Agri-tek Volume 13 Nomor 1 Maret 2012 STABILITAS PERHITUNGAN... ... 58
STABILITAS PERHITUNGAN PADA SIMULASI NUMERIK
PERAMBATAN PANAS TRANSIENT ARAH RADIAL
PADA SISTEM ISOLASI BERBENTUK SILINDER
Tomi Tristono1)
1) Dosen Fakultas Teknik Universitas Merdeka Madiun
Abstract
Insulation system with single layer of asbestos apply at a pipe carries high temperature steam. The insulation system was hoped that could make the temperature room space surround the pipe normally. The system could be investigated as a process of heat transfer on cylindrical shape with single layer medium. Mathematical model of heat transfer trough single layer of insulation wall with cylindrical shape depended on three kinds of characteristic physical material (thermal conductivity k, heat specific c and mass density Mathematical model of heat transfer assumed that heat transported continuously. The aim of this research made heat transfer analysis and then took the mathematical modelling of moving heat conduction in insulation medium with cylindical shape as one dimentionaly on radial direction heat transfer problem. Numerical solution method would apply Finite Volume Method used discritisation technique forward central difference with node centered. Then the result will tested about the stability and its convergence and finally made the design of simulation program used mathematical computer software matlab. The results of this investigation could present the mathematical model of transient heat transfer with single layer of insulation medium on iron pipe with cylindical shape. Verification and validation about the stability and its convergence numerical solutions were depent on the step increment difference of both time and space and must satisfy Fourir Number.
key word : Insulation system, cylindrical shape, Finite Volume Method.
PENDAHULUAN.
Perpindahan panas konduksi adalah proses dimana panas mengalir dari daerah yang mempunyai temperatur lebih tinggi ke daerah yang bertemperatur lebih rendah dalam suatu medium (padat, cair, atau gas) atau antara medium – medium lain yang bersinggungan secara langsung. Pada aliran panas konduksi perpindahan energi terjadi karena hubungan molekul secara langsung tanpa adanya perpindahan molekul yang cukup besar. Energi yang dimiliki oleh suatu elemen zat yang disebabkan oleh kecepatan dan posisi relatif molekul – molekul yang bergerak. Semakin tinggi energi dalam elemen zat tersebut maka semakin cepat pula molekul – molekulnya bergerak (Holman, 1997).
Katagori sistem dalam satu dimensi termasuk berbagai bentuk fisik yang
berlainan yaitu sistem silinder dan bola adalah satu dimensi bilamana suhu benda hanya merupakan fungsi jarak radial dan tidak bergantung dari sudut azimut atau letak pada poros. Beberapa masalah dalam dua dimensi pengaruh koordinat ruang kedua mungkin kecil sekali sehingga dapat diabaikan. Perpindahan kalor dimensi rangkap dalam hal ini dapat didekati dengan analisis satu dimensi saja. Persamaan differensial konduksi panasnya menjadi sederhana dan sebagai akibat penyederhanaan ini penyelesaian akan mudah didapat. Hukum Fourir tentang konduksi thermal menjadi sederhana pula jika digunakan untuk menghitung aliran thermal dalam sebuah sistem satu dimensi (Holman, 1997).
Pada pemodelan perambatan panas dari benda-benda berbentuk silinder single
Agri-tek Volume 13 Nomor 1 Maret 2012 STABILITAS PERHITUNGAN... ... 59 layer ini menggunakan Metode Volume
Hingga (Finite Volume Method) yaitu suatu konsep metode pembaganan yang dapat diterapkan pada masalah aliran fluida dan aerodinamika (Apsley, 2005), sedangkan diskritisasinya menggunakan beda maju node di pusat. Matrik yang diperoleh sebagai hasil Diskritisasi adalah matriks simetris berbentuk matrik tridiagonal dan mempunyai invers.
