tinjauan pada suatu ruang dan waktu (ruang dan waktu

tinjauan) dapat dihitung dari besaran itu sendiri pada ruang dan waktu tertentu yang

mempunyai perbedaan yang kecil dengan ruang dan waktu tinjauan (Anderson, 1984).

Atau secara matematis dapat dituliskan sebagai:

Dengan h adalah r , subskrip i merupakan titik grid, superskrip n

menunjukkan time step dan adalah reminder atau biasa disebut truncation error

yang merupakan suku selanjutnya dari deret tersebut yang dapat dinyatakan sebagai

berikut,

Metode ini akan membuat pendekatan terhadap harga-harga yang tidak

diketahui pada setiap titik secara diskrit. Dimulai dengan pemodelan dari suatu benda

keseluruhan masih memiliki sifat yang sama dengan benda utuh sebelum terbagi

menjadi bagian-bagian yang kecil. Penerapan metode ini pada persamaan adveksi

adalah memperkirakan persamaan differensial yang bersangkutan beserta syarat-syarat

batasnya dengan seperangkat persamaan aljabar. Dengan mengganti daerah yang

kontinu dengan suatu pola titik-titik tersebut. Sistem dibagi menjadi sejumlah subluas

yang kecil dan memberi nomor acuan kepada setiap subluas.

Metode beda hingga bersifat eksplisit, artinya keadaan suatu sistem atau solusi

variabel pada suatu saat dapat digunakan untuk menentukan keadaan sistem pada

waktu beriukutnya. Berbeda dengan metode implisit, yang mana penentuan solusi

sistem harus dengan memecahkan sistem pada kedua keadaan, sekarang dan yang

akan datang.

Berdasarkan ekspansi Taylor di atas (persamaan 2.12), terdapat tiga skema beda

hingga yang biasa digunakan dalam diskritisasi PDP, yaitu beda maju, maju mundur,

dan maju tengah. Berikut adalah skema beda hingga untuk koordinat silinder pada

arah radial.

Gambar 2.3 Skema beda hingga pada arah radial koordinat silinder

2.5.1 Beda Maju

Untuk beda maju, mencari nilai suatu fungsi independent variabelnya di geser

Secara umum, symbol T/ r* r menunjukkan kemiringan (gradient) nilai

fungsi T pada jika r digeser sebesar r. Sementara symbol 2T/ r2

menunjukkan lengkungan (curvature) dari titik tsb jika r digeser sebesar

r.

2.5.2 Beda Mundur

Untuk beda mundur, mencari nilai suatu fungsi independent variabelnya di

geser ke belakang sebesar r. Berikut ekspansi Taylor :

Maka,

2.5.3 Beda Tengah

Jenis beda hingga yang ketiga adalah beda tengah, di mana untuk mencari

kemiringan dari fungsi tersebut dengan menggunakan perbedaan nilai

fungsinya dari beda depan dan beda belakang. Secara matematis, beda

tengah adalah penjumlahan dari beda depan dan beda belakang.

--- +

atau

BAB 3

METODOLOGI PENELITIAN

3.1 Diagram Alir Penelitian

Berikut adalah diagram alir penelitian konduksi pada arah radial dari pembangkit

energy berbentuk silinder.

BAB 4

HASIL DAN PEMBAHASAN

4.1 Solusi Analitik

Metode Analitik adalah metode penyelesaian model matematika dengan rumus-rumus

aljabar yang sudah lazim.

4.1.1 Benda yang Berbebntuk Silinder dengan Pembangkit Energi dan

Temperatur Permukaan Konstan

Perhatikan suatu silinder panjang dengan jari-jari dalam r, dan panjang L, seperti pada

gambar 4.1. Untuk silinder yang panjangnya sangat besar dibandingkan dengan

diameternya, dapat diandaikan bahwa aliran kalor berlangsung menurut arah radial,

sehingga koordinat ruang yang diperlukan untuk menentukan sistem ini adalah r .

Gambar 4.1 Konduksi panas radial pada silinder.

