1 RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN
( R P P )
Mata Pelajaran : Matematika Satuan Pendidikan : SMA Kelas/Semester : XI IPS/ 1 Alokasi waktu : 2 x 45 menit
I. Standar Kompetensi
1.1 Menggunakan aturan statistika, kaidah pencacahan, dan sifat-sifat peluang dalam pemecahan masalah
II. Kompetensi Dasar
2.1 Menggunakan aturan perkalian, permutasi, dan kombinasi dalam pemecahan masalah. 2.2 Menentukan ruang sampel suatu percobaan
III. Indikator
3.1 Menentukan nilai dari suatu kombinasi
3.2 Menentukan suatu nilai dari persamaan kombinasi
3.3 Menentukan banyaknya cara dari suatu peristiwa dengan menggunakan kombinasi 3.4 Mendefinisikan pengertian dari ruang sampel dan kejadian dari suatu percobaan 3.5 Menentukan ruang sampel dan kejadian dari suatu percobaan
IV. Tujuan Pembelajaran
4.1 Melalui diskusi kelompok dan pengerjaan LKS siswa dapat menentukan nilai dari suatu kombinasi
4.2 Melalui diskusi kelompok dan pengerjaan LKS siswa dapat menentukan suatu nilai dari persamaan kombinasi
4.3 Melalui diskusi kelompok dan pengerjaan LKS siswa dapat menentukan banyaknya cara dari suatu peristiwa dengan menggunakan kombinasi
2 4.4 Melalui diskusi kelompok dan pengerjaan LKS siswa dapat mendefinisikan
pengertian dari ruang sampel dan kejadian dari suatu percobaan
4.5 Melalui diskusi kelompok dan pengerjaan LKS siswa dapat menentukan ruang sampel dan kejadian dari suatu percobaan
Tujuan Karakter Bangsa
1. Menggunakan waktu dengan tepat dan cermat untuk menyelesaikan tugas (disiplin)
2. Memberikan kesempatan teman untuk berbeda pendapat (toleransi)
3. Menyimpulkan dan membuktikan sesuatu berdasarkan data-data yang benar diperoleh (jujur)
4. Berusaha dengan keras untuk menyelesaikan tugas (kerja keras, jujur)
5. Berusaha menemukan suatu prinsip/formula berdasarkan data-data yang diperoleh dari tugas yang dikerjakan (kreatif)
6. Bekerja sama dan saling memberikan pendapat dalam mengerjakan tugas (demokratis, saling menghargai)
7. Bertanya dan berusaha mencari sumber lain tentang materi yang terkait dengan pelajaran (rasa ingin tahu/pantang menyerah)
8. Menyampaikan pendapat dan menerima pendapat teman dalam kelompok untuk mengerjakan tugas yang diberikan (bersahabat/komunikatif)
V. Materi Pelajaran
A. Kombinasi secara umum
Kombinasi dari sekumpulan unsur-unsur adalah cara penyusunan unsur-unsur berbeda tanpa memperhatikan urutannya.
Misalkan kita akan menyusun dua abjad dari A, B, dan C. Cara penyusunan abjad itu antara lain :
AB AC BC
BA CA CB
Ada 6 cara untuk menyusunnya jika urutan abjad diperhatikan, namun Karena AB dipandang sama dengan BA (urutan tidak diperhatikan)
3 BC dipandang sama dengan CB (urutan tidak diperhatikan), maka kombinasi dari unsur-unsur tersebut ada 3, yaitu : AB, AC, dan BC
a. Kombinasi n unsur dari n unsur yang berbeda
Secara sederhana dapat dijelaskan dengan contoh sebagai berikut :
1. Adi mempunyai 1 buku Tulis. Maka ada 1 cara Adi dapat memilih 1 buku tulis untuk digunakan sebagai buku PR.
2. Adi mempunyai 2 buku Tulis. Maka ada 1 cara Adi dapat memilih 2 buku tulis untuk digunakan sebagai buku PR. (Adi memilih semua yang ia punya)
3. Adi mempunyai 3 buku Tulis. Maka ada 1 cara Adi dapat memilih 3 buku tulis untuk digunakan sebagai buku PR. (Adi memilih semua yang ia punya)
4. Adi mempunyai k buku Tulis. Maka ada 1 cara Adi dapat memilih k buku tulis untuk digunakan sebagai buku PR. (Adi memilih semua yang ia punya)
Sehingga banyak kombinasi n unsur dari n unsur berbeda adalah 1.
b. Kombinasi k unsur dari n unsur yang berbeda, n > k
Kombinasi dari n unsur dengan menggunakan k unsur dalam setiap pengambilan terdiri dari semua kemungkinan himpunan dari k objek tersebut tanpa mempedulikan urutan/susunan. Banyak kombinasi dari n unsur dengan menggunakan k unsur dapat dinyatakan dengan C(n, k). Secara sederhana akan dijelaskan dengan contoh.
1. Made akan mengunjungi 2 kota dari 3 kota di Bali. Misalkan 3 kota yang ingin dikunjungi Made adalah A, B, dan C. Ada berapa kemungkinan komposisi kota yang akan dikunjungi Made (tanpa mempedulikan urutan kota yang akan dikunjungi Made.