Fenomena aliran fluida memenuhi sifat fisis tertentu, dan dengan memperhatikan sifat – sifat fisis tersebut maka dapat dibangun persamaan model matematikanya. Pada umumnya fluida memenuhi hukum kekekalan massa, kekekalan energi, dan hukum kekekalan momentum (White, 1994).
Penelitian ini bertujuan untuk melakukan kajian untuk mendapatkan model matematika perambatan panas arah radial pada benda-benda berbentuk silinder dengan single layer yang dipandang sebagai persoalan konduksi satu dimensi. Tahap berikutnya yaitu melakukan analisa uji stabilitas dan konvergensi program disain modelnya.
Salah satu aplikasi model perambatan panas single layer yaitu terdapat pada pengisolasian tanur tinggi atau ruang bakar dan ruang mesin yang biasanya menggunakan dinding komposit. Bahan lapisan untuk dinding komposit bermacam – macam sesuai dengan kebutuhan. Ketebalan masing – masing lapisan bervariasi untuk bahan – bahan yang berbeda.
KAJIAN TEORI
Perpindahan Panas Konduksi.
Konduksi panas dalam medium yang padat biasanya tergabung dengan konveksi dan dalam beberapa hal juga radiasi. Laju perpindahan kalor itu berbanding lurus dengan gradien temperatur (Holman, 1997). Jika dimasukkan konstanta proporsionalitas
(Proporsionality Constant ) atau tetapan kesebandingan maka :
kdT
dr
A
q
−
=
(1) denganq = laju perpindahan kalor (W)
k = hantaran thermal ( thermal conductivity ) (W/m. °C) dT =gradien temperatur ke arah
perpindahan kalor.
A = luas penampang dimana panas mengalir (m2) dan dr = selisih jari – jari.
Tanda negatif pada Persamaan (1) menyatakan bahwa kalor mengalir ke tempat yang lebih rendah dalam temperatur (untuk memenuhi hukum kedua Thermodinamika). Persamaan (1) di atas merupakan Hukum Fourir tentang konduksi kalor yang juga merupakan persamaan dasar dari konduktivitas thermal. Jika sistem ini berada dalam keadaan steady state atau tunak maka temperatur tidak bergantung pada perubahan waktu. Permasalah dalam keadaan steady state menjadi sederhana dan hanya perlu mengintegrasikan persamaan tersebut untuk memecahkan persoalan yang ada (Holman, 1997)
Laju perpindahan panas dapat ditulis dengan bentuk :
konduksi
q
= –kAdr
dT
dr
dT
=
∆
−
→
∆
= ∆ + =r
T
T
r
r r r r r0
lim
= gradien temperatur (°C/m). (2)Agri-tek Volume 13 Nomor 1 Maret 2012 STABILITAS PERHITUNGAN... ... 60 Gambar 1. Perambatan panas pada benda silindrik secara simetri melaui r1 dan r2.
Metode Volume Hingga.
Metode volume hingga adalah salah satu metode yang dapat digunakan untuk pemodelan Matematika. Metode ini diterapkan sesuai pada masalah aliran fluida dan aerodinamika (Apsley, 2005). Aliran fluida memenuhi sifat fisis tertentu, dengan memperhatikan sifat – sifat fisis tersebut dapat dibangun persamaan matematikanya. Pada umumnya fluida memenuhi hukum kekekalan massa, hukum kekekalan momentum, dan hukum fisika lainnya sesuai dengan permasalahannya.
Prosedur dalam metode volume hingga menurut David Apsley (2005) adalah:
1. Mendefinisikan bentuk geometri aliran. 2. Domain dari aliran diuraikan dalam mesh
atau grid dari volume kendali yang tidak tumpang tindih yang dapat membentuk persamaan integral yang dapat dibagankan.
