PEMODELAN MATEMATIKA UNTUK LAJU PENYEBARAN PENYAKIT TUBERCULOSIS YANG BERGANTUNG PADA
KEPADATAN PENDUDUK
Oleh: Daniel Munthe NIM 409230009 Program Studi Matematika
SKRIPSI
Diajukan Untuk Memenuhi Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sain
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI MEDAN
iv
iv
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur penulis ucapkan Kepada Tuhan Yesus Kristus atas kasih Nya yang begitu besar sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul “
Pemodelan Matematika Untuk Laju Penyebaran Penyakit
Tuberculosis Yang Bergantung Pada
Kepadatan Penduduk
” ini dapat terselesaikan dengan baik.Penulis menyadari bahwa dalam penulisan skripsi ini tidak akan mendapatkan suatu hasil yang baik tanpa adanya bimbingan, bantuan, saran serta doa dari berbagai pihak. Oleh karena itu, dengan segala kerendahan hati, pada kesempatan ini penulis mengucapkan terimakasih kepada: Bapak Prof. Dr. Ibnu Hajar, M.Si., selaku Rektor Universitas Negeri Medan, Bapak Prof. Drs. Motlan, M.Sc, Ph.D., selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Bapak Dr. Edi Surya, M.Si., selaku Ketua Jurusan Matematika serta selaku Pembimbing Akademik, ibu Dra.Faiz Ahyaningsih, M.Si., , Ibu Dra. Nerli Khairani, M.Si selaku Ketua Program Studi Matematika, dan Ibu Dra. Hamidah Nasution, M.Si selaku Pembimbing Skripsi yang telah meluangkan waktu dalam memberikan pengarahan, bimbingan, dan petunjuk-petunjuk yang sangat berharga selama penulisan skripsi ini sehingga skripsi ini dapat penulis selesaikan dengan baik, Bapak Dr. Edi Syahputra, M.Pd, Bapak Dr. Edy Surya, M.Si., dan Ibu Susiana.M.Si, selaku dosen penguji penulis yang telah memberikan saran dan masukan selama penulisan skripsi ini, Seluruh dosen dan pegawai di lingkungan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Medan,
Bapak Drs. Banu Susanto, M.Si., selaku Kassubag Tata Usaha dan penanggung jawab dalam penelitian penulis di Perpustakaan Universitas Negeri Medan.
Ucapan terima kasih juga saya ucapkan kepada saudara penulis, kepada Adik saya Michael Jimmy Munthe dan Matius Prima Munthe, terima kasih atas cinta, kasih sayang, doa dan dukungan yang telah memotivasi dan memberi semangat bagi saya untuk menyelesaikan studi.
Penulis juga mengucapkan terima kasih untuk teman-teman terdekat saya Jesman Butar-Butar dan Yohanes Sihite yang membantu pengerjaan penelitian ini. Tidak lupa pula penulis ucapkan terima kasih kepada sahabat-sahabat penulis:
neng Alfri, Andre JP, Erixon dan juga Naomi Widya yang selalu menemani dan tak henti-hentinya memberikan dukungan, semangat dan doa,dan canda tawa yang sering dilakukan bersama. Terimakasih pula untuk teman-teman seperjuangan : Shinta, Dwita, Devi, Gomgom, Daning, Armansyah, dan teman-teman seperjuangan Non-Dik’09 yang tidak dapat saya sebutkan satu persatu yang selama ini selalu memberikan doa, semangat dan dukungan selama penulisan skripsi ini. Juga teman-teman satu kost, Ceria nangin, Nando, Nius Naga, Good Sitopu terimakasih untuk semua bantuannya. Tak lupa juga buat Merina Tarigan atas semangat yang selalu diberikan kepada penulis.
Penulis menyadari bahwa penulisan skripsi ini masih jauh dari kata sempurna. Untuk itu dengan segala kerendahan hati penulis mengharapkan kritik dan saran membangun demi kesempurnaan skripsi ini. Semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi ilmu pengetahuan.