AB AC BC
BA CA CD
a. Dengan mempedulikan urutan kita mendapat P(3, 2) = 6 komposisi kota yang akan dikunjungi Made.
b. Ada 2! = 2 cara yang dapat digunakan untuk menyusun 2 kota dari 2 kota yang ada (jika urutan diperhatikan).
c. Namun jika urutan tidak dipedulikan kita hanya mendapat 3 komposisi. d. Hubungan dari pernyataan a, b, dan c adalah 3 = 6
2 atau C(3, 2) = P(3,2)
4 2. Made akan mengunjungi 3 kota dari 4 kota di Bali. Misalkan 4 kota yang ingin dikunjungi Made adalah A, B, C, dan D. Ada berapa kemungkinan komposisi kota yang akan dikunjungi Made (tanpa mempedulikan urutan kota yang akan dikunjungi Made.
ABC ACB BAC BCA CAB CBA ABD ADB BAD BDA DAB DBA ACD ADC CAD CDA DAC DCA BCD BDC CBD CDB DBC DCB
a. Dengan mempedulikan urutan kita mendapat P(4, 3) = 24 komposisi kota yang akan dikunjungi Made.
b. Ada 3! = 6 cara yang dapat digunakan untuk menyusun 3 kota dari 3 kota yang ada (jika urutan diperhatikan).
c. Namun jika urutan tidak dipedulikan kita hanya mendapat 4 komposisi. d. Hubungan dari pernyataan a, b, dan c adalah 4 = 246 atau C(4, 3) = P(4,3)3! Sehingga banyak kombinasi k unsur dari n unsur yang tersedia adalah
𝐂 𝐧, 𝐤 = 𝐏(𝐧,𝐤)𝐧! atau 𝐂 𝐧, 𝐤 = 𝐧−𝐤 !×𝐧!𝐧!
c. Kombinasi dengan beberapa unsur sama
Trik dalam kombinasi dari beberapa unsur sama adalah melogikakan kalimat dengan kata sambung dan & atau. Secara sederhana dan akan merujuk pada pengalian dan atau akan merujuk pada penambahan. Secara sederhana akan dijelaskan dengan contoh berikut.
“Alita ingin mengambil 3 buah dari beberapa buah yang ada di Kulkas, yaitu : 3 buah Apel, 4 buah Jeruk, dan 5 buah Mangga”. Dengan ketentuan :
a. Ia mengambil 3 buah secara sembarang.
Masalah Alita adalah memilih 3 buah dari 12 buah yang ada, sehingga banyak kombinasinya adalah C(12, 3)
b. Ia mengambil 3 buah Apel.
Masalah Alita adalah memilih 3 buah Apel dari 3 buah Apel yang tersedia, sehingga banyak kombinasinya adalah C(3, 3) = 1
5 Masalah Alita adalah memilih 3 buah Jeruk dari 4 buah Jeruk yang tersedia, sehingga banyak kombinasinya adalah C(4, 3)
d. Ia mengambil 3 buah Mangga.
Masalah Alita adalah memilih 3 buah Mangga dari 3 buah Mangga yang tersedia, sehingga banyak kombinasinya adalah C(5, 3)
e. Ia mengambil 1 buah Apel, 1 buah Jeruk, dan 1 buah Mangga.
Masalah Alita adalah memilih 1 buah Apel dari 3 buah Apel yang tersedia, dan memilih 1 buah Jeruk dari 4 buah Jeruk yang tersedia dan memilih 1 buah Mangga dari 5 Mangga yang tersedia.
memilih 1 buah Apel dari 3 buah Apel yang tersedia = C(3, 1) memilih 1 buah Jeruk dari 4 buah Jeruk yang tersedia = C(4, 1) memilih 1 buah Mangga dari 5 Mangga yang tersedia = C(5, 1) Sehingga banyak kombinasi dari masalah Alita adalah
C(3, 1) × C(4, 1) × C(5, 1)
f. Ia mengambil 2 buah Apel dan 1 buah Jeruk.
Masalah Alita adalah memilih 2 buah Apel dari 3 buah Apel yang tersedia dan memilih 1 buah Jeruk dari 4 buah Jeruk yang tersedia.
Memilih 2 buah Apel dari 3 buah Apel yang tersedia = C(3, 2) Memilih 1 buah Jeruk dari 4 buah Jeruk yang tersedia = C(4, 1)
Sehingga banyak kombinasi dari masalah Alita adalah C(3, 2) × C(4, 1) g. Ia mengambil 1 buah Apel dan 2 buah Mangga.
Masalah Alita adalah memilih 1 buah Apel dari 3 buah Apel yang tersedia dan memilih 2 buah Mangga dari 5 buah Mangga yang Tersedia.
Memilih 1 buah Apel dari 3 buah Apel yang tersedia = C(3, 1)
Memilih 2 buah Mangga dari 5 buah Mangga yang tersedia = C(5, 2) Sehingga banyak kombinasi dari masalah Alita adalah C(3, 1) × C(5, 2) h. Ia mengambil 1 buah Jeruk dan 2 buah Mangga.