3. Persamaan integral yang didiskritkan nilainya merupakan pendekatan dari nilai pada masing-masing titik.
4. Persamaan yang didiskritkan diselesaikan secara numerik
Bentuk geometris dari aliran fluida pada masing-masing volume kendali dibuat dalam bentuk grid. Grid dari volume kendali dapat berupa grid yang terstruktur atau yang tidak terstruktur ataupun grid dalam koordinat kartesius atau grid yang non kartesius. Masing-masing grid memiliki kontrol face dan kontrol node. Kontrol face terdiri dari
,
,
,
e w n s
φ φ φ φ
sedangkan kontrol node terdiri dariφ φ φ φ
E,
W,
N,
S. Grid yang terbentuk digunakan untuk mendiskritkan persamaan matematika yang terbentuk yaitu dengan mengubah kontrol face menjadi kontrol Node. Terdapat beberapa teknik pendiskritan dalam volume hingga, pemilihan teknik pendiskretan disesuaikan dengan permasalahan yang akan diselesaikan. Teknik – teknik pendiskritan tersebut yaitu dengan menggunakan metode Upwind Interpolation, Linear Interpolation, Quadratic Upwind Interpolation dan central differencing.Struktur Sistem Isolasi
Model matematika pada permasalahan perambatan panas konduksi pada sistem isolasi dibangun berdasarkan fenomena-fenomena alam yaitu hukum kekekalan massa, hukum kekekalan momentum dan hukum kekekalan energi. Persamaan matematika yang dibangun berdasarkan hukum-hukum fisika yang berlaku tersebut didasari oleh Teorema Pengangkutan Reynold (Chow, dkk., 1988).
Model matematika dari sistem isolasi silinder berlobang yang di dalamnya dialiri dengan uap panas bertemperatur tinggi beserta isolatornya yang bentuk model fisiknya yaitu seperti pada Gambar 1. Berikut ini adalah bahan – bahan penyusun struktur pipa dengan isolator pembungkusnya beserta konduktifitas thermalnya (Tristono, 2010).
qr
qr +dr
Agri-tek Volume 13 Nomor 1 Maret 2012 STABILITAS PERHITUNGAN... ... 61 Tabel 1. Konduktifitas thermal medium
No Nama medium k
watt/m °C 1 Aliran uap panas bertemperatur tinggi
2 Pipa Baja ST 60 54
3 Asbestos 0,043
4 MPAL (Melamin Plat Aluminium) 204
5 Konveksi udara bebas 30
Model perambatan panas arah radial pada benda-benda berbentuk silinder dengan single layer yang dikaji terdiri atas tiga lapisan medium isolasi. Lapisan pertama medium perambatan panas dari arah paling dalam berupa dinding pipa dengan ketebalan 5 mm, kedua yaitu asbestos dengan ketebalan 4 cm, lapisan ketiga berikutnya yaitu MPAL (Melamin Plat Aluminium) dengan tebal 0,16 cm. Perlu diketahui juga bahwa asbestos adalah medium perambatan panas dengan struktur fiberous yang mempunyai konduktifitas sangat rendah sehingga tergolong sebagai bahan isolator (Holman, 1997). Ketiga benda silindrik dengan total ketebalan 4,66 cm tersebut terbungkus dalam frame terluar berupa plat tipis yang terbuat dari MPAL (Melamine Aluminium Plat).
Metode Penelitian.
Penelitian ini termasuk penelitian terapan (applied research) dengan menggunakan data sekunder sistem isolasi pipa boiler. Sistem isolasi tersebut menggunakan ”asbestos” sebagai bahan utama medium isolator. Asbestos merupakan bahan isolator yang berfungsi menahan panas, bahan tersebut tidak mudah terbakar pada suhu yang ekstrem tinggi sehingga untuk pemakaian pada perpipaan (sebagai salah satu contoh benda berbentuk silinder) untuk penyaluran uap panas sangat cocok.
Pembaganannya model menggunakan konsep metode volume hingga (Finite Volume Method) dengan teknik diskritisasi beda maju node di pusat.
Langkah-langkahnya meliputi analisa perambatan panas pada pipa beserta sistem isolasinya, mendesain model matematika,
pembaganan dengan konsep metode volume hingga (FVM), uji stabilitas model dan uji konvergensi (Versteg, 1995), pembuatan algoritma dan program, menyelesaikan model secara numerik, verifikasi hasil dan validasi hasil.
