TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Heteroskedastis
Masalah serius lainnya yang mungkin kita hadapi dalam analisis regresi ada-lah heteroskedastis.Ini timbul pada saat bahwa varians dari faktor konstan untuk semua nilai dari variabel bebas yang tidak terpenuhi.
Heteroskedastis adalah keadaan dimana faktor gangguan tidak memiliki va-rian yang sama. Heteroskedastis merupakan suatu fenomena dimana estimator regresi bias, namun tidak efisien,sebagai contoh yang berhubungan dengan penge-luaran dari keluarga yang berpendapatan rendah biasanya lebih kecil dibandingkan dari keluarga yang berpendapatan tinggi karena kebanyakan pengeluaran keluarga yang berpendapatan rendah biasanya merupakan barang kebutuhan pokok,dengan kemungkinan yang terbatas untuk kehendak lainnya.Maka jika data tentang penge-luaran keluarga digunakan sebagai variabel penjelas,analisis regresi akan cenderung memiliki masalah heteroskedastis. Gangguan heteroskedastis ini membawa kita pada hasil uji statistik yang tidak tepat serta interval keyakinan untuk estimasi parameter yang kurang tepat pula.
Uji heteroskedastis bertujuan untuk menguji apakah dalam model regresi terjadi ketidaksamaan varian dari residual satu pengamatan ke pengamatan lain. Jika varian residual satu pengamatan ke pengamatan lain tetap, maka disebut homoskedastis, dan jika berbeda disebut heteroskedastis. Keadaan heteroskedastis tersebut dapat terjadi karena beberapa sebab, antara lain:
1. Data dari satu variabel atau lebih mengandung nilai dengan jarak (range) yang lebar antara data paling kecil dengan data paling besar.
2. Perbedaan laju pertumbuhan antara variabel dependen dan independen sig-nifikan pada periode pengamatan untuk data deret waktu.
3. Dalam data sendiri terdapat heteroskedastis.
Model heteroskedastis yang memperhitungkan perubahan tersebut dapat mem-buat penggunaan dan estimasi data menjadi lebih efisien.
Beberapa asumsi/ contoh dalam model regresi yang terkait dengan heteros-kedastis antara lain, misalnya:
1. Kesalahan orang yang baru belajar mengetik. Semakin dia berlatih, kesala-han yang dilakukan semakin sedikit.
2. Meningkatnya pendapatan, maka tabungan secara rata-rata juga meningkat. Artinya keluarga yang berpendapatan tinggi secara rata-rata menabung lebih banyak daripada keluarga berpendapatan rendah,tetapi variabilitas dalam tabungannya juga besar.
Konsekuensi heteroskedastis adalah:
1. Koefisien tetap tidak bias namun nilai koefisien berfluktuasi tajam jika model diperbaharui dengan menambah data atau sampel yang berbeda.
2. Estimasi menjadi tidak akurat.
Makridakis et.al (1992), mengatakan ada beberapa cara untuk mendeteksi ada atau tidaknya heteroskedastis, yaitu metode informal dan metode formal. Metode informal biasanya dilakukan dengan melihat grafik dari nilai prediksi variabel inde-penden dengan residualnya. Variabel dinyatakan tidak terjadi heteroskedastis jika terdapat pola yang jelas dan titik-titik menyebar disekitar angka nol pada sumbu y, dan metode formal untuk mendeteksi keberadaan heteroskedastis antara lain dengan : Uji Park, Uji Glijser, Uji White dan uji Goldfold-Quandt.
Data cross section(data panel) sering memunculkan varians error yang hete-roskedastis, akan tetapi bukan berarti data deret waktu terhindar dari permasala-han ini, misalnya : indeks harga saham, inflasi, nilai tukar,atau suku bunga, sering
kali mempunyai varians error yang tidak konstan. Sekalipun keberadaan heteros-kedastis masih memberikan pendugaan yang tidak bias dan konsisten, pendugaan tersebut sudah tidak efisien yaitu varians dari estimator tidak minimum. Akibat-nya pada uji t, interval kepercayaan dan berbagai ukuran lainAkibat-nya menjadi tidak tepat. Salah satu cara untuk mengakomodasi heteroskedastis adalah dengan mela-kukan pemodelan varians yang dapat melamela-kukan estimasi dengan tepat. Ini berarti penyimpangan antara varians aktual dengan varians ramalan tidak jauh berbeda.