Masalah Alita adalah memilih 1 buah Jeruk dari 4 buah Jeruk yang tersedia dan memilih 2 buah Mangga dari 5 buah Mangga yang Tersedia.
Memilih 1 buah Jeruk dari 4 buah Jeruk yang tersedia = C(4, 1) Memilih 2 buah Mangga dari 5 buah Mangga yang tersedia = C(5, 2)
6 Sehingga banyak kombinasi dari masalah Alita adalah C(4, 1) × C(5, 2)
i. Ia mengambil 1 buah Apel, namun Ia tetap mengambil 3 buah.
Masalah Alita adalah (memilih 1 buah Apel dari 3 buah Apel yang tersedia dan memilih 2 buah Mangga dari 5 buah Mangga yang Tersedia) atau (memilih 1 buah Apel dari 3 buah Apel yang tersedia dan memilih 2 buah Jeruk dari 4 buah Mangga yang Tersedia) atau (memilih 1 buah Apel dari 3 buah Apel yang tersedia, dan memilih 1 buah Jeruk dari 4 buah Jeruk yang tersedia dan memilih 1 buah Mangga dari 5 Mangga yang tersedia)
memilih 1 buah Apel dari 3 buah Apel yang tersedia dan memilih 2 buah Mangga dari 5 buah Mangga yang Tersedia = C(3, 1) × C(5, 2)
memilih 1 buah Apel dari 3 buah Apel yang tersedia dan memilih 2 buah Jeruk dari 4 buah Mangga yang Tersedia = C(3, 1) × C(4, 2)
memilih 1 buah Apel dari 3 buah Apel yang tersedia, dan memilih 1 buah Jeruk dari 4 buah Jeruk yang tersedia dan memilih 1 buah Mangga dari 5 Mangga yang tersedia = C(3, 1) × C(4, 1) × C(5, 1)
Sehingga banyak kombinasi dari masalah Alita adalah
C(3, 1) × C(5, 2) + C(3, 1) × C(4, 2) + C(3, 1) × C(4, 1) × C(5, 1) j. Ia mengambil minimal 1 buah Apel
Masalah Alita adalah (memilih 1 buah Apel dari 3 buah Apel yang tersedia dan memilih 2 buah Mangga dari 5 buah Mangga yang Tersedia) atau (memilih 1 buah Apel dari 3 buah Apel yang tersedia dan memilih 2 buah Jeruk dari 4 buah Jeruk yang Tersedia) atau (memilih 1 buah Apel dari 3 buah Apel yang tersedia, dan memilih 1 buah Jeruk dari 4 buah Jeruk yang tersedia dan memilih 1 buah Mangga dari 5 Mangga yang tersedia) atau
((memilih 2 buah Apel dari 3 buah Apel yang tersedia dan 1 buah Jeruk dari 4 buah Jeruk yang tersedia) atau (memilih 2 buah Apel dari 3 buah Apel yang tersedia dan memilih 1 buah Mangga dari 5 buah Mangga yang tersedia)) atau
Memilih 3 buah Apel dari 3 buah Apel yang tersedia Untuk masalah nomor 1 =
C(3, 1) × C(5, 2) + C(3, 1) × C(4, 2) + C(3, 1) × C(4, 1) × C(5, 1) Untuk masalah nomor 2 = C(3, 2) × C(5, 1) + C(3, 2) × C(4, 1)
7 Untuk masalah nomor 2 = C(3, 3)
Sehingga banyak kombinasi untuk masalah Alita adalah
((C(3, 1) × C(5, 2) + C(3, 1) × C(4, 2) + C(3, 1) × C(4, 1) × C(5, 1)) + (C(3, 2) × C(5, 1) + C(3, 2) × C(4, 1)) + C(3, 3))
B. Ruang Sampel dan Kejadian
1. Definisi ruang sampel dan kejadian dari suatu percobaan
Pada pelemparan sekeping uang logam, sisi yang mungkin muncul adalah sisi angka (A) atau sisi gambar (G). Jika sisi yang mungkin muncul ini dinyatakan dengan himpunan, misalnya S, menjadi S = {A,G}.
S = {A,G} merupakan ruang sampel, sebab S merupakan himpunan semua hasil yang mungkin terjadi.
A dan G merupakan titik sampel, sebab A dan G merupakan anggota dari ruang sampel atau merupakan hasil yang mungkin terjadi.
Misalkan pada pelemparan tersebut yang muncul adalah Angka (A), maka {A} merupakan kejadian, sebab {A} merupakan himpunan bagian dari ruang sampel
2. Ruang sampel dan kejadian sederhana dari suatu percobaan
Dalam menentukan ruang sampel dari suatu kejadian tunggal dapat dilakukan dengan cara mendaftar semua hasil yang mungkin.