Pada penelitian ini untuk mempermudah perhitungan maka aspek konveksi serta radiasi yang timbul diabaikan.
Model Matematika.
Neraca energi perambatan panas pada pipa adalah : energi yang dihantarkan melalui jari – jari dalam pipa + energi yang dibangkitkan dalam sistem isolasi = perubahan energi dalam (internal energy) + energi yang dihantarkan ke luar sistem isolasi melalui jari – jari luar pipa, dengan :
1. Energi yang dihantarkan masuk melalui jari – jari dalam pipa :
r
T
kA
q
r∂
∂
−
=
2. Energi yang dibangkitkan dalam unsur =
Adr
q
&
3. Perubahan energi dalam =
dr
t
T
cA
∂
∂
ρ
4. Energi yang dihantarkan keluar melalui jari – jari luar pipa.
dr r dr r
r
T
kA
q
+ +∂
∂
−
=
=
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
−
dr
r
T
k
r
r
T
k
A
Agri-tek Volume 13 Nomor 1 Maret 2012 STABILITAS PERHITUNGAN... ... 62 Dengan :
q
&
: energi yang dibangkitkan per satuan volume W/m3.c
: kalor spesifik bahan ( J/kg.K)ρ
: kerapatan atau densitas bahan (kg/m3). Jika energi yang masuk dan keluar digabungkan maka diperoleh bentuk sebagai berikut :Adr
q
r
T
kA
+
&
∂
∂
−
=dr
t
T
cA
∂
∂
ρ
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
−
dr
r
T
k
r
r
T
k
A
(3)Selanjutnya jika berlaku untuk tiap satuan luas maka kedua ruas kiri dan kanan dari Persamaan (3) dibagi dengan A maka diperoleh :
dr
q
r
T
k
+
&
∂
∂
−
=dr
t
T
c
∂
∂
ρ
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
−
dr
r
T
k
r
r
T
k
(4)Jika Persamaan (4) disederhanakan akan diperoleh persamaan :
∂
∂
∂
∂
r
T
k
r
+q
&
=t
T
c
∂
∂
ρ
(5)Persamaan (5) di atas berlaku untuk konduksi panas satu dimensi dengan harga
α
=c
k
ρ
adalah difusifitas thermal(m2/dt). Persamaan (5) dapat ditulis kembali dalam bentuk (Tristono,2011) :
∂
∂
∂
∂
r
T
r
+k
q
&
=α
1
t
T
∂
∂
(6) Persamaan (6) merupakan persamaan konduksi panas pada satu dimensi yang berubah terhadap waktu atau bisa disebut dengan konduksi panas unsteady dengan energi yang dibangkitkan dari dalam unsur. Persamaan (6) dapat ditulis menjadi : 2 2r
T
∂
∂
+k
q
&
=α
1
t
T
∂
∂
(7) Penyelesaian NumerikPersamaan kontinuitas diatas akan diselesaikan dengan melakukan diskritisasi skema beda maju.
Tabel 2. Struktur pipa dengan sistem isolasi
Lapisan Nama medium L (m)
tebal Aliran uap panas bertemperatur tinggi
1 Pipa Baja ST 60 diameter 6” 0,005
2 Asbestos 0,04
3 MPAL (Melamin Plat Aluminium) 0,0016
4 Konveksi udara bebas
Tampak pada Tabel 2. di atas yaitu bagian utama potongan melintang dari pipa dengan pembungkus bahan isolator. Tampak lapisannya adalah pipa saluran uap panas dengan diameter 6”, medium bahan isolator, kemudian pembungkus terluar berupa MPAL (Melamin Plat Aluminium). Hanya pada lapisan medium asbestos yang akan didiskritkan. Sedangkan pada pipa silinder dan lapisan MPAL (Melamin Plat Aluminium) yang tebalnya tidak lebih dari 2 mm dan
mempunyai konduktifitas thermal non isolator diabaikan.