Medan, Maret 2015 Penulis,
vi
DAFTAR ISI
Halaman
Lembar Pengesahan i
Riwayat Hidup ii
Abstrak iii
Kata Pengantar iv
Daftar Isi vi
Daftar Gambar viii
Daftar Tabel ix
Daftar Lampiran x
BAB I PENDAHULUAN
1.1Latar Belakang 1
1.2Rumusan Masalah 4
1.3Batasan Masalah 4
1.4Tujuan Penelitian 5
1.5 Manfaat Penelitian 5
BAB II LANDASAN TEORI
2.1Epidemiologi 6
2.1.1 Peranan Epidemiologi 8
2.1.2 Ruang Lingkup Epidemiologi 8
2.2 Penyakit Tuberculosis 9
2.2.1 Kuman Tuberculosis 9
2.2.2 Cara penularan Tuberculosis 10
2.2.3 Gejala-gejala TB 11
2.2.4 Pengobatan TB 11
2.3Sistem Kompartemen 12
2.4 Model SEIR 13
2.5 PersamaanDiferensial 14
2.5.1 Persamaan Diferensial 14
2.5.2 Persamaan Diferensial Biasa 14
2.5.3Persamaan Diferensial Biasa Linier dantak Linear 15
2.6 Nilai Eigen danFaktor Eigen 15
2.6.1 Nilai Eigen 15
2.6.2 Vektor Eigen 17
2.7.1 Matriks Jacobian 20
2.8 Stabilitas dan Akar-akar Karakteristik 20
2.9 Bilangan Reproduksi Dasar 22
2.10 Spektrar Radius 24
BAB III METODE PENELITIAN
3.1 Tempat dan Waktu Penelitian 25
3.2 Teknik Pengumpulan Data 25
3.3 Langkah- Langkah Penelitian 25
3.4 Diagram Alur 26
BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 Model Matimatika 27
4.1.1 Model Epidemik Tuberculosis 27
4.1.2 Asumsi-Asumsi 28
4.1.3 Konstruksi Model 29
4.2 Menentukan Nilai Ro 34
4.3 Titik Kesetimbangan bebas Penyakit p0
35
4.4 Titik Kesetimbangan Endemik 36
4.5 Menentukan Kesetabilan Titik Kesetimbangan 38 4.4.1 Kesetabilan Titik Kesetimbangan Bebas Penyakit 40
4.5.2 Kesetabilan Titik Endemik 42
4.5 Hasil Simulasi 44
BAB V KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan 47
5.2 Saran 49
LAMPIRAN 50
ix
ix
Daftar Tabel
viii
Daftar Gambar
Gambar 2.1 Sistem Kompartemen 12
Gambar 2.2 Diagram kompartemen model SEIR 13
Gambar 3.1. Diagram Alur Penelitian 26
x
DAFTAR LAMPIRAN
Lampiran Susceptibel...50
Lampiran Exposed...50
Lampiran Infectious...51
1
BAB I
PENDAHULUAN
1.1.Latar Belakang
Perkembangan ilmu pengetahuan dibidang Matematika memberikan peranan penting dalam membantu menganalisa dan mengontrol penyebaran penyakit. Kejadian-kejadian yang ada di sekitar dapat diamati dan dianalisis dalam bentuk model matematika.
Model matematika merupakan sekumpulan persamaan atau pertidaksamaan yang mengungkapkan perilaku suatu permasalahan yang nyata. Model Matematika dibuat berdasarkan asumsi-asumsi. Model matematika yang telah dibentuk akan dilakukan analisa, agar model yang dibuat representatif terhadap permasalahan yang dibahas. Banyak permasalah yang timbul dari berbagai bidang ilmu, misalnya bidang kesehatan, kimia, biologi, dan yang lain-lain yang dapat dibuat model matematikanya.
Pada bidang kesehatan model matematika digunakan untuk mengetahui bagaimana penyebaran suatu penyakit menular maupun tidak menular dan penderita jumlah suatu penyakit baik yang berupa epidemic maupun tidak.
Beberapa penyakit seperti AIDS, H1N1, TB, mempunyai periode laten, artinya ada selang waktu dimana suatu individu terinfeksi sampai muncul penyakit. Periode laten inilah yang menjadi alasan pembentukan model SEIR.
(Ekawati)
2
Penyakit Tuberculosis (TB) paru, merupakan penyakit kronis yang masih menjadi masalah kesehatan didunia maupun di Indonesia. WHO menyatakan bahwa TB saat ini telah menjadi ancaman global. Diperkirakan 1,9 milyar manusia atau sepertiga penduduk dunia terinfeksi penyakit ini. Setiap tahun terjadi sekitar 9 juta penderita baru TB dengan kematian sebesar 3 juta orang. Dinegara berkembang kematian mencakup 25 % dari keseluruhan kasus, yang sebenarnya dapat dicegah dengan telah ditemukannya kuman penyebab TB. (Nita, 2012)
Meskipun menular, tetapi orang tertular tuberculosis tidak semudah tertular flu. Penularan penyakit ini memerlukan waktu pemaparan yang cukup lama dan intensif dengan sumber penyakit (penular). Seseorang yang kesehatan fisiknya baik, memerlukan kontak dengan penderita TB aktif setidaknya 8 jam sehari selama 6 bulan untuk dapat terinfeksi. Sementara masa inkubasi TB sendiri, yaitu waktu yang diperlukan dari mula terinfeksi sampai menjadi sakit diperkirakan 6 bulan.
