Matematika Teknik I: Matriks, Inverse, dan Determinan. Oleh: Dadang Amir Hamzah STT DR. KHEZ MUTTAQIEN 2015

(1)

Matematika Teknik I: Matriks, Inverse, dan Determinan

Oleh:

Dadang Amir Hamzah

STT DR. KHEZ MUTTAQIEN 2015

(2)

Outline

1 _Matriks 2 _{Operasi Matriks} 3 _{Transpos Matriks} 4 Inverse Matriks 5 _{Determinan Matriks} Ekspansi Kofaktor

Matriks Kofaktor dan Matriks Adjoin

6 _{Aturan Cramer} 7 _{Soal-soal Latihan} 8 _Referensi

(3)

Outline

(4)

Outline

(5)

Outline

(6)

Outline

(7)

Outline

6 _{Aturan Cramer}

7 _{Soal-soal Latihan} 8 _Referensi

(8)

Outline

6 _{Aturan Cramer} 7 _{Soal-soal Latihan}

(9)

Outline

6 _{Aturan Cramer} 7 _{Soal-soal Latihan} 8 Referensi

(10)

Outline

(11)

Definisi Matriks

Matriks adalah bilangan yang disusun dalam baris dan kolom berbentuk segi empat. Bilangan-bilangan dalam suatu matriks dinamakan entri.

Berikut ini adalah contoh Matriks   1 2 3 0 −1 4  , 2 1 0 −3 ,   e π −√2 0 1₂ 1 0 0 0  , (4).

Bilangan yang menyatakan banyaknya baris dan kolom dalam suatu matriks dinamakan ordo matriks atau ukuran matriks. Ordo matriks ditulis jumlah baris × jumlah kolom. Pada contoh diatas ordo matriksnya adalah 3 × 2, 2 × 1, 3 × 3, dan 1 × 1.

Variabel untuk menyatakan matriks menggunakan huruf besar dan untuk menyatakan entri-entri pada matriks menggunakan huruf kecil.

(12)

Definisi Matriks

(13)

Definisi Matriks

(14)

Definisi Matriks

Variabel untuk menyatakan matriks menggunakan huruf besar dan untuk menyatakan entri-entri pada matriks menggunakan

(15)

Definisi Matriks

Berikut ini adalah penulisan matriks secara umum. Entri-entrinya ditulis aij dengan i menyatakan baris dan j menyatakan kolom.

a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n .. . ... ... am1 am2 . . . amn               A =

Apabila i = j, matriks A dinamakan matriks persegi kemudian bagian berwarna merah dinamakan diagonal utama.

(16)

Definisi Matriks

Berikut ini adalah penulisan matriks secara umum. Entri-entrinya ditulis aij dengan i menyatakan baris dan j menyatakan kolom.

a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n .. . ... ... am1 am2 . . . amn               A =

Apabila i = j, matriks A dinamakan matriks persegi kemudian bagian berwarna merah dinamakan diagonal utama.

(17)

Outline

(18)

Penjumlahan dan Pengurangan

Definisi

Jika A dan B adalah matriks berukuran sama maka penjumlahan A + Badalah matriks yang didapat dari menjumlahakan entri-entri matriks A dengan entri-entri matriks B yang seletak. Pengurangan matriks A − B adalah matriks yang didapat dari mengurangkan

entri-entri matriks A dengan entri-entri matriks B yang seletak. Matriks yang berukuran beda tidak dapat dijumlahkan atau dikurangkan.

Tentukan A + B dan A − B dari

A =   2 1 0 3 −1 0 2 4 4 −2 7 0   B =   −4 3 5 1 2 2 0 −1 3 2 −4 5  

(19)

Perkalian Skalar

Definisi

Misalkan A adalah sembarang matriks dan c adalah sembarang skalar. Perkalian cA adalah matriks yang didapat dari mengalikan setiap entri matriks A dengan c. Matriks cA disebut perkalian skalar dari matriks A. Jika c = −1 dan A =   2 1 0 −1 0 2 4 −2 7  tentukan cA

(20)

Perkalian Matriks

Definisi

Misalkan A adalah matriks berukuran m × r dan B adalah matriks berukuran r × n. Perkalian matriks AB adalah matriks berukuran m × n. Entri ke aij pada matriks AB didapat dengan cara mengalikan entri dari baris ke i pada matriks A dengan entri yang seletak di kolom ke j pada matriks B kemudian jumlahkan semua hasil perkaliannya.

Perkalian matriks A dan B terdefinisi jika dan hanya jika banyak kolom pada matriks A sama dengan banyak baris pada matriks B. Ordo dari matriks hasil perkalian AB adalah banyaknya baris pada matriks A × banyaknya kolom pada matriks B.