Misalnya dalam pelemparan sebuah dadu, maka ruang sampel dari permasalahan tersebut adalah S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} dengan n(S) = 6
Contoh lain, dalam pengambilan acak sebuah kartu dari satu set kartu Brigde (tanpa Joker), ruang sampel dari permasalah tersebut adalah S = {As hati, As wajik, Askeriting, dan As skop, kartu hati 2, kartu hati 2 kartu hati 2 kartu hati 2 kartu hati 2 kartu hati 2 kartu hati 2 kartu hati, …, king hati, king wajik, king kriting, dan king skop} dengan n(S) = 52
3. Ruang sampel dan kejadian dari suatu percobaan a. Menentukan Ruang Sampel dengan Mendaftar
Misalkan, pada pelemparan dua keping uang logam sekaligus, sisi yang muncul adalah angka (A) pada uang logam pertama dan gambar (G) pada uang logam kedua, ditulis AG.
8 Kejadian lain yang mungkin muncul pada pelemparan kedua uang logam tersebut adalah AA, GA, dan GG. Jika ruang sampelnya dituliskan dengan cara mendaftar, hasilnya adalah S = {AA, AG, GA, GG} dengan n(S) = 4.
b. Menentukan Ruang Sampel dengan Tabel
Selain dengan cara mendaftar, ruang sampel dapat ditentukan dengan cara membuat tabel. Perhatikan kembali pelemparan dua keping uang logam pada bagian a. Untuk
menentukan ruang sampel dengan tabel, buatlah tabel dengan jumlah baris dan kolom yang diperlukan. Untuk percobaan pelemparan dua uang logam sekaligus, diperlukan tabel yang terdiri atas tiga kolom dan tiga baris.
Isi kolom pertama dengan hasil yang mungkin muncul dari uang logam ke-1 dan isi baris kedua dengan hasil yang mungkin dari uang logam ke-2. Kemudian, lengkapi tabel yang kosong.
Tabel ruang sampel pelemparan dua logam adalah sebagai berikut.
A G
A AA AG
G GA GG
Jadi, ruang sampelnya adalah S = {AA, AG, GA, GG} dengan n(S) = 4. c. Menentukan Ruang Sampel dengan Diagram Pohon
Cara lain yang digunakan untuk menentukan ruang sampel adalah dengan diagram pohon. Cara ini merupakan cara yang paling mudah. Berikut adalah diagram pohon untuk pelemparan dua uang logam sekaligus.
U an g Lo ga m ke
-1 Uang Logam ke-2
baris pertama
kolom pertama
9 Jadi, ruang sampelnya adalah S = {AA, AG, GA, GG} dengan n(S) = 4.
Contoh 1
Tentukan ruang sampel dari percobaan-percobaan berikut. a. Melambungkan sebuah dadu.
b. Melambungkan tiga keping uang logam yang berbeda sekaligus. c. Melambungkan dua buah dadu sekaligus.
Jawab:
a. Hasil yang mungkin muncul dari pelemparan sebuah dadu adalah muka dadu bertitik 1, 2, 3, 4, 5 dan 6. Jadi, ruang sampelnya adalah S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
b. Untuk mempermudah penentuan ruang sampel pelemparan tiga keping uang logam berbeda sekaligus, digunakan diagram pohon.
Jadi, ruang sampelnya adalah S = {AA, AG, GA, GG} dengan n(S) = 4
VI. Model dan Metode Pembelajaran
Model pembelajaran : Kooperatif Inkuiri Metode pembelajaran : 1. Tanya Jawab.
2. Pemberian Tugas. 3.Diskusi.
10 VII. Langkah-Langkah Kegiatan Pembelajaran
Langkah-langkah kegiatan pembelajaran.
Struktur Aktivitas Guru Aktivitas Siswa Alokasi
waktu Pendahuluan o Memberikan salam panganjali,
mengecek kehadiran, dan menarik perhatian siswa agar siap mengikuti pembelajaran. APERSEPSI
o Mengingatkan kembali siswa tentang notasi faktorial dan permutasi secara umum. o Mengaitkan materi yang
dipelajari dengan contoh dalam kehidupan sehari-hari.
(Contohnya, misalkan dalam memanggil nama beberapa siswa, berapa kemungkinan kombinasi cara memanggil siswa tersebut?)
MOTIVASI
o Menyampaikan tujuan
pembelajaran yang ingin dicapai dalam kegiatan pembelajaran. o Memberikan acuan materi
berupa penjelasan pokok dan uraian materi pelajaran secara garis besar.
o Memberikan salam panganjali kepada guru dan
mempersiapkan buku pelajaran.
o Mendengarkan dan menyimak penjelasan guru.
o Mendengarkan dan mencermati penjelasan guru.
o Mendengarkan dan
mencermati penjelasan guru. 10 menit
Inti o Menginstruksikan siswa untuk duduk berdasarkan
kelompoknya.
o Duduk berdasarkan kelompoknya.