Medium rambatan dibagi menjadi beberapa pias. Tiap – tiap pias lapisan isolasi mempunyai panjang yang sama. Hal tersebut dilakukan agar dapat mempermudah penyelesaian permasalahan yaitu misalnya n pias dan n adalah bilangan integer positip serta n > 2, dengan masing – masing
δ
r = 4/pias cm. Jumlah keseluruhan jumlah piasAgri-tek Volume 13 Nomor 1 Maret 2012 STABILITAS PERHITUNGAN... ... 63 adalah sama dengan tebal lapisan selubung
pipa.
Permasalahan tersebut akan dibahas pada keadaan unsteady dengan kondisi syarat batas Dirichlet TA = 200°C yaitu suhu uap panas yang mengalir di silinder dalam dan diasumsikan suhu TA terjadi secara tiba – tiba. TB adalah syarat batas suhu udara ruangan sekitar dimana pipa silinder tersebut berada yaitu 25 °C.
Dari diskritisasi di atas maka model dinyatakan dalam perkalian matriks AT = B. Dengan A merupakan matriks koefisien T (suhu) yaitu matriks bujursangkar berukuran n x n. T merupakan matriks kolom suhu yang mempunyai ukuran n x 1dan B merupakan nilai hasilnya di ruas kanan yang juga merupakan matriks kolom berukuran n x 1.
Kestabilan dan Akurasi Model
Dalam menyusun penyelesaian numerik perlu diperhatikan kestabilan dan keakurasiannya. Hal ini dibutuhkan bila penyelesaian eksaknya itu tidak diketahui. Sehingga untuk meyakinkannya perlu ditunjukkan seberapa akurat penyelesaian ini.
Laju perpindaham panas satu dimensi dengan fungsi bergantung waktu atau perambatan panas dalam kondisi unsteady state dapat disajikan dalam bentuk Persamaan Differensial Parsial Parabolik (Tristono,2011). Pendekatannya dengan fungsi eksplisit sistem pada satu dimensi
dapat dinyatakan sebagai berikut (Holman, 1997) : p m p m p m p m
T
x
t
T
T
x
t
T
]
)
(
.
2
1
[
)
(
)
(
.
2 1 1 2 1∆
∆
−
+
+
∆
∆
=
+ − +α
α
dan jika dipilih waktu dan jarak sehingga
bilangan
2
.
)
(
2=
∆
∆
t
x
α
maka temperatur padanode m setelah tambahan waktu
∆
t
yaitu merupakan rata – rata aritmatik pada kedua temperatur yang berada di sebelahnya pada awal waktu (Holman, 1997). Pemilihan parameter∆
t
dan∆
x
berakibat pada nilait
x
M
∆
∆
=
.
)
(
2α
dalam menentukan akurasi yangdidapat dalam memperoleh penyelesaian numerik (Nilai M >0). Jika M < 2 maka nilai koefisien
T
mp menjadi negatif dan Persamaan 8 berada pada keadaan yang melanggar hukum kedua Thermodinamika. Sedangkan nilai Bilangan FourirM
Fo
=
1
Simulasi Numerik.