Pada gambar 4.2 benda silinder dengan radius r = b , di mana temperature permukaan

disebut temperatur yang sama yaitu Tw, konduktiviti termal dan pembangkit energi

Gambar 4.2 Benda Silinder dengan Pembangkit Energi

Persamaan konduksi panas, dimana :

Temperatur permukaan = Tw

T(r) = Tw pada r = b

Persamaan (4.3a) diselesaikan dengan integrasi pertama :

Untuk maka distribusi temperature menjadi

Dengan mengintegrasikan persamaan (4.5), maka

Distribusi temperatur dari pers (4.5) dimasukkan ke pers (4.4) menjadi ;

4.1.2 Fluks Panas

Hukum dasar yang memberikan hubungan antara laju aliran panas dengan gradient

temperatur, berdasarkan observasi eksperimen, yang secara umum dinamakan setelah

ahli Matematika dan Fisika dari Perancis Joseph Fourier yang menggunakannya dalam

teori analisanya tentang panas. Untuk material homogen, solid isotropic (contohnya:

material yang konduktivitas termalnya tidak bergantung pada arah. Hukum Fourier

diberikan dalam bentuk dimana gradient temperatur adalah normal vektor ke

permukaan isothermal, vektor flux panas q(r,t) menggambarkan laju aliran panas per

satuian waktu, per satuan luas dari permukaan isothermal pada arah yang mengalami

penurunan temperatur, dan k adalah konduktiviats termal dari material yang positif

secara kuantitas skalarnya. Jika vektor flux panas q(r,t) berada pada arah yang

temperaturnya menurun, tanda minus pada persamaan (4.2) membuat laju aliran panas

bernilai positif. Jika flux panas dalam W/m2 dan gradient temperatur adalah oC/m,

konduktivitas termal bersatuan W/m oC.

Sehingga jelas bahwa laju aliran panas untuk gradient temperatur yang

diberikan secara langsung proporsional terhadap konduktivitas termal dari material.

Sehingga dalam analisa perpindahan panas konduksi, konduktifitas termal dari

material adalah sifat yang sangat penting, yang mengontrol laju aliran panas dalam

suatu medium.

Fluks panas di dalam medium didefinisikan sebagai berikut :

Untuk fluks panas pada batas permukaan adalah

Jika r = b maka fluks panas menjadi :

Jika temperatur tinggi terjadi ditengah silinder maka temperatur digaris tengah

4.1.3 Benda Berbentuk Silinder dengan Pembangkit Energi dan Konveksi

Konveksi adalah perpindahan panas oleh gerakan massa pada fluida dari suatu daerah

ruang ke daerah lainnya. Perpindahan panas konveksi merupakan mekanisme

perpindahan panas antara permukaan benda padat dengan fluida. Mekanisme fisis

perpindahan panas konveksi berhubungan dengan proses konduksi. Guna menyatakan

pengaruh konduksi secara menyeluruh digunakan hukum Newton tentang

pendinginan, yaitu :

dimana:

= Laju perpindahan panas (W)

h = Koefisien perpindahan panas konveksi

A = Luas permukaan

Tw = Suhu permukaan (oC)

= Suhu fluida (oC)

Pada gambar 4.3, aplikasi energi pada disipasi energi secara konveksi yang berasal

dari luar permukaan menuju ke dalam dengan temperatur yang konstan .

Konveksi

Gambar 4.3 Benda berbentuk silinder dengan pembangkit energi ke kondisi batas

Secara matematik dapat ditulis persamaan:

Persamaan (4.14a) diintegrasikan dan diaplikasikan ke syarat batas pers (4.14b)

dengan menentukan C1 = 0 maka,

Persamaan diatas diintegrasikan untuk mendapatkan distribusi temperatur pada C2

menjadi :

Pers (4.14c) diintegrasikan dengan syarat batas r = b maka C2 menjadi :

Distribusi temperatur pada silinder menjadi :

Secara fisika koefisien perpindahan panas mempunyai 2 batasan yaitu :

1. Distribusi temperatur pada bidang datar (slab) pada koefisien perpindahan

panas

maka,

2. Koefisien perpindahan panas yang bernilai kecil di mana temperature T(r)

menjadi tak terhingga, maka syarat batas pada pers (4.14b) menjadi :

Persamaan (4.14) disubtitusikan ke persamaan (4.19), maka menjadi :

4.2 Solusi Numerik

Metode Numerik adalah teknik yang digunakan untuk memformulasikan persoalan

matematika sehingga dapat dipecahkan dengan operasi perhitungan biasa (+, - , / , *).

4.2.1 Persamaan Konduksi Panas pada Koordinat Silinder

Persamaan konduksi panas pada koordinat silinder adalah sebagai berikut.

Persamaan konduksi panas pada koordinat silinder hanya dihitung pada arah radialnya

saja, terlihat pada persamaan (4.23).