11 (dalam kelompok)
EKSPLORASI
o Memberikan LKS kepada masing-masing kelompok yang sudah dibentuk dan meminta siswa untuk mencermati LKS. o Jika ada siswa atau kelompok
yang belum mengerti instruksi dari LKS, guru dapat membantu siswa yang mengalami masalah
ELABORASI
o Membantu siswa yang mengalami kesulitan dalam mengerjakan LKS dan soal penerapan dengan cara memberikan pertanyaan arahan sehingga siswa sendiri yang berhasil memecahkan masalah tersebut.
o Masing-masing perwakilan kelompok ditunjuk oleh guru untuk mempresentasikan hasil kerja kelompok dalam diskusi kelas
KONFIRMASI
o Memberikan pelurusan mengenai jawaban siswa. o Kelompok yang paling aktif
diberikan penguatan oleh guru.
o Mencermati LKS yang diberikan.
o Menanyakan pada guru jika ada instruksi pada LKS yang belum dipahami.
o Menanyakan
masalah-masalah yang ditemui kepada guru dalam mengerjakan LKS dan soal penerapan.
o Mempresentasikan hasil diskusi kelompok dalam diskusi kelas.
o Mendengarkan dengan baik penjelasan guru.
.
12 Penutup o Menuntun siswa menyimpulkan
materi yang telah dipelajari. o Memberikan kuis untuk
mengetahui tingkat pemahaman siswa terhadap materi yang telah dibahas.
o Memberikan pekerjaan rumah. o Menginformasikan kepada
siswa bahwa pertemuan berikutnya akan membahas tentang peluang suatu kejadian o Pembelajaran diakhiri dengan
memberi salam parama shanti.
o Membuat simpulan materi yang telah dibahas.
o Mengerjakan kuis yang diberikan.
o Mencatat tugas yang diberikan oleh guru.
o Mendengarkan dengan baik dan mempersiapkan diri untuk pertemuan selanjutnya.
o Memberi salam kepada guru. 20 menit
VIII. Sumber, Alat pembelajaran 1. Sumber :
- Matematika 2 untuk SMA/MA Program Studi IPS Kelas XI oleh Sri Lestari & Diah Ayu Kurniasih Kanginan, Penerbit: Pusat Perbukuan Depdiknas (BSE)
- Matematika untuk SMA Kelas XI Program Ilmu Sosial oleh Sartono Wirodikromo, Penerbit: Erlangga
- Buku penunjang lainnya 2. Alat dan media :
- LKS
- Spidol, papan tulis, dan penghapus papan
IX. PENILAIAN X. PENILAIAN
1. Penilaian Produk
Teknik : Quis
Bentuk Instrumen : Uraian
Instrumen : Quis
13 No
Soal
No Indikator
Soal Penyelesaian Skor
Maksimum
1. 3.1 Hitung nilai dari
𝐶(6, 5) 𝐶 6, 5 =
6!
6 − 5 ! 5!= 6
10
2. 3.2 Hitung nilai k dari
𝐶(𝑛, 𝒌) = 𝑃(𝑛, 𝒌) C(n, k) = P(n, k) ⇔ 𝑛−𝑘 !×𝑘!𝑛! = 𝑛−𝑘 !𝑛! ⇔ 𝑛 − 𝑘 ! × 𝑘! = 𝑛 − 𝑘 ! ⇔ k! = 1 ⇔ 𝑘 = 1 5 5 5 5 3. 3.3 Seorang petani akan
membeli 3 ekor ayam, 2 ekor kambing, dan 1 ekor sapi dari pedagang yang memiliki 6 ekor ayam, 4 ekor kambing, dan 3 ekor sapi. Dengan berapa cara petani tersebut dapat memilih ternak-ternak yang diinginkannya?
Jawab:
Banyaknya cara memilih ayam = C(6,3) = 6−3 !3!6! = 3!3!6! = 20 cara
Banyaknya cara memilih ayam = C(4,2) = 4−2 !2!4! = 2!2!4! = 6 cara, dan
Banyaknya cara memilih ayam = C(3,1) = 3−1 !1!3! = 2!1!3! = 3 cara
Jadi, petani tersebut memiliki pilihan sebanyak = 20𝑥6𝑥3 = 360 cara 5 5 5 5 4. 3.4 Jelaskan pengertian ruang sampel dan titik sampel
Ruang sampel merupakan himpunan semua hasil yang mungkin terjadi.
Titik sampel, merupakan anggota dari ruang sampel atau merupakan hasil yang mungkin terjadi.
10
5. 3.5 Pada saat
melambungkan 1 dadu, tentukanlah kejadian munculnya mata dadu
Kejadian munculnya mata dadu bilangan genap adalah } 6 , 4 , 2 { E 10
14 bilangan genap!