Berbagai model parametrik telah banyak dibuktikan pada dekade terakhir ini, untuk lebih jelas lihat, Brockwell dan Davis (1996), Shumway dan Stofler (2001) dan Tong (1990). Estimasi parameter untuk model linier telah banyak dikaji, sementara untuk model tak linier masih sedikit karena kompleksitasnya/ kerumitannya.
Penelitian pada umunya dilakukan untuk kasus tertentu saja,misalnya :Esti-masi parameter model ARCH (Autoregresive Conditional Heteroscedasticity) dan GARCH (Generalized Autoregresive Conditional Heteroscedasticity) yang masing-masing diperkenalkan oleh Engle (1982) dan Bollerslev (1986). Bahwa dalam model ARCH (Q), perubahan varians dipengaruhi oleh sejumlah Q data acak sebelum-nya. Model GARCH merupakan penyempurnaan dari model ARCH, yaitu sebuah konsep tentang ketidakkonstanan varians dari data acak, dan perubahan varians ini dipengaruhi oleh data acak sebelumnya yang tersusun dalam urutan waktu. Mo-del GARCH cukup baik untuk memoMo-delkan data yang berubah variansnya, namun tidak untuk data yang benar-benar acak.
Beberapa tulisan yang relevan antara lain : Giraitis dan Robinson (2001) yang mengajukan Estimasi parameter Wittle (∼). Pada tahun 2003, Chatterjee dan Das mengkaji Estimator yang diperoleh dengan meminimumkan fungsi tertentu pada model ARCH, sedangkan Peng dan Yao (2003) memperkenalkan Estimator Least-Absolut pada model ARCH, kemudian Berkes dan Horvath (2004) yang mengkaji Estimator Likelihood pada model ARCH.
Pendekatan stokastik pada analisis estimasi heteroskedastis tak linier model deret waktu dilakukan dengan menggunakan model-model statistik untuk menje-laskan perilaku dinamis, dari suatu model deret waktu. Hal ini mengasumsikan bahwa suatu deret waktu dibangkitkan dari suatu mekanisme atau model stokastik yang didefenisikan dengan suatu persamaan :
Xi = m (ρ; Zi− 1) + σ(θ; Zi − 1)ε i, i ∈ Z (2.1.1)
Dimana (Xi)i∈ adalah titik stasioner dan titik ergodik; (Zi = Xi, . . . , Xi−q+1; Xi−q)i∈Z adalah barisan dimensi −q dengan q bilangan bulat positif tak hingga ; (∈i)i∈Z adalah variabel acak dengan variansi satu sedemikian sehingga ∈i indepen-den pada σ(Zj, j < i); parameter vektor kolomnya Ψ = (ρ, θ)0 merupakan anggota dari Ψ = Θ x ˜Θ ⊂ RIxRJ untuk I, J bilangan bulat positif dan fungsi m (ρ; z) dan σ(θ; z) mempunyai bentuk yang diketahui.
2.2 Asumsi Umum
Transpose dari suatu vektor atau matriks fungsi dari H(x) dinotasikan de-ngan H(x).