Untuk persamaan konduksi panas pada arah radial dengan pembangkit energy,yaitu :

4.2.2 Metode Beda Hingga pada Koordinat Silinder

Metode beda hingga yang digunakan dalam menyelesaikan persamaan konduksi panas

pada silinder adalah metode beda tengah. Gambar 4.4 Menunjukkan penggunaan

Gambar 4.4 Metode Beda Hingga pada Koordinat Silinder

Pendekatan beda tengah untuk turunan parsial pada persamaan (4.22) adalah sebagai

berikut

Untuk persamaan konduksi panas pada arah radial dengan pembangkit energy,yaitu :

syarat batas dan , maka ;

Persamaan tersebut harus diturunkan untuk mendapatkan pendekatan orde dua. Dari

persamaan (4.24), maka didapat;

Subtitusikan persamaan (4.25a) dan (4.25a) kedalam persamaan (4.27) untuk

mendapatkan persamaan kesetmbangan panas.

Persamaan (4.28) dapat disederhanakan menjadi;

Bentuk beda hingga untuk persamaan energi dibagi kedalam M bagian, dan

Pada Gambar 4.6, setiap bagian berisi M + 1 pada lokasi berikut;

r = (m-1) _∆r pada m = 1,2,…, M+1

Gambar 4.6 Seleksi Node pada Benda Berbentuk Silinder

dengan node – node m =1 dan m = M+1 sebanding dengan pusat dan luar batas

permukaan benda silinder, dan node m=2,3,…,M adalah node dalam (seperti gambar

diatas). Untuk temperatur node M+1 dinyatakan sebagai;

pada m =1,2,…,M+1 2-15

Panas yang timbul pada element dengan ketebalan pada node m maka;

Dimana;

H = panjang silinder

Dari persamaan (4.28) didapat kesetimbangan energi pada silinder ;

Atau

untuk

Rata – rata panas yang timbul

Dari persamaan (4.31), persamaan beda hingga untuk kesetimbangan konduksi panas

pada tengah node m = 1, maka;

Pada syarat batas r = b maka perlu menentukan syarat batas temperatur , fluks panas

dan konveksi.

4.2.3 Menentukan Syarat Batas

a. Syarat Batas Temperatur

Jika temperatur pada batas permukaan di node M yang spesifik yang disebut

maka;

pada m = M + 1

b. Syarat Batas Fluks Panas

Kesetimbangan energi pada batas node M+1 di r = b maka;

Dimana

Dari ekspresi diatas diperoleh;

Untuk m = M + 1

Dimana

Subtitusikan persamaan (4.37)ke persamaan kesetimbangan energi dan

persamaan bedahingga dengan syarat batas r = b pada m = M + 1 maka dapat

ditulis sebagai berikut;

Contoh benda yang berbentuk silinder.

Benda sejenis chrome nikel yang berbentuk batang dengan diameter 10 cm,

konduktiviti termal , energi yang timbul dari panas elektrik

dengan rata-rata . Permukaan batang dipanasi secara konveksi dengan

koefisien perpindahan panas pada temperatur

a. Tentukan distribusi temperatur secara analitik!

b. Tentukanlah persamaan beda hingga jika radius batang dibagi kedalam 5

interval!

c. Galat

Penyelesaian :

Dit : a. Secara Analitik

b. Secara Numerik

c. Galat

Jawab :

a. Penyelesaian secara analitik

Dari persamaan (4.17) :

Maka,

Pada saat r = 0

Pada saat r = 0.01

Pada saat r = 0.02

Pada saat r = 0.04

Pada saat r = b

b. Penyelesaian secara numerik

M = 5, maka;

Persamaan beda hingga dipusat (4.35) pada node m =1 maka diperoleh;

untuk m = 1

Persamaan beda hingga dari persamaan (4.32) untuk node m =2 s/d 5 maka

diperoleh ;

Hasil akhir persamaan beda hingga (4.39) untuk syarat batas konveksi pada

Diperoleh persamaan berbentuk matrik 6 X 6 untuk 6 node temperatur Tm, m

= 1 s/d 6.

Dari persamaan diatas dapat ditulis dalam bentuk matriks;

Dari persamaan diatas diperoleh matriks tridiagonal, maka selanjutnya dengan

menggunakan program aplikasi Matlab akan diperoleh temperaturnya dalam

Tabel 4.1 Hasil distribusi temperature secara numerik

Berdasarkan hasil distribusi analitik dan numerik, maka diperoleh galatnya.