Kepadatan penduduk merupakan faktor resiko terhadap kejadian TB (Depkes RI, 2006). Rumah atau daerah yang terlalu sempit atau terlalu banyak penghuninya akan menyebabkan penularan penyakit saluran pernapasan misalnya TB paru akan mudah terjadi antara penghuni rumah.
(Prasetyowati Dan Chatarina, 2009)
Di Indonesia, TB merupakan masalah utama kesehatan masyarakat. Jumlah pasien TB di Indonesia merupakan terbanyak ke-3 didunia setelah india dan china dengan jumlah pasien 10% dari jumlah pasien TB didunia. Resiko penularan setiap tahun (Annual Risk of Tuberculosis Infection = ARTI) di Indonesia cukup tinggi bervariasi antara 1-3%. Pada daerah dengan ARTI 1% berarti setiap tahun diantara 1000 penduduk, 10 orang akan terinfeksi. Sebagian
Sepanjang tahun 2010, sebanyak 73,8 persen penderita Tuberculosis (TB) paru BTA (+) di Sumatera Utara. Berdasarkan survey, dari jumlah tersebut, kota medan merupakan yang terbesar penderitanya. Lima kabupaten/kota dengan penderita terbanyak pada Triwulan I hingga III berdasarkan jumlah penduduk yaitu kota medan (2152), Pematang Siantar (288), Binjai (260), Tanjung Balai (150) dan Tebing Tinggi (145). (Indra Widyastuti. “Medan terbesar penderita TB paru”. Waspada online 13 feb 2014). Karena kota Medan merupakan yang terbesar penduduknya menderita TB, maka, untuk simulasi akan digunakan data
penderita yang ada dikota medan.
Dengan besarnya jumlah penderita Tuberculosis di Sumatera Utara, perlu adanya suatu penelitian dan pemikiran yang dilakukan selain dari pihak kesehatan juga dari bidang-bidang ilmu lainnya. Seperti yang dilakukan dalam penelitian, yaitu memikirkan suatu cara atau suatu pemecahan yang dapat menggambarkan perilaku penyakit. Salah satu cara untuk memahami dan mengidentifikasi hubungan penyebaran penyakit adalah dengan pemodelan matematika. Model matematika biasanya dengan menyederhanakan sistem yang rumit. Model ini juga dapat memprediksi laju jumlah populasi yang akan terinfeksi. Beberapa model matematika yang biasa digunakan untuk memodelkan penyebaran penyakit seperti SIR, SIRV, dan SEIR.
Model epidemik yang digunakan dalam penelitian ini adalah model epidemik SEIR. Ngwenya (2009) menyebutkan bahwa model epidemik SEIR memuat empat kompertemen yaitu Susceptible, Exposed, Infected dan Recoverey. Susceptible (S) yaitu terdiri dari individu-individu yang sehat tetapi rentan terhadap penyakit, kelompok individu Exposed (E) yang terdiri dari individu-individu yang tertular penyakit tetapi belum mempunyai kemampuan untuk menularkan penyakit kepada orang lain, kelompok individu Infectius (I) yang terdiri dari individu-individuyang tertular penyakit dan sudah mempunyai kemampuan menularkan penyakit kepada orang lain, dan kelompok individu Recovery (R) yang terdiri dari individu-individu yang telah sembuh dari penyakit.
4
mengubah model derivative yang sudah ada. Model derivative yang dilambangkan berupa suatu persamaan derivative non linier.
Model epidemik dalam penelitian ini dibentuk dengan memasukkan parameter ukuran luas wilayah yang ditempati oleh suatu populasi dalam masa penularan penyakit (tranmisia) sehingga dapat membantu menganalisa ketergantungan kepadatan penduduk dari dinamika penyakit tuberculosis. Diasumsikan bahwa terdapat pencampuran homogen dari populasi dimana semua orang mempunyai peluang yang sama untuk terinfeksi melalui suatu kontak
dengan individu penginfeksi. Populasi tersebar keseluruhan wilayah dengan luas yang sangat kecil. Diasumsikan juga bahwa semua imigran dan kelahiran tidak terinfeksi sehingga masuk kedalam kelas Susceptible (individu yang rentan). Banyaknya kasus baru atau infeksi yang terjadi karena adanya satu penderita yang masuk kedalam populasi yang sehat disebut Basic Reproductive Number (R0). 1.2 Perumusan Masalah
Berdasarkan uraian diatas, permasalahan yang dibahas adalah :
1. Bagaimana mengembangkan model Epidemi SEIR penyebaran penyakit Tuberculosis dengan efek kepadatan penduduk ?
2. Bagaimana menetukan nilai bilangan reproduksi dasar (Ro) yaitu jumlah individu yang akan terinfeksi jika satu individu terinfeksi masuk ke populasi menggunakan Metode Next Generation Matriks ?