(21)

Perkalian Matriks

Perhatikan matriks berikut

A = 1 2 4 2 6 0 , B =   4 1 4 3 0 −1 3 1 2 7 5 2  

Perkalian matriks AB terdefinisi karena banyaknya kolom pada matriks A sama dengan banyaknya baris pada matriks B. Karena Aberukuran 2 × 3 dan B berukuran 3 × 4 jadi AB berukuran 2 × 4. Misalkan

AB =

a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24

untuk menentukan nilai aij kalikan baris ke i dengan kolom ke j kemudian jumlahkan semua perkaliannya. Mislkan untuk i = 1 dan j = 2 maka a12= 2.1 + 6.(−1) + 0.7 = −4.

(22)

Perkalian Matriks

A = 1 2 4 2 6 0 , B =   4 1 4 3 0 −1 3 1 2 7 5 2  

Perkalian matriks AB terdefinisi karena banyaknya kolom pada matriks A sama dengan banyaknya baris pada matriks B. Karena Aberukuran 2 × 3 dan B berukuran 3 × 4 jadi AB berukuran 2 × 4.

Misalkan

AB =

a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24

(23)

Perkalian Matriks

A = 1 2 4 2 6 0 , B =   4 1 4 3 0 −1 3 1 2 7 5 2  

AB =

a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24

(24)

Perkalian Matriks

A = 1 2 4 2 6 0 , B =   4 1 4 3 0 −1 3 1 2 7 5 2  

AB =

a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24

(25)

Outline

(26)

Transpos Matriks

Definisi

Misalkan A adalah matriks berukuran m × n. Transpos dari matriks A ditulis Atadalah matriks berukuran n × m yang dihasilkan dari menukarkan baris dengan kolom dari matriks A, yakni baris pertama Atadalah kolom pertama A kemudian baris kedua At_{adalah kolom} kedua A dan seterusnya.

Jika A = 



a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33  maka At=   a11 a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33





Tentukan transpos dari matriks-matriks berikut

A =   1 2 3 0 −1 4  , B = 2 1 0 −3 , C =   e π −√2 0 1₂ 1 0 0 0  , .

(27)

Transpos Matriks

Definisi

Jika A = 







A =   1 2 3 0 −1 4  , B = 2 1 0 −3 , C =   e π −√2 0 1₂ 1 0 0 0  , .

(28)

Transpos Matriks

Definisi

Jika A = 







A =   1 2 3 0 −1 4  , B = 2 1 0 −3 , C =   e π −√2 0 1₂ 1  , .

(29)

Outline

(30)

Pengertian Inverse Matriks

Definisi

Misalkan A dan B adalah matriks persegi berukuran sama. Jika AB = BA = I maka A disebut dapat diinverskan atau invertibel dan B adalah inverse dari A. Jika tidak ada matriks B yang memenuhi maka Adikatakan matriks singular atau tidak punya inverse.

Inverse dari matriks A ditulis A−1.

I disebut Matriks Identitas. Matriks identitas dapat juga ditulis sebagai In. Berikut ini adalah contoh matriks identitas

I2 = 1 0 0 1 , I3=   1 0 0 0 1 0 0 0 1  , I_n      1 0 . . . 0 0 1 . . . 0 .. . ... . .. ... 0 0 . . . 1     

(31)

Penggunaan Inverse Dalam SPL

Jika A adalah matriks invertibel maka

A−1 = 1

det (A)(Adj(A))

Contoh: Misalkan A = a b c d maka A−1= _ad−bc1 d −b −c a . Misalkan A adalah matriks invertible dan A−1adalah inverse dari A. Jika Ax = b adalah suatu SPL yang punya solusi tunggal maka solusi dari SPL Ax = b adalah x = A−1b.

Matriks persegi A punya inverse jika dan hanya jika det (A) 6= 0. Bandingkan solusi dari SPL

x + 2y = 5

2x + y = 1

(32)

Penggunaan Inverse Dalam SPL

A−1 = 1

det (A)(Adj(A)) Contoh: Misalkan A = a b c d maka A−1= _ad−bc1 d −b −c a .

Misalkan A adalah matriks invertible dan A−1adalah inverse dari A. Jika Ax = b adalah suatu SPL yang punya solusi tunggal maka solusi dari SPL Ax = b adalah x = A−1b.

x + 2y = 5

2x + y = 1

(33)

Penggunaan Inverse Dalam SPL

A−1 = 1

det (A)(Adj(A)) Contoh: Misalkan A = a b c d maka A−1= _ad−bc1 d −b −c a . Misalkan A adalah matriks invertible dan A−1adalah inverse dari A. Jika Ax = b adalah suatu SPL yang punya solusi tunggal maka solusi dari SPL Ax = b adalah x = A−1b.

x + 2y = 5

2x + y = 1

(34)

Penggunaan Inverse Dalam SPL

A−1 = 1

Matriks persegi A punya inverse jika dan hanya jika det (A) 6= 0.