Tabel 4.2 Hasil galat dari distribusi temperatur secara analitik dan numerik

Node R T analitik (oC) _{T numerik (}o

Penyelesaian masalah kajian perambatan panas dilakukan dengan simulasi

komputer menggunakan software matematika MATLAB 7.10. Berdasarkan

BAB 5

KESIMPULAN DAN SARAN

5.1 Kesimpulan

Dari hasil pembahasan dapat diambil kesimpulan bahwa:

1. Secara analitik bahan krom nikel memiliki temperatur permukaan isolasi pada

r = 0 diperoleh sebesar , temperatur pada batas konveksi r = b

diperoleh sebesar

2. Secara numerik bahan krom nikel memiliki temperatur pemukaan isolasi r = 0

terjadi pada node m = 1 sebesar , temperatur pada batas konveksi r

= b terjadi pada node m = 6 sebesar

3. Galat perambatan kalor antara solusi analitik dan solusi numerik pada bahan

krom nikel adalah pada saat r = 0 galatnya 0.7 % dan pada saat r = b galatnya

0.9 %.

3.2Saran

Pada tulisan ini dalam menentukan perambatan panas pada arah radial dari benda

berbentuk silinder. Oleh karena itu diharapkan untuk peneliti selanjutnya dapat

DAFTAR PUSTAKA

Ainur Rosidi, M. Juarsa. 2008. Analisa Distribusi Temperatur pada Btang Panas

Bagian Uji heating 01. Batan : Pusat Pengembangan Teknologi dan

Keselamatan Nuklir.

Buchori, luqman. Perpindahan Panas. Semarang : UNDIP

Faires, J. Douglas. 1993. Numerical Method. Boston : PWS-KENT Publishing

Company.

Handayanto, Agung. Persamaan Differensial Parsial dalam Koordinat Silindris

pada Masalah Konduksi Panas. Semarang : IKIP PGRI.

Hill, J. M & Dewynne, J.N. 1987. Heat Conduction, Blackwell Scientific

Publications.

Holman, J & P, Jasjfi E. 2002. Perpindahan Kalor. Erlangga.

Klara, Syerly. 2008. Peningkatan Kreatifan Mahasiswa dengan Penerapan Metode

Student Centre Learning pada Mata Kuliah Perpindahan Panas. Makassar :

Universitas Hasanuddin.

Kreith, Frank. 2002. Principles of Heat Transfer. New York : Mc Graw – Hill Book

Company New York.

Nasution, Amrinsyah & Zakaria Hasballah. 2001. Metode Numerik dan Ilmu

Rekayasa Sipil. Bandung : ITB Press.

Ozisik, M. Necati. Heat Conduction. Jhon Willey & Sons.

Purwadi, P K. 2001. Metode ADI dalam Penyelesaian Persoalan Perpindahan Panas

Konduksi Benda Padat Tiga Dimensi Keadaan Tunak. Yogyakarta :

Universitas Sananta Dharma.

Putra S, M. Kelana. 2007. Rancangan Bangunan dan Analisa Perpindahan Panas

pada Ketel Uap Bertenaga Listrik. Medan : USU.

Putro, Paranto W S. Perancangan dan Simulasi Transfer Panas pada Material

Pendingin Peralatan Listrik Jenis Heat Pipe dengan Metode Finite Element.

Jakarta : FTI Institut Sains dan Teknologi Nasional.

Rao, K. Sankara, 2001. Numerical Method for Scientists and Engineering. New Delhi:

Saragi, Elfrida. Solusi Analitik dan Numerik Konduksi Panas pada Pembangkit

Energi. Batan : Pusat Pengembangan Teknologi Informatika dan Komputasi.

Soehardjo. 1980. Matematika 3. Semarang : ITS Press.

Susatio, Yerri. 2005. Metode Numerik Berbasis MathCAD. Yogyakarta : Andi.

Tovani, Novan. 2008. Studi Model Numerik Konduksi Panas Lempeng Baja Silindris

yang Nerinteraksi dengan Laser. Bogor : ITB

Tristono, Toni. 2011. Algoritma Simplifikasi Perambatan Panas Konduksi pada

Benda dengan Bentuk Bola. Universitas Merdeka Madiun.