Misalkan r adalah fungsi riil untuk I atau j diberikan untuk fungsi F (α; z) yang terdefenisi pada himpunan tak kosong dan fungsi Rr× Rq dan fungsi K(Ψ; z) yang terdefenisi pada himpunan bagian tak kosong dari RI × RJ × Rq, maka didapat : ∂F (α; z) =∂F (α;z)∂ αr , ... ∂F (α;z) ∂αr 0 , ∂2F (α; z) =∂2F (α;z) ∂αi∂αj : 1 6 i, j 6 r), ∂ρK(ψ; z) = ∂K(ψ;z ∂ρ1 , ... ∂K(ψ;z ∂ρ1 0 ∂θK(ψ; z) = ∂K(ψ;z) ∂θ1 , ... ∂K(ψ;z) ∂θJ 0 ∂2 pθK(ψ; z) = ∂2K(ψ;z) ∂ρi∂θj : 1 6 i 6 I, 1 6 j 6 J ∂2 θρK(ψ; z) = ∂2K(ψ;z) ∂θj∂ρi : 1 6 i 6 I, 1 6 i 6 I , ∂ρ22K(ψ; z) = ∂2K(ψ;z) ∂ρi∂pj : 1 6 i, j 6 I , ∂θ22K(ψ; z) = ∂2K(ψ;z) ∂θi∂θj : 1 6 i, j 6 J ,
trans-pose dari ∂H(x) dimana ∂K(ψ; z) = (∂0 pK(ψ; z); ∂ 0 θK(ψ; z)) 0 maka didefenisikan : ∂2K(ψ; z) = ∂ 2 K(ψ0; z) ∂pθ2 K(ψ; z) ∂0ρ2 K(ψ; z) ∂θ22K(ψ; z)
Untuk fungsi h yang riil, h(p)adalah turunan pertama orde p, dengan h(0)= h kV k ε adalah Eucliden dari vektor V dan kMk M = maxi,j|Mij| dari matriks kuadrat : M = (Mij)
Selanjutnya diasumsikan bahwa vektor parameter Ψ0= (ρ0, Θ0) dari (2.1) sedemi-kian sehingga ρ0 ∈ int(Θ) dan Θ0 ∈ int( ˜Θ), di mana int(Θ) dan int( ˜Θ) meno-tasikan masing-masing interior tak-kosong dari Θ dan ˜Θ. andaikan juga bahwa semua variabel acak dalam tulisan ini didefinisikan atas ruang probabilitas yang sama (Ω, W, P ), di mana Ω adalah suatu himpunan, W adalah suatu field-σ dari Ω dan P adalah ukuran probabilitas W . Dengan asumsi-asumsi berikut:
(A1) Momen orde empat dari himpunan berhingga εi
(A2) Fungsi m(ρ; z) dan σ(Θ; z) terdiferensialkan dua kali secara kontinu masing-masing terhadap ρ ∈ int(Θ) dan terhadap Θ ∈ int( ˜Θ), dan terdapat suatu fungsi positip α(z) sedemikian sehingga E[α4(Z0)] < ∞ dan
max sup ρ∈Θ |m(ρ; z)|, sup ρ∈Θ ||ˆcm(ρ; z)||ε, sup ρ∈Θ ||∂2m(ρ; z)||M, sup ρ∈Θ |σ(θ; z)|, sup ρ∈Θ ||∂σ(θ; z)||ε, sup ρ∈Θ ||∂2σ(θ; z)||M 6 α(z)
(A3) Terdapat suatu fungsi positip β(z) sedemikian sehingga E [β4(Z0)] < ∞ dan untuk semua ρ1, ρ2 ∈ Θ dan Θ1, Θ2 ∈ ˜Θ,
max{|m (ρ1; z) − m (ρ2; z)| , k∂m (ρ1; z) − ∂m (ρ2; z)ke, k∂2m (ρ1; z) − − ∂2m (ρ2; z)kM, |σ (θ1; z) − σ (θ2; z)| , k∂σ (θ1; z) − − ∂σ (θ2; z)kε, k∂2σ (θ1; z) − − ∂2σ (θ2; z)k
M} 6 β(z) min {kρ1 − ρ2kε, kθ1 − θ2kε}
Asumsi (A1) setidaknya dipenuhi oleh εi Gauss dan Student. (lihat, misalnya, Ngatchou dan Wandji (2005))