Bandingkan solusi dari SPL

x + 2y = 5

2x + y = 1

(35)

Penggunaan Inverse Dalam SPL

A−1 = 1

x + 2y = 5

2x + y = 1

(36)

Outline

Matriks Kofaktor dan Matriks Adjoin 6 _{Aturan Cramer}

7 _{Soal-soal Latihan} 8 Referensi

(37)

Pengertian Determinan

Definition

Misalkan M adalah himpunan semua matriks persegi, kemudian A ∈ M. Determianan dari matriks A adalah fungsi yang memetakan An×nke bilangan x ∈ R. Determinan dari matriks yang tidak persegi tidak didefinisikan.

Determinan dari matriks A ditulis det(A) atau |A|. Determinan dari matriks A =

a b c d

det (A) = det

a b c d

= ad − bc. Bagaimana dengan determinan dari matriks 3 × 3 ?

(38)

Skema Sarus

Pierre Friedric Sarrus (10 March 1798, Saint-Affrique - 20 November 1861) seorang matematikawan asal Perancis. Sarrus adalah profesor di universitas Strasbourg, Perancis (1826-1856) dan anggota akademi sains di Perancis (1842). Sarrus

menemukan aturan mnemonic untuk menyelesaikan determinan untuk matriks berukuran 3 × 3 yang dinamakan skema Sarrus.

Misalkan A = 



a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33



(39)

Skema Sarus

Pierre Friedric Sarrus (10 March 1798, Saint-Affrique - 20 November 1861) seorang matematikawan asal Perancis. Sarrus adalah profesor di universitas Strasbourg, Perancis (1826-1856) dan anggota akademi sains di Perancis (1842). Sarrus

menemukan aturan mnemonic untuk menyelesaikan determinan untuk matriks berukuran 3 × 3 yang dinamakan skema Sarrus. Misalkan A =





a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33



(40)

Skema Sarus

Perhatikan matriks dibawah

+ + + a11 a12 a13 a11 a12 a21 a22 a23 a21 a22 a31 a32 a33 a31 a32           − − − a11 a12 a13 a11 a12 a21 a22 a23 a21 a22 a31 a32 a33 a31 a32           det (A) = a11a22a33+ a12a23a31+ a13a21a32− a13a22a31− a12a21a33− a11a23a32 Tentukan determinan dari A =

  2 1 0 −1 0 2 4 −2 7  

(41)

Skema Sarus

+ + + a11 a12 a13 a11 a12 a21 a22 a23 a21 a22 a31 a32 a33 a31 a32           − − − a11 a12 a13 a11 a12 a21 a22 a23 a21 a22 a31 a32 a33 a31 a32           det (A) = a11a22a33+ a12a23a31+ a13a21a32− a13a22a31− a12a21a33− a11a23a32

Tentukan determinan dari A =   2 1 0 −1 0 2 4 −2 7  

(42)

Skema Sarus

+ + + a11 a12 a13 a11 a12 a21 a22 a23 a21 a22 a31 a32 a33 a31 a32           − − − a11 a12 a13 a11 a12 a21 a22 a23 a21 a22 a31 a32 a33 a31 a32           det (A) = a11a22a33+ a12a23a31+ a13a21a32− a13a22a31− a12a21a33− a11a23a32 Tentukan determinan dari A =

  2 1 0 −1 0 2 4 −2 7  

(43)

Determinan Matriks

Bagaimana mencari determinan matriks berukuran n × n untuk n > 3?

Bagaimana mencari adjoin dari matriks berukutan n × n untuk n > 3?

Definisi

Misalkan A adalah matriks persegi. Minor entri aij dinotasikan dengan Mij yakni determinan dari submatriks yang tersisa setelah baris ke-i dan kolom ke-j dihapus dari matriks A. Bilangan (−1)i+j_Mij _yang dinotasikan dengan Cij disebut entri kofaktor dari aij.

(44)

Determinan Matriks

Definisi

(45)

Determinan Matriks

Definisi

(46)

Contoh

Misalkan A =   3 1 4 2 5 6 1 4 8  

Minor entri a11adalah

3 1 4 2 5 6 1 4 8 M11= 5 6 4 8 = _{= 16}

keterangan: Angka berwarna biru dihapus.