Yunus, Asyuri Darami. 2009. Perpindahan Panas dan Massa. Jakarta : Universitas

LAMPIRAN A

Alfabet Yunani

Alfabet Yunani

Alpha Nu

Beta Xi

Gamma Omicron

Delta Pi

Epsilon Rho

Zeta Sigma

Eta Tau

Theta Upsilon

Iota phi

Kappa Chi

Lambda Psi

LAMPIRAN B

PENYELESAIAN KONDUKSI PANAS SECARA ANALITIK

1. Temperatur Konstan

benda silinder dengan radius r = b , di mana temperature permukaan disebut

temperatur yang sama yaitu Tw, konduktiviti termal dan pembangkit energi

konstan.

Temperatur permukaan = Tw

T(r) = Tw pada r = b

Persamaan diatas dapat diperoleh persamaan (4.4) diselesaikan dengan

mengintegrasi persamaan tersebut:

Untuk maka distribusi temperature menjadi

Untuk syarat batas pada temperature T(r) = Tw pada r = b, maka

Distribusi temperatur dari pers (B.5) dimasukkan ke pers (B.4) menjadi ;

2. Konveksi

Secara matematik dapat ditulis persamaan:

Persamaan ( a)diintegrasikan dan diaplikasikan ke syarat batas pers

( b)dengan menentukan C1 = 0 maka,

Persamaan diintegrasikan untuk mendapatkan distribusi temperatur pada

Persamaan ( c) diintegrasikan dengan syarat batas r = b maka C2 untuk

mendapatkan persamaan menjadi :

Bagikan ruas kiri dan kanan dengan , sehingga menjadi;

Subtitusikan persamaan pada persamaan untuk menentukan

LAMPIRAN C

PENYELESAIAN KONDUKSI PANAS SECARA NUMERIK

1. Temperatur Konstan

Untuk persamaan konduksi panas pada arah radial dengan pembangkit

energy,yaitu : syarat batas dan , maka ;

Pendekatan beda tengah untuk turunan parsial pada persamaan (C.21) adalah

sebagai berikut

Subtitusikan persamaan dan kedalam persamaan (C.2) untuk

mendapatkan persamaan kesetmbangan panas untuk mendapatkan persamaan

persamaan energi dibagi kedalam M bagian, dan ketebalannya

( r) adalah ;

setiap bagian berisi M + 1.

Persamaan dikalikan dengan , dan dapat disederhanakan menjadi;

Rata – rata panas yang timbul

Persamaan (4.35), didapat dengan menjumlahkan pesaman dan ,

sehingga persamaan beda hingga untuk kesetimbangan konduksi panas pada

tengah node m = 1, adalah;

bagikan persamaan diatas dengan k, maka;

Kemudian kalikan persamaan diatas dengan 4, maka

2. Syarat Batas

a.Fluks panas

Kesetimbangan energi pada batas node M+1 di r = b maka;

Dimana

Dari ekspresi diatas diperoleh persamaan ;

Bagikan persamaan diatas dengan k, maka;

Bagikan persamaan diatas dengan M, maka;

Dari persamaan tersebut dapat disederhanakan, sehingga diperoleh

persamaan ;

Untuk m = M + 1

b.Konveksi

Dimana

Dari ekspresi diatas diperoleh persamaan

Bagikan persamaan diatas dengan k, maka;

LAMPIRAN D

KONDISI SISTEM FISIS

Penyelesaian :

Dik :

Dit :

a. Secara Analitik

b. Secara Numerik

c. Galat

Jawab :

a. Penyelesaian secara analitik

Dari persamaan (4.18) :

Maka,

Pada saat r = 0.01

Pada saat r = 0.03

Pada saat r = 0.04

b. Penyelesaian secara numerik

M = 5, maka;

Persamaan beda hingga dipusat (4.35) pada node m =1 maka diperoleh;

untuk m = 0

Persamaan beda hingga dari persamaan (4.32) untuk node m =2 s/d 5 maka

diperoleh ;

Untuk m = 2

Untuk m = 3

Untuk m = 5

Hasil akhir persamaan beda hingga (4.39) untuk syarat batas konveksi pada

node m = M+1 = 6 maka diperoleh;

Diperoleh persamaan berbentuk matrik 6 X 6 untuk 6 node temperatur Tm, m

= 1 s/d 6.

Dari persamaan diatas dapat ditulis dalam bentuk matriks;

Dari persamaan diatas diperoleh matrix tridiagonal maka dapat digunakan

Dari input diatas diperoleh temperatur dari setiap node, yaitu:

Node Temperatur

1 1682.18

2 1666.55

4 1541.55

5 1432.31

6 1291.78

c. Galat

Galat saat r = 0

Galat saat r = 0.01

Galat saat r = 0.02

Galat saat r = 0.03

Galat saat r = 0.04