Total Skor 70
Nilai Siswa = 𝒔𝒌𝒐𝒓 𝒚𝒂𝒏𝒈 𝒅𝒊𝒑𝒆𝒓𝒐𝒍𝒆𝒉 𝒔𝒊𝒔𝒘𝒂𝑻𝒐𝒕𝒂𝒍 𝑺𝒌𝒐𝒓 × 𝟏𝟎𝟎
2. Penilaian Proses
Penilaian proses dilakukan dengan memperhatikan keaktifan siswa dalam proses pembelajaran. Misalnya dengan memberi skor tambahan tertentu pada siswa yang mampu memberi tanggapan yang tepat terhadap suatu pertanyaan atau permasalahan atau siswa yang bertanya yang terkait dengan materi yang dibahas
15
LEMBAR KERJA SISWA
Waktu: 30 Menit
Sub Topik : Kombinasi, Ruang Sampel dan Kejadian Petunjuk :
Diskusikanlah setiap langkah permasalahan dengan anggota kelompokmu
Buatlah kesimpulan hasil diskusi kelompokmu pada tempat yang sudah disediakan Kelompok :...
a. Pengertian Kombinasi Cermatilah hal-hal berikut!
1. Diberikan 4 buah titik berlainan pada sebuah bidang (A, B, C, D). Berapa banyak ruas garis yang dapat dibuat?
Jawab : AB………AC BA………CA AD………BC DA………CB BD………CD DB………DC
Dalam hal ini setiap dua permutasi (2!) menjadi satu kombinasi. Misalkan Ab dan BA (berarti kombinasi tidak memperhatikan urutan). Sehingga banyak ruas garis yang terjadi
= 𝑃 4,2 : 2! = 4−2 !4! : 2! = 4!
4−2 !2!=………..
2. Berapa banyak bidang segitiga yang dapat dibuat jika diberikan 4 buah titik berlainan (A, B, C, D) Jawab : ABC……….ABD ACB……….ADB BCA……….BAD BAC………...….. CAB………...….. CBA………...….. ACD……….BCD ……….…..….. ……….…..….. ……….…..….. ……….…..….. ……….…..…..
Dalam hal ini setiap enam permutasi (3!) menjadi satu kombinasi. Misalkan ABC, ACB, BCA, BAC, CAB, dan CBA dianggap satu kombinasi (berarti kombinasi tidak memperhatikan urutan). Sehingga banyak kombinasi yang terjadi
= 𝑃 4,3 : 3! = 4−3 !4! : 3! = 4!
4−3 !3!=………..
Berdasarkan hasil diskusi di atas, dapat disimpulkan bahwa :
Pengertian Kombinasi adalah……….. ……….
………. Satu kombinasi Satu kombinasi
Satu kombinasi Satu kombinasi
Satu kombinasi Satu kombinasi
Satu kombinasi Satu kombinasi
16 b. Kombinasi 𝒏 unsur dari 𝒏 unsur berbeda yang tersedia
Cermatilah hal-hal berikut!
1. Ari, Banu, dan Susi merupakan tiga siswa yang memiliki prestasi yang baik dalam bidang matematika. Dari tiga siswa ini akan dipilih tiga siswa yang akan mewakili sekolah dalam sebuah kompetisi matematika. Berapa banyaknya susunan siswa berbeda-beda yang dapat dipertimbangkan untuk mewakili sekolah?
Jawab :
Dengan cara mendaftar diperoleh : Ari, Banu, Susi………Banu, Susi, Ari Ari, Susi, Banu………Susi, Ari, Banu Banu, Ari, Susi………Susi, Banu, Ari
Kita lihat bahwa urutan penyebutan nama mereka tidak membedakan siswa yang akan mewakili sekolah dalam kompetisi tersebut. Sehingga dalam hal ini, keenam susunan yang terbentuk bukanlah hal yang berbeda dan dianggap satu kombinasi.
Permasalahan tersebut merupakan permasalahan kombinasi 3 unsur dari 3 unsur berbeda yang tersedia. Karena urutan siswa yang terpilih tidak diperhitungkan, maka pemecahannya dapat dituliskan sebagai berikut : 𝐶 3,3 =𝑃(3,3) 3! = 3! 3!= 1
2. Tersedia empat buah bola pingpong berwarna putih. Andi hendak mengambil empat buah bola pingpong dari empat bola tersebut. Berapa banyaknya cara pengambilan yang mungkin dilakukan Andi?
Jawab :
Andi hendak mengambil 4 bola dari 4 bola yang tersedia. Hal ini merupakan permasalahan kombinasi. Sehingga dapat dihitung dengan cara :
𝐶 … , … =…..! …..!= ⋯
𝐶 𝑛, 𝑛 =… . ! … . != ⋯ Berdasarkan hasil diskusi di atas, dapat disimpulkan bahwa :
17 c. Kombinasi 𝒌 unsur dari 𝒏 unsur berbeda yang tersedia
Cermatilah hal-hal berikut!
1. Dari tiga siswa laki-laki akan dipilih dua siswa sebagai tim ganda putra bulutangkis. Berapa banyaknya cara membentuk tim tersebut?
Jawab :
Misalkan ketiga siswa tersebut adalah A, B, dan C. Dengan permutasi diperoleh susunan sebagai berikut :
AB, BA, AC, CA, BC, CB
Dalam hal ini, AB dan BA merupakan satu kombinasi sebab urutan tidak diperhatikan. Demikian pula halnya dengan AC dan CA serta BC dan CB.
Sehingga Kemungkinan tim yang terbentuk adalah AB, BC, dan BC.