Kofaktor a11adalah

C11= (−1)1+1M11= 16

(47)

Contoh

Misalkan A =   3 1 4 2 5 6 1 4 8  

3 1 4 2 5 6 1 4 8 M11= 5 6 4 8 = _{= 16}

keterangan: Angka berwarna biru dihapus. Kofaktor a11adalah

C11= (−1)1+1M11= 16

(48)

Contoh

Misalkan A =   3 1 4 2 5 6 1 4 8  

3 1 4 2 5 6 1 4 8 M11= 5 6 4 8 = _{= 16}

keterangan: Angka berwarna biru dihapus. Kofaktor a11adalah

(49)

Outline

(50)

Ekspansi Kofaktor

Dengan menggunakan minor entri dan kofaktor kita dapat menuliskan determinan dari matriks A =





a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33  yang berukuran 3 × 3 yaitu det (A) = a11M11+ a12−M12+ a12M13 = a11C11+ a12C12+ a13C13

Coba bandingkan dengan skema Sarus.

Secara umum determinan dari matriks M berukuran n × n adalah det (M ) = a11C11+ a12C12+ · · · + a1nC1n

Metode ini dinamakan ekspansi kofaktor sepanjang baris pertama matriks M .

(51)

Ekspansi Kofaktor





a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33  yang berukuran 3 × 3 yaitu det (A) = a11M11+ a12−M12+ a12M13 = a11C11+ a12C12+ a13C13 Coba bandingkan dengan skema Sarus.

Metode ini dinamakan ekspansi kofaktor sepanjang baris pertama matriks M .

(52)

Ekspansi Kofaktor





a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33  yang berukuran 3 × 3 yaitu det (A) = a11M11+ a12−M12+ a12M13 = a11C11+ a12C12+ a13C13 Coba bandingkan dengan skema Sarus.

(53)

Outline

Matriks Kofaktor dan Matriks Adjoin 6 _{Aturan Cramer}

(54)

Matriks Kofaktor dan Matriks Adjoin

Definisi

Misalkan A adalah matriks berukuran n × n dan Cij adalah kofaktor dari aij. Matriks

     C11 C12 . . . C1n C21 C22 . . . C2n .. . ... . .. ... Cn1 Cn2 . . . Cnn     

disebutmatriks kofaktor dari A. Transpos dari matriks ini disebut adjoin dari A dan dinotasikan oleh Adj(A).

(55)

Outline

6 _{Aturan Cramer}

(56)

Aturan Cramer

Teorema

Misalkan Ax = b adalah sistem persamaan linear atas n persamaan dan n variabel sedemikian sehingga det (A) 6= 0. Sistem Ax = b mempunyai solusi tunggal yaitu

x1= det (A_{det (A)}1, x2 = det (A_{det (A)}2), . . . , xn= det (A_{det (A)}n) dimana Aj adalah matriks yang didapat dari mengganti entri-entri pada kolom ke j pada matriks A dengan matriks

b =      b1 b2 .. . bn     

(57)

Outline

6 _{Aturan Cramer}

7 _{Soal-soal Latihan}

(58)

Problems

1 _{Tentukan nilai a, b, c dari kesamaan matriks berikut} a − b b + c 3d + c 2a − 4d = 8 1 7 6 2 _Misalkan A =   3 −2 7 6 5 4 0 4 9   dan B =   6 −2 4 0 1 3 7 7 5   Tentukan

a. Baris pertama dari AB.

b. Kolom ketiga dari AB.

c. Baris ketiga dari AA.

(59)

Problems

3. Misalkan A adalah matriks berukuran m × n dan 0 adalah matriks barukuran m × n yang entri-entrinya nol. Tunjukkan jika kA = 0 maka k = 0 atau A = 0.

4. Misalkan A dan B adalah sebarang matriks sedemikan sehingga perkalian AB terdefinisi. Tunjukkan jika A mempunyai satu baris yang semua entrinya nol maka AB juga mempunyai baris nol.

5. Misalkan A =     1 3 1 1 2 5 2 2 1 3 8 9 1 3 2 2     Tentukan A−1.

(60)

Problems

6. Gunakan Aturan Cramer untuk menyelesaikan SPL berikut a. 7x1 − 2x2 = 3 3x1 + x2 = 5. b. x1 − 3x2 + x3 = 4 2x1 − x2 = −2 4x1 −x3 = 0. c. −x1 − 4x2 + 2x3 + x4 = −32 2x1 − x2 + 7x3 + 9x4 = 14 −x1 + x2 + 3x3 + x4 = 11 x1 − x2 + x3 − 4x4 = −4.

(61)

Outline

6 _{Aturan Cramer} 7 _{Soal-soal Latihan}

(62)

Referensi

H. Anton, C. Rores. Elementary Linear Algebra 8th_{Edition,John Wiley and Sons, New York} 2000.