Penyelesaian masalah kajian perambatan panas benda berbentuk silinder dengan single layer dilakukan dengan simulasi komputer menggunakan software matematika MATLAB dengan berbagai variasi
∆
t
yaitu agar bilangan M < 2 atau Fo > ½ , M = 2 atau Fo= ½ serta M > 2 atau Fo< ½ . Jumlah pias yang diterapkan yaitu 50 dengan∆
x
= 0,008 meter .Gambar. 2. Simulasi pipa dengan dengan selubung asbestos dengan
t
∆
=5 detik dan dengan bilangan Fo = 0,2827.Agri-tek Volume 13 Nomor 1 Maret 2012 STABILITAS PERHITUNGAN... ... 64 Gambar. 4. Simulasi pipa dengan dengan
selubung asbestos dengan
t
∆
=10 detik dan dengan bilangan Fo = 0,5655.Gambar. 3. Simulasi pipa dengan dengan selubung asbestos dengan beda
∆
t
= 8.87 detik dan dengan bilangan Fo=0,5016.Gambar. 5. Simulasi pipa dengan dengan selubung asbestos dengan beda
∆
t
= 8.842 detik dan dengan bilangan Fo= ½ .Gambar 2 memperlihatkan hasil simulasi numerik dengan
∆
t
=5 detik selama total waktu 75 menit menghasilkan nilai bilangan Fo = 0,2827 yaitu nilai Fo < ½ yang menjamin kestabilan dan akurasi perhitungan dan keadaan temperatur sistem isolasi sudah mendekati steady state. Pada Gambar 3 adalah hasil simulasi numerik dengant
∆
=8.87 detik selama total waktu 133 menit menghasilkan nilai bilangan Fo=0,5016 yaitu nilai Fo yang lebih besar dari ½ dan belum menjamin kestabilan perhitungan dan keadaan temperatur sistem isolasi tampak berosilasi kecil. Pada Gambar 4 adalah hasil simulasi numerik dengan∆
t
=10 detik selama total waktu 150 menit menghasilkan bilanganFo = 0,5655 yaitu nilai Fo yang lebih besar dari ½ dan belum menjamin kestabilan perhitungan dan keadaan temperatur sistem isolasi tampak berosilasi yang lebih besar bila dibandingkan pada Gambar 3, sedangkan pada Gambar 5 adalah hasil simulasi numerik dengan
∆
t
=8,842 detik selama total waktu 132,6 menit menghasilkan bilangan Fo = ½ masih menjamin kestabilan perhitungan. KESIMPULAN.Dari kajian perambatan panas pipa dengan selubung asbestos secara numerik yang dilakukan penulis dalam penelitian ini, maka dapat ditarik beberapa kesimpulan antara lain:
Agri-tek Volume 13 Nomor 1 Maret 2012 STABILITAS PERHITUNGAN... ... 65 1. Model matematika perambatan panas
konduksi arah radial pada benda berbentuk silinder dengan single layer seperti yang terjadi pada sistem isolasi dan berada pada kondisi unsteady dapat disajikan dalam bentuk satu dimensi yaitu : 2 2
r
T
∂
∂
+k
q
&
=α
1
t
T
∂
∂
2. Analisa uji stabilitas, konvergensi perhitungan dan akurasi program disain model simulasi numerik dapat dipenuhi jika pemilihan parameter
∆
t
danx
∆
berakibat pada nilai parameter bilangan Fourir2
1
≤
Fo
.4. Ucapan terima kasih disampaikan kepada LPPM Universitas Merdeka Madiun atas terlaksananya penelitian ini.
DAFTAR PUSTAKA
Apsley, D.D., 2007, Quantitative Properties of F.D. Schemes, Lecture handout: CFD, University of Manchester, Manchester. Holman, J.P, Jasjfi E, 1997 “Perpindahan
Kalor”, Penerbit Erlangga , Jakarta. Kreith, Frank , 2002, Principles of Heat
Transfer. Mc Graw – Hill Book Company New York.
Tristono,Tomi, 2009, Model Matematika Sistem Isolasi Panas Pada Kereta Makan dan Power dengan Metode Volume Hingga (FVM), Makalah Seminar Nasional ITS, Surabaya
Tristono,Tomi, 2010, Model Perambatan Panas Arah Radial Benda-Benda Silindrik Multilayer, Jurnal Agritek Unmer Madiun. Tristono,Tomi, 2011, Diktat Perpindahan
Panas, Unmer Madiun.
Versteg, H.K. dan Malalasekera, W., (1995), An Introduction to Computational Fluid Dynamics The finite volume Method, Longman Scientific & Technical, London.
White, F.M. ,1986, Fluid Mechanics, 2nd edition, McGraw-Hill, Inc. New York.