Maka kombinasi 2 unsur dari 3 unsur yang tersedia dapat ditulis :
𝐶 3,2 =𝑃(3,2)2! = ….− ….. !….!……! =…..!….! = ⋯
2. Riko memiliki empat buah kelereng berbeda warna yang disimpan dalam sebuah kantong. Ia akan mengambil dua buah kelereng sekaligus. Berapa banyaknya cara pengambilan yang mungkin dilakukan Riko?
Jawab :
Misalkan keempat kelereng tersebut adalah K1, K2, K3, dan K4. Dengan permutasi diperoleh susunan sebagai berikut :
K1K2...K1K3...K1K4 K2K3...K2K4...K3K4 K2K1...K3K1...K4K1 K3K2...K4K2...K4K3 Dalam hal ini, K1K2 dan K2K1 merupakan satu kombinasi sebab urutan tidak diperhatikan. Demikian pula yang lainnya.
Sehingga kemungkinan pengambilan yang terjadi adalah :
K1K2...K1K3...K1K4 K2K3...K2K4...K3K4 Maka kombinasi 2 unsur dari 4 unsur yang tersedia adalah :
𝐶 … . , … . =𝑃(…,….) ….! = …..! ….− ⋯ !….!= ….! ….!….!= ⋯ 𝐶 𝑛, 𝑘 = … . ! … … − … . . ! … . ! Berdasarkan hasil diskusi di atas, dapat disimpulkan bahwa :
Kombinasi 𝑘 unsur dari 𝑛 unsur berbeda yang tersedia (𝑘 < 𝑛), dapat dirumuskan sebagai berikut :
18 d. Kombinasi k unsur dari n unsur dengan beberapa unsur sama (𝒌 < 𝑛)
Contoh :
Tiga bola akan diambil dari dalam kantong yang berisi 4 bola putih, 3 bola biru, dan dua bola kuning. Tentukan banyaknya cara pengambilan :
a. Tiga bola sekaligus (tanpa memperhatikan warna) b. Tiga bola terdiri dari 1 bola kuning dan 2 bola putih
c. Tiga bola terdiri dari 1 bola putih, 1 bola biru, dan 1 bola kuning d. Tiga bola yang terdiri dari minimal 2 bola biru
Jawab :
a. Akan diambil 3 bola sekaligus tanpa memperhatikan warna.
Seluruh bola yang terdapat dalam kantong ada sebanyak 9 buah. Banyak kemungkinan bola yang terambil adalah :
𝐶 9,3 = … . . !
… … − … … ! … . != … … ….
b. Akan diambil 3 bola dengan ketentuan 1 bola kuning dan 2 bola putih.
Pengambilan terdiri dari 2 bagian, yaitu :
Bagian 1 :
Tersedia 2 bola kuning, diambil 1 bola kuning
Banyak cara pengambilan 1 bola kuning dari 2 bola kuning yang tersedia adalah :
𝐶 … . . , … . . = … … !
… . . − … . . ! … . != … …. Bagian 2 :
Tersedia 4 bola putih, diambil 2 bola putih
Banyak cara pengambilan 2 bola putih dari 4 bola putih yang tersedia adalah :
𝐶 … . . , … . . = … … !
… . . − … . . ! … . != … …. Dengan aturan perkalian diperoleh banyak cara pengambilan tiga bola (1 kuning dan 2 putih) adalah :
C(....,....)×C(...,...) = ... c. Akan diambil 3 bola dengan ketentuan 1
bola putih, 1 bola biru, dan 1 bola kuning. Pengambilan terdiri dari 3 bagian, yaitu :
Bagian 1 :
Banyak cara pengambilan 1 bola putih dari 4 bola putih yang tersedia adalah :
𝐶 … . . , … . . = … … !
… . . − … . . ! … . != … …. Bagian 2 :
Banyak cara pengambilan 1 bola biru dari 3 bola biru yang tersedia adalah :
𝐶 … . . , … . . = … … !
… . . − … . . ! … . != … …. Bagian 3 :
Banyak cara pengambilan 1 bola kuning dari 2 bola kuning yang tersedia adalah
d. Akan diambil 3 bola dengan ketentuan minimal terambil 2 bola biru.
Jika ketentuannya hanya minimal terambil 2 bola biru, maka kemungkinan pengambilannya adalah :
Terambil 2 bola biru dan 1 bola putih Terambil 2 bola biru dan 1 bola kuning Terambil 3 bola biru
Ingat kembali langkah (c) di samping! Untuk (terambil 2 bola biru dan 1 bola putih)
Banyaknya cara pengambilan adalah : C(....,....)×C(...,...) = ...
Untuk (terambil 2 bola biru dan 1 bola kuning)
19 :
𝐶 … . . , … . . = … … !
… . . − … . . ! … . != … …. Dengan aturan perkalian diperoleh banyak cara pengambilan tiga bola dengan ketentuan (1 putih, 1biru, dan 1 kuning) adalah :
C(....,....)×C(...,...)×C(...,...) = ...
Untuk (terambil 3 bola biru) C(....,....)= ...