3. Melihat pengaruh antara kepadatan penduduk dengan nilai bilangan reproduksi (Ro) ?
1.3 Batasan Masalah
Pembahasan permasalah dalam penelitian ini difokuskan pada batasan-batasan masalah, yakni:
1. Populasi bersifat homogen, dimana setiap orang mempunyai peluang yang
sama untuk terinfeksi melalui suatu kontak dengan individu penginfeksi. 2. Penyebaran populasi bersifat terbuka artinya pertambahan atau
3. Model epidemik yang digunakan adalah model epidemik tipe seir yang memiliki empat populasi yaitu Susceptible, Exposed, Infection dan Recovery.
4. Diasumsikan juga bahwa semua imigran dan kelahiran tidak terinfeksi sehingga masuk dalam kelas Susceptible (individu yang rentan)
5. Individu yang telah sembuh (Recovery) dapat kembali ke kelas laten (Exposed)
1.4 Tujuan Penelitian
Berdasarkan perumusan masalah, penulisan ini bertujuan untuk :
1. Pembentukan model matematika untuk Tuberculosis (TB) yang bergantung pada kepadatan penduduk.
2. Menentukan nilai bilangan dasar (RO) dengan menggunakan Metode Next Generation Matriks.
3. Melihat pengaruh kepadatan penduduk terhadap nilai bilangan dasar (RO). 1.5 Manfaat penulisan
Hasil penulisan ini diharapkan mempunyai manfaat bagi pembaca pada umumnya dan penulis pada khususnya, selain itu diharapkan :
1. Bagi peneliti dapat menambah pengetahuan dibidang metematika khusus nya tentang model metematika suatu penyakit,
2. Memberikan masukan kepada penulis lain yang ingin mengembangkan penulisan tentang model penyebaran penyakit tuberculosis,
47
BAB V
KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan
Berdasarkan pembahasan dalam skripsi ini dapat disimpulkan beberapa hal sebagai berikut:
1. Dengan mengembangkan model epidemik SEIR maka didapatkan model epidemik pada penyakit Tuberculosis yang bergantung pada kepadatan penduduk, parameter kepadatan penduduk didapatkan dari membandingkan jumlah individu yang terinfeksi (I) dengan luas daerah yang ditempati oleh individu yang terinfeksi (A). Model epidemi tersebut adalah :
A
Dimana kelas Susceptibe adalah seluruh individu rentan, yang berkurang karena
adanya kematian alami (µS) dan adanya individu yang tertular penyakit
A
Kelas Exposed berasal dari individu rentan yang terinfeksi penyakit namun masih
dalam tahap laten, dan berkurang karena adanya kematian alami, kematian karena
penyakit dan karena sembuhnya individu, namun dapat bertambah lagi karena ada
individu sembuh yang kembali terserang penyakit.
I
Kelas Infectious berasal dari kelas laten yang menjadi dapat menularkan, lalu
berkurang karena adanya individu infectious yang mati alami, lalu karena adanya
individu infectious yang mati karena penyakit, dan adanya individu yang sembuh dari
A
Individu Recovery berasal dari individu yang sembuh dari kelas Exposed dan Infectious
dan berkurang karena adanya kematian alami dan karena adanya individu sembuh yang
terkena penyakit kembali.
2. Dengan persamaan model dinamika penyakit Tuberkulosis diperoleh titik
adalah peluang kelangsungan hidup dari individu laten ke individu terinfeksi Artinya, untuk mendapatkan populasi bebas TB yang stabil daerah karakteristik per satuan individu harus selalu lebih besar dari hasil kali peluang kelangsungan hidup dari tingkat laten ke tingkat infeksi dengan banyaknya infeksi laten yang dihasilkan oleh individu penginfeksi selama masa infeksinya.
3. Dengan persamaan model dinamika penyakit Tuberculosis diperoleh juga titik ekuilibrium endemik yaitu :
49 lebih kecil akan mengakibatkan nilai bilangan reproduksi dasar (RO) menjadi lebih kecil. Dan jika ukuran luas wilayah kecil, kepadatan penduduk besar akan bertambah berakibat nilai bilangan reproduksi dasar (RO) atau nilai infeksi sekunder menjadi lebih besar.
5.2 Saran