Jadi banyak cara pengambilan 3 bola dengan ketentuan minimal terambil 2 bola biru adalah :
C(....,....)×C(...,...)+ C(....,....)×C(...,...) + C(....,....) = ...
Ruang Sampel dan Kejadian
1. a. Pada percobaan pelemparan satu kali satu buah uang logam. Angka (A) dan Gambar (G) disebut dengan titik sampel. {A, G} disebut dengan ruang sampel (S)
{A} atau {G} disebut dengan kejadian
b. Pada percobaan pelemparan satu kali satu buah dadu. 1, 2, 3, 4, 5, dan 6 disebut dengan titik sampel
{1, 2, 3, 4, 5, 6} disebut dengan ruang sampel {1} merupakan kejadian munculnya sisi berangka 1
{1, 2} adalah kejadian munculnya mata dadu 1 pada pelemparan 1 dan 2 pada pelemparan kedua
Dengan bahasa sendiri dan bantuan kajian/buku berikanlah definisi dari
Titik sampel adalah ………. ……… Ruang sampel adalah ……… ……… Kejadian adalah ………..…………. ……… Berdasarkan hasil diskusi di atas, dapat disimpulkan bahwa :
Jika diambil x unsur dari p unsur yang tersedia, y unsur dari q unsur yang tersedia, dan z unsur dari r unsur yang tersedia, maka kombinasinya adalah :
20 2. Dari satu set kartu Bridge diambil kartu Hati. Dari kumpulan kartu Hati tersebut akan
diambil satu kartu. Dengan mendaftarkan tuliskanlah ruang sampelnya. S = {
} n(S) = …
3. Sebuah dadu bersisi 6 dan uang koin dilempar. Tentukanlah ruang sampelnya.
1 2 3 4 5 6 A (A, 1) G (G, 2) Sehingga S = { } n(S) = …
4. Logam Rp 100, Rp 200, Rp 500, dan Rp 1000 dilempar. Tentukan ruang sampelnya.
I II III IV Hasil A AAAA A G AAAG A … … … A … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …
21 n(S) = …
Yang dapat dilakukan untuk menentukan ruang sampel dari suatu percobaan. 1. ………
2. ……… 3. ………
5. Adi dan Alit bermain tebak-tebakan mereka memasukkan 3 bola merah dan 5 bola putih ke dalam sebuah kardus. Kemudian dengan mata tertutup Adi mengambil sebuah bola. Jika Adi menebak itu bola merah dan Alit menebak bola putih, Siapakah yang berpeluang paling besar?
Tuliskan ruang sampelnya
S = { } n(S) = …
6. Akan diambil 2 bola dari dalam sebuah kardus yang berisi 2 bola merah (m) dan 1 bola kuning (k), secara bergantian dan dengan pengembalian.
m1 m2 k
S = {(
} sehingga n (S) = … = … × …
Akan diambil 2 bola dari dalam sebuah kardus yang berisi 3 bola merah (m) dan 2 bola kuning (k), secara bergantian dan dengan pengembalian.
22 S = {(
} sehingga n (S) = … = … × …
Misalkan akan diambil r objek secara bergantian dan dengan pengembalian dari q objek yang ada. Maka
n (S) =
Jika percobaan memiliki r tahap pengambilan dan dengan pengembalian dari q buah objek, maka
n(S) =
7. Akan diambil 2 bola dari dalam sebuah kardus yang berisi 2 bola merah (m) dan 1 bola kuning (k), secara bergantian dan tanpa pengembalian.
Banyak bola yang dapat diambil I = … Banyak bola yang dapat diambil II = …
n(S) = …. × ….
Pengambilan objek tanpa pengembalian dengan beberapa tahap. Apakah urutan diperhatikan?
Jika … maka kasus ini dapat dipandang sebagai … … … a s i
n(S) = …(…, …)
Pengambilan objek dari n objek tanpa pengembalian dengan beberapa (k) tahap dapat dipandang sebagai
23 8. Akan diambil 2 bola sekaligus dari dalam sebuah kardus yang berisi 2 bola merah (m) dan 1
bola kuning (k).
Apa perbedaan pertanyaan (7) dan (8)?
Apa pada kasus ini urutan diperhatikan?
Jika …… maka kasus ini dapat dipandang sebagai … … … a s i n(S) = …(…, …)
Pengambilan k objek dari n objek sekaligus dapat dipandang sebagai … … … k unsur dari n unsur, sehingga n(S) = …(…, …)
a. Tuliskan ruang sampel pada pelemparan dadu bersisi 8.
b. Tuliskan ruang sampel pada pelemparan dadu bersisi 6 dan 2 buah uang logam. c. Hitunglah n(S) dari percobaan berikut.
1. Adi membeli 10 telur, 3 diantaranya busuk, Ani akan meminta 1 telur.
2. Indah membeli 4 gundu silver dan 5 gundu kaca. Ina akan mengambil 3 gundu secara bergantian dan setelah diambil dikembalikan lagi.
3. Jika pada soal (2) Ina tidak mengembalikan lagi setelah diambil.
